CN105281630A - 异步电机无速度传感器系统中在线辨识定转子电阻的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种异步电机无速度传感器系统中在线辨识定转子电阻的方法。其实现步骤为：控制器采用直接或间接磁场定向控制，构造一个自适应观测器。首先，电机转子磁链幅值的给定为梯形波（含直流分量），该给定信号可认为由平坦给定部分和斜坡给定部分组成；其次，在实际转子磁链幅值跟上平坦给定部分后，该观测器对定子电阻和转速进行自适应，而当实际转子磁链幅值跟踪斜坡给定部分后，该观测器对转子时间常数和转速进行自适应。本方法具有强的通用性，克服了无速度传感器系统中难以同时辨识定、转子电阻的困难，从而提高了转速辨识的精度，改善了电机在全速范围内的控制性能。

Description

异步电机无速度传感器系统中在线辨识定转子电阻的方法

技术领域

本发明公开一种异步电机多参数辨识方法，特别涉及一种在转子磁场定向控制中向转子磁链幅值给定中被注入梯形波的方法，属于电机参数辨识领域。

背景技术

矢量控制，或称转子磁场定向控制，是当前高性能电机控制应用中主要的控制方案之一。同时，为了提高系统可靠性，简化系统设计，降低系统成本，往往还要引入无速度传感器技术。

然而转速辨识的精度同时受到定子电阻和转子电阻的准确程度的影响，此外，准确的转子时间常数是间接磁场定向控制(或称转差频率控制)中磁场定向准确的关键参数。

国内外对笼型异步电机无速度传感器的研究，鲜有能同时辨识定、转子电阻的。偶有几篇，可分为两类。其中一类给出了转速、定子电阻和转子电阻的自适应律，然后为了处理稳态时转速和转子时间常数不可区分的问题，往磁链幅值给定上叠加正弦给定。此类文章中，三参数的同时可辨识性并没有给出，没有给出稳定性分析，也没有附上相应的实验结果。

另一类主要是Marinoetal和Jadotetal的贡献，他们将定子电阻与其他参数独立开来，在保证转子时间常数和转速可辨识的同时，从稳态电流中以足够缓慢的速度将定子电阻的一级近似信息提取出来。此类文章提供了详实的证明和相应的实验结果，但是其方案复杂且辨识到的定子电阻只是一级近似。

发明内容

为了克服现有技术的不足，在异步电机电感参数已知的前提下，本发明提出一种在异步电机无速度传感器驱动系统中同时在线辨识定转子电阻的时分方法。

一种异步电机无速度传感器系统中在线辨识定转子电阻的方法，

在异步电机无速度传感器间接磁场定向控制系统中，构造一个自适应转子磁链观测器，该转子磁链观测器对转速、定子电阻和转子时间常数进行自适应的同时，对转子磁链进行观测，其实现步骤如下：

(1)在直接或间接转子磁场定向控制中，异步电机转子磁链幅值给定的信号为含直流分量的梯形波，该给定信号被分成平坦给定部分和斜坡给定部分；

(2)根据异步电机转子磁链的电压模型和电流模型，分别构造转子磁链电压模型观测器和转子磁链电流模型观测器，两者输出之差被用于更新待辨识的参数，所述待辨识的参数包括定子电阻、转子时间常数和转速，所述的转子磁链电压模型观测器和转子磁链电流模型观测器统称为观测器；

(3)当实际的转子磁链幅值跟踪了平坦给定部分后，观测器关闭对转子时间常数的自适应，打开对定子电阻和转速的辨识；

(4)当实际的转子磁链幅值跟踪了斜坡给定部分后，观测器关闭对定子电阻的自适应，打开对转子时间常数和转速的辨识。

所述步骤(1)包括如下步骤：

(1A)在转子磁场定向控制中，各电量被变换到MT系下，其M轴和转子磁链矢量对齐，T轴由M轴逆时针旋转90°电角度确定；

(1B)若电流控制器是1型系统，电流控制器采用PI控制器，为了让转子磁链幅值跟踪斜坡给定，转子M轴电流给定的公式为：

$i_M^{cmd}=\frac{{\mathrm{\ψ}}_r^{cmd}}{L_m}+\frac{{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_r^{cmd}}{\widehat{\mathrm{\α}}}$

${\mathrm{\ψ}}_r^{cmd}={\mathrm{\ψ}}_{steady}+{\mathrm{\ψ}}_{trapezoid}$

其中，是转子M轴电流给定；是转子磁链幅值给定信号，它由两部分组成，分为常数部分ψ_steady和梯形波部分ψ_trapezoid；ψ_trapezoid的设计参数为斜坡持续时间DoR、平坦持续时间DoF和梯形波幅值ampl；而是对时间的微分；L_m是励磁电感；是转子时间常数的倒数的辨识值；

