CN106452718A - 一种噪声环境下耦合网络之间随机滞后同步的方法 - Google Patents

Abstract

一种噪声环境下耦合网络之间随机滞后同步的方法，由建立含有信息传输延迟的耦合网络、噪声环境下构建控制器、确定误差网络步骤组成。本发明通过设计基于白噪声反馈增益的线性时滞反馈控制器，实现了噪声环境下单向耦合网络之间的随机滞后同步。相对于复杂网络同步研究中较复杂、不易实现的控制方法，该控制方法实用、简便，充分利用了现实环境中不可避免的噪声，降低了网络运行能耗。

Description

一种噪声环境下耦合网络之间随机滞后同步的方法

技术领域

本发明属于复杂网络同步技术，具体涉及一种噪声环境下耦合网络之间随机滞后同步的方法。

背景技术

混沌系统对初始条件极端敏感，初始条件的微小改变会导致其动力学演化行为千差万别。“巴西丛林中一只蝴蝶偶尔煽动翅膀，可能会引起美国德克萨斯州掀起一场龙卷风”，这个著名的蝴蝶效应，正是对混沌信号敏感于初始条件、长期不可预测的真实写照。此外，混沌信号还具有宽频谱、类似噪声等特点。混沌信号的这些特性使得当初人们认为混沌是不可驾驭的。20世纪90年代初，混沌同步控制的相继提出，颠覆了长期以来“混沌不可控”的传统思想，同时也开启了混沌同步在信息保密通讯、信号处理、激光物理等领域的重要应用。

简单地说，混沌同步是指两个或多个耦合混沌系统的演化行为具有一定的协同关系，它可以是输出状态的步调一致，也可以是系统之间的相位锁定。根据具体的协同关系，混沌同步可以分为完全同步、滞后同步、广义同步、相位同步等不同类型。1997年，德国科学家M.G.Rosenbulm等研究化学反应领域耦合Rossler振子的同步行为时提出滞后同步。滞后同步指驱动系统的状态输出变量以固定的时间落后于响应系统的状态输出变量。由于信息传输速度的有限性，信息的形成、整合和传递都将造成时间上的延迟，形成传输或反应时滞。滞后同步考虑了信息传输过程中的时间延迟，更符合实际。如今，滞后同步在在简单耦合系统(由两个子系统耦合而成)中得到了一些研究，在激光、电子线路中也得到应用。

但是,现实世界的真实系统都是由多个子系统耦合而成的复杂系统。随着对复杂网络研究的兴起，复杂网络正在成为解释、描述和研究复杂系统最合适的方法和手段。任何一个网络都不是孤立的，网络群体之间存在相互联系，这通过网络群体之间的耦合而实现。同时，网络系统总是处于内部涨落和外部扰动的噪声环境中。鉴于这两方面，并基于滞后同步的重要性，探索噪声环境下耦合网络之间的随机滞后同步无疑更具有现实意义和应用价值。然而，目前对实现噪声环境下耦合网络之间随机滞后同步的技术方法还未见到报道。

因此，针对噪声环境下含有信息传输延迟的耦合网络，本专利提出一种基于白噪声反馈增益的线性时滞反馈控制方法，使得两个单向耦合网络之间取得随机滞后同步。

发明内容

本发明所要解决的技术问题在于克服上述复杂网络同步所存在的不足，提供方法简单、网络运行能耗低、应用简便的噪声环境下耦合网络之间随机滞后同步的方法。

本发明所采用的技术方案是由以下步骤实现：

(1)含有信息传输延迟的耦合网络为：

其中：t∈R⁺表示连续的时间变量，N是有限自然数，N表示网络节点的个数。

x_i(t)＝(x_i1(t),x_i2(t),…,x_in(t))^T∈Rⁿ是网络1的第i个节点在时刻t的n维状态变量；y_i(t)＝(y_i1(t),y_i2(t),......,y_in(t))^T∈Rⁿ是网络2的第i个节点在时刻t的n维状态变量，n是有限自然数，n表示网络上节点的维数。

x_i(t-τ)∈Rⁿ为网络1第i个节点在时刻t落后τ时刻的n维状态变量，τ是网络1的信息传输到网络2时的时间延迟，用于刻画网络之间的空间距离和拥塞问题而造成的信息传输延迟。

f(x_i(t))为网络上节点的n维非线性函数，它满足利普希茨条件(z-v)^T(f(z)-f(v))≤(z-v)^TL(z-v)，其中z∈Rⁿ,v∈Rⁿ,L是正常数，Ax_i(t)+f(x_i(t))用来描述网络上节点行为的演化规律。

