CN105550453A - 一种有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及有轨电车及其轨道建模技术领域，本发明公开了一种有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法，其具体包括以下的步骤：步骤一：车辆系统建模：将有轨电车车辆系统建模简化为刚体系统、车辆悬挂系统和车间连接系统的建模；步骤二：嵌入式轨道系统建模：嵌入式轨道系统建模包括钢轨、高分子填充材料、轨道板及以下基础的建模；步骤三：车辆和轨道系统的耦合建模：建立有轨电车和嵌入式轨道耦合动力学模型，对车辆与钢轨间进行非线性的轮轨关系耦合建模。通过此有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型，可对有轨电车运行安全性、稳定性、乘坐舒适性等动力学特性进行预测评价分析。

Description

一种有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法

技术领域

本发明涉及有轨电车技术领域，尤其涉及一种有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法。

背景技术

随着城市交通压力的增大，有轨电车由于具有运量大、速度快、安全、准点、环保、节能等特点，在各城市大力发展。有轨电车的运行安全性、稳定性、乘坐舒适性是保证其快速发展的核心问题。

车辆传统轮对的两个车轮固定压装在同一根车轴上,其左右车轮以相同的转速旋转。在曲线上运行时,轮对在内外轨上行走的距离不相等,轮轨间将产生较大的滑动,加剧了轮轨之间的磨耗和噪声。为实现车辆低地板化，现代有轨电车较多地采用独立车轮轮组，即取消车轴，将左右车轮解耦,使左右车轮可以相互各自独立地绕车轴旋转。由于独立车轮轮组的左右车轮转速相互独立,在无外界扭矩作用的情况下,独立车轮的旋转速度会分别调整到使轮轨间不出现纵向蠕滑,因此也不存在与相对速度相反的纵向蠕滑力，有效提高车辆的曲线通过性能，降低曲线通过时的轮轨磨耗、轮轨噪声。此外，与传统扣件式轨道中钢轨采用离散点支撑的方式不同，嵌入式轨道中钢轨采用纵向连续支撑，去除了离散支撑方式引起的轨道不平顺，改变了轨道结构的动力学特性，有利于降低轮轨磨耗、轨道振动及辐射噪声。

因此，车辆-轨道耦合动力学建模中对传统轮对、传统扣件式轨道结构的建模方法在对有轨电车-嵌入式轨道耦合动力学建模中并不适用。有轨电车-嵌入式轨道耦合动力学建模中，需考虑独立轮组与传统轮对在运动特性上的差异，其中，独立轮组中的两个独立的车轮与轴桥共用纵向、横向、垂向、侧滚和摇头5个方向的自由度，而独立车轮的旋转自由度是独立。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术中没有有轨电车及其嵌入式轨道的耦合动力学模型的建模方法，本发明公开了一种有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法。

本发明的技术方案如下:

本发明公开了一种有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法，其具体包括以下的步骤：步骤一、车辆系统建模：将有轨电车车辆系统建模简化为刚体系统、车辆悬挂系统和车间连接系统的建模；步骤二、嵌入式轨道系统建模：嵌入式轨道系统建模包括钢轨、高分子填充材料、轨道板及以下基础的建模；步骤三、车辆和轨道系统的耦合建模：耦合建模主要包括两个部分：(1)轮轨空间接触关系的确定；(2)车辆系统和轨道系统的耦合，其具体是指将轨道系统惯性坐标系与车辆结构固结在一起，惯性坐标系和车辆一起运动，而轨道则以车辆运行速度作反方向移动，从而模拟实际列车在每一个轨枕跨间的移动情况。

更进一步地，上述车间连接系统包括车间铰接机构和车间减振器，车间铰接机构采用动力学约束建模，车间减振器采用空间非线性弹簧阻尼单元模拟。

更进一步地，上述铰接是指动车和拖车车体间均设有上下连接点，其中2个下连接点相同，为固定铰，采用球面轴承；2个上连接点不相同，一个为转动铰，采用橡胶圆柱关节，一个为自由铰，采用横向拉杆连接。

更进一步地，上述减振器两端为刚性球铰结构。

更进一步地，上述轨道板采用三维实体有限元单元模拟，钢轨填充材料采用三维弹性弹簧或阻尼单元模拟，轨道板与路基之间通过与路基刚度等效的弹簧或阻尼单元连接。

更进一步地，上述轮轨空间接触关系由轮轨空间动态接触几何关系和轮轨空间动态接触力决定，其中轮轨空间动态接触力的计算包括轮轨法向力计算和轮轨蠕滑力计算两部分。

更进一步地，上述轨道及其下方的支撑结构均沿行车相反方向作相对运动，支撑结构包括钢轨填充材料、轨垫板、轨道板、路基和轮轨表面几何不平顺。

更进一步地，上述有轨电车为3节编组的70％低地板有轨电车。

通过采用以上的技术方案，本发明的有益效果是：通过此有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型，可对有轨电车运行安全性、稳定性、乘坐舒适性等动力学特性进行预测评价分析，便于其他测试的实现，降低了测试的成本，同时其效果直观可见，方便了用户的使用。传统的计算模型中，若计算在无限长轨道上方运行车辆的动态特性，需要建立很长的轨道模型才能模拟车辆运行状态下的工况，因此会延长计算时间，而本发明的模型是列车相对钢轨不作移动，钢轨下方支撑结构沿行车相反方向作相对运动来模拟车辆在无限长轨道结构上的运行状态，因此只需要建立有限长的模型，因而大大缩短计算时间，因此该模型还能够实现无限长轨道上列车-轨道耦合动力学的快速计算。

附图说明

本发明将通过例子并参照附图的方式说明，其中：

图1为有轨电车动力学模型的动车端视图。

图2为有轨电车动力学模型的拖车端视图。

图3为有轨电车动力学模型的侧视图。

图4为有轨电车动力学模型的俯视图。

图5为有轨电车车间铰接结构。

图6为有轨电车车间减振连接。

图7为阻尼特性的车间模型。

图8为刚度特性的车间模型。

图9为嵌入式轨道动力学计算模型示意图的正视图。

图10为嵌入式轨道动力学计算模型示意图的侧视图。

图11为嵌入式轨道板有限元模型。

图12为轮轨空间动态接触几何计算流程图。

图13为轮轨法向压缩量与轮轨垂向位移的几何关系图。

图14为列车/轨道耦合激励模型。

具体实施方式

下面结合说明书附图，详细说明本发明的具体实施例。

本发明公开了一种有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法，其具体包括以下的步骤：

步骤一：车辆系统建模

将有轨电车车辆系统建模简化为刚体系统、车辆悬挂系统和车间连接系统的建模，所述刚体系统包括车体、转向架构架、摇枕以及传统轮对/轴桥轮组，所述车辆悬挂系统包括一系、二系悬挂部件(一般，车体与构架用二系悬挂连接，轮对轴箱和构架间用一系悬挂连接，车体重量通过二系悬挂传递给转向架构架，车体和构架的重量通过一系悬挂传递给轮对。)，考虑悬挂部件的非线性，采用三维弹簧/阻尼单元模拟，所述车间连接统包括车间铰接机构和车间减振器，车间铰接机构采用动力学约束建模，车间减振器采用空间非线性弹簧阻尼单元模拟。

目前的有轨电车车辆系统建模方法一般只包含刚体系统、车辆悬挂系统这两个部分，这两个部分的建模，可以利用商业软件进行建模，不需要进行公式推导、编程。但商业软件建模没有考虑轨道结构型式的差异，由于本发明涉及的轨道结构是嵌入式轨道，它的动力学特性与普通扣件式轨道结构有显著差异，因此利用一般的商业软件建模嵌入式轨道并不合适；本发明根据车辆-轨道耦合动力学理论进行公式推导、编程、计算，考虑了嵌入式轨道结构的特性，给出了一套完整的推导得出的有轨电车-嵌入式轨道耦合动力学建模的公式表达，可根据公式进行编程、计算。

步骤二：嵌入式轨道系统建模

所述嵌入式轨道系统建模包括钢轨、高分子填充材料、轨道板及以下基础，将有轨电车嵌入式轨道中的钢轨简化为连续弹性支承基础上的Timoshenko梁，轨道板采用三维实体有限元单元模拟，钢轨填充材料采用三维粘弹性弹簧/阻尼单元模拟，轨道板与路基之间通过与路基刚度等效的弹簧/阻尼单元连接；刚度等效的的弹簧/阻尼单元目的是为了模拟路基的弹性、阻尼性能。

步骤三：车辆和轨道系统耦合建模

建立有轨电车/嵌入式轨道耦合动力学模型，须对车辆与钢轨间进行非线性的轮轨关系耦合建模，建模主要包括两个部分：(1)轮轨空间接触关系，其主要由轮轨空间动态接触几何关系和轮轨空间动态接触力决定，其中轮轨空间动态接触力的计算包括轮轨法向力计算和轮轨蠕滑力计算两部分；(2)车辆/轨道耦合界面激励模式，采用移动质量方法，将系统惯性坐标系与列车结构固结在一起，惯性坐标系和列车一起运动，而轨道则以列车运行速度作反方向移动，即列车相对钢轨不作移动，钢轨下方支撑结构，包括钢轨填充材料、轨垫板、轨道板、路基和轮轨表面几何不平顺等，均沿行车相反方向作相对运动，模拟实际列车在每一个轨枕跨间的移动情况。

通过此有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型，可对有轨电车运行安全性、稳定性、乘坐舒适性等动力学特性进行预测评价分析。

一种有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法，建模方法包括以下步骤：

步骤一：车辆系统建模

比如，将3节编组(本发明的方法也可以同时适用于多种编组的车辆，这里为了便于描述，采用3节编组进行描述)的70％低地板(70％低地板有轨电车部分(中间转向架)采用独立轮组形式的转向架，独立轮组取消了传统的车轴，大大降低了车辆地版面的高度，方便乘客上下车，之所以成为70％低地板是因为没有实现全部地板的低地板化，大约70％的地板是低的)有轨电车车辆简化为由车体、转向架构架、摇枕及轮对/轮组组成的多刚体系统，车辆悬挂系统包括一系、二系悬挂部件(车体与构架用二系悬挂连接，轮对轴箱和构架间用一系悬挂连接，车体重量通过二系悬挂传递给转向架构架，车体和构架的重量通过一系悬挂传递给轮对。)，考虑悬挂部件的非线性，采用三维弹簧/阻尼单元模拟，车间连接统包括车间铰接机构和车间减振器，车间铰接机构采用动力学约束建模，车间减振器采用空间非线性弹簧阻尼单元模拟。

