CN104915931A - 基于压缩感知理论的自适应光学波前信号去噪方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于压缩感知理论的自适应光学波前信号去噪方法，其包括对自适应光学波前信号建立数学模型，设计由仿真生成的波前信号及噪声信号构成的训练波前信号，将所述训练波前信号作为构造字典的训练样本；采用K-SVD算法对所述训练波前信号通过训练来构造一个过完备K-SVD字典；基于所构造的K-SVD字典，对所述光学波前信号的数学模型采用基于l₀-范数优化的压缩感知信号算法，进行波前信号的稀疏分解，在远小于Nyquist采样率的条件下，获取该光学波前信号在K-SVD字典下稀疏表示的估计，由该稀疏表示的估计和K-SVD字典的乘积重构得到时域波前信号，去除噪声，并简化庞大的自适应光学系统，降低成本，拓展自适应光学系统的应用领域。

Description

基于压缩感知理论的自适应光学波前信号去噪方法

技术领域

本发明涉及一种自适应光学波前信号去噪方法，尤其涉及一种基于l₀-范数优化的压缩感知理论的自适应光学波前信号去噪方法，属于图像处理领域。

背景技术

自适应光学(adaptive optics，AO)是实时补偿由大气湍流或其他因素造成的成像过程中波前畸变的技术，其中波前信号的探测决定了整个自适应光学系统的补偿矫正能力。波前信号总是受到天光背景及仪器(光学系统与探测器)和光传播媒介的“污染”，造成观测精度降低，严重影响自适应光学系统的矫正能力，需要的自适应光学系统庞大而复杂，成本高企。现有技术中存的缺陷和不足影响了自适应光学的拓展应用，因此亟需开发一种自适应光学系统简单的成本低的采样率小于Nyquist采样率的条件的自适应光学波前信号去噪方法。

发明内容

本发明的目的是采用K-SVD算法和压缩感知采样理论对自适应光学波前信号去噪，对波前信号及噪声进行训练构造一个普遍适用的过完备字典，满足重构误差在设置值范围内的同时，在该稀疏字典下，基于所构造的K-SVD字典，从压缩感知观测和波前信号相似性出发，采用压缩感知理论中基于l₀-范数优化的信号重构算法，得到波前信号在该字典下稀疏表示的估计，将噪声去除。为了实现前述目的，本发明提供了一种基于压缩感知理论的自适应光学波前信号去噪方法。

本发明的技术方案是提供一种基于压缩感知理论的自适应光学波前信号去噪方法，其设计要点在于，包括以下步骤：

步骤1，对自适应光学波前信号建立数学模型；设计由仿真生成的波前信号及噪声信号构成的训练波前信号，将所述训练波前信号作为用于构造字典的训练样本；

步骤2，采用K-SVD算法对所述训练波前信号通过训练来构造一个普遍适用的过完备字典，称之为K-SVD字典；

步骤3，基于所构造的K-SVD字典，对所述光学波前信号的数学模型采用基于l₀-范数优化的压缩感知信号算法，进行波前信号的稀疏分解，在远小于Nyquist采样率的条件下，获取该光学波前信号在K-SVD字典下稀疏表示的估计，由该稀疏表示的估计和K-SVD字典的 乘积重构得到所述光学波前信号的去除噪声的时域波前信号。

在应用中，本发明还有如下进一步优选的技术方案。

进一步地，所述步骤1中的对自适应光学波前信号建立数学模型，具体包括：

自适应光学波前信号通常采用高斯光斑近似表达，其光能分布表达式如下式所示

$f_T(x,y)=\frac{V_0}{2\mathrm{\π}{\mathrm{\σ}}_A^2}\exp [-{\left(\frac{x-x_0}{\sqrt{2}{\mathrm{\σ}}_A}\right)}^2-{\left(\frac{y-y_0}{\sqrt{2}{\mathrm{\σ}}_A}\right)}^2]$

