CN105677980A - 汽车驱动桥系统的模态综合动力学建模与分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种汽车驱动桥系统的模态综合动力学建模与分析方法，其特征在于，包括以下内容：1)建立驱动桥各部件的有限元模型，根据部件之间的连接关系定义边界节点，建立各部件的模态综合模型，求得各部件的模态综合刚度矩阵和质量矩阵；2)建立各部件连接关系模型；3)将各部件的模态综合刚度矩阵和质量矩阵按照连接关系组集，建立完整的驱动桥系统模态综合动力学模型，获得驱动桥系统的刚度矩阵和质量矩阵；4)计算驱动桥系统动力学模型的固有振动频率和正则振型，并采用模态叠加法计算主减速器齿轮动态啮合力激励下驱动桥系统的动力学响应。本发明整个建模过程具有较强的通用性，且具有较高的计算效率，可以广泛应用于齿轮传动系统的动力学分析中。

Description

汽车驱动桥系统的模态综合动力学建模与分析方法

技术领域

本发明是关于一种汽车驱动桥系统的模态综合动力学建模与分析方法，属于车辆传动技术领域。

背景技术

驱动桥是汽车的核心动力总成和主要振动噪声源，它在工作过程中产生的振动噪声会严重影响汽车可靠性、乘员舒适性和运输安全性。主减速器齿轮在啮合过程中产生的动态激励是驱动桥系统振动噪声的主要原因，主减速器齿轮、传动轴系、滚动轴承以及壳体等零部件之间的相互耦合作用对驱动桥系统的整体动力学性能具有非常重要的影响，要准确分析驱动桥系统的动力学特性，必须准确建立完整驱动桥系统的动力学模型，从而为驱动桥产品的设计分析提供有效指导。

现有研究大多采用集中参数模型对齿轮传动系统进行建模分析，虽然集中参数建模方法的计算效率较高，但是无法准确模拟驱动桥系统部件特征，尤其对壳体和轴承等部件的建模过于简化。由于驱动桥包含多个接触关系，如果采用有限元接触计算方法对驱动桥进行建模，系统模型的规模巨大，接触分析需要消耗大量的计算资源，求解效率和收敛性很低。现有研究采用空间梁单元对驱动桥进行动力学建模和分析，虽然能够较为理想的模拟传动系部件，但是无法准确体现齿轮、十字轴和差速器壳等部件特征。

发明内容

针对上述问题，本发明的目的是提供一种能够准确模拟驱动桥动力学特性同时能够大大缩减模型规模的汽车驱动桥系统的动力学建模与分析方法

为实现上述目的，本发明采取以下技术方案：一种汽车驱动桥系统的模态综合动力学建模与分析方法，其特征在于，包括以下内容：1)建立驱动桥各部件的有限元模型，根据部件之间的连接关系定义边界节点，建立各部件的模态综合模型，求得各部件的模态综合刚度矩阵和质量矩阵；2)建立各部件连接关系模型；3)将各部件的模态综合刚度矩阵和质量矩阵按照连接关系组集，建立完整的驱动桥系统模态综合动力学模型，获得驱动桥系统的刚度矩阵和质量矩阵；4)计算驱动桥系统动力学模型的固有振动频率和正则振型，并采用模态叠加法计算主减速器齿轮动态啮合力激励下驱动桥系统的动力学响应。

进一步，步骤1)中驱动桥各部件包括传动轴凸缘、主动齿轮轴、从动齿轮、差速器壳、十字轴、行星轮、左太阳轮、右太阳、左半轴、右半轴、左车轮、右车轮以及桥壳，其中，有限元模型的单元类型采用四节点四面体单元。

进一步，步骤1)中各部件的模态综合刚度矩阵和质量矩阵的计算时采用固定界面模态综合法对有限元模型进行缩维，缩维后的模态综合刚度矩阵K′和模态综合质量矩阵M′表示为：

$K^{\′}={\mathrm{\Φ}}^{T}K\mathrm{\Φ}=\left[\begin{array}{cc}{k}_{cc}& k_{cn}\\ k_{nc}& k_{nn}\end{array}\right]$

$M^{\′}={\mathrm{\Φ}}^{T}M\mathrm{\Φ}=\left[\begin{array}{cc}{m}_{cc}& m_{cn}\\ m_{nc}& m_{nn}\end{array}\right]$

