CN105184742A - 一种基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码的图像去噪方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码的图像去噪方法，利用能够表示图像整体结构信息的拉普拉斯图的特征向量，通过将其参与到对图像块稀疏编码的过程，构建了一种新的基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码模型。对于该种新稀疏编码模型的求解与优化，则采用多轮迭代优化的算法，并在每次局部优化时，将这种新稀疏编码模型转化为已知的双稀疏模型进行快速求解。与此同时，本发明还利用一种较优策略来选择图特征向量的数量，即通过控制失控率的取值来自适应地选择不同图像在不同噪声方差下合适的图特征向量数量，以提高去噪性能。实验表明，通过本发明可以有效的进行图像去噪。

Description

一种基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码的图像去噪方法

技术领域

本发明涉及一种基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码的图像去噪方法，属于图像处理领域，具体涉及到基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码技术。

背景技术

图像去噪技术是指含噪图像经过降噪处理得到高质量图像，图像去噪在图像处理中起着重要作用。随着稀疏表示技术的发展，人们提出了许多基于稀疏表示的图像去噪算法，与传统图像去噪算法相比，基于稀疏表示的算法图像去噪，能够有效表示图像的结构，充分降低噪声。在基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码的图像去噪算法中，充分利用由图像块关系构建的拉普拉斯图的特征向量表示图像结构信息，进行降噪处理。通过拉普拉斯图特征向量既可以有效表示图像的整体结构，也可作为一组基函数来重构图像。故本发明充分利用拉普拉斯图特征向量的特性，通过将其应用于稀疏表示，进一步增强图像去噪性能。

发明内容

本发明涉及一种基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码的图像去噪方法。

一种基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码的图像去噪方法，包括输入含噪图像采样，目标函数构造及稀疏优化和去噪图像输出过程，

包含以下步骤：

(1)、对输入含噪图像进行采样，获得N个大小为M₁×M₂像素(长为M₁个像素，宽为M₂个像素)的图像块，记录各采样图像块在含噪图像中的位置，对第i个M₁×M₂大小的图像块像素矩阵B_i，按列进行堆砌，构成一个(M₁M₂)×1的列向量y_i。同时将所有列向量y_i，i＝1,2,...,N，进行顺序排列，构成输入含噪图像块矩阵Y＝[y₁y₂...y_N]；

(2)、根据所有列向量y_i，i＝1,2,...,N，在M₁M₂维空间的几何结构中，构建所有列向量y_i之间关系图，计算其对应的图的拉普拉斯矩阵L，进而计算矩阵L对应的特征向量

(3)、构造基于稀疏编码理论的去噪模型，并对参数X进行优化求解。该去噪模型的目标函数为：i＝1,2,...,N，对应的约束条件为：l＝1,2,...,N。其中，D＝[d₁d₂...d_K]为字典，d_k为字典中的第k个原子，k＝1,2,K.，,K为字典中的原子总个数，X＝[x₁x₂...x_N]为稀疏系数矩阵，x_i为稀疏系数，为X对应的优化稀疏系数矩阵。||.||₀为0范数，||.||₂为2范数，ε＝γM₁M₂σ²为残差，γ为一加权系数，σ²为噪声方差。y_l为输入含噪图像块矩阵Y的第l列的列向量。c_l是乘法矩阵C＝UU^T的第l列的列向量，U＝[u₁u₂...u_M]为根据步骤2矩阵L计算的对应特征向量中前M个特征向量；

(4)、利用字典D和优化稀疏系数矩阵获得优化的去噪图像块矩阵 $\tilde{Y}=\left[\begin{array}{cccc}{\tilde{y}}_1& {\tilde{y}}_2& ...& {\tilde{y}}_N\end{array}\right],$ 为y_i对应的去噪列向量。其的求解公式为 $\tilde{Y}=D\tilde{X}C;$