1.单个车辆系统建模

3节编组的70％低地板有轨电车系统可简化为由车体、摇枕、构架、轮对(传统轮对与独立轮组)和两系悬挂系统组成。其动力学模型三视图如图1-图4所示。车体与构架用二系悬挂连接(车体与构架之间的连接称为二系悬挂)，而轮对轴箱和构架间则用一系悬挂连接。车体重量通过二系悬挂传递给转向架构架，车体和构架的重量通过一系悬挂传递给轮对。转向架中央悬挂模型包括刚弹簧提供的三个方向刚度及阻尼，横向止挡提供的横向刚度，横、垂向减振器提供的阻尼；轴箱悬挂模型包括轴箱橡胶簧提供三个方向的刚度和垂向阻尼。

优选地，有轨电车为3节编组的70％低地板有轨电车。其包括三个车体、三个转向架构架、两个摇枕、四个传统轮对、两个独立轮组、四个独立车轮等刚体，每个车体、构架和传统轮对考虑纵向、横向、垂向、侧滚、点头(旋转)和摇头6个方向的自由度，每个摇枕仅考虑摇头自由度，每个轴桥轮组考虑7个自由度，其中两个独立车轮与轴桥共用纵向、横向、垂向、侧滚和摇头5个方向的自由度，而独立车轮的旋转自由度是独立的。整个车辆子系统共有76个自由度。车辆系统所有部件的弹性变形，如车体、构架、轮对的弹性变形都不考虑。其中与传统轮对自由度有差异的是，轴桥轮组考虑7个自由度，其中两个独立车轮与轴桥共用纵向、横向、垂向、侧滚和摇头5个方向的自由度，而独立车轮的旋转自由度是独立的，这样的3节编组的有轨电车自由度总数为76个自由度。

更进一步地，在建模过程中，轮对在钢轨上运行仅发生纯滚动，而与钢轨间不发生纵向滑移。

假定车辆运行过程中，轮对在钢轨上运行仅发生纯滚动，而与钢轨间不发生纵向滑移。建模考虑一、二系悬挂系统的非线性特性，如二系垂向减振器的阻尼非线性和二系横向止挡的刚度非线性特性。

根据达朗贝尔原理，对有轨电车车辆子系统各部件进行受力分析，可求得车辆各部件之间的相互作用力，从而建立车辆系统各部件的运动微分方程。动车系统运动方程如式(1)-(19)所示，拖车系统运动方程如式(20)-(40)所示。

1)动车系统运动方程：

(1)车体运动方程(i＝1,2；1表示头车，2表示尾车，下同)

纵向运动：

$\begin{array}{c}{M}_c{\stackrel{\·\·}{X}}_{ci}=-F_{xcdbi}+F_{xcdfi}-F_{xcubi}+F_{xcufi}\\ -F_{xdfLi}+F_{xdbLi}-F_{xdfRi}+F_{xdbRi}-F_{xbLi}-F_{xbRi}\end{array}---\left(1\right)$

横移运动：

$\begin{array}{c}{M}_c\[{\stackrel{\·\·}{Y}}_{ci}+\frac{V^2}{R_{ci}}+(r_0+H_{twi}+H_{Bti}+H_{cBi}){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\sec i}\]=F_{ybLi}+F_{ybRi}-F_{ycdbi}+F_{ycdfi}\\ -F_{ycubi}+F_{ycufi}-F_{ySTi}+M_c{\mathrm{g\φ}}_{\sec i}\end{array}---\left(2\right)$

沉浮运动：

$M_c({\stackrel{\·\·}{Z}}_{ci}-a_0{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\sec i}-\frac{V^2}{R_{ci}}{\mathrm{\φ}}_{\sec i})=-F_{zbLi}-F_{zbRi}+M_{c}g-F_{zcdbi}-F_{zcdfi}---\left(3\right)$

侧滚运动：

$\begin{array}{c}{I}_{cx}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{ci}+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\sec i})=-(F_{ybLi}-F_{ybRi})H_{cb}+(F_{zbLi}-F_{zbRi})d_s\\ +(F_{ycdbi}-F_{ycdfi})H_{cd}+(F_{ycubi}-F_{ycufi})H_{cu}\end{array}---\left(4\right)$

点头运动：

$\begin{array}{c}{I}_{cy}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}_{ci}={(-1)}^{i+1}(F_{zbLi}+F_{zbRi})l_c-(F_{xbLi}+F_{xbRi})H_{cb}-(F_{zcdbi}+F_{zcdfi})L_{cc}\\ +(F_{xcdfi}-F_{xcdbi})H_{cd}+(F_{xcubi}+F_{xcufi})H_{cu}+(F_{xdfLi}-F_{xdbLi}+F_{xdfRi}-F_{xdbRi})H_{cd}\end{array}---\left(5\right)$

摇头运动：

$\begin{array}{c}{I}_{cz}\[{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}}}_{ci}+V\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{R_{ci}}\right)\]=(F_{ycdbi}+F_{ycdfi}+F_{ycubi}+F_{ycufi})L_{cc}-M_{cpi}\\ +(F_{xdfLi}-F_{xdbLi}-F_{xdfRi}+F_{xdbRi})L_{dc}\end{array}---\left(6\right)$

(2)摇枕摇头运动方程(i＝1,2)

$I_{bsz}\[{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}}}_{bsi}+V\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{R_{bsi}}\right)\]=M_{cpi}-(F_{xbLi}-F_{xbRi})d_s---\left(7\right)$

(3)构架运动方程(i＝1,2)

纵向运动：

$M_b{\stackrel{\·\·}{X}}_{bi}=F_{xbLi}-F_{xfL(2i-1)}-F_{xfL\left(2i\right)}+F_{xbRi}-F_{xfR(2i-1)}-F_{xfR\left(2i\right)}---\left(8\right)$

横移运动：

$\begin{array}{c}{M}_b\[{\stackrel{\·\·}{Y}}_{bi}+\frac{V^2}{R_{bi}}+(r_0+H_{bw}){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\mathrm{se}bi}\]=F_{yfL(2i-1)}+F_{yfL\left(2i\right)}+F_{yfR(2i-1)}+F_{yfR\left(2i\right)}\\ -F_{ybLi}-F_{ybRi}+F_{ySTi}+M_b{\mathrm{g\φ}}_{\mathrm{se}bi}\end{array}---\left(9\right)$

沉浮运动：

$\begin{array}{c}{M}_b\[{\stackrel{\·\·}{Z}}_{bi}-a_0{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\mathrm{se}bi}-\frac{V^2}{R_{bi}}{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{se}bi}\]=F_{zbLi}-F_{zfL(2i-1)}-F_{zfL\left(2i\right)}+F_{zbRi}\\ -F_{zfR(2i-1)}-F_{zfR\left(2i\right)}+M_{b}g\end{array}---\left(10\right)$

侧滚运动：

$\begin{array}{c}{I}_{bx}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{bi}+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\mathrm{se}bi})=-\[F_{yfL(2i-1)}+F_{yfL\left(2i\right)}+F_{yfR(2i-1)}+F_{yfR\left(2i\right)}\]H_{bw}+(F_{zbRi}-F_{zbLi})d_s\\ -(F_{ybLi}+F_{ybRi})H_{bt}+\[F_{zfL(2i-1)}+F_{zfL\left(2i\right)}-F_{zfR(2i-1)}-F_{zfR\left(2i\right)}\]d_w\end{array}---\left(11\right)$

点头运动：

$\begin{array}{c}{I}_{by}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}_{bi}=\[F_{zfL(2i-1)}-F_{zfL\left(2i\right)}+F_{zfR(2i-1)}-F_{zfR\left(2i\right)}\]l_b\\ -(F_{xbLi}+F_{xbRi})H_{Bt}-\[F_{xfL(2i-1)}+F_{xfL\left(2i\right)}+F_{xfR(2i-1)}+F_{xfR\left(2i\right)}\]H_{bw}\end{array}---\left(12\right)$

摇头运动：

$\begin{array}{c}{I}_{bz}\[{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}}}_{bi}+V\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{R_{bi}}\right)\]=\[F_{yfL(2i-1)}-F_{yfL\left(2i\right)}+F_{yfR(2i-1)}-F_{yfR\left(2i\right)}\]l_b+(F_{xbLi}-F_{xbRi})d_s\\ -\[F_{xfL(2i-1)}+F_{xfL\left(2i\right)}-F_{xfR(2i-1)}-F_{xfR\left(2i\right)}\]d_w\end{array}---\left(13\right)$

(4)轮对运动方程(i＝1-4；1，2分别表示头车前、后轮对，3、4分别表示尾车前、后轮对，下同)

向前滚动：

$M_w{\stackrel{\·\·}{X}}_{wi}=F_{xfLi}+F_{xfRi}+F_{wrxLi}+F_{wrxRi}---\left(14\right)$

横移运动：

$M_w\[{\stackrel{\·\·}{Y}}_{wi}+\frac{V^2}{R_{wi}}+r_0{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\mathrm{se}wi}\]=-F_{yfLi}-F_{yfRi}+F_{wryLi}+F_{wryRi}+M_w{\mathrm{g\φ}}_{\mathrm{se}wi}---\left(15\right)$

沉浮运动：

$M_w\[{\stackrel{\·\·}{Z}}_{wi}-a_0{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\mathrm{se}wi}-\frac{V^2}{R_{wi}}{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{se}wi}\]=F_{zfLi}+F_{zfRi}-F_{wrzLi}-F_{wrzRi}+M_{w}g---\left(16\right)$

侧滚运动：

$\begin{array}{c}{I}_{wx}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{wi}+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\mathrm{se}wi})-I_{wy}({\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{wi}-\mathrm{\Ω})({\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{wi}+\frac{V}{R_{wi}})=(F_{zfRi}-F_{zfLi})d_w\\ -d_L{F}_{wrzLi}-d_R{F}_{wrzRi}-r_{Li}{F}_{wryLi}-r_{Ri}{F}_{wryRi}\end{array}---\left(17\right)$

