CN103218661A - 一种基于神经元复杂混沌网络模型及其耦合同步方法 - Google Patents

Abstract

本发明给出了一个简易的神经元模型，分析两个神经元及三个神经元的混沌动力学模型并给出了多个神经元的形成的关联复杂网络。在此基础上，对这个模型的链式、环形及最近邻耦合网络的耦合同步方法，分别实现了其耦合同步。对生物神经元之间的作用研究有一定的价值。

Description

一种基于神经元复杂混沌网络模型及其耦合同步方法

技术领域

本发明涉及神经元复杂混沌网络模型及其耦合同步，属于生物工程及非线性控制领域。

背景技术

当今，神经元耦合系统是一个新兴的非线性动力学研究领域，耦合振荡及同步是非线性动力学的一个基本现象。它发生在许多物理、通信、生态和神经系统中并且在振荡的集体行为扮演重要的角色。特别是近年来，耦合神经元系统的同步问题是研究脑信息处理的关键，在国外Bazhenovt等研究了链式抑制性化学突触耦合混沌行为；国内石霞等研究了具有环式结构的电耦合同步模式；王青云等研究了对称结构的耦合神经元网络同步的充分条件；杜艳海等研究了N个最近邻耦合网络耦合的FitzHugh-Nagumo的同步振荡等，而关于本发明中的简易神经元在三种不同耦合网络下同步的差别却鲜有报道。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种基于神经元复杂混沌网络模型及其耦合同步方法。为了解决上述技术问题，本发明给出了一个简易的神经元模型，分析两个神经元及三个神经元的混沌动力学模型并给出了多个神经元的形成的关联复杂网络。在此基础上，对这个模型的模型的链式，环形及最近邻耦合网络的耦合同步方法，分别实现了其耦合同步。

所述三个神经元混沌动力学方程为：

$\stackrel{\·}{x}=-x+f_1$

$\stackrel{\·}{y}=-y+f_2---\left(1\right)$

$\stackrel{\·}{z}=-z+f_3$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1={1.68u}_1+{3.81u}_2-{2.23u}_3\\ f_2={-5.4u}_1+{1.8u}_2-{4.4u}_3\\ f_3={-4.38u}_1-2.2u_2+{\mathrm{au}}_3\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，

$u_1=\left\{\begin{array}{cc}-1& x\&le;-1\\ x& -1<x\&le;1\\ 1& x\&GreaterEqual;1\end{array}\right.,$ $u_2=\left\{\begin{array}{cc}-1& y\&le;-1\\ y& -1<y\&le;1\\ 1& y\&GreaterEqual;1\end{array}\right.,$ $u_3=\left\{\begin{array}{cc}-1& z\&le;-1\\ z& -1<z\&le;1\\ 1& z\&GreaterEqual;1\end{array}\right.---\left(3\right)$

多个神经元混沌动力学方程为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=-x+f_1+C\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_{\mathrm{ij}}(x_j-x_i)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{y}=-y+f_2---\left(4\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{z}=-z+f_3$

其中f，u同(2)，(3)式，i＝1，2，…，N，C为耦合强度，如果第i个神经元耦合到第j上，那么a_ij＝a_ji＝1，否则a_ij＝a_ji＝0，而且a_ii＝0。

关于神经元耦合矩阵的最大非零特征值越小，耦合神经元系统达到完全同步时所需耦合强度就越小。本发明从三类不同规则链式、环式和最近邻耦合网络与NW小世界神经元复杂网络的完全同步，给出具有不同连接形式的神经元网络同步能力差别。

