CN105095154A - 分析超高速飞行目标电磁散射的高阶体面积分方程方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种分析超高速飞行目标电磁散射的高阶体面积分方程方法。针对包裹在超高速飞行目标周围等离子体的非均匀特性，采用体面积分方程方法分析其电磁散射特性。对目标进行高阶曲单元离散，即对超高速飞行目标本体进行曲三角形剖分，非均匀等离子体采用曲四面体进行剖分，并分别在曲三角形和四面体内构造基于拉格朗日插值多项式的高阶基函数，将高斯点作为拉格朗日插值点，保证了电流表示形式具有高阶精度。高阶基函数的使用使得本发明方法相对于传统的基于低阶基函数的方法，消耗更低的计算内存和更少的计算时间。

Description

分析超高速飞行目标电磁散射的高阶体面积分方程方法

技术领域

本发明属于目标电磁散射特性的分析技术，特别是一种应用于超高速飞行目标的电磁散射分析方法。

背景技术

超高速飞行目标由于具有很快的飞行速度(3马赫以上)以及较高的飞行高度(20Km以上)，其飞行时与空气摩擦会产生几千摄氏度的气动热，使其周围空气电离而呈离子状态存在。当电离度达到一定程度时，电离气体具有等离子体性质。此时在飞行目标表面附近的包覆流场通常被称为等离子体包覆流场、再入等离子体或等离子体壳套，此时相当于飞行目标被等离子体所覆盖(常雨.超声速/高超声速等离子体流场数值模拟及其电磁特性研究,国防科技大学博士论文，2009)。

由于空气被电离形成的等离子体相对介电常数的不均匀性，导致使用数值方法分析飞行目标的电磁散射问题具有一定的困难。通过研究发现，位于飞行器顶端部分的等离子体壳套具有较大的等效相对介电常数，而离子体壳套其它部分介质介电常数接近空气。针对这种金属等离子体混合结构，金属部分通常被作为理想导电体(PEC)来处理,并且容易被面积分方程方法(SIE)来分析求解，其中RWG基函数(RaoM,WiltonDandGlissonA.Electromagneticscatteringbysurfacesofarbitraryshape.IEEETransactiononAntennasandPropagation,1982,30(3):409–418.)由于其灵活性通常被被用来作为展开未知电流的基函数。介质部分，通常使用体积分方程方法进行分析，SWG基函数(SchaubertD,WiltonDandGlissonA.Atetrahedralmodelingmethodforelectromagneticscatteringbyarbitrarilyshapedinhomogeneousdielectricbodies.IEEETransactiononAntennasandPropagation,1984,32(1):77–85.)作为体电流的展开形式。

但是，体面积分方程方法由于需要对散射体进行体剖分，一旦采用基于RWG和SWG基函数表示未知电流，会造成未知量大，在实际计算中需求的计算资源多。

发明内容

本发明的目的在于提供一种超高速飞行目标的电磁散射分析方法，从而实现快速得到超高速飞行目标的电磁散射特性参数。

实现本发明目的技术方案为：

第一步，建立高速飞行目标及等离子壳套模型，主要是等离子壳套的电磁参数模型的确定，其与高速飞行目标的飞行环境有关，如飞行高度、飞行速度以及飞行目标周围大气压强及温度等。

第二步，建立体面积分方程。根据混合结构的散射特性，目标上的总场等于入射场与所有的散射场之和，入射电场为已知激励，均匀平面波通常被用来作为入射电场。

第三步，对于高速飞行目标金属部分采用二阶曲三角形剖分，对于等离子壳套部分采用二阶曲四面体剖分，分别在曲三角形和曲四面体中构造基于拉格朗日插值的高阶矢量基函数。

第四步，点测试形成待求解的矩阵方程，由于未知电流分为金属面电流和介质体电流，需要对分块矩阵分别进行填充。

第五步，矩阵方程求解以及电磁散射参数的计算。

本发明与现有技术相比，其具有显著优点：1.建模精确。由于对超高速飞行目标采用了曲单元建模，更容易逼近物体的真实形状。2.未知量少，所需内存小。由于在曲单元内定义了基于插值的高阶基函数，相对于低阶的基函数，所需要的未知量更少，在求解矩阵方程的过程中，所需的内存也更少。3.矩阵方程填充快。由于采用了点测试技术，矩阵填充过程中，仅需计算一重积分，矩阵方程形成过程更快。

