CN105678425B - 基于多节拍组合的城际铁路列车开行的优化方法 - Google Patents

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CN105678425B CN201610065021.0A CN201610065021A CN105678425B CN 105678425 B CN105678425 B CN 105678425B CN 201610065021 A CN201610065021 A CN 201610065021A CN 105678425 B CN105678425 B CN 105678425B
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Abstract

本发明公开了一种基于多节拍组合的城际铁路列车开行的优化方法，包括步骤：根据城际铁路线路网络及其全天运营时间，构建包含空间与时间信息的列车运行加权有向图；根据加权有向图，建立多节拍组合的城际列车开行的优化模型；通过引入三组非负拉格朗日乘子分别将优化模型中列车在区间的最小安全出发时间间隔约束、列车在区间的最小安全到达时间间隔约束以及车站最大同时停留列车数量约束松弛，生成拉格朗日松弛模型；根据拉格朗日松弛模型，计算各节拍单元列车开行时刻。本发明可实现城际铁路列车基于多节拍组合方式开行，进而为城际旅客提供一种具有严格规律性、便捷、快速的列车服务。

Description

基于多节拍组合的城际铁路列车开行的优化方法
技术领域
本发明涉及城际铁路列车开行优化方法，尤其涉及基于多节拍组合的城际铁路列车开行的优化方法。
背景技术
城际铁路由于具有大容量、准点以及全天候等优点，成为城市群区域内实现旅客便捷、快速出行的主要交通方式之一。随着城市群区域内旅客运输需求的迅速增长以及旅客出行服务要求的提升，合理地组织城际铁路列车开行可以有效提高旅客出行服务质量与列车开行效率，促进城际铁路在区域客运市场竞争力。
目前列车开行组织通常是基于单一节拍或者非节拍运行方式，所取得的有关列车开行方法方面的研究成果也是基于这两类运行方式而展开。
单一节拍运行列车以等时间间隔如1小时周期性运行，既便于旅客记忆与乘车，也便于车站作业组织。目前很多专家学者已经对此展开研究，例如：Willem与Peeters系统地提出了单节拍列车开行组织的PESP和CPF模型(参见Willem L.,Peeters P.,Cyclicrailway timetable optimization.Netherlands:Erasmus Research Institute ofManagement,Erasmus University Rotterdam,2003)；Caimi和Fuchsberger进一步提出单节拍列车开行组织的弹性PESP模型(参见Caimi G.,Fuchsberger M.Periodic railwaytimetabling with event flexibility.Special Issue:Optimization in ScheduledTransportation Networks,2012,57(1),3-18)；汪波等借助网络约束图及周期势差模型，以列车停站时间最少为目标建立城际铁路单节拍列车运行图优化模型(参见汪波，杨浩，牛丰，王保华，周期运行图编制模型与算法研究，铁道学报，2007，29(5):1-7)；谢美全与聂磊等考虑列车周期性运行约束建立基于定序的单节拍列车运行图优化模型(参见谢美全，聂磊，周期性列车运行图编制模型研究.铁道学报，2009，31(4):7-13)。
在非节拍式列车开行方法研究方面，Zhou与Zhong以最小化列车旅行时间为优化目标设计了非节拍式列车运行求解的分枝定界算法(参见Zhou X.,Zhong M..Single-track train timetabling with guaranteed optimality:Branch-and-boundalgorithmswith enhanced lower bounds.Transportation Research Part B,2007,41(3),320-341)，而Jong和Chang提出了非节拍式列车运行优化的两阶段定序算法(参见Jong,J.C.,Chang S.,Lai Y.C.Development of two-stage hybrid method to solvehigh-speed rail train scheduling problem.Transportation Research Record,2013,p44-54)，此外，许红等提出了高速铁路非节拍式列车运行图优化的分层叠加方法(参见许红，马建军，龙建成，客运专线列车运行图编制模型及计算方法的研究，铁道学报，2007，29(2):1-7)，周文梁等提出了非节拍式列车开行的定序优化方法(参见周文梁，史峰，陈彦，基于定序优化的客运专线列车运行图铺划方法，铁道学报，2010，32(1):1-7)。
鉴于非节拍运行列车在全天时间分布上无规律性，而单一节拍运行列车在后续阶段为适应全天需求变化而需要删除部分列车导致一定程度上破坏了列车等间隔运行的规律性，因此需要研究一种基于多节拍组合运行方式的城际铁路列车开行的优化方法，协调安排多节拍单元列车在城际轨道网络上开行时刻，组织开行具有严格规律性的城际列车，为旅客出行与车站工作组织带来便利。
发明内容
本发明目的在于提供一种基于多节拍组合的城际铁路列车开行的优化方法，以解决无法协调多节拍组合的运行列车的规律性开行的技术问题。
为实现上述目的，本发明提供了一种基于多节拍组合的城际铁路列车开行的优化方法，包括以下步骤：
S1：根据城际铁路线路网络及其全天运营时间，构建包含空间与时间信息的列车运行加权有向图；
S2：根据所述加权有向图，建立多节拍组合的城际列车开行的优化模型；
S3：通过引入三组非负拉格朗日乘子α(i,j,t)、β(i,j,t)及γ(j,t)分别将所述优化模型中列车在区间的最小安全出发时间间隔约束、列车在区间的最小安全到达时间间隔约束以及车站最大同时停留列车数量约束松弛，生成拉格朗日松弛模型；
S4：根据所述拉格朗日松弛模型，计算各节拍单元列车开行时刻。
作为本发明的进一步改进：
优选地，所述步骤S1，包括以下步骤：
S101：将城际铁路线路网络的全天运营时间以分钟为单位进行离散化；
S102：对于每个离散的时间单元，为城际铁路线路网络上每个线路区间分别生成区间到达节点与区间出发节点，作为有向图节点；
S103：在所述有向图节点之间构造列车车站停站弧、区间运行弧及位置转移弧，并分别设置列车车站停站弧、运行弧及转移弧的权重。
优选地，所述步骤S103，包括以下步骤：
S1031：以区间到达节点为起点，同区间下一时间单元到达节点为终点，构建停站弧，并将其权重设为1分钟；
S1032：以区间出发节点为起点，同区间下一时间单元出发节点为终点，构建运行弧，并将其权重设为1分钟；
S1033：以区间出发节点为起点，下一区间同时间单元到达节点为终点，构建列车由区间进入车站的转移弧；以区间到达节点为起点，同区间同时间单元出发节点为终点，构建列车由车站进入区间的转移弧；并将两类转移弧的权重均设为0分钟。
优选地，所述步骤S2，包括以下步骤：
S201：定义0-1决策变量xw,f(e)描述第w个节拍单元第f列列车是否经过弧e，若第w个节拍单元第f列列车经过弧e，则令xw,f(e)＝1；否则，令xw,f(e)＝0；
S202：以最小化所有节拍单元列车所经弧的权重之和作为优化模型，即：
Figure GDA0002318864550000031
其中，W为城际铁路网络上开行列车的节拍单元数量，mw与Ew分别为第w个节拍单元列车开行数量与可经由的备选弧集合，c(e)为弧e的权重；
