CN105397560B - 一种干切数控滚齿机床及工件热变形误差补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种干切数控滚齿机床及工件热变形误差补偿方法，在使用数控机床热变形误差补偿系统对干切数控滚齿机床进行热变形误差补偿的同时，利用相同补偿系统对干切数控滚齿机床所加工工件的热变形误差进行补偿；首先建立工件热变形误差模型及干切数控滚齿机床热变形误差模型，将上述误差模型集成到在线补偿器中，在干切数控滚齿机床加工时，将温度传感器测量得到的温度数据，通过在线补偿器处理得到误差补偿值，再将补偿值送入机床数控系统，最后数控系统进行坐标偏移，从而实现干切滚齿机床及工件热变形误差补偿。

Description

一种干切数控滚齿机床及工件热变形误差补偿方法

技术领域

本发明属于数控滚齿机齿轮加工技术领域，具体涉及干切数控滚齿加工时可同时对干切数控滚齿工件热变形误差及机床热变形误差进行补偿的补偿方法。

背景技术

机床的热变形误差是指机床工作过程中由于电机、部件运动发热、切削热传导、环境温度变化等原因，导致机床零部件变形，从而影响机床加工精度的现象。机床热变形误差补偿是通过检测手段对机床工作时影响机床热变形误差的温度变量值进行测量，并通过模糊聚类等方法优化出关键温度变量，然后建立机床热变形误差与关键温度变量之间的关系模型。最后在机床加工时根据误差补偿模型计算出实时热变形误差，通过机床数控系统实现热误差在线补偿。

干式切削是近年兴起的新型加工技术，干式切削消除了切削液的使用，具有绿色环保的特点，但同时存在以下问题：传统湿式切削采用浇注式冷却方式，因此加工完后的工件温度受环境温度、切削参数等因素影响较小，加工后的工件温度与切削油温度较接近，且一致性较好。而干式切削由于不适用切削油，因此加工完后工件温度较高，且其受环境温度、切削参数等影响，一致性差，导致工件冷却至室温过程中尺寸发生变化，工件尺寸精度及尺寸一致性难以控制。

现有热变形误差补偿方法的主要方式为：使用温度传感器和位移传感器分别对加工时关键点温度和机床热变形误差进行测量，使用计算机进行建模分析，建立热变形误差补偿模型，然后将补偿模型通过二次开发集成到数控系统中，在加工时根据关键点温度实时计算补偿值，进行误差补偿。目前的机床热变形误差补偿方法应用对象主要为湿式切削机床，在其应用于干切数控滚齿机床时，由于没有考虑干切数控滚齿所加工工件的热变形误差问题，造成补偿精度不高，补偿后工件尺寸一致性差，部分工件达不到后续精加工的尺寸要求。

发明内容

本发明的目的是解决干切数控滚齿工件热变形导致所加工工件尺寸一致性差，达不到后续精加工的尺寸要求的问题。

为实现本发明目的而采用的技术方案是这样的，一种干切数控滚齿机床及工件热变形误差补偿方法，在使用数控机床热变形误差补偿系统对干切数控滚齿机床进行热变形误差补偿的同时，利用相同补偿系统对干切数控滚齿机床所加工工件的热变形误差进行补偿，具体包括如下步骤：

1)通过干切数控滚齿机床的结构特征以及加工时干切数控滚齿机床的热像图，确定干切数控滚齿机床的热敏感点，在各个热敏感点处以及机床外部布置温度传感器；

2)在加工过程中，测出温度随时间变化的数据为T₁，T₂，…，T_c；T₁表示外部环境温度；T₂，…，T_c表示各个热敏感点处的温度；其中c表示温度传感器的个数；

3)使用热像仪测量刚加工完的工件的热像图，在其径向方向上选取若干点，这些点的平均温度作为刚加工完的工件温度T_a；

4)采用模糊聚类法对温度变量T_i进行分类优选，i＝1,2，…，c；然后根据聚类分析的原理计算各温度变量T_i之间的相关系数r_TT；

再根据相关系数矩阵及聚类树形图将温度变量T_i分为p类；

之后计算各温度变量T_i与刚加工完的工件温度T_a之间的相关系数r_TTa；从每一类中选取一个r_TTa最大的温度变量作为该类的代表；最后将选出来的每类温度代表组成一个温度变量组t₁、…、t_p，其中t₁＝T₁，{t₁、…、t_p}∈{T₁、…、T_c}，用于刚加工完的工件温度T_a的多元线性回归—最小二乘法建模；