式中，K和M分别为原有限元模型的刚度矩阵和质量矩阵；k_cc为边界自由度对应的刚度矩阵；k_nc和k_cn为边界自由度与主模态自由度之间的刚度耦合项；k_nn为主模态自由度对应的刚度矩阵；m_cc为边界自由度对应的质量矩阵；m_nc和m_cn为边界自由度与主模态自由度之间的质量耦合项；m_nn为主模态自由度对应的质量矩阵；Φ为模态综合变换矩阵。

进一步，步骤2)中各部件连接关系包括壳体与传动系之间的滚子轴承连接关系，主减速器齿轮和差速器齿轮啮合关系，传动轴凸缘与主动齿轮轴之间的花键连接关系、太阳轮与半轴之间的花键连接关系，太阳轮与差速器壳之间的垫片连接关系，十字轴与行星轮之间的旋转副连接关系、十字轴与差速器壳之间的十字轴孔连接关系。

进一步，步骤2)中建立各部件连接关系模型，包括以下内容：2.1)滚子轴承采用解析形式的非线性滚子轴承单元模拟；2.2)主减速器齿轮的等效啮合参数采用有限元接触分析方法求得；2.3)其他连接关系均采用线性弹簧单元模拟。

进一步，步骤3)建立的完整驱动桥系统模态综合模型的动力学模型表示为：

$M_M{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\δ}}}_M+C_M{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_M+K_M{\mathrm{\δ}}_M=F_d$

式中，δ_M、和分别代表驱动桥模态综合模型自由度的位移向量、速度向量和加速度向量；F_d为系统动态激振力向量；K_M为驱动桥模态综合刚度矩阵；M_M为驱动桥模态综合质量矩阵；C_M为系统模态综合模型的阻尼矩阵。

进一步，步骤4)计算驱动桥系统动力学模型的固有振动频率和正则振型，并采用模态叠加法计算主减速器齿轮动态啮合力激励下驱动桥系统的动力学响应，具体为：4.1)主减速器齿轮的动态啮合力采用有限元接触分析方法求得，齿轮啮合力在一个周期内的离散数据表示为：

$F_{dg}\left(t\right)=F_{dg0}+\underset{k=1}{\overset{N_F}{\mathrm{\Σ}}}H\left(k\right)cos\[2{\mathrm{\πkf}}_{0}t+\mathrm{\Φ}\left(k\right)\]$

式中，F_dg0为直流分量；N_F为谐波总阶数；H(k)和Φ(k)分别为第k阶谐波对应的幅值和相位；f₀为齿轮啮合基频；4.2)将各阶谐波啮合力表示为复数形式，分别施加在驱动桥模态综合模型主动齿轮和从动齿轮等效啮合边界点上，主动齿轮和从动齿轮啮合力大小相等，方向相反，假设第k阶齿轮激振频率对应的系统简谐激振力为F_dk(t)，采用模态叠加法计算各阶齿轮激振力对应的系统稳态时域位移响应，表示为：

${\mathrm{\δ}}_{Mk}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{{\mathrm{\φ}}_i^T{F}_{dk}\left(t\right){\mathrm{\φ}}_i}{{\mathrm{\ω}}_i^2\[1-{\mathrm{\λ}}_i^2+2{\mathrm{j\ξ}}_i{\mathrm{\λ}}_i\]}$

式中，ω和φ分别为驱动桥系统的固有振动频率和正则振型；ω_dk为齿轮啮合力第k阶激振频率；ω_i为驱动桥系统的第i阶固有振动频率；λ_i＝ω_dk/ω_i为第i阶频率比；ξ_i为第i阶模态阻尼比；n为模态叠加法保留的系统模态阶数；4.3)驱动桥系统总位移响应为各阶齿轮激振力对应的系统稳态位移响应的叠加，表示为：

${\mathrm{\δ}}_M\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{N_F}{\Σ}}{\mathrm{\δ}}_{Mk}\left(t\right)$

式中，N_F为动态啮合力包含的频率阶数。

本发明由于采取以上技术方案，其具有以下优点：1、本发明将各部件的模态综合刚度矩阵和质量矩阵按照连接关系组集，建立完整的驱动桥系统模态综合动力学模型，不仅能够准确模拟驱动桥系统部件，而且能够大大缩减模型规模，快速实现对驱动桥系统的动力学分析。2、本发明采用有限元接触分析方法求得的主减速器齿轮等效啮合参数能够准确模拟主减速器齿轮的啮合特性和齿轮对驱动桥系统的动态激励，能够准确高效地实现驱动桥系统的动力学建模和分析，为驱动桥的减振降噪设计提供有效指导。本发明整个建模过程具有较强的通用性，且具有较高的计算效率，可以广泛应用于齿轮传动系统的动力学分析中。

