CN105138863B - 具有耦合时滞的模块神经元网络簇同步的抑制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有耦合时滞的模块神经元网络簇同步的抑制方法，包括如下步骤：建立模块神经元网络模型；利用二维离散映射描述模块神经元网络中节点上的局部神经元模型；利用单个神经元的快变量和整个网络平均场的时间历程，生动地描述神经元的放电动力学；计算序参数R，确定耦合强度对诱导簇同步的影响；提出利用微分反馈控制技术去抑制簇同步，计算抑制参数S，确定微分反馈控制技术对减小或抑制簇同步的有效性。本发明发现较大的耦合强度能够诱导模块神经元网络的簇同步，并且当微分反馈控制的控制参数位于控制域内时，微分反馈控制能够有效地抑制簇同步。当引入耦合时滞时，较小的耦合时滞能够提高微分反馈控制抑制簇同步的效果。

Description

具有耦合时滞的模块神经元网络簇同步的抑制方法

技术领域

本发明涉及生物领域，具体涉及一种具有耦合时滞的模块神经元网络簇同步的抑制方法。

背景技术

神经元的同步放电活动对生物神经信息处理具有关键性作用，且与神经系统许多正常的生理机制相关。然而，最近的医学实验表明并不是神经元所有的同步模式都能促进脑功能的正常运转。神经元异常的同步化放电活动会严重破坏大脑正常的功能和结构，进而导致某些神经性生理疾病，如帕金森症、癫痫症、手的颤抖等。因此，研究如何抑制神经元异常的同步放电活动具有重要的理论意义和潜在的应用价值。

临床上，消除神经元病态同步有效的一种方法是深度脑刺激(DBS)。该方法在大脑的特定区域中植入电极，通过施加高频脉冲刺激，从而控制被刺激区域神经元的同步放电活动。然而，此方法治疗神经系统疾病的生物物理机制仍不十分明确，并且该技术在应用中存在一定的局限性。由于DBS技术存在以上不足，根据非线性动力学和统计物理的控制理论和方法，近年来学者们提出了一些消除神经元间病态同步的其它方法。例如，非线性时滞反馈技术，已经实现了由非线性微分方程组成的神经元网络的同步抑制，其效果不依赖于刺激参数的改变；滤波器辅助的平均场反馈方法，可以有效地控制神经元网络的同步活动；局部周期信号刺激方法，也可用于抑制神经元网络中的病态同步放电活动。

在上述抑制神经元同步的研究过程中，如何在保持神经元本身放电特性不变的条件下，有效地消除神经系统的病态同步放电，这是一直令人困扰的一个问题。德国学者Rosenblum和Pikowsky根据Pyragas的微分反馈控制思想，提出了利用线性时滞反馈信号来消除大脑中的病态同步节律。该方法的优点是不需要知道各个神经元的确切参数，只需测得神经元集群的节律，将延迟信号反馈给被刺激神经元即可，并且这种微分反馈控制方法是一种非侵害性控制方法，它并不改变单个神经元的动力学性质。目前，微分反馈控制技术初步用于全局耦合神经元网络和小世界神经元网络的同步抑制中。

最新关于猕猴和猫大脑皮层的解剖实验证实，具有相似连接特征或功能特征的神经元往往聚集在同一个模块中，这表明脑皮层的神经元网络具有模块结构。同时，由于突触间隙的存在及动作电位沿轴突的有限传播速度，时滞在神经元网络中是普遍存在的。因而，具有耦合时滞的模块神经元网络是对真实大脑神经系统更贴切的描述。然而，如何抑制耦合时滞作用下模块神经元网络的病态同步，目前还没有见到报道。发展抑制含有耦合时滞的模块神经元网络簇同步的方法与技术迫在眉睫。

发明内容

为解决上述问题，本发明鉴于微分反馈控制技术的优点，提供了一种对具有耦合时滞的模块神经元网络簇同步的抑制方法。

为实现上述目的，本发明采取的技术方案为：

具有耦合时滞的模块神经元网络簇同步的抑制方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1、建立模块神经元网络模型；

S11、假设模块网络存在M个子网络，每个子网络含有N个节点，每个子网络是小世界网络，每个子网络中的每个神经元与它最邻近的和次邻近的节点相连；

S12、利用一个给定的概率p_intra增加子网络内节点间的连接；

S13、选择来自第I(I＝1，...，M)和第J(J≠I，J＝1，...，M)个子网络中的一些节点对，并且用子网络间连接概率p_inter连接选定的节点对，生成一个模块神经元网络；

