CN105445624A - 结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法，包括如下步骤：S1，利用小波变换的模极大值及奇异性检测方法，并且通过多尺度分析，对故障信号进行处理，从而确定反射波和反射波到达时间；S2，建立反射波形与脉冲衰减距离的脉冲波形-衰减距离规律曲线，通过实测反射波形与衰减规律中的数据对比，剔除不相干的干扰波形，正确辨别故障点的反射波，从而实现电缆故障的准确定位。

Description

结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法

技术领域

本发明涉及电力线路控制领域，尤其涉及一种结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法。

背景技术

目前电力电缆故障定位中主要采用的是行波法，但行波法还存在难以解决的问题，即反射波的识别和反射波头对应时间的确定。电力电缆存在有分支接头的情况，当这种电缆线路故障时不仅故障点将产生反射波，分接头也会产生反射波，此时对反射波的辨识将变得非常困难，甚至无法识别。这就亟需本领域技术人员解决相应的技术问题。

发明内容

本发明旨在至少解决现有技术中存在的技术问题，特别创新地提出了一种结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法。

为了实现本发明的上述目的，本发明提供了一种结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法，其包括如下步骤：

S1，利用小波变换的模极大值及奇异性检测方法，并且通过多尺度分析，对故障信号进行处理，从而确定反射波和反射波到达时间；

S2，建立反射波形与脉冲衰减距离的脉冲波形-衰减距离规律曲线，通过实测反射波形与衰减规律中的数据对比，剔除不相干的干扰波形，正确辨别故障点的反射波，从而实现电缆故障的准确定位。

所述的结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法，优选的，所述S1的小波变换包括：

对于任意的函数f(t)∈L²(R)，它的连续小波变化为：

$W(f,a,b)=\frac{1}{\sqrt{a}}\underset{-\mathrm{\∞}}{\overset{+\mathrm{\∞}}{\∫}}f\left(t\right){\mathrm{\ψ}}^{*}\left(\frac{t-b}{a}\right)dt$

上式中，a称为尺度因子，b称为平移因子，ψ^*(t)为母小波；

经过小波变换，函数变成一个二维函数，从而可以从时域和频域对信号进行分析；连续小波变换实现了原始函数在时间和频率域上的分解，即信号多分辨率分析；为了调整时域和频域的宽度，只需要改变尺度因子和平移因子，这样便实现了根据不同信号的处理要求在不同时频域局部化的目的；

连续小波变换能够准确的提取信号的特征，但在每个可能的尺度离散点都需要去计算小波系数，这样处理起来费时费力，因而连续小波变换实际中应用的并不多；离散小波变换(DWT)是实际应用中的常用形式；对a，b取离散值：m，k为整数，则离散小波变换其定义为：

$DWT(f,m,n)=\frac{1}{\sqrt{a_0^m}}\underset{k}{\Σ}f\left(k\right){\mathrm{\ψ}}^{*}\left(\frac{n-{\mathrm{ka}}_0^m}{a_0^m}\right)$

信号在经过离散化后不会改变它的完整性，但是经过小波离散化计算误差变小了，因此通过离散小波变换将更好的反映出信号在时频上的性质。

所述的结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法，优选的，所述S1多尺度分析包括：

从函数的空间角度出发研究信号的多尺度表示就是信号的多尺度分析；多尺度分析的实质就是在不同的尺度不同的空间上对信号进行分解；假设信号f(t)∈L²(R)平方可积，对它的多尺度分析就是对其用平滑函数作平滑，实质上就是通过一些不同的分辨率一层层的逼近信号，通俗讲多尺度多分辨率就是对一定目标粗略或精细，整体或局部的的观察分析；多分辨分析为不同尺度下的函数分析提供可能，在一定的采样条件下，通过高低频滤波将信号分为高低频两部分，低频部分对应信号概貌，高频部分则显示信号具体特征；继续分解低频信号，又可得到该层上的信号细节，这样一层层的分解就是信号的多分辨分析。

所述的结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法，优选的，所述S1小波变换的模极大值及奇异性检测包括：

