CN104932488B - 一种模型预测控制性能评估与诊断方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种模型预测控制性能评估与诊断方法，包括：计算系统实时性能值J_i及其平均形式J_new；选取一段数据集作为历史性能基准值将J_new与作比得到系统性能指标如果值接近1判定系统性能良好，如果值接近0则转到下一步；计算干扰误差e⁰(k)、预测误差e(k)、模型质量指标η，如果η值接近1则判定引起系统性能下降的原因是外部因素或控制器因素；否则判定系统模型失配转向下一步；检测信息序列e(k)的自相关性，如果e(k)存在自相关性则转到下一步，否则判定模型匹配度良好；最小的损失函数对应的n即为e(k)的阶级，当e(k)的阶级大于过程模型的阶级时则判定过程模型失配，否则判定干扰模型失配。本发明仅需闭环输入输出数据，就可对系统整体性能进行评估，可对系统性能恶化源进行定位。

Description

一种模型预测控制性能评估与诊断方法

技术领域

本发明涉及一种模型预测控制性能评估与诊断方法，属于工业预测控制性能监控技术领域。

背景技术

模型预测控制是当前流程工业中应用非常广泛的一种先进控制，是企业实现安全、高效、优质、低耗、环保的重要保障，特别是在化工、冶金、炼油和电力等复杂工业过程中尤受企业的青睐。这主要得益于其以下几点优势：(1)该算法采用基于模型、滚动优化结合反馈校正的开放式优化控制策略；(2)在处理多变量过程中含有约束、时滞等问题时表现出较大优势；(3)具有隐式解耦能力，可以免除解耦控制、分散控制带来的诸多问题；(4)模型预测控制(简称MPC)具有较好的控制效果和较强的鲁棒性，可以有效克服过程的非线性、不确定性及关联性等问题。这些特点，使得MPC成为工业过程中介于基础控制级与优化调度级之间极其重要的一环。

然而，模型预测控制也有其弊端，在实际工业应用中，控制器在初始的运行阶段一般有较好的性能，但在系统运行一段时间之后，受各方面因素影响，其性能会逐渐变差，这将直接影响产品质量、产量以及生产维护成本的增加等一连串的问题，使企业遭受巨大损失。

针对上述问题，通常有两种解决方案：(1)控制理论这一领域内的学者们重点研究了自适应预测控制、鲁棒预测控制，进而给出了一些新型的算法，但该领域的研究比较困难且进展缓慢；(2)从控制系统的可维护性这一角度出发，提出方便易行的控制器性能实时监控理论方法。通过对系统的性能评价及时发现系统性能是否在恶化，并提供性能恶化程度的参考指标，进而对恶化源进行定位，为系统性能的维护工作提供指导。

随着科技的发展，现今已是一个数据化的时代。在实际工业过程中，由于无法得到准确的过程模型，人们期望通过对系统长期记录的I/O数据进行分析得到系统性能的运行情况，历史目标函数基准的评估方法孕育而生。理想的历史目标函数基准需要选取一段系统运行良好状态下的数据集，这就需要通过先验知识来指导。面对越来越复杂的生产工艺及设备，精准的过程模型越来越难获取，人们希望通过生产长期积累的大量数据来获取有用的信息，从而实现对生产过程的监视与控制，这既是目前亟待解决的现实工业问题，也是未来发展的大势所趋。因此，数据驱动的控制器性能评价与监控有着重大意义。

发明内容

针对现有技术存在的不足，本发明目的是提供一种模型预测控制性能评估与诊断方法，本发明只利用生产过程运行数据而不影响生产过程正常运行，能够给出模型整体性能评估指标，并且在诊断出系统性能下降的恶化源后，为预测控制系统的维护提供依据，从而减少工作量，节约成本。