S2、利用二维离散映射描述模块神经元网络中节点上的局部神经元模型，神经元网络的表达式如下：

y_I，i(n+1)＝y_I，i(n)+c[x_I，i(n)-E]；

此时

u(n)是微分反馈控制项，形式为：u(n)＝K(X(n-τ)-X(n))，其中K是反馈强度，τ是反馈时滞，X是网络的平均场，具体为

是耦合项，形式为：

式中，(I，i)为第I个子网络中的第i个神经元，i＝1，...，N；I＝1，...，M；x为神经元膜电位的动力学；y为所有的离子电流通过神经元膜渗入神经元内的集体行为，具有修复作用；ε为不同神经元间的全局耦合强度，并且τ₁是耦合时滞；A_I，J(i，j)为网络的连接矩阵；当第I个子网络中的第i个神经元与第J个子网络中的第j个神经元相连接时，A_I，J(i，j)＝A_J，I(j，i)＝1，否则，A_I，J(i，j)＝A_J，I(j，i)＝0，并且A_I，I(i，i)＝0；

S3、利用单个神经元的快变量和整个网络平均场的时间历程，生动地描述神经元网络的动力学；

S4、通过以下公式计算序参数R，确定耦合强度对簇同步的影响：

式中，表示第J个子网络中第j个神经元在时刻n处的簇相位，并且簇相位的描述如下：

式中，n_J，j，k是第J个子网络中第j个神经元的第k个簇开始放电的时刻；

一般地，R的值越大，表明神经元网络簇同步的程度越大，特别地，当所有神经元簇放电达到簇同步时，簇相位几乎一致，从而R接近于1；相反地，当所有簇放电神经元处于完全不簇同步状态时，簇相位几乎不相关，从而R≈0；

S5、提出利用微分反馈控制技术去抑制模块神经元网络的簇同步，通过以下公式计算抑制参数S，确定微分反馈控制机制对减小或抑制簇同步的有效性；

式中，X和X_f分别是不存在和存在微分反馈控制时平均场的值。一般地，S值越大，微分反馈控制抑制簇同步越有效。本具体实施中，假设S＞3的参数区域为有效抑制簇同步的控制域。

本发明发现较大的耦合强度能够诱导模块神经元网络的簇同步，并且当微分反馈控制的控制参数在控制域内时，本发明提出的微分反馈控制技术能够有效地抑制簇同步。当引入耦合中的时滞时，我们观察到较小值的耦合时滞能够促进微分反馈控制技术抑制簇同步，并且存在最优的耦合时滞使得这种抑制效果能够达到最佳。这些结果有助于理解真实神经系统的簇放电同步，并为治疗簇同步引发的一些神经性生理疾病提供一定的理论指导意义。

附图说明

图1为本发明实施例中由M＝3个小世界子网络构成的模块网络的图例，并且每个子网络中有N＝12个节点。

图2为本发明实施例中当ε＝0[(a)和(c)]时和当ε＝0.05[(b)和(d)]时，两个随机选择的神经元膜电位x的时间历程示意图；网络模型的参数值为M＝3和N＝30。

