CN103647284B - 一种解决单时间断面问题的电压稳定预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种解决单时间断面问题的电压稳定预测方法，包括以下步骤：1)获得每个负荷节点在不同的负荷增长率λ时的电压相量和电流相量；2)将电压相量和电流相量作为PMU的测量量，通过含有最小二乘法辨识获得各个时期每个负荷节点的外部系统等值模型的参数；3)根据外部系统等值模型的参数，通过计算得到阻抗指标L_Z、第一负荷裕度指标Lbs和第二负荷裕度指标Lbss；4)根据第二负荷裕度指标Lbss和基于此指标基础上的敏感系数C_sen，得到电压稳定预测指标L_VSPI。与现有技术相比，本发明具有更加准确的找出系统最可能发生电压失稳的节点，为电压稳定的控制争取了时间，从而提高了电压稳定的控制精度等优点。

Description

一种解决单时间断面问题的电压稳定预测方法

技术领域

本发明涉及一种电压稳定预测方法，尤其是涉及一种解决单时间断面问题的电压稳定预测方法。

背景技术

随着西电东送、全国联网和电力市场的推进，电力系统的空间范围不断扩大，形成了广域的电力系统，使得电网的稳定监视和控制显得越来越重要，大规模互联的电力系统的问来发展方向是：广域实时的动态监测与控制。电力系统的动态过程范围很广而且动态行为非常的复杂，对电力系统影响较大的不正常运行情况主要有：设备过负荷，非同步运行、次同步谐振、低频振荡，电压崩溃、频率崩溃，同步发电机短时失磁异步运行，自励磁等，动态信息在人们对大电网扰动过程监测、调度运行、事故后恢复以及控制中都起着基础性的作用。国外近几年的大停电事故的教训，使我们认识到了大电网崩溃事故的发生往往不是单个系统元件故障直接导致的结果，而是系统在扰动后的动态过程中的决策失误和连锁反应造成的，加强大规模互联的电力系统的广域实时的动态监测与控制就显得尤为迫切。而且大区电网的互联运行在时间上要求同步测量以及对大规模互联电网的广域实时动态监测的实现也是现代电力系统发展的必然趋势和要求。

近年来，国内外发生了多起大停电事故，通过对多次大停电事故进行总结和分析研究，人们对导致大停电的诱因有一定的认识：

①电力系统在线监测技术落后，难以给运行调度人员实时提供电网运行信息；

②缺乏在线实时动态安全分析技术；

③传统电力系统的保护和稳定控制只能依赖于局部信息，很难做到全局优化协调，从而导致电网发生连锁事故发生。

因此，从这个角度上说，为了实时动态监测系统运行情况，建立一种物理概念清晰、计算简单、易于观察的在线电压稳定指标也显得非常重要。挖掘有效的电压稳定指标，能够预防和控制可能发生的电压崩溃事故，且快速而又符合精度要求的计算方法是在线辨识算法重要的特征。研究有效的预测系统可能发生电压崩溃的方法对电力系统的稳定运行控制具有重要意义。基于GPS技术的WAMS能实时测量广域分布的电力系统状态和参数，为基于局部信息的电力系统稳定控制向全网协调稳定控制方向发展奠定了坚实的基础。对静态电压稳定的监视来说，相量测量可望成为一个重要的数据来源。PMU测得的相量值通过通信线路，实时送到调度中心并显示给调度员，调度员很容易知道电网的电压水平。基于广域测量技术的电压稳定性分析，避免了一般潮流计算或状态估计的迭代过程，具有较高的准确性。

电压稳定指标分析就是其中的一种方法，国内外学者对基于同步相量测量的电压稳定分析方法和电压稳定指标进行了大量的研究，并取得了一定的成果。主要可以归为两类：直接利用广域测量就地信息推导的电压稳定指标；基于电力系统等值为简单网络和推导等值网络的电压稳定指标的思想。但是不管哪种方法都存在误差，前者没有考虑系统的影响，是局部指标；后者在系统等值辨识时存在误差：状态间系统变化大时存在模型误差，状态间系统变化小时存在计算误差，且受负荷模型影响。

综上所述，PMU同步相量测量可以在线、实时、准确地测定系统参数，为电力系统实时分析与控制提供了一种新的思路和方法，但挖掘的电压稳定评估指标仍需尽量减小误差问题，并针对出现的问题进行方案解决。