式中σ_A表示信号的等效高斯宽度，V₀表示信号的峰值强度，(x₀，y₀)表示信号中心点的坐标。

进一步地，所述步骤3中的进行波前信号的稀疏分解，具体包括：

S1，波前信号稀疏性编码，波前信号具有高度稀疏性，对其进行稀疏采样，只保留描述原始信号主要特征的稀疏系数；

波前信号y_i由K个原子的线性组合来近似表达，K-SVD训练算法的稀疏模型表示为

$\begin{array}{cc}\hat{x}=\arg \underset{x}{\min }{\left|\right|x_i\left|\right|}_0& s.t.\left|\right|y_i-D{x}_i\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ}\end{array}---\left(1\right)$

常写成

$\hat{x}=\arg \underset{x}{\min }{\left|\right|y_i-{\mathrm{Dx}}_i\left|\right|}_2^2+\mathrm{\μ}{\left|\right|x_i\left|\right|}_0---\left(2\right)$

其中||x_i||₀＜L＜＜N为稀疏表示中非零分量的数量的上限；

S2，K-SVD算法的原理是在一组基下，获得信号y的一个近似稀疏系数表示x；基于固定的稀疏系数矩阵X和字典D，然后对字典D进行更新，将要进行更新字典D的第k列d_k，令稀疏系数矩阵X中d_k所对应的第k行记为则

${\left|\right|Y-\mathrm{DX}\left|\right|}_F^2={\left|\right|Y-\underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{d}_j{x}_T^j\left|\right|}^2={\left|\right|(Y-\underset{j\≠k}{\mathrm{\Σ}}{d}_j{x}_T^j)-d_k{x}_T^k\left|\right|}^2={\left|\right|E_k{\mathrm{\Ω}}_k-d_k{x}_T^k{\mathrm{\Ω}}_k\left|\right|}_F^2={\left|\right|E_R^k-d_k{x}_R^k\left|\right|}_F^2---\left(3\right)$

上式中DX被分解成K个秩为1的矩阵的和，假设其中K-1项固定，则需要处理的第K项；做SVD分解，则令为U的第1列，则为d_k更新的结果，同时，V的第一列和Δ(1，1)的乘积更新再逐列更新完成后用新的字典做稀疏系数分解，直至达到迭代结束的条件。

进一步地，所述步骤2中的过完备字典的构造，是通过迭代方式实现字典的更新，需使 字典满足式 $\underset{{\mathrm{\γ}}_1}{\min }{\left|\right|{\mathrm{\γ}}_1\left|\right|}_{0}s.t.{\left|\right|x_{\mathrm{train}}-\mathrm{Q\γ}\left|\right|}_2\≤\mathrm{\ϵ},$ 具体包括以下步骤：

SB1，稀疏分解：保持第j-1次迭代得到的字典Qj-1不变，训练信号X_train在Qj-1下的稀疏表示为采用匹配追踪或者正交匹配追踪算法求解其中，j表示第j次迭代；

SB2，字典更新：保持不变，使得||X_trair-Qγ||₂最小，采用K_SVD算法对字典Q_j-1逐列进行更新。

本发明采用K-SVD算法和压缩感知采样理论对自适应光学波前信号去噪。构造由仿真生成的波前信号及噪声信号所构成的训练波前信号，通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，将该训练波前信号作为用于构造字典的训练样本，并通过训练构造一个普遍适用的稀疏的过完备字典，称之为K-SVD字典。满足重构误差在设置值范围内的同时，在该稀疏字典下，基于所构造的K-SVD字典，从压缩感知观测和光学波前信号相似性出发，采用压缩感知理论中基于l₀-范数优化的信号重构算法，得到波前信号在该字典下稀疏表示的估计，通过非线性重构算法重构得到时域波前信号，达到去除噪声的目的，并简化庞大的自适应光学系统，降低成本，拓展自适应光学系统的应用领域。

有益效果

通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，获取该光学波前信号在K-SVD字典下稀疏表示的估计，由该稀疏表示的估计和K-SVD字典的乘积重构得到所述光学波前信号的去除噪声的时域波前信号，达到去除噪声的目的，并简化庞大的自适应光学系统，降低成本，拓展自适应光学系统的应用领域。

