CN103427789B - 一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器 - Google Patents

Abstract

本发明所提出的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器是基于一种特殊分数阶热传导方程去噪算法来实现对图像的分数阶、非线性、多尺度、快速去噪。本发明涉及的分数阶微积分的阶次v₁不是传统的整数阶，而是非整数阶，工程应用中一般取分数或有理小数。该滤波器是采用微分器、微分器、微分器、求模器、除法器一、除法器二、微分器、微分器、加法器一、乘法器一、λⁿ发生器、乘法器二、加法器二、乘法器三、乘法器四和加法器三以级联方式构成的。该滤波器特别适用于对富含复杂纹理细节特征的图像进行快速去噪的应用场合。本发明属于应用数学、数字图像处理和数字电路交叉学科的技术领域。

Description

一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器

技术领域

本发明所提出的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器是基于一种特殊分数阶热传导方程去噪算法来实现对图像的分数阶、非线性、多尺度、快速去噪。本发明涉及的分数阶微积分的阶次v₁不是传统的整数阶，而是非整数阶，工程应用中一般取分数或有理小数。见图1，该滤波器是采用微分器2、微分器3、微分器4、求模器6、除法器一8、除法器二9、微分器11、微分器12、加法器一15、乘法器一16、λⁿ发生器5、乘法器二7、加法器二10、乘法器三13、乘法器四14和加法器三17以级联方式构成的，其中，第n次迭代的数字图像分别并行输入给微分器2、微分器3、微分器4、乘法器三13和λⁿ发生器5，微分器2的输出信号输入给除法器一8，微分器3的输出信号输入给求模器6，微分器4的输出信号输入给除法器二9，求模器6的输出信号分别并行输入给除法器一8和除法器二9，除法器一8的输出信号输入给微分器11，除法器二9的输出信号输入给微分器12，微分器11的输出信号和微分器12的输出信号均输入给加法器一15，加法器一15的输出信号分别输入给乘法器一16和λⁿ发生器5，乘法器一16的输出信号输入给加法器三17，λⁿ发生器5的输出信号分别输入给乘法器二7和乘法器四14，乘法器二7的输出信号输入给加法器二10，加法器二10的输出信号输入给乘法器三13，乘法器三13的输出信号输入给加法器三17，乘法器四14输出信号输入给加法器三17，加法器三17输出第n+1次迭代的数字图像该滤波器特别适用于对富含复杂纹理细节特征的图像进行快速去噪的应用场合。本发明属于应用数学、数字图像处理和数字电路交叉学科的技术领域。

背景技术

数字图像处理理论主要包括三大类方法：随机建模、小波理论和偏微分方程方法。其中，基于偏微分方程的图像处理属于数学分析中重要的一部分，是图像处理领域中的一个重要分支。偏微分方程方法它与物理世界紧密联系在一起。著名的波动方程和热传导方程都属于整数阶偏微分方程，还有Euler方程、Poisson方程和Laplace方程等。物理学中的整数阶偏微分方程经常被应用到其他领域，如生物、金融等，并已被应用到了数字图像处理领域。关于基于整数阶偏微分方程的数字图像处理技术，一方面，该图像处理方法属于低层图像处理的范畴，其处理结果通常被当作中间结果提供给其他图像处理方法进一步使用；另一方面，随着该图像处理方法的深入研究，人们越来越深刻地挖掘图像和图像处理的本质，并试图用严格的数学理论对现存的传统图像处理方法进行改造，这对于以实用为主的传统图像处理方法是一种挑战。