发明内容

本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的缺陷而提供一种解决单时间断面问题的电压稳定预测方法。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

一种解决单时间断面问题的电压稳定预测方法，其特征在于，包括以下步骤：

1）获得每个负荷节点在不同的负荷增长率λ时的电压相量和电流相量；

2）将电压相量和电流相量作为PMU的测量量，通过含有最小二乘法辨识获得各个时期每个负荷节点的外部系统等值模型的参数；

3）根据外部系统等值模型的参数，通过计算得到阻抗指标L_Z、第一负荷裕度指标Lbs和第二负荷裕度指标Lbss；

4）根据第二负荷裕度指标Lbss和基于此指标基础上的敏感系数C_sen，得到电压稳定预测指标L_VSPI。

所述的阻抗指标L_Z计算过程如下：

对于负荷节点n，负荷模型采用恒阻抗模型，则阻抗模值为 为负荷节点阻抗角；Z_k为戴维南等值阻抗，Z_k＝R_k+jX_k，则其阻抗模值为E_k为负荷节点电压值；那么负荷所获得的有功功率为：

$P_n=I_n^2{R}_n=\frac{E_k^2}{{(R_k+R_n)}^2+{(X_k+X_n)}^2}{R}_n---\left(1\right)$

由将其代入（1）可得：

由P-V曲线的性质，可知临界点在鼻尖处，那么

令 $\frac{{\mathrm{dP}}_n}{{\mathrm{dP}}_n}=0,$ 得

整理并求解得：

$R_{\mathrm{ncr}}^2+X_{\mathrm{ncr}}^2=R_k^2+X_k^2$

|Z_ncr|＝|Z_k|(4)

即负荷节点的临界阻抗模|Z_ncr|等于其戴维南等效电路的阻抗模|Z_k|；

那么负荷等值阻抗指标L_Z，

$L_Z=\frac{\left|Z_{\mathrm{ncr}}\right|}{\left|Z_n\right|}=\frac{\left|Z_k\right|}{\left|Z_n\right|}---\left(5\right)$

当L_Z＞1时，系统电压稳定，且指标值距离1越远表示系统电压越稳定；当L_Z＜1时，系统电压不稳定；当L_Z＝1时，系统处于电压稳定极限。从指标的表达式可以看出该指标不和研究节点的有功负荷和无功负荷有强关联性，但该指标在电压稳定研究中应用广泛。

所述的第一负荷裕度指标Lbs和第二负荷裕度指标Lbss计算如下：

对于负荷节点n，负荷模型采用恒功率模型

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{S}}_n=P_n+{\mathrm{jQ}}_n\\ ={\stackrel{\·}{U}}_n{\stackrel{\·}{I}}^{*}\\ =U_n\∠{\mathrm{\δ}}_n{\left(\frac{E_k\∠{\mathrm{\δ}}_k-U_n\∠{\mathrm{\δ}}_n}{\left|Z_k\right|\∠{\mathrm{\θ}}_k}\right)}^{*}\\ =\frac{1}{\left|Z_k\right|}{U}_n{E}_k\∠(-{\mathrm{\θ}}_k+{\mathrm{\δ}}_n-{\mathrm{\δ}}_k)-\frac{1}{\left|Z_k\right|}{U}_n^2\∠-{\mathrm{\θ}}_k\\ =\frac{1}{\left|Z_k\right|}{U}_n{E}_k\∠(-{\mathrm{\θ}}_k-\mathrm{\δ})-\frac{1}{\left|Z_k\right|}{U}_n^2\∠-{\mathrm{\θ}}_k\end{array}---\left(6\right)$

其中δ_k为系统等效电源的电压相角、δ_n为n节点的节点电压相角、δ＝δ_k-δ_n，为n节点的负荷视在功率、P_n为n节点的负荷有功功率、Q_n为n节点的负荷无功功率、为n节点的节点电压、为系统等值模型的线电流、θ_k为系统等值模型等值阻抗的阻抗角；

分解P_n和Q_n得

$\left\{\begin{array}{c}{U}_n^2\cos {\mathrm{\θ}}_k-E_k\cos ({\mathrm{\θ}}_k-\mathrm{\δ})U_n+P_n\left|Z_k\right|=0\\ U_n^2\sin {\mathrm{\θ}}_k-E_k\sin ({\mathrm{\θ}}_k-\mathrm{\δ})U_n+Q_n\left|Z_k\right|=0\end{array}\right.---\left(7\right)$