附图说明

图1模拟理想光斑图像及灰度分布图。

图2均匀天光背景对波前信号的影响及其灰度图。

图3系统噪声对光斑图像影响及其灰度图。

图4基于K-SVD字典的波前信号去噪原理框图。

图5波前信号去噪原理流程图。

图6K-SVD算法流程图。

具体实施方式

为了阐明本发明的技术方案及技术目的，下面结合附图及具体实施方式对本发明做进一 步的介绍。

本发明的一种基于压缩感知理论的自适应光学波前信号去噪方法，如图4-6所示，具体包括：对自适应光学波前信号建立数学模型，设计由仿真生成的波前信号及噪声信号构成的训练波前信号，将所述训练波前信号作为用于构造字典的训练样本。采用K-SVD算法对所述训练波前信号通过训练来构造一个普遍适用的过完备字典，称之为K-SVD字典。基于所构造的K-SVD字典，对所述光学波前信号的数学模型采用基于l₀-范数优化的压缩感知信号算法，进行波前信号的稀疏分解，获取该光学波前信号在K-SVD字典下稀疏表示的估计，由该稀疏表示的估计和K-SVD字典的乘积重构得到时域波前信号，达到噪声去除。本发明去除光学波前信号中噪声的方法将进行如下详细描述。

首选，对自适应光学波前信号建立数学模型，并设计由仿真生成的波前信号及噪声信号构成的训练波前信号，将所述训练波前信号作为用于构造字典的训练样本。

其中，所述“对号适应光学波前信号建立数学模型”，具体包括：

自适应光学波前信号通常采用高斯光斑近似表达，其光能分布表达式如下式所示

$f_T(x,y)=\frac{V_0}{2\mathrm{\π}{\mathrm{\σ}}_A^2}\exp [-{\left(\frac{x-x_0}{\sqrt{2}{\mathrm{\σ}}_A}\right)}^2-{\left(\frac{y-y_0}{\sqrt{2}{\mathrm{\σ}}_A}\right)}^2]---\left(1\right)$

式中σ_A表示信号的等效高斯宽度，V₀表示信号的峰值强度，(x₀，y₀)表示信号中心点的坐标。如附图1所示，是本实例中的根据公式(1)仿真的理想波前信号的仿真图像以及灰度分布图。另外，光学波前信号通常被天光背景及噪声背景所淹没，在本实例中，将不考虑由于系统装配误差等造成的天光背景不均匀的影响，认为天光背景较为均匀，略有起伏，而系统噪声通常呈高斯分布。如附图2和附图3所示，附图2和附图3分别是通过仿真建立的均匀天光背景以及高斯噪声对波前信号的影响。

其次，采用K-SVD算法对所述训练波前信号通过训练来构造一个普遍适用的过完备字典，称之为K-SVD字典，以下描述简称过完备字典Q。

采用K-SVD算法训练构造过完备字典Q时，采用迭代的方式实现字典的更新，以使过完备字典Q满足下式：

$\underset{{\mathrm{\γ}}_1}{\min }{\left|\right|{\mathrm{\γ}}_1\left|\right|}_{0}s.t.{\left|\right|x_{\mathrm{train}}-\mathrm{Q\γ}\left|\right|}_2\≤\mathrm{\ϵ}---\left(9\right)$

具体是通过迭代实现的，每次迭代分两步来进行，如图6所示，以第j次迭代进行详细说明：

第一步，稀疏分解：保持第j-1次迭代得到的字典Qj-1不变，求解训练新号X_train在Qj-1下的稀疏表示为通过上述优化问题求解通常采用匹配追踪算法来实出，当然了可 以采用正交匹配追踪算法实现。

第二步，字典更新：保持不变，对字典Q_j-1逐列进行更新，使得||x_train-Qγ||₂最小，采用奇异值分解算法也即K_SVD算法实现。

再次，基于所构造的K-SVD字典，对所述光学波前信号的数学模型采用基于l₀-范数优化的压缩感知信号算法，进行波前信号的稀疏分解，在远小于Nyquist采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，以获取该光学波前信号在K-SVD字典下稀疏表示的估计，由该稀疏表示的估计和K-SVD字典的乘积重构得到所述光学波前信号的去除噪声的时域波前信号，实现光学波前信号的噪声去除。