本发明的效果及作用

(1)本发明实现了提供一种基于神经元复杂混沌网络模型及其耦合同步方法，其中参数，[x(t)，y(t)，z(t)]^T∈R³为状态变量。

(2)采用本发明的神经元模型及同步方法，有助于了解神经元活动及同步的规律。

附图说明

为了使本发明的内容更容易被清楚的理解，下面根据的具体实施例并结合附图，对本发明作进一步详细的说明，其中

图1为混沌系统(1)三维相图(z，x，y)。

图2为复杂网络形式(a)链式；(b)环形；(c)最近邻耦合网络。

图3为三种复杂网络下所表现出的不同耦合同步误差响应。

具体实施方式

所述三个神经元混沌动力学方程为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=-x+f_1$

$\stackrel{\&CenterDot;}{y}=-y+f_2---\left(1\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{z}=-z+f_3$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1={1.68u}_1+{3.81u}_2-{2.23u}_3\\ f_2={-5.4u}_1+{1.8u}_2-{4.4u}_3\\ f_3={-4.38u}_1-2.2u_2+{\mathrm{au}}_3\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，

$u_1=\left\{\begin{array}{cc}-1& x\&le;-1\\ x& -1<x\&le;1\\ 1& x\&GreaterEqual;1\end{array}\right.,$ $u_2=\left\{\begin{array}{cc}-1& y\&le;-1\\ y& -1<y\&le;1\\ 1& y\&GreaterEqual;1\end{array}\right.,$ $u_3=\left\{\begin{array}{cc}-1& z\&le;-1\\ z& -1<z\&le;1\\ 1& z\&GreaterEqual;1\end{array}\right.---\left(3\right)$

其三维相图如图1所示。

多个神经元混沌动力学方程为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=-x+f_1+C\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_{\mathrm{ij}}(x_j-x_i)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{y}=-y+f_2---\left(4\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{z}=-z+f_3$

其中f，u同(2)，(3)式，i＝1，2，…，N，C为耦合强度，如果第i个神经元耦合到第j上，那么a_ij＝a_ji＝1，否则a_ij＝a_ji＝0，而且a_ii＝0。

关于神经元耦合矩阵的最大非零特征值越小，耦合神经元系统达到完全同步时所需耦合强度就越小。本发明从三类不同规则链式、环式和最近邻耦合网络与NW小世界神经元复杂网络的完全同步，给出具有不同连接形式的神经元网络同步能力差别。考虑三类规则连接的N耦合神经元同步稳定性，此三种方式分别为链式、环式和最近邻耦合网络连接，具体形式如图2(a)、(b)、(c)所示

假设链式连接耦合矩阵A_chain为

其特征值为

$\mathrm{\&lambda;}\left(N\right)=-4{\sin }^2\frac{\mathrm{k\&pi;}}{2N},(k=\mathrm{0,1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,N-1)---\left(6\right)$

环式连接的耦合矩阵为

其特征值为

$\mathrm{\&lambda;}\left(N\right)=-4{\sin }^2\frac{\mathrm{k\&pi;}}{N},(k=\mathrm{0,1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,N-1)---\left(8\right)$

最近邻耦合网络连接耦合矩阵为

其非零特征值为

λ(N)＝-N    (10)

为了便于分析，引入同步误差如下：

e_i＝X_i+1-X₁，i＝1，2，3    (11)

其中e_i＝(e_i1，e_i2，e_i3)＝(x_i+1-x₁，y_i+1-y₁，z_i+1-z₁)，对于链式、环式和最近邻耦合网络耦合的连接形式，其同步误差e_i分别满足下面的微分方程：

(1)、链式复杂网络

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=(\mathrm{DF}\left(x_1\right)-3G)e_1+{\mathrm{Ge}}_2,$

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2=(\mathrm{DF}\left(x_1\right)-2G)e_2+{\mathrm{Ge}}_3---\left(12\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_3=(\mathrm{DF}\left(x_1\right)-G)e_3-{\mathrm{Ge}}_1+{\mathrm{Ge}}_2$

(2)、环形复杂网络

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=(\mathrm{DF}\left(x_1\right)-3G)e_1+{\mathrm{Ge}}_2-{\mathrm{Ge}}_3,$

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2=(\mathrm{DF}\left(x_1\right)-2G)e_2---\left(13\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_3=(\mathrm{DF}\left(x_1\right)-G)e_3-{\mathrm{Ge}}_1+{\mathrm{Ge}}_2$