为了实现上述目的，本发明是通过如下的技术方案来实现：

本发明的一种模型预测控制性能评估与诊断方法，包括以下几个步骤：

步骤1：根据先验知识求出历史性能基准值(理想的历史目标函数基准是利用系统运行状况较好时记录的数据分析得到，系统运行良好状态下的数据集需要通过先验知识来指导，先验知识由本领域专家提供的)；计算系统实时性能值J_i(系统的实时性能值则通过系统实时运行数据分析得到，与历史性能基准值选取的数据集不同)，并取其平均形式记作J_new；

步骤2：根据表征历史数据集选取好坏程度的指标φ代替传统方法的先验知识，选取出一段使系统理想程度最高的数据集作为历史性能基准值

步骤3：将步骤1得到的J_new与步骤2得到的作比得到系统性能指标的取值区间为(0,1)，如果值接近1，则判定系统性能良好，如果值接近0，则转到步骤4；

步骤4：先根据干扰的反馈不变性，分析一个MIMO系统，然后由系统的实际输入输出，计算出系统的干扰误差e⁰(k)，再由系统的实际输出与预测模型输出求出预测误差e(k)，并得出模型质量指标η，η的取值区间为(0,1)，如果η值接近1，表明预测模型与实际过程模型匹配度越高，则判定引起系统性能下降的原因是外部因素或者控制器因素；否则，判定系统模型失配，转向步骤5；

步骤5：采用自相关函数c(lag)的表达式并进行自相关性的检测，该检测可以通过在自相关函数中构建置信区间来实现，这些置信区间是在信息序列来自一个基于N个样本的正态分布的假设构建的(采用95％的置信区间)，根据超出置信区间的采样点比例检测预测误差e(k)的自相关性，如果e(k)存在自相关性，则转到步骤6，否则判定模型匹配度良好；

步骤6：设r＝n+1，其中，r为系统的上限，中，n为阶级，当n＝1,2…,n_max，采用数字子空间状态空间系统辨识N4SID算法计算n每一个取值对应的损失函数，最小的损失函数对应的n即为e(k)的阶级；当e(k)的阶级大于过程模型的阶级时，则判定过程模型失配，否则判定干扰模型失配。

上述系统实时性能值J_i及平均形式J_new计算方法如下：

所述系统实时性能值：

其中，r_i为设定值，y_i为输出值，Δu_i为输入增量，Q和R分别为误差和控制作用权重矩阵；

平均形式为：

其中，N是数组的个数，i为样本理想程度最高的点；

上述自定义的指标φ及历史性能基准值如下：

所述自定义的指标φ表征历史数据集选取的好坏程度，φ的定义如下：

其中，M为系统理想的基准值个数,λ为权重系数，在任意长度的数据中，根据式(1)每M个采样点计算一次φ_i，遍历所有的φ_i，取其最小值的序号并记作i^*，此时，取i^*至i^*+M-1之间的所有采样点数据作为历史数据集；

所述历史性能基准值可以表达为：

其中，k为整个数据库中所有φ_i的个数。

步骤3中，所述系统性能指标如下：

步骤4中，所述干扰误差e⁰(k)的计算方法如下：

考虑一个线性时不变控制的MIMO系统，假设y(k)是一个单闭环输出，则：

y(k)＝(I+G⁰G_c)^-1G⁰G_cr(k)+(I+G⁰G_c)^-1H⁰e⁰(k) (7)

其中，I为单位矩阵，G⁰为实际过程对象模型，G_c为预测控制器，r(k)为参考轨迹，H⁰为实际过程干扰模型，e⁰为实际的过程误差；

由式(7)得到单步预测输出

定义：

其中，H_i为第i个采样点的干扰，q为后移算子；

其中，G_i为第i个采样点的过程模型；

则：

取M′和N′为无穷大，则式(9)为一稳定的高阶ARX(HOARX)模型，e⁰(k)可由式(9)得到，令：

其中，p是数据窗口大小，H₁为第1个采样点的干扰，G₁为第1个采样点的过程模型；

定义：

式(11)为行空间正交补的投影，对于一个由线性时不变控制的线性过程，干扰误差可由式(10)的正交投影得，

引出QR分解：

其中，R为下三角矩阵，Q为正交阵；

又因为Q₁与Q₂的行是正交的，有：

其中，是行空间正交补的投影；

所以式(12)可以写成：

步骤4中，所述预测误差e(k)的计算方法如下：

假设模型预测控制中过程对象与干扰模型为如下形式：

y(k)＝G_m(q)u(k)+H(q)e(k) (15)