S203：确定优化模型的约束条件，包括：同节拍单元列车等时间间隔运行约束、列车区间最小运行时间与车站最小停站时间约束、列车流均衡约束、列车在区间的最小安全出发时间间隔约束、列车在区间的最小安全到达时间间隔约束以及车站最大同时停留列车数量约束。
优选地，所述步骤S203中确定优化模型的约束条件包括：
S203A：同节拍单元列车等时间间隔运行约束：同节拍单元第f+1列与第f列列车到达(离开)任意区间的时间间隔为该节拍单元列车开行时间间隔，故有：
Figure GDA0002318864550000032
Figure GDA0002318864550000033
Figure GDA0002318864550000034
Figure GDA0002318864550000035
Figure GDA00023188645500000321
其中，
Figure GDA0002318864550000036
分别对应于区间(i,j)在时间单元t的到达节点与出发节点，Tw为第w类节拍单元列车开行时间间隔，
Figure GDA0002318864550000037
表示到达节点
Figure GDA0002318864550000038
至
Figure GDA0002318864550000039
之间的停站弧，
Figure GDA00023188645500000310
表示到达节点
Figure GDA00023188645500000311
至
Figure GDA00023188645500000312
之间的停站弧，
Figure GDA00023188645500000313
表示出发节点
Figure GDA00023188645500000314
至
Figure GDA00023188645500000315
之间的运行弧，
Figure GDA00023188645500000316
表示出发节点
Figure GDA00023188645500000317
至
Figure GDA00023188645500000319
之间的运行弧，
Figure GDA00023188645500000320
表示出发节点
Figure GDA0002318864550000041
至到达节点
Figure GDA0002318864550000042
之间的转移弧，
Figure GDA0002318864550000043
表示出发节点
Figure GDA0002318864550000044
至到达节点
Figure GDA0002318864550000045
之间的转移弧，
Figure GDA0002318864550000046
表示到达节点
Figure GDA0002318864550000047
至出发节点
Figure GDA0002318864550000048
之间的转移弧，
Figure GDA0002318864550000049
表示到达节点
Figure GDA00023188645500000410
至出发节点
Figure GDA00023188645500000411
之间的转移弧，T表示城际铁路运营时间所离散的时间单元数量；
S203B：列车区间最小运行时间与车站最小停站时间约束：任意列车在区间的运行时间不得低于规定的最小运行时间；同样，任意列车在车站的停留时间不小于规定供旅客上下车所要求的最小停站时间，若列车在车站无旅客上下车，则视其最小停站时间为0，故有：
Figure GDA00023188645500000412
Figure GDA00023188645500000413
其中，
Figure GDA00023188645500000414
表示第w个节拍单元列车在区间(i,j)∈Ew的最小运行时间，
Figure GDA00023188645500000415
表示第w类运行周期个节拍单元列车在车站i的最小停站时间；
S203C：列车流均衡约束：每列列车从一备选始发节点出发，在任意中间节点需要满足进出平衡，最终到达一备选终到节点，故有：
Figure GDA00023188645500000416
Figure GDA00023188645500000417
Figure GDA00023188645500000418
其中，
Figure GDA00023188645500000419
分别为第w个节拍单元列车的备选始发节点与终到节点集合，Nw为第w个节拍单元列车可经的备选节点集合，
Figure GDA00023188645500000420
与
Figure GDA00023188645500000421
分别为以节点n为起点与终点的弧集合；
S203D：列车在区间的最小安全出发时间间隔与到达时间间隔约束：任意两列进入同一区间列车的到达时间间隔不得小于其最小安全到达时间间隔；任意两列进入同一区间列车的出发时间间隔不得小于其最小出发时间间隔，故有：
Figure GDA00023188645500000422
Figure GDA0002318864550000051
其中，ATi,j,DTi,j分别为两列车在区间(i,j)的最小安全到达与出发时间间隔，E为有向图中弧集合，τ∈[1,T]为离散化的时间值。
S203E：车站最大同时停留列车数量约束：任意车站在同一时间停留的列车数量不大于该车站所能同时停留的最大列车数量，故有：
Figure GDA0002318864550000052
其中，Capj为车站j所能同时停留的最大列车数量，S为城际网络上车站集合。
优选地，所述步骤S4，包括以下步骤：
S401：将三组拉格朗日乘子α(i,j,t)、β(i,j,t)及γ(j,t)初始化为0，令加权有向图中各弧的拉格朗日费用L(e)为对应的权重；
S402：每次选择一个节拍单元，在有向图上为该节拍单元的所有列车寻找对应的拉格朗日总费用最少的路径集，当确定完所有节拍单元列车的运行路径即得到优化模型的松弛解，计算各列车运行路径所含弧的拉格朗日费用之和，作为优化模型目标函数的一个下界值；
S403：基于优化模型的松弛解，计算每个节拍单元的各列车的旅行时间之和；并计算每个节拍单元各列车按最小区间运行时间与最小停站时间开行的旅行时间之和；按两者之比由小到大顺序每次选择一个节拍单元，在有向图上为该节拍单元所有列车寻找其权重之和最少、且不与已确定完的节拍单元列车产生作业冲突的运行路径集；当依次确定完所有节拍单元列车运行路径即得到优化模型的一个可行解，计算各列车运行路径所含弧的权重之和，作为优化模型目标函数的一个上界值；
S404：若优化模型目标函数的下界值与上界值的相对误差小于给定的阈值，或者算法迭代次数达到给定的最大值，则基于步骤S403得到的可行解计算各节拍单元列车在各车站的到发时刻；否则，基于步骤S402得到的松弛解更新拉格朗日乘子以及加权有向图中各弧的拉格朗日费用，返回至步骤S402。
优选地，所述步骤S3中，所生成的拉格朗日松弛模型如下：
Figure GDA0002318864550000053
Figure GDA0002318864550000061
并满足约束式(2)至(10)。
优选地，进行所述步骤S402时，选择第w个节拍单元，在加权有向图上为该节拍单元的所有列车寻找其拉格朗日总费用最少路径集，包括以下步骤：
S4021：将第w个节拍单元列车的所有可选始发节点的标号值设为0，即对于任意可选始发节点
Figure GDA0002318864550000062
令其标号值
Figure GDA0002318864550000063
并添加到已完成标号节点集合
Figure GDA0002318864550000064
中，其中，rw为第w个节拍单元列车始发车站，时间单元t满足t≤T-(mw-1)×Tw；同时，剩余其它节点的标号值设为正无穷大；
S4022：从集合
Figure GDA0002318864550000065
中寻找标号值p(n)值最小的节点，记为n；若节点n属于为到达节点，则将其记为
Figure GDA0002318864550000066
转入执行步骤S4023；若节点n为出发节点，则将其记为