目前，虽然偏微分方程已被应用到了数字图像处理领域，但是绝大多数相关研究都还仅仅局限于整数阶偏微分方程的应用，然而对于分数阶偏微分方程在数字图像处理领域中的应用在国内外都还研究甚少。整数阶偏微分方程本身来自连续域，所以它本质上能描述的是模拟图像，一旦其解的存在性和唯一性被证明了，我们就可以利用离散的数值方法对针对数字图像的整数阶偏微分方程求取其数值解。因为基于整数阶偏微分方程的数字图像处理可以与一些物理过程相联系，因此它们通常都用连续域进行描述。一般来说，整数阶偏微分方程方法与通常的滤波方法相比计算量是比较大的：需要迭代求解或者是有限差分所构造的方程组求解，整数阶偏微分方程类方法的主要优点为：第一，整数阶偏微分方程和相应的曲线(曲面)流给出分析图像的连续模型，离散的滤波表现为连续的微分算子，因而使得网格的划分、局部非线性分析易于实现。另一方面，当图像表示为连续信号，整数阶偏微分方程可以被视为在微小子邻域局部滤波的迭代，这种特性允许将己有的滤波方法进行合成与分类，并可形成新的滤波方法。第二，利用整数阶偏微分方程处理数字图像易于直接掌握和处理诸如梯度、切线、曲率以及水平集等视觉上重要的几何特征，还能有效地模拟诸如线性和非线性扩散以及信息传递机制那样的视觉上有意义的动力学过程。第三，整数阶偏微分方程领域的独特分析理论为研究更好的数字图像处理算法与有意义的理论结果，如解的存在性、唯一性等，提供了可能。特别地，最值得注意的优点在于整数阶偏微分方程方法能够获得较好的图像质量，并具有一定的稳定性。灵活多样的数值方案为图像处理方程的数值计算提供了较大的帮助。在数字图像处理领域比较有效的整数阶偏微分方程的引入可以追溯到上世纪80年代末期，在90年代得到了很长足的发展。该研究可以追溯到Nagao、Rudin等关于图像光滑和图像增强以及Koenderink对于图像结构的探索。多个经典的整数阶偏微分方程被应用到了数字图像处理当中，例如热传导方程、薛定谔方程、对流传导方程等。目前，基于整数阶偏微分方程的图像处理技术取得了一些较好的应用，例如法国宇航局已经采用了AMSS方法作为对航拍图像进行图像增强的标准方法。整数阶偏微分方程方法本身是物理学的内容，在数字图像处理中最早应用的可能要算各向同性介质中的热传导方程。若把灰度图像看成是一个各向同性介质中的温度场，那么这个温度场的热传导过程恰好对应着图像的高斯平滑过程，高斯滤波器方差参数与传导时间有关。但是由于高斯平滑是各向同性的，所以对于边缘的破坏作用很大，其应用也受到限制。1987年，Kass等利用图像边缘所需要的内部外部约束定义了一个表征轮廓曲线优劣的能量函数，其中内部约束主要考虑轮廓的光滑性和曲率，外部能量表示图像边缘轮廓的吸引。通过优化(最小化)这个能量函数，初始给定的轮廓可以收敛到邻近的图像边缘上。这种方法的物理意义明确，但是由于其考虑的对象(轮廓)是[]²的一维目标(假设是二维图像中的轮廓，若考虑三维图像，如三维医学图像，那么这个轮廓对应的是[]³中的一个二维曲面)，它的描述方式和离散化均受到了一定的限制，并且其描述方式直接限制了轮廓曲线的拓扑变化，如分裂、合并等。1989年，Mumford和Shah提出了图像分割的变分模型。1992年，Chan和Vese利用模式识别中的类内距离最小的思想构造了无边缘的活动轮廓模型，之后Yezzi等同样利用类间距离最大的思想构造了一种新的活动轮廓模型。1995年，Osher等提出用水平集去描述一个与曲率有关的波前传播过程。这类方法的本质是将图像轮廓看成是一个二维函数的零水平集，那么通过研究这个二维函数的变化行为，就可以知道轮廓的变化方式。同时由于这个被研究的对象是一个二维函数，它在[]²中很容易描述和求解(相对于一维对象而言)，并且一维轮廓不是直接求解的对象，所以通过二维函数的变化，使得轮廓的分裂、合并等拓扑变化的处理变得相对容易。自上世纪90年代后期起，整数阶偏微分方程开始应用到数字图像修复，即填充数字图像中丢失的部分、或移除数字图像中的障碍物等，以使得结果图像看起来像是真实的，它是图像编辑领域的一个很难的任务。基于整数阶偏微分方程的图像修复有两大方向，UCLA的Chan和Shen等利用能量优化来处理这个问题，主要是对结构图像边缘的一些性质(如简单性、曲率小等)作假设，然后构造相应的能量函数来描述，通过整数阶变分法来转化成整数阶偏微分方程进行求解；而以Bertalmio为代表的另一流派则直接考虑图像中某些性质的扩散过程，直接给出整数阶偏微分方程进行演化求偏微分方程解。这两类的方法都取得了较大的成功。另外在图像编辑领域，Poisson方程也在图像的无缝粘贴上占有主导地位。

在基于整数阶偏微分方程的图像处理中，图像去噪是其最重要的研究内容之一。基于整数阶偏微分方程的图像去噪分为两类：基于非线性扩散的方法和基于能量范函最小化的变分法。与之对应的两种基本模型是：由Perona和Malik提出的各项异性扩散(PM)模型以及Rudin,Osher和Fatemi提出的全变分(ROF)模型。PM模型使用热能的扩散过程来模拟图像的去噪过程，图像去噪的结果就是热能扩散达到平衡时的状态。用全变分来描述上述热能，就是ROF模型。在此基础之上，有学者分别将PM模型和ROF模型推广到彩色图像处理之中。有学者研究了模型中的参数选择，以及如何计算迭代求解过程的最优停止点。Rudin等人提出一种可变时间步长方法来解Euler-Lagrange方程。C.R.Vogel和M.E.Oman用不动点迭代方法来提高ROF模型的稳定性。D.C.Dobson和C.R.Vogel修改全变分形式来保证ROF模型数值计算的收敛性。A.Chambolle提出一种基于对偶公式的快速算法。J.Darbon和M.Sigelle利用水平集方法将原始问题分解为相互独立的马尔科夫随机场的优化问题，通过重建得到全局最优解。有学者提出一种迭代加权范数来求解全变分以提高计算效率。F.Catte等将原图像先经过一次高斯平滑，使PM模型具有适定性。PM模型和ROF模型都具有容易产生对比信息丢失，纹理信息丢失和阶梯效应等显著缺点。针对这些缺点，人们提出了许多改进模型。为了保持对比信息和纹理信息，有学者使用L¹范数取代L²范数。S.Osher等提出一种迭代正则化方法。G.Gilboa,Y.Y.Zeevi和N.Sochen提出一种随空间变化的自适应数值保真项的方法。S.Esedoglu和S.Osher提出一种保持特定边缘的方向信息；为了消除阶梯效应，P.Blomgren提出一种全变分项随梯度变化的模型。有学者还将高阶导数引入能量范函中，或将高阶导数和原始ROF模型进行结合，或提出两阶段去噪等改进方法。上述基于整数阶偏微分方程的图像去噪改进方法，对于保持图像的对比信息和边缘信息，以及消除阶梯效应取得了一定的效果。