若电流控制器是2型系统或者含有多于2个积分单元的系统，则转子M轴电流给定的公式为：

$i_M^{cmd}=\frac{{\mathrm{\ψ}}_r^{cmd}}{L_m}.$

${\mathrm{\ψ}}_r^{cmd}={\mathrm{\ψ}}_{steady}+{\mathrm{\ψ}}_{trapezoid}$

所述步骤(2)包括如下步骤：

(2A)转子磁链的电压模型和电流模型分别为：

$p{\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{VM}=L_r{L}_m^{-1}(-{\hat{r}}_s{i}_s-L_s{\mathrm{\σpi}}_s+u_s)+v_{VM}$

$p{\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{CM}=-\widehat{\mathrm{\α}}({\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{CM}-L_m{i}_s)+j{\widehat{\mathrm{\ω}}}_r{\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{CM}+v_{CM}$

其中，p是微分算子；上标“VM”和“CM”分别指代电压模型和电流模型；和是观测的转子磁链矢量；u_s和i_s分别为定子电压矢量和定子电流矢量；v_VM和v_CM是待设计的校正项；待辨识参数和分别为定子电阻、转子时间常数的倒数和转速，转子时间常数为r_r是转子电阻；L_r、L_s和L_m分别为转子电感、定子电感和励磁电感，假定为已知量；漏磁系数

(2B)模型间误差矢量ε为

$\mathrm{\ϵ}={\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{VM}-{\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{CM}$

该误差包含了参数是否准确的信息；

(2C)校正项的设计主要包括两种，其一为

v_VM＝-k_VMε

v_CM＝k_CMε

其中，k_VM和k_CM是正常数；其二为，校正项被设计为包含对T轴误差进行滑动模态控制的形式

$v_{VM}^{MT}=-k_{VM}{\mathrm{\ϵ}}^{MT}-j\frac{1}{2}csign\left({\mathrm{\ϵ}}_T\right)$

$v_{CM}^{MT}=k_{CM}{\mathrm{\ϵ}}^{MT}+j\frac{1}{2}csign\left({\mathrm{\ϵ}}_T\right)$

其中，c是恰当的正常数；sign(·)是符号函数。

所述步骤(3)包括如下步骤：

(3A)为了确保实际的转子磁链幅值已经足够接近平坦的状态，即确保实际转子磁链跟踪平坦给定部分的暂态基本结束，还需要采用延迟定子电阻辨识的策略，即只在平坦给定部分的后半段才打开定子电阻的辨识，在其前半段只对转速进行辨识；

(3B)定子电阻和转速的自适应律分别为

$p{\hat{r}}_s={\mathrm{\γ}}_1^{-1}(L_r{L}_m^{-1}{i}_{\mathrm{\α}s}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}+L_r{L}_m^{-1}{i}_{\mathrm{\β}s}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}})$

$p{\widehat{\mathrm{\ω}}}_r={\mathrm{\γ}}_3^{-1}(-{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\β}r}^{CM}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\α}r}^{CM}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}})$

其中，和为自适应律的增益；矢量下表中出现的α和β，指代矢量在静止二相坐标系αβ系的分量。

所述步骤(4)包括如下步骤：

(4A)当实际的转子磁链幅值跟踪了斜坡给定部分后，观测器关闭对定子电阻的自适应，打开对转子时间常数的辨识，对转子时间常数和转速的自适应律分别为：

$p\widehat{\mathrm{\α}}={\mathrm{\γ}}_2^{-1}\[-({\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\α}r}^{CM}-L_m{i}_{\mathrm{\α}s}){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}-({\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\β}r}^{CM}-L_m{i}_{\mathrm{\β}s}){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}}\]$

$p{\widehat{\mathrm{\ω}}}_r={\mathrm{\γ}}_3^{-1}(-{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\β}r}^{CM}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\α}r}^{CM}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}})$

其中，和为自适应律的增益。

本发明的有益效果：

本发明以电机转子磁链的电压模型和电流模型为对象，以自适应观测器为基础，对电机转子时间常数、定子电阻和转速进行了辨识和跟踪，有效地实现了异步电机多参数的辨识。

从较大的时间尺度来看，能保证定、转子电阻都收敛至真值，利用时分的概念辨识定、转子电阻。并且，以此法得到的定子电阻是准确的，而不是一级近似。本方案已从理论上得到证明，并经实验验证其有效性。本方法具有较强的通用性，克服了无速度传感器系统中难以同时辨识定、转子电阻的困难，从而提高了转速辨识的精度，改善了电机在全速范围内的控制性能。

