CN105071388A - 一种基于极大似然估计的配电网状态估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于极大似然估计的配电网状态估计方法，属于电力系统调度自动化与电网仿真技术领域。假设配电网负荷伪量测已经通过某种方法得到，与配电网负荷真值相，得到了伪量测误差组，然后采用核密度估计方法来生成伪量测误差的分布模型，并通过极大似然估计原理建立了考虑负荷伪量测的状态估计模型。本发明方法具有很好的拟合分布效果。只要该数据样本的概率是存在与连续，它可以拟合数据的任何分布形式，且不需要任何先验的概率分布假设。所以，本方法可以解决配电网的负荷伪量测不服从正态分布难题，进一步提出了考虑新概率密度函数的极大似然估计，提高了配电网状态估计结果的精度。

Description

一种基于极大似然估计的配电网状态估计方法

技术领域

本发明涉及一种基于极大似然估计的配电网状态估计方法，利用配电网的历史数据和伪量测数据与一种核密度估计方法来生成伪量测误差的分布模型，从而通过极大似然估计原理建立了考虑负荷伪量测的状态估计模型，属于电力系统调度自动化与电网仿真技术领域。

背景技术

状态估计作为智能配电网的核心技术之一，而现在的配电网数据的采集量庞大而复杂，测点的硬件安装需要耗费大量的资金和精力，也不现实，导致配电网量测数据严重不足，因此配网状态估计依赖负荷伪量测，而伪量测的误差分布模型显著影响状态估计的精度。伪量测误差模型可以通过负荷误差的概率密度函数来表示，一般可以采用正太分布方法，由于伪量测误差在不同节点变化不同，所以传统的正态分布方法不能满足伪量测模型的统计性。配电网中实时量测很少，主要依赖于通过计量系统获得的非实时量测计算得到的伪量测。考虑到配电网规模庞大，限于投资和维护成本，实际安装的实时测量装置少，实时量测数据严重不足，因此配网状态估计依赖负荷伪量测，而伪量测的误差分布模型显著影响状态估计的精度。

发明内容

本发明的目的是提出一种基于极大似然估计的配电网状态估计方法，以此获得配电网的状态估计模型，以提高状态估计的精度。

本发明提出的基于极大似然估计的配电网状态估计方法，包括以下步骤：

(1)从配电网的配电管理系统数据库中获取系统状态变量(包括有功功率、无功功率、电压幅值、相角等)的实时量测值从历史数据库中获取同一时刻的配电网负荷，利用短期负荷预测方法生成负荷伪量测值j＝(1,2,..,m)，其中j为配电网的节点编号，通过下式计算量测误差：

$v_j=Z_j^{rt}-Z_j^{true}$ 或 $v_j=Z_j^{pseudo}-Z_j^{true},$

其中，v_j为节点j的量测误差，为节点j的量测真值(由已知配电网节点的注入功率和部分电压值，通过潮流计算得到潮流分布，作为量测真值)；

(2)对于步骤(1)中得到的伪量测误差v_j，计算伪量测误差v_j概率密度函数为：

$pdf\left(v_j\right)=\frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(\frac{v_j-v_j^i}{d_j}\right)$

其中，是上述v_j的第i个采样值(i＝1,2,...,n)，d_j为节点j核密度估计函数的宽带，σ_j是节点j核密度估计函数的标准差，K(.)是标准高斯核函数，定义为：

其中，y为标准高斯核函数的自变量取值，R为实数集合；

(3)设步骤(1)中的实时量测满足正态分布，则实时量测误差的概率密度函数为：

$pdf\left(v_j\right)=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}_j\sqrt{2\mathrm{\π}}}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2}$

其中，x为状态变量，h_j(x)是节点j真值的概率分布；

(4)建立用于配电网状态估计极大似然估计目标函数如下：

$L\left(x\right)=\underset{x}{\max }\left(\ln \left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Π}}\frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)\right)+\ln \underset{j=1}{\overset{m_2}{\Π}}\frac{1}{{\mathrm{\σ}}_j\sqrt{2\mathrm{\π}}}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2}\right)$

s.t.

c(x)＝0(零注入量测方程)