附图说明

图1是本发明的方法流程示意图；

图2是典型驱动桥系统的传动系示意图；

图3是本发明的传动轴凸缘有限元模型示意图；

图4是本发明的主动齿轮轴有限元模型示意图；

图5是本发明的从动齿轮和差速器壳有限元模型示意图；

图6是本发明的十字轴有限元模型示意图；

图7是本发明的行星轮有限元模型示意图；

图8是本发明的太阳轮有限元模型示意图；

图9是本发明的半轴和车轮有限元模型示意图；

图10是本发明的壳体有限元模型示意图；

图11是本发明的桥壳表面节点的时域法向振动加速度曲线图；

图12是本发明的后盖表面节点的时域法向振动加速度曲线图；

图中标记为：1传动轴凸缘，2主动齿轮轴，3从动齿轮，4差速器壳，5十字轴，6行星轮，7左太阳轮，8右太阳轮，9左半轴，10右半轴，11左车轮，12右车轮，13输入端等效弹簧，14输出端等效弹簧，15输入端等效圆盘，16输出端等效圆盘，17主动齿轮轴前端圆柱滚子轴承，18主动齿轮轴中部圆锥滚子轴承，19主动齿轮轴后圆锥滚子轴承，20差速器左侧圆锥滚子轴承，21差速器右侧圆锥滚子轴承，22左/右车轮内侧圆锥滚子轴承，23左/右车轮外侧圆锥滚子轴承，a输入转矩作用点，b输出转矩作用点。

具体实施方式

以下结合附图来对本发明进行详细的描绘。然而应当理解，附图的提供仅为了更好地理解本发明，它们不应该理解成对本发明的限制。

如图1所示，本发明的汽车驱动桥系统的模态综合动力学建模与分析方法，包括以下内容：

1、建立驱动桥各部件的体单元有限元模型，根据部件之间的连接关系定义边界节点，建立各部件的模态综合模型，求得各部件的模态综合刚度矩阵和质量矩阵。

如图2所示，本发明实例中进行有限元建模的驱动桥各部件包括传动轴凸缘1、主动齿轮轴2、从动齿轮3、差速器壳4、十字轴5、行星轮6、左太阳轮7、右太阳轮8、左半轴9、右半轴10、左车轮11、右车轮12以及桥壳。

1.1)建立驱动桥各部件的有限元模型，有限元模型的单元类型采用四节点四面体单元，材料参数为部件的真实材料参数。

1.2)为了实现模态综合模型之间的连接，在有限元模型的连接位置建立独立的边界节点，以边界节点作为主节点，采用刚性连接单元与部件模型的节点耦合。从动齿轮3与差速器壳4有限元模型采用共用节点的方法连接，左半轴9与左车轮11、右半轴10与右车轮12模型同样采用共用节点的方式连接，用来模拟螺栓连接。

驱动桥各部件模型的边界节点可以根据实际需要进行定义，不限于此，本发明实施例中的驱动桥各部件模型的边界节点定义如下：传动轴凸缘1有限元模型有两个边界节点，1号节点为花键连接节点，2号节点为输入转矩加载点，输入端的等效惯量和扭转刚度也施加在该节点上；主动齿轮轴2有限元模型有5个边界节点，1～3号节点为轴承连接点，4号节点为齿轮等效啮合节点，5号节点为花键连接节点；从动齿轮3和差速器壳4有限元模型共有9个边界节点，1～2号节点为轴承连接节点，3号节点为齿轮等效啮合节点，4～5号节点为垫片连接节点，6～9号节点为十字轴孔连接节点；十字轴5有限元模型有8个边界节点，1～4号节点为行星轮旋转副连接节点，5～8号节点为差速器壳十字轴孔连接节点；每个行星轮6模型有3个边界节点，1～2号节点为等效啮合节点，3号节点为旋转副连接节点；每个太阳轮模型有6个边界节点，1～4号节点为等效啮合节点，5号节点为花键连接节点，6号节点为差速器壳垫片连接节点；左、右两侧半轴和车轮有限元模型均有4个边界节点，1～2号节点为内、外侧轴承连接节点耦合，3号节点为花键连接节点，4号节点为输出转矩加载点；壳体有限元模型共有9个轴承连接边界节点，建立在轴承的中心位置，并分别通过刚性连接单元与轴承座表面的节点耦合，计算时也可根据需要另外建立边界节点。