温度变量T_i间相关系数值的计算式：

温度变量T_i与刚加工完的工件温度T_a间相关系数值的计算式：

式子(1)和(2)中：

k＝1，2，…，n；n表示样本总数；

j≠i，j＝1，2，…，c；

r_TTij为温度变量T_i与T_j间的相关系数值；

r_TTai为温度变量T_i与工件温度T_a间的相关系数值；

T_ik为温度变量T_i的第k个样本值；

为温度变量T_i的样本平均值；

T_ak为温度变量T_a的第k个样本值；

T_a为工件温度变量T_a的样本平均值；

并通过以下方式进行计算：

其中：I_n为单位矩阵；

A_p+11＝[a₀ a₁ … a_p]^T；

T_an＝[T_a0 T_a1 …T_an]^T；

ε_n＝[ε₀ ε₁ …ε_n]^T；

由最小二乘法原理，a₀，a₁，…，a_p使全部观测值T_ak的残差平方和达到最小，即

其中是A的估计量，则可通过下式计算：

由式子(5)计算出a₀，a₁，…，a_p的值，从而得到刚加工完的工件预测温度模型为：

T_a＝G(t₁,t₂,…,t_p)＝a₀+a₁t₁+…+a_pt_p (6)

5)建立工件热变形误差补偿模型，即建立刚加工完的工件温度T_a与工件热变形误差补偿量δ_T之间的关系；

其中δ_T是为了补偿工件热变形误差而通过机床数控系统在工件径向附加的坐标偏移量，公式如下：

m为工件模数；

α为工件的设计分度圆压力角；

z为工件齿数；

r为工件的设计分度圆半径；

r_a1为工件在设定温度下的齿顶圆半径；

λ为工件材料的热膨胀系数；

ΔT_w为工件从刚加工完冷却至工件设计温度T_b时温度变化量，即ΔT_w＝T_a-T_b；

结合公式(6)和(7)，可得计算式如下：

δ_T＝F(G(t₁,t₂…,t_p)) (8)

即直接建立工件热变形误差补偿量δ_T与温度变量T_i之间的关系模型；

6)建立干切数控滚齿机床热变形误差补偿模型，即建立热敏点温度变量T_i与机床热变形误差δ_M之间的关系；

通过安装在机床上的位移传感器测量机床滚刀主轴与工件轴芯的中心距变化量δ_M，δ_M机床热变形误差；

然后计算各温度变量T_i与机床热变形误差δ_M之间的相关系数r_Tδm，从温度变量分类的每一类中选取一个r_Tδm最大的温度变量作为该类的代表；最后将选出来的每类温度代表组成一个温度变量组F₁、…、F_p，其中F₁＝T₁且{F₁、…、F_p}∈{T₁、…、T_c}，用于机床热变形误差δ_M的多元线性回归—最小二乘法建模，其建模原理及计算方法同步骤4)；

经过计算得到回归系数b₀，b₁，…，b_p的值，则机床热变形误差补偿模型为：

δ_M＝b₀+b₁F₁+…+b_pF_p (9)

7)将上述步骤5)的工件热变形误差补偿模型和步骤6)的机床热变形误差补偿模型集成到在线补偿控制器中；在机床加工时，通过把优选温度变量测得的温度数据输入在线补偿控制器，然后根据补偿控制器里预置的工件热变形误差补偿模型和机床热变形误差补偿模型计算出综合热变形误差补偿值δ_M+δ_T；再将补偿值送入机床数控系统，从而NC数控程序控制机床进行坐标偏移以完成补偿。