附图说明

图1是曲三角形单元映射到局部空间(u,v)示意图。

图2是曲四面体单元映射到局部空间(u,v,w)示意图。

图3是钝锥电磁参数及几何信息模型。

图4是双站雷达散射截面示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细描述。

第一步，建立超高速飞行目标及等离子壳套模型，主要是等离子壳套的电磁参数模型的确定，其与超高速飞行目标的飞行环境有关，如飞行高度、飞行速度以及飞行目标周围大气压强及温度等。由飞行目标的飞行高度、攻角和飞行马赫数参数，对目标模型进行气动模拟计算，得到目标的电子数密度，温度，压强信息数据，由此得到等离子体特征频率以及碰撞频率，再由以下公式得到等离子壳套的等效相对介电常数，

${\mathrm{\ϵ}}_r=1-\frac{{{\mathrm{\ω}}^2}_{\mathrm{pe}}}{{\mathrm{\ω}}^2+v^2}-j\frac{v}{\mathrm{\ω}}\frac{{{\mathrm{\ω}}^2}_{\mathrm{pe}}}{{\mathrm{\ω}}^2+v^2}---\left(1\right)$

其中,ω_pe为等离子体特征频率，ω为电磁波频率，v为等离子体碰撞频率。

第二步，建立体面积分方程。

根据电磁散射的基本理论，目标上的总电场等于入射场与散射场之和，入射电场为已知激励，均匀平面波通常被用来作为入射电场，可以得到体面电场积分方程

$E^i\left(r\right)=\frac{J_V\left(r\right)}{\mathrm{j\ω}{\mathrm{\ϵ}}_0({\mathrm{\ϵ}}_r-1)}+\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{V}{\∫}{J}_V\left(r^{\text{'}}\right)\·\stackrel{\‾}{G}(r,r^{\text{'}}){\mathrm{dV}}^{\text{'}}+\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{S}{\∫}{J}_S\left(r^{\text{'}}\right)\·\stackrel{\‾}{G}(r,r^{\text{'}}){\mathrm{dS}}^{\text{'}}---\left(2\right)$

$E^i\left(r\right){|}_{\tan }={[\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{V}{\∫}{J}_V\left(r^{\text{'}}\right)\·\stackrel{\‾}{G}(r,r^{\text{'}}){\mathrm{dV}}^{\text{'}}+\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{S}{\∫}{J}_S\left(r^{\text{'}}\right)\·\stackrel{\‾}{G}(r,r^{\text{'}}){\mathrm{dS}}^{\text{'}}]}_{\tan }---\left(3\right)$

其中，J_V(J_S)是待求的体(面)电流密度，E^inc是已知的入射电场。积分内核是三维自由空间并矢格林函数，表示形式如下，

$\stackrel{\‾}{G}(r,r^{\text{'}})=(\stackrel{\‾}{I}+\frac{1}{{k_0}^2}\▿\▿)G(r,r^{\text{'}})---\left(4\right)$

(4)式中的G(r,r′)＝e^-jkR/(4πR)是自由空间三维标量格林函数,k是自由空间的波数。R＝|r-r′|是观察点r和源点r′之间的距离,是单位并矢。

第三步，对于高速飞行目标金属部分采用二阶曲三角形剖分，对于等离子壳套部分采用曲四面体剖分，分别在曲三角形和曲四面体中构造高阶矢量基函数。

曲面建模具有较高的建模精度，本发明中采用六点的二阶曲三角形和十点的二阶曲四面体单元进行建模。

当金属面被曲三角形离散后，面电流可以表示如下，

$J_S\left(r\right)=\underset{p=1}{\overset{P}{\mathrm{\Σ}}}{J}_P\left(r\right)---\left(5\right)$