波前信号具有高度稀疏性，对波前信号进行稀疏采样，也即进行降维观测，进行波前信号稀疏性编码，所使用的变换方法要能尽量稀疏地表示信号，即只保留很少的稀疏系数就可以理想地描述原始数据的主要特征，而大量对主要特征影响不大的系数就可以直接滤除。

K-SVD算法思想是波前信号y_i由K个原子的线性组合来近似表达，如图6所示，K-SVD训练算法的稀疏模型表示为

$\begin{array}{cc}\hat{x}=\arg \underset{x}{\min }{\left|\right|x_i\left|\right|}_0& s.t.\left|\right|y_i-D{x}_i\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ}\end{array}---\left(2\right)$

常写成

$\hat{x}=\arg \underset{x}{\min }{\left|\right|y_i-{\mathrm{Dx}}_i\left|\right|}_2^2+\mathrm{\μ}{\left|\right|x_i\left|\right|}_0---\left(3\right)$

其中||x_i||₀＜L＜＜N为稀疏表示中非零分量的数量的上限；

由上式(3)可知，K-SVD算法的原理是在一组基下，获得信号y的一个近似稀疏系数表示x，且能尽可能好的恢复信号x，稀疏系数表示x采用稀疏系数矩阵X描述。在此处理中，假定稀疏系数矩阵X和字典D都是固定的，然后对字典D进行更新，将要进行更新字典D的第k列d_k，令稀疏系数矩阵X中d_k所对应的第k行记为则

${\left|\right|Y-\mathrm{DX}\left|\right|}_F^2={\left|\right|Y-\underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{d}_j{x}_T^j\left|\right|}^2={\left|\right|(Y-\underset{j\≠k}{\mathrm{\Σ}}{d}_j{x}_T^j)-d_k{x}_T^k\left|\right|}^2={\left|\right|E_k{\mathrm{\Ω}}_k-d_k{x}_T^k{\mathrm{\Ω}}_k\left|\right|}_F^2={\left|\right|E_R^k-d_k{x}_R^k\left|\right|}_F^2---\left(4\right)$

上式(4)中DX被分解成K个秩为1的矩阵的和，假设其中K-1项固定，只剩下一项第K项，即也就是需要处理的是第K项。(4)式中的做SVD分解，则令为U的第1列，则为d_k更新的结果，同时，V的第一列和Δ(1，1)的乘积更新再逐列更新完成后用新的字典做稀疏系数分解，并判断是否达到停止条件，以决定迭代是否继续， 直至达到迭代结束的条件。

在本例中，将光学波前信号记为X，加性噪声记为n，得到观测图像Y，则有关系式Y＝X+n，如图5所示。假设字典D已知，R_ij是图像的重叠块提取操作符，则X的每一个块向量X_ij＝R_ijX属于(ε，L，D)--sparseland，且参数(ε，L，D)，则(2)式推广为

$\{\hat{X},{\hat{x}}_{\mathrm{ij}}\}=\arg \min \mathrm{\λ}{\left|\right|X-Y\left|\right|}_2^2+\mathrm{\Σ}{u}_{\mathrm{ij}}{\left|\right|x_{\mathrm{ij}}\left|\right|}_0+\mathrm{\Σ}{\left|\right|{\mathrm{Dx}}_{\mathrm{ij}}-R_{\mathrm{ij}}X\left|\right|}_2^2---\left(5\right)$

实际操作中(5)式的求解是由最大后验概率得到估计得到的，且转化成，首先进行稀疏编码，具体如下：

${\hat{x}}_{\mathrm{ij}}=\arg \min u_{\mathrm{ij}}{\left|\right|x_{\mathrm{ij}}\left|\right|}_0+{\left|\right|{\mathrm{Dx}}_{\mathrm{ij}}-R_{\mathrm{ij}}X\left|\right|}_2^2---\left(6\right)$