本发明的优点在于，干切数控滚齿机床在进行热变形误差补偿的同时，利用相同补偿系统对干切数控滚齿机床所加工工件的热变形误差进行补偿，两者共同作用极大减小了工件的加工误差和废品率，解决了干切滚齿加工时由于工件热变形造成的工件尺寸精度及一致性差的问题。

附图说明

图1为可同时对已加工工件热变形误差及干切数控滚齿机床热变形误差进行补偿的系统结构示意图；

图2为“T#3”—“T#14”温度传感器布置位置示意图，其中圈形标注的中心部位为温度传感器的粘贴位置，“T#3”—“T#14”为温度传感器编号，温度传感器“T#1”悬挂于机床外部测试环境温度，温度传感器“T#2”粘贴于机床床身部位；

图3为刚加工完的工件的热像图；A1和A17表示在刚加工完的工件径向上取17个点；

图4为工件在S₁、S₂、S₃三种状态下的齿形示意图，其中S₁为设计状态，S₂为进行补偿后刚加工完的状态，S₃为冷却到工件设计温度；

图5为刚加工完的工件温度的测量值及预测值；

图6为齿厚误差的测量值和预测值。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明，但不应该理解为本发明上述主题范围仅限于下述实施例。在不脱离本发明上述技术思想的情况下，根据本领域普通技术知识和惯用手段，做出各种替换和变更，均应包括在本发明的保护范围内。

实施例1：

参见图1，一种干切数控滚齿机床及工件热变形误差补偿方法，在使用数控机床热变形误差补偿系统对干切数控滚齿机床进行热变形误差补偿的同时，利用相同补偿系统对干切数控滚齿机床所加工工件的热变形误差进行补偿。本实施例中以直齿工件为例，斜齿工件分析原理等同，且本实施例仅介绍了X方向(工件径向)的机床热变形误差建模及补偿，Y方向与Z方向的机床热变形误差建模及补偿方法可用等同方式进行分析；其具体包括如下步骤：

1)通过干切数控滚齿机床的结构特征以及加工时干切数控滚齿机床的热像图，确定干切数控滚齿机床的热敏感点(c-1个)，在各个热敏感点处以及机床外部布置温度传感器。

2)在加工过程中，测出温度随时间变化的数据为T₁，T₂，…，T_c；T₁表示外部环境温度；T₂，…，T_c各个热敏感点处的温度。

3)使用热像仪测量刚加工完的工件的热像图；由于滚切加工的特点，结合齿轮工件热像图，刚加工完的工件在工件相同径向值下各点的温度可视为相同，且沿工件径向方向各点的温度差值较小，因此可按图3所示在刚加工完的工件径向上取合适数量个点(本实施例中取17个点)的平均温度作为刚加工完的工件温度T_a。

4)由于干切数控滚齿机床上各热源之间存在交互作用，因此需采用模糊聚类法对温度变量T_i进行分类优选(i＝1,2，…，c),以提高刚加工完的工件温度预测模型的精确性和鲁棒性；

然后根据聚类分析的原理计算各温度变量T_i之间的相关系数r_TT；

再根据相关系数矩阵及聚类树形图将温度变量T_i分为p类；

之后计算各温度变量T_i与刚加工完的工件温度T_a之间的相关系数r_TTa；从每一类中选取一个r_TTa最大的温度变量作为该类的代表；最后将选出来的每类温度代表组成一个温度变量组t₁、…、t_p，其中t₁＝T₁，{t₁、…、t_p}∈{T₁、…、T_c}，用于刚加工完的工件温度T_a的多元线性回归—最小二乘法建模；

温度变量T_i间相关系数值的计算式：

温度变量T_i与刚加工完的工件温度T_a间相关系数值的计算式：

式子(1)和(2)中：

k＝1，2，…，n；n表示样本总数；

j≠i，j＝1，2，…，c；

r_TTij为温度变量T_i与T_j间的相关系数值；

r_TTai为温度变量T_i与工件温度T_a间的相关系数值；

T_ik为温度变量T_i的第k个样本值；

为温度变量T_i的样本平均值；

T_ak为温度变量T_a的第k个样本值；

为工件温度变量T_a的样本平均值；

并通过以下方式进行计算：

其中：I_n为单位矩阵；

A_p+11＝[a₀ a₁ … a_p]^T；

T_an＝[T_a0 T_a1 …T_an]^T；

ε_n＝[ε₀ ε₁ …ε_n]^T；

由最小二乘法原理，a₀，a₁，…，a_p使全部观测值T_ak的残差平方和达到最小，即

其中是A的估计量，则可通过下式计算：

由式子(5)计算出a₀，a₁，…，a_p的值，从而得到刚加工完的工件预测温度模型为：

T_a＝G(t₁,t₂,…,t_p)＝a₀+a₁t₁+…+a_pt_p (6)