其中，J_P(r)表示第p个单元的电流分布，上标P表示总单元数。

每个曲面单元上电流可以用插值点r_i处的电流密度J_P(r_i)的插值来表示，

$J_P\left(r\right)=\underset{i=1}{\overset{I_p}{\mathrm{\Σ}}}{L}_{(i,p)}\left(r\right)J_P\left(r_i\right)---\left(6\right)$

其中i为第p个单元插值点的个数,L_(i,p)(r)为高阶插值基函数，r_i表示第p个单元上第i个插值点的位置。

曲三角形单元可以很好的模拟散射体的形状，但是不容易在曲三角形内直接进行数值积分，所以需要将r空间内的曲三角形单元映射到一个局部空间(u,v)中，如图1所示。

在参数坐标系(u,v)下，定义n次多项式空间：

$P_n^2=\mathrm{span}\{u^i,v^j;i,j\≥0;i+j\≤n\}---\left(7\right)$

此多项式空间的维数为：

$\dim P_n^2=C_{n+2}^2=\frac{(n+2)(n+1)}{2}---\left(8\right)$

对于 $n=1,\dim P_n^2=3,$ 有 $P_n^2=\mathrm{span}\{1,u,v\},$ 选择3点高斯积分点。对于 $n=2,\dim P_n^2=6,$ 有 $P_n^2=\mathrm{span}\{1,u,v,u^2.\mathrm{uv},v^2\},$ 选择6点高斯积分点。一旦n次多项式选定，插值多项式L_i(u,v)就可通过以下的矩阵方程求得：

其中，(u_i,v_i)是插值点,m是每个曲三角形内所有插值点的个数。

当等离子壳套被曲四面体单元离散后，介质体电流电流可以表示如下，

$J\left(r\right)=\underset{e=1}{\overset{E}{\mathrm{\Σ}}}{J}_e\left(r\right)---\left(10\right)$

其中，J_e(r)代表第e个单元内的电流，E是总的四面体单元数目，那么四面体内的电流可以用拉格朗日插值算子表示如下，

$J_e\left(r\right)=\underset{i=1}{\overset{I_e}{\mathrm{\Σ}}}{L}_{(i,e)}g{J}_e\left(r_i\right)---\left(11\right)$

r_i是插值点,I_e是第e个单元上的插值点数目,L_(i,e)是插值算子。

曲四面体单元可以很好的模拟散射体的形状，但是不容易在曲四面体内直接进行数值积分，所以需要将r空间内的曲四面体单元映射到一个局部空间(u,v,w)中，如图2所示。

在(u,v,w)空间中，n阶多项式可以表示成如下的形式，

$P_n^3=\mathrm{span}\{u^i,v^i,w^{k,};i,\mathrm{jk}\≥0;i+j+k\≤n\}---\left(12\right)$

空间的维数由下式决定，

$\dim P_n^3=C_{n+3}^3=\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6}---\left(13\right)$

当n＝0时,这种基函数就是经典的脉冲基函数；当n＝1时,多项式的形式为： $P_n^3=\mathrm{span}\{1,u,v,w\}.$ 当n＝2时, $\dim P_n^3=10,$ 由于没有十点的高斯积分与之对应,所以本发明中采用了十一项多项式表示二维空间，多项式的形式为{1,u,v,w,u²,uv,uw,v²,vw,w²,uvw}.当n＝3时,同n＝2具有类似的情况，没有二十点的高斯积分与之对应，所以本发明中采用了二十四项多项式表示三维空间，多项式的形式为

{1,u,v,w,u²,uv,uw,v²,vw,w²,u³,v³,w³,u²v,u²w,uv²,uw²,v²w,vw²,uvw,u⁴,v⁴,w⁴,uv²w}(14)

