CN105629721A - 基于指令滤波Backstepping二阶非线性系统无模型控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明首先提出两种感测器，ESO和NNO，并依赖于观测器性能，我们提出了两个新的自适应指令滤波backstepping无模型控制方法并将其应用在船舶电力系统以抑制混沌运动。提出的两个无模型自适应指令滤波backstepping控制主要解决了三个问题。1)不需要知道速度信号。所提出的控制算法可以实现无速度传感器的闭环稳定。2)控制方法不需要系统动态数学模型。3)所提出的两种控制可以消除“虚拟控制”和控制饱和的影响。此外，对于闭环控制系统，给出了稳定性分析。仿真结果表明，该方法既保证了二阶非线性系统的闭环系统的稳定，同样能够估计速度状态和辨识未知的动态模型。

Description

基于指令滤波Backstepping二阶非线性系统无模型控制方法

技术领域

本发明涉及二阶非线性系统无模型控制方法领域，特别是涉及基于指令滤波Backstepping二阶非线性系统无模型控制方法。

背景技术

二阶系统广泛存在于实际系统中，如机器人系统，飞行器等。许多高阶系统在一定的条件下，常常近似地作为二阶系统来研究。所以研究二阶系统的无模型控制具有现实意义，另外一方面由于非线性现象广泛存在于现实系统中，针对二阶系统的无模型控制技术的研究比线性二阶系统的无模型控制技术的研究意义来的更为重要。

Backstepping设计方法是针对不确定性系统的一种系统化的控制器综合方法，是将Lyapunov函数的选取与控制器的设计相结合的一种回归设计方法。它通过从系统的最低阶次微分方程开始，引入虚拟控制的概念，一步一步设计满足要求的虚拟控制，最终设计出真正的控制律。Backstepping方法在处理非线性控制问题方面所具有的独特的优越性，近年来引起了众多学者的极大关注。Backstepping的基本设计思想是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统，然后单独设计每个子系统的部分Lyapunov函数，在保证子系统具有一定收敛性的基础上获得子系统的虚拟控制律，在下一个子系统的设计中，将上一个子系统的虚拟控制律作为这个子系统的跟踪目标。相似于上个子系统的设计，获得该子系统的虚拟控制律；以此类推，最终获得整个闭环系统的实际控制律，且结合Lyapunov稳定性分析方法来保证闭环系统的收敛性。传统的backstepping控制存在饱和问题和控制胀差。因此，Farrell等引入了约束指令滤波器自适应backstepping控制系统，指令过滤器是用来消除“虚拟控制”和控制饱和的影响。

扩展状态观测器(extendedstateobserver,ESO)和神经网络观测器(NerualNetworkObserver，NNO)用来解决模型未知部分和外部未知扰动综合对控制对象的影响。ESO和NNO与普通的状态观测器不同。它们通过设计一个扩展的状态量来跟踪模型未知部分和外部未知扰动的影响。然后给出控制量补偿这些扰动。将控制对象变为普通的积分串联型控制对象。设计ESO和NNO的目的就是观测扩展出来的状态变量，用来估计未知扰动和控制对象未建模部分，实现动态系统的反馈线性化。

发明内容

为了解决上述存在的问题，本发明提供一种基于指令滤波Backstepping二阶非线性系统无模型控制方法，本发明结合利用ESO和NNO实现二阶非线性系统未知模型和外部扰动的估计，并统一了两者的形式，基于两者的统一形式，设计指令滤波Backstepping控制器，所设计的控制器无需被控对象的数学模型和状态信息，通过对象的输入输出数据辨识被控对象的状态信息和模型信息，并给予辨识得到的对象信息实现控制器的设计，并进行相应的理论分析，为达此目的，本发明提供基于指令滤波Backstepping二阶非线性系统无模型控制方法：

步骤一本发明模型辨识和状态估计：

考虑如下未知的二阶非线性系统：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=f\left(x\right)+u\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(2.1\right);$

其中：f(x)为一个未知函数，且状态x₂不可测量；

本申请给出了两种方法来估计f(x)和(2.1)的状态x₂，一个是扩展的状态观测器方法，另一个是神经网络观测器方法；

步骤二扩展的状态观测器设计；

所述扩展的状态观测器为设计三阶扩展的状态观测器，这是用来估计状态x2和未知函数f(x)，确定未知函数f(x)作为一个扩展的状态x₃。令x₃＝f(x)，其中，ρ(t)是一个未知函数。我们假设

系统(2.1)等价于：

为了估计状态x₂和未知函数f(x)，我们设计了如下三阶扩展的状态观测器：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2-l_1{e}_1\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_2={\hat{x}}_3+u-l_{2}fal(e_1,{\mathrm{\α}}_1,{\mathrm{\σ}}_1)\\ {\stackrel{\·}{\hat{x}}}_3=l_{3}fal(e_1,{\mathrm{\α}}_2,{\mathrm{\σ}}_2)\\ \hat{y}={\hat{x}}_1\end{array}\right.---\left(2.3\right);$

其中：是x₁,x₂,x₃观测值。观测器(2.3)参数为0＜α₁＜1,0＜α₂＜1,σ₁＞0,σ₂＞0,l_i＞0,i＝1,2,3。并且非线性函数fal(·)定义如下式：