A∈R^n×n是常数矩阵，P∈R^n×n是内部耦合矩阵。

为外部耦合矩阵，g_ij＝1(i≠j)表示节点i与节点j之间有耦合作用，g_ij＝0(i≠j)表示节点i与节点j之间没有耦合作用，i＝1,2,...,N，外部耦合矩阵G是耗散矩阵，用来描述网络的拓扑结构信息。

u_i(x_i(t-τ),y_i(t),t)是控制器。

上述(1)式与(2)式取决于网络上节点的演化行为，(1)式与(2)式可以表示相互联系的信息网络、电路网络、交通网络、生物网络、社会网络等。

(2)噪声环境下构建控制器

1)确定网络2节点i上的控制器为：

u_i(x_i(t-τ),y_i(t),t)＝σ·(y_i(t)-x_i(t-τ))N(t),i＝1,2,…,N (3)

其中：N(t)为高斯白噪声，其统计特性为：N(t)的均值为0，N(t)N(t')的均值为δ(t-t')，其中δ为狄拉克函数，t'表示另一个时刻。

σ为噪声强度。

高斯白噪声N(t)是为了刻画真实网络系统所处的内部涨落和外部扰动的不确定性环境。

2)确定噪声强度σ为：

c₀为大于的有限正数，其中λ_m(B)是B的最大特征值，B＝(A+A^T)/2，A^T为A的转置，λ_m(H)是H的最大特征值，H＝(C+C^T)/2,C为G与P的克罗内克积。

控制器(3)式是一个基于白噪声增益的线性时滞反馈控制器，它使用了网络1的状态输出及状态反馈，同时刻画了噪声环境，也充分利用了自然界中不可避免的噪声。

(3)确定误差网络

由步骤(1)、步骤(2)确定误差网络为：

其中e_i(t)＝y_i(t)-x_i(t-τ)为网络1和网络2的第i个节点在时刻t的状态误差，I为N维的单位矩阵，B(t)为标准布朗运动，dB(t)＝N(t)dt。

在E(t)＝0时，网络1和网络2达到随机滞后同步，即网络2的状态输出y_i(t)与网络1的状态输出x_i(t-τ)达到一致，也就是在统计意义下成立y_i(t)＝x_i(t-τ)，这既考虑了网络所处的噪声环境，也考虑了网络节点之间在信息传输过程中的时间延迟，更符合实际。

在本发明的噪声环境下构建控制器步骤(2)中的确定噪声强度σ最佳为：

其中λ_m(B)是B的最大特征值，B＝(A+A^T)/2，A^T为A的转置，

λ_m(H)是H的最大特征值，H＝(C+C^T)/2,C为G与P的克罗内克积。

与现有技术相比，本发明提出的噪声环境下耦合网络之间随机滞后同步方法的有益效果是：

(1)本发明是针对含有信息传输延迟的耦合网络，提出在噪声环境下实现网络之间随机滞后同步的控制方法。该耦合网络能够描述两个相互联系的网络群体，例如信息网络、电路网络、交通网络、生物网络、社会网络等。所以，本发明的适用范围宽广。

(2)本发明通过设计基于白噪声反馈增益的线性时滞反馈控制器，实现了噪声环境下单向耦合网络之间的随机滞后同步。相对于复杂网络同步研究中较复杂、不易实现的控制方法，该控制方法实用、简便。