如图4所示，为通过实验数据验证使用多元线性回归—最小二乘法建立的刚加工完的工件温度预测模型的精度，结果体现了此模型具有较好的预测精度。

5)建立工件热变形误差补偿模型，即建立刚加工完的工件温度T_a与工件热变形误差补偿量δ_T之间的关系。

使用干切滚齿加工的工件，由于刚加工完的工件温度T_a高于工件设计温度T_b，因此齿轮冷却后齿形会产生变化。由于工件热变形造成的变化有齿形、齿顶圆直径、齿根圆直径等。同时滚齿加工后要进行铣齿、磨齿等精加工，而工件热变形会造成齿厚达不到后续精加工要求，因此工件热变形误差补偿主要为对工件热变形造成的齿厚变化进行补偿。

通过以下步骤可建立工件热变形误差补偿量δ_T与刚加工完的工件温度T_a的计算关系：

如图4所示，为工件在三种状态下的齿形示意图，其中S₁为设计状态，S₂为进行补偿后刚加工完的状态，S₃为冷却到工件设计温度T_b的状态。

在S₁状态下，工件在直径为d_y1的圆上的齿厚s_y1，可表达为：

其中：ψ_y1为工件S₁状态下在直径为d_y1的圆上的齿厚半角；

ψ₁为工件在S₁状态下在分度圆上的齿厚半角；

α为工件在S₁状态下的分度圆压力角；

α_y1为工件在S₁状态下在直径为d_y1的圆上的压力角；

r为工件在S₁状态下的分度圆半径。

在S₂状态下，工件在直径为d_y2的圆上的齿厚s_y2，可表达为：

其中：ψ_y2为工件S₂状态下在直径为d_y2的圆上的齿厚半角；

ψ₂为工件在S₂状态下在分度圆上的齿厚半角；

α_y2为工件在S₂状态下在直径为d_y2的圆上的压力角。

工件冷却使工件齿形从S₂变为S₃，对于在S₂状态下的某Y点，冷却后其在S₃上的位置如图4所示。S₃状态下，Y点所处位置齿厚为：

其中：d_y3为工件S₂状态下的Y点冷却后(S₃状态下)Y点所处位置的圆的直径；

ψ_y3为工件S₃状态下在直径为d_y3的圆上的齿厚半角；

ΔT_w为工件从刚加工完冷却至设计温度T_b时温度变化量，即ΔT_w＝T_a-T_b

λ为工件材料热膨胀系数。

在d_y1＝d_y3的情况下，s_y3与s_y1的差值Δs_y为：

为了使补偿后工件的齿厚达到要求，则需使Δs_y＞0，由于上式中，Δs_y和d_y2为正相关，即需满足以下条件：s_a3-s_a1＝0 (7-5)

其中：s_a3为S₃状态下工件的齿顶厚；s_a2为S₂状态下工件的齿顶厚。S₂状态下工件的齿顶厚s_a2为：

其中：d_a2为S₂状态下工件的齿顶圆直径；

ψ_a2为工件S₂状态下在齿顶圆上的齿厚半角；

d_a1为S₁状态下工件的齿顶圆直径；

r_a2—S₂状态下工件的齿顶圆半径。

S₃状态下工件的齿顶厚s_a3为：

S₁状态下工件的齿顶厚s_a1为：

δ_T可通过方程式(7-5)、(7-7)、(7-8)计算得到：

其中：ΔT_w＝T_a-T_b(7-10)