1.3)采用固定界面模态综合法对有限元模型进行缩维，仅保留边界节点自由度和一定数量的模态自由度，求得各部件的模态综合刚度矩阵和质量矩阵。

固定界面模态综合法将原模型大量物理节点自由度用少量模态自由度表示，缩维后的模态综合刚度矩阵K′和模态综合质量矩阵M′表示为：

$K^{\′}={\mathrm{\Φ}}^{T}K\mathrm{\Φ}=\left[\begin{array}{cc}{k}_{cc}& k_{cn}\\ k_{nc}& k_{nn}\end{array}\right]$

$M^{\′}={\mathrm{\Φ}}^{T}M\mathrm{\Φ}=\left[\begin{array}{cc}{m}_{cc}& m_{cn}\\ m_{nc}& m_{nn}\end{array}\right]$

式中，K和M分别为原有限元模型的刚度矩阵和质量矩阵；k_cc为边界自由度对应的刚度矩阵；k_nc和k_cn为边界自由度与主模态自由度之间的刚度耦合项；k_nn为主模态自由度对应的刚度矩阵；m_cc为边界自由度对应的质量矩阵；m_nc和m_cn为边界自由度与主模态自由度之间的质量耦合项；m_nn为主模态自由度对应的质量矩阵；Φ为模态综合变换矩阵，表示为：

式中，I为单位矩阵； 为主模态特征向量。

2、建立各部件连接关系模型，各部件连接关系包括壳体与传动系之间的滚子轴承连接关系，主减速器齿轮和差速器齿轮啮合关系，传动轴凸缘与主动齿轮轴之间的花键连接关系、太阳轮与半轴之间的花键连接关系，太阳轮与差速器壳之间的垫片连接关系，十字轴与行星轮之间的旋转副连接关系、十字轴与差速器壳之间的十字轴孔连接关系，具体为：

2.1)滚子轴承采用解析形式的非线性滚子轴承单元模拟，轴承的局部坐标系原点取在轴承中心位置，圆锥滚子轴承的轴向压紧方向为z轴正向，x轴和y轴为径向方向，满足右手坐标系原则，轴承的非线性刚度矩阵表示为：

$K_b=\left[\begin{array}{cccccc}\frac{\∂F_{bx}}{\∂{\mathrm{\δ}}_{bx}}& \frac{\∂F_{bx}}{\∂{\mathrm{\δ}}_{by}}& \frac{\∂F_{bx}}{\∂{\mathrm{\δ}}_{bz}}& \frac{\∂F_{bx}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{bx}}& \frac{\∂F_{bx}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{by}}& 0\\ \frac{\∂F_{by}}{\∂{\mathrm{\δ}}_{bx}}& \frac{\∂F_{by}}{\∂{\mathrm{\δ}}_{by}}& \frac{\∂F_{by}}{\∂{\mathrm{\δ}}_{bz}}& \frac{\∂F_{by}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{bx}}& \frac{\∂F_{by}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{by}}& 0\\ \frac{\∂F_{bz}}{\∂{\mathrm{\δ}}_{bx}}& \frac{\∂F_{bz}}{\∂{\mathrm{\δ}}_{by}}& \frac{\∂F_{bz}}{\∂{\mathrm{\δ}}_{bz}}& \frac{\∂F_{bz}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{bx}}& \frac{\∂F_{bz}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{by}}& 0\\ \frac{\∂M_{bx}}{\∂{\mathrm{\δ}}_{bx}}& \frac{\∂M_{bx}}{\∂{\mathrm{\δ}}_{by}}& \frac{\∂M_{bx}}{\∂{\mathrm{\δ}}_{bz}}& \frac{\∂M_{bx}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{bx}}& \frac{\∂M_{bx}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{by}}& 0\\ \frac{\∂M_{by}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{bx}}& \frac{\∂M_{by}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{by}}& \frac{\∂M_{by}}{\∂{\mathrm{\δ}}_{bz}}& \frac{\∂M_{by}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{bx}}& \frac{\∂M_{by}}{\∂{\mathrm{\θ}}_{by}}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

式中，F_bx和F_by为轴承内外圈之间传递的径向力；F_bz为轴承所承受的轴向力；M_bx和M_by分别为轴承受到的绕x轴和y轴的力矩；δ_bx和δ_by为轴承内外圈中心的相对径向变形；δ_bz为轴承内外圈中心的相对轴向变形；θ_bx和θ_by为轴承内外圈中心绕x和y轴的相对角变形。