(3)本发明提出基于白噪声反馈增益的线性时滞反馈控制方法，相对于传统线性反馈控制方法中的常数反馈增益，充分利用了现实环境中不可避免的噪声，降低了网络运行能耗。

附图说明

图1为本发明实施例1的流程图。

图2为细胞神经网络混沌吸引子的三维相轨图。

图3为实施例1中时滞τ为1.0时不同噪声强度σ同步误差指标Δ(t)随时间t变化的演化曲线。

图4为实施例1中时滞τ为10.0时不同噪声强度σ同步误差指标Δ(t)随时间t变化的演化曲线。

图5为振子混沌吸引子的三维相轨图。

图6为实施例2中时滞τ为1.0时不同噪声强度σ同步误差指标Δ(t)随时间t变化的演化曲线。

图7为实施例2中时滞τ为10.0时不同噪声强度σ同步误差指标Δ(t)随时间t变化的演化曲线。

具体实施方式

现结合实例对本发明的技术方案进行进一步说明。

实施例1

以网络节点个数N为15、网络中节点维数n为3、网络中节点为细胞神经网络为例，噪声环境下耦合网络之间随机滞后同步的方法步骤如下:

(1)含有信息传输延迟的耦合网络为：

其中：t∈R⁺表示连续的时间变量，x_i(t)＝(x_i1(t),x_i2(t),x_i3(t))^T∈R³是网络1的第i个节点在时刻t的3维状态变量，y_i(t)＝(y_i1(t),y_i2(t),y_i3(t))^T∈R³是网络2第i个节点在时刻t的3维状态变量，x_i(t-τ)∈R³为网络1第i个节点在时刻t落后τ时刻的3维状态变量，τ是网络1的信息传输到网络2时的时间延迟，用于刻画网络之间的空间距离和拥塞问题而造成的信息传输延迟。

f(x_i(t))＝Tf₁(x_i(t))，f₁(x_i(t))＝(g(x_i1(t)),g(x_i2(t)),g(x_i3(t)))^T，g(s)＝(|s+1|-|s-1|)/2，f(x_i(t))为节点上3维的非线性函数，满足利普希茨条件，且L＝8.3391。

是常数矩阵，Ax_i(t)+f(x_i(t))用来刻画网络上节点细胞神经网络行为的演化规律。

内耦合矩阵外耦合矩阵为

外部耦合矩阵G是耗散矩阵，用来刻画网络的拓扑结构信息；

信息在网络之间进行传递时将造成时间上的延迟，形成传输或反应时滞。(1)式与(2)式为刻画含有信息传输延迟的耦合网络。

网络1和网络2的节点上的非线性函数和网络拓扑结构一样，简化了步骤，降低了成本。

在当前参数值下,网络1具有混沌行为。图2所示的为网络节点上细胞神经网络混沌吸引子的三维相轨图，这表明网络1对初始输入特别敏感，初始输入的微小变化，能够导致网络1的输出产生巨大的改变。

(2)噪声环境下构建控制器

构建控制器(3)式使网络2与具有混沌行为的网络1达到随机滞后同步。

1)确定网络2节点i上的控制器为：

u_i(t)＝σ·(y_i(t)-x_i(t-τ))N(t),i＝1,2,…,15 (3)

其中：N(t)为高斯白噪声，其统计特性为：N(t)的均值为0，N(t)N(t')的均值为δ(t-t')，其中δ为狄拉克函数，t'表示另一个时刻。

σ为噪声强度。

高斯白噪声N(t)是为了刻画真实网络系统所处的内部涨落和外部扰动的不确定性环境。

2)确定噪声强度σ为：

λ_m(B)是B的最大特征值，B＝(A+A^T)/2，A^T为A的转置，得λ_m(B)＝-1；

λ_m(H)是H的最大特征值，H＝(C+C^T)/2,C为G与P的克罗内克积，得λ_m(H)＝0.2052，

即噪声强度σ为：3.8844≤σ≤13.8844。

(3)确定误差网络

由步骤(1)、步骤(2)确定误差网络为

其中e_i(t)＝y_i(t)-x_i(t-τ)为网络1与网络2的第i个节点在时刻t的状态误差，I为15维的单位矩阵，B(t)为标准布朗运动，dB(t)＝N(t)dt。

在E(t)＝0时，网络1和网络2达到随机滞后同步，即调整噪声强度σ为3.8844≤σ≤13.8844时，网络1和网络2达到随机滞后同步，即网络2的状态输出y_i(t)与网络1的状态输出x_i(t-τ)达到一致，也就是在统计意义下成立y_i(t)＝x_i(t-τ)，这既考虑了网络所处的噪声环境，也考虑了网络节点之间在信息传输过程中的时间延迟，更符合实际。