然而不幸的是，当我们直接将传统的基于整数阶偏微分方程的图像去噪方法应用于纹理图像去噪时，一般很难取得较好的处理效果。因为，一方面，传统的基于整数阶偏微分方程的图像去噪方法在本质上是基于整数阶微积分运算。它很难较好地处理一些非线性、非因果、非最小相位系统、非高斯、非平稳、非整数维(分形)信号和非白色的加性噪声等。如果我们直接将基于整数阶偏微分方程的图像去噪方法应用于纹理图像去噪时，会存在如下局限性：第一，整数阶偏微分方程仅根据局部信息处理图像，因此不能保持周期性的纹理特征，也不能恢复图像全局特征；第二，基于整数阶变分原理的整数阶偏微分方程模型，通过优化能量泛函实现图像处理。能量泛函实现的是局部邻域内的优化，因此处理后图像中存在块状效应；第三，仅包含前向或后向扩散的整数阶偏微分方程处理能力有限，而双向扩散的方程在扩散过程中会出现两个方向扩散信息抵消的现象，影响最终处理结果。另一方面，对于富含复杂纹理细节信息的纹理图像而言，图像的纹理细节信息对其判读的准确性显得极具价值。纹理图像去噪方法具有对比不变、纹理特征不变等特殊要求。由于常数或直流分量的整数阶微分值为零，细微波动的交流分量的整数阶微分值经过特定阈值限流后，其值亦为零，所以整数阶微分运算会对图像复杂纹理细节信息造成极大损失。当传统的基于整数阶偏微分方程的图像去噪方法直接应用于纹理图像去噪时，在低分辨率条件下，由于原始图像中的纹理细节信息本来就不够丰富和清楚，其处理结果还能够被勉强接受；然而，当分辨率逐渐增大，其处理结果图像中的复杂纹理细节信息将会被极大损失，致使我们很难对处理结果图像的纹理细节进行准确判读。因此，对于富含复杂纹理细节信息的纹理图像去噪而言，为了在去噪的同时更为有效地保持和利用复杂纹理细节信息，这就迫切要求我们提出一种能够分数阶、非线性、多尺度地处理图像复杂纹理细节特征的基于分数阶热传导方程的纹理图像快速去噪方法。

发明内容

本发明所提出的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器是基于一种特殊分数阶热传导方程去噪算法来实现对图像的分数阶、非线性、多尺度、快速去噪。本发明涉及的分数阶微积分的阶次v₁不是传统的整数阶，而是非整数阶，工程应用中一般取分数或有理小数。见图1，该滤波器是采用微分器2、微分器3、微分器4、求模器6、除法器一8、除法器二9、微分器11、微分器12、加法器一15、乘法器一16、λⁿ发生器5、乘法器二7、加法器二10、乘法器三13、乘法器四14和加法器三17以级联方式构成的，其中，第n次迭代的数字图像分别并行输入给微分器2、微分器3、微分器4、乘法器三13和λⁿ发生器5，微分器2的输出信号输入给除法器一8，微分器3的输出信号输入给求模器6，微分器4的输出信号输入给除法器二9，求模器6的输出信号分别并行输入给除法器一8和除法器二9，除法器一8的输出信号输入给微分器11，除法器二9的输出信号输入给微分器12，微分器11的输出信号和微分器12的输出信号均输入给加法器一15，加法器一15的输出信号分别输入给乘法器一16和λⁿ发生器5，乘法器一16的输出信号输入给加法器三17，λⁿ发生器5的输出信号分别输入给乘法器二7和乘法器四14，乘法器二7的输出信号输入给加法器二10，加法器二10的输出信号输入给乘法器三13，乘法器三13的输出信号输入给加法器三17，乘法器四14输出信号输入给加法器三17，加法器三17输出第n+1次迭代的数字图像该滤波器特别适用于对富含复杂纹理细节特征的图像进行快速去噪的应用场合。

见图1，为了清楚说明本发明的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器的电路构成，有必要先对该滤波器的数学公式推导和数值运算规则进行如下简要说明：

众所周知，分形数学理论产生了测度观的转变，分形几何否定了牛顿－莱布尼兹导数的存在性。以Hausdorff测度为基础的分形理论，虽然历经了90余年的研究至今仍然还是一种很不完善的数学理论。Hausdorff测度下的微积分数学理论的构造至今尚未能完成。目前发展比较成熟的是在欧氏测度下定义的分数阶微积分，它在数学上要求必须使用欧氏测度。在欧氏测度下，分数阶微积分最常用的是Grümwald-Letnikov定义和Riemann-Liouville定义两种。