(5)、去噪图像的输出，将步骤(4)中获得的去噪图像块矩阵的列向量转化为M₁×M₂大小的图像块像素矩阵并取代步骤(1)中含噪图像相应位置的图像块B_i，同时记录含噪图像中每个像素点上需要覆盖的去噪图像块个数w_i,j，i,j为像素位置坐标，及对应的估计图像块的像素值k＝1,2,...,w_i,j。利用获得的覆盖估计图像块个数w_i,j，对进行权值相加，得到降噪后图像对应位置的像素值和α分别为含噪图像的像素值和对应的加权系数。

上述步骤(3)所述的基于稀疏编码理论的去噪模型：目标函数为约束条件为进行X的优化求解，其按如下步骤进行：

(a)、在对该基于稀疏编码理论的去噪模型优化求解X时，采用多轮迭代优化的算法，每次迭代时依次对一个稀疏系数x_i，i＝1,2,...,N，进行局部优化。对稀疏系数x_i进行优化时，首先固定其他稀疏系数{x_j}_j≠i取值，求解仅与x_i有关的对应稀疏编码理论的去噪模型。该去噪模型的目标函数为约束条件为其中，c_i,l为步骤(3)中所述的列向量c_l的第i行元素，e_l＝y_l-Σ_j≠iDx_jc_j,l；

(b)、对步骤(a)中的约束公式采用如下公式进行松弛转换：其中，残差矩阵E＝[e₁e₂...e_N]，||.||_F为frobenius范数，为C的第i个行向量；

(c)、对步骤(a)的目标函数和(b)中的松弛后的约束条件进行等价，采用如下公式：目标函数为约束条件为其中，归一化参数g′_i＝g_i/||g_i||₂，ε′＝Nε-Tr(E^TE)+(g′_i)^TE^TEg′_i，Tr(.)为矩阵的迹。此时，目标函数可利用标准的基于误差约束的稀疏编码模型求得并求得本次局部优化后的稀疏系数即

上述步骤(3)所述的基于稀疏编码理论的去噪模型，在每次迭代时依次对一个稀疏系数x_i，i＝1,2,...,N，进行局部优化时，可能遇到某些稀疏系数无解的情况，即在目标函数为约束条件为时，无解。此时，则按如下步骤进行对的求解：

(a)此时将目标函数约束条件的去噪模型替换为如下去噪模型进行优化：目标函数约束条件为||x_i||₀≤T，其中T稀疏度，并进行对x_i的优化求解。

(b)对x_i的优化求解时，将目标函数约束条件||x_i||₀≤T转化为目标函数约束条件||x_i||₀≤T。可利用标准的基于稀疏度约束的稀疏编码模型求得并求得本次局部优化后的稀疏系数即 ${\tilde{x}}_i={\hat{x}}_i/\left|\right|g_i|{|}_2;$

上述步骤(3)所述的基于稀疏编码理论的去噪模型，对于乘法矩阵C＝UU^T中U＝[u₁u₂...u_M]的特征向量个数M的选取采用较优取值算法。在特征向量个数M取值时，首先定义失控率函数P_num＝N_s/N×100％，其中，N_s为在最后一轮迭代中需按基于稀疏编码理论的构造的去噪模型优化求解算法求解稀疏系数的总个数。对特征向量个数M从0至N²进行搜索，主要通过线性搜索的算法进行搜索。当P_num＜T_p，T_p为一预设门限值时，则定义此时的搜索值M₀为较优的M取值。

本发明利用能够表示图像整体结构信息的拉普拉斯图的特征向量，通过将其参与到对图像块稀疏编码的过程，构建了一种新的基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码模型。对于该种新稀疏编码模型的求解与优化，则采用多轮迭代优化的算法，并在每次局部优化时，将这种新稀疏编码模型转化为已知的双稀疏模型进行快速求解。与此同时，该算法还利用一种较优策略来选择图特征向量的数量，即通过控制失控率的取值来自适应地选择不同图像在不同噪声方差下合适的图特征向量数量，以提高去噪性能。通过该方法可以有效的进行图像去噪。