旋转运动：

$I_{wy}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}_{wi}=r_{Li}{F}_{wrxLi}+r_{Ri}{F}_{wrxRi}+r_{Li}{\mathrm{\ψ}}_{wi}{F}_{wryLi}+r_{Ri}{\mathrm{\ψ}}_{wi}{F}_{wryRi}+M_{wryLi}+M_{wryRi}+M_{TB}---\left(18\right)$

摇头运动：

$\begin{array}{c}{I}_{wz}\[{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}}}_{wi}+V\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{R_{wi}}\right)\]-I_{wy}({\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{wi}-\mathrm{\Ω})\left({\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_{wi}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_{sewi}\right)=(d_L{F}_{wrxLi}-d_R{F}_{wrxRi})\\ +(d_L{F}_{wryLi}-d_R{F}_{wryRi}){\mathrm{\ψ}}_{wi}+d_w(F_{xfLi}-F_{xfRi})+M_{wrzLi}+M_{wrzRi}\end{array}---\left(19\right)$

方程(1)-(19)中的参数说明如下：

F_xcdfi(i＝1,2)—车体前端下铰纵向作用力(N)；

F_xcdbi(i＝1,2)—车体后端下铰纵向作用力(N)；

F_ycdfi(i＝1,2)—车体前端下铰横向作用力(N)；

F_ycdbi(i＝1,2)—车体后端下铰横向作用力(N)；

F_zcdfi(i＝1,2)—车体前端下铰垂向作用力(N)；

F_zcdbi(i＝1,2)—车体后端下铰垂向作用力(N)；

F_xcufi(i＝1,2)—车体前端上铰纵向作用力(N)；

F_xcubi(i＝1,2)—车体后端上铰纵向作用力(N)；

F_ycufi(i＝1,2)—车体前端上铰横向作用力(N)；

F_ycubi(i＝1,2)—车体后端上铰横向作用力(N)；

F_xdfji(i＝1,2,j＝L,R)—车体前端纵向减振器作用力(N)；

F_xdbji(i＝1,2,j＝L,R)—车体后端纵向减振器作用力(N)；

F_xbji(i＝1,2,j＝L,R)—二系悬挂钢弹簧纵向作用力(N)；

F_ybji(i＝1,2,j＝L,R)—二系悬挂钢弹簧横向作用力(N)；

F_zbji(i＝1,2,j＝L,R)—二系悬挂钢弹簧垂向作用力(N)；

F_ySTi(i＝1,2)—二系横向止挡作用力(N)；

M_cpi(i＝1,2)—心盘摩擦力矩(N·m)；

F_xfji(i＝1,2,3,4,j＝L,R)—一系悬挂纵向作用力(N)；

F_yfji(i＝1,2,3,4,j＝L,R)—一系悬挂横向作用力(N)；

F_zfji(i＝1,2,3,4,j＝L,R)—一系悬挂垂向作用力(N)；

F_wrxji(i＝1,2,3,4,j＝L,R)—轮轨纵向作用力(N)；

F_wryji(i＝1,2,3,4,j＝L,R)—轮轨横向作用力(N)；

F_wrzji(i＝1,2,3,4,j＝L,R)—轮轨垂向作用力(N)；

M_wrxji(i＝1,2,3,4,j＝L,R)—轮轨自旋力矩纵向分量(N·m)

M_wryji(i＝1,2,3,4,j＝L,R)—轮轨自旋力矩横向分量(N·m)；

M_wrzji(i＝1,2,3,4,j＝L,R)—轮轨自旋力矩垂向分量(N·m)。

R_ci(i＝1,2)—曲线轨道上第i车体重心所对应的曲率半径(m)；

R_bsi(i＝1,2)—曲线轨道上第i心盘重心所对应的曲率半径(m)；

R_bi(i＝1,2)—曲线轨道上第i转向架重心所对应的曲率半径(m)；R_wi(i＝1,2)—曲线轨道上第i轮对重心所对应的曲率半径(m)；

H_cd—车体质心至车端下铰(纵向减振器)的垂直距离(m)；

H_cu—车体质心至车端上铰的垂直距离(m)；

H_cb—车体质心至二系悬挂上平面的距离(m)；

H_bt—构架质心至二系悬挂下平面的距离(m)；

H_bw—构架质心至轮对中心的垂直距离(m)；

l_cc—车铰至车体中心的纵向距离(m)；

l_c—构架中心至车体中心的纵向距离(m)；

l_b—转向架轮对定距之半(m)；

l_dc—车间纵向减振器横向距离之半(m)；

d_s—二系悬挂横向距离之半(m)；

d_w—一系悬挂横向距离之半(m)。

φ_seci(i＝1,2)—曲线轨道上车体中心所对应的外轨超高角(rad)；

φ_sebsi(i＝1,2)—曲线轨道上第i心盘中心所对应的外轨超高角(rad)；

φ_sebi(i＝1,2)—曲线轨道上第i转向架中心所对应的外轨超高角(rad)；

φ_sewi(i＝1,2)—曲线轨道上第i轮对中心所对应的外轨超高角(rad)；

α₀—左右轮轨接触点距离之半(m)；

r₀—示车轮名义滚动半径(m)；

r_L—左轮的滚动半径(m)；

r_R—右轮的滚动半径(m)；

V—列车运行速度(m/s)。

2)拖车系统运动方程：

(1)车体运动方程

纵向运动：

$\begin{array}{c}{M}_c{\stackrel{\·\·}{X}}_c=-F_{xcdb}+F_{xcdf}-F_{xcub}+F_{xcuf}\\ -F_{xdfL}+F_{xdbL}-F_{xdfR}+F_{xdbR}-F_{xdL}-F_{xdR}\end{array}---\left(20\right)$

横移运动：

$\begin{array}{c}{M}_c\[{\stackrel{\·\·}{Y}}_c+\frac{V^2}{R_c}+(r_0+H_{tw}+H_{Bt}+H_{cB}){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\sec }\]=F_{ybL}+F_{ybR}-F_{ycdb}+F_{ycdf}\\ -F_{ycub}+F_{ycuf}-F_{yST}+M_c{\mathrm{g\φ}}_{\sec }\end{array}---\left(21\right)$

沉浮运动：

$M_c({\stackrel{\·\·}{Z}}_c-a_0{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\sec }-\frac{V^2}{R_c}{\mathrm{\φ}}_{\sec })=-F_{zbL}-F_{zbR}+M_{c}g-F_{zcdb}-F_{zcdf}---\left(22\right)$

侧滚运动：

$\begin{array}{c}{I}_{cx}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_c+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\sec })=-(F_{ybL}+F_{ybR})H_{cb}+(F_{zbL}-F_{zbR})d_s\\ +(F_{ycdb}-F_{ycdf})H_{cd}+(F_{ycub}-F_{ycuf})H_{cu}\end{array}---\left(23\right)$

点头运动：

$\begin{array}{c}{I}_{cy}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}_c=-(F_{xbL}+F_{xbR})H_{cb}-(F_{zcdb}+F_{zcdf})L_{cc}+(F_{xcdf}-F_{xcdb})H_{cd}\\ +(F_{xcub}+F_{xcuf})H_{cu}+(F_{xdfL}-F_{xbbL}+F_{xdfR}-F_{xdbR})H_{cd}\end{array}---\left(24\right)$

摇头运动：

$\begin{array}{c}{I}_{cz}\[{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}}}_c+V\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{R_c}\right)\]=(F_{ycdb}+F_{ycdf}+F_{ycub}+F_{ycuf})L_{cc}(F_{xbL}-F_{xbR})d_s\\ +(F_{xdfL}-F_{xdbL}-F_{xdfR}+F_{xdbR})L_{dc}\end{array}---\left(25\right)$

(2)构架运动方程

纵向运动：

$M_b{\stackrel{\·\·}{X}}_b=F_{xbL}-F_{xfL1}-F_{xfL2}+F_{xbR}-F_{xfR1}-F_{xfR2}---\left(26\right)$

横移运动：

$\begin{array}{c}{M}_b\[{\stackrel{\·\·}{Y}}_b+\frac{V^2}{R_b}+(r_0+H_{bw}){\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\mathrm{se}b}\]=F_{yfL1}+F_{yfL2}+F_{yfR1}+F_{yfR2}\\ -F_{ybL}-F_{ybR}+F_{yST}+M_b{\mathrm{g\φ}}_{\mathrm{se}b}\end{array}---\left(27\right)$

沉浮运动：

$M_b\[{\stackrel{\·\·}{Z}}_b-a_0{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\mathrm{se}b}-\frac{V^2}{R_b}{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{se}b}\]=F_{zbL}-F_{zfL1}-F_{zfL2}+F_{zbR}-F_{zfR1}-F_{zfR2}+M_{b}g---\left(28\right)$

侧滚运动：

$\begin{array}{c}{I}_{bx}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{bi}+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{seb})=-\[F_{yfL1}+F_{yfL2}+F_{yfR1}+F_{yfR2}\]H_{bw}+(F_{zbR}-F_{zbL})d_s\\ -(F_{ybL}+F_{ybR})H_{bt}+\[F_{zfL1}+F_{zfL2}-F_{zfR1}-F_{zfR2}\]d_w\end{array}---\left(29\right)$

点头运动：

$\begin{array}{c}{I}_{by}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}_b=\[F_{zfL1}-F_{zfL2}+F_{zfR1}-F_{zfR2}\]l_b-(F_{ybL}+F_{ybR})H_{Bt}\\ -\[F_{xfL1}+F_{xfL2}+F_{xfR1}+F_{xfR2}\]H_{bw}\end{array}---\left(30\right)$

摇头运动：

$\begin{array}{c}{I}_{bz}\[{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}}}_b+V\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{R_b}\right)\]=\[F_{yfL1}-F_{yfL2}+F_{yfR1}-F_{yfR2}\]l_b+(F_{xbL}-F_{xbR})d_s\\ -\[F_{xfL1}+F_{xfL2}-F_{xfR1}-F_{xfR2}\]d_w\end{array}---\left(31\right)$