Grümwald-Letnikov定义信号s(x)的v阶微积分为 $D_{G-L}^{v}s\left(x\right)=\frac{d^v}{{\[d(x-a)\]}^v}s\left(x\right){|}_{G-L}=\underset{N\→\mathrm{\∞}}{lim}\left\{\frac{{\left(\frac{x-a}{N}\right)}^{-v}}{\mathrm{\Γ}(-v)}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\Σ}}\frac{\mathrm{\Γ}(k-v)}{\mathrm{\Γ}(k+1)}s(x-k(\frac{x-a}{N}\left)\right)\right\}.$ 其中，信号s(x)的持续期为[a,x]，v为任意实数(包括分数)，表示基于Grümwald-Letnikov定义的分数阶微分算子，Γ为Gamma函数。由分数阶微积分的Grümwald-Letnikov定义式可知，Grümwald-Letnikov定义在欧氏测度下将整数阶微积分的整数步长推广到分数步长，从而将微积分的整数阶推广到分数阶。分数阶微积分的Grümwald-Letnikov定义的计算简便易行，它仅需要与信号s(x)自身相关的的离散采样值，而不需要信号s(x)的导数与积分值。Riemann-Liouville定义信号s(x)的v阶积分为其中，表示基于Riemann-Liouville定义的分数阶微分算子。对于信号s(x)的v阶微分(v≥0)，n满足n-1＜v≤n。于是由Riemann-Liouville积分定义式，本发明可推导出信号s(x)的v阶微分的Riemann-Liouville定义为

由分数阶微分的Riemann-Liouville定义式，本发明可以推导信号s(x)的Fourier变换为 $FT\[D^{v}s\left(x\right)\]={\left(i\mathrm{\ω}\right)}^{v}FT\[s\left(x\right)\]-\underset{k=0}{\overset{n-1}{\Σ}}{\left(i\mathrm{\ω}\right)}^k\frac{d^{v-1-k}}{{\mathrm{dx}}^{v-1-k}}s\left(0\right).$ 其中，i是虚数单位，ω是数字频率。当信号s(x)是因果信号时，上式可简化为FT[D^vs(x)]＝(iω)^vFT[s(x)]。

本发明针对工程计算精度要求不高的应用场合，运用分数阶微分算子可以用一阶微分算子来线性表出这一数学性质，直接将一阶Euler-Lagrange方程在形式上自然推广到分数阶Euler-Lagrange方程。于是，本发明构造出一种基于分数阶热传导方程的图像去噪滤波器的近似计算模型，即本发明的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器，该模型以牺牲计算精度为代价，提高数值计算速度。

本发明令s(x,y)表示图像在像素(x,y)的灰度值，其中为图像区域，(x,y)∈Ω。令s(x,y)表示被噪声污染的退化图像，s₀(x,y)表示理想的无噪声图像。由于当待处理的噪声为乘性噪声时，可以利用对数处理将其转换为加性噪声；当待处理的噪声为卷积噪声时，可以利用频域变换和对数处理将其转换为加性噪声。不失一般性，本发明令n(x,y)表示加性噪声，如式s(x,y)＝s₀(x,y)+n(x,y)所示。

本发明令图像s的分数阶变差为其分数阶全变差为其中，v₁为分数阶微分阶次。按照Tikhonov正则化方法，本发明令基于分数阶变差的能量泛函为 $\mathrm{\Ψ}\left(s\right)=\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫\∫}F(x,y,s,D_x^{v_1}s,D_y^{v_1}s)dxdy=\frac{\mathrm{\λ}}{2}{(s-s_0)}_{L^2\left(\mathrm{\Ω}\right)}^2+E_{FTV}\left(s\right)=\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫\∫}(\frac{\mathrm{\λ}}{2}{\left(s-s_0\right)}^2+{\[{\left(D_x^{v_1}s\right)}^2+{\left(D_y^{v_1}s\right)}^2\]}^{\frac{1}{2}})dxdy.$ 其中，为图像噪声n(x,y)的方差， $\frac{\mathrm{\λ}}{2}{(s-s_0)}_{L^2\left(\mathrm{\Ω}\right)}^2=\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫\∫}\frac{\mathrm{\λ}}{2}{(s-s_0)}^{2}dxdy=\frac{\mathrm{\λ}}{2}{\mathrm{\σ}}^2$ 为保真项，λ为正则化参数。