Figure GDA0002318864550000067
转入执行步骤S4024；
S4023：选择列车的停站弧
Figure GDA0002318864550000068
若满足
Figure GDA0002318864550000069
且t+1+(mw-1)×Tw≤T,则更新节点
Figure GDA00023188645500000610
标号值为
Figure GDA00023188645500000611
及其前序节点
Figure GDA00023188645500000612
并将节点
Figure GDA00023188645500000613
添加至集合
Figure GDA00023188645500000614
中；选择转移弧
Figure GDA00023188645500000615
若满足
Figure GDA00023188645500000616
Figure GDA00023188645500000617
且
Figure GDA00023188645500000618
则更新节点
Figure GDA00023188645500000619
的标号值为
Figure GDA00023188645500000620
以及更新节点
Figure GDA00023188645500000621
的前序节点
Figure GDA00023188645500000622
与节点
Figure GDA00023188645500000623
前序节点
Figure GDA00023188645500000624
Figure GDA00023188645500000625
并将节点
Figure GDA00023188645500000626
添加至集合
Figure GDA00023188645500000627
中；
S4024：选择列车的运行弧
Figure GDA00023188645500000628
若满足
Figure GDA00023188645500000629
且t+1+(mw-1)×Tw≤T,则更新节点
Figure GDA00023188645500000630
的标号值为
Figure GDA00023188645500000631
及其前序节点
Figure GDA00023188645500000632
并将将节点
Figure GDA00023188645500000633
添加至集合
Figure GDA00023188645500000634
中；选择转移弧
Figure GDA00023188645500000635
若满足
Figure GDA00023188645500000636
Figure GDA00023188645500000637
且
Figure GDA00023188645500000638
则更新节点
Figure GDA0002318864550000071
标号值为
Figure GDA0002318864550000072
以及更新节点
Figure GDA0002318864550000073
前序节点
Figure GDA0002318864550000074
与节点
Figure GDA0002318864550000075
的前序节点
Figure GDA0002318864550000076
Figure GDA0002318864550000077
并将节点
Figure GDA0002318864550000078
添加至集合
Figure GDA0002318864550000079
中；
S4025：从集合
Figure GDA00023188645500000710
中删除当前选中节点n；若集合
Figure GDA00023188645500000711
为空，则选中该节拍单元列车标号值最小的终到节点，从其开始回溯至起点获得一条最短路径作为该节拍单元第一列列车运行路径，而第f＝2,3,…,mw列列车运行路径可在此基础上分别往后推1,2,…,mw-1倍开行时间间隔长度Tw获得；否则，返回步骤S4022。
优选地，进行所述步骤S403时，在有向图上为第w个节拍单元所有列车搜索权重之和最小、且不与已确定完的节拍单元列车产生作业冲突的运行路径集，可在所述步骤S402中，在有向图上同时为第w个节拍单元所有列车寻找其拉格朗日总费用最少路径集的操作步骤中：
(a)所有节点标号值基于相关弧的权重更新，而不是基于弧的拉格朗日费用；
(b)所述步骤S4023与S4024中，选择列车的停站弧、运行弧或转移弧时，不选择与已经确定节拍单元列车运行路径产生运行冲突的弧。
优选地，进行所述步骤S404时，基于得到的松弛解更新拉格朗日乘子、以及加权有向图中弧的拉格朗日费用，包括以下步骤：
S4041：基于松弛解采用以下公式分别计算三组拉格朗日乘子在当前第g次迭代的次梯度：
Figure GDA00023188645500000712
Figure GDA00023188645500000713
Figure GDA00023188645500000714
其中，
Figure GDA00023188645500000715
为第g次迭代时乘子α(i,j,t)的次梯度，
Figure GDA00023188645500000716
为第g次迭代时乘子β(i,j,t)的次梯度，
Figure GDA00023188645500000717
为第g次迭代时乘子γ(j,t)的次梯度；
S4042：基于次梯度按以下步骤更新三组拉格朗日乘子：
Figure GDA00023188645500000718
Figure GDA0002318864550000081
Figure GDA0002318864550000082
Figure GDA0002318864550000083
其中，αg+1(i,j,t),βg+1(i,j,t)及γg+1(j,t)分别为第g+1次迭代时乘子α(i,j,t)，β(i,j,t)与γ(j,t)取值；αg(i,j,t),βg(i,j,t)及γg(j,t)分别为第g次迭代时乘子α(i,j,t)，β(i,j,t)与γ(j,t)取值；
Figure GDA0002318864550000085
为当前第g次迭代的乘子更新步长；
S4043：基于更新的拉格朗日乘子采用以下方法更新各类弧的拉格朗日费用：
Figure GDA0002318864550000084
其中，L(e)为列车使用弧e的拉格朗日费用。
本发明具有以下有益效果：
1、本发明的基于多节拍组合的城际铁路列车开行的优化方法，可实现城际铁路列车基于多节拍组合方式开行，进而为城际旅客提供一种具有严格规律性、便捷、快速的列车服务。
2、本发明基于多节拍组合的城际铁路列车开行的优化方法，能够使得各节拍单元列车等时间间隔开行而具有严格规律性，不仅为城际旅客出行提供便捷、快速的列车服务，而且为城际铁路车站工作组织提供便利条件；该方法不仅操作简便、效率高，还可通过计算机简易实现，而且提供了所获得列车开行方案的目标值下界，故可轻易直观地判定列车开行方案的质量。
除了上面所描述的目的、特征和优点之外，本发明还有其它的目的、特征和优点。下面将参照附图，对本发明作进一步详细的说明。
附图说明
构成本申请的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：
图1是本发明的基于多节拍组合的城际铁路列车开行的优化方法的流程示意图；
图2是本发明的基于多节拍组合的城际铁路列车开行示意图；
图3是本发明的基于城际铁路线路所构建的加权有向图。
具体实施方式
以下结合附图对本发明的实施例进行详细说明，但是本发明可以由权利要求限定和覆盖的多种不同方式实施。
在本发明实施例中，将具有相同起点、终点、停站方案以及速度等级的列车归集为一类，称为同节拍单元运行列车。同节拍单元列车以相等时间间隔开行，而不同节拍单元列车间允许以不同时间间隔开行，如图2所示。