下面给出计算机仿真的结果，为了定量地衡量网络1和2随机滞后同步的效果,引进如下的同步误差指标:

图3和图4给出了同步误差指标的随着时间变化的演化曲线。可以看出，采用本发明所设计的同步方法，网络1和网络2可以取得随机滞后同步。

不失一般性，产生区间[0,1]上的随机数作为网络的初始输入，取耦合时滞τ为1.0。对于不同噪声强度σ,图3详细给出了同步误差指标Δ(t)随着时间变化的演化曲线。从中可以得到，其一：对于很小的噪声强度σ为0.5,随着时间t的变化，Δ(t)的取值不为零,这意味着此时噪声强度太弱，以至于控制器(3)式不能有效地使得网络1和网络2取得随机滞后同步；其二:对于噪声强度σ为3.8844、5.0、13.8844,随着时间t的变化，Δ(t)的取值达到零，此时控制器(3)式可以使得网络1和网络2取得随机滞后同步。

当改变对网络的初始输入、取耦合时滞τ为10.0时，对于不同的噪声强度σ为0.5、3.8844、5.0、13.8844时，同步误差指标Δ(t)的演化曲线如图4所示。由图4可见，Δ(t)随着时间的演化曲线类似于τ为1.0的情形，即当噪声强度σ为0.5,由于噪声强度太弱，随着时间t的变化，Δ(t)的取值不为零,此时控制器(3)式不能使得网络1和网络2取得随机滞后同步；而当噪声强度σ为3.8844、5.0、13.8844时，同步误差指标Δ(t)的取值能够达到零，此时控制器使得网络1和网络2取得随机滞后同步。

图3和图4说明了当噪声强度为3.8844≤σ≤13.8844时，控制器(3)式能够使得含有信息传输延迟的网络1和网络2取得随机滞后同步，并且该同步技术方案不依赖于耦合时滞的选取。

重新产生区间[0,1]上的随机数作为网络的初始输入，网络1的混沌特性使得其状态输出x_i(t-τ)具有巨大改变，但是本发明设计的控制器(3)式仍然可以使得网络1和网络2取得随机滞后同步，即y_i(t)＝x_i(t-τ)，从而也实现了网络2对混沌信号x_i(t-τ)的追踪。

实施2

以网络节点个数N为15、网络中节点维数n为3、网络中节点为振子为例，噪声环境下耦合网络之间随机滞后同步的方法步骤如下:

(1)含有信息传输延迟的耦合网络为：

其中：t∈R⁺表示连续的时间变量，x_i(t)＝(x_i1(t),x_i2(t),x_i3(t))^T∈R³是网络1的第i个节点在时刻t的3维状态变量，y_i(t)＝(y_i1(t),y_i2(t),y_i3(t))^T∈R³是网络2第i个节点在时刻t的3维状态变量，x_i(t-τ)∈R³为网络1第i个节点在时刻t落后τ时刻的3维状态变量，τ是网络1的信息传输到网络2时的时间延迟，用于刻画网络之间的空间距离和拥塞问题而造成的信息传输延迟。

f(x_i(t))为节点上3维的非线性函数，满足利普希茨条件，且L＝0.4822。是常数矩阵，Ax_i(t)+f(x_i(t))用来刻画网络上节点振子行为的演化规律。内耦合矩阵外耦合矩阵为

外部耦合矩阵G是耗散矩阵，用来刻画网络的拓扑结构信息；

信息在网络之间进行传递时将造成时间上的延迟，形成传输或反应时滞。(1)式与(2)式为刻画含有信息传输延迟的耦合网络。

网络1和网络2的节点上的非线性函数和网络拓扑结构一样，简化了步骤，降低了成本。

在当前参数值下,网络1具有混沌行为。图5所示的为网络节点上振子混沌吸引子的三维相轨图，这表明网络1对初始输入特别敏感，初始输入的微小变化，能够导致网络1的输出产生巨大的改变。

(2)噪声环境下构建控制器

构建控制器(3)式使网络2与具有混沌行为的网络1达到随机滞后同步。

1)确定网络2节点i上的控制器为：

u_i(t)＝σ·(y_i(t)-x_i(t-τ))N(t),i＝1,2,…,15 (3)