附图说明

图1是在噪声偏差σ＝20时的降噪性能比较图像；

图2是在噪声偏差σ＝40时的降噪性能比较图像；

图3是在噪声偏差σ＝60时的降噪性能比较图像；

图4是在噪声偏差σ＝20时的PSNR和失控率的变化图；

图5是在噪声偏差σ＝40时的PSNR和失控率的变化图；

图6是在噪声偏差σ＝60时的PSNR和失控率的变化图。

具体实施方式

下面对本发明的一种基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码图像去噪算法作进一步阐述。

一种基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码图像去噪算法，包括输入含噪图像采样，目标函数构造及稀疏优化和去噪图像输出过程。

(1)输入含噪图像采样过程如下：

对输入含噪图像进行采样，获得大小为N个M₁×M₂像素(长为M₁个像素，宽为M₂个像素)的图像块，记录各图像块在含噪图像中的位置，对第i个M₁×M₂大小的图像块像素矩阵B_i，按列进行堆砌，构成一个(M₁M₂)×1的列向量y_i。同时将所有列向量y_i，i＝1,2,...,N，进行顺序排列，构成输入含噪图像块矩阵Y＝[y₁y₂...y_N]；

(2)根据所有列向量y_i，i＝1,2,...,N，在M₁M₂维空间中的几何结构中，构建所有列向量y_i之间关系图，并计算其对应的图拉普拉斯矩阵L(参考文献R.Jiang,H.Qiao,B.Zhang,Speedingupgraphregularizedsparsecodingbydualgradientascent,IEEESignalProcess.Lett.201522(3)313-317.)，进而计算矩阵L对应的特征向量

(3)目标函数构造及稀疏优化过程如下：

构造基于稀疏编码理论的去噪模型，并对参数X进行优化求解。

该去噪模型的目标函数为：i＝1,2,...,N，对应的约束条件为：l＝1,2,...,N。其中，D＝[d₁d₂...d_K]为字典，d_k为字典中的第k个原子，k＝1,2,...,K，K为字典中的原子总个数，X＝[x₁x₂...x_N]为稀疏系数矩阵，x_i为稀疏系数，为X对应的优化稀疏系数矩阵。||.||₀为0范数，||.||₂为2范数，ε＝γM₁M₂σ²为残差，γ为一加权系数，σ²为噪声方差。y_l为输入含噪图像块矩阵Y的第l列的列向量。c_l是乘法矩阵C＝UU^T的第l列的列向量，U＝[u₁u₂...u_M]为所述矩阵L计算的对应特征向量中前M个特征向量；

在对该基于稀疏编码理论的去噪模型优化求解X时，采用多轮迭代优化的算法，每次迭代时依次对一个稀疏系数x_i，i＝1,2,...,N，进行局部优化。对稀疏系数x_i进行优化时，首先固定其他稀疏系数{x_j}_j≠i取值，求解仅与x_i有关的对应稀疏编码理论的去噪模型。该去噪模型的目标函数为约束条件为其中，c_i,l为所述的列向量c_l的第i行元素，e_l＝y_l-Σ_j≠iDx_jc_j,l；

对上述约束公式采用如下公式进行松弛转换：其中，残差矩阵E＝[e₁e₂...e_N]，||.||_F为frobenius范数，为C的第i个行向量；

对上述目标函数和松弛后的约束条件进行等价，采用如下公式：目标函数为约束条件为其中，归一化参数g′_i＝g_i/||g_i||₂，ε′＝Nε-Tr(E^TE)+(g′_i)^TE^TEg′_i。此时，目标函数可利用标准的基于误差约束的稀疏编码模型(参考文献M.Elad,M.Aharon,Imagedenoisingvialearneddictionariesandsparserepresentation,IEEEInt.Conf.onComputerVisionandPatternRecognition,2006,1:895-900.)求得并求得本次局部优化后的稀疏系数即 ${\tilde{x}}_i={\hat{x}}_i/{\left|\right|g_i\left|\right|}_2;$