(3)轴桥(独立轮组)运动方程(i＝1-2)

纵向运动：

$M_{iw}{\stackrel{\·\·}{X}}_{iwi}=F_{xfLi}+F_{xfRi}+F_{wrxLi}+F_{wrxRi}---\left(32\right)$

横向运动：

$M_{iw}\[{\stackrel{\·\·}{Y}}_{iwi}+\frac{V^2}{R_{iwi}}+r_0{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\mathrm{se}iwi}\]=-F_{yfLi}-F_{yfRi}+F_{wryLi}+F_{wryRi}+M_w{\mathrm{g\φ}}_{\mathrm{se}iwi}---\left(33\right)$

沉浮运动：

$M_{iw}\[{\stackrel{\·\·}{Z}}_{iwi}-a_0{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\mathrm{se}iwi}-\frac{V^2}{R_{iwi}}{\mathrm{\φ}}_{\mathrm{se}iwi}\]=F_{zfLi}+F_{zfRi}-F_{wrzLi}-F_{wrzRi}+M_{iw}g---\left(34\right)$

侧滚运动：

$\begin{array}{c}{I}_{iwx}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{iwi}+{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\φ}}}_{\mathrm{se}iwi})-I_{iwy}({\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{iwi}-\mathrm{\Ω})({\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{iwi}+\frac{V}{R_{iwi}})=(F_{zfRi}-F_{zfLi})d_w\\ -d_L{F}_{wrzLi}-d_R{F}_{wrzRi}-r_{Li}{F}_{wryLi}-r_{Ri}{F}_{wryRi}\end{array}---\left(35\right)$

摇头运动：

$\begin{array}{c}{I}_{iwz}\[{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_{iwi}+V\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{R_{iwi}}\right)\]-I_{iwy}({\stackrel{\·}{\mathrm{\β}}}_{iwi}-\mathrm{\Ω})({\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_{iwi}+{\stackrel{\·}{\mathrm{\φ}}}_{\mathrm{se}iwi})=(d_L{F}_{wrxLi}-d_R{F}_{wrxRi})\\ -(d_L{F}_{wryLi}-d_R{F}_{wryRi}){\mathrm{\ψ}}_{wi}+d_w(F_{xfLi}-F_{xfRi})+M_{wrzLi}+M_{wrzRi}\end{array}---\left(36\right)$

(4)独立车轮旋转运动方程(i＝1-4,j＝L,R)

$\frac{I_{wy}}{2}{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\β}}}_{wji}=r_{ji}{F}_{Nxji}+r_{ji}{\mathrm{\ψ}}_{wi}{F}_{wIyji}+M_{wryji}---\left(37\right)$

方程(20)-(37)中的部分参数说明如下：

F_xcdf—车体前端下铰纵向作用力(N)；

F_xcdb—车体后端下铰纵向作用力(N)；

F_ycdf—车体前端下铰横向作用力(N)；

F_ycdb—车体后端下铰横向作用力(N)；

F_zcdf—车体前端下铰垂向作用力(N)；

F_zcdb—车体后端下铰垂向作用力(N)；

F_xcuf—车体前端上铰纵向作用力(N)；

F_xcub—车体后端上铰纵向作用力(N)；

F_ycuf—车体前端上铰横向作用力(N)；

F_ycub—车体后端上铰横向作用力(N)；

F_xdfj(j＝L,R)—车体前端纵向减振器作用力(N)；

F_xdbj(j＝L,R)—车体后端纵向减振器作用力(N)；

F_xbj(j＝L,R)—二系悬挂钢弹簧纵向作用力(N)；

F_ybj(j＝L,R)—二系悬挂钢弹簧横向作用力(N)；

F_zbj(j＝L,R)—二系悬挂钢弹簧垂向作用力(N)；

F_yST—二系横向止挡作用力(N)；

F_xfji(i＝1,2,j＝L,R)—一系悬挂纵向作用力(N)；

F_yfji(i＝1,2,j＝L,R)—一系悬挂横向作用力(N)；

F_zfji(i＝1,2,j＝L,R)—一系悬挂垂向作用力(N)；

F_Nxji(i＝1,2,j＝L,R)—轮轨法向作用力纵向分量(N)；

F_wryji(i＝1,2,j＝L,R)—轮轨横向作用力(N)；

F_wrzji(i＝1,2,j＝L,R)—轮轨垂向作用力(N)；

M_wrxji(i＝1,2,j＝L,R)—轮轨自旋力矩纵向分量(N·m)

M_wryji(i＝1,2,j＝L,R)—轮轨自旋力矩横向分量(N·m)；

M_wrzji(i＝1,2,j＝L,R)—轮轨自旋力矩垂向分量(N·m)；

R_c—曲线轨道上车体重心所对应的曲率半径(m)；

R_b—曲线轨道上转向架重心所对应的曲率半径(m)；

R_iwi(i＝1,2)—曲线轨道上轮组重心所对应的曲率半径(m)；

φ_sec—曲线轨道上车体中心所对应的外轨超高角(rad)；

φ_seb—曲线轨道上转向架中心所对应的外轨超高角(rad)；

φ_sewi(i＝1,2)—曲线轨道上第i轮组中心所对应的外轨超高角(rad)。

2.车间连接建模

有轨电车车体间的连接采用铰接结构，铰接式连接可以保证小转弯半径，实现车辆的模块化生产，同时可以根据客流改变模块编组，见图5-图6。此种铰接式连接机构能承受垂向载荷，保证中间转向架能承受邻车的重量；其次这种连接装置也能够确保整列车的稳定性，同时又能适应车体间的各向相对运动，但又不影响相邻车体的转动。车间铰接系统中，动车和拖车车体间均设有上下连接点，其中2个下连接点相同，为固定铰，采用球面轴承，能承受垂向载荷，同时又不影响车体间的相对转动；2个上连接点不相同，一个为转动铰，采用橡胶圆柱关节，一个为自由铰，采用横向拉杆连接。

固定铰是动车和拖车的主要连接机构,其约束动车和拖车之间三个方向的平动，但能相邻车体绕三个方向转动，能承受垂向力,传递大部分的纵向力(牵引力或制动力)和横向力。转动铰是头车和中间车的辅助连接机构,约束头车车体和中间车车体相互间的侧滚以及点头运动。自由铰是中间车和尾车辅助连接机构,其限制车体间的纵向和横向的平动,但不限制垂向的平动和三向转动,不承受垂向力，主要约束中间车车体和尾车车体相互间的蛇行运动。

车间连接建模时，将铰接视为大刚度的连接件，整列车的运动矢量链形成开放的树形结构，即从一个车体到另一个车体通过机构相连，这种处理将在车体之间产生动力学约束。

优选地，所述减振器两端为刚性球铰结构。为确保车辆运行稳定性，改善列车运行平稳性，车体间还布置纵向减振器。车间连接建模时，将车间纵向减振器简化为铰接于两车体端部底座边缘的阻尼器，其只能沿轴向伸缩变形，由阻尼器两端点的轴向速度差而产生车间悬挂阻抗力。建模中考虑纵向减振器的阻尼非线性特性及超出其工作行程范围之外条件下的刚度非线性特性，如图7-8所示。由于这种减振器在直线上运行时的纵向实际工作行程很小，为了发挥减振器最大功效，使减振器两端的相对运动行程等于减振器活塞杆的实际工作行程，故减振器两端取消了通常的橡胶层而制成刚性球铰结构，因此建模时未考虑纵向减振器的节点刚度。利用数值积分方法可求得任意时刻的车辆响应及左右车间纵向减振器前后端点的速度差值为：

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔX}}_{CDL}=\sqrt{{(x_{CDLf}^{n+1}-x_{CDLb}^n)}^2+{(y_{CDLf}^{n+1}-y_{CDLb}^n)}^2+{(z_{CDLf}^{n+1}-z_{CDLb}^n)}^2}-L_{CD}\\ \mathrm{\Δ}{\stackrel{\→}{V}}_{CDL}=\sqrt{{({\stackrel{\·}{x}}_{CDLf}^{n+1}-{\stackrel{\·}{x}}_{CDLb}^n)}^2+{({\stackrel{\·}{y}}_{CDLf}^{n+1}-{\stackrel{\·}{y}}_{CDLb}^n)}^2+{({\stackrel{\·}{z}}_{CDLf}^{n+1}-{\stackrel{\·}{z}}_{CDLb}^n)}^2}\end{array}---\left(38\right)$

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔX}}_{CDR}=\sqrt{{(x_{CDRf}^{n+1}-x_{CDRb}^n)}^2+{(y_{CDRf}^{n+1}-y_{CDRb}^n)}^2+{(z_{CDRf}^{n+1}-z_{CDRb}^n)}^2}-L_{CD}\\ \mathrm{\Δ}{\stackrel{\→}{V}}_{CDR}=\sqrt{{({\stackrel{\·}{x}}_{CDDf}^{n+1}-{\stackrel{\·}{x}}_{CDDb}^n)}^2+{({\stackrel{\·}{y}}_{CDRf}^{n+1}-{\stackrel{\·}{y}}_{CDRb}^n)}^2+{({\stackrel{\·}{z}}_{CDRf}^{n+1}-{\stackrel{\·}{z}}_{CDRb}^n)}^2}\end{array}---\left(39\right)$

根据车间减振器的非线性特性及左右纵向减振器前后端点的速度差值与空间距离，可计算出减振器作用于车体端部的悬挂力：

$F_{xdL}=\left\{\begin{array}{cc}{C}_{CD1}{\mathrm{\&Delta;V}}_{CDL}& \left|{\mathrm{\&Delta;V}}_{CDL}\right|<V_{0CD},\left|{\mathrm{\&Delta;X}}_{CDL}\right|\&le;X_{0CD}\\ sign\left({\mathrm{\&Delta;V}}_{CDL}\right)\&lsqb;C_{CD1}{V}_{0CD}+C_{CD2}\left(\right|{\mathrm{\&Delta;V}}_{CDL}|-V_{0CD}\&rsqb;& \left|{\mathrm{\&Delta;V}}_{CDL}\right|\&GreaterEqual;V_{0CD},\left|{\mathrm{\&Delta;X}}_{CDL}\right|\&le;X_{0CD}\\ sign\left({\mathrm{\&Delta;X}}_{CDL}\right)K_{CD}\left(\right|{\mathrm{\&Delta;X}}_{CDL}|-X_{0CD})& \left|{\mathrm{\&Delta;V}}_{CDL}\right|\&GreaterEqual;V_{0CD},\left|{\mathrm{\&Delta;X}}_{CDL}\right|>X_{0CD}\end{array}\right.---\left(40\right)$