2.2)主减速器齿轮的等效啮合参数采用有限元接触分析方法求得，等效啮合参数包括等效啮合点的坐标、等效啮合力和等效啮合刚度。

齿轮的等效啮合刚度矩阵表示为：

$K_m=k_m\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{hh}}^T& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

式中，k_m为等效啮合刚度；h为等效啮合力单位向量。

本发明可以采用中心差分法计算转矩T对应的啮合刚度k_m表示为：

$k_m\left({\mathrm{\θ}}_p\right)={\mathrm{\ΔF}}_m\left({\mathrm{\θ}}_p\right)/{\mathrm{\Δ\δ}}_m\left({\mathrm{\θ}}_p\right)=\frac{1}{2}\[\frac{F_m^T-F_m^{T-\mathrm{\Δ}T}}{e_L^T-e_L^{T-\mathrm{\Δ}T}}+\frac{F_m^{T+\mathrm{\Δ}T}-F_m^T}{e_L^{T+\mathrm{\Δ}T}-e_L^T}\]$

式中，θ_p为某时刻主动齿轮的转角；和分别为对应转矩下的随主动齿轮转角θ_p变化的等效啮合力；和分别为对应转矩下的随主动齿轮转角θ_p变化的等效啮合力方向上的线位移传动误差；ΔT为一个较小的转矩变化量。

2.3)其他连接关系，例如：传动轴凸缘与主动齿轮轴之间的花键连接关系、太阳轮与半轴之间的花键连接关系、十字轴与差速器壳十字轴孔之间的连接关系、十字轴与行星轮之间的旋转副连接关系以及太阳轮与差速器壳之间的垫片连接关系；均采用线性弹簧单元模拟，以对角刚度矩阵的形式在系统模型中体现，刚度矩阵表示为：

K_c＝diag([k_δXk_δYk_δZk_θXk_θYk_θZ])

式中，k_δX、k_δY和k_δZ为各方向平动刚度；k_θX、k_θY和k_θZ为各方向转动刚度。

3、将各部件的模态综合刚度矩阵和质量矩阵按照连接关系组集，建立完整的驱动桥系统模态综合动力学模型，获得驱动桥系统的刚度矩阵和质量矩阵；

假设部件A与部件B的模态综合模型之间存在连接关系，设连接单元的刚度矩阵为K_C，则边界节点自由度刚度项K_A和K_B的耦合关系表示为：

由于滚动轴承的非线性特性，需要先通过静力学计算求得静平衡时的轴承切线刚度矩阵，驱动桥系统非线性静力学方程表示为：

K₀(δ₀)δ₀＝F₀

式中，K₀(δ₀)为驱动桥系统非线性刚度矩阵；δ₀为系统模型节点自由度的静变形向量；F₀为系统外载荷向量。

在本实施例中，输入转矩施加在传动轴凸缘1加载边界节点上(输入转矩作用点a)，约束车轮输出端加载边界节点(输出转矩作用点b)的轴向转动自由度，采用牛顿-拉夫逊方法迭代求解，迭代过程表示为：

${\mathrm{\δ}}_0^k={\mathrm{\δ}}_0^{k-1}-K_0^t{\left({\mathrm{\δ}}_0^{k-1}\right)}^{-1}\[F_0^{k-1}-F_0\]$

式中，和分别表示第k-1次和第k次迭代后的系统位移向量；为第k-1次迭代后系统位移向量对应的系统切线刚度矩阵；为第k-1次迭代后的系统载荷向量，相邻两次迭代位移之差的平方和小于容差时计算收敛。

将上述系统平衡时的轴承刚度矩阵K_b作为动力学模型的线性轴承刚度，建立的完整驱动桥系统模态综合模型的动力学方程表示为：

$M_M{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\δ}}}_M+C_M{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_M+K_M{\mathrm{\δ}}_M=F_d$