$fal(e,\mathrm{\α},\mathrm{\σ})=\left\{\begin{array}{cc}{\left|e\right|}^{\mathrm{\α}}\mathrm{sgn}\left(e\right)& \left|e\right|>\mathrm{\σ}\\ \frac{e}{{\mathrm{\σ}}^{1-\mathrm{\α}}}& \left|e\right|\≤\mathrm{\σ}\end{array}\right.---\left(2.4\right);$

令T是控制的采样周期，σ选择5～10T，如果观测器(2.3)选择合适的参数，可以得到如下结果；

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\left|{\tilde{x}}_2\right|<l_1{\left(\frac{r}{l_3}\right)}^{1/{\mathrm{\&alpha;}}_2}={\mathrm{\&epsiv;}}_{x_2};$

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\left|{\tilde{x}}_3\right|<l_2{\left(\frac{r}{l_3}\right)}^{1/{\mathrm{\&alpha;}}_2}={\mathrm{\&epsiv;}}_{f\left(x\right)}---\left(2.5\right);$

其中：因此，我们知道合适的观察者的参数可以使状态估计误差和函数估计误差一致最终有界；

步骤三自适应神经网络观测器的设计如下；

方程(2.1)可以描述为如下模型；

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=Ax+b\&lsqb;f\left(x\right)+u\&rsqb;\\ y=c^{T}x\end{array}\right.---\left(2.6\right);$

其中；

$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],c=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right];$

径向基函数神经网络通常用于模型的非线性函数，在函数逼近其良好的能力。这是一个众所周知的结果，对于x来说，限制在一个紧集S和隐含层神经元有足够大的数量，存在的权值和阈值，在紧集上的任意连续函数可由递归神经网络为代表的，我们近似函数f(x)利用其输入估计为神经网络系统；

其中：x的估计值是 是RBF神经网络估计权重矩阵。其中m是隐含层的节点数。Φ(·)＝[φ(·),…,φ_m(·)]^T是一种激活函数向量，通常被认为是一个高斯函数，如下所示：

${\mathrm{\&phi;}}_j\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=\exp (-\frac{\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{x}-v_j|{|}^2}{{\mathrm{\&rho;}}_j^2}),j=1,...,m---\left(2.8\right);$

其中：v_j∈R^3×1和ρ_j分别是中心向量和矢量基函数的宽度向量，逼近性质取决于非线性模型的中心向量，高斯函数宽度向量和隐含层m的个数，在式(2.1)原函数f(x)可以表示为；

f(x)＝W^*TΦ(x)+ε(2.9)；

其中：ε是神经网络功能的重构误差，即使最好的权值，给定的非线性函数并不完全近似和功能重建剩余误差，满足分析目的所需边界为||W^*||≤M，W^*是最优参数向量；

$W^{*}=\arg \underset{W}{min}\&lsqb;sup|\hat{f}\left(\hat{x}\right)-f\left(x\right)|\&rsqb;;$

利用神经网络逼近，在式(4)中，NNO动力学方程估计状态如下所示；

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}=A\hat{x}+b_0\&lsqb;\hat{f}\left(\hat{x}\right)+u\&rsqb;+k(y-c^T\hat{x})\\ y=c^T\hat{x}\end{array}\right.---\left(2.10\right);$

其中：K＝[k₁,k₂]^T为观测器增益向量，后面将会设计和b₀；

定义状态和输出估计误差为，由式(2.1)和(2.10)产生动态误差

$\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{x}}=\tilde{A}\tilde{x}+b_0\&lsqb;{\tilde{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(\hat{x}\right)+u\&rsqb;+(b-b_0)\&lsqb;W^{*T}\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)+u\&rsqb;+b_{0}d+b\mathrm{\&epsiv;}---\left(2.11\right);$

其中： 和神经网络的基函数是有界的。这意味着，的每一个元素是有界的，即对于Φ^M来说，是恒定的；

为了构建向量b₀，考虑对于Q₁＞0来说，代数方程利用正定矩阵Γ，矢量b₀是作为b₀＝Γ^-1c，如下所示，这个选择将保证观测器的稳定性。

定理2.1：考虑观测系统(2.10)。神经网络系统的参数更新律为：

其中：Υ＝Υ^T＞0和k＞0，则状态估计误差和参数估计误差一致最终有界；

证明：

令b₀＝[b₀₁,b₀₂]^T，(2.10)能够重新写成：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+b_{01}+k_1(y-c^T\hat{x})\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_2=b_{02}f\left(\hat{x}\right)+b_{02}u+k_2(y-c^T\hat{x})\end{array}\right.---\left(2.13\right);$

观测器(2.3)和(2.13)的统一形式可以表示为如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+{\mathrm{\&eta;}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_2=bu+{\mathrm{\&eta;}}_2\end{array}\right.---\left(2.14\right);$

对于扩展的状态观测器(2.3)，和b＝1。对于NNO(2.13)， ${\mathrm{\&eta;}}_1=b_{01}+k_1(y-c^T\hat{x}),{\mathrm{\&eta;}}_2=b_{02}\tilde{f}\left(\tilde{x}\right)+k_2(y-c^T\hat{x})$ 和b＝b₀₂；