其中，x为状态变量矢量，h_ij(x)为步骤(1)中的量测真值对状态变量的函数，该函数的具体表达式由配电网络拓扑和潮流方程决定，是负荷伪量测值的第i个采样值；

(5)建立配电网状态估计模型，步骤如下：

(5-1)模型简化:

$\begin{array}{c}L\left(x\right)=\underset{x}{\max }\left(\ln \left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Π}}\frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)\right)+\ln \underset{j=1}{\overset{m_2}{\Π}}\frac{1}{{\mathrm{\σ}}_j\sqrt{2\mathrm{\π}}}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2}\right)\\ =\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\[\ln \frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}+\ln \underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)\]+\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}-\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2-\frac{m_2}{2}\ln 2\mathrm{\π}-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}{\mathrm{ln\σ}}_j\right)\\ =\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\ln \underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)\end{array}$

(5-2)根据琴生(Jensen)不等式:

$\begin{array}{c}L\left(x\right)=\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\ln \underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)\\ \≥\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{W}_j\left(i\right)\ln \left(\frac{K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}{W_j\left(i\right)}\right)-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)\end{array}$

而: $\begin{array}{c}\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{W}_i\left(i\right)\ln \left(\frac{K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}{W_j\left(i\right)}\right)-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_i\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)\\ =\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}-\frac{1}{2}{W}_j\left(i\right){\left(\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}^2-\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{W}_j\left(i\right){\mathrm{lnW}}_j\left(i\right)\right)-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_i\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2)\end{array}$

不等式取等号条件：

$\frac{K(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j})}{W_j\left(i\right)}=c,$ c为常数

则：

$\underset{x}{\min }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{2}{W}_j\left(i\right){\left(\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}^2+\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_i\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)$

(4-3)得到配电网状态估计模型如下：

$\underset{x}{\min }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{2}{W}_j\left(i\right){\left(\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}^2+\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_i\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)$

s.t.c(x)＝0

其中，c(x)＝0是零注入母线的约束方程，其中包括配电网的有功功率零注入和无功功率零注入方程，x是状态变量矢量，包括支路首端功率P_lj，Q_lj和支路电流幅值I_lj；

其中：

$\begin{array}{c}{W}_j\left(i\right)=\frac{P\left(Z_{ij}^{pseudo}|i\right)}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}P\left(Z_{ij}^{pseudo}|i\right)}=\frac{\frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}K\left(\frac{Z_j^{true}-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}{\frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(\frac{Z_j^{true}-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}\\ =\frac{K\left(\frac{Z_j^{true}-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(\frac{Z_j^{true}-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}\end{array}$

支路电流幅值量测方程：

${\left(I_{lj}^m\right)}^2=I_{lj}^2+v_{I_{lj}^2}$

支路首端功率量测方程：

$\begin{array}{c}{P}_{lj}^m=P_{lj}+v_{P_{lj}}\\ Q_{lj}^m=Q_{lj}+v_{Q_{lj}}\end{array}$

支路末端功率量测方程:

$\begin{array}{c}{P}_{jl}^m=P_{lj}+I_{lj}^2{R}_{lj}+v_{P_{lj}}\\ Q_{jl}^m=Q_{lj}+I_{lj}^2{X}_{lj}+v_{Q_{lj}}\end{array}$

节点注入功率量测方程:

$\begin{array}{c}{P}_j^m=\underset{l\∈j}{\Σ}{P}_{lj}-\underset{l\∈j}{\Σ}{I}_{lj}^2{R}_{lj}-\underset{k\∈j}{\Σ}{P}_{jk}+v_{P_j}\\ Q_j^m=\underset{l\∈j}{\Σ}{Q}_{lj}-\underset{l\∈j}{\Σ}{I}_{lj}^2{R}_{lj}-\underset{k\∈j}{\Σ}{Q}_{jk}-\frac{P_{jk}^2+Q_{jk}^2}{I_{jk}^2{X}_{cj}}+v_{Q_j}\end{array}$