图3为本发明实施例中当(a)ε＝0和(b)ε＝0.05时，模块神经元网络的时空图，网络模型的参数值为M＝3和N＝30。

图4(a)为本发明实施例中未耦合时(ε＝0)的平均场的时间历程，网络模型的参数值为M＝3和N＝30。

图4(b)为强耦合(ε＝0.05)时平均场的时间历程，网络模型的参数值为M＝3和N＝30。

图5为本发明实施例中取子网络个数不同时，序参数R随着耦合强度ε变化的曲线。

图6(a)为本发明实施例中当存在微分反馈控制u(n)时，网络平均场随着时间的变化。

图6(b)为本发明实施例中微分反馈控制信号u(n)的时间历程。

图7为本发明实施例中当存在微分反馈控制时，两个随机选择的神经元膜电位x的时间历程，网络模型的参数为M＝3，N＝30，K＝0.15，τ＝120。

图8为本发明实施例中在不同个数的子网络构成的模块网路中，抑制参数S随着控制参数组合(K和τ)的变化；

图中：(a)M＝3；(b)M＝5；(c)M＝7。

图9为本发明实施例中在不同个数的子网络构成的模块网络中，当控制时滞τ＝120时，对于不同的耦合强度，抑制参数S随着耦合时滞τ₁的变化曲线；

图中：(a)M＝3；(b)M＝5；(c)M＝7。

图10为本发明实施例中当τ＝120，K＝0.15且M＝3时，在不同耦合时滞下，模块神经元网络的时空演化行为；

图中，(a)τ₁＝0；(b)τ₁＝6；(c)τ₁＝26；(d)τ₁＝250。

图11为本发明实施例中当τ＝120，K＝0.15且M＝3时，在不同耦合时滞下，平均场X的时间历程。

图12为本发明实施例在不同个数的子网络构成的模块网络中，当控制时滞τ＝250时，对于不同的耦合强度，抑制参数S随着耦合时滞τ₁的变化曲线；

图中：(a)M＝3；(b)M＝5；(c)M＝7。

图13为本发明实施例中当τ＝280，K＝0.15和M＝3时，在不同耦合时滞下，模块神经元网络的时空演化行为；

图中，(a)τ₁＝0；(b)τ₁＝10；(c)τ₁＝30；(d)τ₁＝250。

图14为本发明实施例中当τ＝280，K＝0.15和M＝3时，在不同耦合时滞下，平均场X的时间历程。

具体实施方式

为了使本发明的目的及优点更加清楚明白，以下结合实施例对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

实施例

S1、假设模块网络存在M个子网络，每个子网络含有N个节点，设定N＝30，假设每个子网络是小世界网络，每个子网络中的每个神经元与它最邻近的和次邻近的节点相连；利用一个给定的概率p_intra增加子网络内节点间的连接，随后，选择来自第I(I＝1，...，M)和第J(J≠I，J＝1，...，M)个子网络中的一些节点对，并且用子网络间连接概率p_inter连接选定的节点对。用这种方法，一个模块神经元网络生成。图1给出了模块神经元网络的一个例子。模块网络的特点是模块(子网络)内的连接比较紧密，而模块间的连接比较稀疏，本具体实施设定p_intra＝0.2，p_inter＝0.01。

S2、利用一个二维离散映射描述了模块网络中节点上的局部神经元模型。神经元网络的表达式如下：

y_I，i(n+1)＝y_I，i(n)+c[x_I，i(n)-E]， (2)

式中，(I，i)代表第I个子网络中的第i个神经元，i＝1，...，N，I＝1，...，M。x描述了神经元膜电位的动力学，y刻画了所有的离子电流通过神经元膜渗入神经元内的集体行为，具有修复作用。H(x)和F(x)表达式如下：

此时 u(n)是微分反馈控制项，形式为：u(n)＝K(X(n-τ)-X(n))，其中K是反馈强度，τ是反馈时滞，X是网络的平均场，具体为 是耦合项，形式为：

式中，ε是不同神经元间的全局耦合强度，τ₁是耦合时滞。A_I，J(i，j)是网络的连接矩阵，当第I个子网络中的第i个神经元与第J个子网络中的第j个神经元相连接时，A_I，J(i，j)＝A_J，I(j，i)＝1，否则，A_I，J(i，j)＝A_J，I(j，i)＝0，并且A_I，I(i，i)＝0。u(n)＝K(X(n-τ)-X(n))描述了微分反馈控制，K是反馈强度，τ是反馈时滞。X是网络的平均场，表达式为为使单个神经元产生混沌的簇放电活动，系统参数设定为m₀＝0.65，m₁＝0.65，a＝0.2，d＝0.34，β＝0.31，E＝0.15，c＝0.002。

S3、利用单个神经元的快变量和整个网络平均场的时间历程，生动地描述模块神经元网络的动力学。当M＝3时，图2描绘出了在不同耦合强度取值下模块神经元网络中任意两个神经元的放电时间序列。当神经元间未耦合时(ε＝0)，两个神经元的簇放电节律在时间上相关性很差，此现象在图2(a)和图2(b)中给出了描述。图3(a)中描述的网络时空图处于混乱状态。同时，图4(a)展示的网络的平均场X呈现类似噪声的小幅随机波动。这说明当神经元未耦合时，整个模块神经元网络没有达到簇同步。

