CN104901318A - 求解Pareto最优解集的多目标无功优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种求解Pareto最优解集多目标无功优化方法，本发明将问题转化为求解含两个目标函数的无功优化问题，能够直接通过切线法分别求得两个目标函数的边界点，再采用加不等式约束的方法来求得两个目标函数构成的Pareto前沿，在计算过程中，求解单目标无功优化模型的算法采用原对偶内点法，初值的给点采用潮流计算的结果；本发明的优点是：在无功优化过程中综合考虑了多个目标的最优，有效地避免了其他算法通过构造单目标无功优化模型时产生的主观性，能够直观地从Pareto前沿面中看出各个目标函数分布的情况，方便决策者做出满足系统运行需要、合理、可靠的决策。

Description

求解Pareto最优解集的多目标无功优化方法

技术领域

本发明涉及求解Pareto最优解集的多目标无功优化方法,属于电力技术领域。

背景技术

目前，电力系统无功优化问题是在保证电能质量的情况下，使得电力系统的系统网损和无功补偿费用最小，因此，它本身是一个多目标的优化问题。

目前求解多目标优化目前没有一个统一的方法，传统多目标优化处理方法主要有理想点法，功效系数加权法，目标规划法，序列优化法，求Pareto最优解集方法(加约束)等方法。理想点法，是先求解各个单目标函数下优化问题的最优目标值，然后以各个目标函数与最优目标值之间的欧氏距离或范数作为目标函数构造一个单目标优化模型，最后求解一个单目标优化问题，此方法的不足在于不便于处理各个目标函数之间因数量级不同而带来的优化目标偏向的问题。功效系数加权法是先定义各个目标函数的系数，然后对各个目标函数进行线性加权组合形成一个单目标的优化问题，这种方法克服了多个目标之间因数量级的不同而导致优化过程中目标偏向的困难。目标规划法，是预先确定了对各个目标函数的偏好程度，再通过加优先因子构造一个单目标的优化模型，再求解一个单目标的优化问题即可，这种方法缺点在于需要事先知道各个目标的优先顺序。分层序列优化法，是直接按优化顺序逐个优化各个目标函数，此方法需要保证每个单目标函数优化后可获得多个最优解。

发明内容

本发明的目的在于提供一种能够克服上述技术问题的求解Pareto最优解集的多目标无功优化方法，本发明在涉及含多个目标函数优化问题的求解时，能够通过设置对某些目标函数的最低要求，求解其他目标函数的最优值，即能够求取在这些目标函数的最低要求下多目标无功优化问题的最优解领域。

Pareto最优解是指这样的一种解：若改善其中某些目标，必需以牺牲其他目标作为代价，也就是说它是当前条件下最好的解，由Pareto最优解构成的曲线、面或者立体空间称为Pareto前沿面。求Pareto最优解集方法，是以其中一个目标函数作为多目标优化模型的目标函数，其他目标函数放在不等式约束中，从而只需求解一个单目标优化问题即可，它所求得的最优解是当前要求下的最优的解，也就是说其中一个目标函数的改善必然会导致其他目标函数的恶化，它克服了其他传统算法的主观性弱点。

本发明对于含N个目标函数的多目标无功优化模型，首先，将模型的Pareto 最优解形成的Pareto前沿面投影到N-1维空间，同时会得到N维空间中Pareto前沿面的N-1个边界的投影，通过连线、取点、检验三个环节选择N-1维空间上投影点，再采用加不等式约束方法的思想来确定N个目标函数构成的Pareto前沿面。为了确定N-1维空间上的投影的边界，需要采用递归思想进行处理，即同样将含N-1个目标函数的无功优化模型的Pareto最优解形成的Pareto前沿面投影到N-2维空间中，同时会得到N-1维空间中Pareto前沿面的N-2个边界的投影，通过连线、取点、检验三个环节选择N-2维空间上投影点，再采用加不等式约束方法确定N-2个目标函数形成的Pareto前沿面，以此类推，最终将问题转化为求解含两个目标函数的无功优化问题，这时，能够直接通过切线法分别求得两个目标函数的边界点(即最优值)，再采用加不等式约束的方法来求得两个目标函数构成的Pareto前沿。在计算过程中，求解单目标无功优化模型的算法采用原对偶内点法，初值的给点采用潮流计算的结果。求解Pareto最优解集的多目标无功优化方法避免了其他算法通过构造单目标无功优化模型时产生的主观性，并且能够直观地从Pareto前沿面中看出各个目标函数分布的情况，方便决策者做出满足系统运行需要、合理、可靠的决策。

本发明包括以下步骤：

步骤1、以系统网损、电压偏差和无功补偿费用作为目标函数，以功率平衡方程、发电机无功出力约束、变压器分接头位置约束、无功补偿出力约束和各节点电压幅值的约束作为模型的约束条件，建立多目标无功优化模型；

步骤2、将三目标无功优化模型的Pareto最优解形成的Pareto前沿面投影到其中一个平面，可得到Pareto前沿面在投影平面上的三条边界线的投影；

步骤3、采用切线法求取步骤2中三条边界线的投影；

步骤4、通过取点、连线、检验三个环节选择一个投影点，投影点的系统网损和电压偏差给定，再通过加不等式约束的方法建立对应于该投影点的以无功补偿费用为目标函数的单目标无功优化模型；

