CN105427300B - 一种基于低秩表示和学习字典的高光谱图像异常探测方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于遥感图像处理技术领域，具体为一种基于低秩表示和学习字典的高光谱图像异常探测算法。本发明通过在异常探测问题中引入低秩表示的方法，将二维的高光谱图像数据分解为表示背景的低秩矩阵和表示异常的稀疏矩阵之和，然后将基本的异常探测算法作用在稀疏矩阵上得到异常探测的结果。更进一步，该发明在低秩表示算法中引入了学习字典的概念，该学习字典通过随机选择并且梯度下降的算法获得，可以表示高光谱图像的背景光谱。学习字典的引入使得异常信息能更好地从高光谱图像数据中分离出来，从而获得更优的探测效果，同时能够提高算法对初始参数的鲁棒性，降低计算开销，在实际的异常探测应用方面有着重要的价值。

Description

一种基于低秩表示和学习字典的高光谱图像异常探测方法

技术领域

本发明属于遥感图像处理技术领域，具体涉及一种高光谱异常检测方法。

背景技术

遥感技术是本世纪六十年代发展起来的新兴综合技术，与空间、电子光学、计算机、地理学等科学技术紧密相关，是研究地球资源环境的最有力的技术手段之一。高光谱遥感是将成像技术与光谱技术相结合的多维信息获取技术。其图像具有光谱分辨率高、图谱合一的特点，在地物目标探测领域具有独特的优势，在环境监测、军事侦察等领域有着重要的应用。在实际情况下，研究者往往很难获取目标类别的光谱特性。因此无需先验知识的高光谱图像异常检测算法在近年来得到了快速的发展[1]。

高光谱图像中的异常目标往往具有以下特征：光谱与周边背景光谱有显著区别；出现概率小。基于这两个特征，传统的RX算法[2]通过计算待检测像元与背景的马氏距离来进行异常检测，根据不同的背景样本的选取，RX算法大致分为全局RX(Global RX,GRX)和邻域RX(Local RX,LRX)两类。然而传统的基于统计学模型的异常检测算法有以下缺陷：1)实际的高光谱遥感图像的背景并不完全服从高斯分布；2)背景协方差矩阵的计算过程中常常会被异常目标污染。

为了避免传统方法的上述缺陷，稀疏表示被应用到高光谱图像目标探测问题上来[3]。稀疏目标探测基于高光谱图像的线性混合模型，认为图像上的每一个像元可以稀疏地被一个含有目标光谱与背景光谱的过完备字典线性表示。利用目标分量与背景分量之差来判断一个像元是否属于目标。然而稀疏的方法主要用到了图像的光谱信息，在空间上使用的信息不足，因此当稀疏的方法直接应用到异常检测问题中时，往往难以取得令人满意的效果。

低秩矩阵分解算法是近年来的研究热点之一。其主要思想是将一个矩阵分解为一个低秩矩阵和一个稀疏矩阵之和。在高光谱遥感领域，低秩矩阵分解已经得到了广泛的应用，比如降噪[5]、图像恢复[6]等。由于高光谱图像中的地物种类是有限的，我们可以认为其背景信息是低秩的，而异常由于其出现概率小，可以被认为是稀疏的，因此低秩矩阵分解算法可以应用到高光谱异常检测问题上来，利用分解得到的稀疏矩阵来进行异常检测。

下面介绍与本发明相关的一些概念

低秩表示

主成分分析(Principle component analysis,PCA)通过寻找子空间的线性模型来完成数据降维，可以有效地去除数据中的高斯噪声，然而当数据中存在比较大的噪声或者异常时，PCA的效果就不够理想。针对这种情况，研究学者提出了鲁棒PCA(Robust PCA，RPCA)[7]，通过将一个具有低秩特性的矩阵分解为一个低秩矩阵和一个稀疏矩阵之和，其优化函数为：

min_L,S rank(L)+λ||S||₀,s.t.X＝L+S (1)

其中X是数据矩阵，L与S分别是低秩矩阵和稀疏矩阵，||·||₀是l₀范数，指矩阵中非零元素的个数，λ是低秩矩阵和稀疏矩阵的权衡因子。然而，上述问题是非凸问题，研究者往往会将该问题松弛到以下优化问题：