(3)、最近邻耦合复杂网络

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_1=(\mathrm{DF}\left(x_1\right)-4G)e_1,$

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_2=(\mathrm{DF}\left(x_1\right)-4G)e_2---\left(14\right)$

${\stackrel{\&CenterDot;}{e}}_3=(\mathrm{DF}\left(x_1\right)-4G)e_3$

上式中DF(x₁)是向量场F在同步流形x₁的JACOBI矩阵，其中，

$G=\left[\begin{array}{ccc}C& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]---\left(15\right)$

引入膜电位差的平均值如下：

||e||＝1/3(|e₁₁|+|e₂₁|+|e₃₁|)    (16)

在一定的耦合强度下，随着时间的增加||e||的极大值趋于零，那么耦合神经元达到了完全同步。以三个耦合神经元为例进行说明链式、环形和最近邻耦合网络三种情况的耦合同步误差分别如图3所示。

从图3可以看出，如果神经元的耦合数N≥3，那么

可以得到对于N≥3，当神经元达到完全同步时，在这三种规则的耦合神经元网络中，最近邻耦合网络连接的神经元需要的耦合强度最弱，而链式的连接需要的耦合强度最强。

本发明所提出一种基于神经元复杂混沌网络模型及其耦合同步方法，考虑到神经元细胞的不同耦合结构，所得的结果将有助于了解神经元活动及同步的规律。

上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定，对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。

Claims (4)

1.基于神经元复杂混沌网络模型及其耦合同步方法，其特征包括：在分析神经元结构的基础上，本发明给出了一个简易的神经元模型，分析两个神经元及三个神经元的混沌动力学模型并给出了多个神经元的形成的关联复杂网络。在此基础上，对这个模型的链式、环形及最近邻耦合网络的耦合同步方法，分别实现了其耦合同步，有助于了解神经元结构的规律。

2.根据权利要求1所述的神经元复杂混沌网络模型及其耦合同步方法，其特征在于，三个神经元混沌动力学方程为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=-x+f_1$

$\stackrel{\&CenterDot;}{y}=-y+f_2---\left(1\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{z}=-z+f_3$

其中

$\left\{\begin{array}{c}{f}_1={1.68u}_1+{3.81u}_2-{2.23u}_3\\ f_2={-5.4u}_1+{1.8u}_2-{4.4u}_3\\ f_3={-4.38u}_1-2.2u_2+{\mathrm{au}}_3\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中，

$u_1=\left\{\begin{array}{cc}-1& x\&le;-1\\ x& -1<x\&le;1\\ 1& x\&GreaterEqual;1\end{array}\right.,$ $u_2=\left\{\begin{array}{cc}-1& y\&le;-1\\ y& -1<y\&le;1\\ 1& y\&GreaterEqual;1\end{array}\right.,$ $u_3=\left\{\begin{array}{cc}-1& z\&le;-1\\ z& -1<z\&le;1\\ 1& z\&GreaterEqual;1\end{array}\right.---\left(3\right)$

利用上述可以得到其混沌吸引子。

3.根据权利要求1所述的神经元复杂混沌网络模型及其耦合同步方法，其特征在于，多个神经元混沌动力学方程为：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=-x+f_1+C\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_{\mathrm{ij}}(x_j-x_i)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{y}=-y+f_2---\left(4\right)$

$\stackrel{\&CenterDot;}{z}=-z+f_3$

其中f，u同(2)，(3)式，i＝1，2，…，N，C为耦合强度，如果第i个神经元耦合到第j上，那么a_ij＝a_ji＝1，否则a_ij＝a_ji＝0，而且a_ii＝0。

4.根据权利要求1所述的神经元复杂混沌网络模型及其耦合同步方法，其特征在于：由于耦合矩阵A的所有非零特征值是严格负的，如果耦合矩阵A的最大非零特征值越小，耦合神经元系统达到完全同步时所需耦合强度就越小。本发明从三类不同规则链式、环式和最近邻耦合网络与NW小世界神经元复杂网络的完全同步，给出具有不同连接形式的神经元网络同步能力差别。

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