参见图1，本发明实施例的基于多节拍组合的城际铁路列车开行的优化方法，包括以下步骤：
S1：根据城际铁路线路网络及其全天运营时间，构建包含空间与时间信息的列车运行加权有向图；
S2：根据加权有向图，建立多节拍组合的城际列车开行的优化模型；
S3：通过引入三组非负拉格朗日乘子α(i,j,t)、β(i,j,t)及γ(j,t)分别将所述优化模型中列车在区间的最小安全出发时间间隔约束、列车在区间的最小安全到达时间间隔约束以及车站最大同时停留列车数量约束松弛，生成拉格朗日松弛模型；
S4：根据拉格朗日松弛模型，计算各节拍单元列车开行时刻。
通过上述步骤，首先，基于城际铁路网络描述列车运行的加权有向图；其次，基于该加权有向图构建列车开行优化模型，并通过引入拉格朗日乘子将该模型中涉及所有节拍单元列车的复杂约束松弛而形成其松弛模型，为接下来设计拉格朗日松弛优化算法提供良好的框架，最终实现协调安排多节拍单元列车在城际轨道网络上开行时刻，组织开行具有严格规律性的城际列车，为旅客出行与车站工作组织带来便利。
实施例1：
在实际应用中，在上述步骤的基础上，本发明的基于多节拍组合的城际铁路列车开行的优化方法，还可按照以下步骤进行优化：
S1：根据城际铁路网络，构建列车运行空间与时间位置信息的加权有向图，包括以下步骤：
S101：将城际铁路线路网络的全天运营时间以分钟为单位进行离散化。
S102：对于每个离散的时间单元，为城际铁路线路网络上每个线路区间分别生成区间到达节点与区间出发节点，作为有向图节点。
S103：在所述有向图节点之间构造列车车站的停站弧、运行弧及转移弧，并分别设置列车车站的停站弧、运行弧及转移弧的权重。具体包括以下步骤：
S1031：以区间到达节点为起点、同区间下一时间单元到达节点为终点构建列车车站的停站弧，并将其权重设为1分钟。
S1032：以区间出发节点为起点、同区间下一时间单元出发节点为终点构建列车的运行弧，并将其权重设为1分钟。
S1033：以区间出发节点为起点、下一区间同时间单元到达节点为终点构建列车由区间进入车站的转移弧；以区间到达节点为起点、同区间同时间单元出发节点为终点构建列车由车站进入区间的转移弧；并将两类转移弧的权重均设为0分钟。
S2：根据加权有向图，建立多节拍组合的城际列车开行的优化模型，包括以下步骤：
S201：定义0-1决策变量xw,f(e)描述第w个节拍单元第f列列车是否经过弧e，若第w个节拍单元第f列列车经过弧e，则令xw,f(e)＝1；否则，令xw,f(e)＝0。
S202：以最小化所有节拍单元列车所经弧的权重之和作为优化模型，即：
Figure GDA0002318864550000101
其中，W为城际铁路网络上开行列车的节拍单元数量，mw与Ew分别为第w个节拍单元列车开行数量与可经由的备选弧集合，三者均由城际铁路企业根据客流需求强度与时间分布事先确定；c(e)为弧e的权重。
S203：确定优化模型的约束条件，包括：同节拍单元列车等时间间隔运行约束、列车区间最小运行时间与车站最小停站时间约束、列车流均衡约束、列车在区间的最小安全出发时间间隔约束、列车在区间的最小安全到达时间间隔约束以及车站最大同时停留列车数量约束。
确定优化模型的约束条件包括以下步骤：
S203A：同节拍单元列车等时间间隔运行约束：同节拍单元第f+1列与第f列列车到达(离开)任意区间的时间间隔为该节拍单元列车开行时间间隔，故有：
Figure GDA0002318864550000102
Figure GDA0002318864550000103
Figure GDA0002318864550000104
Figure GDA0002318864550000105
其中，
Figure GDA0002318864550000111
分别对应于区间(i,j)在时间单元t的到达与出发节点，Tw为第w类节拍单元列车开行时间间隔，
Figure GDA0002318864550000112
表示到达节点
Figure GDA0002318864550000113
至
Figure GDA0002318864550000114
之间的列车车站的停站弧，
Figure GDA0002318864550000115
表示到达节点
Figure GDA0002318864550000116
至
Figure GDA0002318864550000117
之间的列车车站停站弧，
Figure GDA0002318864550000118
表示出发节点
Figure GDA0002318864550000119
至
Figure GDA00023188645500001110
之间的列车的运行弧，
Figure GDA00023188645500001111
表示出发节点
Figure GDA00023188645500001112
至
Figure GDA00023188645500001113
之间的列车的运行弧，
Figure GDA00023188645500001114
表示出发节点
Figure GDA00023188645500001115
至到达节点
Figure GDA00023188645500001116
之间的列车的转移弧，
Figure GDA00023188645500001117
表示出发节点
Figure GDA00023188645500001118
至到达节点
Figure GDA00023188645500001119
之间的列车的转移弧，
Figure GDA00023188645500001120
表示到达节点
Figure GDA00023188645500001121
至出发节点
Figure GDA00023188645500001122
之间的转移弧，
Figure GDA00023188645500001123
表示到达节点
Figure GDA00023188645500001124
至出发节点
Figure GDA00023188645500001125
之间的转移弧，T表示城际铁路运营时间所离散的时间单元数量。
S203B：列车区间最小运行时间与车站最小停站时间约束：任意列车在区间的运行时间不得低于其规定的最小运行时间；同样，任意列车在车站的停留时间不得小于其规定供旅客上下车所要求的最小停站时间，若列车在车站无旅客上下车，则视其最小停站时间为0，故有：
Figure GDA00023188645500001126
Figure GDA00023188645500001127
其中，
Figure GDA00023188645500001128
表示第w个节拍单元列车在区间(i,j)∈Ew的最小运行时间，
Figure GDA00023188645500001129
表示第w类运行周期个节拍单元列车在车站i的最小停站时间。
S203C：列车流均衡约束：每列列车从其某一备选始发节点出发，在任意中间节点需要满足进出平衡，最终到达其某一备选终到节点，故有：
Figure GDA00023188645500001130
Figure GDA00023188645500001131
Figure GDA00023188645500001132
其中，
Figure GDA0002318864550000121
分别为第w个节拍单元列车的备选始发节点与终到节点集合，Nw为第w个节拍单元列车可经的备选节点集合，
Figure GDA0002318864550000122
与
Figure GDA0002318864550000123
分别为以节点n为起点与终点的弧集合。
S203D：列车在区间的最小安全出发与到达时间间隔约束：任意两列进入同一区间列车的到达时间间隔不得小于其最小安全到达时间间隔；任意两列进入同一区间列车的出发时间间隔不得小于其最小出发时间间隔，故有：
Figure GDA0002318864550000124
Figure GDA0002318864550000125
其中，ATi,j,DTi,j分别为两列车在区间(i,j)的最小安全到达与出发时间间隔，E为有向图中弧集合，τ∈[1,T]为离散化的时间值。