其中||·||_*是核范数，表示矩阵的特征值之和；||·||₁是l₁范数，表示矩阵元素之和。

然而RPCA假设数据矩阵来源于一个子空间。区别于RPCA，低秩表示(Low-rankdecomposition，LRR)假设数据矩阵由多个子空间生成，其优化问题为：

其中||·||_2,1是l_2,1范数，表示矩阵每一列的l₂范数之和。

增广的拉格朗日乘子法可以被用来求解上述问题，先转化为以下优化问题：

min_Z,E,J||J||_*+λ||S||_2,1,s.t.X＝DZ+S,Z＝J (4)

然后，通过最小化以下函数得到LRR的分解结果[11]：

发明内容

本发明的目的在于提出一种效果优异的基于低秩表示和学习字典的高光谱异常检测方法。

本发明提出的基于低秩表示和学习字典的高光谱异常检测方法，具体步骤为：首先通过随机选择并且梯度下降的方法获得学习字典，由于异常的出现概率低，其光谱无法被准确地学习得到，故而该学习字典仅表示背景光谱；然后利用低秩表示方法将高光谱图像分解为表示背景的低秩矩阵与表示异常的稀疏矩阵；最后利用基本异常探测方法作用于稀疏矩阵得到检测结果。与其他传统的和近期提出的同类优秀方法相比，本发明具有更好的检测结果，同时对初始参数的设置具有较好的鲁棒性。具体内容介绍如下：

一、高光谱图像的低秩特性研究

根据线性混合模型，一个由p种地物端元构成的高光谱图像中的每一个像元可以由其端元光谱线性组成，其图像数据可以被表示为：

X＝EA (6)

其中L是高光谱图像波段数，N为高光谱图像的像元个数，与分别表示端元矩阵和对应的丰度矩阵。

由上式可以得到，rank(X)≤rank(E)＝p。由于一幅高光谱图像中的地物光谱种类是有限的，因此在大多数情况下，p＜＜L，所以我们可以认为高光谱图像数据具有内在的低秩特性，低秩矩阵分解方法可以有效地用在高光谱图像数据上。

高光谱图像中关于异常点的确切定义目前还没有达到一致，在本发明中，我们把那些出现概率小，光谱与其他背景有明显差异的点作为异常点。假设p个端元中前r个端元出现概率高，则作为图像的背景，而后面的端元出现概率低，则作为异常，那么一个像元是否属于异常可以由下式表示：

对于整个高光谱数据，可以表示为：

X＝E_bA_b+E_aA_a (8)

其中分别是背景端元的光谱和对应的丰度，分别是异常的光谱和对应的丰度。

上式中的第一部分表示了背景，r＜p＜＜L，因此是低秩的，而第二部分由于异常的出现概率小，因而是稀疏的。因此低秩矩阵分解方法可以将高光谱图像数据分解为低秩矩阵和稀疏矩阵两部分，并且有效地将背景信息和异常信息分离开来。然后将基本的异常检测方法应用到稀疏矩阵中就可以得到异常检测的结果。与此同时，由于上式中的低秩项的表达式与LRR模型相契合，因此LRR模型能更为有效地应用到高光谱图像异常检测方面来。

二、引入学习字典

在以往的工作中，研究者往往将数据本身作为LRR中的字典，当使用了一个适当大小的参数λ来权衡低秩矩阵与稀疏矩阵时，可以得到比较理想的分解结果。然而这种方法存在如下问题：(1)当用自身数据作为字典时，在式(3)中，其优化的表达矩阵的Z大小是N×N，在高光谱数据中，N是指像素的个数，因此Z将会是一个非常大型的矩阵，会给计算带来更多地开销；(2)方法的有效与否与权衡因子λ密切相关，当λ取值过大时，稀疏的约束过多可能导致异常的信息进入到低秩矩阵中去，从而异常的检测率可能会受到影响，而当λ取值过小时，一些背景信息可能会进入到稀疏矩阵中去，从而可能会提高虚警率。

为了解决上述问题，本发明在LRR中引入了学习字典[12]的概念，首先利用高光谱图像数据得到学习字典，然后将学习字典带入LRR模型中的字典，最后将基本的异常检测方法用在稀疏矩阵上得到检测结果。为了更好地将异常信息分离出来，结合稀疏表示和低秩表示的特点，所需要的学习字典应尽可能只包含背景的光谱。本发明采用了一种基于随机选取并且梯度迭代的字典学习方法。对于图像上的每一个像元x，可以表示为：

x＝Dα+ν (9)