当多项式和四面体内插值点被确定后,L_i(u,v,w)可以求解下面矩阵求得，

$\left[\begin{array}{cccc}{P}_1(u_1,v_1,w_1)& P_1(u_2,v_2,w_2)& L& P_1(u_m,v_m,w_m)\\ P_2(u_1,v_1,w_1)& P_2(u_2,v_2,w_2)& L& P_2(u_m,v_m,w_m)\\ M& M& O& M\\ P_m(u_1,v_1,w_1)& P_m(u_2,v_2,w_2)& L& P_m(u_m,v_m,w_m)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{L}_1(u,v,w)\\ L_2(u,v,w)\\ M\\ L_m(u,v,w)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{P}_1(u,v,w)\\ P_2(u,v,w)\\ M\\ P_m(u,v,w)\end{array}\right]---\left(13\right)$

其中，(u_i,v_i,w_i)是插值点,m是每个曲四面体内所有插值点的个数。

第四步，点测试形成待求解的矩阵方程。

将电流展开形式带入方程(2)和(3)，并且运用点测试，可以得到矩阵方程，

$\underset{e=1}{\overset{E}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}\left[\begin{array}{ccccc}{A}_{\mathrm{uu}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{uv}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{uw}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{uu}}^{\mathrm{DM}}& A_{\mathrm{uv}}^{\mathrm{DM}}\\ A_{\mathrm{vu}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{vv}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{vw}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{vu}}^{\mathrm{DM}}& A_{\mathrm{vv}}^{\mathrm{DM}}\\ A_{\mathrm{wu}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{wv}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{ww}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{wu}}^{\mathrm{DM}}& A_{\mathrm{wv}}^{\mathrm{DM}}\\ A_{\mathrm{uu}}^{\mathrm{DM}}& A_{\mathrm{uv}}^{\mathrm{MD}}& A_{\mathrm{uw}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{uu}}^{\mathrm{MM}}& A_{\mathrm{uv}}^{\mathrm{MM}}\\ A_{\mathrm{vu}}^{\mathrm{MD}}& A_{\mathrm{vv}}^{\mathrm{MD}}& A_{\mathrm{vw}}^{\mathrm{MD}}& A_{\mathrm{vu}}^{\mathrm{MM}}& A_{\mathrm{vv}}^{\mathrm{MM}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{J}_{V(i,e)}^u\\ J_{V(i,e)}^v\\ J_{V(i,e)}^w\\ J_{S(i,e)}^u\\ J_{S(i,e)}^v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{U}_V^u\\ U_V^v\\ U_V^w\\ U_V^w\\ U_S^u\end{array}\right]---\left(16\right)$

其中，

$A_{\mathrm{\α\β}}^{\mathrm{DD}}=A_{\mathrm{\α\β}}^{\mathrm{MD}}=\frac{1}{\mathrm{j\ω}{\mathrm{\ϵ}}_0({\mathrm{\ϵ}}_r-1)}{\mathrm{\α}}_{(j,f)}{\mathrm{\βL}}_{(i,e)}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ij}}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ef}}\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{\mathrm{\Δe}}{\∫}{\mathrm{\α}}_{(i,f)}\stackrel{\‾}{G}(r_{(j,f)},r^{\text{'}}){\mathrm{\βL}}_{(i,e)}{\mathrm{\θ}}^{-1}{\mathrm{dV}}^{\text{'}}---\left(17\right)$

$A_{\mathrm{\α\β}}^{\mathrm{DM}}=A_{\mathrm{\α\β}}^{\mathrm{MM}}=\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{\mathrm{\Δe}}{\∫}{\mathrm{\α}}_{(j,f)}\stackrel{\‾}{G}(r_{(j,f)},r^{\text{'}}){\mathrm{\βL}}_{(i,e)}\left(r^{\text{'}}\right){\mathrm{\θ}}^{-1}{\mathrm{dS}}^{\text{'}}---\left(18\right)$

$U_V^{\mathrm{\α}}={\mathrm{\α}}_{(j,f)}{E}^{\mathrm{inc}}\left(r_{(j,f)}\right)---\left(19\right)$

$U_S^{\mathrm{\α}}={\mathrm{\α}}_{(j,f)}{E}^{\mathrm{inc}}\left(r_{(j,f)}\right)---\left(20\right)$

