CN104914850B - 基于切换线性动态系统模型的工业过程故障诊断方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于切换线性动态系统模型的工业过程故障诊断方法，该方法首先对工业过程的正常运行数据和多种已知故障数据进行独立重复采样，接着通过切换线性动态系统模型的学习算法，建立一个切换线性动态系统模型。然后，利用高斯和滤波方法，获取当前监测数据的诊断结果，即判断当前数据是否处于正常工况，如果不是，判断处于何种故障。相比目前的其它方法，本发明不仅提高了工业过程的故障诊断效果，增强了过程操作员对过程状态的掌握，使工业生产更加安全，产品质量更加稳定；而且很大程度上改善了故障诊断方法对过程知识的依赖性，更加有利于工业过程的自动化实施。

Description

基于切换线性动态系统模型的工业过程故障诊断方法

技术领域

本发明属于工业过程控制领域，尤其涉及一种基于切换线性动态系统模型的工业过程故障诊断方法。

背景技术

近年来，工业生产过程的故障诊断问题越来越得到工业界和学术界的广泛重视。一方面，实际的工业过程因为其过程复杂，操作变量多，存在非线性、非高斯、动态性等阶段，在单一假设下，运用某一种方法，其诊断效果有很大的局限。另一方面，如果不对过程进行很好的监测，对可能发生的故障进行诊断，有可能会发生操作事故，轻者影响产品的质量，重者将会造成生命和财产的损失。因此，找到更好的过程故障诊断方法，并及时正确地诊断故障已经成为工业生产过程的研究热点和迫切需要解决的问题之一。

传统的工业过程故障诊断方法除了基于机理模型的方法外，大多采用多元统计分析方法，比如费舍尔判别分析法(FDA)、支持向量机方法(SVM)和隐马尔可夫模型(HMM)等。在机理模型难以获取的情况下，基于数据驱动的多元统计分析方法已经成为工业过程监测和故障诊断的主流方法。但是，传统的多元统计分析方法大多没有考虑过程数据的序列相关性和过程变量的随机性，比如费舍尔判别分析法(FDA)、支持向量机方法(SVM)。虽然隐马尔可夫模型(HMM)考虑了过程数据的序列相关性和过程变量的随机性，但无法精确描述非常复杂的工业过程。相比之下，切换的线性动态系统模型既考虑了动态性和随机性，又采用了连续的隐变量来更加精确地描述复杂的工业过程，本发明采用该方法替代原有的多元统计分析方法对过程故障进行诊断。传统的监测方法假设过程运行在单一条件下，已经无法满足实际工业过程的监测要求。即使对过程的不同工作条件分别进行建模，也无法达到满意的监测效果。因为对新的过程数据进行监测时，需要结合过程知识对该数据的工作条件进行判断，并选取相应的监测模型，这就大大增强了监测方法对过程知识的依赖性，不利于工业过程的自动化实施。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的不足，提供一种基于切换线性动态系统模型的工业过程故障诊断方法。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于切换线性动态系统模型的工业过程故障诊断方法，包括以下步骤：

(1)利用集散系统收集过程正常工况的数据以及从正常工况运行到发生各种故障工况的数据形成的观测序列，组成建模用的训练样本集：X_o＝[X₁；X₂；…；X_Nex]。其中X_nex＝[x₁；x₂；…；x_N]∈R^N×V，nex＝1,2,…,Nex为对应于第nex个观测序列的数据矩阵，R为实数集且R^N×V表示X_nex满足N×V的二维分布，N为每个序列的采样数据点数，V为过程变量个数。

(2)假设故障工况类别为S，再加上一个正常工况类，建模数据的总类别为S+1。在不破坏时序的条件下，从训练样本集X_o中分离出不同类别的数据，组成用于线性动态系统建模的训练样本其中s＝1,2,…,S+1为对应于第s类工况的数据矩阵，M为每一类工况的样本序列长度，V为过程变量个数。将这些数据存入历史数据库。

(3)从历史数据库中调用训练样本采用期望最大化方法对正常工况类和每个故障工况类别分别建立线性动态系统模型，得到模型参数θ(s),s＝1,2,…,S+1。

(4)从历史数据库中调用训练样本X_o，计算切换线性动态系统模型的初始状态概率分布π₀∈R^S+1和状态转移概率矩阵K∈R^(S+1)×(S+1)，得到切换线性动态系统模型的参数Θ＝{π₀,K,θ(s),s＝1,2,...S+1}。