节点电压平方的量测方程：

${\left(U_j^m\right)}^2=\frac{{(P_{lj}-I_{lj}^2{R}_{lj})}^2+{(Q_{lj}-I_{lj}^2{X}_{lj})}^2}{I_{lj}^2}+v_{{\left(U_j^m\right)}^2}$

节点j的电压约束方程：

$\frac{{(P_{lj}-I_{lj}^2{R}_{lj})}^2+{(Q_{lj}-I_{lj}^2{X}_{lj})}^2}{I_{lj}^2}-\frac{P_{jk}^2+Q_{jk}^2}{I_{jk}^2}=0$

其中，l,k∈j表示配电网中与节点j相连的节点，X_cj为节点j的电容器和充电电容的电抗值，I_lj为支路电流幅值，P_lj，Q_lj为支路首端功率，P_j，Q_j分别表示节点注入有功和无功功率，v_*是对应量测的误差，R_lj，X_lj分别为支路电阻和电抗，是出现的概率。

本发明提出的基于极大似然估计的配电网状态估计方法，其优点是：

1、本发明方法充分利用了配电网中的负荷伪量测，针对量测有限的配电网有效地产生伪量测误差模型，便于进行配电网状态估计。

2、本发明方法充分利用了数据样本的概率，有效拟合负荷伪量测的误差分布，进而提高了配电网状态估计准确度。

3、本发明方法可以拟合数据的任何分布形式，且不需要任何先验的概率分布假设，收敛性能得到保证，所以，此方法可以解决配电网的负荷伪量测不服从正态分布难题，能获得所要求的分布精度。

4、本发明方法结合实时量测和负荷伪量测模型进行状态估计，在线跟踪电力系统的状态变化，生成负荷伪量测误差模型，通过一种强大的极大似然估计为配电网的状态估计提供可靠的信息。

附图说明

图1是本发明提出的基于极大似然估计的配电网状态估计方法的流程框图。

具体实施方式

本发明提出的基于极大似然估计的配电网状态估计方法，其流程框图如图1所示，包括以下步骤：

(1)从配电网的配电管理系统数据库中获取系统状态变量(包括有功功率、无功功率、电压幅值、相角等)的实时量测值从历史数据库中获取同一时刻的配电网负荷，利用短期负荷预测方法生成负荷伪量测值j＝(1,2,..,m)，其中j为配电网的节点编号，通过下式计算量测误差：

$v_j=Z_j^{rt}-Z_j^{true}$ 或 $v_j=Z_j^{pseudo}-Z_j^{true},$

其中，v_j为节点j的量测误差，为节点j的量测真值(由已知配电网节点的注入功率和部分电压值，通过潮流计算得到潮流分布，作为量测真值)；

(2)对于步骤(1)中得到的伪量测误差v_j，计算伪量测误差v_j概率密度函数为：

$pdf\left(v_j\right)=\frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(\frac{v_j-v_j^i}{d_j}\right)$

其中，是上述v_j的第i个采样值(i＝1,2,...,n)，d_j为节点j核密度估计函数的宽带，σ_j是节点j核密度估计函数的标准差，K(.)是标准高斯核函数，定义为：

其中，y为标准高斯核函数的自变量取值，R为实数集合；

(3)设步骤(1)中的实时量测满足正态分布，则实时量测误差的概率密度函数为：

$pdf\left(v_j\right)=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}_j\sqrt{2\mathrm{\π}}}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2}$

其中，x为状态变量，h_j(x)是节点j真值的概率分布；

(4)建立用于配电网状态估计极大似然估计目标函数如下：

$L\left(x\right)=\underset{x}{\max }\left(\ln \left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Π}}\frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)\right)+\ln \underset{j=1}{\overset{m_2}{\Π}}\frac{1}{{\mathrm{\σ}}_j\sqrt{2\mathrm{\π}}}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2}\right)$

s.t.

c(x)＝0(零注入量测方程)

其中，x为状态变量矢量，h_ij(x)为步骤(1)中的量测真值对状态变量的函数，该函数的具体表达式由配电网络拓扑和潮流方程决定，是负荷伪量测值的第i个采样值；

(5)建立配电网状态估计模型，步骤如下：

(5-1)模型简化:

$\begin{array}{c}L\left(x\right)=\underset{x}{\max }\left(\ln \left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Π}}\frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)\right)+\ln \underset{j=1}{\overset{m_2}{\Π}}\frac{1}{{\mathrm{\σ}}_j\sqrt{2\mathrm{\π}}}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2}\right)\\ =\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\[\ln \frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}+\ln \underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)\]+\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}-\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2-\frac{m_2}{2}\ln 2\mathrm{\π}-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}{\mathrm{ln\σ}}_j\right)\\ =\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\ln \underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)\end{array}$

(5-2)根据琴生(Jensen)不等式:

$\begin{array}{c}L\left(x\right)=\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\ln \underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)\\ \≥\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{W}_j\left(i\right)\ln \left(\frac{K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}{W_j\left(i\right)}\right)-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)\end{array}$

而: $\begin{array}{c}\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{W}_i\left(i\right)\ln \left(\frac{K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}{W_j\left(i\right)}\right)-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_i\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)\\ =\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}-\frac{1}{2}{W}_j\left(i\right){\left(\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}^2-\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{W}_j\left(i\right){\mathrm{lnW}}_j\left(i\right)\right)-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_i\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2)\end{array}$

不等式取等号条件：

$\frac{K(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j})}{W_j\left(i\right)}=c,$ c为常数

则：

$\underset{x}{\min }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{2}{W}_j\left(i\right){\left(\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}^2+\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_i\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)$

(4-3)得到配电网状态估计模型如下：

$\underset{x}{\min }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{2}{W}_j\left(i\right){\left(\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}^2+\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_i\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)$

s.t.c(x)＝0

其中，c(x)＝0是零注入母线的约束方程，其中包括配电网的有功功率零注入和无功功率零注入方程，x是状态变量矢量，包括支路首端功率P_lj，Q_lj和支路电流幅值I_lj；

其中：

$\begin{array}{c}{W}_j\left(i\right)=\frac{P\left(Z_{ij}^{pseudo}|i\right)}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}P\left(Z_{ij}^{pseudo}|i\right)}=\frac{\frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}K\left(\frac{Z_j^{true}-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}{\frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(\frac{Z_j^{true}-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}\\ =\frac{K\left(\frac{Z_j^{true}-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(\frac{Z_j^{true}-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}\end{array}$

支路电流幅值量测方程：

${\left(I_{lj}^m\right)}^2=I_{lj}^2+v_{I_{lj}^2}$

支路首端功率量测方程：

$\begin{array}{c}{P}_{lj}^m=P_{lj}+v_{P_{lj}}\\ Q_{lj}^m=Q_{lj}+v_{Q_{lj}}\end{array}$

支路末端功率量测方程:

$\begin{array}{c}{P}_{jl}^m=P_{lj}+I_{lj}^2{R}_{lj}+v_{P_{lj}}\\ Q_{jl}^m=Q_{lj}+I_{lj}^2{X}_{lj}+v_{Q_{lj}}\end{array}$

节点注入功率量测方程:

$\begin{array}{c}{P}_j^m=\underset{l\∈j}{\Σ}{P}_{lj}-\underset{l\∈j}{\Σ}{I}_{lj}^2{R}_{lj}-\underset{k\∈j}{\Σ}{P}_{jk}+v_{P_j}\\ Q_j^m=\underset{l\∈j}{\Σ}{Q}_{lj}-\underset{l\∈j}{\Σ}{I}_{lj}^2{R}_{lj}-\underset{k\∈j}{\Σ}{Q}_{jk}-\frac{P_{jk}^2+Q_{jk}^2}{I_{jk}^2{X}_{cj}}+v_{Q_j}\end{array}$

节点电压平方的量测方程：

${\left(U_j^m\right)}^2=\frac{{(P_{lj}-I_{lj}^2{R}_{lj})}^2+{(Q_{lj}-I_{lj}^2{X}_{lj})}^2}{I_{lj}^2}+v_{{\left(U_j^m\right)}^2}$