于是，由方程式(7-9)和方程式(7-10)，可知，δ_T可由T_a计算得到，将其表示为：δ_T＝F(T_a)

其中δ_T是为了补偿工件热变形误差而通过机床数控系统在工件径向附加的坐标偏移量，具体公式：

m为工件模数；

α为工件的设计分度圆压力角；

z为工件齿数；

r为工件的设计分度圆半径；

r_a1为工件在设定温度下的齿顶圆半径；

λ为工件材料的热膨胀系数；

ΔT_w为工件从刚加工完冷却至工件设计温度T_b时温度变化量，即ΔT_w＝T_a-T_b；

结合公式(6)和(7)，可得计算式如下：

δ_T＝F(G(t₁,t₂…,t_p)) (8)

即直接建立工件热变形误差补偿量δ_T与温度变量T_i之间的关系模型；

6)建立干切数控滚齿机床热变形误差补偿模型，即建立热敏点温度变量T_i与机床热变形误差δ_M之间的关系；

通过安装在机床上的位移传感器测量机床滚刀主轴与工件轴芯的径向(X方向)中心距变化量δ_M，δ_M机床热变形误差。

然后计算各温度变量T_i与机床热变形误差δ_M之间的相关系数r_Tδm，从温度变量分类的每一类中选取一个r_Tδm最大的温度变量作为该类的代表；最后将选出来的每类温度代表组成一个温度变量组F₁、…、F_p，其中F₁＝T₁且{F₁、…、F_p}∈{T₁、…、T_c}，用于机床热变形误差δ_M的多元线性回归—最小二乘法建模，其建模原理及计算方法同步骤4)；

具体地，温度变量T_i与机床热变形误差δ_M间相关系数值的计算式：

其中：

r_{Tδm i}为温度变量T_i与机床热变形误差δ_M间的相关系数值；

T_ik为温度变量T_i的第k个样本值(共n个样本)；

为温度变量T_i的样本平均值；

δ_Mk为机床热变形误差δ_M的第k个样本值(共n个样本)；

为机床热变形误差δ_M的样本平均值；

干切数控滚齿机床热变形误差模型通过以下方式计算：

其中：I_n—单位矩阵

B_p+11＝[b₀ b₁ … b_p]^T,δ_n＝[δ_M0 δ_M1 … δ_Mn]^T,ε_n＝[ε₀ ε₁ … ε_n]^T；

由最小二乘法原理，b₀，b₁，…，b_p使全部观测值δ_Mk的残差平方和达到最小，即

其中是B的估计量，则可通过下式计算：

经过计算得到回归系数b₀，b₁，…，b_p的值，则机床热变形误差补偿模型为：δ_M＝b₀+b₁F₁+…+b_pF_p (9)

7)将上述步骤5)的工件热变形误差补偿模型和步骤6)的机床热变形误差补偿模型集成到在线补偿控制器中；在机床加工时，通过把优选温度变量测得的温度数据输入在线补偿控制器，然后根据补偿控制器里预置的工件热变形误差补偿模型和机床热变形误差补偿模型计算出综合热变形误差补偿值δ_M+δ_T；再将补偿值送入机床数控系统，从而NC数控程序控制机床在X方向(工件径向)进行坐标偏移以完成补偿。

实施例2：

本实施例的主要部分同实施例1，具体以使用重庆机床集团有限责任公司生产的YE3120CNC7干切数控滚齿机床加工模数为2.5mm、齿数为36的汽车变速齿轮时进行补偿的实例，步骤如下：

1)结合YE3120CNC7干切数控滚齿机床的结构特征以及加工时机床的热像图，确定干切数控滚齿机床热敏感点，在热敏感点处布置13个温度传感器“T#2”—“T#14”，“T#1”温度传感器悬置于机床外用于测量环境温度，具体如图2所示。

根据实际加工中温度传感器采集到的温度数据对温度变量进行模糊聚类，将温度变量分为六类：{T₅,T₆,T₇,T₉,T₁₂,T₁₃},{T₁₀},{T₃,T₄},{T₈,T₁₁,T₁₄},{T₁},{T₂}。