$F_{xdR}=\left\{\begin{array}{cc}{C}_{CD1}{\mathrm{\&Delta;V}}_{CDR}& \left|{\mathrm{\&Delta;V}}_{CDR}\right|<V_{0CD},\left|{\mathrm{\&Delta;X}}_{CDR}\right|\&le;X_{0CD}\\ sign\left({\mathrm{\&Delta;V}}_{CDR}\right)\&lsqb;C_{CD1}{V}_{0CD}+C_{CD2}\left(\right|{\mathrm{\&Delta;V}}_{CDR}|-V_{0CD}\&rsqb;& \left|{\mathrm{\&Delta;V}}_{CDR}\right|\&GreaterEqual;V_{0CD},\left|{\mathrm{\&Delta;X}}_{CDR}\right|\&le;X_{0CD}\\ sign\left({\mathrm{\&Delta;X}}_{CDR}\right)K_{CD}\left(\right|{\mathrm{\&Delta;X}}_{CDR}|-X_{0CD})& \left|{\mathrm{\&Delta;V}}_{CDR}\right|\&GreaterEqual;V_{0CD},\left|{\mathrm{\&Delta;X}}_{CDR}\right|>X_{0CD}\end{array}\right.---\left(41\right)$

方程(38)-(41)中的参数说明如下：

—与后车相连的车体间左减振器连接点空间坐标；

—与后车相连的车体间右减振器连接点空间坐标；

—与前车相连的车体间左减振器连接点空间坐标；

—与前车相连的车体间右减振器连接点空间坐标；

F_xdL,F_xdR—车体间左、右减振器作用力(N)；

V_0CD—车体间减振器卸载速度(m/s)；

C_CD1—卸载前车体间减振器等效阻尼(N·s/m)；

C_CD2—卸载后车体间减振器等效阻尼(N·s/m)；

V_0LD—横向减振器卸载速度(m/s)；

X_0CD—车体间减振器工作行程范围(m)；

K_CD—车体间减振器工作行程外的等效刚度(N/m)；

△X_CDL,△X_CDR—车体间左、右减振器两端的相对位移(m)；

△V_CDL,△V_CDR—车体间左、右减振器两端的相对速度(m/s)。

步骤二：轨道系统建模

嵌入式轨道被视为由钢轨、高分子填充材料、轨道板及以下基础组成。嵌入式轨道动力学计算模型如图9-图10所示，其中左右钢轨被视为连续弹性支承基础上的Timoshenko梁，并考虑钢轨的垂向、横向和扭转振动，轨道板用三维实体有限元单元模拟，钢轨填充材料用三维粘弹性弹簧-阻尼单元模拟，轨道板与路基之间通过与路基刚度等效的弹簧/阻尼单元连接。

1.钢轨结构建模

轨道计算模型中，钢轨弯曲振动可由平动和截面转动两个偏微分方程表示，基于Timoshenko梁理论可得到钢轨横向、垂向和扭转三个方向的运动方程。

钢轨横向振动

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&rho;}A\frac{{\&part;}^{2}y(x,t)}{\&part;t^2}+{\mathrm{\&kappa;}}_{y}GA\&lsqb;\frac{\&part;{\mathrm{\&psi;}}_y(x,t)}{\&part;x}-\frac{{\&part;}^{2}y(x,t)}{\&part;x^2}\&rsqb;+K_{yr}\left(y\right(x,t)-y_{sr}(x,t\left)\right)\\ +C_{yr}(\frac{\&part;y(x,t)}{\&part;t}-\frac{\&part;y_{sr}(x,t)}{\&part;t})-\underset{j=1}{\overset{N_w}{\&Sigma;}}{F}_{wryj}\left(t\right)\mathrm{\&delta;}(x-x_{w_j})=0\\ {\mathrm{pI}}_z\frac{{\&part;}^2{\mathrm{\&psi;}}_y(x,t)}{\&part;t^2}+{\mathrm{\&kappa;}}_{y}GA\&lsqb;{\mathrm{\&psi;}}_y(x,t)-\frac{\&part;y(x,t)}{\&part;x}\&rsqb;-{\mathrm{EI}}_z\frac{{\&part;}^2{\mathrm{\&psi;}}_y(x,t)}{\&part;x^2}=0\end{array}\right.---\left(42\right)$

钢轨垂向振动

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&rho;}A\frac{{\&part;}^{2}z(x,t)}{\&part;t^2}+{\mathrm{\&kappa;}}_{z}GA\&lsqb;\frac{\&part;{\mathrm{\&psi;}}_z(x,t)}{\&part;x}-\frac{{\&part;}^{2}z(x,t)}{\&part;x^2}\&rsqb;+K_{zr}\left(z\right(x,t)-z_{sr}(x,t\left)\right)\\ +C_{zr}(\frac{\&part;z(x,t)}{\&part;t}-\frac{\&part;z_{sr}(x,t)}{\&part;t})-\underset{j=1}{\overset{N_w}{\&Sigma;}}{F}_{wrzj}\left(t\right)\mathrm{\&delta;}(x-x_{w_j})=0\\ {\mathrm{\&rho;I}}_y\frac{{\&part;}^2{\mathrm{\&psi;}}_z(x,t)}{\&part;t^2}+{\mathrm{\&kappa;}}_{z}GA\&lsqb;{\mathrm{\&psi;}}_z(x,t)-\frac{\&part;z(x,t)}{\&part;x}\&rsqb;-{\mathrm{EI}}_y\frac{{\&part;}^2{\mathrm{\&psi;}}_z(x,t)}{\&part;x^2}=0\end{array}\right.---\left(43\right)$

钢轨扭转振动

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&rho;I}}_0\frac{{\&part;}^2\mathrm{\&phi;}(x,t)}{\&part;t^2}-GK\frac{{\&part;}^2\mathrm{\&phi;}(x,t)}{\&part;x^2}+K_{\mathrm{\&phi;}r}\left(\mathrm{\&phi;}\right(x,t)-{\mathrm{\&phi;}}_{sr}(x,t\left)\right)\\ -C_{\mathrm{\&phi;}r}(\frac{\&part;\mathrm{\&phi;}(x,t)}{\&part;t}-\frac{\&part;{\mathrm{\&phi;}}_{sr}(x,t)}{\&part;t})-\underset{j=1}{\overset{N_w}{\&Sigma;}}{M}_{Gj}\left(t\right)\mathrm{\&delta;}(x-x_{w_j})=0\end{array}---\left(44\right)$

方程(42)-(44)中的参数说明如下：

y—钢轨横向位移(m)；

z—钢轨垂向位移(m)；

φ—钢轨扭转位移(rad)；

ψ_y—钢轨绕z轴的截面转角变形(rad)；

ψ_z—钢轨绕y轴的截面转角变形(rad)；

y_sr—道床板承轨槽处横向位移(m)；

z_sr—道床板承轨槽处垂向位移(m)；

φ_sr—道床板承轨槽扭转位移(rad)；

k_yr—钢轨填充材料横向刚度(N/m)；

C_yr—钢轨填充材料横向阻尼(N·s/m)；

k_zr—钢轨填充材料垂向刚度(N/m)；

C_zr—钢轨填充材料垂向阻尼(N·s/m)；

k_φr—钢轨填充材料扭转剪切刚度(N/rad)；

C_φr—钢轨填充材料扭转剪切阻尼(N·s/rad)；

F_wrzj—第j位车轮作用于钢轨的垂向荷载(kN)；

F_wryj—第j位车轮作用于钢轨的横向荷载(kN)；

M_Gj—第j位车轮作用于钢轨的力矩(kN·m)；

I_y—钢轨截面对y轴的惯性矩(m⁴)；

I_z—钢轨截面对z轴的惯性矩(m⁴)；

ρ—钢轨的单位长度密度(kg/m)；

G—钢轨剪切模量(MPa)；

GK—钢轨抗扭转刚度(kN·m)；

A—钢轨截面面积(m²)；

Κ_y—钢轨截面的横向剪切形状因子；

Κ_z—钢轨截面的垂向剪切形状因子。

其中，钢轨截面的剪切形状因子由ANSYS软件对中国59R2槽形钢轨截面计算得到，分别为κ_y＝0.5257和κ_z＝0.2892。

应用分离变量法，采用正则振型函数以及其正则坐标表示钢轨垂向、横向、扭转位移为：

$y(x,t)=\underset{k=1}{\overset{NMY}{\&Sigma;}}{Y}_k\left(x\right)q_{yk}\left(t\right)---\left(45\right)$

${\mathrm{\&psi;}}_y(x,t)=\underset{k=1}{\overset{NMY}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&Psi;}}_{yk}\left(x\right)w_{yk}\left(t\right)---\left(46\right)$

$z(x,t)=\underset{k=1}{\overset{NMZ}{\&Sigma;}}{Z}_k\left(x\right)q_{zk}\left(t\right)---\left(47\right)$

${\mathrm{\&psi;}}_z(x,t)=\underset{k=1}{\overset{NMZ}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&Psi;}}_{zk}\left(x\right)w_{zk}\left(t\right)---\left(48\right)$

$\mathrm{\&phi;}(x,t)=\underset{k=1}{\overset{NMT}{\&Sigma;}}{\mathrm{\&Phi;}}_k\left(x\right)q_{Tk}\left(t\right)---\left(49\right)$

式(45)-(49)中，q_yk(t)，q_zk(t)和q_Tk(t)分别为对应钢轨横向、垂向和扭转的正则坐标；w_yk(t)和w_zk(t)分别为对应钢轨横向和垂向振动时，钢轨截面的正则坐标；Y_k(x)，Z_k(x)和Φ_k(x)分别对应钢轨横向、垂向和扭转的正则振型函数；Ψ_yk(x)和Ψ_zk(x)分别为对应钢轨横向和垂向振动时，钢轨截面转角的正则振型函数；NMY,NMZ和NMT分别表示钢轨横向、垂向和扭转振动在数值计算中考虑的模态阶数。