步骤四指令滤波backstepping控制器设计；

可以看出，上述式(2.14)是类似严格反馈形式，定义跟踪误差变量e₁和e₂，如下式：

$e_1={\hat{x}}_1-x_1^c,e_2={\hat{x}}_2-{\hat{x}}_2^c---\left(2.15\right);$

其中：和分别为滤波器指令和从式(17)和(18)，可得；

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1={\hat{x}}_2+{\mathrm{\&eta;}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1^c---\left(2.16\right);$

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2=bu+{\mathrm{\&eta;}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2^c---\left(2.17\right);$

考虑如下Lyapunov函数；

$V_1=\frac{1}{2}{e}_1^2;$

V₁的时间导数为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=e_1({\hat{x}}_2+{\mathrm{\&eta;}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1^c)---\left(2.18\right);$

虚拟控制器可以设计为如下形式：

${\hat{x}}_2^d={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1^c-{\mathrm{\&eta;}}_1-c_1{e}_1---\left(2.19\right);$

其中：c₁是设计的正定常数。将(2.19)到(2.18)，可得通过一个过滤器如图2所示。

约束指令滤波器的状态空间模型可以描述为；

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_2\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{c}{q}_2\\ 2{\mathrm{\&zeta;\&omega;}}_n\&lsqb;S_R\left(\frac{{\mathrm{\&omega;}}_n^2}{2{\mathrm{\&zeta;\&omega;}}_n}\right(S_M\left(\mathrm{\&upsi;}\right)-q_1)-q_2)\&rsqb;\end{array}\right]---\left(2.20\right);$

其中：

$\left[\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^c\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^c\end{array}\right],\mathrm{\&upsi;}=x^d;$

x^c为滤波器的输出，ξ和ω_n分别表示滤波器的阻尼和带宽。重新定义跟踪误差设计滤波器误差补偿为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=-c_1\mathrm{\&epsiv;}+{\hat{x}}_2^c-{\hat{x}}_2^d---\left(2.21\right);$

选择如下Lyapunov函数：

$V_2=\frac{1}{2}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1^2+\frac{1}{2}{e}_2^2;$

则V₂的时间导数为：

假设全局控制律表示为：

$u=b^{-1}(-c_2{e}_2-{\mathrm{\&eta;}}_2+{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_2^c)---\left(2.22\right);$

则Lyapunov函数V₂对时间导数表示为如下：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2=-c_1{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1^2-c_2{e}_2^2\&le;0---\left(2.23\right);$

其中，c₂是一个正定常数，式(2.23)意味着最终有界。

本发明首先提出两种感测器，ESO和NNO，并依赖于观测器性能，我们提出了两个新的自适应指令滤波backstepping无模型控制方法并将其应用在船舶电力系统以抑制混沌运动。提出的两个无模型自适应指令滤波backstepping控制主要解决了三个问题。1)不需要知道速度信号。所提出的控制算法可以实现无速度传感器的闭环稳定。2)控制方法不需要系统动态数学模型。3)所提出的两种控制可以消除“虚拟控制”和控制饱和的影响。此外，对于闭环控制系统，给出了稳定性分析。仿真结果表明，该方法既保证了二阶非线性系统的闭环系统的稳定，同样能够估计速度状态和辨识未知的动态模型。

附图说明

图1是本发明所提出的控制算法的框图；

图2是本发明指令滤波的结构框图；

图3是本发明仿真实验船舶电力系统供电网络框图；

图4是本发明仿真实验船舶电力系统混沌响应图；

图5是本发明仿真实验船舶电力系统混沌相位图；

图6是本发明船舶电力系统仿真1情况的响应图；

图7是本发明船舶电力系统仿真1情况的状态相位图；

图8是本发明仿真1情况的实际f(x)函数和它的估计值示意图；

图9是本发明船舶电力系统仿真2情况的响应图；

图10是本发明船舶电力系统仿真2情况的状态相位图；

图11是本发明仿真2情况的实际f(x)函数和它的估计值示意图。

具体实施方式

下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步详细描述：

本发明提供一种基于指令滤波Backstepping二阶非线性系统无模型控制方法，本发明结合利用ESO和NNO实现二阶非线性系统未知模型和外部扰动的估计，并统一了两者的形式，基于两者的统一形式，设计相应的指令滤波Backstepping控制器。

本发明模型辨识和状态估计：

考虑如下未知的二阶非线性系统：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=f\left(x\right)+u\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(2.1\right);$

其中：f(x)为一个未知函数，且状态x₂不可测量。

本申请给出了两种方法来估计f(x)和(2.1)的状态x₂。一个是扩展的状态观测器方法，另一个是神经网络观测器方法。

扩展的状态观测器：

在申请中，设计三阶扩展的状态观测器，这是用来估计状态x₂和未知函数f(x)。确定未知函数f(x)作为一个扩展的状态x₃。令x₃＝f(x)，其中，ρ(t)是一个未知函数。我们假设