变形消去δ得

$U_n^4+2[(P_n{P}_R+Q_n{X}_k)-E_k^2/2]U_n^2+(P_n^2+Q_n^2){\left|Z_k\right|}^2=0---\left(8\right)$

当式（8）的判别式大于等于0时，即

${[(P_n{R}_k+Q_n{X}_k)-E_k^2/2]}^2-(P_n^2+Q_n^2){\left|Z_k\right|}^2\≥0---\left(9\right)$

时，式（8）有两个实数解

$U_n^2=[E_k^2/2-(P_n{R}_k+Q_n{X}_k)]\±\sqrt{[(P_n{R}_k+Q_n{X}_k)-E_k^2/2]-(P_n^2+Q_n^2){\left|Z_k\right|}^2}---\left(10\right)$

由 $(P_n^2+Q_n^2){\left|Z_k\right|}^2\≥0$ 知，

$[(P_n{R}_k+Q_n{X}_k)-E_k^2/2]-(P_n^2+Q_n^2){\left|Z_k\right|}^2\≤[(P_n{R}_k+Q_n{X}_k)-E_k^2/2],$ 因此只有当时，才能保证有两个正实根，将式(8)改写成如下形式：

$E_k^2/2-[(P_n{R}_k+Q_n{X}_k)+|Z_k\left|\sqrt{(P_n^2+Q_n^2)}\right]\≥0---\left(11\right)$

设则 代入式(11)得

那么负荷极限裕度指标Lbs(n)计算如下，

Lbs(n)·S_n为节点n的输出功率极限值，[Lbs(n)-1]·S_n为节点n输出的功率与极限功率之间的距离，即负荷功率裕度；

当Lbs(n)＞1时，节点n输出的功率小于其输出极限功率，节点电压稳定，不会发生电压崩溃；当Lbs(n)＝1时，节点n输出的功率等于其输出极限功率，节点电压处于电压崩溃的临界状态；

比较整个系统各个节点的Lbs(n)指标值，就能得到整个系统的最薄弱节点，该节点的Lbs(n)值最小，最接近于1，把该节点的Lbs(n)指标值作为整个系统的电压稳定指标值；

上述的指标都可利用广域测量系统将它应用于在线监测。但是，L_Z(n)和Lbs(n)都随扰动的变化的速率不同，且指标逼近分叉点时对小负荷增量变化敏感。直接用当前断面下的指标来度量负荷节点和系统的电压稳定性可能会造成很大的误差，甚至得到与事实不符的结果。仅用各断面下指标值的绝对大小进行排序综合分析电网的电压稳定性具有指标的指示性差的缺点。用负荷极限裕度指标Lbs(n)分析IEEE14算例，对于任意特定情况下，一些节点负荷可能会进行增减。取节点4和节点12为研究节点，仿真保持初始功率因数不变，按比例同时增加全网节点的负荷功率，直到系统临界崩溃点的情况。需要说明的是，这里出现的最先崩溃的节点并不出现在4和12节点处。但如果仅以当前断面下的指标值的大小来判断节点的电压稳定性，认为这些节点为电压稳定性差的弱稳定节点或为为电压稳定性好的强稳定节点有可能会与事实相悖。

可以看出各支路在稳态初始时两节点的负荷极限裕度指标大小不同，其随系统扰动的变化趋势也不同，指标变化过程中出现交叉点。各断面下指标值的绝对大小并不能很好的指示出系统中两节点的电压稳定水平。

由于该指标各节点的消耗功率以及各断面下极限功率都将发生变化，各条支路的指标的变化趋势及变化速度均不同，只用当前一个潮流断面下负荷极限裕度指标的指示效果受该节点在此系统变化方式下的运动趋势的影响，在IEEE14算例仿真分析中也得到了证实。仅计算一个断面所得的节点指标的指示性较差，这使得该指标的推广使用具有一定得局限性。

为了解决上述的单时间断面问题，需要提出一种可行的改进的电压稳定指标分析方法。在电力系统丧失稳定运行之前，若能由当前时刻的电压状态预测出下一时刻的状态，并判定其电压稳定性，则可以及早采取合理控制措施，避免电压稳定破坏甚至电压崩溃事故的发生，从而提高电力系统在线运行的安全性、可靠性和灵活性，对电网的安全稳定运行具有重要的现实意义。