由于信号的分数阶微积分是其整数阶微积分的连续内插，分数阶微分算子在数学上可以用一阶微分算子来线性表出，于是本发明可以推导得 $D_{x-a}^{v_1}f=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}\frac{{(-1)}^n{(x-a)}^{n-v_1}{D}_{x-a}^{n}f}{\mathrm{\Γ}(-v_1)(n-v_1)n!},$ 进而可将视为D¹的函数，即 $D^{v_1}s=\mathrm{\ψ}\left(D^{1}s\right);$ 由于和D¹在本质上都是线性算子，故函数ψ存在反函数，即于是，本发明我们令 $F(x,y,s,D_x^{v_1}s,D_y^{v_1}s)=F(x,y,s,\mathrm{\ψ}(D_x^{1}s),\mathrm{\ψ}(D_y^{1}s\left)\right)=\frac{\mathrm{\λ}}{2}{(s-s_0)}^2+\left|D^{v_1}s\right|=\frac{\mathrm{\λ}}{2}{(s-s_0)}^2+\left|\mathrm{\ψ}\left(D^{1}s\right)\right|$ 对一阶偏微分 $p_x=D_x^{1}s={\mathrm{\ψ}}^{-1}\left(D_x^{v_1}s\right)$ 和 $p_y=D_y^{1}s={\mathrm{\ψ}}^{-1}\left(D_y^{v_1}s\right)$ 而言，使上式一阶极小值(一阶驻点)存在的一阶Euler-Lagrange方程为其中，函数ψ是的阶次v₁的函数，其函数形式相当复杂，和的计算比较困难。为了简化计算，本发明放宽条件，直接将一阶Euler-Lagrange方程作形式上的分数阶自然推广，从而得到针对的近似分数阶Euler-Lagrange方程。虽然这种形式上的分数阶自然推广在数学上不严格相等，但是在实际应用中，这是一个很有效而简便的近似方法。本发明令 $q_x=D_x^{v_1}s=\mathrm{\ψ}\left(D_x^{1}s\right),q_y=D_y^{v_1}s=\mathrm{\ψ}\left(D_y^{1}s\right),$ 有 $\frac{\∂F}{\∂s}=\mathrm{\λ}(s-s_0),\frac{\∂F}{\∂q_x}=\frac{D_x^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}$ 和 $\frac{\∂F}{\∂q_y}=\frac{D_y^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}$ 成立，于是本发明可以推导得相对应的近似一阶Euler-Lagrange方程为 $\frac{\∂F}{\∂s}-\frac{\∂}{\∂x}\left(\frac{\∂F}{\∂q_x}\right)-\frac{\∂}{\∂y}\left(\frac{\∂F}{\∂q_y}\right)=\mathrm{\λ}(s-s_0)-\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)\]=0.$ 于是，本发明用一阶最速下降法来进行求解，可以推导得 $\frac{\∂s}{\∂t}=\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)\]-\mathrm{\λ}(s-s_0).$

另外，本发明还需要求解λ(t)。若图像噪声n(x,y)为白噪声，于是 $\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫\∫}n(x,y)dxdy=\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫\∫}(s-s_0)dxdy=0.$ 当 $\frac{\∂s}{\∂t}=0$ 时，式 $\frac{\∂s}{\∂t}=\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)\]-\mathrm{\λ}(s-s_0)$ 收敛于稳定状态。于是在式 $\frac{\∂s}{\∂t}=\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)\]-\mathrm{\λ}(s-s_0)$ 两边同时乘以(s-s₀)并在图像区域Ω上积分，其左边便消失，可推导得

$\mathrm{\λ}\left(t\right)=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^2}\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫\∫}\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)\](s-s_0)dxdy.$

式 $\frac{\∂s}{\∂t}=\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)\]-\mathrm{\λ}(s-s_0)$ 和 $\mathrm{\λ}\left(t\right)=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^2}\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫\∫}\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)\](s-s_0)dxdy$ 所表示的分数阶热传导方程去噪模型即为本发明的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器的数学模型。另外，为了使该快速计算的基于分数阶热传导方程的图像去噪滤波器能够完全滤除在信号的甚低频和直流部分残留的微弱噪声，本发明在数值迭代实现时，还需同时对信号的甚低频和直流部分进行低通滤波。可见，在数学和物理意义上，上述快速计算的分数阶热传导方程去噪模型将传统的基于整数阶偏微分方程的图像去噪方法推广到了更广阔的领域。

进一步地，本发明需要数值实现上述一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器的数学模型。第一，本发明需要数值实现二维数字图像在x轴和y轴方向上的分数阶微分。对于分数阶微积分的Grümwald-Letnikov定义式，当N足够的大时，可以去掉极限符号。为了提高收敛速度和收敛精度，本发明在Grümwald-Letnikov定义式中引入信号s(x)在非节点处的信号值，即 $\frac{d^v}{{\mathrm{dx}}^v}s\left(x\right){|}_{G-L}\≅\frac{x^{-v}{N}^v}{\mathrm{\Γ}(-v)}\underset{k=0}{\overset{N-1}{\Σ}}\frac{\mathrm{\Γ}(k-v)}{\mathrm{\Γ}(k+1)}s(x+\frac{vx}{2N}-\frac{kx}{N}).$ 于是当v≠1时，应用拉格朗日三点插值公式对信号s(x)进行分数插值，可分别构造出数字图像在x轴和y轴的方向上的分数阶微分算子。对数字灰度图像的而言，分数阶微分算子的数值运算规则采用算子卷积的空域滤波方案。本发明选取在x轴和y轴方向上的模值最大的分数阶偏微分值作为该像素点的分数阶微分值。第二，本发明需要数值实现二维数字图像在x轴和y轴方向上的1阶微分。为了保持数值计算的稳定性，本发明采用 $D_x^{1}s(x,y)=\frac{2\[s(x+1,y)-s(x-1,y)+s(x+1,y+1)-s(x-1,y+1)+s(x+1,y-1)-s(x-1,y-1)\]}{4}$ 和 $D_y^{1}s(x,y)=\frac{2\[s(x,y+1)-s(x,y-1)\]+s(x+1,y+1)-s(x+1,y-1)+s(x-1,y+1)-s(x-1,y-1)}{4}$ 来近似一阶微分。第三，本发明需要数值实现二维数字图像对于时间t的1阶微分。若时间等分间隔为Δt，即单位迭代时间间隔，n时刻为t_n＝nΔt，n＝0,1,…(t₀＝0表示初始时刻)。本发明取单位迭代时间间隔Δt在(0,0.1]内取任意较小的正实数。于是n时刻的数字图像为待去噪的原始图像为s₀为理想的无噪声图像，它是一个恒定值，故s₀(x,y,t₀)＝s₀(x,y,t_n)。于是，本发明可将二维数字图像对于时间t的1阶差分来近似其对于时间t的1阶微分，即另外，由于理想的无噪声图像s₀(x,y,t₀)事先不知道，但是每次数值迭代的去噪中间结果都是对理想的无噪声图像s₀(x,y,t₀)一次逼近，即故为了在数值迭代时尽量逼近s-s₀，本发明令于是，可以推导得式 $\frac{\∂s}{\∂t}=\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)\]-\mathrm{\λ}(s-s_0)$ 和 $\mathrm{\λ}\left(t\right)=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^2}\underset{\mathrm{\Ω}}{\∫\∫}\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}s}{\left|D^{v_1}s\right|}\right)\](s-s_0)dxdy$ 的数值实现方程分别为 $s_{x,y}^{n+1}=\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)\]\mathrm{\Δ}t-{\mathrm{\λ}}^n{\mathrm{\Δts}}_{x,y}^0+(1+{\mathrm{\λ}}^n\mathrm{\Δ}t)s_{x,y}^n$ 和 ${\mathrm{\λ}}^n=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{n^2}}\underset{x,y}{\Σ}\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)\](s_{x,y}^0-s_{x,y}^n).$ 其中，在数值迭代计算时，一方面，本发明不需要预先获知或估计噪声的方差，而只需要令第一次数值迭代时的为一个较小的正数。本发明取 ${\mathrm{\σ}}^{1^2}=\mathrm{0.01.}$ 将带入 ${\mathrm{\λ}}^n=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{n^2}}\underset{x,y}{\Σ}\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)\](s_{x,y}^0-s_{x,y}^n)$ 以启动数值迭代计算的过程，于是每一次迭代所得的都不一样，但每一都是对噪声真正方差的一次逼近；另一方面，在数值迭代计算的过程中，可能出现的情况，为了使有意义，在迭代计算的过程中，当时，本发明取 $\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|=\mathrm{0.0689.}$