式中，δ_M、和分别代表驱动桥模态综合模型自由度的位移向量、速度向量和加速度向量；F_d为系统动态激振力向量；K_M为驱动桥模态综合刚度矩阵，由各部件的模态综合刚度矩阵、轴承切线刚度矩阵K_b、准双曲面齿轮啮合刚度矩阵K_m、差速器齿轮啮合刚度矩阵K_dm、连接部件刚度矩阵、输入端刚度矩阵(输入端等效弹簧13的扭转刚度)K_in、左输出端刚度矩阵(左输出端等效弹簧14的扭转刚度)K_oL和右输出端刚度矩阵(右输出端等效弹簧14的扭转刚度)K_oR组集而成；M_M为驱动桥模态综合质量矩阵，由各部件的模态综合质量矩阵、输入端质量矩阵(输入端等效圆盘15的转动惯量)M_in、左输出端质量矩阵(左输出端等效圆盘16的转动惯量)M_oL和右输出端质量矩阵(右输出端等效圆盘16的转动惯量)M_oR组集而成；C_M为系统模态综合模型的阻尼矩阵，以模态阻尼比的形式体现。

4、计算驱动桥系统动力学模型的固有振动频率和正则振型，并采用模态叠加法计算主减速器齿轮动态啮合力激励下驱动桥系统的动力学响应。

4.1)主减速器齿轮的动态啮合力采用有限元接触分析方法求得，齿轮啮合力在一个周期内的离散数据可以表示为：

$F_{dg}\left(t\right)=F_{dg0}+\underset{k=1}{\overset{N_F}{\mathrm{\Σ}}}H\left(k\right)\cos \[2{\mathrm{\πkf}}_{0}t+\mathrm{\Φ}\left(k\right)\]$

式中，F_dg0为直流分量，等于齿轮啮合力的平均值；N_F为谐波总阶数；H(k)和Φ(k)分别为第k阶谐波对应的幅值和相位；f₀为齿轮啮合基频。

4.2)将各阶谐波啮合力表示为复数形式，分别施加在驱动桥模态综合模型主动齿轮和从动齿轮等效啮合边界点上，主动齿轮和从动齿轮啮合力大小相等，方向相反。假设第k阶齿轮激振频率对应的系统简谐激振力为F_dk(t)，采用模态叠加法计算各阶齿轮激振力对应的系统稳态时域位移响应，表示为：

${\mathrm{\δ}}_{Mk}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{{\mathrm{\φ}}_i^T{F}_{dk}\left(t\right){\mathrm{\φ}}_i}{{\mathrm{\ω}}_i^2\[1-{\mathrm{\λ}}_i^2+2{\mathrm{j\ξ}}_i{\mathrm{\λ}}_i\]}$

式中，ω和φ分别为驱动桥系统的固有振动频率和正则振型；ω_dk为齿轮啮合力第k阶激振频率；ω_i为驱动桥系统的第i阶固有振动频率；λ_i＝ω_dk/ω_i为第i阶频率比；ξ_i为第i阶模态阻尼比；n为模态叠加法保留的系统模态阶数。

4.3)驱动桥系统总位移响应为各阶齿轮激振力对应的系统稳态位移响应的叠加，表示为：

${\mathrm{\δ}}_M\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{N_F}{\Σ}}{\mathrm{\δ}}_{Mk}\left(t\right)$

式中，N_F为动态啮合力包含的频率阶数。在本实施例中，系统节点自由度的振动加速度为

下面通过具体实施例详细说明本发明的汽车驱动桥系统的模态综合动力学建模与分析方法的效果。

以如图2所示的典型商用车后驱动桥为例，系统模型的全局坐标系原点O位于轮间差速器十字轴中心，X轴正向定义为汽车的前进方向，发动机后置，Y轴正向指向左侧，Z轴正向竖直向上，计算工况为滑行工况，对应的输入转矩T_p＝-1257N·m，输入转速为1671r/min。

1)建立驱动桥系统各部件的体单元有限元模型：

如图3～10所示，单元大小为4mm～8mm，并根据连接关系建立各部件有限元模型的边界节点。采用固定界面模态综合法求得各部件的模态综合刚度矩阵和质量矩阵，模态综合模型的边界节点数、主模态自由度数和主模态截断频率如表1所示。其中壳体模型除了定义9个轴承连接边界节点，还分别在桥壳和后盖定义了振动加速度测点对应的边界节点，如图10所示的桥壳上方测点和后盖测点。