由公式（11）可知，节点n的输出极限功率S_ncr为

那么也可以这么定义节点n的负荷极限裕度指标Lbss(n)，为区分Lbs(n)，把前者称为第一负荷裕度指标，后者称为第二负荷裕度指标

所述的电压稳定预测指标L_VSPI计算如下：

通过各负荷节点的敏感系数来分析电压稳定预测指标，敏感系数即指标Lbss(n)对功率求导数：

式中，d为求导数符号，考虑系统负荷增大的扰动方式，负荷节点电压会降低，降低得越小，敏感度系数的数值越大；指标式(16)的值C_sen为负值，数值越大，说明负荷极限裕度指标以越大的速度减小，该节点越应得到较多的关注，为系统在一种扰动至崩溃趋势下越敏感的节点。

采用两个时间断面的数据，即k-1和k时刻的数据，用离散的Lbss(n)数据差对功率差值的比值来构造此敏感系数如下式形式：

$C_{\mathrm{sem}}^k=\frac{\mathrm{Lbss}{\left(n\right)}^k-{\mathrm{Lbss}\left(n\right)}^{k-1}}{S_n^k-S_n^{k-1}}---\left(17\right)$

式中，Lbss(n)^k、为在时间断面k下负荷节点n的电压稳定指标和负荷节点n的视在功率模值，Lbss(n)^k-1、为在时间断面k-1下负荷节点n的电压稳定指标和负荷节点n的视在功率模值；考虑系统负荷增大的扰动方式，负荷节点n的视在功率模值逐渐增大，功率变化量为正值，此两个断面下负荷极限裕度指标Lbss(n)是减小的趋势，变化量为负值，则式(16)的值为负值，数值越大，说明随着系统负荷增大负荷极限裕度指标以越大的速度减小。

用当前断面的负荷极限裕度指标和敏感系数来构造电压稳定预测指标：

$L_{\mathrm{VSPI}}\left(n\right)={\mathrm{Lbss}\left(n\right)}^k+C_{\mathrm{sem}}^k\·\mathrm{\ΔS}---\left(18\right)$

式中，其中Lbss(n)^k为负荷极限裕度指标，为敏感系数ΔS为预测的视在功率模值步长，ΔS为分辨率可调的步长，在系统临近失稳时取更小的预测步长，分辨率增大，在应用中各负荷节点的视在功率模值变化步长的选取依据实际系统的情况决定。考虑到敏感系数的在线电压稳定预测指标可以更好的更加准确的指示出系统的电压稳定性，这样将L_VSPI(n)指标从小到大排序得到系统各负荷节点的电压稳定水平，排名最后的即为薄弱节点，薄弱点处的指标值指示的就是整个系统的电压稳定程度。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

基于PMU的尽量减小误差的系统戴维南等值的的基础上，得到的负荷阻抗裕度指标和负荷极限裕度指标经过研究和分析，改进并挖掘得到更为准确预测的电压稳定预测指标L_VSPI，可以准确的预测一定步长后各节点的电压稳定水平，可以指出负荷极限裕度指标Lbss发生转移的节点，更加准确的找出系统最可能发生电压失稳的节点，为电压稳定的控制争取了时间，从而提高了电压稳定的控制精度。

附图说明

图1为考虑外部系统影响的系统等值模型示意图；

图2为考虑外部系统影响的系统等值模型简化示意图；

图3为IEEE14系统中5节点的L_Z指标曲线图；

图4为IEEE14系统中5节点的Lbs指标曲线图；

图5为IEEE14系统中5节点的Lbss指标曲线图；

图6为IEEE14系统中节点4和节点12Lbs随负荷增长变化曲线图；

图7为IEEE14系统中节点4和节点12Lbss随负荷增长变化曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。

实施例

外部系统参数的辨识

本实施例采用IEEE14节点系统作为仿真算例，其中1节点为参考节点，4、5、9、10、11、12、13、14为负荷节点。当负荷节点功率增加时，利用Matpower进行仿真计算可以获得每个负荷节点在不同的负荷增长率λ时的电压相量和电流相量，并作如下假设：假设这些电压和电流相量为负荷节点所配置的PMU装置的测量量，通过含有最小二乘法辨识的改进算法可以获得各个时期每个负荷节点的外部系统等值模型的参数。

以负荷节点5系统的负荷均采用恒功率负荷。由于篇幅的限制，表1只列出了节点5不同时刻对局部网络影响的外部等值电路参数辨识后，再与局部等值网络结合的系统等值模型的参数结果。