基于上述对本发明所提出的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器的数学公式推导和数值运算规则的简要说明，下面具体说明该滤波器的电路构成：

见图1，本发明所提出的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器是基于一种特殊分数阶热传导方程去噪算法来实现对图像的分数阶、非线性、多尺度、快速去噪。本发明涉及的分数阶微积分的阶次v₁不是传统的整数阶，而是非整数阶，工程应用中一般取分数或有理小数。见图1，该滤波器是采用微分器2、微分器3、微分器4、求模器6、除法器一8、除法器二9、微分器11、微分器12、加法器一15、乘法器一16、λⁿ发生器5、乘法器二7、加法器二10、乘法器三13、乘法器四14和加法器三17以级联方式构成的，其中，第n次迭代的数字图像分别并行输入给微分器2、微分器3、微分器4、乘法器三13和λⁿ发生器5，微分器2的输出信号输入给除法器一8，微分器3的输出信号输入给求模器6，微分器4的输出信号输入给除法器二9，求模器6的输出信号分别并行输入给除法器一8和除法器二9，除法器一8的输出信号输入给微分器11，除法器二9的输出信号输入给微分器12，微分器11的输出信号和微分器12的输出信号均输入给加法器一15，加法器一15的输出信号分别输入给乘法器一16和λⁿ发生器5，乘法器一16的输出信号输入给加法器三17，λⁿ发生器5的输出信号分别输入给乘法器二7和乘法器四14，乘法器二7的输出信号输入给加法器二10，加法器二10的输出信号输入给乘法器三13，乘法器三13的输出信号输入给加法器三17，乘法器四14输出信号输入给加法器三17，加法器三17输出第n+1次迭代的数字图像该滤波器特别适用于对富含复杂纹理细节特征的图像进行快速去噪的应用场合。

见图1，1是本发明的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器的输入点，即第n次迭代的数字图像的输入点。微分器2完成的计算是在x轴方向上的v₁阶分数阶微分。微分器3完成的计算是在x轴方向上和y轴方向上同时进行v₁阶分数阶微分。微分器4完成的计算是在y轴方向上的v₁阶分数阶微分。求模器6完成的计算是除法器一8完成的计算是除法器二9完成的计算是微分器11完成的计算是在x轴方向上的1阶微分。微分器12完成的计算是在y轴方向上的1阶微分。加法器一15完成的计算是加法器一15的输出值同时馈入乘法器一16和λⁿ发生器5的F输入点。乘法器一16的E输入点是权值Δt的输入点。乘法器一16完成的计算是λⁿ发生器5的F输入点是加法器一15的输出值的输入点，即权值的输入点。λⁿ发生器5完成的计算是 ${\mathrm{\λ}}^n=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{n^2}}\underset{x,y}{\Σ}\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)\](s_{x,y}^0-s_{x,y}^n).$ 乘法器二7的G输入点是权值Δt的输入点。乘法器四7完成的计算是λⁿΔt。加法器二10的H输入点是权值1的输入点。加法器二10完成的计算是1+λⁿΔt。乘法器三13完成的计算是乘法器四14的I输入点是权值的输入点。乘法器四14完成的计算是加法器三17完成的计算是 $s_{x,y}^{n+1}=\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)\]\mathrm{\Δ}t-{\mathrm{\λ}}^n{\mathrm{\Δts}}_{x,y}^0+(1+{\mathrm{\λ}}^n\mathrm{\Δ}t)s_{x,y}^n.$ 本发明的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器的输出点18完成的功能是输出第n+1次迭代的数字图像