S203E：车站最大同时停留列车数量约束：任意车站在同一时间停留的列车数量不得大于该车站所能同时停留的最大列车数量(即车站停车能力)，故有：
Figure GDA0002318864550000126
其中，Capj为车站j的能同时停留的最大列车数量，S为城际网络上车站集合。
S3：根据优化模型，通过引入三组非负拉格朗日乘子α(i,j,t)、β(i,j,t)及γ(j,t)分别将优化模型中列车在区间的最小安全出发时间间隔约束、列车在区间的最小安全到达时间间隔约束以及车站最大同时停留列车数量约束松弛，生成拉格朗日松弛模型如下：
Figure GDA0002318864550000127
并满足约束式(2)至(10)。
S4：根据拉格朗日松弛模型，计算各节拍单元列车开行时刻，包括以下步骤：
S401：将三组拉格朗日乘子α(i,j,t)、β(i,j,t)及γ(j,t)初始化为0，令有向图中各弧的拉格朗日费用L(e)为对应的权重。
S402：每次选择一个节拍单元，在有向图上为该节拍单元的所有列车寻找对应的拉格朗日总费用最少的路径集，当确定完所有节拍单元列车的运行路径即得到优化模型的松弛解(得到松弛模型的一个解)，计算各列车运行路径所含弧的拉格朗日费用之和，作为优化模型目标函数的一个下界值。
进行步骤S402时，选择第w个节拍单元，在有向图上为该节拍单元的所有列车寻找其拉格朗日总费用最少路径集，包括以下步骤：
S4021：将第w个节拍单元列车所有可选始发节点的标号值设为0，即对于任意可选始发节点
Figure GDA0002318864550000131
令其标号值
Figure GDA0002318864550000132
并添加到已完成标号节点集合
Figure GDA0002318864550000133
中，其中，rw为第w个节拍单元列车始发车站，时间单元t满足t≤T-(mw-1)×Tw；同时，剩余其它节点的标号值设为正无穷大。
S4022：从集合
Figure GDA0002318864550000134
中寻找标号值p(n)值最小的节点，记为n；若节点n属于为到达节点，则将其记为
Figure GDA0002318864550000135
转入执行步骤S4023；若节点n为出发节点，则将其记为
Figure GDA0002318864550000136
转入执行步骤S4024。
S4023：选择列车的停站弧
Figure GDA0002318864550000137
若满足
Figure GDA0002318864550000138
且t+1+(mw-1)×Tw≤T,则更新节点
Figure GDA0002318864550000139
标号值为
Figure GDA00023188645500001310
及其前序节点
Figure GDA00023188645500001311
并添加至集合
Figure GDA00023188645500001312
中；选择转移弧
Figure GDA00023188645500001313
若满足
Figure GDA00023188645500001314
Figure GDA00023188645500001315
且
Figure GDA00023188645500001316
则更新节点
Figure GDA00023188645500001317
标号值为
Figure GDA00023188645500001318
以及更新节点
Figure GDA00023188645500001319
前序节点
Figure GDA00023188645500001320
与节点
Figure GDA00023188645500001321
的前序节点
Figure GDA00023188645500001322
并将节点
Figure GDA00023188645500001323
添加至集合
Figure GDA00023188645500001324
中。
S4024：选择列车的运行弧
Figure GDA00023188645500001325
若满足
Figure GDA00023188645500001326
且t+1+(mw-1)×Tw≤T,则更新节点
Figure GDA00023188645500001327
标号值为
Figure GDA00023188645500001328
及其前序节点
Figure GDA00023188645500001329
并将其添加至集合
Figure GDA00023188645500001330
中；选择转移弧
Figure GDA00023188645500001331
若满足
Figure GDA00023188645500001332
Figure GDA00023188645500001333
且
Figure GDA00023188645500001334
则更新节点
Figure GDA00023188645500001335
标号值为
Figure GDA00023188645500001336
以及更新节点
Figure GDA00023188645500001337
前序节点
Figure GDA0002318864550000141
与节点
Figure GDA0002318864550000142
的前序节点
Figure GDA0002318864550000143
并将节点
Figure GDA0002318864550000144
添加至集合
Figure GDA0002318864550000145
中。
S4025：从集合
Figure GDA0002318864550000146
中删除当前选中节点n；若集合
Figure GDA0002318864550000147
为空，则选中该节拍单元列车标号值最小的终到节点，从其开始回溯至起点获得一条最短路径作为该节拍单元第一列列车运行路径，而第f＝2,3,…,mw列列车运行路径可在此基础上分别往后推1,2,…,mw-1倍开行时间间隔长度Tw获得；否则，返回步骤S4022。
S403：基于优化模型的松弛解，计算每个节拍单元的各列车的旅行时间之和；并计算每个节拍单元各列车按最小区间运行时间与最小停站时间开行的旅行时间之和；按两者之比由小到大顺序每次选择一个节拍单元，在有向图上为该节拍单元所有列车寻找其权重之和最少、且不与已确定完的节拍单元列车产生作业冲突的运行路径集；当依次确定完所有节拍单元列车运行路径即得到优化模型的一个可行解，计算各列车运行路径所含弧的权重之和，作为优化模型目标函数的一个上界值。
进行步骤S403时，在有向图上为第w个节拍单元所有列车搜索权重之和最小、且不与已确定完的节拍单元列车产生作业冲突的运行路径集，可在步骤S402中，在有向图上同时为第w个节拍单元所有列车寻找其拉格朗日总费用最少路径集的操作步骤中：
(a)所有节点标号值基于相关弧的权重更新，而不是基于弧的拉格朗日费用；
(b)所述步骤S4023与S4024中，选择列车的停站弧、运行弧或转移弧时，不选择与已经确定节拍单元列车运行路径产生运行冲突的弧。
S404：若优化模型目标函数的下界值与上界值的相对误差小于给定的阈值，或者算法迭代次数达到给定的最大值，则基于步骤S403得到的可行解计算各节拍单元列车在各车站的到发时刻；否则，基于步骤S402得到的松弛解更新拉格朗日乘子，以及加权有向图中各弧的拉格朗日费用，返回至步骤S402。
进行步骤S404时，基于得到的松弛解更新拉格朗日乘子、以及加权有向图中弧的拉格朗日费用，包括以下步骤：
S4041：基于松弛解采用以下公式分别计算三组拉格朗日乘子在当前第g次迭代的次梯度：
Figure GDA0002318864550000148
Figure GDA0002318864550000149
Figure GDA0002318864550000151
Figure GDA0002318864550000152