(5)将建模数据X_o、和模型参数Θ存入历史数据库中备用。

(6)收集新的在线过程数据其中为当前t时刻的在线过程数据，为t时刻之前收集的过程数据，采用高斯和滤波方法计算当前监测数据在正常工况和各个故障工况下的后验概率，并给出故障诊断结果。

本发明的有益效果是：本发明通过对工业过程的混合数据进行工况划分，对每一个工况类别数据分别建立线性动态系统模型，然后建立切换线性动态系统模型，最后通过高斯和滤波方法对当前监测数据进行故障诊断。相比目前的其它故障诊断方法，本发明不仅提高了工业过程的故障诊断效果，增强了过程操作员对过程状态的掌握，使工业生产更加安全，产品质量更加稳定；而且很大程度上改善了故障诊断方法对过程知识的依赖性，更加有利于工业过程的自动化实施。

附图说明

图1是本发明方法和HMM方法对TE过程的正常工况和故障1工况数据的诊断图；

图2是本发明方法对TE过程的正常工况和故障工况数据的诊断图；

图3是HMM方法对TE过程的正常工况和故障工况数据的诊断图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。

本发明给出一种基于切换线性动态系统模型的工业过程故障诊断方法，该方法针对工业过程的故障诊断问题，首先利用集散控制系统收集正常工况的数据以及从正常工况运行到发生各种故障工况的数据，并对其进行工况类别划分。然后分别针对不同的工况类别建立线性动态系统模型，并接着建立切换线性动态系统模型。把模型参数存入数据库中备用。对新的在线数据进行监测和故障诊断的时候，首先利用高斯和滤波方法得到该数据在各类工况下的后验概率，然后获得故障诊断结果。

本发明采用的技术方案的主要步骤如下：

第一步：利用集散系统收集过程正常工况的数据以及从正常工况运行到发生各种故障工况的数据形成的观测序列，组成建模用的训练样本集：X_o＝[X₁；X₂；…；X_Nex]。其中X_nex＝[x₁；x₂；…；x_N]∈R^N×V，nex＝1,2,…,Nex为对应于第nex个观测序列的数据矩阵，R为实数集且R^N×V表示X_nex满足N×V的二维分布，N为每个序列的采样数据点数，V为过程变量个数；

第二步：假设故障工况类别为S，再加上一个正常工况类，建模数据的总类别为S+1。在不破坏时序的条件下，从训练样本集X_o中分离出不同类别的数据，组成用于线性动态系统建模的训练样本其中s＝1,2,…,S+1为对应于第s类工况的数据矩阵，M为每一类工况的样本序列长度，V为过程变量个数。将这些数据存入历史数据库；

在历史数据库中对采集到的过程数据进行预处理，剔除野值点和明显的粗糙误差数据。

第三步：从历史数据库中调用训练样本采用期望最大化方法对正常工况类和每个故障工况类别分别建立线性动态系统模型，得到模型参数θ(s),s＝1,2,…,S+1；

对于每个工况类别的数据矩阵s＝1,2,…,S+1采用期望最大化方法求出模型参数θ(s)＝{A(s),B(s),∑_h(s),∑_x(s),μ_π(s),∑_π(s)}，s＝1,2,…,S+1。其中A(s)∈R^H×H为传递矩阵，H为隐空间的维度；B(s)∈R^V×H为映射矩阵；∑_h(s)∈R^H×H为隐空间噪声η^h∈R^H的方差，∑_x(s)∈R^V×V为观测噪声η^x∈R^V的方差，假设噪声变量η^h和η^x都服从零均值，方差分别为∑_h(s)和∑_x(s)的高斯分布；μ_π(s)∈R^H和∑_π(s)∈R^H×H分别为服从高斯分布的初始时刻隐变量h₁∈R^H的均值和方差。用期望最大化方法建模的具体实现步骤如下所示：

(a)求期望：在当前模型参数θ(s)下，计算隐变量h∈R^H的后验概率分布通过前向滤波方法和后向平滑方法求出每个时刻隐变量的平滑均值E(h_t)∈R^H、协方差t＝1,2,…,M；相邻时刻隐变量的协方差t＝1,2,…,M-1。其中E(·)表示括号中变量的均值。具体实现步骤如下所示：