如果函数f(t)∈R在某处间断或某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性，称该点为奇异点；如果函数f(t)无限次可导，则其是平滑的没有奇异性；突变的信号在其突变点处必然是不平滑的，也即此点是奇异的；信号的一些特征，比如故障时的故障信息都包含于信号的奇异点中，而应用小波变换的时频局部化能力可以对信号的奇异性进行分析，通过合适的变换使故障特性显现出来。

所述的结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法，优选的，所述S2包括：

S2-1，确定好本次定位中对应电缆故障情况下的脉冲衰减规律库，根据定位前对电缆故障情况的初步判断，调用与之匹配的脉冲衰减规律；

S2-2，对采集到的故障反射波形信号分类编号S1，S2，S3…Sn，并记录；

S2-3，运用小波变换方法，提取该反射波头S1的对应时间，由定位公式求出故障距离L1，如果该故障距离是我们已知的该电缆中分接头的距离，则该反射波肯定是由电缆分接头处反射得到的，将它剔除掉不予考虑；如果不是，则计算该波形的半幅值脉宽Pw1，并记录下来；

S2-4，在脉冲衰减规律中查寻距离L1对应下的反射波形脉冲半幅值脉宽Pw0，记录下来；

S2-5，反射波形的判断；将第四步中记录的数据Pw0与第三步中的数据Pw1相比较，如果两者吻合，则该波即为脉冲经故障点反射回来的反射波形；以该波形求得的故障距离L1为电缆的故障发生距离。

所述的结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法，优选的，所述S2还包括：

S2-6，如果两者相差较大，则该反射波为干扰带来的不相干反射波形，选取下一反射波S2重复S2-1到S2-5中的操作，直到选出正确的故障点反射波形，实现电缆的故障测距。

所述的结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法，优选的，所述S1还包括：

采用Lipschits指数对函数的局部奇异性进行描述，设信号f(t)∈R，在t₀附近如果满足：

|f(t₀+h)-Pn(t₀+h)|≤K|h|ⁿ,n＜a＜n+1

则称信号f(t)在t₀处的Lipschits指数为α；当α＝1时，函数f(t)在t₀处可微，函数f(t)没有奇异性；当α＝0时，函数f(t)在t₀点是间断的，如果0<α<1，则函数的光滑性下降；α越大，函数f(t)就越平滑，α越小，函数f(t)在t₀点处的变化就越尖锐；

函数的奇异性通过指数lipischitzα表示，α的数值对应于小波变换模极大值的不同尺度下的分解系数；对于尺度2^j，t₀的某一邻域内，如果：则t₀点就是小波变换的模极大值点，是小波变换的模极大值；小波变换模极大值以一种数学形式反映出有突变信息的信号的突变程度和突变时刻；当电缆故障发生时，故障暂态信号具有奇异性，奇异点就是对应的故障发生时间点；准确的寻找故障信号中的奇异点便可找出故障的对应时刻；小波变换的模极大值点可以确定信号的奇异点，因而，通过小波分解，检测信号中高频分量的模极大值点就能确定故障的发生时刻。

综上所述，由于采用了上述技术方案，本发明的有益效果是：

针对电缆离线测距中经常发生的反射波形有多个，难以正常区分出定位所需的故障点对应波形问题，提出了一种基于脉冲衰减距离经验库的波形辨识方法。首先从外加注入脉冲在电缆中传播的衰减情况入手，说明脉冲在不同传输距离下反射波形有一定规律性，可以建立反射波形和原始脉冲在不同衰减距离的对应关系，基于此，提出了本方法的基本原理和具体辨识的步骤。随后通过仿真说明脉冲衰减距离库的建立方法，并建立了一个35kV电缆在确定脉冲下的衰减距离规律库，并绘制了规律曲线样本。最后通过建立架设的有分解头的电缆定位模型，针对仿真获得的多个反射波形，应用本方法对各个反射波形处理，仿真处理结果表明，该方法对于多个反射波形的辨识有效可行。

利用小波变换的模极大值及奇异性检测原理，对故障信号进行处理，从而确定反射波和反射波到达时间，与此同时，建立反射波形与脉冲衰减距离的脉冲波形-衰减距离规律曲线，通过实测反射波形与衰减规律中的数据对比，剔除不相干的干扰波形，正确辨别故障点的反射波，实现电缆故障的准确定位。