α和β分别表示测试基函数和源基函数的分量，Δe表示第e个剖分单元，(j,f)表示f单元的第j个测试点，是雅克比因子。

第五步，求解矩阵方程，得到电流系数，再根据互易定理由电流系数计算电磁散射参量。

为了验证方法的效率和精度，下面给出了超高速飞行目标的电磁散射的算例。

钝锥模型，电磁参数模型及几何信息如图3所示，左图为等效相对介电参数实部值，右图为等效相对介电参数虚部值。经过网格剖分后，传统方法未知量为197072(平均剖分尺寸0.04个自由空间波长)，本发明方法总未知量为49302(平均剖分尺寸0.16个自由空间波长)。图4则为本发明方法计算双站雷达散射截面(RCS)与传统方法(基于RWG和SWG基函数的体面积分方程方法)计算结果的比较。

Claims (5)

1.一种分析超高速飞行目标电磁散射的高阶体面积分方程方法，其特征在于步骤如下：

第一步，建立超高速飞行目标等离子壳套模型，根据飞行目标的飞行高度、攻角和飞行马赫数参数，对超高速飞行目标进行气动模拟计算，得到目标的电子数密度、温度和压强信息数据，由此得到等离子体特征频率以及碰撞频率，再由以下公式得到等离子壳套各空间位置的等效相对介电常数，

${\mathrm{\ϵ}}_r=1-\frac{{{\mathrm{\ω}}^2}_{\mathrm{pe}}}{{\mathrm{\ω}}^2+v^2}-j\frac{v}{\mathrm{\ω}}\frac{{{\mathrm{\ω}}^2}_{\mathrm{pe}}}{{\mathrm{\ω}}^2+v^2}---\left(1\right)$

其中ω_pe为等离子体特征频率，ω为电磁波频率，v为等离子体碰撞频率；

第二步，建立体面积分方程，根据混合结构的散射特性，目标上的总场等于入射场与所有的散射场之和，入射电场为已知激励，均匀平面波被用来作为入射电场；

第三步，对于超高速飞行目标金属部分采用二阶曲三角形剖分，对于等离子壳套部分采用二阶曲四面体剖分，分别在曲三角形和曲四面体中构造基于拉格朗日插值的高阶矢量基函数；

当高速飞行目标及等离子壳套模型被曲单元离散后，金属表面或者介质体内的的电流表示如下，

$J\left(r\right)=\underset{e=1}{\overset{E}{\mathrm{\Σ}}}{J}_e\left(r\right)---\left(2\right)$

其中，J(r)是待求解的未知电流，J_e(r)代表第e个单元内的电流，E是总的离散单元数目，电流用拉格朗日插值算子表示如下，

$J_e\left(r\right)=\underset{i=1}{\overset{I_e}{\mathrm{\Σ}}}{L}_{(i,e)}g{J}_e\left(r_i\right)---\left(3\right)$

r_i是插值点,I_e是第e个单元上的插值点数目,L_(i,e)是拉格朗日插值算子；

第四步，形成待求解的矩阵方程，由于未知电流分为金属面电流和介质体电流，对分块矩阵分别进行填充；

第五步，求解矩阵方程，得到电流系数，再根据互易定理由电流系数计算电磁散射参量。

2.根据权利要求1所述的分析超高速飞行目标电磁散射的高阶体面积分方程方法，其特征在于所述步骤2中：

体面电场积分积分方程如下，

$E^i\left(r\right)=\frac{J_V\left(r\right)}{\mathrm{j\ω}{\mathrm{\ϵ}}_0({\mathrm{\ϵ}}_r-1)}+\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{V}{\∫}{J}_V\left(r^{\text{'}}\right)\·\stackrel{\‾}{G}(r,r^{\text{'}}){\mathrm{dV}}^{\text{'}}+\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{S}{\∫}{J}_S\left(r^{\text{'}}\right)\·\stackrel{\‾}{G}(r,r^{\text{'}}){\mathrm{dS}}^{\text{'}}---\left(4\right)$