1)通过前向滤波方法可以得到每个时刻隐变量的滤波均值和方差t＝1,2,…,M如下：

其中当时刻t＝1时，

F₁＝∑_π(s)-∑_πB(s)^T[B(s)∑_πB(s)^T+∑_x(s)]^-1B(s)∑_π

2)通过后向平滑方法可以得到每个时刻隐变量的平滑均值和方差t＝1,2,…,M如下：

g_t＝F_tA(s)^T(A(s)F_tA(s)^T+Σ_h(s))^-1g_t+1+f_t-F_tA(s)^T(A(s)F_tA(s)^T+Σ_h(s))^-1A(s)f_t (8)

G_t＝F_tA(s)^T(A(s)F_tA(s)^T+Σ_h(s))^-1G_t+1[F_tA(s)^T(A(s)F_tA(s)^T+Σ_h(s))^-1]^T

(9)

+F_t-F_tA(s)^T(A(s)F_tA(s)^T+Σ_h(s))^-1A(s)F_t

其中当时刻t＝M时，g_M＝f_M，G_M＝F_M。由此可以得到每个时刻隐变量的平滑均值E(h_t)＝g_t、协方差t＝1,2,…,M；相邻时刻隐变量的协方差t＝1,2,…,M-1。

(b)最大化观测序列和隐变量序列h_1:M的对数似然概率在隐变量的后验概率分布下的期望来重新估计模型参数

其中argmax表示，若则x0满足f(x0)为f(x)的最大值。分别令对数似然函数关于每个模型参数的偏导为零来求出新的模型参数。

第四步：从历史数据库中调用训练样本X_o，计算切换的线性动态系统模型的初始状态概率分布π₀∈R^S+1和状态转移概率矩阵K∈R^(S+1)×(S+1)，得到切换的线性动态系统模型的参数Θ＝{π₀,K,θ(s),s＝1,2,...S+1}；

训练样本集X_o对应的工况类别矩阵为：Q＝[Q₁；Q₂；…；Q_Nex]，其中Q_nex＝[q₁；q₂；…；q_N]∈R^N，nex＝1,2,…,Nex为第nex个观测序列所对应的工况类别向量。切换的线性动态系统模型的初始状态概率分布π₀＝[π₀(1),π₀(2),…,π₀(S+1)]，其中π₀(s)∈R，s＝1,2,…,S+1为时刻t＝1时过程数据处于第s类工况的概率，如下所示：

其中Π[·]表示括号中等式成立则值为1，否则为0。状态转移概率矩阵K＝[K(i,j)]_(S+1)×(S+1)，其中K(i,j)，i＝1,2,…,S+1；j＝1,2,…,S+1为第i类工况转移到第j类工况的概率，如下所示

由此得到切换的线性动态系统模型的参数Θ＝{π₀,K,θ(s),s＝1,2,...S+1}。如果直接采用期望最大化方法或是传统的其他方法求解切换的线性动态系统模型参数Θ，推导将会很棘手，计算复杂。本发明通过第三步和第四步的方法简化了求解切换的线性动态系统模型参数Θ的过程。

第五步：将建模数据X_o、和模型参数Θ存入历史数据库中备用；

第六步：收集新的在线过程数据其中为当前t时刻的在线过程数据，为t时刻之前收集的过程数据，采用高斯和滤波方法计算当前监测数据在正常工况和各个故障工况下的后验概率，并给出故障诊断结果；

(a)首先通过高斯和滤波方法计算当前监测数据在正常工况和各个故障工况下的后验概率值，即：

其中s_t＝1,2,…,S+1为当前t时刻过程所处工况，s_t-1＝1,2,…,S+1为t-1时刻过程所处工况，i_t-1＝1,2,…,I表示第i个高斯混合成分。

(b)当前监测数据进行故障诊断，如下所示：

其中，后验概率的值越大，说明当前监测数据与对应工况的关联度越大。反之，值越小说明该数据处于相应工况的可能性就越小。

以下结合一个具体的工业过程的例子来说明本发明的有效性。该过程的数据来自美国TE(Tennessee Eastman——田纳西-伊斯曼)化工过程实验，原型是Eastman化学公司的一个实际工艺流程。目前,TE过程己经作为典型的化工过程故障检测与诊断对象被广泛研究。整个TE过程包括41个测量变量和12个操作变量(控制变量),其中41个测量变量包括22个连续测量变量和19个成分测量值，它们每3分钟被采样一次。其中包括21批故障数据。这些故障中,16个是己知的,5个是未知的。故障1～7与过程变量的阶跃变化有关,如冷却水的入口温度或者进料成分的变化。故障8～12与一些过程变量的可变性增大有关系。故障13是反应动力学中的缓慢漂移,故障14、15和21是与粘滞阀有关的。故障16～20是未知的。为了对该过程进行监测，一共选取了16个过程变量，如表1所示。