本发明的附加方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。

附图说明

本发明的上述和/或附加的方面和优点从结合下面附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1是本发明小波变换示意图；

图2是本发明定位方法流程图；

图3是本发明仿真数据示意图；

图4是本发明仿真电路图；

图5是本发明数据示意图。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，仅用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。

在本发明的描述中，需要理解的是，术语“纵向”、“横向”、“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“顶”、“底”“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。

在本发明的描述中，除非另有规定和限定，需要说明的是，术语“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，例如，可以是机械连接或电连接，也可以是两个元件内部的连通，可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语的具体含义。

小波分析方法以其良好的时域和频域紧支撑特性，较好地反映频域上不同频率成分的差异性，为利用高频信号实现电力电缆故障测距提供了理想的信号处理平台。小波变换非常适合于用作突变信号的检验，小波变换通过合适的尺度因子分解能够祛除信号噪音，在细节上处理故障信号，小波模极大值能很好反映突变信号的特性。

小波变换

对于任意的函数f(t)∈L²(R)，它的连续小波变化为：

$W(f,a,b)=\frac{1}{\sqrt{a}}\underset{-\mathrm{\&infin;}}{\overset{+\mathrm{\&infin;}}{\&Integral;}}f\left(t\right){\mathrm{\&psi;}}^{*}\left(\frac{t-b}{a}\right)dt$

上式中，a称为尺度因子，b称为平移因子，ψ^*(t)为母小波。

经过小波变换，函数变成一个二维函数，从而可以从时域和频域对信号进行分析。连续小波变换实现了原始函数在时间和频率域上的分解，即信号多分辨率分析。为了调整时域和频域的宽度，只需要改变尺度因子和平移因子，这样便实现了根据不同信号的处理要求在不同时频域局部化的目的。

连续小波变换能够准确的提取信号的特征，但在每个可能的尺度离散点都需要去计算小波系数，这样处理起来费时费力，因而连续小波变换实际中应用的并不多。离散小波变换(DWT)是实际应用中的常用形式。对a，b取离散值：m，k为整数，则离散小波变换其定义为：

$DWT(f,m,n)=\frac{1}{\sqrt{a_0^m}}\underset{k}{\&Sigma;}f\left(k\right){\mathrm{\&psi;}}^{*}\left(\frac{n-{\mathrm{ka}}_0^m}{a_0^m}\right)$

信号在经过离散化后不会改变它的完整性，但是经过小波离散化计算误差变小了，因此通过离散小波变换将更好的反映出信号在时频上的性质。

多尺度分析

从函数的空间角度出发研究信号的多尺度表示就是信号的多尺度分析。多尺度分析的实质就是在不同的尺度不同的空间上对信号进行分解。假设信号f(t)∈L²(R)平方可积，对它的多尺度分析就是对其用平滑函数作平滑，实质上就是通过一些不同的分辨率一层层的逼近信号，通俗讲多尺度多分辨率就是对一定目标粗略或精细，整体或局部的的观察分析。多分辨分析为不同尺度下的函数分析提供可能，在一定的采样条件下，通过高低频滤波将信号分为高低频两部分，低频部分对应信号概貌，高频部分则显示信号具体特征。继续分解低频信号，又可得到该层上的信号细节，这样一层层的分解就是信号的多分辨分析。

小波多分辨率分析结构如图1所示。

该图为对原始信号S进行三层分解，其中A1、A2、A3是各层分解的低频部分，D1、D2、D3是各层分解的高频部分。该方法通过对低频信号的再次分解，达到了多分辨率分析的目的，一层层将信号的细节显现出来，从而分解出需要的信号成分。

小波变换模极大值及奇异性检测

如果函数f(t)∈R在某处间断或某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性，称该点为奇异点。如果函数f(t)无限次可导，则其是平滑的没有奇异性。突变的信号在其突变点处必然是不平滑的，也即此点是奇异的。信号的一些特征，比如故障时的故障信息都包含于信号的奇异点中，而应用小波变换的时频局部化能力可以对信号的奇异性进行分析，通过合适的变换使故障特性显现出来。