根据基于稀疏编码理论的去噪模型，在每次迭代时依次对一个稀疏系数x_i，i＝1,2,...,N，进行局部优化时，若对x_i进行局部优化时无解，其按如下步骤进行：

采用如下去噪模型进行优化：目标函数约束条件为||x_i||₀≤T，其中T稀疏度，并进行对x_i的优化求解。

对x_i的优化求解时，将目标函数约束条件||x_i||₀≤T转化为目标函数约束条件||x_i||₀≤T。可利用标准的基于稀疏度约束的稀疏编码模型(参考文献R.Rubinstein,A.M.Beruckstein,M.Elad,Dictionariesforsparserepresentationmodeling,ProceedingofIEEE201098(6)1045-1057)求得并求得本次局部优化后的稀疏系数即

根据基于稀疏编码理论的去噪模型，对于乘法矩阵C＝UU^T中U＝[u₁u₂...u_M]的特征向量个数M的选取采用较优取值算法。在特征向量个数M取值时，首先定义失控率函数P_num＝N_s/N×100％，其中，N_s为在最后一轮迭代中需按上述优化求解算法求解稀疏系数的总个数。对特征向量个数M从0至N²进行搜索，当P_num≥T_p，T_p为一预设门限值时，则重复所述目标函数构造及稀疏优化过程。

(4)去噪图像输出过程如下：

当P_num＜T_p，则定义此时的搜索值M₀为较优的M取值。

利用过程(2)中的字典D和优化稀疏系数矩阵获得去噪图像块矩阵 $\tilde{Y}=\left[\begin{array}{cccc}{\tilde{y}}_1& {\tilde{y}}_2& ...& {\tilde{y}}_N\end{array}\right],$ 为y_i对应的去噪列向量。其的求解公式为 $\tilde{Y}=D\tilde{X}C;$

在去噪图像输出中，将上述去噪图像块矩阵的列向量转化为M₁×M₂大小的图像块像素矩阵并取代所述含噪图像相应位置的图像块B_i，同时记录含噪图像中每个像素点上需要覆盖的去噪图像块个数w_i,j，i,j为像素位置坐标，及对应的估计图像块的像素值k＝1,2,...,w_i,j。利用含噪图像中每个像素点上需要覆盖的估计图像块个数w_i,j，对进行权值相加，获得降噪后图像对应位置的像素值和α分别为含噪图像的像素值和对应的加权系数。

本发明的效果可以通过以下实验进一步说明：

1)实验条件

本实验采用像素大小为128×128的原始图像作为实验数据，图像块像素矩阵长和宽为M₁＝M₂＝8像素，字典中原子总个数K＝256和多轮迭代次数Q＝5。稀疏度T_s＝5，残差阈值ε＝γM₁M₂σ²为残差，加权系数γ＝1.15，σ²为噪声方差。门限值T_p＝5％。

2)实验内容

通过对测试图像添加高斯噪声和不同偏差获得噪声图像，分别利用K均值奇异值分解(K-SVD)，拉普拉斯图特征向量(EGL)，三维块匹配(BM3D)和拉普拉斯图特征向量的稀疏编码(EGL-SC)算法对含噪图像进行去噪，并比较其去噪性能，其中，EGL和EGL-SC算法采用相同的特征向量个数进行比较，K-SVD和EGL-SC算法采用相同的字典进行比较。

首先对不同图像去噪算法在噪声偏差σ＝20时进行降噪性能比较，结果如图1所示，从左至右依次为含噪图像和通过K均值奇异值分解(K-SVD)，拉普拉斯图特征向量(EGL)，三维块匹配(BM3D)和拉普拉斯图特征向量的稀疏编码(EGL-SC)算法得到的去噪图像。

当噪声偏差σ＝40时，降噪性能比较结果如图2所示，从左至右依次为含噪图像和通过K-SVD，EGL，BM3D和EGL-SC算法得到的去噪图像。

当噪声偏差σ＝60时，降噪性能比较结果如图3所示，从左至右依次为含噪图像和通过K-SVD，EGL，BM3D和EGL-SC算法得到的去噪图像。

其次，测试EGL-SC在测试图像的不同特征向量个数的去噪性能。不同的噪声偏差下的PSNR和失控率如图4、图5、图6所示。三角形符号表示PSNR和相应失控率，其中失控率等于T_p＝5％。