系统(2.1)等价于：

为了估计状态x₂和未知函数f(x)，我们设计了如下三阶扩展的状态观测器：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2-l_1{e}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_2={\hat{x}}_3+u-l_{2}fal(e_1,{\mathrm{\&alpha;}}_1,{\mathrm{\&sigma;}}_1)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_3=l_{3}fal(e_1,{\mathrm{\&alpha;}}_2,{\mathrm{\&sigma;}}_2)\\ \hat{y}={\hat{x}}_1\end{array}\right.---\left(2.3\right);$

其中：是x₁,x₂,x₃观测值。观测器(2.3)参数为0＜α₁＜1,0＜α₂＜1,σ₁＞0,σ₂＞0,l_i＞0,i＝1,2,3。并且非线性函数fal(·)定义如下式：

$fal(e,\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&sigma;})=\left\{\begin{array}{cc}{\left|e\right|}^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{sgn}\left(e\right)& \left|e\right|>\mathrm{\&sigma;}\\ \frac{e}{{\mathrm{\&sigma;}}^{1-\mathrm{\&alpha;}}}& \left|e\right|\&le;\mathrm{\&sigma;}\end{array}\right.---\left(2.4\right);$

令T是控制的采样周期。一般来说，σ选择5～10T。直到现在，还没有完整的理论分析方法可用于三阶扩展的状态观测器。幸运的是，根据[17]，如果观测器(2.3)选择合适的参数，可以得到如下结果；

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\left|{\tilde{x}}_2\right|<l_1{\left(\frac{r}{l_3}\right)}^{1/{\mathrm{\&alpha;}}_2}={\mathrm{\&epsiv;}}_{x_2};$

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\left|{\tilde{x}}_3\right|<l_2{\left(\frac{r}{l_3}\right)}^{1/{\mathrm{\&alpha;}}_2}={\mathrm{\&epsiv;}}_{f\left(x\right)}---\left(2.5\right);$

其中：因此，我们知道合适的观察者的参数可以使状态估计误差和函数估计误差一致最终有界。

自适应神经网络观测器(NNO)的设计如下；

方程(2.1)可以描述为如下模型；

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=Ax+b\&lsqb;f\left(x\right)+u\&rsqb;\\ y=c^{T}x\end{array}\right.---\left(2.6\right);$

其中；

$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],c=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right];$

径向基函数(RBF)神经网络通常用于模型的非线性函数，在函数逼近其良好的能力。这是一个众所周知的结果，对于x来说，限制在一个紧集S和隐含层神经元有足够大的数量，存在的权值和阈值，在紧集上的任意连续函数可由递归神经网络为代表的。我们近似函数f(x)利用其输入估计为神经网络系统。

其中：x的估计值是 是RBF神经网络估计权重矩阵。其中m是隐含层的节点数。Φ(·)＝[φ(·),…,φ_m(·)]^T是一种激活函数向量，通常被认为是一个高斯函数，如下所示：

${\mathrm{\&phi;}}_j\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=\exp (-\frac{\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{x}-v_j|{|}^2}{{\mathrm{\&rho;}}_j^2}),j=1,...,m---\left(2.8\right);$

其中：v_j∈R^3×1和ρ_j分别是中心向量和矢量基函数的宽度向量。逼近性质取决于非线性模型的中心向量，高斯函数宽度向量和隐含层m的个数。在式(2.1)原函数f(x)可以表示为；

f(x)＝W^*TΦ(x)+ε(2.9)；

其中：ε是神经网络功能的重构误差。一般来说，即使最好的权值，给定的非线性函数并不完全近似和功能重建剩余误差。满足分析目的所需边界为||W^*||≤M，W^*是最优参数向量。

$W^{*}=\arg \underset{W}{min}\&lsqb;sup|\hat{f}\left(\hat{x}\right)-f\left(x\right)|\&rsqb;;$

利用神经网络逼近，在式(4)中，NNO动力学方程估计状态如下所示；

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}=A\hat{x}+b_0\&lsqb;\hat{f}\left(\hat{x}\right)+u\&rsqb;+k(y-c^T\hat{x})\\ y=c^T\hat{x}\end{array}\right.---\left(2.10\right);$

其中：K＝[k₁,k₂]^T为观测器增益向量，后面将会设计和b₀。

定义状态和输出估计误差为，由式(2.1)和(2.10)产生动态误差

$\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{x}}=\tilde{A}\tilde{x}+b_0[{\tilde{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(\hat{x}\right)+u]+(b-b_0)\left[W^{*T}\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)\right]+b_{0}d+\mathrm{b\&epsiv;}---\left(2.11\right);$

其中： 和在一般情况下，神经网络的基函数是有界的。这意味着，的每一个元素是有界的，即对于Φ^M来说，是恒定的。

为了构建向量b₀，考虑对于Q₁＞0来说，代数方程利用正定矩阵Γ，矢量b₀是作为b₀＝Γ^-1c。如下所示，这个选择将保证观测器的稳定性。

定理2.1：考虑观测系统(2.10)。神经网络系统的参数更新律为：

其中：Υ＝Υ^T＞0和k＞0。则状态估计误差和参数估计误差一致最终有界。

证明：证明类似于[19]。

令b₀＝[b₀₁,b₀₂]^T，(2.10)能够重新写成：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+b_{01}+k_1(y-c^T\hat{x})\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_2=b_{02}f\left(\hat{x}\right)+b_{02}u+k_2(y-c^T\hat{x})\end{array}\right.---\left(2.13\right);$