相反地，当神经元间的耦合强度较大时，如ε＝0.05，图2(b)和图2(d)呈现出任意两个神经元的簇放电实现了簇同步。同时，图3(b)描述了一种规则的空间演化图。图4(b)进一步刻画了模块神经元网络的平均场X表现出大幅的周期振荡。因此，能够得出结论：一定的耦合强度可以促使模块神经元网络达到簇同步。

S4、为了进一步得到耦合强度对簇同步的影响，本具体实施通过计算序参数R来研究这种影响，其定义为：

式中，表示第J个子网络中第j个神经元在时刻n处的簇相位，并且簇相位的描述如下：

其中n_J，j，k是第J个子网络中第j个神经元的第k个簇开始放电的时刻。一般地，R的值越大，表明神经元网络簇同步的程度越大，特别地，当所有神经元簇放电达到簇同步时，簇相位几乎一致，从而R接近于1；相反地，当所有簇放电神经元处于完全不簇同步状态时，簇相位几乎不相关，从而R≈0。

图5中描述了R与耦合强度ε的依赖关系。从这个图中可以看到，随着ε的增加，R以一个类似于S型曲线的方式增长，并且当ε超过临界值(ε＝0.02)时，有R≈1，即当ε较大时模块网络中的神经元之间达到簇同步。图5也展示了子网络个数为M＝5和M＝7的情形，很明显，R依赖于ε的变化类似于M＝3的情形。综上，较大的耦合强度能够诱导模块网络产生簇同步，并且这与子网络个数无关。

接下来使用平均场X、微分反馈控制信号和单个神经元快变量的时间历程，讨论了微分反馈控制技术如何影响神经元的簇同步动力学。不失一般性，本具体实施设定耦合强度ε＝0.05(此时模块神经元网络呈现簇同步状态)，微分控制信号的参数为K＝0.15，τ＝120。图6描绘出了平均场和控制信号的时间历程。一旦控制信号在时间n＝4000时启动，图6(a)中平均场大幅的周期振荡变成了小幅波动，这说明微分反馈控制技术可以抑制簇同步。图6(b)中控制信号的幅值趋于0，这表明微分反馈控制技术是非侵害性的。同时，图7描述出微分反馈控制信号施加后神经元间的簇同步放电状态消失。图6和图7揭示了微分反馈控制技术仅仅破坏了神经元之间放电节律的相关性，并没有改变单个神经元的动力学性质。上述结果表明当微分反馈控制的控制参数取适当值时，微分反馈控制技术能够抑制簇同步。

S5、为了定量测量微分反馈控制技术对减小或抑制簇同步的有效性，本具体实施进一步引入抑制参数

式中，X和X_f分别是不存在和存在微分反馈控制时网络平均场的值。一般地，S值越大，微分反馈控制技术抑制簇同步越有效。本具体实施中，假设S＞3的参数区域为有效抑制簇同步的控制域。

图8呈现了在不同个数的子网络情形下，S对反馈强度K和反馈时滞τ的依赖性。以M＝3为例，控制域(S＞3)位于控制时滞50＜τ＜250和控制强度0.05＜K＜0.25的范围内，如图8(a)所示。图8(b)中展示了当M＝5时，控制域位于70＜τ＜230和0.08＜K＜0.25范围内。当M＝7时，图8(c)标识出控制域位于100＜τ＜200和0.09＜K＜0.25区域内。很明显，这些控制域类似于M＝3的情形。由此，本具体实施可以得出结论：有效地抑制簇同步的控制域存在于控制参数的中间区域内，同时也可以得到，子网络个数越大，控制域越小。

图8(a)已经给出了当子网络数目M＝3时，控制域是50＜τ＜250，0.05＜K＜0.25。不失一般性，取控制参数K＝0.15τ＝120，此时微分反馈控制技术可以有效地抑制模块神经元网络的簇同步。通过刻画抑制参数S随着耦合时滞τ₁的变化、网络的时空图和网络平均场的时间历程，本具体实施进一步研究了耦合时滞对微分反馈控制技术抑制簇同步的影响。

图9(a)描述了抑制参数S与耦合时滞τ₁的依赖关系。从图中可以看出随着τ₁的增加，S首先增加，在τ₁≈26处达到最大，随后S一直减小直到τ₁≈45时，最后S在S≈3处(比τ₁＝0时的S值小)轻微地变化；而且还可以观察到，图9(a)中改变控制域内K的值，例如K＝0.1和K＝0.12，随着τ₁的增加，S的变化类似于K＝0.15时的情形。因此，不难总结出较小的耦合时滞能够增强微分反馈控制抑制簇同步，且存在一个最佳的耦合时滞使得这种增强效果达到最大。这个结论还可以进一步通过M＝5和M＝7时S随着τ₁的变化得到证明，其结果分别见图9(b)和(c)。