其中D表示字典矩阵，α是对应的稀疏向量，ν是误差项。

首先随机生成初始字典D。当已知字典矩阵时，稀疏向量α可以通过求解以下优化问题得到：

这里的γ是权重因子。字典矩阵可以通过如下所示的梯度方法进行迭代更新：

其中，μ是每次迭代过程中的步长，M是每次迭代过程中选取的样本个数。在学习过程中，每次从图像中随机挑选出M个样本，利用这M个样本通过式(10)与(11)不断更新字典。由于异常样本出现概率小，在学习过程中无法被充分学习得到，而背景光谱出现概率高，可以准确地被学习得到，因此在这个学习过程中，可以认为学习得到的光谱仅仅表示背景信息。不同于其他的学习字典如K-SVD[13]，本发明用到的学习字典实际上是一个表示背景的非完备字典。当把该字典用在LRR模型上时，可以有效地提高稀疏表示方法对初始参数设置的鲁棒性，更好地将异常信息从高光谱图像中分离到稀疏矩阵中去。具体的学习过程为：

方法1：字典学习

输入：观测数据矩阵字典原子个数n

输出：学习字典

步骤1.随机初始赋值字典矩阵D

步骤2.执行以下循环：

(1.2a)从高光谱图像中随机选择M个像元；

(1.2b)对选取的M个像元，利用式(10)求出各自对应的稀疏向量α₁,α₂,...,α_M；

(1.2c)用式(11)更新迭代学习字典；

(1.2d)归一化字典矩阵；

(1.2e)当满足最大迭代次数时，跳出循环。

步骤3.输出结果为学习字典D。

步骤(1.2a)中，M可设定为200。

步骤(1.2e)中，最大迭代次数可设定为1000。

三、利用低秩表示方法将高光谱图像分解为表示背景的低秩矩阵与表示异常的稀疏矩阵：

将一个具有低秩特性的矩阵分解为一个低秩矩阵和一个稀疏矩阵之和，其优化函数如下：

min_Z,S||Z||_*+λ||S||_2,1,s.t.X＝DZ+S

其中||·||_2,1是l_2,1范数，表示矩阵每一列的l₂范数之和，Z为低秩表示矩阵，D为学习字典，S为稀疏矩阵；λ是低秩矩阵和稀疏矩阵的权衡因子。

方法2：低秩表示

输入：观测数据矩阵学习字典的字典矩阵D，数据矩阵X,折中参数λ

输出:稀疏矩阵S

步骤1.初始化：Z＝J＝S＝0,Y₁＝Y₂＝0,μ＝10^-6,μ_max＝10⁶,ρ＝1.1,ε＝10^-8.

步骤2.执行以下循环：

(2.2a)固定其他变量用式(12)更新J

(2.2b)固定其他变量用式(13)更新Z

Z＝(I+D^TD)^-1(D^T(X-S)+J+(D^TY₁-Y₂)/μ) (13)

(2.2c)固定其他变量用式(7)更新S

(2.2d)根据式(15)与式(16)更新各个乘子：

Y₁＝Y₁+μ(X-DZ-S) (15)

Y₂＝Y₂+μ(Z-J) (16)

(2.2e)根据式(17)更新步长μ：

μ＝min(ρμ,μ_max) (17)

(2.2f)判断是否满足式(18)的收敛条件，若收敛，则到下一步，否则回到(2.2a)继续执行，ε是控制收敛的小量。

||X-DZ-S||_∞＜εand||Z-J||_∞＜ε (18)

步骤3.输出结果S。

四、将基本异常探测方法作用于稀疏矩阵用式(19)得到最终探测结果：

五、方法流程框架

图1描绘了所提出方法的流程图，其主要步骤如下：

步骤1.将一幅三维的高光谱图像数据变为二维图像数据

步骤2.利用字典学习方法得到一个只包含背景的字典矩阵D；

步骤3.通过LRR方法将X分解为一个低秩矩阵和稀疏矩阵之和；

步骤4.将基本的异常检测方法用在稀疏矩阵上得到最终的检测结果。

本发明的有益效果在于：其从高光谱图像的低秩特性出发，充分利用了高光谱图像光谱上和空间上的信息，然后通过引入学习字典，更为有效地将异常信息从图像数据中分离出来，同时使得方法对初始参数具有较好的鲁棒性，可以作为一种解决高光谱遥感图像异常检测的有效手段，在地面异常目标的检测与识别方面有着重要的应用价值。