然后把带入(5)式求解具体如下

$\hat{x}=\arg \min {\mathrm{\λ}\left|\right|X-Y\left|\right|}_2^2+\underset{\mathrm{ij}}{\mathrm{\Σ}}{\left|\right|D\widehat{x_{\mathrm{ij}}}-R_{\mathrm{ij}}X\left|\right|}_2^2---\left(7\right)$

从(7)式中可以得到的解析表达式，如下

$\hat{X}={\left[\mathrm{\λI}+\underset{\mathrm{ij}}{\mathrm{\Σ}}{R}_{\mathrm{ij}}^T{R}_{\mathrm{ij}}\right]}^{-1}[\mathrm{\λY}+\underset{\mathrm{ij}}{\mathrm{\Σ}}{R}_{\mathrm{ij}}^{T}D\widehat{x_{\mathrm{ij}}}]---\left(8\right)$

式中，I是个单位矩阵。

基于上述构造的过完备字典Q，采用基于l₁范数优化的信号重构方法来进行波前信号的噪声去除：

$\underset{\mathrm{\β}}{\min }{\left|\right|\mathrm{\β}\left|\right|}_{1}s.t.x=\mathrm{PQB}---\left(10\right)$

此式可通过线性规划算法进行实现：

min c^Tz s.t.Az＝b   (11)

最后，通过下式重构得到去除噪声的波前信号

$\hat{s}=\mathrm{QB}---\left(12\right)$

在本例中，采用(1)式，仿真生成的波前信号及噪声信号构成的训练波前信号图像大小为41pixel×41pixel，光斑中心(x₀，y₀)坐标为(20，20)，光斑的峰值ADU为15，等效高斯宽度为σ_A＝1.25pixel，这样仿真出的目标光斑在5×5像元内集中了80％以上的能量，与实际的目标较为接近。

另外，CCD读出噪声及天光背景噪声是光学波前信号的主要噪声源，CCD读出噪声呈高 斯分布，天光背景噪声较为均匀，读出噪声的分布符合均值为0的高斯分布。图2是天光背景对光斑信号的影响，仿真条件：图像大小为41pixel×41pixel，光斑的峰值ADU为10，大小为5pixel×5pixel，未添加读出噪声。图3是在读出噪声对光斑图像的影响，仿真条件：图像大小为41pixel×41pixel，光斑的峰值ADU为15，大小为5pixel×5pixel，图3是对理想光斑添加均值为0，方差1ADU的读出噪声时光斑图像及其灰度分布图。图4是被天光背景和读出噪声污染的波前信号，此时的峰值信噪比约为1.2642。

本发明采用K-SVD算法和压缩感知采样理论对自适应光学波前信号去噪。构造由仿真生成的波前信号及噪声信号所构成的训练波前信号，通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，将该训练波前信号作为用于构造字典的训练样本，并通过训练构造一个普遍适用的稀疏的过完备字典，称之为K-SVD字典。满足重构误差在设置值范围内的同时，在该稀疏字典下，基于所构造的K-SVD字典，从压缩感知观测和光学波前信号相似性出发，采用压缩感知理论中基于l₀-范数优化的信号重构算法，得到波前信号在该字典下稀疏表示的估计，通过非线性重构算法重构得到时域波前信号，达到去除噪声的目的，并简化庞大的自适应光学系统，降低成本，拓展自适应光学系统的应用领域。

和现有技术相比，本发明具有技术进步性：通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，获取该光学波前信号在K-SVD字典下稀疏表示的估计，由该稀疏表示的估计和K-SVD字典的乘积重构得到所述光学波前信号的去除噪声的时域波前信号，达到去除噪声的目的，并简化庞大的自适应光学系统，降低成本，拓展自适应光学系统的应用领域。

以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，本发明要求保护范围由所附的权利要求书、说明书及其等效物界定。

Claims (4)

1.一种基于压缩感知理论的自适应光学波前信号去噪方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，对自适应光学波前信号建立数学模型；设计由仿真生成的波前信号及噪声信号构成的训练波前信号，将所述训练波前信号作为用于构造字典的训练样本；