3)实验结果分析

在噪声偏差σ＝20时进行降噪性能比较，EGL算法的去噪效果最差，本发明所提出的EGL-SC算法去噪效果优于K-SVD和EGL算法，但比BM3D略差。EGL-SC能够很好地从含噪图像还原的图像细节和纹理；当噪声偏差σ＝40时，此时K-SVD算法的去噪效果最差，EGL和EGL-SC算法去噪效果最好，但与EGL相比，EGL-SC算法去噪效果更好，尤其在图像的平坦区域。当噪声偏差σ＝60时，此时K-SVD算法的去噪效果最差，采用SSIM算法比较时，EGL-SC有效抑制了图像噪声，去噪效果最好，拉普拉斯图的特征向量包含低和高频率的信息，与BM3D相比，也恢复了更多细节。

在不同偏差的噪声下估计EGL-SC，峰值信噪比(PSNR)的统计图如表1所示。

表1

表1是由不同的去噪算法得到的PSNR(dB)结果图，每个单元格左上是K-SVD，右上是BM3D，左下是EGL，右下是EGL-SC，K-SVD的去噪效果最差，EGL-SC与BM3D相比，在偏差较大时得到较高的PSNR值。

由不同的去噪算法得到的结构相似测度(SSIM)结果图如表2所示；

表2

表2是不同的去噪算法得到的SSIM结果图，每个单元格左上是K-SVD，右上是BM3D，左下是EGL，右下是EGL-SC，本发明提出的基于EGL-SC的图像去噪算法，在SSIM中，图像复杂和偏差较大时，去噪效果好，特征向量个数较小时，随着本征向量个数增加PSNR得到有效改善。

Claims (4)

1.一种基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码的图像去噪方法，其特征在于，其包含以下步骤：

(1)、对输入含噪图像进行采样，获得N个大小为M₁×M₂像素的图像块，M₁×M₂像素表示长为M₁个像素，宽为M₂个像素，记录各采样图像块在含噪图像中的位置，对第i个M₁×M₂大小的图像块像素矩阵B_i，按列进行堆砌，构成一个(M₁M₂)×1的列向量y_i，i＝1,2,...,N，同时将所有列向量y_i，i＝1,2,...,N，进行顺序排列，构成输入含噪图像块矩阵Y＝[y₁y₂...y_N]；

(2)、根据所有列向量y_i，i＝1,2,...,N，在M₁M₂维空间的几何结构中，构建所有列向量y_i之间关系图，计算其对应的图的拉普拉斯矩阵L，进而计算矩阵L对应的特征向量

(3)、构造基于稀疏编码理论的去噪模型，并对参数X进行优化求解；

该去噪模型的目标函数为：i＝1,2,...,N，对应的约束条件为：l＝1,2,...,N；其中，D＝[d₁d₂...d_K]为字典，d_k为字典中的第k个原子，k＝1,2,...,K，K为字典中的原子总个数，X＝[x₁x₂...x_N]为稀疏系数矩阵，x_i为稀疏系数，为X对应的优化稀疏系数矩阵，||·||₀为0范数，||·||₂为2范数，ε＝γM₁M₂σ²为残差，γ为一加权系数，σ²为噪声方差，y_l为输入含噪图像块矩阵Y的第l列的列向量，c_l是乘法矩阵C＝UU^T的第l列的列向量，U＝[u₁u₂...u_M]为根据步骤2矩阵L计算的对应特征向量中前M个特征向量；

(4)、利用字典D和优化稀疏系数矩阵获得优化的去噪图像块矩阵 $\tilde{Y}=\left[\begin{array}{cccc}{\tilde{y}}_1& {\tilde{y}}_2& ...& {\tilde{y}}_N\end{array}\right],$ 为y_i对应的去噪优化的列向量，其的求解公式为 $\tilde{Y}=D\tilde{X}C;$