采用Lipschits指数对函数的局部奇异性进行描述，设信号f(t)∈R，在t₀附近如果满足：

|f(t₀+h)-Pn(t₀+h)|≤K|h|ⁿ,n＜a＜n+1

则称信号f(t)在t₀处的Lipschits指数为α。当α＝1时，函数f(t)在t₀处可微，函数f(t)没有奇异性。当α＝0时，函数f(t)在t₀点是间断的，如果0<α<1，则函数的光滑性下降。α越大，函数f(t)就越平滑，α越小，函数f(t)在t₀点处的变化就越尖锐。

函数的奇异性通过指数lipischitzα表示，α的数值对应于小波变换模极大值的不同尺度下的分解系数。对于尺度2^j，t₀的某一邻域内，如果：则t₀点就是小波变换的模极大值点，是小波变换的模极大值。小波变换模极大值以一种数学形式反映出有突变信息的信号的突变程度和突变时刻。当电缆故障发生时，故障暂态信号具有奇异性，奇异点就是对应的故障发生时间点。准确的寻找故障信号中的奇异点便可找出故障的对应时刻。小波变换的模极大值点可以确定信号的奇异点，因而，通过小波分解，检测信号中高频分量的模极大值点就能确定故障的发生时刻。

基于脉冲衰减规律的曲线拟合及电缆故障定位

实际工程应用的离线定位方法，采用脉冲发生装置，人为向故障电缆注入脉冲信号，通过对脉冲信号在电缆故障处阻抗不连续点的反射波头确定，确定波头所对应的时间，结合脉冲在电缆中的传播速度，根据相应的单端定位公式进行计算，即可实现故障点的确定。实际操作中发现，对某些发生故障的电缆定位时，仪器获得的反射波形中出现了很多个反射波，这些反射波有可能是故障点反射、电缆分接头反射和各种干扰产生的。难以正确辨别出哪个反射波才是我们需要的故障点反射波，不匹配的反射波形选取会造成故障定位失败。采用小波方法对脉冲在整个传播过程中信号的分析处理，可以实现一部分电缆的故障定位，但是对于一些特殊情况，比如反射波形是由大量不相干信号引起时，电缆存在分接头等，该方法定位具有一定的局限性。文章前文分析了行波在电缆中的传播规律，外加脉冲也满足这些规律，因此提出一种针对脉冲衰减规律的反射波形辨别方法，期望达到正确识别故障处反射波的目的。从行波法检测电缆故障时的外加注入脉冲的衰减情况入手，通过研究注入脉冲在电缆线路的衰减规律，建立反射波形与脉冲衰减距离的脉冲波形-衰减距离规律。通过实测反射波形与衰减规律中的数据对比，剔除不相干的干扰波形，正确辨别故障点的反射波，实现电缆故障定位。

实现步骤

本方法提出的根据是，现场定位采用的是外加高频脉冲，理论上外加的高频脉冲是可控的，高频脉冲在电缆中会发生衰减，脉冲随着衰减距离的增加会有一定的规律性。而利用外加脉冲法进行电缆故障定位的过程，其实就是脉冲在电缆中的衰减过程。衰减一定距离的反射波形和入射脉冲是确切对应的，因而可以通过一定的数值表示方法将衰减后的波形数量化，建立一个经电缆衰减后的反射脉冲波形和入射脉冲在不同传输距离下的对应关系，以此来反映电缆故障定位中脉冲信号在波阻抗不连续点的一个脉冲衰减距离规律。

脉冲的形状、幅度和宽度是脉冲的主要参数。脉冲宽度就是电流或者电压随时间有规律变化的时间宽度。此处引入脉冲信号半幅值脉宽的概念，即脉冲信号半幅值的宽度。用脉冲信号的半幅值脉宽来描述经过电缆衰减后的反射波形，这样可以建立起脉冲衰减后的波形与衰减距离的对应关系。通过大量的模拟实验，可以绘制电缆的脉冲衰减波形与脉冲传播距离的规律曲线。通过将各个反射波头的半幅值脉宽与衰减规律中对应距离下的标准值对比，即可有效识别出故障点的反射脉冲，达到定位的效果。