其中，G_m为预测控制模型，q为后移算子，u(k)为系统的输入，H为预测干扰模型；

单步预测输出与预测误差为：

由于模型不匹配，e(k)与e⁰(k)是不等的，如果G_m(q)与H(q)均无失配情况，则e(k)＝e⁰(k)，由于模型失配，考虑一个线性时不变控制控制器下的MIMO系统，

定义：

T_Gm＝(I+G_mG_c)^-1G_mG_c

T_H＝(I+G_mG_c)^-1H

则有：

其中，

步骤4中，所述预测误差e(k)的计算方法如下：

所述模型质量指标η为

其中，Q是在模型预测控制设计阶段选取的输出权重系数，L是评估阶段的数据长度。

步骤5中，自相关函数c(lag)如下：

对于一个SISO过程，卡尔曼滤波的预测误差是一个标量时间序列，自相关函数可由一个长度为D，滞后已知的时间序列计算，其自相关函数采用如下公式：

其中，lag＝0,1,2,…m，m为用来检测自相关性的点的数目，为序列的平均值。

步骤6中，损失函数表达式如下：

E[e(k)*e(k+lag)] (19)

本发明仅需常规闭环输入输出数据，就可以对系统整体性能进行评估，并且提高精度，可以量化系统的模型匹配度，而且可以对系统性能的恶化源进行定位。

附图说明

图1是本发明的工作流程图；

图2是本发明精确的对象模型和干扰模型下的γ^*的曲线走势；

图3是本发明干扰模型失配下的γ^*的曲线走势；

图4是本发明过程模型失配下的γ^*的曲线走势；

图5是第一个变量MPC系统预测误差自相关函数(无过程或干扰模型失配)；

图6是第二个变量MPC系统预测误差自相关函数(无过程或干扰模型失配)；

图7是第一个变量MPC系统预测误差自相关函数(干扰模型失配)；

图8是第二个变量MPC系统预测误差自相关函数(干扰模型失配)；

图9是本发明多入多出MPC系统预测误差的阶级判定(干扰模型失配)；

图10是第一个变量MPC系统预测误差自相关函数(过程模型失配)；

图11是第二个变量MPC系统预测误差自相关函数(过程模型失配)；

图12是本发明多入多出MPC系统预测误差的阶级判定(过程模型失配)。

具体实施方式

为使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，下面结合具体实施方式，进一步阐述本发明。

本发明首先针对模型预测控制器一般无法达到最小方差基准及关联矩阵计算的复杂性等局限，该方法通过系统基准性能与实时性能的比值获得系统性能情况，并且仅需常规闭环输入输出数据，解决了以往历史性能基准需要先验知识得到一段运行良好数据的弊端，具体系统性能指标为下式：

其中

的取值区间为(0，1)，当值接近1，判定系统系能较好，无需进行诊断维护；否则，判定系统性能存在问题，需要进一步诊断。

接着采用一种基于数据的预测模型性能评估方法。首先根据干扰的反馈不变性，分析一个MIMO系统，然后由系统的实际输入输出求出干扰误差，再由系统的实际输出与预测模型输出求出预测误差，并定义出模型性能的评估标准，如下式：

其中，Q是在MPC设计阶段选取的输出权重系数，N是评估阶段的数据长度。干扰误差e⁰(k)可由常规的被控变量y(k)和操纵变量u(k)得到，预测误差e(k)可由预测模型和系统实际输出y(k)得到。新的模型质量指标η的范围在(0，1)。如果η值接近1，表明预测模型与实际过程模型匹配度越高，则判定引起系统性能下降的原因是外部因素或者控制器因素；否则，判定系统模型失配，进行下一步诊断。