(5)、去噪图像的输出，将步骤(4)中获得的去噪图像块矩阵的列向量转化为M₁×M₂大小的图像块像素矩阵并取代步骤(1)中含噪图像相应位置的图像块B_i，同时记录含噪图像中每个像素点上需要覆盖的去噪图像块个数w_i,j，i,j为像素位置坐标，及对应的估计图像块的像素值k＝1,2,...,w_i,j，利用获得的覆盖估计图像块个数w_i,j，对进行权值相加，得到降噪后图像对应位置的像素值 ${\hat{P}}_{i,j}^k=(\underset{w_{i,j}}{\Σ}{\hat{P}}_{i,j}+{\mathrm{\αP}}_{i,j})/(w_{i,j}+\mathrm{\α}),$ 和α分别为含噪图像的像素值和对应的加权系数。

2.根据权利要求1所述的一种基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码的图像去噪方法，其特征在于，步骤(3)所述的基于稀疏编码理论的去噪模型：约束条件为进行X的优化求解，其按如下步骤进行：

(2a)、在对基于稀疏编码理论的去噪模型优化求解X时，采用多轮迭代优化的算法，即每次迭代优化时依次对一个稀疏系数x_i，i＝1,2,...,N，进行局部优化，具体过程是对稀疏系数x_i进行优化时，首先固定其他稀疏系数{x_j}_j≠i取值，求解仅与x_i有关的对应稀疏编码理论的去噪模型，所述去噪模型的目标函数为约束条件为其中，c_i,l为步骤(3)中所述的列向量c_l的第i行元素，e_l＝y_l-Σ_j≠iDx_jc_j,l；

(2b)、对步骤(2a)中的约束条件的公式采用如下公式进行松弛转换：其中，残差矩阵E＝[e₁e₂...e_N]，||·||_F为frobenius范数，为C的第i个行向量；

(2c)、对步骤(2a)的目标函数和(2b)中的松弛后的约束条件进行等价，采用如下公式：目标函数为约束条件为其中，归一化参数g′_i＝g_i/||g_i||₂，ε′＝Nε-Tr(E^TE)+(g′_i)^TE^TEg′_i，Tr(.)为矩阵的迹。此时，目标函数可利用标准的基于误差约束的稀疏编码模型求得并求得本次局部优化后的稀疏系数即 ${\tilde{x}}_i={\hat{x}}_i/\left|\right|g_i|{|}_2.$

3.根据权利要求2所述的一种基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码图像去噪方法，其特征在于，基于稀疏编码理论的去噪模型，在每次迭代时依次对一个稀疏系数x_i，i＝1,2,...,N，进行局部优化时，会遇到某些稀疏系数无解的情况，即权利要求2中步骤(2c)中无解，若对x_i进行局部优化时无解，按如下步骤进行：

(3a)对权利要求2中步骤(2c)采用如下去噪模型进行优化：目标函数约束条件为||x_i||₀≤T，其中T稀疏度，进行对x_i的优化求解；

(3b)对x_i的优化求解时，首先将目标函数约束条件||x_i||₀≤T转化为目标函数约束条件||x_i||₀≤T。利用标准的基于稀疏度约束的稀疏编码模型求得并求得本次局部优化后的稀疏系数即 ${\tilde{x}}_i={\hat{x}}_i/\left|\right|g_i|{|}_2.$

4.根据权利要求1所述的一种基于拉普拉斯图特征向量的稀疏编码的图像去噪方法，其特征在于，步骤(3)所述的基于稀疏编码理论的去噪模型中，对于乘法矩阵C＝UU^T中U＝[u₁u₂...u_M]的特征向量个数M的选取采用较优取值算法；

在特征向量个数M取值时，首先定义失控率函数P_num＝N_s/N×100％，其中，N_s为在最后一轮迭代中需按权利要求3中优化求解算法求解出的稀疏系数的总个数，对特征向量个数M从0至N²进行搜索。当P_num＜T_p，T_p为一预设门限值时，则定义此时的搜索值M₀为较优的M取值。