表1：监控变量说明

序号	变量	序号	变量
				1	A进料(流1)	9	产品分离器温度
2	D进料(流2)	10	产品分离器压力
				3	E进料(流3)	11	产品分离器塔底低流量(流10)
4	总进料(流4)	12	汽提器压力
				5	再循环流量(流8)	13	汽提器温度
6	反应器进料速度(流6)	14	汽提器流量
				7	反应器温度	15	压缩机功率
8	排放速度(流9)	16	分离器冷却水出口温度

接下来结合该具体过程对本发明的实施步骤进行详细地阐述：

1.采集正常工况的数据以及从正常工况运行到发生各种故障工况的数据，进行数据预处理

选择的故障工况为故障1、2、5、7、10、11、14七种，对收集到16批有效的过程数据样本进行数据处理，剔除过程的野值点和粗糙误差点。选择其中的8批数据组成建模用的训练样本集：X_o＝[X₁；X₂；…；X₈]，其中X_nex∈R^500×16，nex＝1,2,…,8。在不破坏时序的条件下，从训练样本集X_o中分离出不同类别的数据，组成用于线性动态系统建模的训练样本其中s＝1,2,…,8。将另外8批数据组成在线测试样本集：2.针对训练数据，对正常工况类和每个故障工况类别分别建立线性动态系统模型，然后建立切换线性动态系统模型

分别对训练数据矩阵s＝1,2,…,8进行线性动态系统建模，选取6个隐变量，得到模型参数θ(s)，s＝1,2,…,8，即传递矩阵A(s)∈R^6×6，映射矩阵B(s)∈R^16×6，隐空间噪声的方差∑_h(s)∈R^6×6，观测噪声的方差∑_x(s)∈R^16×16，初始时刻隐变量的均值μ_π(s)∈R⁶和方差∑_π(s)∈R^6×6。然后结合训练数据矩阵X_nex∈R^500×16，nex＝1,2,…,8建立切换的线性动态系统模型，得到模型参数Θ＝{π₀,T,θ(s),s＝1,2,...S+1}，即初始状态概率分布π₀∈R⁸和状态转移概率矩阵T∈R^8×8。

3.获取在线监测数据，计算后验概率

为了测试新方法的有效性，对在线测试样本集X^new∈R^7680×16进行测试，包含了正常样本和故障样本。采用高斯和滤波方法计算当前监测数据t＝1,2,…,7680在正常工况和各个故障工况下的后验概率，选取4个高斯混合成分。

4.在线故障诊断

根据在线数据在正常工况和各个故障工况下的后验概率判断当前数据是否处于正常工况，如果不是，判断处于何种故障。新的方法、FDA、SVM和HMM得到的故障检测和诊断结果如表2所示。

表2：本发明方法、FDA、SVM和HMM方法对TE过程的正常工况和故障工况数据的故障检测和诊断结果

方法	FDA	SVM	HMM	切换的LDS
					误报率	0.2667	0.3792	0.2235	0
错分率	0.4204	0.3701	0.0893	0.0280

从表2中可以看出，考虑了过程数据的序列相关性和过程变量的随机性的新方法和HMM方法的故障诊断效果要远远好于FDA和SVM方法，即新的方法和HMM方法的错分率比较低。还可以看出新的方法的误报率要远远低于其他三种方法。然后，新的方法和HMM方法对正常工况和故障1数据的故障诊断结果如图1所示。可以看出HMM将许多正常工况的数据误判为故障数据。而新的方法没有误报现象发生，只将个别故障1的数据误判为故障4。最后，新的方法和HMM方法对所有在线数据的故障诊断结果分别如图2和图3所示。可以明显看出，新的方法已经成功检测到了过程的故障并诊断出大部分数据所处的故障。相比之下，HMM方法的效果就比较差。

上述实施例用来解释说明本发明，而不是对本发明进行限制，在本发明的精神和权利要求的保护范围内，对本发明做出的任何修改和改变，都落入本发明的保护范围。

Claims (4)