表1

λ	Erk	Eik	Rk	Xk
					0.3481	1.0268	-0.0473	0.0327	0.0877
0.6957	1.0232	-0.1047	0.0364	0.0904
					1.0427	1.0165	-0.1640	0.0397	0.0934
1.3889	1.0069	-0.2254	0.0436	0.0970
					1.7341	0.9930	-0.2888	0.0464	0.1006
2.4196	0.9741	-0.3553	0.0489	0.1039
					2.7583	0.9486	-0.4248	0.0504	0.1068
3.0920	0.9167	-0.4988	0.0526	0.1101
					3.3683	0.8728	-0.5767	0.0533	0.1124
3.5898	0.8250	-0.6485	0.0542	0.1144
					3.7603	0.7713	-0.7113	0.0538	0.1148
3.8832	0.7158	-0.7667	0.0533	0.1151
					3.9621	0.6605	-0.8150	0.0530	0.1156
4.0000	0.6013	-0.8523	0.0512	0.1142

负荷等值阻抗指标L_z、第一负荷裕度指标Lbs和第二负荷裕度指标Lbss

在辨识获取了IEEE14系统的5节点处的外部系统参数后，我们就可以得到基于PMU的阻抗指标L_Z、第一负荷裕度指标Lbs和第二负荷裕度指标Lbss，它们随着负荷参数的变化曲线分别如附图3、附图4和附图5所示。

由图可知，随着负荷功率的增加电压稳定指标不断地减小，当达到功率传输极限点时，电压稳定指标值减小到近似为1或0。结合P-V曲线可以看出，电压稳定指标L_Z值的变化情况和节点5处的电压变化情况是相一致的，即该电压稳定指标值能够较好地反应系统节点电压的变化情况，而且指标值距离拐点的距离可以看做该运行点处节点的电压稳定裕度，电压稳定指标值越大，说明距离拐点越远，电压越稳定，越不容易发生电压失稳。

电压稳定预测指标L_VSPI

当以恒定功率因数（标准数据中各节点的功率因数）逐渐增加系统各节点的负荷，直到系统临近崩溃，计算各节点的电压稳定指标Lbs(n)。观察Lbs(n)这个指标的变化曲线。发现节点4和节点12在系统扰动下负荷极限裕度指标Lbs(n)曲线如附图6所示。

可以看出各支路在稳态初始时两节点的负荷极限裕度指标大小不同，其随系统扰动的变化趋势也不同，指标变化过程中出现交叉点。各断面下指标值的绝对大小并不能很好的指示出系统中两节点的电压稳定水平。

由于该指标各节点的消耗功率以及各断面下极限功率都将发生变化，各条支路的指标的变化趋势及变化速度均不同，只用当前一个潮流断面下负荷极限裕度指标的指示效果受该节点在此系统变化方式下的运动趋势的影响，在IEEE14算例仿真分析中也得到了证实。仅计算一个断面所得的节点指标的指示性较差，这使得该指标的推广使用具有一定得局限性。

为了解决此问题，本文提出第二负荷裕度指标Lbss(n)和基于此指标基础上的敏感系数C_sen，进而提出电压稳定预测指标L_VSPI，希望以此可以准确指示负荷节点的稳定性随负荷扰动的变化趋势。

表2为λ＝2.840时Lbss和L_VSPI值，在系统运行到λ＝2.840左右时，节点4的敏感度系数大，电压稳定第二负荷裕度指标值越过节点12的Lbss值成为系统中电压稳定最薄弱的节点。如果系统负荷继续有小幅度增加，节点4的变为电压稳定性较弱的节点。考虑到敏感系数的在线电压稳定预测指标L_VSPI应该要更好更加准确的指示出系统的电压稳定性。

表2

节点	Lbss	LVSPI
			4	0.913	0.897
12	0.913	0.905

在交叉处，表2所示的λ＝2.840时Lbss和L_VSPI可以清楚地看出，Lbss不能反映到两者的稳定差异，但考虑到灵敏系数，用当前断面和前一个断面构造的电压稳定预测指标L_VSPI，可以反映出系统在此负荷扰动方式下电压稳定行的变化趋势，在负荷系数为2.840时可以预测到负荷增长下一步长各支路的电压稳定性，4节点的电压稳定预测指标值低于12节点值，节点4为此方式下电压稳定性较差的弱稳定节点。此分析与附图7指标曲线反应出的趋势相吻合，验证了本文提出的电压稳定预测指标的正确性和准确性。