节点j的电压约束方程：

$\frac{{(P_{lj}-I_{lj}^2{R}_{lj})}^2+{(Q_{lj}-I_{lj}^2{X}_{lj})}^2}{I_{lj}^2}-\frac{P_{jk}^2+Q_{jk}^2}{I_{jk}^2}=0$

其中，l,k∈j表示配电网中与节点j相连的节点，X_cj为节点j的电容器和充电电容的电抗值，I_lj为支路电流幅值，P_lj，Q_lj为支路首端功率，P_j，Q_j分别表示节点注入有功和无功功率，v_*是对应量测的误差，R_lj，X_lj分别为支路电阻和电抗，是出现的概率。

本发明提出一种基于极大似然估计的配电网状态估计方法，假设配电网负荷伪量测已经通过某种方法得到，与配电网负荷真值相，得到了伪量测误差组，然后采用核密度估计方法来生成伪量测误差的分布模型，并通过极大似然估计原理建立了考虑负荷伪量测的状态估计模型。该方法在线跟踪电力系统的状态变化，可以很好考虑伪量测误差分布模型，为配电网的状态估计提供可靠的信息，从而改善状态估计结果的质量。

Claims (1)

1.一种基于极大似然估计的配电网状态估计方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

(1)从配电网的配电管理系统数据库中获取系统状态变量的实时量测值从历史数据库中获取同一时刻的配电网负荷，利用短期负荷预测方法生成负荷伪量测值j＝(1,2,..,m)，其中j为配电网的节点编号，通过下式计算量测误差：

$v_j=Z_j^{rt}-Z_j^{true}$ 或 $v_j=Z_j^{pseudo}-Z_j^{true},$

其中，v_j为节点j的量测误差，为节点j的量测真值(由已知配电网节点的注入功率和部分电压值，通过潮流计算得到潮流分布，作为量测真值)；

(2)对于步骤(1)中得到的伪量测误差v_j，计算伪量测误差v_j概率密度函数为：

$pdf\left(v_j\right)=\frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(\frac{v_i-r_j^i}{d_j}\right)$

其中，是上述v_j的第i个采样值(i＝1,2,...,n)，d_j为节点j核密度估计函数的宽带，σ_j是节点j核密度估计函数的标准差，K(.)是标准高斯核函数，定义为：

其中，y为标准高斯核函数的自变量取值，R为实数集合；

(3)设步骤(1)中的实时量测满足正态分布，则实时量测误差的概率密度函数为：

$pdf\left(v_j\right)=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}_j\sqrt{2\mathrm{\π}}}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2}$

其中，x为状态变量，h_j(x)是节点j真值的概率分布；

(4)建立用于配电网状态估计极大似然估计目标函数如下：

$L\left(x\right)=\underset{x}{\max }\left(\ln \left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Π}}\frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)\right)+\ln \underset{j=1}{\overset{m_2}{\Π}}\frac{1}{{\mathrm{\σ}}_j\sqrt{2\mathrm{\π}}}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2}\right)$

s.t.

c(x)＝0(零注入量测方程)

其中，x为状态变量矢量，h_ij(x)为步骤(1)中的量测真值对状态变量的函数，该函数的具体表达式由配电网络拓扑和潮流方程决定，是负荷伪量测值的第i个采样值；

(5)建立配电网状态估计模型，步骤如下：

(5-1)模型简化:

$\begin{array}{c}L\left(x\right)=\underset{x}{\max }\left(\ln \left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Π}}\frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)\right)+\ln \underset{j=1}{\overset{m_2}{\Π}}\frac{1}{{\mathrm{\σ}}_j\sqrt{2\mathrm{\π}}}{e}^{-\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2}\right)\\ =\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\[\ln \frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}+\ln \underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)\]+\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}-\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2-\frac{m_2}{2}\ln 2\mathrm{\π}-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}{\mathrm{ln\σ}}_j\right)\\ =\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\ln \underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)\end{array}$

(5-2)根据琴生不等式:

$\begin{array}{c}L\left(x\right)=\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\ln \underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)\\ \≥\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{W}_j\left(i\right)\ln \left(\frac{K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}{W_j\left(i\right)}\right)-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_j\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)\end{array}$