最后针对预测模型性能下降，进一步研究了过程模型和干扰模型失配的判别方法。模型失配包括过程模型失配和干扰模型失配，分析两种失配情况，通过监视Kalman滤波序列检测其自相关性来评估系统的运行状况，再通过确定预测误差的阶级可判断模型失配的引发因素。如果预测误差e(k)的阶级高于n时，则判定为过程模型失配；否则，判定为干扰模型失配。

参见图1，本发明具体包括如下几个步骤：

步骤1：根据传统历史性能计算系统实时性能值J_i，并取其平均形式记作J_new，使系统性能的变化情况可以更直观的监控到；

步骤2：采用改进的历史性能基准对系统整体性能进行评估，根据自定义的指标φ代替传统方法的先验知识，选取出一段系统运行良好的数据集作为历史性能基准值

步骤3：将步骤1得到的与步骤2得到的J_new作比得到系统性能指标的取值区间为(0,1)，如果值接近0，则转到步骤4，否则判定系统性能良好；

步骤4：根据公式推导计算出系统的干扰误差e⁰(k)以及预测误差e(k)，并得出模型质量指标η，η的取值区间为(0,1)，同样η的值接近0，则转到步骤5，否则判定性能恶化源为外部因素或者控制器因素；

步骤5：采用自相关函数c(lag)的表达式并通过构建95％的置信区间，检测信息序列e(k)的自相关性，如果e(k)存在自相关性，则转到步骤6，否则判定模型匹配度良好；

步骤6：设r＝n+1，当n＝1,2…,n_max，采用N4SID算法计算n每一个取值对应的损失函数，最小的损失函数对应的n即为e(k)的阶级；当e(k)的阶级大于过程模型的阶级时，则判定过程模型失配，否则判定干扰模型失配。

步骤1中，传统历史性能计算系统实时性能值J_i及平均形式如下：

传统历史性能计算系统实时性能值：

平均形式为：

步骤2中，自定义的指标φ及历史性能值如下：

1.自定义指标φ表征历史数据集选取的好坏程度，φ的定义如下：

其中λ为权重系数(λ的大小可根据实际系统的情况选取，当系统对输出值的幅值变化要求不高时，λ可以取较小的数值；而当系统对输出值的幅值变化要求比较苛刻时，λ应该取较大的数值)。在任意长度的数据中，根据式(1)每M个采样点计算一次φ_i，遍历所有的φ_i，取其最小值的序号并记作i^*，此时，取i^*至i^*+M-1之间的所有采样点数据作为历史数据集。

2.改进的历史目标函数基准可以表达为：

步骤3中，系统性能指标如下：

步骤4中，系统的性能指标η以及其推导如下：

1.模型质量指标为：

其中，Q是在MPC设计阶段选取的输出权重系数，N是评估阶段的数据长度。干扰误差e⁰(k)可由常规的被控变量y(k)和操纵变量u(k)得到，预测误差e(k)可由预测模型和系统实际输出y(k)得到。新的模型质量指标η的范围在(0，1)。η越接近1表明预测模型与实际过程模型匹配度越高。

2.干扰误差

考虑一个线性时不变控制(LTI)的MIMO系统，假设y(k)是一个单闭环输出，则：

y(k)＝(I+G⁰G_c)^-1G⁰G_cr(k)+(I+G⁰G_c)^-1H⁰e⁰(k) (7)

由式(7)容易得到单步预测输出

定义：

则：

取M和N为无穷大，则式(9)为一稳定的高阶ARX(HOARX)模型，e⁰(k)可由式(9)得到，令：

其中p是数据窗口大小

定义：

式(11)为行空间正交补的投影，对于一个由LTI控制的线性过程，干扰误差可由式(10)的正交投影得。

为了使计算更可靠有效，引出QR分解：

又因为Q₁与Q₂的行是正交的，有：

所以式(12)可以写成：

这里只需要计算矩阵R₂₁和R₁₁，其大小与采样数据的数量无关，而不需要计算矩阵Q。

3.预测误差

假设MPC中过程对象与干扰模型为如下形式：

y(k)＝G_m(q)u(k)+H(q)e(k) (15)