步骤2，采用K-SVD算法对所述训练波前信号通过训练来构造一个普遍适用的过完备字典，称之为K-SVD字典；

步骤3，基于所构造的K-SVD字典，对所述光学波前信号的数学模型采用基于l₀-范数优化的压缩感知信号算法，进行波前信号的稀疏分解，在远小于Nyquist采样率的条件下，获取该光学波前信号在K-SVD字典下稀疏表示的估计，由该稀疏表示的估计和K-SVD字典的乘积重构得到所述光学波前信号的去除噪声的时域波前信号。

2.根据权利要求1所述的一种基于压缩感知理论的自适应光学波前信号去噪方法，其特征在于，所述步骤1中的对自适应光学波前信号建立数学模型，具体包括：

自适应光学波前信号通常采用高斯光斑近似表达，其光能分布表达式如下式所示

$f_T(x,y)=\frac{V_0}{{2\mathrm{\π\σ}}_A^2}\exp [-{\left(\frac{x-x_0}{\sqrt{2}{\mathrm{\σ}}_A}\right)}^2-{\left(\frac{y-y_0}{\sqrt{2}{\mathrm{\σ}}_A}\right)}^2]$

式中σ_A表示信号的等效高斯宽度，V₀表示信号的峰值强度，(x₀，y₀)表示信号中心点的坐标。

3.根据权利要求1所述的一种基于压缩感知理论的自适应光学波前信号去噪方法，其特征在于，所述步骤3中的进行波前信号的稀疏分解，具体包括：

S1，波前信号稀疏性编码，波前信号具有高度稀疏性，对其进行稀疏采样，只保留描述原始信号主要特征的稀疏系数；

波前信号y_i由K个原子的线性组合来近似表达，K-SVD训练算法的稀疏模型表示为

$\begin{array}{cc}\hat{x}=\arg \underset{x}{\min }{\left|\right|x_i\left|\right|}_0& s.t.\left|\right|y_i-{\mathrm{Dx}}_i\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ}\end{array}---\left(1\right)$

常写成

$\hat{x}=\arg \underset{x}{\min }{\left|\right|y_i-{\mathrm{Dx}}_i\left|\right|}_2^2+\mathrm{\μ}{\left|\right|x_i\left|\right|}_0---\left(2\right)$

其中||x_i||₀＜L＜＜N为稀疏表示中非零分量的数量的上限；

S2，K-SVD算法的原理是在一组基下，获得信号y的一个近似稀疏系数表示x；基于固定的稀疏系数矩阵X和字典D，然后对字典D进行更新，将要进行更新字典D的第k列d_k，令稀疏系数矩阵X中d_k所对应的第k行记为则

${\left|\right|Y-\mathrm{DX}\left|\right|}_F^2={\left|\right|Y-\underset{j=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}{d}_j{x}_T^j\left|\right|}^2={\left|\right|(Y-\underset{j\≠k}{\mathrm{\Σ}}{d}_j{x}_T^j)-d_k{x}_T^k\left|\right|}^2={\left|\right|E_k{\mathrm{\Ω}}_k-d_k{x}_T^k{\mathrm{\Ω}}_k\left|\right|}_F^2={\left|\right|E_R^k-d_k{x}_R^k\left|\right|}_F^2---\left(3\right)$

上式中DX被分解成K个秩为1的矩阵的和，假设其中K-1项固定，则需要处理的第K项；做SVD分解，则令为U的第1列，则为d_k更新的结果，同时，V的第一列和Δ(1，1)的乘积更新再逐列更新完成后用新的字典做稀疏系数分解，直至达到迭代结束的条件。

4.根据权利要求1所述的一种基于压缩感知理论的自适应光学波前信号去噪方法，其特征在于，所述步骤2中的过完备字典的构造，是通过迭代方式实现字典的更新，并使字典满足式具体包括以下步骤：

SB1，稀疏分解：保持第j-1次迭代得到的字典Qj-1不变，训练信号X_train在Qj-1下的稀疏表示为采用匹配追踪或者正交匹配追踪算法求解其中，j表示第j次迭代；

SB2，字典更新：保持不变，使得||_xtrain-Qγ||₂最小，采用K_SVD算法对字典Q_j-1逐列进行更新。