其中：N(t)为高斯白噪声，其统计特性为：N(t)的均值为0，N(t)N(t')的均值为δ(t-t')，其中δ为狄拉克函数，t'表示另一个时刻。

σ为噪声强度。

高斯白噪声N(t)是为了刻画真实网络系统所处的内部涨落和外部扰动的不确定性环境。

2)确定噪声强度σ为:

λ_m(B)是B的最大特征值，B＝(A+A^T)/2，A^T为A的转置，得λ_m(B)＝0.0111；

λ_m(H)是H的最大特征值，H＝(C+C^T)/2,C为G与P的克罗内克积，得λ_m(H)＝0.2194，

即噪声强度σ为：1.1939≤σ≤11.1939。

(3)确定误差网络

由步骤(1)、步骤(2)确定误差网络模型为

其中e_i(t)＝y_i(t)-x_i(t-τ)为驱动网络模型(1)和响应网络模型(2)的第i个节点之间的状态误差，I为15维的单位矩阵，B(t)为标准布朗运动，dB(t)＝N(t)dt。

在E(t)＝0时，网络1和网络2达到随机滞后同步，即调整噪声强度σ为1.1939≤σ≤11.1939时，网络1和网络2达到随机滞后同步，即网络2的状态输出y_i(t)与网络1的状态输出x_i(t-τ)达到一致，也就是在统计意义下成立y_i(t)＝x_i(t-τ)，这既考虑了网络所处的噪声环境，也考虑了网络节点之间在信息传输过程中的时间延迟，更符合实际。

下面给出计算机仿真的结果，为了定量地衡量网络1和2随机滞后同步的效果,引进如下的同步误差指标:

图6和图7给出了同步误差指标的随着时间变化的演化曲线，可以看出，采用本发明所设计的同步方法，网络1和网络2可以取得随机滞后同步。

不失一般性，产生区间[0,1]上的随机数作为网络的初始输入，取耦合时滞τ为1.0。对于不同噪声强度σ,图5详细给出了同步误差指标Δ(t)随着时间变化的演化曲线。从中可以得到，其一：对于很小的噪声强度σ为0.3,随着时间t的变化，Δ(t)的取值不为零,这意味着此时噪声强度太弱，以至于控制器(3)式不能有效地使得网络1和网络2取得随机滞后同步；其二:对于噪声强度σ为1.1939、5.0、11.1939,随着时间t的变化，Δ(t)的取值达到零，此时控制器(3)式可以使得网络1和网络2取得随机滞后同步。

当改变对网络的初始输入、取耦合时滞τ为10.0时，对于不同的噪声强度σ为0.3、1.1939、5.0、11.1939时，同步误差指标Δ(t)的演化曲线如图4所示。由图4可见，Δ(t)随着时间的演化曲线类似于τ为1.0的情形，即当噪声强度σ为0.3,由于噪声强度太弱，随着时间t的变化，Δ(t)的取值不为零,此时控制器(3)式不能使得网络1和网络2取得随机滞后同步；而当噪声强度σ为1.1939、5.0、11.1939时，同步误差指标Δ(t)的取值能够达到零，此时控制器使得网络1和网络2取得随机滞后同步。

图6和图7说明了当噪声强度为1.1939≤σ≤11.1939时，控制器(3)式能够使得含有信息传输延迟的网络1和网络2取得随机滞后同步，并且该同步技术方案不依赖于耦合时滞的选取。

重新产生区间[0,1]上的随机数作为网络的初始输入，网络1的混沌特性使得其状态输出x_i(t-τ)具有巨大改变，但是本发明设计的控制器(3)式仍然可以使得网络1和网络2取得随机滞后同步，即y_i(t)＝x_i(t-τ)，从而也实现了网络2对混沌信号x_i(t-τ)的追踪。

以上实施例中仅仅给出了n为3、N为15、节点上分别为细胞神经网络和振子的具体技术方案，n、N也可在任意有限的自然数范围内选取，节点上满足利普希茨条件的函数，所设计的噪声环境下耦合网络之间随机滞后同步的方法，均在本发明的保护范围内。