对比的方法为：当定位时出现多个反射波头不能正确辨识反射波头时，存在多个反射波形，将波形从左至右编号为S1，S2，S3…。反射波波头对应的时间为设为t1，t2，t3…。首先假设S1就是入射脉冲在故障点处发生反射得到的波头，求得脉冲信号在电缆中的传播衰减距离L1，并求波形S1的半幅值脉宽Pw1。在脉冲衰减距离规律表中，找到距离L1对应下的标准波形半幅值脉宽Pw0，将两者进行比较，如果Pw1与Pw0相等或者两者相差不大，则说明S1确实是脉冲信号在故障处对应的反射脉冲波形，根据S1求得的电缆故障距离就是正确的故障发生距离。如果Pw1与规律中Pw0相差很大，则反射波S1不是对应故障处的反射波头，选取反射波S2，采用S1相同的处理方式，判别是否为入射脉冲在故障处的反射波。以此进行下去直到确定合适的反射波，即可达到判断正确定位波形，实现故障定位的目的。

使用该方法用作故障定位时，需要结合小波定位方法，确定波头对应时间，求得衰减距离。该方法的流程图如图2所示：

定位的具体操作步骤为：

(1)确定好本次定位中对应电缆故障情况下的脉冲衰减规律库。根据定位前对电缆故障情况的初步判断，调用与之匹配的脉冲衰减规律。

(2)对采集到的故障反射波形信号分类编号S1，S2，S3…，并记录。

(3)运用前章中的小波定位方法，提取该反射波头S1的对应时间，由定位公式求出故障距离L1，如果该故障距离是我们已知的该电缆中分接头的距离，则该反射波肯定是由电缆分接头处反射得到的，将它剔除掉不予考虑。如果不是，则计算该波形的半幅值脉宽Pw1，并记录下来。

(4)在脉冲衰减规律中查寻距离L1对应下的反射波形脉冲半幅值脉宽Pw0，记录下来。

(5)反射波形的判断。将第四步中记录的数据Pw0与第三步中的数据Pw1相比较，如果两者吻合，则该波即为脉冲经故障点反射回来的反射波形。以该波形求得的故障距离L1为电缆的故障发生距离。

(6)如果两者相差较大，则该反射波为干扰带来的不相干反射波形，选取下一反射波S2重复上述3到5步中的操作，直到选出正确的故障点反射波形，实现电缆的故障测距。

脉冲衰减规律拟合曲线的建立

运用脉冲衰减距离规律辨识故障点对应反射波形，实现故障定位的前提是脉冲信号随距离衰减规律的建立，这也是本方法的最重要环节。

思路是：采用仿真的方式，通过对预设脉冲在同一型号电缆中不同距离下的模拟仿真，得到该脉冲在这条电缆中的波形衰减规律。

具体方法为：通过模拟一个已知外加脉冲在确定型号电缆中传播遇波阻抗点发生反射并传播回发射点的信号衰减过程，对衰减后的脉冲信号以波形的半幅值脉宽来数量化表示，这样便于确立脉冲反射波形与脉冲在电缆中衰减的对应关系。而定位中其他反射波形不适用该对应关系，因而可以被剔除掉。选取相同的模拟条件，只是更改电缆的波阻抗不连续点位置，即改变脉冲在电缆中的衰减距离，重复进行大量上述操作，获得一系列脉冲信号在该型号电缆中的脉冲衰减-距离关系。从而建立了一个脉冲在固定型号电缆中的脉冲随衰减距离的规律库，规律库中选择的样本越多，规律库就越具有可信性。对上述操作获得的一系列数据进行处理，可得出一个脉冲波衰减-距离规律曲线，这样所有的对应关系可通过查询规律曲线获得。该规律库可以通过实际应用中具体的适用情况不断完善。

通过上述方法，搭建了仿真电路并进行仿真计算，得到了一个脉冲衰减距离曲线样本，如图3所示：

电缆故障模型的建立：电缆总长设为20km，电缆存在一个分接头，位置设为1.5km处。故障发生在6km处，故障设为单相接地永久性故障。此外，通过外加脉冲模块，获得不相干信号的反射波形。电缆故障仿真模型如图4所示。