表1模态综合模型信息

2)建立非线性滚子轴承模型，主动齿轮轴前端圆柱滚子轴承17平均直径为67mm，滚子数为13，滚子直径为16mm，滚子有效长度为19mm；主动齿轮轴中部圆锥滚子轴承18平均直径为117.5mm，滚子数为15，滚子直径为22.6mm，滚子有效长度为39.556mm，轴承接触角为25°；主动齿轮轴后端圆锥滚子轴承19平均直径为95mm，滚子数为16，滚子直径为17.18mm，滚子有效长度为19.8mm，轴承接触角为28.81°；差速器壳左侧圆锥滚子轴承20平均直径为132.5mm，滚子数为28，滚子直径为13.4mm，滚子有效长度为23.48mm，轴承接触角为16.5°；差速器壳右侧圆锥滚子轴承21平均直径为132.5mm，滚子数为28，滚子直径为13.74mm，滚子有效长度为29.76mm，轴承接触角为10.67°；左、右车轮内侧圆锥滚子轴承22平均直径为155mm，滚子数为20，滚子直径为22.944mm，滚子有效长度为26.6mm，轴承接触角为16°；左、右车轮外侧圆锥滚子轴承23平均直径为120mm，滚子数为28，滚子直径为12.617mm，滚子有效长度为29.3mm，轴承接触角为10.5°。计算时，轴承材料的弹性模量取210GPa，泊松比取0.3，基于上述参数可以求得每个滚子轴承的刚度矩阵。

主减速器齿轮为准双曲面齿轮，齿轮参数如表2所示，有限元接触分析求得该转矩工况下的齿轮等效啮合参数如表3所示。

表2准双曲面齿轮参数

表3准双曲面齿轮等效啮合参数

3)将各部件的模态综合度矩阵和质量矩阵按照连接关系组集，获得驱动桥系统的刚度矩阵和质量矩阵，先通过静力学计算求得平衡时的轴承切线刚度矩阵，迭代计算收敛容差为10^-5mm，迭代10次计算收敛，将该系统平衡时的轴承刚度矩阵K_b作为动力学模型的线性轴承刚度。

4)基于驱动桥系统的模态综合刚度矩阵和质量矩阵，计算系统固有振动频率和正则振型，采用模态叠加法计算准双曲面齿轮动态啮合力激励下的动力学响应，输入转速1671r/min对应的齿轮基频为195Hz，求得桥壳和后盖测点的法向振动加速度曲线如图11和图12所示，与试验结果的均方根值对比如表4所示。

表4法向振动加速度均方根值

综上所述，本发明适用于汽车驱动桥系统的动力学建模和分析中，能够准确高效地实现驱动桥系统的动力学建模和计算分析，为驱动桥的减振降噪设计提供有效指导，并可应用于其他齿轮传动系统。

上述各实施例仅用于说明本发明，其中方法的各实施例步骤都是可以有所变化的，凡是在本发明技术方案的基础上进行的等同变换和改进，均不应排除在本发明的保护范围之外。

Claims (7)

1.一种汽车驱动桥系统的模态综合动力学建模与分析方法，其特征在于，包括以下内容：

1)建立驱动桥各部件的有限元模型，根据部件之间的连接关系定义边界节点，建立各部件的模态综合模型，求得各部件的模态综合刚度矩阵和质量矩阵；

2)建立各部件连接关系模型；

3)将各部件的模态综合刚度矩阵和质量矩阵按照连接关系组集，建立完整的驱动桥系统模态综合动力学模型，获得驱动桥系统的刚度矩阵和质量矩阵；

4)计算驱动桥系统动力学模型的固有振动频率和正则振型，并采用模态叠加法计算主减速器齿轮动态啮合力激励下驱动桥系统的动力学响应。

2.如权利要求1所述的汽车驱动桥系统的模态综合动力学建模与分析方法，其特征在于，步骤1)中驱动桥各部件包括传动轴凸缘、主动齿轮轴、从动齿轮、差速器壳、十字轴、行星轮、左太阳轮、右太阳、左半轴、右半轴、左车轮、右车轮以及桥壳，其中，有限元模型的单元类型采用四节点四面体单元。

3.如权利要求1所述的汽车驱动桥系统的模态综合动力学建模与分析方法，其特征在于，步骤1)中各部件的模态综合刚度矩阵和质量矩阵的计算时采用固定界面模态综合法对有限元模型进行缩维，缩维后的模态综合刚度矩阵K′和模态综合质量矩阵M′表示为：

$K^{\′}={\mathrm{\Φ}}^{T}K\mathrm{\Φ}=\left[\begin{array}{cc}{k}_{cc}& k_{cn}\\ k_{nc}& k_{nn}\end{array}\right]$

$M^{\′}={\mathrm{\Φ}}^{T}M\mathrm{\Φ}=\left[\begin{array}{cc}{m}_{cc}& m_{cn}\\ m_{nc}& m_{nn}\end{array}\right]$