式(45)-(49)中的符号说明如下：

q_yk(t)—钢轨横向正则坐标；

q_zk(t)—钢轨垂向正则坐标；

q_Tk(t)—钢轨扭转正则坐标；

w_yk(t)—钢轨横向振动时，钢轨截面转角的正则坐标；

w_zk(t)—钢轨垂向振动时，钢轨截面转角的正则坐标；

Y_k(x)—钢轨横向正则振型函数；

Z_k(x)—钢轨垂向正则振型函数；

Φ_k(x)—钢轨扭转正则振型函数；

Ψ_yk(x)—钢轨横向振动时钢轨截面转角的正则振型函数；

Ψ_zk(x)—钢轨垂向振动时钢轨截面转角的正则振型函数；

NMY—钢轨横向振动在数值计算中考虑的模态阶数；

NMZ—钢轨垂向振动在数值计算中考虑的模态阶数；

NMT—钢轨扭转振动在数值计算中考虑的模态阶数。

由于钢轨被视为两端简支的Timoshenko梁，其正则振型函数取为

$Y_k\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{{\mathrm{ml}}_{tim}}}sin\left(\frac{k\mathrm{\&pi;}}{l_{tim}}x\right)---\left(50\right)$

${\mathrm{\&Psi;}}_{yk}\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{{\mathrm{\&rho;I}}_y{l}_{tim}}}cos\left(\frac{k\mathrm{\&pi;}}{l_{tim}}x\right)---\left(51\right)$

$Z_k\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{{\mathrm{ml}}_{tim}}}sin\left(\frac{k\mathrm{\&pi;}}{l_{tim}}x\right)---\left(52\right)$

${\mathrm{\&Psi;}}_{zk}\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{{\mathrm{\&rho;I}}_z{l}_{tim}}}cos\left(\frac{k\mathrm{\&pi;}}{l_{tim}}x\right)---\left(53\right)$

${\mathrm{\&Phi;}}_k\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{{\mathrm{\&rho;I}}_0{l}_{tim}}}sin\left(\frac{k\mathrm{\&pi;}}{l_{tim}}x\right)---\left(54\right)$

运用正则振型的正交性以及狄立克莱函数的性质，将钢轨四阶偏微分方程化简整理为关于正则振型坐标的二阶常微分方程：

横向

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_{yk}\left(t\right)+\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_{y}GA}{m}{\left(\frac{i\mathrm{\&pi;}}{l_{tim}}\right)}^2{q}_{yk}\left(t\right)+{\mathrm{\&kappa;}}_{y}GA\frac{i\mathrm{\&pi;}}{l_{tim}}\sqrt{\frac{1}{{\mathrm{m\&rho;I}}_z}}{w}_{yk}\left(t\right)+\frac{1}{m}\left(K_{yr}{q}_{yk}\right(t)+C_{yr}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_{yk}(t\left)\right)\\ -\frac{1}{{\mathrm{mY}}_k}{\&Integral;}_0^{l_{tim}}\left(K_{yr}{y}_{sr}\right(t)+C_{yr}{\stackrel{\&CenterDot;}{y}}_{sr}(t\left)\right)dx-\underset{j=1}{\overset{N_w}{\&Sigma;}}{F}_{wryj}\left(t\right)Y_k\left(x_{w_j}\right)=0\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{yk}\left(t\right)+\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_{y}GA}{{\mathrm{\&rho;I}}_z}+\frac{{\mathrm{EI}}_z}{{\mathrm{\&rho;I}}_z}{\left(\frac{i\mathrm{\&pi;}}{l_{tim}}\right)}^2\&rsqb;w_{yk}\left(t\right)-{\mathrm{\&kappa;}}_{y}GA\frac{i\mathrm{\&pi;}}{l_{tim}}\sqrt{\frac{1}{{\mathrm{m\&rho;I}}_z}}{q}_{yk}\left(t\right)=0,(k=1~NMY)\end{array}\right.---\left(55\right)$

垂向

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_{zk}\left(t\right)+\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_{z}GA}{m}{\left(\frac{i\mathrm{\&pi;}}{l_{tim}}\right)}^2{q}_{zk}\left(t\right)+{\mathrm{\&kappa;}}_{z}GA\frac{i\mathrm{\&pi;}}{l_{tim}}\sqrt{\frac{1}{{\mathrm{m\&rho;I}}_y}}{w}_{zk}\left(t\right)+\frac{1}{m}\left(K_{zr}{q}_{zk}\right(t)+C_{zr}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_{zk}(t\left)\right)\\ -\frac{1}{{\mathrm{mZ}}_k}{\&Integral;}_0^{l_{tim}}\left(K_{zr}{z}_{sr}\right(t)+C_{zr}{\stackrel{\&CenterDot;}{z}}_{sr}(t\left)\right)dx-\underset{j=1}{\overset{N_w}{\&Sigma;}}{F}_{wrzj}\left(t\right)Z_k\left(x_{w_j}\right)=0\\ {\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{w}}_{zk}\left(t\right)+\&lsqb;\frac{{\mathrm{\&kappa;}}_{z}GA}{{\mathrm{\&rho;I}}_y}+\frac{{\mathrm{EI}}_y}{{\mathrm{\&rho;I}}_y}{\left(\frac{i\mathrm{\&pi;}}{l_{tim}}\right)}^2\&rsqb;w_{zk}\left(t\right)-{\mathrm{\&kappa;}}_{z}GA\frac{i\mathrm{\&pi;}}{l_{tim}}\sqrt{\frac{1}{{\mathrm{m\&rho;I}}_y}}{q}_{zk}\left(t\right)=0,(k=1~NMZ)\end{array}\right.---\left(56\right)$

扭转

$\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{q}}_{Tk}\left(t\right)+\frac{GK}{{\mathrm{\&rho;I}}_0}{\left(\frac{i\mathrm{\&pi;}}{l_{tim}}\right)}^2{q}_{Tk}\left(t\right)+\frac{1}{{\mathrm{\&rho;I}}_0}\left(K_{\mathrm{\&phi;}r}{q}_{Tk}\right(t)+C_{\mathrm{\&phi;}r}{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_{Tk}(t\left)\right)\\ -\frac{1}{{\mathrm{\&rho;I}}_0{\mathrm{\&Phi;}}_k}{\&Integral;}_0^{l_{tim}}\left(K_{\mathrm{\&phi;}r}{\mathrm{\&phi;}}_{sr}\right(t)+C_{\mathrm{\&phi;}r}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&phi;}}}_{sr}(t\left)\right)dx-\underset{j=1}{\overset{N_w}{\&Sigma;}}{M}_{Gj}\left(t\right){\mathrm{\&Phi;}}_k\left(x_{w_j}\right)=0\end{array},(k=1~NMT)---\left(57\right)$

式(57)中，外力矩M_Gj(t)为车轮对钢轨的等效力矩，由钢轨受力分析可确定其具体表达式。至此，基于连续弹性支承基础上的Timoshenko梁任意位置在任意时刻的动态响应就可求解得到。

2.轨道板结构建模

嵌入式无砟轨道板长6m，宽2.5m，总高0.46m，槽深0.2m，槽宽0.22m。利用有限元商业软件ANSYS对嵌入式无砟轨道板建立有限元模型，如图11所示，次模型包含46800三维六面体实体单元，58491节点。

根据有限元原理，轨道板在全局坐标下的运动方程可表示为：

${\&lsqb;M\&rsqb;}_i{\left\{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}\right\}}_i+{\&lsqb;C\&rsqb;}_i{\left\{\stackrel{\&CenterDot;}{x}\right\}}_i+{\&lsqb;K\&rsqb;}_i{\left\{x\right\}}_i={\left\{F^{rs}\right\}}_i+{\left\{F^g\right\}}_i,(i=1~N_{slab})---\left(58\right)$

式(58)中符号说明如下：

[M]_i—轨道板的质量矩阵；

[C]_i—轨道板的阻尼矩阵；

[K]_i—轨道板的刚度矩阵；

i—钢轨下轨道板的标号；

N_slab—计算模型中所考虑轨道板总个数；

{x}_i—第i轨道板的节点位移列阵；

—第i轨道板的节点速度列阵；

—第i轨道板的节点加速度列阵；

{F^rs}_i—钢轨与轨道板之间作用力的等效节点载荷列阵；

{F^g}_i—地基与轨道板之间作用力的等效节点载荷列阵。

等效节点载荷列阵{F^rs}_i包括第i个轨道板上承轨槽填充材料传递的钢轨与轨道板之间垂向作用力F_szLk和F_szRk、横向作用力F_syLk和F_syRk。这些作用力将以集中载荷的形式均匀作用在轨道板承轨槽实体单元上；根据嵌入式轨道结构，轨道板对钢轨表现为连续支撑，将这种连续支撑等效为足够多的均匀分布支撑点，取每块板的支撑点数为100，作用点编号k与轨道板编号i之间的换算关系为：

i＝(k-mod(k,100))+1(59)

轨道板上作用点的局部编号k_slab与整体编号k之间的换算关系为

k_slab＝mod(k,100)(60)

由此，对任一轨道位置的支撑点，根据计算轨道模型中沿纵向的作用点整体编号k，就可确定其所在的轨道板编号i及在该轨道板上的局部编号k_slab。这样，第k个钢轨与轨道板之间的相互作用力就可根据钢轨位移和轨道板位置来计算确定。

钢轨通过承轨槽填充材料传递到轨道板的载荷可通过实体单元形函数分别移置到相应单元的节点处，然后通过对单元节点载荷列阵{F^rs}_i ^e组集可得到等效节点载荷列阵{F^rs}_i。具体实施过程为，根据支撑点在轨道的纵向位置确定其编号，进而确定其所在轨道板编号及其在轨道板对应的实体单元，再通过形函数将集中力等效移置到相应单元的节点上。集中载荷的等效节点载荷计算公式为：

${\left\{F^{rs}\right\}}_i^e={\&lsqb;N\&rsqb;}^T\left\{F_k^{rs}\right\}---\left(61\right)$