$E^i\left(r\right){|}_{\tan }={[\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{V}{\∫}{J}_V\left(r^{\text{'}}\right)\·\stackrel{\‾}{G}(r,r^{\text{'}}){\mathrm{dV}}^{\text{'}}+\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{S}{\∫}{J}_S\left(r^{\text{'}}\right)\·\stackrel{\‾}{G}(r,r^{\text{'}}){\mathrm{dS}}^{\text{'}}]}_{\tan }---\left(5\right)$

其中，J_V(J_S)是待求的体(面)电流密度，E^inc是已知的入射电场。积分内核是三维自由空间并矢格林函数，表示形式如下，

$\stackrel{\‾}{G}(r,r^{\text{'}})=(\stackrel{\‾}{I}+\frac{1}{{k_0}^2}\▿\▿)G(r,r^{\text{'}})---\left(6\right)$

(6)式中的G(r,r′)＝e^-jkR/(4πR)是自由空间三维标量格林函数,k是自由空间的波数，R＝|r-r′|是观察点r和源点r′之间的距离,是单位并矢。

3.根据权利要求1所述的分析超高速飞行目标电磁散射的高阶体面积分方程方法，其特征在于所述步骤3中：

将r空间内的曲三角形单元映射到一个参数坐标系(u,v)，在参数坐标系(u,v)下，定义n次多项式空间：

$P_n^2=\mathrm{span}\{u^i{v}^i;i,j\≥0;i+j\≤n\}---\left(7\right)$

此多项式空间的维数为：

$\dim P_n^2=C_{n+2}^2=\frac{(n+2)(n+1)}{2}---\left(8\right)$

对于 $n=1,\dim P_n^2=3,$ 有 $P_n^2=\mathrm{span}\{1,u,v\},$ 选择3点高斯积分点，对于 $n=2,\dim P_n^2=6,$ 有 $P_n^2=\mathrm{span}\{1,u,v,u^2.\mathrm{uv},v^2\},$ 选择6点高斯积分点，一旦n次多项式选定，插值多项式L_i(u，v)就可通过可以下的矩陈方程求得：

其中，(u_i,v_i)是插值点,m是每个曲三角形内所有插值点的个数。

4.根据权利要求1所述的分析超高速飞行目标电磁散射的高阶体面积分方程方法，其特征在于所述步骤3中：

将r空间内的曲四面体单元映射到一个参数坐标系(u,v,w)，在(u,v,w)空间中，定义n次多项式空间：

$P_n^3=\mathrm{span}\{u^i,v^i,w^{k,};i,\mathrm{jk}\≥0;i+j+k\≤n\}---\left(10\right)$

空间的维数由下式决定，

$\dim P_n^3=C_{n+3}^3=\frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6}---\left(11\right)$

当n＝0时,这种基函数就是经典的脉冲基函数；当n＝1时,多项式的形式为： $P_n^3=\mathrm{span}\{1,u,v,w\}.$ 当n＝2时, $\dim P_n^3=10,$ 多项式的形式为{1,u,v,w,u²,uv,uw,v²,vw,w²,uvw}.当n＝3时,采用了二十四项多项式表示三维空间，多项式的形式为

{1,u,v,w,u²,uv,uw,v²,vw,w²,u³,v³,w³,u²v,u²w,uv²,uw²,v²w,vw²,uvw,u⁴,v⁴,w⁴,uv²w}(12)

当多项式和四面体内插值点被确定后,L_i(u,v,w)求解下面矩阵求得，

$\left[\begin{array}{cccc}{P}_1(u_1,v_1,w_1)& P_1(u_2,v_2,w_2)& L& P_1(u_m,v_m,w_m)\\ P_2(u_1,v_1,w_1)& P_2(u_2,v_2,w_2)& L& P_2(u_m,v_m,w_m)\\ M& M& O& M\\ P_m(u_1,v_1,w_1)& P_m(u_2,v_2,w_2)& L& P_m(u_m,v_m,w_m)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{L}_1(u,v,w)\\ L_2(u,v,w)\\ M\\ L_m(u,v,w)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{P}_1(u,v,w)\\ P_2(u,v,w)\\ M\\ P_m(u,v,w)\end{array}\right]---\left(13\right)$