式中，K和M分别为原有限元模型的刚度矩阵和质量矩阵；k_cc为边界自由度对应的刚度矩阵；k_nc和k_cn为边界自由度与主模态自由度之间的刚度耦合项；k_nn为主模态自由度对应的刚度矩阵；m_cc为边界自由度对应的质量矩阵；m_nc和m_cn为边界自由度与主模态自由度之间的质量耦合项；m_nn为主模态自由度对应的质量矩阵；Φ为模态综合变换矩阵。

4.如权利要求1或2或3所述的汽车驱动桥系统的模态综合动力学建模与分析方法，其特征在于，步骤2)中各部件连接关系包括壳体与传动系之间的滚子轴承连接关系，主减速器齿轮和差速器齿轮啮合关系，传动轴凸缘与主动齿轮轴之间的花键连接关系、太阳轮与半轴之间的花键连接关系，太阳轮与差速器壳之间的垫片连接关系，十字轴与行星轮之间的旋转副连接关系、十字轴与差速器壳之间的十字轴孔连接关系。

5.如权利要求4所述的汽车驱动桥系统的模态综合动力学建模与分析方法，其特征在于，步骤2)中建立各部件连接关系模型，包括以下内容：

2.1)滚子轴承采用解析形式的非线性滚子轴承单元模拟；

2.2)主减速器齿轮的等效啮合参数采用有限元接触分析方法求得；

2.3)其他连接关系均采用线性弹簧单元模拟。

6.如权利要求1或2或3或5所述的汽车驱动桥系统的模态综合动力学建模与分析方法，其特征在于，步骤3)建立的完整驱动桥系统模态综合模型的动力学模型表示为：

$M_M{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\δ}}}_M+C_M{\stackrel{\·}{\mathrm{\δ}}}_M+K_M{\mathrm{\δ}}_M=F_d$

式中，δ_M、和分别代表驱动桥模态综合模型自由度的位移向量、速度向量和加速度向量；F_d为系统动态激振力向量；K_M为驱动桥模态综合刚度矩阵；M_M为驱动桥模态综合质量矩阵；C_M为系统模态综合模型的阻尼矩阵。

7.如权利要求1或2或3或5所述的汽车驱动桥系统的模态综合动力学建模与分析方法，其特征在于，步骤4)计算驱动桥系统动力学模型的固有振动频率和正则振型，并采用模态叠加法计算主减速器齿轮动态啮合力激励下驱动桥系统的动力学响应，具体为：

4.1)主减速器齿轮的动态啮合力采用有限元接触分析方法求得，齿轮啮合力在一个周期内的离散数据表示为：

$F_{dg}\left(t\right)=F_{dg0}+\underset{k=1}{\overset{N_F}{\Σ}}H\left(k\right)cos\[2{\mathrm{\πkf}}_{0}t+\mathrm{\Φ}\left(k\right)\]$

式中，F_dg0为直流分量；N_F为谐波总阶数；H(k)和Φ(k)分别为第k阶谐波对应的幅值和相位；f₀为齿轮啮合基频；

4.2)将各阶谐波啮合力表示为复数形式，分别施加在驱动桥模态综合模型主动齿轮和从动齿轮等效啮合边界点上，主动齿轮和从动齿轮啮合力大小相等，方向相反，假设第k阶齿轮激振频率对应的系统简谐激振力为F_dk(t)，采用模态叠加法计算各阶齿轮激振力对应的系统稳态时域位移响应，表示为：

${\mathrm{\δ}}_{Mk}\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{{\mathrm{\φ}}_i^T{F}_{dk}\left(t\right){\mathrm{\φ}}_i}{{\mathrm{\ω}}_i^2\[1-{\mathrm{\λ}}_i^2+2{\mathrm{j\ξ}}_i{\mathrm{\λ}}_i\]}$

式中，ω和φ分别为驱动桥系统的固有振动频率和正则振型；ω_dk为齿轮啮合力第k阶激振频率；ω_i为驱动桥系统的第i阶固有振动频率；λ_i＝ω_dk/ω_i为第i阶频率比；ξ_i为第i阶模态阻尼比；n为模态叠加法保留的系统模态阶数；

4.3)驱动桥系统总位移响应为各阶齿轮激振力对应的系统稳态位移响应的叠加，表示为：

${\mathrm{\δ}}_M\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{N_F}{\Σ}}{\mathrm{\δ}}_{Mk}\left(t\right)$

式中，N_F为动态啮合力包含的频率阶数。