单步预测输出与预测误差为：

可以看出，由于模型不匹配，e(k)与e⁰(k)是不等的，如果G_m(q)与H(q)均无失配情况，则e(k)＝e⁰(k)。由于模型失配，尽管由于反馈导致e(k)与e⁰(k)的关系是很复杂的，但依然可以用e⁰(k)来估计e(k)。

考虑一个LTI控制器下的MIMO系统。

定义：

T_Gm＝(I+G_mG_c)^-1G_mG_c

T_H＝(I+G_mG_c)^-1H

则有：

步骤5中，自相关函数c(lag)如下：

对于一个SISO过程，卡尔曼滤波的预测误差是一个标量时间序列。自相关函数可由一个长度为N滞后已知的时间序列计算，其自相关函数采用如下公式：

其中，lag＝0,1,2,…m，为序列的平均值。

步骤6中，损失函数如下：

通过Matlab System Identification Toolbox中的N4SID函数得出哪一个模型阶级可使其得出最小的损失函数，从而来确定其阶级，损失函数表达式如下：

E[e(k)*e(k+lag)] (19)

实验仿真与分析：

本发明提出的预测控制性能评估与诊断方法在Wood-Berry蒸馏塔进行了仿真实验。该过程的传递函数矩阵G(s)来自参考文献R.K.Wood,M.W.Berry,Terminalcomposition control of a binary distillation column,Chemical EngineeringScience 28(1973)1707–1717中。

回流量与蒸汽流量为该过程的输入变量(操作变量)，分别记为u₁和u₂，单位lb/min，塔顶和塔底产品组分为两个被控变量，分别记为y₁和y₂，单位mol％。假定采样周期为1s，离散化后过程传递函数矩阵G^o(q)为：

假定实际干扰过程模型H^o(k)为：

干扰为满足N(0,0.02)的高斯白噪声，无约束。MPC预测时域和控制时域分别选为100和10。权重矩阵Q和R均为单位矩阵。两个输出变量设定值分别为

按照前述步骤分不同情况进行试验。

情况1：精确的对象模型和扰动模型，在系统正常运行的情况下，每100个点计算一次φ_i，遍历所有的φ_i找到其最小值并将其序号记作i^*。性能监控指标γ^*的值也在1附近(如图2)，系统控制性能良好；

情况2：考虑干扰模型失配这种情况，当系统运行至1500个采样点时，将干扰模型改变为如下形式，其他操作参数正常：

由图3可以看出γ^*的值在1500点左右开始变小，其变化范围是0.7～1，变化非常明显。

情况3：考虑过程模型失配这种情况，当系统运行至1500个采样点时，将过程模型改变为如下形式，其他操作参数正常：

由图4可以看出，系统性能的变化情况非常明显，γ^*的变化范围是0.3～1。

情况4：将情况2细分，如下干扰模型：

对干扰模型失配进行仿真，其具体的参数变化如下表：

表1在对象模型匹配情况下的干扰模型评估

由表1可以看出，在对象模型相匹配情况下，如果干扰模型也相匹配，即第一组数据，则η接近1；如果干扰模型失配，且是CV1失配，如第二组数据与第五组数据，可以看出模型失配越严重，则η越接近0，分析CV2同样可得。

情况5：将情况3细分

(1)对象模型增益失配时，即：

(2)对象模型时间常数失配时，即：

(3)对象模型时滞失配时，即：

表2在干扰模型匹配下的对象模型评估

由表2可以看出，在干扰模型相匹配情况下，如果对象模型失配，且是增益失配，如第一组数据，可以看出增益失配越严重，则η越接近0；如果是时间常数失配，如第二组数据，同样可以看出增益失配越严重，则η越接近0；对于时滞失配，如第三组数据同样可得。