其中，
Figure GDA0002318864550000153
为第g次迭代时乘子α(i,j,t)的次梯度，
Figure GDA0002318864550000154
为第g次迭代时乘子β(i,j,t)的次梯度，
Figure GDA0002318864550000155
为第g次迭代时乘子γ(j,t)的次梯度。
S4042：基于次梯度按以下步骤更新三组拉格朗日乘子：
Figure GDA0002318864550000156
Figure GDA0002318864550000157
Figure GDA0002318864550000158
其中，αg+1(i,j,t),βg+1(i,j,t)及γg+1(j,t)分别为第g+1次迭代时乘子α(i,j,t)，β(i,j,t)与γ(j,t)取值；αg(i,j,t),βg(i,j,t)及γg(j,t)分别为第g次迭代时乘子α(i,j,t)，β(i,j,t)与γ(j,t)取值；
Figure GDA0002318864550000159
为当前第g次迭代的乘子更新步长；
S4043：基于更新的拉格朗日乘子采用以下方法更新各类弧的拉格朗日费用：
Figure GDA00023188645500001510
其中，L(e)为列车使用弧e的拉格朗日费用。
在以上优化步骤中，基于拉格朗日松弛框架的优化算法中每次迭代都首先生成一个松弛解，然后基于该松弛解产生一个可行解，并分别其计算两个解对应的目标函数值作为下界与上界。通过不断迭代，模型目标下界值越来越大、上界值越来越小而使得两者不断逼近，直至达到算法终止条件。算法中松弛解与可行解的生成均是在所构建的加权有向图中为每个节拍单元列车同时搜索费用最小的列车运行路径集合。
下面以实际数据对实施例1的方法进行具体分析：
实施例2：
本发明实施例的基于多节拍组合的城际铁路列车开行的优化方法，包括以下步骤：
S1：基于城际铁路网络构建能够描述列车运行空间与时间位置信息的加权有向图。参见图2，具体到本实施例中，所考虑的城际铁路网络由16个车站、15个复线区间构成，由于线路上下行列车可独立运行，本实施例仅考虑线路上行列车开行。该城际铁路全天运营时间为6:00至23:00，将该运营时间以分钟为单位离散化为T＝(23-6)×60＝1020个时间单元；由此为每个区间生成列车到达与出发节点，并在其之间构造各类弧与设置其权重，如图3所示。
S2：基于上述加权有向图定义城际列车多节拍组合开行优化决策变量、目标函数以及约束条件，构建城际列车多节拍组合开行优化模型。具体到本实施例中，所需要开行的各节拍单元列车起点、终点、停站集与开行数量与时间间隔见表1所示。
表1：各节拍单元列车数量、起点、终点以及停站集
Figure GDA0002318864550000161
列车在各区间的最小安全到达与出发时间间隔分别均为4分钟与3分钟，各节拍单元列车在其停站的最小停留时间为1分钟、最大停留时间为2分钟。此外，线路上各车站最大同时停留列车数见表2所示。
表2：各车站最大同时停留列车数量
Figure GDA0002318864550000162
根据表1所给出的各节拍单元列车起终点与停站可确定各节拍单元列车在加权有向图上的可选始发节点集合
Figure GDA0002318864550000163
可选终到节点集合
Figure GDA0002318864550000164
可选途径节点集合Nw以及可选弧集合Ew。将以上确定的所有相关参数值代入实施例1中的目标函数式(1)以及约束式(2)～(13)便可确定本实施例对应的城际列车多节拍组合开行优化模型。
S3：基于以上构建的列车多节拍组合开行优化模型，为有向图中每条弧定义拉格朗日乘子α(i,j,t)与β(i,j,t)，为每个到达节点定义拉格朗日乘子γ(j,t)，由此生成拉格朗日松弛模型。
S4：基于以上生成的拉格朗日松弛模型设计算法优化各节拍单元列车开行时刻。具体到本实施例中，其计算步骤如下：
S401：将所有松弛模型中定义拉格朗日乘子值设为0，确定有向图中各弧的拉格朗日费用为弧权重。
S402：每次选择11个节拍单元中一个，在有向图上搜索其拉格朗日总费用最少路径集作为原模型的松弛解，并计算各节拍单元列车运行路径对应拉格朗日费用见表3所示，其总和为11070，该值即为原模型目标函数的一个下界值。
表3：松弛解中各节拍单元列车拉格朗日费用
Figure GDA0002318864550000171
S403：根据所确定的松弛解，计算每个节拍单元列车总旅行时间与最小总旅行时间，并由此计算两者的比值见表4所示，根据表4所确定的各节拍单元列车比值由小到大顺序从11个节拍单元中每次选择一个节拍单元列车，在有向图上同时为该节拍单元所有列车寻找其权重之和最少、且不与已确定完的节拍单元列车产生作业冲突的运行路径集作为原模型可行解，计算各列车运行路径所含弧的权重之和见表5所示，其总和为11555，该值为原模型目标函数的一个上界值。
表4：各节拍单元列车在松弛解中旅行时间、最小旅行时间及其比值
Figure GDA0002318864550000172
Figure GDA0002318864550000181
表5：可行解中各节拍单元列车旅行时间
Figure GDA0002318864550000182
S404：根据所确定的原模型目标函数的上界值与下界值，计算两者相对误差为(11555-11070)÷11070＝4.38％，判断是否小于给定的最小误差值1％，以及当前迭代次数是否达到最大迭代次数200次。若两者均不满足，则依次重复以上步骤S402、S403与S404中操作；否则，即两项终止条件中至少一项满足，则停止算法计算，输出可行解。
经优化本实施例在迭代次数达到126次、目标函数上界与下界值相对误差为0.93％时算法终止，所得到的列车可行开行方案中各节拍单元首列列车开行时刻如表6所示，其余列车可根据各节拍单元开行间隔确定。所获得列车开行方案中各节拍单元列车的旅行时间见表7所示。
表6：各节拍单元首列列车在车站到发时刻
Figure GDA0002318864550000183
Figure GDA0002318864550000191
表7：所得列车开行方案中各节拍单元列车旅行时间
Figure GDA0002318864550000192
综上可知，本发明通过不断迭代，模型目标下界值越来越大、上界值越来越小而使得两者不断逼近，直至达到算法终止条件。能够使得各节拍单元列车等时间间隔开行而具有严格规律性，为城际旅客出行提供便捷、快速的列车服务，同时为城际铁路车站工作组织提供便利条件。
以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于多节拍组合的城际铁路列车开行的优化方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：根据城际铁路线路网络及其全天运营时间，构建包含空间与时间信息的列车运行加权有向图；
S2：根据所述加权有向图，建立多节拍组合的城际列车开行的优化模型；
S3：通过引入三组非负拉格朗日乘子α(i,j,t)、β(i,j,t)及γ(j,t)，分别将所述优化模型中列车在区间的最小安全出发时间间隔约束、列车在区间的最小安全到达时间间隔约束以及车站最大同时停留列车数量约束松弛，生成拉格朗日松弛模型；其中，i和j分别表示列车行驶区间的两个端点，t表示列车在该区间的行驶时间单元；
S4：根据所述拉格朗日松弛模型，计算各节拍单元列车开行时刻；包括以下步骤：
S401：将三组拉格朗日乘子α(i,j,t)、β(i,j,t)及γ(j,t)初始化为0，令加权有向图中各弧的拉格朗日费用L(e)为对应的权重；
S402：每次选择一个节拍单元，在有向图上为该节拍单元的所有列车寻找对应的拉格朗日总费用最少的路径集，当确定完所有节拍单元列车的运行路径即得到优化模型的松弛解，计算各列车运行路径所含弧的拉格朗日费用之和，作为优化模型目标函数的一个下界值；其中，在加权有向图上同时为第w个节拍单元所有列车寻找其拉格朗日总费用最少路径集的操作步骤中：