式(61)中：

[N]—轨道板实体单元形函数矩阵，维数为：3×24；

—钢轨与轨道板之间作用力的集中载荷列阵。

$\&lsqb;N\&rsqb;={\left[\begin{array}{ccccccc}{N}_1& & & N_2& & & ...\\ & N_1& & & N_2& & ...\\ & & N_1& & & N_2& ...\end{array}\right]}_{3\&times;24}---\left(62\right)$

$\left\{F_k^{rs}\right\}={\left\{\begin{array}{c}0\\ F_{syk}\\ F_{szk}\end{array}\right\}}_{3\&times;1}---\left(63\right)$

其中，轨道板实体单元的形函数为：

$\begin{array}{c}{N}_i=\frac{1}{8}(1+{\mathrm{\&xi;\&xi;}}_i)(1+{\mathrm{\&eta;\&eta;}}_i)(1+{\mathrm{\&zeta;\&zeta;}}_i),(i=1,2,...,8)\\ \begin{array}{ccc}-1\&le;\mathrm{\&xi;}\&le;+1,& -1\&le;\mathrm{\&mu;}\&le;+1,& -1\&le;\mathrm{\&zeta;}\&le;+1\end{array}\end{array}---\left(64\right)$

轨道板与地基之间的作用力为面力载荷，其等效节点载荷列阵{F^g}_i的可由单元节点载荷列阵{F^g}_i ^e组集得到，单元节点载荷列阵{F^g}_i ^e的计算公式为：

${\left\{F^g\right\}}_i^e=\underset{\mathrm{\&Omega;}}{\&Integral;\&Integral;}{\&lsqb;N\&rsqb;}^T\left\{F_i^g\right\}d\mathrm{\&Omega;}---\left(65\right)$

其中，第i号轨道板与地基之间的面力载荷{F_i ^g}为：

$\left\{F_i^g\right\}=\left\{\begin{array}{c}0\\ F_{sgyi}\\ F_{sgzi}\end{array}\right\}---\left(66\right)$

$F_{sgyi}=K_{CAMyi}\&lsqb;Y_{si}(x,y,-h_{slab},t)-Y_{gi}(x,y,t)\&rsqb;+C_{CAMyi}\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;}{Y}}_{si}(x,y,-h_{slab},t)-{\stackrel{\&CenterDot;}{Y}}_{gi}(x,y,t)\&rsqb;---\left(67\right)$

$F_{sgzi}=K_{CAMzi}\&lsqb;Z_{si}(x,y,-h_{slab},t)-Z_{gi}(x,y,t)\&rsqb;+C_{CAMzi}\&lsqb;{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_{si}(x,y,-h_{slab},t)-{\stackrel{\&CenterDot;}{Z}}_{gi}(x,y,t)\&rsqb;---\left(68\right)$

式(65)-(68)中符号说明如下：

F_sgyi—第i号轨道板与地基之间的横向面力载荷；

F_sgzi—第i号轨道板与地基之间的垂向面力载荷；

Y_si(x,y,-h_slab,t)—第i号轨道板下表面的横向位移；

—第i号轨道板下表面的横向速度；

Z_si(x,y,-h_slab,t)—第i号轨道板下表面的垂向位移；

—第i号轨道板下表面的垂向速度；

Y_gi(x,y,t)—第i号轨道板下地基的横向位移；

—第i号轨道板下地基的横向速度；

Z_gi(x,y,t)—第i号轨道板下地基的垂向位移；

—第i号轨道板下地基的垂向速度；

K_CAMyi—第i号轨道板下CA砂浆层的横向面刚度；

C_CAMyi—第i号轨道板下CA砂浆层的横向面阻尼；

K_CAMzi—第i号轨道板下CA砂浆层的垂向面刚度；

C_CAMzi—第i号轨道板下CA砂浆层的垂向面阻尼。

利用模态叠加原理，根据轨道板的振型函数，轨道板运动控制方程(58)可化简为如下解耦方程：

${\&lsqb;M_n\&rsqb;}_i{\left\{{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}}_n\right\}}_i+{\&lsqb;C_n\&rsqb;}_i{\left\{{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_n\right\}}_i+{\&lsqb;K_n\&rsqb;}_i{\left\{x_n\right\}}_i={\left\{P_n\right\}}_i,(i=1~N_{slab},n=1~N_{\mathrm{mod}e})---\left(69\right)$

式(69)中的符号说明如下：

[M_n]_i—轨道板的广义正则质量矩阵；

[C_n]_i—轨道板的广义正则阻尼矩阵；

[K_n]_i—轨道板的广义正则刚度矩阵；

n—正则模态阶数；

N_mode—计算模型中所考虑正则模态总阶数；

{x_n}_i—第i轨道板的正则坐标节点位移列阵；

—第i轨道板的正则坐标节点速度列阵；

—第i轨道板的正则坐标节点加速度列阵；

[P_n]_i—轨道板的广义正则外部载荷矩阵。

广义正则质量、阻尼、刚度及外部载荷矩阵的表达式如下:

$\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}{\&lsqb;M_n\&rsqb;}_i={\left\{\mathrm{\&Phi;}\right\}}_n^T{\&lsqb;M\&rsqb;}_i{\left\{\mathrm{\&Phi;}\right\}}_n,& {\&lsqb;C_n\&rsqb;}_i={\left\{\mathrm{\&Phi;}\right\}}_n^T{\&lsqb;C\&rsqb;}_i{\left\{\mathrm{\&Phi;}\right\}}_n,& {\&lsqb;K_n\&rsqb;}_i={\left\{\mathrm{\&Phi;}\right\}}_n^T{\&lsqb;K\&rsqb;}_i{\left\{\mathrm{\&Phi;}\right\}}_n\end{array}\\ {\&lsqb;P_n\&rsqb;}_i={\left\{\mathrm{\&Phi;}\right\}}_n^T{\&lsqb;F^{rs}\&rsqb;}_i+{\left\{\mathrm{\&Phi;}\right\}}_n^T{\&lsqb;F^g\&rsqb;}_i,(i=1~N_{slab},n=1~N_{\mathrm{mod}e})\end{array}\right.---\left(70\right)$

式(70)中，{Ф}_n为n阶正则模态向量，可由有限元软件ANSYS对轨道板进行模态分析得到。

轨道板建模中考虑轨道板前20阶(N_mode＝20)模态，包括6阶刚体模态和14阶弹性模态。综上，轨道板i的节点位移可表示为：

{x}_i＝{Φ}_n{x_n}_i(i＝1～N_slab)(71)

根据节点位移，可通过形函数插值，得到轨道板任意位置的位移响应：

{x_si(x,y,z,t)}＝[N]{δ}^e(72)

{x_si(x,y,z,t)}＝{0Y_si(x,y,z,t)Z_si(x,y,z,t)}^T(73)

{δ}^e＝{u₁v₁w₁u₂v₂w₂…}^T(74)

式(72)至式(74)中：

{x_si(x,y,z,t)}—惯性坐标系中(x,y,z)位置处t时刻的位移列阵；

Y_si(x,y,z,t)—惯性坐标系中(x,y,z)位置处t时刻的轨道板横向位移；

Z_si(x,y,z,t)—惯性坐标系中(x,y,z)位置处t时刻的轨道板垂向位移；

{δ}^e—惯性坐标系中(x,y,z)位置对应轨道板单元在t时刻的节点位移列阵；

u_j—惯性坐标系中(x,y,z)位置对应轨道板单元在t时刻第j节点纵向位移；

v_j—惯性坐标系中(x,y,z)位置对应轨道板单元在t时刻第j节点横向位移；

w_j—惯性坐标系中(x,y,z)位置对应轨道板单元在t时刻第j节点垂向位移。

联合求解公式(58)-公式(74)，即可得到轨道板上任意点在任意时刻的动态响应。

步骤三：车辆/轨道耦合建模

考虑轮轨空间接触关系及车辆/轨道耦合界面激励模式，建立有轨电车/嵌入式轨道耦合动力学模型，它是连接有轨电车车辆子系统和嵌入式轨道之间的纽带，两子系统之间的动态作用与反馈影响均通过此模型来实现。

1.建立轮轨空间接触模型

轮轨空间接触模型主要包括轮轨空间动态接触几何关系模型和轮轨空间动态接触力模型，其中轮轨空间动态接触力模型包括轮轨法向力计算模型和轮轨蠕滑力计算模型两部分。

1)轮轨空间动态接触几何关系模型

轮轨空间动态接触几何关系计算模型摒弃了传统轮轨接触几何计算中轮轨刚体和接触不脱离两点假设，认为左右轮轨最小垂向间距并不总是相等，其差值正好反映出左右轮轨法向弹性压缩量的不同，进而反映为左右轮轨法向力和轮轨蠕滑力的不同。此计算模型避免了轮轨动态接触几何计算中轮对侧滚角的迭代计算，在遵循和符合轮轨动态接触物理涵义的同时，大大简化了整个计算的流程，极大提高了计算的速度与效率，使得精确而快速的轮轨空间动态耦合计算得以实现。轮轨空间动态接触几何计算流程如图12所示。

图12中，斜线阴影部分为轮轨空间动态接触几何参数计算部分，横线阴影部分为轮轨动态相互作用力计算部分，竖线阴影部分为轮轨动态响应计算部分。在每一时刻t，轮轨空间动态接触几何的计算包括三个方面的输入：车轮动态位移、钢轨动态位移和轮轨不平顺。其中，车轮动态位移包括轮对垂向位移Z_w(t)、横向位移Y_w(t)、侧滚角φ_w(t)和摇头角ψ_w(t)，钢轨动态位移包括左钢轨垂向位移z_rL(t)、右钢轨垂向位移z_rR(t)、左钢轨横向位移y_rL(t)、右钢轨横向位移y_rR(t)、左钢轨侧滚角φ_rL(t)和右钢轨侧滚角φ_rR(t)。轮轨不平顺则包括轮轨几何不平顺和轮轨动力不平顺等。轮轨接触点的确定采用迹线法和最小距离法。