情况6：将所提方法应用于一个阶级为4二输入二输出的MIMO过程，其具体参数如下：

噪声特性为Q_w＝0.25I₄，R_v＝0.25I₂，其中该MIMO过程的其中一个输入量存在约束，此输入约束为一个大小为30的确定性负载扰动。MPC的设置参数为：N_u＝N_y＝5，Q＝I₄，R＝I₂，终端惩罚通过求解里卡蒂方程获取。

选取1000个点来计算预测误差的自相关函数，其自相关函数计算的运行如图5和图6所示。可以看出，第一个输出量的100个滞后点中，有3个点超出了95％的置信区间，而第二个输出量中有2个点超出了95％的置信区间，2个输出量超出置信区间的点都不多，并且幅度不大，认为两个预测误差均不存在自相关。

情况7：考虑MIMO系统的干扰模型失配情况，当系统出现干扰模型失配时(过程模型正常)，其具体描述如下：

R_v＝0.25I₂ R_kf＝0.25I₂

其自相关性函数检测如图7和图8所示，可以看出在初始位置第一个输出量有3个点明显超出了95％的置信区间，第二个输出量也是在初始位置存在非常高的自相关性，认为这种情况下，两个序列都存在自相关性。

通过各个阶级状态空间模型的损失函数的计算来确定预测误差的阶级，如图9所示。可以看出损失函数的最小值出现在阶级为2的点，其阶级比过程模型的低，因此，判定控制系统存在干扰模型失配，干扰模型的参数需要重新估算。

情况8：接着考虑MIMO系统过程模型失配的情况，将过程模型改成如下形式，使其出现过程模型失配：

其自相关性函数检测如图10和11所示，可以看出第一个输出量有11个点超出了95％的置信区间，并且在初始位置有5个密集的点远远超出范围。认为这种情况下，预测误差存在自相关性。

接着观察自相关性函数检测如图12所示，最小值出现在哦阶级为8的点，其阶级高于阶级为4的过程模型，因此，判定系统存在过程模型失配。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。

Claims (9)

1.一种模型预测控制性能评估与诊断方法，包括以下几个步骤：

步骤1：根据先验知识求出历史性能基准值；计算系统实时性能值J_i，并取其平均形式记作J_new；

步骤2：根据表征历史数据集选取好坏程度的指标φ代替传统方法的先验知识，选取出一段使系统理想程度最高的数据集作为历史性能基准值

其特征在于，还包括

步骤3：将步骤1得到的J_new与步骤2得到的作比得到系统性能指标 的取值区间为(0,1)，如果值接近1，则判定系统性能良好，如果值接近0，则转到步骤4；

步骤4：先根据干扰的反馈不变性，分析一个MIMO系统，然后由系统的实际输入输出，计算出系统的干扰误差e⁰(k)，再由系统的实际输出与预测模型输出求出预测误差e(k)，并得出模型质量指标η，η的取值区间为(0,1)，如果η值接近1，表明预测模型与实际过程模型匹配度越高，则判定引起系统性能下降的原因是外部因素或者控制器因素；否则，判定系统模型失配，转向步骤5；

步骤5：采用自相关函数c(lag)的表达式并进行自相关性的检测，该检测可以通过在自相关函数中构建置信区间来实现，这些置信区间是在信息序列来自一个基于N个样本的正态分布的假设构建的，根据超出置信区间的采样点比例检测预测误差e(k)的自相关性，如果e(k)存在自相关性，则转到步骤6，否则判定模型匹配度良好；

步骤6：设r＝n+1，其中，r为系统的上限，n为阶级，当n＝1,2…,n_max，采用数字子空间状态空间系统辨识N4SID算法计算n每一个取值对应的损失函数，最小的损失函数对应的n即为e(k)的阶级；当e(k)的阶级大于过程模型的阶级时，则判定过程模型失配，否则判定干扰模型失配。