从每类中选取一个与刚加工完的工件温度T_a间相关系数值最大的温度变量，作为优选出来的温度变量，这六个温度变量为T₁,T₂,T₄,T₆,T₁₀,T₁₄。

使用优化出的六个温度变量的样本数据及刚加工完的工件温度T_a的样本数据进行多元线性回归—最小二乘法建模，得到刚加工完的工件温度T_a预测模型为：

T_a＝G(T₁,T₂,T₄,T₆,T₁₀,T₁₄)＝56.80+0.11T₁+2.02T₂-1.01T₄+2.14T₆+1.67T₁₀-5.09T₁₄

其中温度量单位为℃。

2)工件热变形误差补偿值δ_T与T_a的计算关系方程为：

其中，ΔT_w＝T_a-T_b＝T_a-20

本实施例中，令设计温度T_b＝20℃。

则工件热变形误差补偿方程为：

δ_T＝F(G(T₁,T₂,T₄,T₆,T₁₀,T₁₄))(δ_T单位：μm，温度量单位：℃)

3)使用位移传感器测量机床热变形误差量δ_M。从每类温度变量中选取一个与机床热变形误差量δ_M间相关系数值最大的温度变量，作为优选出来的温度变量，这六个温度变量为T₁,T₂,T₄,T₁₀,T₁₃,T₁₄。

使用优化出的六个温度变量的样本数据及机床热变形误差量δ_M的样本数据进行多元线性回归—最小二乘法建模，得到干切数控滚齿机床热变形误差补偿模型为：

δ_M＝H(ΔT₁,ΔT₂,ΔT₄,ΔT₁₀,ΔT₁₃,ΔT₁₄)

＝-0.90-1.18ΔT₁-7.12ΔT₂-0.03ΔT₄-1.94ΔT₁₀-0.26ΔT₁₃+2.43ΔT₁₄

其中δ_M单位：μm。

4)使用误差补偿系统进行干切滚齿机床及工件热变形误差补偿，在机床加工时，通过把优选温度变量测得的温度数据输入在线补偿控制器，然后根据补偿器里预置的工件热变形误差补偿模型和机床热变形误差补偿模型计算出综合误差补偿值δ_M+δ_T。再将补偿值送入机床数控系统，数控系统在X方向(工件径向)进行坐标偏移以完成补偿。

其中图6为根据以上补偿方法，对使用该型号干切数控滚齿机床加工上述实例中工件时进行补偿的效果验证。其中Δs₁为对工件热变形误差及机床热变形误差同时进行补偿时，所加工工件的齿厚误差；Δs₂为只对机床热变形误差进行补偿，未对工件热误差进行补偿，所加工工件的齿厚误差；Δs₃为未进行任何补偿时，所加工工件的齿厚误差。从图6中数据可看出，在实施该补偿方法进行补偿后，齿厚误差值为-0.8μm～8.4μm(正值表示补偿后齿厚比设计齿厚大)，可有效保证补偿后所加工工件达到后续精加工要求尺寸。

其中在Y向以及Z向的补偿值运用相同的原理即可得出。

因此，使用该方法可同时对干切滚齿机床的工件热变形误差及机床热变形误差进行补偿，可解决干切滚齿机床加工时由于工件热变形造成的工件尺寸精度及一致性差的问题，减少了干切滚齿工件的加工误差及废品率。

Claims (1)

1.一种干切数控滚齿机床及工件热变形误差补偿方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)通过干切数控滚齿机床的结构特征以及加工时干切数控滚齿机床的热像图，确定干切数控滚齿机床的热敏感点，在各个热敏感点处以及机床外部布置温度传感器；