仿真得到的反射波形如下图所示，从图中可以看到存在多个反射波形，这些反射波可能是故障点的反射波形，也可能是电缆分接头的反射波形和不相干杂质的反射波，无法正确判别，给故障定位带来很大难度。

分别提取图5中的前5个反射波形P1，P2，P3，P4，P5的数据，依次求出5个反射波形的半幅值脉宽Pw1，Pw2，Pw3，Pw4，Pw5。并通过小波方法求得P1，P2，P3，P4，P5的故障距离L1，L2，L3，L4，L5。经过计算，L1为1.53km，与预设的电缆分接头相吻合，所以它一定是电缆分接头处的反射波形，定位时予以剔除，不再考虑。只辨识P2，P3，P4，P5对应的反射波形。调取上节中已建立好的脉冲衰减距离规律曲线，在规律曲线中查找距离L2，L3，L4，L5对应下的半幅值脉宽Pw20，Pw30，Pw40，Pw50，数据如下表所示。L为对各个发射波形进行小波定位的故障距离，Pw为各反射波形对应的半幅值脉宽，Pw0为规律库中相应距离下对应的标准半幅值脉宽。

通过表中Pw与Pw0的对比，发现Pw2与脉冲衰减距离规律库中的半幅值脉宽Pw20相符，其余都相差很大。因此，P2为该脉冲在故障点反射的反射波形，实现了波形的辨识，同时以P2作为小波定位的距离结果L2就是故障的发生距离，实现了故障定位。仿真结果说明，该方法可以成功的辨识不同波阻抗点的反射波形，有效剔除出不相干波形，达到正确识别故障点反射波形，实现电缆故障定位的目的。

在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，本领域的普通技术人员可以理解：在不脱离本发明的原理和宗旨的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由权利要求及其等同物限定。

Claims (7)

1.一种结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1，利用小波变换的模极大值及奇异性检测方法，并且通过多尺度分析，对故障信号进行处理，从而确定反射波和反射波到达时间；

S2，建立反射波形与脉冲衰减距离的脉冲波形-衰减距离规律曲线，通过实测反射波形与衰减规律中的数据对比，剔除不相干的干扰波形，正确辨别故障点的反射波，从而实现电缆故障的准确定位。

2.根据权利要求1所述的结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法，其特征在于，所述S1的小波变换包括：

对于任意的函数f(t)∈L²(R)，它的连续小波变化为：

$W(f,a,b)=\frac{1}{\sqrt{a}}\underset{-\mathrm{\&infin;}}{\overset{+\mathrm{\&infin;}}{\&Integral;}}f\left(t\right){\mathrm{\&psi;}}^{*}\left(\frac{t-b}{a}\right)dt$

上式中，a称为尺度因子，b称为平移因子，ψ^*(t)为母小波；

经过小波变换，函数变成一个二维函数，从而可以从时域和频域对信号进行分析；连续小波变换实现了原始函数在时间和频率域上的分解，即信号多分辨率分析；为了调整时域和频域的宽度，只需要改变尺度因子和平移因子，这样便实现了根据不同信号的处理要求在不同时频域局部化的目的；

连续小波变换能够准确的提取信号的特征，但在每个可能的尺度离散点都需要去计算小波系数，这样处理起来费时费力，因而连续小波变换实际中应用的并不多；离散小波变换(DWT)是实际应用中的常用形式；对a，b取离散值：m，k为整数，则离散小波变换其定义为：

$DWT(f,m,n)=\frac{1}{\sqrt{a_0^m}}\underset{k}{\&Sigma;}f\left(k\right){\mathrm{\&psi;}}^{*}\left(\frac{n-{\mathrm{ka}}_0^m}{a_0^m}\right)$

信号在经过离散化后不会改变它的完整性，但是经过小波离散化计算误差变小了，因此通过离散小波变换将更好的反映出信号在时频上的性质。

3.根据权利要求1所述的结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法，其特征在于，所述S1多尺度分析包括：