附图说明

图1是实现本发明的时分辨识方法的系统示意图；

图2是实现本发明的算法的实验验证图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步的阐述。

参见图1，强电部分，三相交流电源经过不控整流得到直流母线电压U_dc，供给电压源型逆变器，再得到供给异步电机的三相电源。

弱电部分，采用矢量控制方式，包含电压、电流传感器，3相/2相静止坐标变换模块，2相静止/2相同步速坐标变换模块，转子磁链电压模型和电流模型观测器模块，转子磁链幅值弱磁判断以及梯形波给定模块，参数自适应律模块，速度环PI控制器模块，电流环PI控制器模块，2相同步速/2相静止坐标变换模块，电压空间矢量脉宽调制模块。

本发明主要涉及本发明观测器模块和参数自适应律模块，其他模块为异步电机矢量控制所需的功能性模块，为本领域公知常识。

下面描述整个系统的工作流程，以介绍各模块的连接关系。

1.由传感器测得三相异步电机的各相电流与电压，输入“3相/2相静止坐标变换模块”，得到定子电流i_s的分量i_sα和i_sβ，定子电压u_s的分量u_sα和u_sβ；

2.向转子磁链幅值给定中注入梯形波给定；

(2A)在转子磁场定向控制中，各电量被变换到MT系下，其M轴和转子磁链矢量对齐，T轴由M轴逆时针旋转90°电角度确定；

(2B)若电流控制器是1型系统，比如电流控制器采用PI控制器，为了让转子磁链幅值跟踪斜坡给定，转子M轴电流给定的公式为：

$i_M^{cmd}=\frac{{\mathrm{\ψ}}_r^{cmd}}{L_m}+\frac{{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_r^{cmd}}{\widehat{\mathrm{\α}}}$

${\mathrm{\ψ}}_r^{cmd}={\mathrm{\ψ}}_{steady}+{\mathrm{\ψ}}_{trapezoid}$

其中，是转子M轴电流给定；是转子磁链幅值给定信号，它由两部分组成，分为常数部分ψ_steady和梯形波部分ψ_trapezoid；ψ_trapezoid的设计参数为斜坡持续时间DoR、平坦持续时间DoF和梯形波幅值ampl；而是对时间的微分；L_m是励磁电感；是转子时间常数的倒数的辨识值；

若电流控制器是2型系统或者含有多于2个积分单元的系统，则转子M轴电流给定的公式为：

$i_M^{cmd}=\frac{{\mathrm{\ψ}}_r^{cmd}}{L_m}$

${\mathrm{\ψ}}_r^{cmd}={\mathrm{\ψ}}_{steady}+{\mathrm{\ψ}}_{trapezoid}$

3.实现转子磁链的观测。

(3A)转子磁链的电压模型和电流模型分别为：

$p{\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{VM}=L_r{L}_m^{-1}(-{\hat{r}}_s{i}_s-L_s{\mathrm{\σpi}}_s+u_s)+v_{VM}$

$p{\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{CM}=-\widehat{\mathrm{\α}}({\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{CM}-L_m{i}_s)+j{\widehat{\mathrm{\ω}}}_r{\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{CM}+v_{CM}$

其中，p是微分算子；上标“VM”和“CM”分别指代电压模型和电流模型；和是观测的转子磁链矢量；u_s和i_s分别为定子电压矢量和定子电流矢量；v_VM和v_CM是待设计的校正项；待辨识参数和分别为定子电阻、转子时间常数的倒数和转速，转子时间常数为r_r是转子电阻；L_r、L_s和L_m分别为转子电感、定子电感和励磁电感，假定为已知量；漏磁系数

(3B)模型间误差矢量ε为

$\mathrm{\ϵ}={\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{VM}-{\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{CM}$

该误差包含了参数是否准确的信息；

(3C)校正项的设计主要包括两种，其一为

v_VM＝-k_VMε

v_CM＝k_CMε

其中，k_VM和k_CM是正常数；其二为，校正项被设计为包含对T轴误差进行滑动模态控制的形式

$v_{VM}^{MT}=-k_{VM}{\mathrm{\ϵ}}^{MT}-j\frac{1}{2}csign\left({\mathrm{\ϵ}}_T\right)$

$v_{CM}^{MT}=k_{CM}{\mathrm{\ϵ}}^{MT}+j\frac{1}{2}csign\left({\mathrm{\ϵ}}_T\right)$