1.一种基于切换线性动态系统模型的工业过程故障诊断方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)利用集散系统收集过程正常工况的数据以及从正常工况运行到发生各种故障工况的数据形成的观测序列，组成建模用的训练样本集：X_o＝[X₁；X₂；…；X_Nex]，其中X_nex＝[x₁；x₂；…；x_N]∈R^N×V，nex＝1,2,…,Nex为对应于第nex个观测序列的数据矩阵，R为实数集且R^{N ×V}表示X_nex满足N×V的二维分布，N为每个序列的采样数据点数，V为过程变量个数；

(2)假设故障工况类别为S，再加上一个正常工况类，建模数据的总类别为S+1；在不破坏时序的条件下，从训练样本集X_o中分离出不同类别的数据，组成用于线性动态系统建模的训练样本 $\stackrel{\‾}{X}=[{\stackrel{\‾}{X}}_1;{\stackrel{\‾}{X}}_2;...;{\stackrel{\‾}{X}}_{S+1}],$ 其中 ${\stackrel{\‾}{X}}_s=[{\stackrel{\‾}{x}}_1;{\stackrel{\‾}{x}}_2;...;{\stackrel{\‾}{x}}_M]\∈R^{M\×V},$ s＝1,2,…，S+1为对应于第s类工况的数据矩阵，M为每一类工况的样本序列长度，V为过程变量个数；将这些数据存入历史数据库；

(3)从历史数据库中调用训练样本，采用期望最大化方法对正常工况类和每个故障工况类别分别建立线性动态系统模型，得到模型参数θ(s)，s＝1,2,…,S+1；

(4)从历史数据库中调用训练样本X_o，计算切换线性动态系统模型的初始状态概率分布π₀∈R^S+1和状态转移概率矩阵K∈R^(S+1)×(S+1)，得到切换的线性动态系统模型的参数Θ＝{π₀,K,θ(s),s＝1,2,...S+1}；

(5)将建模数据X_o、和模型参数Θ存入历史数据库中备用；

(6)收集新的在线过程数据其中为当前t时刻的在线过程数据，为t时刻之前收集的过程数据，采用高斯和滤波方法计算当前监测数据在正常工况和各个故障工况下的后验概率，并给出故障诊断结果。

2.根据权利要求1所述基于切换线性动态系统模型的工业过程故障诊断方法，其特征在于，所述步骤(3)具体为：对于每个工况类别的数据矩阵s＝1,2,…,S+1采用期望最大化方法求出模型参数θ(s)＝{A(s),B(s),∑_h(s),∑_x(s),μ_π(s),∑_π(s)}，s＝1,2,…,S+1；其中A(s)∈R^H×H为传递矩阵，H为隐空间的维度；B(s)∈R^V×H为映射矩阵；∑_h(s)∈R^H×H为隐空间噪声η^h∈R^H的方差，∑_x(s)∈R^V×V为观测噪声η^x∈R^V的方差，假设噪声变量η^h和η^x都服从零均值，方差分别为∑_h(s)和∑_x(s)的高斯分布；μ_π(s)∈R^H和∑_π(s)∈R^H×H分别为服从高斯分布的初始时刻隐变量h₁∈R^H的均值和方差；用期望最大化方法建模的具体实现步骤如下所示：

(a)求期望：在当前模型参数θ(s)下，计算隐变量h∈R^H的后验概率分布通过前向滤波方法和后向平滑方法求出每个时刻隐变量的平滑均值E(h_t)∈R^H、协方差t＝1,2,…,M；相邻时刻隐变量的协方差t＝1,2,…,M-1；其中E(·)表示括号中变量的均值；

(b)最大化：最大化观测序列和隐变量序列h_1:M的对数似然概率在隐变量的后验概率分布下的期望来重新估计模型参数 ${\mathrm{\θ}}^{\mathrm{new}}\left(s\right)=\{A^{\mathrm{new}}\left(\text{s}\right),B^{\mathrm{new}}\left(s\right),{\mathrm{\Σ}}_h^{\mathrm{new}}\left(s\right),{\mathrm{\Σ}}_x^{\mathrm{new}}\left(s\right),{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\π}}^{\mathrm{new}}\left(s\right),{\mathrm{\Σ}}_{\mathrm{\π}}^{\mathrm{new}}\left(s\right)\}:$