从函数的空间角度出发研究信号的多尺度表示就是信号的多尺度分析；多尺度分析的实质就是在不同的尺度不同的空间上对信号进行分解；假设信号f(t)∈L²(R)平方可积，对它的多尺度分析就是对其用平滑函数作平滑，实质上就是通过一些不同的分辨率一层层的逼近信号，通俗讲多尺度多分辨率就是对一定目标粗略或精细，整体或局部的的观察分析；多分辨分析为不同尺度下的函数分析提供可能，在一定的采样条件下，通过高低频滤波将信号分为高低频两部分，低频部分对应信号概貌，高频部分则显示信号具体特征；继续分解低频信号，又可得到该层上的信号细节，这样一层层的分解就是信号的多分辨分析。

4.根据权利要求1所述的结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法，其特征在于，所述S1小波变换的模极大值及奇异性检测包括：

如果函数f(t)∈R在某处间断或某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性，称该点为奇异点；如果函数f(t)无限次可导，则其是平滑的没有奇异性；突变的信号在其突变点处必然是不平滑的，也即此点是奇异的；信号的一些特征，比如故障时的故障信息都包含于信号的奇异点中，而应用小波变换的时频局部化能力可以对信号的奇异性进行分析，通过合适的变换使故障特性显现出来。

5.根据权利要求1所述的结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法，其特征在于，所述S2包括：

S2-1，确定好本次定位中对应电缆故障情况下的脉冲衰减规律库，根据定位前对电缆故障情况的初步判断，调用与之匹配的脉冲衰减规律；

S2-2，对采集到的故障反射波形信号分类编号S1，S2，S3…Sn，并记录；

S2-3，运用小波变换方法，提取该反射波头S1的对应时间，由定位公式求出故障距离L1，如果该故障距离是我们已知的该电缆中分接头的距离，则该反射波肯定是由电缆分接头处反射得到的，将它剔除掉不予考虑；如果不是，则计算该波形的半幅值脉宽Pw1，并记录下来；

S2-4，在脉冲衰减规律中查寻距离L1对应下的反射波形脉冲半幅值脉宽Pw0，记录下来；

S2-5，反射波形的判断；将第四步中记录的数据Pw0与第三步中的数据Pw1相比较，如果两者吻合，则该波即为脉冲经故障点反射回来的反射波形；以该波形求得的故障距离L1为电缆的故障发生距离。

6.根据权利要求5所述的结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法，其特征在于，所述S2还包括：

S2-6，如果两者相差较大，则该反射波为干扰带来的不相干反射波形，选取下一反射波S2重复S2-1到S2-5中的操作，直到选出正确的故障点反射波形，实现电缆的故障测距。

7.根据权利要求4所述的结合小波变换及曲线拟合的电缆故障定位方法，其特征在于，所述S1还包括：

采用Lipschits指数对函数的局部奇异性进行描述，设信号f(t)∈R，在t₀附近如果满足：

|f(t₀+h)-Pn(t₀+h)|≤K|h|ⁿ,n＜a＜n+1

则称信号f(t)在t₀处的Lipschits指数为α；当α＝1时，函数f(t)在t₀处可微，函数f(t)没有奇异性；当α＝0时，函数f(t)在t₀点是间断的，如果0<α<1，则函数的光滑性下降；α越大，函数f(t)就越平滑，α越小，函数f(t)在t₀点处的变化就越尖锐；

函数的奇异性通过指数lipischitzα表示，α的数值对应于小波变换模极大值的不同尺度下的分解系数；对于尺度2^j，t₀的某一邻域内，如果：|W_2jf(t)|≤|W_2jf(t₀)|，则t₀点就是小波变换的模极大值点，|W_2jf(t₀)|是小波变换的模极大值；小波变换模极大值以一种数学形式反映出有突变信息的信号的突变程度和突变时刻；当电缆故障发生时，故障暂态信号具有奇异性，奇异点就是对应的故障发生时间点；准确的寻找故障信号中的奇异点便可找出故障的对应时刻；小波变换的模极大值点可以确定信号的奇异点，因而，通过小波分解，检测信号中高频分量的模极大值点就能确定故障的发生时刻。