观测器(2.3)和(2.13)的统一形式可以表示为如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+{\mathrm{\&eta;}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_2=bu+{\mathrm{\&eta;}}_2\end{array}\right.---\left(2.14\right);$

对于扩展的状态观测器(2.3)，和b＝1。对于NNO(2.13)， ${\mathrm{\&eta;}}_1=b_{01}+k_1(y-c^T\hat{x}),{\mathrm{\&eta;}}_2=b_{02}\tilde{f}\left(\tilde{x}\right)+k_2(y-c^T\hat{x})$ 和b＝b₀₂。

指令滤波backstepping控制器设计；

可以看出，上述式(2.14)是类似严格反馈形式，所以可以通过backstepping控制器的思想设计。传统的backstepping控制存在饱和问题和控制胀差。因此，Farrell等引入了约束指令滤波器自适应backstepping控制系统，指令过滤器是用来消除“虚拟控制”和控制饱和的影响。指令滤波backstepping控制是不同于backstepping控制。所提出的控制算法的框图，如图1所示。定义跟踪误差变量e₁和e₂，如下式：

$e_1={\hat{x}}_1-x_1^c,e_2={\hat{x}}_2-{\hat{x}}_2^c---\left(2.15\right);$

其中：和分别为滤波器指令和从式(17)和(18)，可得；

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1={\hat{x}}_2+{\mathrm{\&eta;}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1^c---\left(2.16\right);$

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2=bu+{\mathrm{\&eta;}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2^c---\left(2.17\right);$

本发明所提出的控制算法的框图如图1所示。

考虑如下Lyapunov函数；

$V_1=\frac{1}{2}{e}_1^2;$

V₁的时间导数为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=e_1({\hat{x}}_2+{\mathrm{\&eta;}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1^c)---\left(2.18\right);$

虚拟控制器(即外回路控制器)可以设计为如下形式：

${\hat{x}}_2^d={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1^c-{\mathrm{\&eta;}}_1-c_1{e}_1---\left(2.19\right);$

其中：c₁是设计的正定常数。将(2.19)到(2.18)，可得通过一个过滤器如图2所示。

约束指令滤波器的状态空间模型可以描述为；

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_2\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{c}{q}_2\\ 2{\mathrm{\&zeta;\&omega;}}_n\&lsqb;S_R\left(\frac{{\mathrm{\&omega;}}_n^2}{2{\mathrm{\&zeta;\&omega;}}_n}\right(S_M\left(\mathrm{\&upsi;}\right)-q_1)-q_2)\&rsqb;\end{array}\right]---\left(2.20\right);$

其中：

$\left[\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^c\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^c\end{array}\right],\mathrm{\&upsi;}=x^d;$

x^c为滤波器的输出，ξ和ω_n分别表示滤波器的阻尼和带宽。重新定义跟踪误差设计滤波器误差补偿为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=-c_1\mathrm{\&epsiv;}+{\hat{x}}_2^c-{\hat{x}}_2^d---\left(2.21\right);$

选择如下Lyapunov函数：

$V_2=\frac{1}{2}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1^2+\frac{1}{2}{e}_2^2;$

则V₂的时间导数为：

假设全局控制律表示为：

$u=b^{-1}(-c_2{e}_2-{\mathrm{\&eta;}}_2+{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_2^c)---\left(2.22\right);$

则Lyapunov函数V₂对时间导数表示为如下：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2=-c_1{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1^2-c_2{e}_2^2\&le;0---\left(2.23\right);$

其中，c₂是一个正定常数。式(2.23)意味着最终有界。此外，结合相应所得的结果，因此，可以得到所有的误差信号是有界的。

本发明仿真验证如下：

选取船舶电力系统供电网络为被控对象，船舶电力系统供电网络的基本结构可以表示为如图3所示。

其中：E₁∠δ₁和E₂∠δ₂分别表示两个发电机系统。x'_d1和x'_d2分别为两个发电机的同步电抗。x_l和r_l分别是线路电阻和电抗。P和Q描述系统负载。因为船用动力系统短路时，线路电阻非常小，通常可以忽略不计。其中船舶电力系统混沌响应图如图4所示，船舶电力系统混沌相位图如图5所示。

考虑发电机参数相同的情况下，令δ＝δ₁-δ₂和ω＝ω₁-ω₂分别表示功率角和相对功率角两个等效发电机的速度。则两台机器互联系统可以描述为以下形式：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d\mathrm{\&delta;}}{dt}=\mathrm{\&omega;}\\ H\frac{d\mathrm{\&delta;}}{dt}=P_m-D\mathrm{\&omega;}-P_e(1+\mathrm{\&Delta;}pcos(\mathrm{\&beta;}t\left)\right)sin\mathrm{\&delta;}\end{array}\right.---\left(2.24\right);$

其中：H和D分别表示等效惯量和阻尼。P_m为发电机输入机械功率，P_e是系统输出的电磁功率。P_e·Δpcosβt是电磁扰动，将其作为干扰作用引入到船舶电力系统进行混沌运动的研究与分析。这里，P_e·Δp描述扰动振幅，β表示干扰的频率。