2)在加工过程中，测出温度随时间变化的数据为T₁，T₂，…，T_c；T₁表示外部环境温度；T₂，…，T_c表示各个热敏感点处的温度；其中c表示温度传感器的个数；

3)使用热像仪测量刚加工完的工件的热像图，在其径向方向上选取若干点，这些点的平均温度作为刚加工完的工件温度T_a；

4)采用模糊聚类法对温度变量T_i进行分类优选，i＝1,2，…，c；然后根据聚类分析的原理计算各温度变量T_i之间的相关系数r_TT；

再根据相关系数矩阵及聚类树形图将温度变量T_i分为p类；

之后计算各温度变量T_i与刚加工完的工件温度T_a之间的相关系数r_TTa；从每一类中选取一个r_TTa最大的温度变量作为该类的代表；最后将选出来的每类温度代表组成一个温度变量组t₁、…、t_p，其中t₁＝T₁，{t₁、…、t_p}∈{T₁、…、T_c}，用于刚加工完的工件温度T_a的多元线性回归—最小二乘法建模；

温度变量T_i间相关系数值的计算式：

温度变量T_i与刚加工完的工件温度T_a间相关系数值的计算式：

式子(1)和(2)中：

k＝1，2，…，n；n表示样本总数；

j≠i，j＝1，2，…，c；

r_TTij为温度变量T_i与T_j间的相关系数值；

r_TTai为温度变量T_i与工件温度T_a间的相关系数值；

T_ik为温度变量T_i的第k个样本值；

为温度变量T_i的样本平均值；

T_ak为温度变量T_a的第k个样本值；

为工件温度变量T_a的样本平均值；

并通过以下方式进行计算：

其中：I_n为单位矩阵；

A_{p+1 1}＝[a₀ a₁ … a_p]^T；

T_{a n}＝[T_a0 T_a1 … T_an]^T；

ε_n＝[ε₀ ε₁ … ε_n]^T；

由最小二乘法原理，a₀，a₁，…，a_p使全部观测值T_ak的残差平方和达到最小，即

其中是A的估计量，则可通过下式计算：

由式子(5)计算出a₀，a₁，…，a_p的值，从而得到刚加工完的工件预测温度模型为：

T_a＝G(t₁,t₂,…,t_p)＝a₀+a₁t₁+…+a_pt_p (6)

5)建立工件热变形误差补偿模型，即建立刚加工完的工件温度T_a与工件热变形误差补偿量δ_T之间的关系；

其中δ_T是为了补偿工件热变形误差而通过机床数控系统在工件径向附加的坐标偏移量，公式如下：

m为工件模数；

α为工件的设计分度圆压力角；

z为工件齿数；

r为工件的设计分度圆半径；

r_a1为工件在设定温度下的齿顶圆半径；

λ为工件材料的热膨胀系数；

ΔT_w为工件从刚加工完冷却至工件设计温度T_b时温度变化量，即ΔT_w＝T_a-T_b；

结合公式(6)和(7)，可得计算式如下：

δ_T＝F(G(t₁,t₂…,t_p)) (8)

即直接建立工件热变形误差补偿量δ_T与温度变量T_i之间的关系模型；

6)建立干切数控滚齿机床热变形误差补偿模型，即建立热敏点温度变量T_i与机床热变形误差δ_M之间的关系；

通过安装在机床上的位移传感器测量机床滚刀主轴与工件轴芯的中心距变化量δ_M，δ_M即机床热变形误差；

然后计算各温度变量T_i与机床热变形误差δ_M之间的相关系数r_Tδm，从温度变量分类的每一类中选取一个r_Tδm最大的温度变量作为该类的代表；最后将选出来的每类温度代表组成一个温度变量组F₁、…、F_p，其中F₁＝T₁且{F₁、…、F_p}∈{T₁、…、T_c}，用于机床热变形误差δ_M的多元线性回归—最小二乘法建模，其建模原理及计算方法同步骤4)；

经过计算得到回归系数b₀，b₁，…，b_p的值，则机床热变形误差补偿模型为：

δ_M＝b₀+b₁F₁+…+b_pF_p (9)

7)将上述步骤5)的工件热变形误差补偿模型和步骤6)的机床热变形误差补偿模型集成到在线补偿控制器中；在机床加工时，通过把优选温度变量测得的温度数据输入在线补偿控制器，然后根据补偿控制器里预置的工件热变形误差补偿模型和机床热变形误差补偿模型计算出综合热变形误差补偿值δ_M+δ_T；再将补偿值送入机床数控系统，从而NC数控程序控制机床进行坐标偏移以完成补偿。