电压稳定预测指标L_VSPI可以准确的预测一定步长后各节点的电压稳定水平，可以指出第二负荷裕度指标Lbss发生转移的节点，更加准确的找出系统最可能发生电压失稳的节点，为电压稳定的控制争取了时间。

Claims (1)

1.一种解决单时间断面问题的电压稳定预测方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)获得每个负荷节点在不同的负荷增长率λ时的电压相量和电流相量；

2)将电压相量和电流相量作为PMU的测量量，通过含有最小二乘法辨识获得各个时期每个负荷节点的外部系统等值模型的参数；

3)根据外部系统等值模型的参数，通过计算得到阻抗指标L_Z、第一负荷裕度指标Lbs(n)和第二负荷裕度指标Lbss(n)；

4)根据第二负荷裕度指标Lbss(n)和基于第二负荷裕度指标Lbss(n)基础上的敏感系数C_sen，得到电压稳定预测指标L_VSPI；

所述的阻抗指标L_Z计算过程如下：

对于负荷节点n，负荷模型采用恒阻抗模型，则其中Z_n为负荷阻抗，R_n为负荷等效电阻，X_n为负荷等效电抗，阻抗模值为 为负荷节点阻抗角；Z_k为戴维南等值阻抗，Z_k＝R_k+jX_k，R_k为戴维南等值电阻，X_k为戴维南等值电抗，k代表该节点n等值对应的下标号，则戴维南等效电路的阻抗模为E_k为负荷节点电压值；那么负荷所获得的有功功率为：

$P_n=I_n^2{R}_n=\frac{E_k^2}{{(R_k+R_n)}^2+{(X_k+X_n)}^2}{R}_n---\left(1\right)$

由将其代入(1)可得：

由P-V曲线的性质，可知临界点在鼻尖处，那么

令 $\frac{{\mathrm{dP}}_n}{{\mathrm{dR}}_n}=0,$ 得

整理并求解得：

$R_{ncr}^2+X_{ncr}^2=R_k^2+X_k^2$

|Z_ncr|＝|Z_k|(4)

即负荷节点的临界阻抗模|Z_ncr|等于其戴维南等效电路的阻抗模|Z_k|，Z_ncr为负荷节点的临界阻抗，R_ncr为负荷节点的临界电阻，X_ncr为负荷节点的临界电抗；那么负荷等值阻抗指标L_Z，

$L_Z=\frac{\left|Z_{ncr}\right|}{\left|Z_n\right|}=\frac{\left|Z_k\right|}{\left|Z_n\right|}---\left(5\right)$

当L_Z＜1时，系统电压稳定，且阻抗指标值距离1越远表示系统电压越不稳定；当L_Z＞1时，系统电压稳定；当L_Z＝1时，系统处于电压稳定极限；

所述的第一负荷裕度指标Lbs(n)和第二负荷裕度指标Lbss(n)计算如下：

对于负荷节点n，负荷模型采用恒功率模型

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{S}}_n=P_n+{\mathrm{jQ}}_n\\ ={\stackrel{\·}{U}}_n{\stackrel{\·}{I}}^{*}\\ =U_n\∠{\mathrm{\δ}}_n{\left(\frac{E_k\∠{\mathrm{\δ}}_k-U_n\∠{\mathrm{\δ}}_n}{\left|Z_k\right|\∠{\mathrm{\θ}}_k}\right)}^{*}\\ =\frac{1}{\left|Z_k\right|}{U}_n{E}_k\∠(-{\mathrm{\θ}}_k+{\mathrm{\δ}}_n-{\mathrm{\δ}}_k)-\frac{1}{\left|Z_k\right|}{U}_n^2\∠-{\mathrm{\θ}}_k\\ =\frac{1}{\left|Z_k\right|}{U}_n{E}_k\∠(-{\mathrm{\θ}}_k-\mathrm{\δ})-\frac{1}{\left|Z_k\right|}{U}_n^2\∠-{\mathrm{\θ}}_k\end{array}---\left(6\right)$

其中δ_k为系统等效电源的电压相角、δ_n为n节点的节点电压相角、δ＝δ_k-δ_n，为n节点的负荷视在功率、P_n为n节点的负荷有功功率、Q_n为n节点的负荷无功功率、U_n为n节点的节点电压、I为系统等值模型的线电流、θ_k为系统等值模型等值阻抗的阻抗角；