${\mathrm{\θ}}^{\mathrm{new}}\left(s\right)=\underset{\mathrm{\θ}\left(s\right)}{\arg \max }E{\left(\ln p({\stackrel{\‾}{X}}_s,h_{1:M}|\mathrm{\θ}\left(s\right))\right)}_{p\left(h_{1:M}\right|{\stackrel{\‾}{X}}_s,{\mathrm{\θ}}^{\mathrm{old}}\left(s\right))}---\left(1\right)$

其中argmax表示，若则x0满足f(x0)为f(x)的最大值。

3.根据权利要求1所述基于切换线性动态系统模型的工业过程故障诊断方法，其特征在于，所述步骤(4)具体为：训练样本集X_o对应的工况类别矩阵为：Q＝[Q₁；Q₂；…；Q_Nex]，其中Q_nex＝[q₁；q₂；…；q_N]∈R^N，nex＝1,2,…,Nex为第nex个观测序列所对应的工况类别向量；切换线性动态系统模型的初始状态概率分布π₀＝[π₀(1),π₀(2),…,π₀(S+1)]，其中π₀(s)∈R，s＝1,2,…,S+1为时刻t＝1时过程数据处于第s类工况的概率，如下所示：

${\mathrm{\π}}_0\left(s\right)=\frac{\underset{\mathrm{nex}=1}{\overset{\mathrm{Nex}}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Π}[q_1=s|q_1\∈Q_{\mathrm{nex}}]}{\underset{\mathrm{nex}=1}{\overset{\mathrm{Nex}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{s=1}{\overset{S+1}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Π}[q_1=s|q_1\∈Q_{\mathrm{nex}}]}---\left(2\right)$

其中Π[·]表示括号中等式成立则值为1，否则为0；状态转移概率矩阵K＝[K(i,j)]_(S+1)×(S+1)，其中K(i,j)，i＝1,2,…,S+1；j＝1,2,…,S+1为第i类工况转移到第j类工况的概率，如下所示：

$K(i,j)=\frac{\underset{\mathrm{nex}=1}{\overset{\mathrm{Nex}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{t=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Π}[q_t=i,q_{t+1}=j|{q_{t}q}_{t+1}\∈Q_{\mathrm{nex}}]}{\underset{\mathrm{nex}=1}{\overset{\mathrm{Nex}}{\mathrm{\Σ}}}\underset{t=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Π}[q_1=j|q_t\∈Q_{\mathrm{nex}}]}---\left(3\right)$

由此得到切换线性动态系统模型的参数Θ＝{π₀,K,θ(s),s＝1,2,...S+1}。

4.根据权利要求1所述基于切换线性动态系统模型的工业过程故障诊断方法，其特征在于，所述步骤(6)具体为：

(a)首先通过高斯和滤波方法计算当前监测数据在正常工况和各个故障工况下的后验概率值，即：

$p\left(s_t\right|x_t^{\mathrm{new}},x_{1:t-1}^{\mathrm{new}})=\frac{p(s_t,x_t^{\mathrm{new}},x_{1:t-1}^{\mathrm{new}})}{p(x_t^{\mathrm{new}},x_{1:t-1}^{\mathrm{new}})}=\frac{\underset{s_{t-1}=1}{\overset{S+1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i_{t-1}=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_t^{\mathrm{new}}\right|s_t)p\left(s_t\right|i_{t-1})p\left(i_{t-1}\right|s_{t-1})p\left(s_{t-1}\right|x_{1:t-1}^{\mathrm{new}})}{\underset{s_t=1}{\overset{S+1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{s_{t-1}=1}{\overset{S+1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{i_{t-1}=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}p\left(x_t^{\mathrm{new}}\right|s_t)p\left(s_t\right|i_{t-1})p\left(i_{t-1}\right|s_{t-1})p\left(s_{t-1}\right|x_{1:t-1}^{\mathrm{new}})}---\left(4\right)$

其中s_t＝1,2,…,S+1为当前t时刻过程所处工况，s_t-1＝1,2,…,S+1为t-1时刻过程所处工况，i_t-1＝1,2,…,I表示第i个高斯混合成分；

(b)当前监测数据进行故障诊断，如下所示：

$S_t^{\mathrm{new}}=\underset{s_t=\mathrm{1,2},...S+1}{\arg \max }p\left(s_t\right|x_t^{\mathrm{new}},x_{1:t-1}^{\mathrm{new}})---\left(5\right)$

其中，后验概率的值越大，说明当前监测数据与对应工况的关联度越大；反之，值越小说明该数据处于相应工况的可能性就越小。