为了生动地解释上述结果，图10展示了不同耦合时滞下模块神经元网络一些典型的时空图。从图10(a)中可以观察到当τ₁＝0时，尽管每个子网络内的神经元间几乎同时处于簇放电状态，但是从全局上看，整个网络中所有神经元簇放电行为是不同步的，即此时微分反馈控制技术能够有效地抑制模块神经元网络的簇同步。当耦合中出现时滞时(如τ₁＝6)，如图10(b)所示，每个子网络的神经元簇同步行为逐渐退化，这意味着耦合时滞的出现能够提高微分反馈控制抑制簇同步的效果。随着耦合时滞的进一步增加，这种作用在增强。当时滞增加到τ₁＝26时，网络中几乎所有神经元簇放电节律不一致，结果如图10(c)所示。然而，当τ₁＞45时，每个子网络内神经元的簇放电又几乎处于簇同步状态，这可以由τ₁＝250时时空图图10(d)得到证实。这一现象表明存在恰当的耦合时滞使得微分反馈控制技术抑制簇同步的效果达到最佳。

图11描述了在不同的耦合时滞下平均场的时间历程。从这幅图可以看出当τ₁＝0时，平均场有小的振幅，说明微分反馈控制技术抑制了模块神经元网络的簇同步。随着时滞的出现(如τ₁＝6)，平均场的振幅在减小，并且当τ₁＝26时，平均场的振幅达到最小。然而，随着耦合时滞的进一步增大，平均场的振幅也在增大，这可以从τ₁＝250时平均场的时间历程看到。这些发现与图9(a)和图10的特征一致，进一步证实了较小的耦合时滞能够增强微分反馈控制技术抑制簇同步，并且存在一个最佳的时滞使得这种增强作用达到最大。

为了研究耦合时滞对控制域外微分反馈控制技术的影响，不失一般性，选取τ＝280，K＝0.15，此时微分反馈控制不能有效地抑制模块神经元网络的簇同步。接下来，同样通过抑制参数、网络的空间图和网络平均场的时间历程来研究耦合时滞对微分反馈控制技术抑制簇同步的影响。

图12(a)刻画了抑制参数S随着耦合时滞τ₁变化的曲线。由该图可知，随着τ₁的增大，S先增大后减小，当τ₁≈30时S达到最大值。在τ₁≈50之后，S的值在S＝1处(比τ₁＝0时S的值大)附近轻微地变化。另外，图12(a)展示了控制域之外其他反馈强度的情形，如K＝0.1和K＝0.12，此时S随着τ₁的变化类似于K＝0.15的情况。因此，不难总结出较小的耦合时滞有助于提高微分反馈控制技术抑制簇同步，并且抑制效果在恰当的时滞处能够达到最佳。这个结论同样能够通过M＝5和M＝7时S随τ₁的变化得到证实，结果分别如图12(b)和图12(c)所示。

为了解释上述结论，图13进一步展示了不同耦合时滞下模块神经元网络的一些典型空间图。从图13(a)可知，当τ₁＝0时，网络的所有神经元簇放电行为是同步的，袁明此时微分反馈控制技术不能抑制簇同步。然而，当耦合中出现时滞时，如τ₁＝10，图13(b)描述出所有神经元的簇放电节律不是簇同步的，尽管每个子网络内神经元同时簇放电，说明耦合时滞的出现增强了微分反馈控制抑制簇同步。更进一步，当时滞增加到τ₁＝30时，几乎所有的神经元簇放电行为不同步，如图13(c)所示。相反地，当τ₁＞50时，如τ₁＝250，每个子网络内神经元的放电动力学趋向于簇同步，如图13(d)描述的一样。不难得出，较小的耦合时滞能够增强微分反馈控制技术抑制簇同步，并且存在一个最优的时滞使得这种增强作用能够达到最强，这与图12(a)的结论一致。