针对此70％低地板有轨电车车辆的车轮踏面(SY8型踏面)，钢轨外形(59R2槽型轨)，采用迹线法和最小距离法确定其轮轨关系。

2)轮轨法向力计算模型

轮轨法向力表征轮轨接触处法向载荷与局部变形之间的关系。采用Hertz非线性弹性接触理论求解轮轨法向力，由以下方程确定：

$N\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\&lsqb;\frac{1}{G_{wr}}{Z}_{wrnc}\left(t\right)\&rsqb;}^{3/2},& Z_{wrnc}\left(t\right)>0\\ 0,& Z_{wrnc}\left(t\right)\&le;0\end{array}\right.---\left(75\right)$

其中，G_wr为轮轨接触常数(m/N^3/2)，可由Hertz接触理论求得，对于SY8型车轮踏面和59R2槽型钢轨，G_wr取:

G_wr＝3.86R^-0.115×10^-8(76)

式中，R表示车轮滚动圆半径(m)。

Z_wrnc(t)为轮轨接触点的法向弹性压缩量(m)，Z_wrnc(t)<0则表示轮轨发生接触分离，此时轮轨法向力为零。图13给出了轮轨接触点发生压缩前后，接触点法向压缩量与轮轨表面接触点位置的相对横、垂向位移差之间的几何关系，δ表示轮轨接触角，φ表示车轮踏面与轨面的相对侧滚角，C₁、C₂表示轮轨发生压缩前后接触点的位置。综合车轮踏面与钢轨顶面接触(δ+φ≈0)及轮缘与钢轨内侧面接触(δ+φ≈90°)两种极端的轮轨接触情形后可知，轮轨法向压缩量Z_wrnc(t)与轮轨垂向位移差△Z_wr之间应满足如下几何关系：

$Z_{wrnc}=\frac{{\mathrm{\&Delta;}}_{13}}{cos(\mathrm{\&delta;}+\mathrm{\&phi;})}=\frac{{\mathrm{\&Delta;Z}}_{wr}}{cos(\mathrm{\&delta;}+\mathrm{\&phi;})}---\left(77\right)$

其中，△Z_wr表示如下：

△Z_wr＝Z_w(t)-Z_r(t)-Z₀(t)(78)

式中，Z_w(t)表示t时刻车轮踏面上轮轨接触点的垂向位移，Z_r(t)表示t时刻钢轨顶面上轮轨接触点的垂向位移，Z₀(t)表示t时刻轮轨接触点处轮轨表面垂向几何不平顺与轮轨垂向静压缩量的总和。

3)轮轨蠕滑力计算模型

轮轨蠕滑力的计算，首先以Kalker线性蠕滑理论计算，轮轨间蠕滑达到饱和后，采用Shen-Hedrick-Elkins理论进行非线性修正。考虑左右钢轨横向、垂向和扭转运动对轮轨滚动接触蠕滑率的影响，根据轮轨空间接触几何关系可得轮轨蠕滑率为：

式中，V为轮对在钢轨上的名义前进速度，V_wx,V_wy,Ω_wn分别表示接触斑坐标系中车轮的三向速度分量，V_rx,V_ry,Ω_rn分别表示接触斑坐标系中钢轨的三向速度分量。

根据Kalker线性蠕滑理论，轮轨间蠕滑力在线性范围内可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{xk}=-f_{11}{\mathrm{\&xi;}}_{kx}\\ F_{yk}=-f_{22}{\mathrm{\&xi;}}_{ky}-f_{23}{\mathrm{\&xi;}}_{kn}\\ M_{nk}=f_{23}{\mathrm{\&xi;}}_{ky}-f_{33}{\mathrm{\&xi;}}_{kn}\end{array}\right.---\left(80\right)$

式中，F_xk,F_yk和M_nk分别为第k车轮作用点处纵向、横向蠕滑力和自旋蠕滑力矩，ξ_kx，ξ_ky和ξ_kn分别为第k车轮作用点处纵向、横向和自旋蠕滑率，f₁₁、f₂₂、f₃₃和f₂₃分别为纵向、横向、自旋蠕滑系数以及自旋/横向蠕滑系数。

由于Kalker线性蠕滑理论只适合于小蠕滑率和小自旋的情况，为此，采用Shen-Hedrick-Elkins理论进行修正。设车轮k作用点处的轮轨间摩擦力：

F_fk＝fP_wrnk(81)

式中，f是轮轨间的摩擦系数，P_wrnk车轮k作用点处轮轨法向作用力。

将Kalker线性蠕滑理论得到的纵向蠕滑力和横向蠕滑力合成为：

$F_{Rk}=\sqrt{{F_{xk}}^2+{F_{yk}}^2}---\left(82\right)$

令

$F_{Rk}^{\&prime;}=\left\{\begin{array}{cc}{F}_{fk}\&lsqb;\frac{F_{Rk}}{F_{fk}}-\frac{1}{3}{\left(\frac{F_{Rk}}{F_{fk}}\right)}^2+\frac{1}{27}{\left(\frac{F_{Rk}}{F_{fk}}\right)}^3\&rsqb;& (F_{Rk}\&le;3F_{fk})\\ F_{fk}& (F_{Rk}\&le;3F_{fk})\end{array}\right.---\left(83\right)$

引入修正系数

$\mathrm{\&epsiv;}=\frac{F_{Rk}^{\&prime;}}{F_{Rk}}---\left(84\right)$

则由Shen-Hedrick-Elkins理论得到的蠕滑力、蠕滑力矩表达式如下：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_{xk}^{\&prime;}=\mathrm{\&epsiv;}\&CenterDot;F_{xk}\\ F_{yk}^{\&prime;}=\mathrm{\&epsiv;}\&CenterDot;F_{yk}\\ M_{nk}^{\&prime;}=\mathrm{\&epsiv;}\&CenterDot;M_{nk}\end{array}\right.---\left(85\right)$

2.建立车辆/轨道耦合界面激励模型

此有轨电车/嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法中，有轨电车/嵌入式轨道耦合激励模型采用移动质量方法。将系统惯性坐标系与列车结构固结在一起，惯性坐标系和列车一起运动，在此坐标系中研究列车作匀速运动时的垂横向动力学特性，相当于人站在列车上观察列车垂横向动态行为，而轨道则以列车运行速度作反方向移动。从而在移动的惯性系中研究轨道的垂横向动力学特性等价于在静止的惯性系中研究它。这样，就得到了移动轨下支撑的列车-轨道激励模型，也称“跟踪窗户”模型，其能真实地反映车轮通过轨跨时引起的周期性振动，如图14所示。

“跟踪窗户”模型可以这样理解，假想通过一个宽度等于轨道分析长度且速度等于车速的“窗户”来观察分析列车-轨道耦合系统的动态行为，而轨道结构以相同速度反方向通过这个“窗户”。简单来说，即列车相对钢轨不作移动，钢轨下方支撑结构，包括钢轨填充材料、轨垫板、轨道板、路基和轮轨表面几何不平顺等，均沿行车相反方向作相对运动，能真实模拟实际列车在每一个轨枕跨间的移动情况。该模型能够实现无限长轨道上列车-轨道耦合动力学的快速计算。传统的计算模型中，若计算在无限长轨道上方运行车辆的动态特性，需要建立很长的轨道模型才能模拟车辆运行状态下的工况，因此会延长计算时间，而此模型是列车相对钢轨不作移动，钢轨下方支撑结构沿行车相反方向作相对运动来模拟车辆在无限长轨道结构上的运行状态，因此只需要建立有限长的模型，因而大大缩短计算时间。

本说明书中公开的所有特征，或公开的所有方法或过程中的步骤，除了互相排斥的特征和/或步骤以外，均可以以任何方式组合。

本说明书(包括任何附加权利要求、摘要和附图)中公开的任一特征，除非特别叙述，均可被其他等效或具有类似目的的替代特征加以替换。即，除非特别叙述，每个特征只是一系列等效或类似特征中的一个例子而已。

本发明并不局限于前述的具体实施方式。本发明扩展到任何在本说明书中披露的新特征或任何新的组合，以及披露的任一新的方法或过程的步骤或任何新的组合。

Claims (8)

1.一种有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法，其具体包括以下的步骤：步骤一、车辆系统建模：将有轨电车车辆系统建模简化为刚体系统、车辆悬挂系统和车间连接系统的建模；步骤二、嵌入式轨道系统建模：嵌入式轨道系统建模包括钢轨、高分子填充材料、轨道板及以下基础的建模；步骤三、车辆和轨道系统的耦合建模：耦合建模主要包括两个部分：（1）轮轨空间接触关系的确定；（2）车辆系统和轨道系统的耦合，其具体是指将轨道系统惯性坐标系与车辆结构固结在一起，惯性坐标系和车辆一起运动，而轨道则以车辆运行速度作反方向移动，从而模拟实际列车在每一个轨枕跨间的移动情况。

2.如权利要求1所述的有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法，其特征在于所述车间连接系统包括车间铰接机构和车间减振器，车间铰接机构采用动力学约束建模，车间减振器采用空间非线性弹簧阻尼单元模拟。

3.如权利要求2所述的有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法，其特征在于所述铰接是指动车和拖车车体间均设有上下连接点，其中2个下连接点相同，为固定铰，采用球面轴承；2个上连接点不相同，一个为转动铰，采用橡胶圆柱关节，一个为自由铰，采用横向拉杆连接。

4.如权利要求2所述的有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法，其特征在于所述减振器两端为刚性球铰结构。

5.如权利要求1所述的有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法，其特征在于轨道板采用三维实体有限元单元模拟，钢轨填充材料采用三维弹性弹簧或阻尼单元模拟，轨道板与路基之间通过与路基刚度等效的弹簧或阻尼单元连接。

6.如权利要求1所述的有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法，其特征在于所述轮轨空间接触关系由轮轨空间动态接触几何关系和轮轨空间动态接触力决定，其中轮轨空间动态接触力的计算包括轮轨法向力计算和轮轨蠕滑力计算两部分。

7.如权利要求1所述的有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法，其特征在于所述轨道及其下方的支撑结构均沿行车相反方向作相对运动，支撑结构包括钢轨填充材料、轨垫板、轨道板、路基和轮轨表面几何不平顺。

8.如权利要求1所述的有轨电车及其嵌入式轨道耦合动力学模型的建模方法，其特征在于所述有轨电车为3节编组的70%低地板有轨电车。