通过和变换，方程(2.24)能够写成如下形式：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dx}}_1}{d\mathrm{\&tau;}}=x_2\\ \frac{{\mathrm{dx}}_2}{d\mathrm{\&tau;}}=-\sin x_1-{\mathrm{\&lambda;x}}_2+\mathrm{\&rho;}+\mathrm{\&mu;}cos\left(\mathrm{\&gamma;}\mathrm{\&tau;}\right)\sin x_1\end{array}\right.---\left(2.25\right);$

其中： $\mathrm{\&lambda;}=D\sqrt{P_e/H},\mathrm{\&rho;}=P_m/P_e,\mathrm{\&mu;}=\mathrm{\&Delta;p},\mathrm{\&gamma;}=\mathrm{\&beta;}\sqrt{P_e/H}.$ 根据转换，我们由δ和ω得到转换的系统状态变量x₁和x₂。然而，如果值是不精确的，则不能精确的获得状态x₂(τ)。所以一旦模型存在误差，计算出的状态x2也无法得到精确值，因此，设计一个不基于精确动力学模型的控制器尤为重要，且在控制器设计中也不需要已知状态x2。

在上述的船舶电力系统(2.25)，振幅μ和频率γ扰动满足一定条件时，将产生混沌运动。其中船舶电力系统仿真1情况的响应图如图6所示(前100秒为混沌响应，后100秒为控制后的响应)，其中船舶电力系统仿真1情况的状态相位图如图7所示：

为了抑制混沌运动，控制输入u必须添加到状态方程(2.25)，即；

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{dx}}_1}{d\mathrm{\&tau;}}=x_2\\ \frac{{\mathrm{dx}}_2}{d\mathrm{\&tau;}}=f\left(x\right)+u=-\sin x_1-{\mathrm{\&lambda;x}}_2+\mathrm{\&rho;}+\mathrm{\&mu;}cos\left(\mathrm{\&gamma;}\mathrm{\&tau;}\right)\sin x_1+u\end{array}\right.---\left(2.26\right);$

仿真是在MATLAB/Simulink环境下进行。从船舶电力系统的混沌运动的数值分析，得出当系统振幅μ＝1.3，扰动频率γ＝0.8，λ＝0.4和ρ＝0.2时，船舶电力系统(2.24)会出现混沌现象。我们可以在图4-图5获得船舶电力系统的运动状态。从图4—图5可以看出，系统中出现了混沌现象。该系统产生了随机但不衰减的振荡，仿真进一步验证了该船舶电力系统在这一工作点处为一个混沌系统。

(仿真一):基于ESO的无模型自适应backstepping控制指令滤波；

Backstepping控制器的参数选择为c₁＝c₂＝2。指令滤波器参数作为ξ＝ζ＝0.1，ω_n＝20。ESO的参数设计为α₁＝α₂＝0.9，σ₁＝100，σ₂＝1000，l₁＝10，l₂＝100，l₃＝1000。状态的初始为x₀＝[0.1,0]。在下面的仿真，我们将控制信号u施加于船舶电力系统的混沌运动后的100秒。图6和图7显示的船舶电力系统的功率角和角速度响应曲线和相位图。图8显示了实际的f(x)函数和估计值

仿真图6和图7可以看出，前100秒，功角δ和角速度ω处于混沌状态。而所设计的控制器在100后施加于电力系统后，系统快速的回归到稳定状态，这表明所提出的基于ESO的控制算法的施加于船舶电力系统，可以实现的混沌运动有效抑制。

(仿真二):基于NNO的无模型自适应backstepping控制指令滤波；

在仿真2中，选择和仿真1相同的backstepping控制器和指令滤波器的参数。神经网络的基函数的节点数为10。设计神经网络观测器的参数为K＝[1000,2000]^T，b₀＝[0,1]^T，Υ＝diag[5×10⁴]，k＝0.001。

船舶电力系统的初始状态和神经网络观测器是在下面的仿真，我们同样在100秒之后施加了控制信号u对船舶电力系统的混沌运动进行抑制。图9和图10显示的在仿真2情况下的船舶电力系统的功率角和角速度响应曲线和相位图。图11为仿真2情况下的实际的f(x)函数和示意图。

仿真图9和图10可以看出，前100秒，功角δ和角速度ω处于混沌状态。而所设计的基于神经网络观测器的控制器在100后施加于电力系统，系统快速的回归到稳定状态，这表明所提出的基于ESO的控制算法的施加于船舶电力系统，可以实现的混沌运动有效抑制。

本发明首先提出两种感测器，ESO和NNO，并依赖于观测器性能，我们提出了两个新的自适应指令滤波backstepping无模型控制方法并将其应用在船舶电力系统以抑制混沌运动。提出的两个无模型自适应指令滤波backstepping控制主要解决了三个问题。1)不需要知道速度信号。所提出的控制算法可以实现无速度传感器的闭环稳定。2)控制方法不需要系统动态数学模型。3)所提出的两种控制可以消除“虚拟控制”和控制饱和的影响。此外，对于闭环控制系统，给出了稳定性分析。仿真结果表明，该方法既保证了二阶非线性系统的闭环系统的稳定，同样能够估计速度状态和辨识未知的动态模型。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非是对本发明作任何其他形式的限制，而依据本发明的技术实质所作的任何修改或等同变化，仍属于本发明所要求保护的范围。