仿真和实际高光谱数据实验表明，学习字典的引入有效地提升了异常的探测率，同时使得LRRD对初始参数更加鲁棒。另外与传统的GRX、基于协同表达的异常探测方法(Collaborative representation-based detector，CRD)[4]和近期提出的同类优秀方法RPCA[8]与基于低秩与稀疏矩阵的异常探测(Low-rank and sparse matrix detector，LRaSMD)[10]相比，本发明具有更好的探测结果，该方法的实际应用对于高光谱图像异常探测问题的解决有着重要的意义。

附图说明

图1方法流程图。

图2模拟数据。其中，(a)简单背景；(b)复杂背景；(c)地物真实。

图3基于简单背景的不同参数下的探测结果。其中，(a)F1；(b)F2；(c)V1。

图4基于复杂背景的不同参数下的探测结果。其中，(a)F1；(b)F2；(c)V1。

图5基于简单背景的权衡因子的AUC面积。其中，(a)F1；(b)F2；(c)V1。

图6基于复杂背景的权衡因子的AUC面积。其中，(a)F1；(b)F2；(c)V1。

图7基于简单背景的探测结果。其中，上层：二维探测图；下层：二值化探测结果。

图8基于复杂背景的探测结果。其中，上层：二维探测图；下层：二值化探测结果。

图9基于简单背景的ROC。

图10基于复杂背景的ROC。

图11 HYDICE探测结果。上层：二维探测图；下层：二值化探测结果。

图12 ROC曲线。

具体实施方式

下面，分别用模拟数据和实际遥感图像数据为例说明本发明的具体的实施方式。

本发明中采用的基于低秩表示和学习字典的异常检测方法用LRRD表示。

1、模拟数据实验

本发明采用在高光谱图像中埋入异常点的方式构造模拟实验数据，首先研究了学习字典对LRR模型的影响，然后将本发明LRRD与传统的GRX方法[2]、文献[4]提出的基于协同表达的CRD方法和文献[8]和[10]提出的分别基于低秩矩阵分解的方法RPCA与LRaSMD的两种异常检测方法进行比较，来测试所提出方法的有效性。直观的二维检测结果图、授业者操作特性曲线(Receiver operating characteristic,ROC)[14]与AUC(Area under ROCcurve,AUC)用作实验中检测性能的评价标准。我们还测算各个方法的运行时间以定量衡量它们的复杂度。所有实验的软硬件环境为Intel(R)Xeon(R)E5504 CPU 2.00GHz,24GB内存和Windows 7及Matlab 8.1.0.604 R2013a。

模拟实验数据采用了由HyMap机载高光谱探测仪于2006年7月4日在美国马瑟诸塞州一块区域上空拍摄得到的高光谱图像数据[15]。该数据图像大小为280×280，为了研究背景对提出方法的影响，在其中截取了150×150的两个小块，分别对应了简单的背景和复杂的背景。三条异常光谱被用到模拟实验中，其中F1、F2和V1分别对应了红色棉布、黄色尼龙和汽车光谱。由于异常点在实际图像中的分布是不规律的，为了更好地模拟实际情况，我们在图像中随机生成了25个位置，利用式(20)的方式在这25个位置上各埋入一个异常点，其丰度分别为0.04、0.08、…、1。图2显示了所用到的子块和对应的地物真实。

z＝f·t+(1-f)·b (20)

其中f为异常的丰度，t为异常光谱，b为当前像元的光谱。

实验1、参数鲁棒性实验在这个实验中，比较用自身数据矩阵和学习字典分别作为低秩表示方法中的字典来验证所提出的方法具有较好的鲁棒性。许多方法对初始参数的设置较为敏感。对于CRD方法来说，窗口大小的选择十分重要；对于LRaSMD来说，需要预先设置比较合理的低秩矩阵的秩和稀疏矩阵的稀疏度；对于RPCA来说，低秩部分与稀疏部分的权衡因子的选择对结果有很大影响。本发明提出的LRRD主要有两个参数需要预先设置：权衡因子λ和学习字典的原子个数n。图3与图4表示在不同的背景中，埋入不同的异常光谱，利用提出的方法在不同的初始参数设置情况下的AUC面积。从图中可以看出，不同的参数下获得的AUC面积呈现一个平坦的曲面，这说明所提出的方法具有较好的鲁棒性。其中图4(c)的波动最大，其可能的原因是图4(c)中用的异常光谱是汽车光谱，而背景的村镇中可能存在其他的汽车的光谱对检测产生了一定的干扰。尽管如此，得到的AUC还是令人满意的(AUC>0.9)。