而: $\begin{array}{c}\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{W}_i\left(i\right)\ln \left(\frac{K\left(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}{W_j\left(i\right)}\right)-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_i\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)\\ =\underset{x}{\max }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}-\frac{1}{2}{W}_j\left(i\right){\left(\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}^2-\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{W}_j\left(i\right){\mathrm{lnW}}_j\left(i\right)\right)-\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_i\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2)\end{array}$

不等式取等号条件：

$\frac{K(-\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j})}{W_j\left(i\right)}=c,$ c为常数

则：

$\underset{x}{\min }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{2}{W}_j\left(i\right){\left(\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}^2+\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_i\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)$

(4-3)得到配电网状态估计模型如下：

$\underset{x}{\min }\left(\underset{j=1}{\overset{m_1}{\Σ}}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{2}{W}_j\left(i\right){\left(\frac{h_{ij}\left(x\right)-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}^2+\underset{j=1}{\overset{m_2}{\Σ}}\frac{1}{2}{\left(\frac{h_i\left(x\right)-Z_j^{rt}}{{\mathrm{\σ}}_j}\right)}^2\right)$

s.t.c(x)＝0

其中，c(x)＝0是零注入母线的约束方程，其中包括配电网的有功功率零注入和无功功率零注入方程，x是状态变量矢量，包括支路首端功率P_lj，Q_lj和支路电流幅值I_lj；

其中：

$\begin{array}{c}{W}_j\left(i\right)=\frac{P\left(Z_{ij}^{pseudo}|i\right)}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}P\left(Z_{ij}^{pseudo}|i\right)}=\frac{\frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}K\left(\frac{Z_j^{true}-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}{\frac{1}{{\mathrm{nd}}_j}\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(\frac{Z_j^{true}-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}\\ =\frac{K\left(\frac{Z_j^{true}-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}K\left(\frac{Z_j^{true}-Z_{ij}^{pseudo}}{d_j}\right)}\end{array}$

支路电流幅值量测方程：

${\left(I_{lj}^m\right)}^2=I_{lj}^2+v_{I_{ij}^2}$

支路首端功率量测方程：

$P_{lj}^m=P_{lj}+v_{P_{lj}}$

$Q_{lj}^m=Q_{lj}+v_{Q_{lj}}$

支路末端功率量测方程:

$P_{jl}^m=P_{lj}+I_{lj}^2{R}_{lj}+v_{P_{ij}}$

$Q_{jl}^m=Q_{lj}+I_{lj}^2{X}_{lj}+v_{Q_{lj}}$

节点注入功率量测方程:

$P_j^m=\underset{l\∈j}{\Σ}{P}_{lj}-\underset{l\∈j}{\Σ}{I}_{lj}^2{R}_{lj}-\underset{k\∈j}{\Σ}{P}_{jk}+v_{P_j}$

$Q_j^m=\underset{l\∈j}{\Σ}{Q}_{lj}-\underset{l\∈j}{\Σ}{I}_{lj}^2{R}_{lj}-\underset{k\∈j}{\Σ}{Q}_{jk}-\frac{P_{jk}^2+Q_{jk}^2}{I_{jk}^2{X}_{cj}}+v_{Q_j}$

节点电压平方的量测方程：

${\left(U_j^m\right)}^2=\frac{{(P_{lj}-I_{lj}^2{R}_{lj})}^2+{(Q_{lj}-I_{lj}^2{X}_{lj})}^2}{I_{lj}^2}+v_{{\left(U_j^m\right)}^2}$

节点j的电压约束方程：

$\frac{{(P_{lj}-I_{lj}^2{R}_{lj})}^2+{(Q_{lj}-I_{lj}^2{X}_{lj})}^2}{I_{lj}^2}-\frac{P_{jk}^2+Q_{jk}^2}{I_{jk}^2}=0$

其中，l,k∈j表示配电网中与节点j相连的节点，X_cj为节点j的电容器和充电电容的电抗值，I_lj为支路电流幅值，P_lj，Q_lj为支路首端功率，P_j，Q_j分别表示节点注入有功和无功功率，v_*是对应量测的误差，R_lj，X_lj分别为支路电阻和电抗，是出现的概率。