分解P_n和Q_n得

$\left\{\begin{array}{c}{U}_n^2{\mathrm{cos\θ}}_k-E_k\cos ({\mathrm{\θ}}_k-\mathrm{\δ})U_n+P_n\left|Z_k\right|=0\\ U_n^2{\mathrm{sin\θ}}_k-E_k\sin ({\mathrm{\θ}}_k-\mathrm{\δ})U_n+Q_n\left|Z_k\right|=0\end{array}\right.---\left(7\right)$

变形消去δ得

$U_n^4+2\[(P_n{R}_k+Q_n{X}_k)-E_k^2/2\]U_n^2+(P_n^2+Q_n^2){\left|Z_k\right|}^2=0---\left(8\right)$

当式(8)的判别式大于等于0时，即

${\[(P_n{Q}_k+Q_n{X}_k)-E_k^2/2\]}^2-(P_n^2+Q_n^2){\left|Z_k\right|}^2\≥0---\left(9\right)$

时，式(8)有两个实数解

$U_n^2=\[E_k^2/2-(P_n{R}_k+Q_n{X}_k)\±\sqrt{\[(P_n{R}_k+Q_n{X}_k)-E_k^2/2\]-(P_n^2+Q_n^2){\left|Z_k\right|}^2}---\left(10\right)$

由 $(P_n^2+Q_n^2){\left|Z_k\right|}^2\≥0$ 知，

$\[(P_n{R}_k+Q_n{X}_k)-E_k^2/2\]-(P_n^2+Q_n^2){\left|Z_k\right|}^2\≤\[(P_n{R}_k+Q_n{X}_k)-E_k^2/2\],$ 因此只有当时，才能保证有两个正实根，将式(8)改写成如下形式：

$E_k^2/2-\[(P_n{R}_k+Q_n{X}_k)+\left|Z_k\right|\sqrt{(P_n^2+Q_n^2)}\]\≥0---\left(11\right)$

设则 $S_n=\sqrt{P_n^2+Q_n^2},$ 代入式(11)得

那么负荷极限裕度指标Lbs(n)计算如下，

Lbs(n)·S_n为节点n的输出功率极限值，[Lbs(n)-1]·S_n为节点n输出的功率与极限功率之间的距离，即负荷功率裕度；

当Lbs(n)＞1时，节点n输出的功率小于其输出极限功率，节点电压稳定，不会发生电压崩溃；当Lbs(n)＝1时，节点n输出的功率等于其输出极限功率，节点电压处于电压崩溃的临界状态；

比较整个系统各个节点的Lbs(n)指标值，就能得到整个系统的最薄弱节点，该节点的Lbs(n)值最小，且最接近于1，把该节点的Lbs(n)指标值作为整个系统的电压稳定指标值；

由公式(11)可知，节点n的输出极限功率S_ncr为

那么定义节点n的负荷极限裕度指标Lbss(n)，为区分Lbs(n)，把Lbs(n)称为第一负荷裕度指标，Lbss(n)称为第二负荷裕度指标

所述的电压稳定预测指标L_VSPI计算如下：

通过各负荷节点的敏感系数来分析电压稳定预测指标，敏感系数即指标Lbss(n)对功率求导数：

式中，d为求导数符号，考虑系统负荷增大的扰动方式，负荷节点电压会降低，降低得越小，敏感度系数的数值越大；

采用两个时间断面的数据，即t-1和t时刻的数据，用离散的Lbss(n)数据差对功率差值的比值来构造此敏感系数如下式形式：

$C_{sen}^t=\frac{Lbss{\left(n\right)}^t-Lbss{\left(n\right)}^{t-1}}{S_n^t-S_n^{t-1}}---\left(17\right)$

式中，Lbss(n)^t、分别为在时间断面t下负荷节点n的电压稳定指标和负荷节点n的视在功率模值，Lbss(n)^t-1、分别为在时间断面t-1下负荷节点n的电压稳定指标和负荷节点n的视在功率模值；

用当前断面的负荷极限裕度指标和敏感系数来构造电压稳定预测指标：

$L_{VSPI}\left(n\right)=Lbss{\left(n\right)}^t+C_{sen}^t\·\mathrm{\Δ}S---\left(18\right)$

式中，其中Lbss(n)^t为在时间断面t下负荷极限裕度指标，为在时间断面t下敏感系数，ΔS为预测的视在功率模值步长。