为了说明学习字典的引入对提高检测性能的影响，将提出的方法与利用自身数据作为字典的LRR方法进行了比较。此时统一学习字典的原子个数为30。图5与图6是在不同的权衡因子下的比较。可以看出，利用学习字典，得到的AUC面积更为稳定，且普遍要高于利用自身数据作为字典的情况。这说明学习字典的引入对于提升方法对权衡因子的鲁棒性很有作用。与此同时，由于学习字典的数据量要远小于原始矩阵的数据量，所需要的运算开销也大大减少了。利用自身数据字典的LRR方法的运算开销为88.34s，利用学习字典的LRR方法的运算开销为26.21s。然而提出的方法还需要添加学习的时间。学习的主要开销在优化式(22)的过程，通过使用matlab工具包spams[16]，该优化速度大大提升了，当迭代次数为1000时，学习的时间为32.43s，因此提出的方法总耗时为58.64s，仍快于利用自身数据作为字典的LRR方法。之后关于提出的LRRD方法的运算时间分析均包括了字典学习的过程。

由于所提出方法具有较好的鲁棒性，之后的实验中统一将学习字典的原子个数设定为30，权衡因子设定为1。

实验2、探测效果实验在这个实验，将所提出的LRRD方法与传统的GRX方法、基于协同表达的异常探测方法CRD和另外两种基于低秩矩阵分解的方法RPCA和

LRaSMD进行比较，来测试所提出方法的有效性。为了得到其他对比方法的最优结果，将CRD的内外窗分别设为11×11与15×15，LRaSMD的秩和稀疏度分别设为8与0.3，由于RPCA对权衡因子的选择十分敏感，所以对于不同的情况我们尝试了多种选择，并且选出其中最好的情况来进行比较。

图7与图8分别是各个方法在简单背景和复杂背景下的二维探测结果，其中的二值化图像是采用了虚警率为10^-3时的探测结果。图9与图10是对应的ROC曲线，从图像中可以直观地看出，LRRD具有更高的探测率。除此之外，在简单背景中，RPCA与LRaSMD拥有较好的探测率，而在复杂背景中，这两种基于低秩矩阵分解方法的效果就不够理想，这可能因为这两种方法的假设是高光谱图像出自一个子空间。相较而言，LRRD假设图像出自多个子空间，使得LRRD在复杂背景中也有较好的探测结果。CRD用了较为充分的邻域信息，因此在简单和复杂背景情况下有着近似的结果。

为了避免某种特定的随机位置的影响，将实验重复了20次，即采用20组不同的随机位置，表1是当虚警率为10^-2时的探测率结果。从表中可以看出，LRRD方法具有最高的探测率。表2是20组实验的各自的运算时间，LRRD的运算时间比CRD少，与LRaSMD相当。

表1.当虚警率为0.01时的探测率(20次重复)

表2.各方法运算时间

2、实际数据实验

在本节中，一幅由HYDICE机载高光谱成像光谱仪在城市上空拍摄得到高光谱遥感图像被用作实际数据。我们同样将所提出的LRRD方法与GRX、CRD、RPCA和LRaSMD进行了比较。依照实验1中的内容所述，LRRD中字典原子个数设为30，权衡因子设为1。对比方法则通过尝试选择最优的参数，其中CRD的内外窗口的大小分别选取为7×7与15×15，RPCA用到的权衡因子为0.015，LRaSMD初始设置的秩与稀疏度分别为8和0.3。

图11显示的是各个方法进行异常探测的结果，其中二值化的图像是令虚警率10^-3为时得到的结果。可以看出，本发明所提出的LRRD具有最高的探测率。图12是对应的ROC曲线，LRRD具有最好的结果。在ROC曲线在虚警率很低的位置，LRRD与RPCA和CRD方法结果近似，可能是因为低秩分解方法过程中，往往也会将一些较大的噪声信息分到稀疏矩阵当中去，从而影响探测结果。而这个HYDICE图像具有较高的条带噪声，因此在虚警率低的位置几种低秩的方法表现出相似的结果。表3是对应的AUC面积和运算时间，所提出的LRRD方法具有最高的AUC，计算时间要小于CRD和LRaSMD。