图14为本发明实施例中平均场的时间历程。由图可知，当τ₁＝0时，平均场的变化呈现出大振幅的振动，说明微分反馈控制没有能力抑制模块神经元网络的簇同步。增加τ₁，如τ₁＝10，平均场的振幅减小，反映出耦合时滞的出现使得微分反馈控制技术能够抑制簇同步。当τ₁增加到最佳水平τ₁＝30时，平均场的振幅达到最小，说明此时微分反馈控制技术抑制簇同步的效果达到了最佳。然而，当τ₁超过一定范围时，如τ₁＝250，平均场的振幅波动呈现出比τ₁＝0时较小、但又比τ₁≈10时较大的波动。这些现象进一步说明较小的耦合时滞能够增强控制域外微分反馈控制技术抑制簇同步的效果，并且这种抑制作用在合适的耦合时滞处能够达到最佳，这与图12(a)和图13的结论一致。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以作出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (1)

1.具有耦合时滞的模块神经元网络簇同步的抑制方法，其特征在于，包括如下步骤：

S1、建立大脑神经系统的模块神经元网络模型；

S11、假设模块网络存在M个子网络,每个子网络含有N个节点，每个子网络是小世界网络,每个子网络中的每个神经元与它最邻近的和次邻近的节点相连；

S12、利用一个给定的概率p_intra增加子网络内节点间的连接；

S13、选择来自第I(I＝1,...,M)和第J(J≠I,J＝1,...,M)个子网络中的一些节点对,并且用子网络间连接概率p_inter连接选定的节点对，生成一个模块神经元网络；

S2、利用二维离散映射描述模块神经元网络中节点上的局部神经元模型，神经元网络的表达式如下：

$x_{I,i}(n+1)=x_{I,i}\left(n\right)+F\[x_{I,i}\left(n\right)\]-y_{I,i}\left(n\right)-\mathrm{\β}H\[x_{I,i}\left(n\right)-d\]+I_{I,i}^{syn}\left(n\right)+u\left(n\right);$

y_I,i(n+1)＝y_I,i(n)+c[x_I,i(n)-E]；

$H\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}1& x\&GreaterEqual;0\\ 0& x<0\end{array}\right.;$

此时u(n)是微分反馈控制项，形式为：u(n)＝K(X(n-τ)-X(n))，其中K是反馈强度，τ是反馈时滞，X是网络的平均场，是所述模块神经元网络的输出,具体为 是耦合项,形式为：

$I_{I,i}^{syn}\left(n\right)=\mathrm{\&epsiv;}\underset{J}{\&Sigma;}\underset{j}{\&Sigma;}{A}_{I,J}(i,j)\left(x_{J,j}\right(n-{\mathrm{\&tau;}}_1)-x_{I,i}(n\left)\right);$

式中，(I,i)为第I个子网络中的第i个神经元,i＝1,...,N；I＝1,...,M；x和y分别代表大脑的神经元的膜电位和恢复变量，是所述模块神经元网络的输入；ε为不同神经元间的全局耦合强度,τ₁是耦合时滞；A_I,J(i,j)为网络的连接矩阵；当第I个子网络中的第i个神经元与第J个子网络中的第j个神经元相连接时,A_I,J(i,j)＝A_J,I(j,i)＝1,否则,A_I,J(i,j)＝A_J,I(j,i)＝0,并且A_I,I(i,i)＝0；

其中，ε用于诱导所述模块神经元网络达到簇同步；

u(n)用于抑制所述模块神经元网络的簇同步；

S3、利用单个神经元的快变量和整个网络平均场的时间历程,生动地描述神经元网络的动力学；

其中，当所述整个网络平均场呈现小幅随机波动时，模块神经元网络没有达到簇同步，而当所述整个网络平均场表现出大幅的周期振荡时，模块神经元网络达到簇同步；

S4、通过以下公式计算序参数R，确定耦合强度对簇同步的影响：

式中,(J,j,n)表示第J个子网络中第j个神经元在时刻n处的簇相位,并且簇相位的描述如下：

式中,n_J,j,k是第J个子网络中第j个神经元的第k个簇开始放电的时刻；

S5、提出利用微分反馈控制技术去抑制模块神经元网络的簇同步，通过以下公式计算抑制参数S，确定微分反馈控制机制对减小或抑制簇同步的有效性；

$S=\sqrt{\frac{Var\left(X\right)}{Var\left(X_f\right)}},$

式中，X和X_f分别是不存在和存在微分反馈控制时平均场的值；其中，当S＞3时，微分反馈控制能有效地抑制簇同步。