见图2，第n次迭代的数字图像分别并行输入给减法器19和发生器20，减法器19的输出信号输入给乘法器五21，乘法器五21的输出信号输入给加法器一22，加法器一22的输出信号输入给乘法器六24，发生器20的输出信号输入给除法器三23，除法器三23的输出信号输入给乘法器六24，减法器19的J输入点是权值的输入点，即第0次迭代的原始数字图像的输入点。减法器19完成的计算是发生器20完成的计算是乘法器五21的F输入点是权值的输入点，即加法器一15的输出值。乘法器五21完成的计算是 $\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)\](s_{x,y}^0-s_{x,y}^n).$ 加法器一22完成的计算是 $\underset{x,y}{\Σ}\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}{s}_{x,y}^1}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)\](s_{x,y}^0-s_{x,y}^n).$ 除法器三23的K输入点是权值1的输入点。除法器三23完成的计算是乘法器六24完成的计算是 ${\mathrm{\λ}}^n=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{n^2}}\underset{x,y}{\Σ}\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)\](s_{x,y}^0-s_{x,y}^n).$ λⁿ发生器的输出点25完成的功能是输出λⁿ值。

见图3，第n次迭代的数字图像输入给差值平方器26，差值平方器26的输出信号输入给加法器二27，差值平方器26的L输入点是权值的输入点，即第0次迭代的原始数字图像的输入点。差值平方器26完成的计算是加法器二27完成的计算是发生器的输出点28完成的功能是输出值。

下面结合附图和实例详细说明本发明的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器的新方案：

附图说明

图1是本发明的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器的示意图。

图2是λⁿ发生器的示意图。

图3是发生器的示意图。

其中，1是本发明的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器的输入点，即第n次迭代的数字图像的输入点；2是微分器；3是微分器；4是微分器；5是λⁿ发生器；6是求模器；7是乘法器二；8是除法器一；9是除法器二；10是加法器二；11是微分器；12是微分器；13是乘法器三；14是乘法器四；15是加法器一；16是乘法器一；17是加法器三；18是本发明的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器的输出点，即第n+1次迭代的数字图像的输出点；19是减法器；20是发生器；21是乘法器五；22是加法器一；23是除法器三；24是乘法器六；25是λⁿ发生器的输出点，即λⁿ的输出点；26是差值平方器；27是加法器二；28是发生器的输出点，即的输出点。另外，8、9和23是功能和参数相同的除法器；10、15和17是功能和参数相同的加法器；7、13、14、16、21和24是功能和参数相同的乘法器；22和27是功能和参数相同的加法器。

其中，E点是权值Δt的输入点；F点是权值的输入点；G点是权值Δt的输入点；H点是权值1的输入点；I点是权值的输入点；J点是权值的输入点；K点是权值1的输入点；L点是权值的输入点。

具体实施方式

现举例介绍如下：

见图1、图2和图3，在工程实际应用中，本发明的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器涉及的分数阶微积分的阶次v₁不是传统的整数阶，而是非整数阶，一般取分数或有理小数。如果本发明取阶次v₁＝2.25，取单位迭代时间间隔Δt＝0.01，方差初始值于是可以推导得本发明的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器的具体电路参数。见图1，乘法器一16的E输入点的输入权值为Δt＝0.01。乘法器二7的G输入点的输入权值为Δt＝0.01。加法器二10的H输入点的输入权值为1。乘法器四14的I输入点的输入权值为见图1和图2，λⁿ发生器5的F输入点的输入权值中的分数阶微分阶次v₁＝2.25。

见图2，除法器三23的K输入点的输入权值为1。于是，如图1、图2和图3所示，按照本说明书的发明内容中所详细说明的本发明的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器的级联电路结构及其具体电路参数，就可以方便地构造出该基于分数阶热传导方程的图像去噪滤波器的具体电路。在不影响准确表述的前提下，为了更加清晰明了地描述本发明的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器的具体电路，图1、图2和图3未画出其中的时序控制电路及其被触发产生的时序控制信号。

Claims (5)