表3.不同方法的AUC面积和运算时间

综上可知，对于模拟和实际高光谱数据来说，本发明提出的方法相对于其他类似方法而言，都具有较好的探测精度和鲁棒性，可以有效地解决高光谱图像异常探测问题。

参考文献：

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[16]J.Mairal,F.Bach,J.Ponce,and G.Sapiro,“Online learning for matrixfactorization and sparse coding,”J.Mach.Learn.Res.,no.11,pp.19-60,Nov.2010.。

Claims (3)

1.一种基于低秩表示和学习字典的高光谱图像异常探测方法，其特征在于：具体步骤如下：首先，通过随机选择与梯度下降方法获得学习字典；然后，利用低秩表示算法将高光谱图像分解为表示背景的低秩矩阵与表示异常的稀疏矩阵；最后，利用基本异常探测算法作用于稀疏矩阵得到检测结果；其中：

一、通过随机选择与梯度下降法获得学习字典的流程为：

基于稀疏表示理论，设高光谱图像数据矩阵中的每一个像元x，表示为：

x＝Dα+ν (1)

其中，D表示字典矩阵，α是对应的稀疏向量，ν是误差项；

首先随机生成初始字典D，当已知字典矩阵时，稀疏向量α通过求解以下优化问题得到：

γ是权重因子；字典矩阵通过如下所示的梯度算法进行迭代更新：

其中，μ是每次迭代过程中的步长，M是每次迭代过程中选取的样本个数；在学习过程中，每次从图像中随机挑选出M个样本，利用这M个样本不断更新字典；学习得到的光谱表示背景信息；具体的学习过程如下：

对于观测数据矩阵字典原子个数n；

随机初始赋值字典矩阵D；

执行以下循环：

(1.2a)、从高光谱图像中随机选择M个像元；

(1.2b)、对选取的M个像元，利用式(2)求出各自对应的稀疏向量α₁,α₂,...,α_M；

(1.2c)、用式(3)更新迭代学习字典；

(1.2d)、归一化字典矩阵；

(1.2e)、当满足最大迭代次数时，跳出循环；

输出学习字典

二、利用低秩表示算法将高光谱图像分解为表示背景的低秩矩阵与表示异常的稀疏矩阵的流程为：

将一个具有低秩特性的矩阵分解为一个低秩矩阵和一个稀疏矩阵之和，其优化函数如下：

min_Z,S ||Z||_*+λ||S||_2,1,s.t. X＝DZ+S (4)

其中||·||_2,1是l_2,1范数，表示矩阵每一列的l₂范数之和，Z为低秩表示矩阵，D为学习字典，S为稀疏矩阵，λ是低秩矩阵和稀疏矩阵的权衡因子；

低秩表示算法的过程为：

输入：观测数据矩阵学习字典的字典矩阵D，折中参数λ

输出:稀疏矩阵S

初始化：Z＝J＝S＝0,Y₁＝Y₂＝0,μ＝10^-6,μ_max＝10⁶,ρ＝1.1,ε＝10^-8；

执行以下循环：

(2.2a)、固定其他变量用式(5)更新J：

(2.2b)、固定其他变量用式(6)更新Z

Z＝(I+D^TD)^-1(D^T(X-S)+J+(D^TY₁-Y₂)/μ) (6)

(2.2c)、固定其他变量用式(7)更新S

(2.2d)、根据式(8)与式(9)更新各个乘子：

Y₁＝Y₁+μ(X-DZ-S) (8)

Y₂＝Y₂+μ(Z-J) (9)

(2.2e)、根据式(10)更新步长μ：

μ＝min(ρμ,μ_max) (10)

(2.2f)、判断是否满足式(11)的收敛条件，若收敛，则到下一步，否则回到(2.2a)继续执行；

||X-DZ-S||_∞＜εand||Z-J||_∞＜ε (11)

ε是控制收敛的小量；

输出结果为表示异常的稀疏矩阵S；

三、利用基本异常探测算法作用于稀疏矩阵得到检测结果的流程为：

将基本异常探测算法作用于稀疏矩阵用式(12)得到最终探测结果：

2.根据权利要求1所述的探测方法，其特征在于：步骤(1.2a)中M设定为200。

3.根据权利要求1所述的探测方法，其特征在于：步骤(1.2e)中的最大迭代次数为1000。