其中，(u_i,v_i,w_i)是插值点,m是每个曲四面体内所有插值点的个数。

5.根据权利要求1所述的所述的分析超高速飞行目标电磁散射的高阶体面积分方程方法，其特征在于所述步骤4中，

采用点匹配后，矩阵方程表示形式如下，

$\underset{e=1}{\overset{E}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}\left[\begin{array}{ccccc}{A}_{\mathrm{uu}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{uv}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{uw}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{uu}}^{\mathrm{DM}}& A_{\mathrm{uv}}^{\mathrm{DM}}\\ A_{\mathrm{vu}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{vv}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{vw}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{vu}}^{\mathrm{DM}}& A_{\mathrm{vv}}^{\mathrm{DM}}\\ A_{\mathrm{wu}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{wv}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{ww}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{wu}}^{\mathrm{DM}}& A_{\mathrm{wv}}^{\mathrm{DM}}\\ A_{\mathrm{uu}}^{\mathrm{DM}}& A_{\mathrm{uv}}^{\mathrm{MD}}& A_{\mathrm{uw}}^{\mathrm{DD}}& A_{\mathrm{uu}}^{\mathrm{MM}}& A_{\mathrm{uv}}^{\mathrm{MM}}\\ A_{\mathrm{vu}}^{\mathrm{MD}}& A_{\mathrm{vv}}^{\mathrm{MD}}& A_{\mathrm{vw}}^{\mathrm{MD}}& A_{\mathrm{vu}}^{\mathrm{MM}}& A_{\mathrm{vv}}^{\mathrm{MM}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{J}_{V(i,e)}^u\\ J_{V(i,e)}^v\\ J_{V(i,e)}^w\\ J_{S(i,e)}^u\\ J_{S(i,e)}^v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{U}_V^u\\ U_V^v\\ U_V^w\\ U_V^w\\ U_S^u\end{array}\right]---\left(14\right)$

其中，

$A_{\mathrm{\α\β}}^{\mathrm{DD}}=A_{\mathrm{\α\β}}^{\mathrm{MD}}=\frac{1}{\mathrm{j\ω}{\mathrm{\ϵ}}_0({\mathrm{\ϵ}}_r-1)}{\mathrm{\α}}_{(j,f)}{\mathrm{\βL}}_{(i,e)}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ij}}{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ef}}\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{\mathrm{\Δe}}{\∫}{\mathrm{\α}}_{(i,f)}\stackrel{\‾}{G}(r_{(j,f)},r^{\text{'}}){\mathrm{\βL}}_{(i,e)}{\mathrm{\θ}}^{-1}{\mathrm{dV}}^{\text{'}}---\left(15\right)$

$A_{\mathrm{\α\β}}^{\mathrm{DM}}=A_{\mathrm{\α\β}}^{\mathrm{MM}}=\mathrm{j\ω}{\mathrm{\μ}}_0\underset{\mathrm{\Δe}}{\∫}{\mathrm{\α}}_{(j,f)}\stackrel{\‾}{G}(r_{(j,f)},r^{\text{'}}){\mathrm{\βL}}_{(i,e)}\left(r^{\text{'}}\right){\mathrm{\θ}}^{-1}{\mathrm{dS}}^{\text{'}}---\left(16\right)$

$U_V^{\mathrm{\α}}={\mathrm{\α}}_{(j,f)}{E}^{\mathrm{inc}}\left(r_{(j,f)}\right)---\left(17\right)$

$U_S^{\mathrm{\α}}={\mathrm{\α}}_{(j,f)}{E}^{\mathrm{inc}}\left(r_{(j,f)}\right)---\left(18\right)$

α和β分别表示测试基函数和源基函数的分量，Δe表示第e个剖分单元，(j,f)表示f单元的第j个测试点，是雅克比因子。