1.一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器，其特征在于：它是由微分器(2)完成的计算是在x轴方向上的v₁阶分数阶微分、微分器(3)完成的计算是在x轴方向上和y轴方向上同时进行v₁阶分数阶微分、微分器(4)完成的计算是在y轴方向上的v₁阶分数阶微分、求模器(6)、除法器一(8)、除法器二(9)、微分器(11)完成的计算是在x轴方向上的1阶微分、微分器(12)完成的计算是在y轴方向上的1阶微分、加法器一(15)、乘法器一(16)、λⁿ发生器(5)完成的计算是乘法器二(7)、加法器二(10)、乘法器三(13)、乘法器四(14)和加法器三(17)以级联方式构成的，其中，第n次迭代的数字图像分别并行输入给微分器(2)、微分器(3)、微分器(4)、乘法器三(13)和λⁿ发生器(5)，微分器(2)的输出信号输入给除法器一(8)，微分器(3)的输出信号输入给求模器(6)，微分器(4)的输出信号输入给除法器二(9)，求模器(6)的输出信号分别并行输入给除法器一(8)和除法器二(9)，除法器一(8)的输出信号输入给微分器(11)，除法器二(9)的输出信号输入给微分器(12)，微分器(11)的输出信号和微分器(12)的输出信号均输入给加法器一(15)，加法器一(15)的输出信号分别输入给乘法器一(16)和λⁿ发生器(5)，乘法器一(16)的输出信号输入给加法器三(17)，λⁿ发生器(5)的输出信号分别输入给乘法器二(7)和乘法器四(14)，乘法器二(7)的输出信号输入给加法器二(10)，加法器二(10)的输出信号输入给乘法器三(13)，乘法器三(13)的输出信号输入给加法器三(17)，乘法器四(14)输出信号输入给加法器三(17)，加法器三(17)输出第n+1次迭代的数字图像阶次v₁取分数或有理小数，第0次迭代的原始数字图像为第n次迭代的方差为 完成的计算是在x轴方向上的v₁阶分数阶微分，完成的计算是在x轴方向上和y轴方向上同时进行v₁阶分数阶微分，完成的计算是在y轴方向上的v₁阶分数阶微分，完成的计算是在x轴方向上的1阶微分，完成的计算是在y轴方向上的1阶微分，n取任意正整数，方差初始值s代表数字图像，x代表x轴上的变量，y代表y轴上的变量，代表在数字图像s中对于变量x与y求和，λ为正则化参数，单位迭代时间间隔Δt在(0,0.1]内取任意的正实数。

2.根据权利要求1所述的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器，其特征在于：该滤波器的输入点(1)输入第n次迭代的数字图像 微分器(2)完成的计算是在x轴方向上的v₁阶分数阶微分，微分器(3)完成的计算是在x轴方向上和y轴方向上同时进行v₁阶分数阶微分，微分器(4)完成的计算是在y轴方向上的v₁阶分数阶微分，求模器(6)完成的计算是除法器一(8)完成的计算是除法器二(9)完成的计算是 微分器(11)完成的计算是在x轴方向上的1阶微分，微分器(12)完成的计算是在y轴方向上的1阶微分，加法器一(15)完成的计算是加法器一(15)的输出值同时馈入乘法器一(16)和λⁿ发生器(5)，乘法器一(16)的输入权值为Δt，乘法器一(16)完成的计算是λⁿ发生器(5)的输入权值是是加法器一(15)的输出值λⁿ发生器(5)完成的计算是乘法器二(7)的输入权值为Δt，乘法器四(7)完成的计算是λⁿΔt，加法器二(10)的输入权值为1，加法器二(10)完成的计算是1+λⁿΔt，乘法器三(13)完成的计算是乘法器四(14)的输入权值为乘法器四(14)完成的计算是加法器三(17)完成的计算是该基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器的输出点(18)输出第n+1次迭代的数字图像

3.根据权利要求1所述的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器，其特征在于：λⁿ发生器(5)包括减法器(19)、发生器(20)、乘法器五(21)、加法器一(22)、除法器三(23)、乘法器六(24)，其中，第n次迭代的数字图像分别并行输入给减法器(19)和发生器(20)，减法器(19)的输出信号输入给乘法器五(21)，乘法器五(21)的输出信号输入给加法器一(22)，加法器一(22)的输出信号输入给乘法器六(24)，发生器(20)的输出信号输入给除法器三(23)，除法器三(23)的输出信号输入给乘法器六(24)，减法器(19)的输入权值为第0次迭代的原始数字图像减法器(19)完成的计算是 发生器(20)完成的计算是乘法器五(21)的输入权值为加法器一(15)的输出值乘法器五(21)完成的计算是 加法器一(22)完成的计算是除法器三(23)的输入权值为1，除法器三(23)完成的计算是乘法器六(24)完成的计算是 ${\mathrm{\λ}}^n=\frac{1}{{\mathrm{\σ}}^{n^2}}\underset{x,y}{\Σ}\[D_x^1\left(\frac{D_x^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)+D_y^1\left(\frac{D_y^{v_1}{s}_{x,y}^n}{\left|D^{v_1}{s}_{x,y}^n\right|}\right)\](S_{x,y}^0-S_{x,y}^n),$ λⁿ发生器的输出点(25)输出λⁿ值。

4.根据权利要求3所述的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器，其特征在于：发生器(20)包括差值平方器(26)、加法器二(27)，其中，第n次迭代的数字图像输入给差值平方器(26)，差值平方器(26)的输出信号输入给加法器二(27)，第n次迭代的方差为第0次迭代的原始数字图像为第n次迭代的数字图像为s代表数字图像，x代表x轴上的变量，y代表y轴上的变量，代表在数字图像s中对于变量x与y求和，差值平方器(26)的输入权值为第0次迭代的原始数字图像差值平方器(26)完成的计算是 加法器二(27)完成的计算是 发生器的输出点(28)输出值。

5.根据权利要求1所述的一种基于分数阶计算方程的图书馆图文信息去噪滤波器，其特征在于：不预先获知或估计噪声的方差，而只在第一次迭代计算时，取将带入λⁿ发生器以启动迭代计算的过程；在迭代计算的过程中，当时，取