其中，c是恰当的正常数；sign(·)是符号函数。

4.在磁链幅值平坦时，对待定子电阻和转速进行自适应。

(4A)为了确保实际的转子磁链幅值已经足够接近平坦的状态，即确保实际转子磁链跟踪平坦给定部分的暂态基本结束，还需要采用延迟定子电阻辨识的策略，即只在平坦给定部分的后半段才打开定子电阻的辨识，在其前半段只对转速进行辨识；

(4B)定子电阻和转速的自适应律分别为

$p{\hat{r}}_s={\mathrm{\γ}}_1^{-1}(L_r{L}_m^{-1}{i}_{\mathrm{\α}s}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}+L_r{L}_m^{-1}{i}_{\mathrm{\β}s}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}})$

$p{\widehat{\mathrm{\ω}}}_r={\mathrm{\γ}}_3^{-1}(-{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\β}r}^{CM}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\α}r}^{CM}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}})$

其中，和为自适应律的增益；矢量下表中出现的α和β，指代矢量在静止二相坐标系αβ系的分量。

5.在磁链幅值为斜坡时，对待转子时间常数和转速进行自适应。

(5A)当实际的转子磁链幅值跟踪了斜坡给定部分后，观测器关闭对定子电阻的自适应，打开对转子时间常数的辨识，对转子时间常数和转速的自适应律分别为：

$p\widehat{\mathrm{\α}}={\mathrm{\γ}}_2^{-1}\[-({\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\α}r}^{CM}-L_m{i}_{\mathrm{\α}s}){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}-({\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\β}r}^{CM}-L_m{i}_{\mathrm{\β}s}){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}}\]$

$p{\widehat{\mathrm{\ω}}}_r={\mathrm{\γ}}_3^{-1}(-{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\β}r}^{CM}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\α}r}^{CM}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}})$

其中，和为自适应律的增益。

6.转子时间常数和定子电阻反馈回到转子磁链观测器，以修正对转子转速的辨识；在间接磁场定向控制中，转子时间常数还可以修正磁场定向的准确性。

7.速度PI根据速度误差输出M轴、T轴电流给定；电流PI根据电流误差输出电压给定。

8.电压空间矢量脉宽调制模块以α轴电压u_α和β轴电压u_β作为输入，输出三相PWM给逆变器的门极。

9.相应的实验结果如图2所示。实验以一台15kW、3对极的异步电机为对象，控制方式为间接磁场定向控制，给定转速为300rpm。图2中，在转子磁链幅值跟踪平坦给定后，观测器对定子电阻和转速进行辨识；在转子磁链幅值跟踪斜坡给定后，观测器对转子时间常数和转速进行辨识。实验的254秒处对电机加载30Nm，由于所用电机的转子上有一根断条，带载后转子磁链幅值出现波动，从而导致辨识的定子电阻的波动。图2结果验证了本方案的有效性，以及转子磁链幅值给定的必要性。

Claims (5)

1.一种异步电机无速度传感器系统中在线辨识定转子电阻的方法，其特征在于：

在异步电机无速度传感器间接磁场定向控制系统中，构造一个自适应转子磁链观测器，该转子磁链观测器对转速、定子电阻和转子时间常数进行自适应的同时，对转子磁链进行观测，其实现步骤如下：

(1)在直接或间接转子磁场定向控制中，异步电机转子磁链幅值给定的信号为含直流分量的梯形波，该给定信号被分成平坦给定部分和斜坡给定部分；

(2)根据异步电机转子磁链的电压模型和电流模型，分别构造转子磁链电压模型观测器和转子磁链电流模型观测器，两者输出之差被用于更新待辨识的参数，所述待辨识的参数包括定子电阻、转子时间常数和转速，所述的转子磁链电压模型观测器和转子磁链电流模型观测器统称为观测器；

(3)当实际的转子磁链幅值跟踪了平坦给定部分后，观测器关闭对转子时间常数的自适应，打开对定子电阻和转速的辨识；

(4)当实际的转子磁链幅值跟踪了斜坡给定部分后，观测器关闭对定子电阻的自适应，打开对转子时间常数和转速的辨识。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于：所述步骤(1)包括如下步骤：

(1A)在转子磁场定向控制中，各电量被变换到MT系下，其M轴和转子磁链矢量对齐，T轴由M轴逆时针旋转90°电角度确定；

(1B)若电流控制器是1型系统，电流控制器采用PI控制器，为了让转子磁链幅值跟踪斜坡给定，转子M轴电流给定的公式为：

$i_M^{cmd}=\frac{{\mathrm{\ψ}}_r^{cmd}}{L_m}+\frac{{\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}}_r^{cmd}}{\widehat{\mathrm{\α}}}$