Claims (1)

1.基于指令滤波Backstepping二阶非线性系统无模型控制方法，其特征在于：

步骤一本发明模型辨识和状态估计：

考虑如下未知的二阶非线性系统：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2=f\left(x\right)+u\\ y=x_1\end{array}\right.---\left(2.1\right);$

其中：f(x)为一个未知函数，且状态x₂不可测量；

本申请给出了两种方法来估计f(x)和(2.1)的状态x₂，一个是扩展的状态观测器方法，另一个是神经网络观测器方法；

步骤二扩展的状态观测器设计；

所述扩展的状态观测器为设计三阶扩展的状态观测器，这是用来估计状态x₂和未知函数f(x)，确定未知函数f(x)作为一个扩展的状态x₃。令x₃＝f(x)，其中，ρ(t)是一个未知函数。我们假设

系统(2.1)等价于：

为了估计状态x₂和未知函数f(x)，我们设计了如下三阶扩展的状态观测器：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2-l_1{e}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_2={\hat{x}}_3+u-l_{2}fal(e_1,{\mathrm{\&alpha;}}_1,{\mathrm{\&sigma;}}_1)\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_3=l_{3}fal(e_1,{\mathrm{\&alpha;}}_2,{\mathrm{\&sigma;}}_2)\\ \hat{y}={\hat{x}}_1\end{array}\right.---\left(2.3\right);$

其中： 是x₁,x₂,x₃观测值。观测器(2.3)参数为0＜α₁＜1,0＜α₂＜1,σ₁＞0,σ₂＞0,l_i＞0,i＝1,2,3。并且非线性函数fal(·)定义如下式：

$fal(e,\mathrm{\&alpha;},\mathrm{\&sigma;})=\left\{\begin{array}{cc}|e{|}^{\mathrm{\&alpha;}}\mathrm{sgn}\left(e\right)& \left|e\right|>\mathrm{\&sigma;}\\ \frac{e}{{\mathrm{\&sigma;}}^{1-\mathrm{\&alpha;}}}& \left|e\right|\&le;\mathrm{\&sigma;}\end{array}\right.---\left(2.4\right);$

令T是控制的采样周期，σ选择5～10T，如果观测器(2.3)选择合适的参数，可以得到如下结果；

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\left|{\tilde{x}}_2\right|<l_1{\left(\frac{r}{l_3}\right)}^{1/{\mathrm{\&alpha;}}_2}={\mathrm{\&epsiv;}}_{x_2};$

$\underset{t\&RightArrow;\mathrm{\&infin;}}{\lim }\left|{\tilde{x}}_3\right|<l_2{\left(\frac{r}{l_3}\right)}^{1/{\mathrm{\&alpha;}}_2}={\mathrm{\&epsiv;}}_{f\left(x\right)}---\left(2.5\right);$

其中： 因此，我们知道合适的观察者的参数可以使状态估计误差和函数估计误差一致最终有界；

步骤三自适应神经网络观测器的设计如下；

方程(2.1)可以描述为如下模型；

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{x}=Ax+b\&lsqb;f\left(x\right)+u\&rsqb;\\ y=c^{T}x\end{array}\right.---\left(2.6\right);$

其中；

$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],c=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right];$

径向基函数神经网络通常用于模型的非线性函数，在函数逼近其良好的能力。这是一个众所周知的结果，对于来说，限制在一个紧集S和隐含层神经元有足够大的数量，存在的权值和阈值，在紧集上的任意连续函数可由递归神经网络为代表的，我们近似函数f(x)利用其输入估计为神经网络系统；

其中：x的估计值是 是RBF神经网络估计权重矩阵。其中m是隐含层的节点数。Φ(·)＝[φ(·),…,φ_m(·)]^T是一种激活函数向量，通常被认为是一个高斯函数，如下所示：

${\mathrm{\&phi;}}_j\left(\stackrel{\&OverBar;}{x}\right)=\exp (-\frac{\left|\right|\stackrel{\&OverBar;}{x}-v_j|{|}^2}{{\mathrm{\&rho;}}_j^2}),j=1,\mathrm{...},m---\left(2.8\right);$

其中：v_j∈R^3×1和ρ_j分别是中心向量和矢量基函数的宽度向量，逼近性质取决于非线性模型的中心向量，高斯函数宽度向量和隐含层m的个数，在式(2.1)原函数f(x)可以表示为；

f(x)＝W^*TΦ(x)+ε(2.9)；

其中：ε是神经网络功能的重构误差，即使最好的权值，给定的非线性函数并不完全近似和功能重建剩余误差，满足分析目的所需边界为||W^*||≤M，W^*是最优参数向量；

$W^{*}=\arg \underset{W}{\min }\&lsqb;sup|\hat{f}\left(\hat{x}\right)-f\left(x\right)|\&rsqb;;$