2.根据权利要求1所述的模型预测控制性能评估与诊断方法，其特征在于，步骤1中，所述系统实时性能值J_i及平均形式J_new计算方法如下：

所述系统实时性能值：

其中，r_i为设定值，y_i为输出值，Δu_i为输入增量，Q和R分别为误差和控制作用权重矩阵；

平均形式为：

其中，N是数组的个数，i为样本理想程度最高的点。

3.根据权利要求2所述的模型预测控制性能评估与诊断方法，其特征在于，步骤2中，自定义的指标φ及历史性能基准值如下：

自定义的指标φ表征历史数据集选取的好坏程度，φ的定义如下：

其中，M为系统理想的基准值个数,λ为权重系数，在任意长度的数据中，根据式(1)每M个采样点计算一次φ_i，遍历所有的φ_i，取其最小值的序号并记作i^*，此时，取i^*至i^*+M-1之间的所有采样点数据作为历史数据集；

历史性能基准值可以表达为：

其中，k为整个数据库中所有φ_i的个数。

4.根据权利要求3所述的模型预测控制性能评估与诊断方法，其特征在于，步骤3中，所述系统性能指标如下：

5.根据权利要求1所述的模型预测控制性能评估与诊断方法，其特征在于，步骤4中，所述干扰误差e⁰(k)的计算方法如下：

考虑一个线性时不变控制的MIMO系统，假设y(k)是一个单闭环输出，则：

y(k)＝(I+G⁰G_c)^-1G⁰G_cr(k)+(I+G⁰G_c)^-1H⁰e⁰(k) (7)

其中，I为单位矩阵，G⁰为实际过程对象模型，G_c为预测控制器，r(k)为参考轨迹，H⁰为实际过程干扰模型，e⁰为实际的过程误差；

由式(7)得到单步预测输出

定义：

其中，H_i为第i个采样点的干扰，q为后移算子；

其中，G_i为第i个采样点的过程模型；

则：

取M′和N′为无穷大，则式(9)为一稳定的高阶ARX(HOARX)模型，e⁰(k)可由式(9)得到，令：

其中，p是数据窗口大小，H₁为第1个采样点的干扰，G₁为第1个采样点的过程模型；

定义：

式(11)为行空间正交补的投影，对于一个由线性时不变控制的线性过程，干扰误差可由式(10)的正交投影得，

引出QR分解：

其中，R为下三角矩阵，Q为正交阵；

又因为Q₁与Q₂的行是正交的，有：

其中，是行空间正交补的投影；

所以式(12)可以写成：

6.根据权利要求5所述的模型预测控制性能评估与诊断方法，其特征在于，步骤4中，所述预测误差e(k)的计算方法如下：

假设模型预测控制中过程对象与干扰模型为如下形式：

y(k)＝G_m(q)u(k)+H(q)e(k) (15)

其中，G_m为预测控制模型，q为后移算子，u(k)为系统的输入，H为预测干扰模型；

单步预测输出与预测误差为：

由于模型不匹配，e(k)与e⁰(k)是不等的，如果G_m(q)与H(q)均无失配情况，则e(k)＝e⁰(k)，由于模型失配，考虑一个线性时不变控制控制器下的MIMO系统，

定义：

T_H＝(I+G_mG_c)^-1H

则有：

其中，

7.根据权利要求6所述的模型预测控制性能评估与诊断方法，其特征在于，步骤4中，所述预测误差e(k)的计算方法如下：

所述模型质量指标η为

其中，Q是在模型预测控制设计阶段选取的输出权重系数，L是评估阶段的数据长度。

8.根据权利要求7所述的模型预测控制性能评估与诊断方法，其特征在于，步骤5中，自相关函数c(lag)如下：

对于一个SISO过程，卡尔曼滤波的预测误差是一个标量时间序列，自相关函数可由一个长度为D，滞后已知的时间序列计算，其自相关函数采用如下公式：

其中，lag＝0,1,2,…m，m为用来检测自相关性的点的数目，为序列的平均值。

9.根据权利要求8所述的模型预测控制性能评估与诊断方法，其特征在于，步骤6中，损失函数表达式如下：

E[e(k)*e(k+lag)] (19)。