${\mathrm{\ψ}}_r^{cmd}={\mathrm{\ψ}}_{steady}+{\mathrm{\ψ}}_{trapezoid}$

其中，是转子M轴电流给定；是转子磁链幅值给定信号，它由两部分组成，分为常数部分ψ_steady和梯形波部分ψ_trapezoid；ψ_trapezoid的设计参数为斜坡持续时间DoR、平坦持续时间DoF和梯形波幅值ampl；而是对时间的微分；L_m是励磁电感；是转子时间常数的倒数的辨识值；

若电流控制器是2型系统或者含有多于2个积分单元的系统，则转子M轴电流给定的公式为：

$i_M^{cmd}=\frac{{\mathrm{\ψ}}_r^{cmd}}{L_m}.$

${\mathrm{\ψ}}_r^{cmd}={\mathrm{\ψ}}_{steady}+{\mathrm{\ψ}}_{trapezoid}$

3.如权利要求1所述的方法，其特征在于：所述步骤(2)包括如下步骤：

(2A)转子磁链的电压模型和电流模型分别为：

$p{\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{VM}=L_r{L}_m^{-1}(-{\hat{r}}_s{i}_s-L_s{\mathrm{\σpi}}_s+u_s)+v_{VM}$

$p{\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{CM}=-\widehat{\mathrm{\α}}({\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{CM}-L_m{i}_s)+j{\widehat{\mathrm{\ω}}}_r{\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{CM}+v_{CM}$

其中，p是微分算子；上标“VM”和“CM”分别指代电压模型和电流模型；和是观测的转子磁链矢量；u_s和i_s分别为定子电压矢量和定子电流矢量；v_VM和v_CM是待设计的校正项；待辨识参数和分别为定子电阻、转子时间常数的倒数和转速，转子时间常数为r_r是转子电阻；L_r、L_s和L_m分别为转子电感、定子电感和励磁电感，假定为已知量；漏磁系数 $\mathrm{\σ}=1-\frac{L_m^2}{L_r{L}_s};$

(2B)模型间误差矢量ε为

$\mathrm{\ϵ}={\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{VM}-{\widehat{\mathrm{\ψ}}}_r^{CM}$

该误差包含了参数是否准确的信息；

(2C)校正项的设计主要包括两种，其一为

v_VM＝-k_VMε

v_CM＝k_CMε

其中，k_VM和k_CM是正常数；其二为，校正项被设计为包含对T轴误差进行滑动模态控制的形式

$v_{VM}^{MT}=-k_{VM}{\mathrm{\ϵ}}^{MT}-j\frac{1}{2}csign\left({\mathrm{\ϵ}}_T\right)$

$v_{CM}^{MT}=k_{CM}{\mathrm{\ϵ}}^{MT}+j\frac{1}{2}csign\left({\mathrm{\ϵ}}_T\right)$

其中，c是恰当的正常数；sign(·)是符号函数。

4.如权利要求1所述的方法，其特征在于：所述步骤(3)包括如下步骤：

(3A)为了确保实际的转子磁链幅值已经足够接近平坦的状态，即确保实际转子磁链跟踪平坦给定部分的暂态基本结束，还需要采用延迟定子电阻辨识的策略，即只在平坦给定部分的后半段才打开定子电阻的辨识，在其前半段只对转速进行辨识；

(3B)定子电阻和转速的自适应律分别为

$p{\hat{r}}_s={\mathrm{\γ}}_1^{-1}(L_r{L}_m^{-1}{i}_{\mathrm{\α}s}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}+L_r{L}_m^{-1}{i}_{\mathrm{\β}s}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}})$

$p{\widehat{\mathrm{\ω}}}_r={\mathrm{\γ}}_3^{-1}(-{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\β}r}^{CM}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\α}r}^{CM}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}})$

其中，和为自适应律的增益；矢量下表中出现的α和β，指代矢量在静止二相坐标系αβ系的分量。

5.如权利要求1所述的方法，其特征在于：所述步骤(4)包括如下步骤：

(4A)当实际的转子磁链幅值跟踪了斜坡给定部分后，观测器关闭对定子电阻的自适应，打开对转子时间常数的辨识，对转子时间常数和转速的自适应律分别为：

$p\widehat{\mathrm{\α}}={\mathrm{\γ}}_2^{-1}\[-({\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\α}r}^{CM}-L_m{i}_{\mathrm{\α}s}){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}-({\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\β}r}^{CM}-L_m{i}_{\mathrm{\β}s}){\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}}\]$

$p{\widehat{\mathrm{\ω}}}_r={\mathrm{\γ}}_3^{-1}(-{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\β}r}^{CM}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\α}r}^{CM}{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{\β}})$

其中，和为自适应律的增益。