(a)所有节点标号值基于相关弧的权重更新，而不是基于弧的拉格朗日费用；
(b)选择列车的停站弧、运行弧或转移弧时，不选择与已经确定节拍单元列车运行路径产生运行冲突的弧；
S403：基于优化模型的松弛解，计算每个节拍单元的各列车的旅行时间之和；并计算每个节拍单元各列车按最小区间运行时间与最小停站时间开行的旅行时间之和；按两者之比由小到大顺序每次选择一个节拍单元，在有向图上为该节拍单元所有列车寻找其权重之和最少、且不与已确定完的节拍单元列车产生作业冲突的运行路径集；当依次确定完所有节拍单元列车运行路径即得到优化模型的一个可行解，计算各列车运行路径所含弧的权重之和，作为优化模型目标函数的一个上界值；其中，在加权有向图上为第w个节拍单元所有列车搜索权重之和最小、且不与已确定完的节拍单元列车产生作业冲突的运行路径集；
S404：若优化模型目标函数的下界值与上界值的相对误差小于给定的阈值，或者算法迭代次数达到给定的最大值，则基于步骤S403得到的可行解计算各节拍单元列车在各车站的到发时刻；否则，基于步骤S402得到的松弛解更新拉格朗日乘子，以及加权有向图中各弧的拉格朗日费用，返回至步骤S402。
2.根据权利要求1所述的优化方法，其特征在于，步骤S1包括以下步骤：
S101：将城际铁路线路网络的全天运营时间以分钟为单位进行离散化；
S102：对于每个离散的时间单元，为城际铁路线路网络上每个线路区间分别生成区间到达节点与区间出发节点，作为有向图节点；
S103：在所述有向图节点之间构造列车的停站弧、运行弧及转移弧，并分别设置列车停站弧、运行弧及转移弧的权重。
3.根据权利要求2所述的优化方法，其特征在于，步骤S103包括以下步骤：
S1031：以区间到达节点为起点，同区间下一时间单元到达节点为终点，构建停站弧，并将其权重设为1分钟；
S1032：以区间出发节点为起点，同区间下一时间单元出发节点为终点，构建运行弧，并将其权重设为1分钟；
S1033：以区间出发节点为起点，下一区间同时间单元到达节点为终点，构建列车由区间进入车站的转移弧；以区间到达节点为起点，同区间同时间单元出发节点为终点，构建列车由车站进入区间的转移弧；并将两类转移弧的权重均设为0分钟。
4.根据权利要求1所述的优化方法，其特征在于，步骤S2包括以下步骤：
S201：定义0-1决策变量xw,f(e)描述第w个节拍单元第f列列车是否经过弧e，若第w个节拍单元第f列列车经过弧e，则令xw,f(e)＝1；否则，令xw,f(e)＝0；
S202：以最小化所有节拍单元列车所经弧的权重之和作为优化模型，即：
Figure FDA0002318864540000021
其中，W为城际铁路网络上开行列车的节拍单元数量，mw与Ew分别为第w个节拍单元列车开行数量与经由的备选弧集合，c(e)为弧e的权重；
S203：确定优化模型的约束条件，包括：同节拍单元列车等时间间隔运行约束、列车区间最小运行时间与车站最小停站时间约束、列车流均衡约束、列车在区间的最小安全出发时间间隔约束、列车在区间的最小安全到达时间间隔约束以及车站最大同时停留列车数量约束。
5.根据权利要求4所述的优化方法，其特征在于，步骤S203中确定优化模型的约束条件包括：
S203A：同节拍单元列车等时间间隔运行约束：同节拍单元第f+1列与第f列列车到达任意区间的时间间隔为该节拍单元列车开行时间间隔，故有：
Figure FDA0002318864540000022
Figure FDA0002318864540000031
Figure FDA0002318864540000032
Figure FDA0002318864540000033
其中，
Figure FDA0002318864540000034
分别对应于区间(i,j)在时间单元t的到达节点与出发节点，Tw为第w类节拍单元列车开行时间间隔，
Figure FDA0002318864540000035
表示到达节点
Figure FDA0002318864540000036
至
Figure FDA0002318864540000037
之间的停站弧，
Figure FDA0002318864540000038
表示到达节点
Figure FDA0002318864540000039
至
Figure FDA00023188645400000310
之间的停站弧，
Figure FDA00023188645400000311
表示出发节点
Figure FDA00023188645400000312
至
Figure FDA00023188645400000313
之间的运行弧，
Figure FDA00023188645400000314
表示出发节点
Figure FDA00023188645400000315
至
Figure FDA00023188645400000316
之间的运行弧，
Figure FDA00023188645400000317
表示出发节点
Figure FDA00023188645400000318
至到达节点
Figure FDA00023188645400000319
之间的转移弧，
Figure FDA00023188645400000320
表示出发节点
Figure FDA00023188645400000321
至到达节点
Figure FDA00023188645400000322
之间的转移弧，
Figure FDA00023188645400000323
表示到达节点
Figure FDA00023188645400000324
至出发节点
Figure FDA00023188645400000325
之间的转移弧，
Figure FDA00023188645400000326
表示到达节点
Figure FDA00023188645400000327
至出发节点
Figure FDA00023188645400000328
之间的转移弧，T表示城际铁路运营时间所离散的时间单元数量；
S203B：列车区间最小运行时间与车站最小停站时间约束：任意列车在区间的运行时间不得低于规定的最小运行时间；同样，任意列车在车站的停留时间不小于规定供旅客上下车所要求的最小停站时间，若列车在车站无旅客上下车，则视其最小停站时间为0，故有：
Figure FDA00023188645400000329
Figure FDA00023188645400000330
其中，
Figure FDA00023188645400000331
表示第w个节拍单元列车在区间(i,j)∈Ew的最小运行时间，
Figure FDA00023188645400000332
表示第w类运行周期个节拍单元列车在车站i的最小停站时间；
S203C：列车流均衡约束：每列列车从一备选始发节点出发，在任意中间节点需要满足进出平衡，最终到达一备选终到节点，故有：
Figure FDA00023188645400000333
Figure FDA0002318864540000041
Figure FDA0002318864540000042
其中，
Figure FDA0002318864540000043
分别为第w个节拍单元列车的备选始发节点与终到节点集合，Nw为第w个节拍单元列车经过的备选节点集合，
Figure FDA0002318864540000044
与
Figure FDA0002318864540000045
分别为以节点n为起点与终点的弧集合；
S203D：列车在区间的最小安全出发时间间隔与到达时间间隔约束：任意两列进入同一区间列车的到达时间间隔不得小于其最小安全到达时间间隔；任意两列进入同一区间列车的出发时间间隔不得小于其最小出发时间间隔，故有：
Figure FDA0002318864540000046
Figure FDA0002318864540000047