利用神经网络逼近，在式(4)中，NNO动力学方程估计状态如下所示；

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}=A\hat{x}+b_0\&lsqb;\hat{f}\left(\hat{x}\right)+u\&rsqb;+k(y-c^T\hat{x})\\ y=c^T\hat{x}\end{array}\right.---\left(2.10\right);$

其中：K＝[k₁,k₂]^T为观测器增益向量，后面将会设计和b₀；

定义状态和输出估计误差为，由式(2.1)和(2.10)产生动态误差

$\stackrel{\&CenterDot;}{\tilde{x}}=\tilde{A}\tilde{x}+b_0\&lsqb;{\tilde{W}}^T\mathrm{\&Phi;}\left(\hat{x}\right)+u\&rsqb;+(b-b_0)\&lsqb;W^{*T}\mathrm{\&Phi;}\left(x\right)+u\&rsqb;+b_{0}d+b\mathrm{\&epsiv;}---\left(2.11\right);$

其中： 和神经网络的基函数是有界的。这意味着，的每一个元素是有界的，即对于Φ^M来说，是恒定的；

为了构建向量b₀，考虑对于Q₁＞0来说，代数方程利用正定矩阵Γ，矢量b₀是作为b₀＝Γ^-1c，如下所示，这个选择将保证观测器的稳定性。

定理2.1：考虑观测系统(2.10)。神经网络系统的参数更新律为：

其中：和k＞0，则状态估计误差和参数估计误差一致最终有界；

证明：

令b₀＝[b₀₁,b₀₂]^T，(2.10)能够重新写成：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+b_{01}+k_1(y-c^T\hat{x})\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_2=b_{02}f\left(\hat{x}\right)-+b_{02}u+k_2(y-c^T\hat{x})\end{array}\right.---\left(2.13\right);$

观测器(2.3)和(2.13)的统一形式可以表示为如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_1={\hat{x}}_2+{\mathrm{\&eta;}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_2=bu+{\mathrm{\&eta;}}_2\end{array}\right.---\left(2.14\right);$

对于扩展的状态观测器(2.3)，η₁＝-l₁e₁，和b＝1。对于NNO(2.13)， ${\mathrm{\&eta;}}_1=b_{01}+k_1(y-c^T\hat{x}),$ ${\mathrm{\&eta;}}_2=b_{01}\tilde{f}\left(\tilde{x}\right)+k_2(y-c^T\hat{x})$ 和b＝b₀₂；

步骤四指令滤波backstepping控制器设计；

可以看出，上述式(2.14)是类似严格反馈形式，定义跟踪误差变量e₁和e₂，如下式：

$e_1={\hat{x}}_1-x_1^c,e_2={\hat{x}}_2-{\hat{x}}_2^c---\left(2.15\right);$

其中：和分别为滤波器指令和从式(17)和(18)，可得；

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1={\hat{x}}_2+{\mathrm{\&eta;}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1^c---\left(2.16\right);$

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2=bu+{\mathrm{\&eta;}}_2-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_2^c---\left(2.17\right);$

考虑如下Lyapunov函数；

$V_1=\frac{1}{2}{e}_1^2;$

V₁的时间导数为：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_1=e_1({\hat{x}}_2+{\mathrm{\&eta;}}_1-{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1^c)---\left(2.18\right);$

虚拟控制器可以设计为如下形式：

${\hat{x}}_2^d={\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1^c-{\mathrm{\&eta;}}_1-c_1{e}_1---\left(2.19\right);$

其中：c₁是设计的正定常数。将(2.19)到(2.18)，可得通过一个过滤器如图2所示。

约束指令滤波器的状态空间模型可以描述为；

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_1\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_2\end{array}\right\}=\left[\begin{array}{c}{q}_2\\ 2{\mathrm{\&zeta;\&omega;}}_n\&lsqb;S_R\left(\frac{{\mathrm{\&omega;}}_n^2}{2{\mathrm{\&zeta;\&omega;}}_n}\right(S_M\left(\mathrm{\&upsi;}\right)-q_1)-q_2)\&rsqb;\end{array}\right]---\left(2.20\right);$

其中：

$\left[\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}^c\\ {\stackrel{\&CenterDot;}{x}}^c\end{array}\right],\mathrm{\&upsi;}=x^d;$

x^c为滤波器的输出，ξ和ω_n分别表示滤波器的阻尼和带宽。重新定义跟踪误差设计滤波器误差补偿为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=-c_1\mathrm{\&epsiv;}+{\hat{x}}_2^c-{\hat{x}}_2^d---\left(2.21\right);$

选择如下Lyapunov函数：

$V_2=\frac{1}{2}{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1^2+\frac{1}{2}{e}_2^2;$

则V₂的时间导数为：

假设全局控制律表示为：

$u=b^{-1}(-c_2{e}_2-{\mathrm{\&eta;}}_2+{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1+{\stackrel{\&CenterDot;}{\hat{x}}}_2^c)---\left(2.22\right);$

则Lyapunov函数V₂对时间导数表示为如下：

${\stackrel{\&CenterDot;}{V}}_2=-c_1{\stackrel{\&OverBar;}{e}}_1^2-c_2{e}_2^2\&le;0---\left(2.23\right);$

其中，c₂是一个正定常数，式(2.23)意味着最终有界。