Claims (2)

1.一种噪声环境下耦合网络之间随机滞后同步的方法，其特征在于由以下步骤实现：

(1)含有信息传输延迟的耦合网络为：

${\mathrm{dx}}_i\left(t\right)=\left({\mathrm{Ax}}_i\right(t)+f(x_i\left(t\right))+\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}{g}_{ij}{\mathrm{Px}}_j(t\left)\right)dt,i=1,2,...,N,---\left(1\right)$

${\mathrm{dy}}_i\left(t\right)=\left({\mathrm{Ay}}_i\right(t)+f(y_i\left(t\right))+\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{g}_{ij}{\mathrm{Py}}_j(t)+u_i(x_i\left(t-\mathrm{\τ}\right),y_i\left(t\right),t\left)\right)dt,i=1,2,...,N,---\left(2\right)$

其中：t∈R⁺表示连续的时间变量，N是有限自然数，N表示网络节点的个数；

x_i(t)＝(x_i1(t),x_i2(t),…,x_in(t))^T∈Rⁿ是网络1的第i个节点在时刻t的n维状态变量；y_i(t)＝(y_i1(t),y_i2(t),......,y_in(t))^T∈Rⁿ是网络2的第i个节点在时刻t的n维状态变量，n是有限自然数，n表示网络上节点的维数；

x_i(t-τ)∈Rⁿ为网络1第i个节点在时刻t落后τ时刻的n维状态变量，τ为网络1与网络2进行信息传输时的时间延迟；

f(x_i(t))为耦合网络上节点的n维非线性函数，它满足利普希茨条件(z-v)^T(f(z)-f(v))≤(z-v)^TL(z-v)，其中z∈Rⁿ,v∈Rⁿ,L是正常数；

A∈R^n×n是常数矩阵，P∈R^n×n是内部耦合矩阵；

为外部耦合矩阵，g_ij＝1(i≠j)表示节点i与节点j之间有耦合作用，g_ij＝0(i≠j)表示节点i与节点j之间没有耦合作用，u_i(x_i(t-τ),y_i(t),t)是控制器；

(2)噪声环境下构建控制器

1)确定网络2节点i上的控制器为：

u_i(x_i(t-τ),y_i(t),t)＝σ·(y_i(t)-x_i(t-τ))N(t),i＝1,2,…,N(3)

其中：N(t)为高斯白噪声，其统计特性为：N(t)的均值为0，N(t)N(t')的均值为δ(t-t')，其中δ为狄拉克函数，t'表示另一个时刻；

σ为噪声强度；

2)确定噪声强度σ为：

c₀为大于的有限正数，其中λ_m(B)是B的最大特征值，B＝(A+A^T)/2，A^T为A的转置，λ_m(H)是H的最大特征值，H＝(C+C^T)/2,C为G与P的克罗内克积；

(3)确定误差网络

由步骤(1)、步骤(2)确定误差网络为

$dE\left(t\right)=(I\⊗AE(t)+F(x_{\mathrm{\τ}},y)+G\⊗PE(t\left)\right)dt+\mathrm{\σ}E\left(t\right)dB\left(t\right)---\left(4\right)$

其中e_i(t)＝y_i(t)-x_i(t-τ)为网络1和网络2的第i个节点在时刻t的状态误差，I为N维的单位矩阵，B(t)为标准布朗运动，dB(t)＝N(t)dt；

在E(t)＝0时，网络1和网络2达到随机滞后同步。

2.根据权利要求1所述的噪声环境下耦合网络之间随机滞后同步的方法，其特征在于所述的噪声环境下构建控制器步骤(2)中的确定噪声强度σ步骤2)为：

$\sqrt{2\left({\mathrm{\λ}}_m\right(B)+{\mathrm{\λ}}_m(H)+L)}\≤\mathrm{\σ}\≤\sqrt{2\left({\mathrm{\λ}}_m\right(B)+{\mathrm{\λ}}_m(H)+L)}+10.0,$

其中λ_m(B)是B的最大特征值，B＝(A+A^T)/2，A^T为A的转置，

λ_m(H)是H的最大特征值，H＝(C+C^T)/2,C为G与P的克罗内克积。