其中，ATi,j,DTi,j分别为两列车在区间(i,j)的最小安全到达与出发时间间隔，E为有向图中弧集合，τ∈[1,T]为离散化的时间值；
S203E：车站最大同时停留列车数量约束：任意车站在同一时间停留的列车数量不大于该车站所能同时停留的最大列车数量，故有：
Figure FDA0002318864540000048
其中，Capj为车站j所能同时停留的最大列车数量，S为城际网络上车站集合。
6.根据权利要求5所述的优化方法，其特征在于，步骤S3中所生成的拉格朗日松弛模型如下：
Figure FDA0002318864540000049
Figure FDA0002318864540000051
并满足约束式(2)至(10)。
7.根据权利要求6所述的优化方法，其特征在于，进行步骤S402时，选择第w个节拍单元，在加权有向图上为该节拍单元的所有列车寻找其拉格朗日总费用最少路径集，包括以下步骤：
S4021：将第w个节拍单元列车的所有始发节点的标号值设为0，即对于任意始发节点
Figure FDA0002318864540000052
令其标号值
Figure FDA0002318864540000053
并添加到已完成标号节点集合
Figure FDA0002318864540000054
中，其中，rw为第w个节拍单元列车始发车站，时间单元t满足t≤T-(mw-1)×Tw；同时，剩余其它节点的标号值设为正无穷大；其中，T表示城际铁路运营时间所离散的时间单元数量，Tw为第w类节拍单元列车开行时间间隔，mw为第w个节拍单元列车开行数量；
S4022：从集合
Figure FDA0002318864540000055
中寻找标号值p(n)值最小的节点，记为n；若节点n为到达节点，则将其记为
Figure FDA0002318864540000056
转入执行步骤S4023；若节点n为出发节点，则将其记为
Figure FDA0002318864540000057
转入执行步骤S4024；
S4023：选择列车的停站弧
Figure FDA0002318864540000058
若满足
Figure FDA0002318864540000059
且t+1+(mw-1)×Tw≤T,则更新节点
Figure FDA00023188645400000510
的标号值为
Figure FDA00023188645400000511
及其前序节点
Figure FDA00023188645400000512
并将节点
Figure FDA00023188645400000513
添加至集合
Figure FDA00023188645400000514
中；选择转移弧
Figure FDA00023188645400000515
若满足
Figure FDA00023188645400000516
Figure FDA00023188645400000517
且
Figure FDA00023188645400000518
则更新节点
Figure FDA00023188645400000519
的标号值为
Figure FDA00023188645400000520
以及更新节点
Figure FDA00023188645400000521
的前序节点
Figure FDA00023188645400000522
与节点
Figure FDA00023188645400000523
的前序节点
Figure FDA00023188645400000524
Figure FDA00023188645400000525
并将节点
Figure FDA00023188645400000526
添加至集合
Figure FDA00023188645400000527
中；
S4024：选择列车的运行弧
Figure FDA00023188645400000528
若满足
Figure FDA00023188645400000529
且t+1+(mw-1)×Tw≤T,则更新节点
Figure FDA00023188645400000530
的标号值为
Figure FDA00023188645400000531
及其前序节点
Figure FDA00023188645400000532
并将节点
Figure FDA00023188645400000533
添加至集合
Figure FDA00023188645400000534
中；选择转移弧
Figure FDA00023188645400000535
若满足
Figure FDA00023188645400000536
Figure FDA00023188645400000537
且
Figure FDA00023188645400000538
则更新节点
Figure FDA00023188645400000539
的标号值为
Figure FDA00023188645400000540
以及更新节点
Figure FDA00023188645400000541
的前序节点
Figure FDA00023188645400000542
与节点
Figure FDA00023188645400000543
的前序节点
Figure FDA00023188645400000544
Figure FDA0002318864540000061
并将节点
Figure FDA0002318864540000062
添加至集合
Figure FDA0002318864540000063
中；
S4025：从集合
Figure FDA0002318864540000064
中删除当前选中节点n；若集合
Figure FDA0002318864540000065
为空，则选中该节拍单元列车标号值最小的终到节点，从开始回溯至起点获得一条最短路径作为该节拍单元第一列列车运行路径，而第f＝2,3,…,mw列列车运行路径在此基础上分别往后推1,2,…,mw-1倍开行时间间隔长度Tw获得；否则，返回步骤S4022。
8.根据权利要求7所述的优化方法，其特征在于，进行步骤S404时，基于得到的松弛解更新拉格朗日乘子以及加权有向图中弧的拉格朗日费用，包括以下步骤：
S4041：基于松弛解采用以下公式分别计算三组拉格朗日乘子在当前第g次迭代的次梯度：
Figure FDA0002318864540000066
Figure FDA0002318864540000067
Figure FDA0002318864540000068
其中，
Figure FDA0002318864540000069
为第g次迭代时乘子α(i,j,t)的次梯度，
Figure FDA00023188645400000610
为第g次迭代时乘子β(i,j,t)的次梯度，
Figure FDA00023188645400000611
为第g次迭代时乘子γ(j,t)的次梯度；ATi,j,DTi,j分别为两列车在区间(i,j)的最小安全到达与出发时间间隔；
S4042：基于次梯度按以下步骤更新三组拉格朗日乘子：
Figure FDA00023188645400000612
Figure FDA00023188645400000613
Figure FDA00023188645400000614
其中，αg+1(i,j,t),βg+1(i,j,t)及γg+1(j,t)分别为第g+1次迭代时乘子α(i,j,t)，β(i,j,t)与γ(j,t)取值；αg(i,j,t),βg(i,j,t)及γg(j,t)分别为第g次迭代时乘子α(i,j,t)，β(i,j,t)与γ(j,t)取值；
Figure FDA0002318864540000071
为当前第g次迭代的乘子更新步长；
S4043：基于更新的拉格朗日乘子采用以下方法更新各类弧的拉格朗日费用：
Figure FDA0002318864540000072
其中，L(e)为列车使用弧e的拉格朗日费用。
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