步骤5、采用原对偶内点法对步骤4中的单目标无功优化模型进行求解，得到Pareto前沿面上的一个点；

步骤6、按照一定的规律在步骤2中的投影内取点，重复步骤4和步骤5，直到把Pareto前沿面在平面上的投影内所有的点都遍历，这样便能够得到三目标无功优化模型Pareto最优解形成的Pareto前沿面；

步骤7、通过观察Pareto前沿面或者计算，求出满足某些目标函数的最低要 求下的步骤1中多目标无功优化模型的最优解；根据以上步骤，作出求解Pareto最优解集的多目标无功优化方法的算法流程图见图1。

所述步骤1中的建立系统网损、电压偏差和无功补偿费用为目标函数的多目标无功优化模型的步骤具体为：

1)以系统网损、电压偏差和无功补偿费用为目标函数。

2)考虑各种系统运行约束和安全约束，包含各节点功率平衡约束(平衡节点除外)、各控制变量的约束和状态变量的约束，其中控制变量有发电机无功出力、无功补偿量和各变压器变比，状态变量主要是各节点的电压幅值。

3)以1)中的三个目标函数作为目标函数，以第2)步中的约束条件作为约束，建立以最小化系统网损、电压偏差和无功补偿费用为目标的多目标无功优化模型。

所述步骤2中将三目标无功优化模型的Pareto最优解形成的Pareto前沿面投影到其中一个平面的过程如下：

假设Pareto前沿面的方程如下：

f(x,y,z)＝0

则f(x,y,z)＝0在XOY平面上的投影为：

$\left\{\begin{array}{c}f(x,y,0)=0\\ z=0\end{array}\right.$

所述步骤3中的求取步骤2中三条边界线投影(在XOY平面上的投影)的方法如下：

设X轴代表系统网损，Y轴代表电压偏差，Z轴代表无功补偿费用，以无功补偿费用和电压偏差作为目标函数，建立一个双目标的无功优化模型，采用切线法进行求解，即构造一个目标函数：

f(x)＝(1-λ)DV+λQ_cost，λ∈[0，1]

并将原来的双目标无功优化模型转化为单目标无功优化模型，采用原对偶内点法进行求解，并让λ以一定的步长Δλ在区间[0,1]上变化，设λ_i＝λ₀+iΔλ，i＝0,1,2,…,n，其中，λ₀＝0，λ_n＝1。假设，DV_i和Q_costi对应于λ取λ_i时优化后得到的电压偏差和无功补偿费用，Ploss_i为优化后计算得到的网损，则由这n+1个点(Ploss_i,DV_i)，i＝0,1,2,…,n在XOY平面上构成的曲线即是Pareto前沿面的边界在XOY中投影的第一条边界线。

同理，以无功补偿费用和系统网损作为目标函数，建立一个双目标的无功 优化模型，采用切线法进行求解，能够得到Pareto前沿面边界在XOY中投影的第二条边界线。

对于第三条边界线的求解，只需直接采用切线法求解以电压偏差和系统网损为目标函数的双目标无功优化模型即可，无需计算无功补偿费用，便能够得到Pareto前沿面的边界在XOY中投影的三条边界线。

Pareto前沿面的三条边界线在XOY平面中的投影参照图2。

所述步骤4中选择投影点的具体步骤如下：

1)取点，对于步骤3中求出的Pareto前沿面边界在XOY平面中的三个投影，围成了条闭合的曲线，如图2所示，以点P(为黑线与红线的交点)作为起点，分别往两个相反的方向等距离取点。

2)连线，将第1)步中两个相反方向的对应的点用线段连接起来。

3)检验，在第2)步中得到的线段上等距离取点，判断所取点是否在闭合曲线围成的平面内，若不在，则应剔除。

所述步骤4中，通过加不等式约束的方法建立单目标无功优化模型具体过程如下：

首先，经过取点，连线，检验三个环节后，得到一个在闭合曲线内的投影点(Ploss₀,DV₀)。

然后，增加两个不等式约束：Ploss≤Ploss₀,DV≤DV₀，将以上两个不等式约束加入到以无功补偿费用为目标函数的单目标无功优化模型中，即可构造出求解Pareto前沿点的单目标无功优化模型。

本发明以系统网损、电压偏差和无功补偿费用作为目标函数为例，本发明具体包括以下步骤：

步骤1、以系统网损、电压偏差和无功补偿费用作为目标函数，以功率平衡方程、发电机无功出力约束、变压器分接头位置约束、无功补偿出力约束和各节点电压幅值的约束作为模型的约束条件，建立多目标无功优化模型；

步骤2、将三目标无功优化模型的Pareto最优解形成的Pareto前沿面投影到其中一个平面，可得到Pareto前沿面在投影平面上的三条边界线的投影；

步骤3、采用切线法求取步骤2中三条边界线的投影；

步骤4、通过取点、连线、检验三个环节选择一个投影点，投影点的系统网损和电压偏差给定，再通过加不等式约束的方法建立对应于该投影点的以无功补偿费用为目标函数的单目标无功优化模型；

步骤5、采用原对偶内点法对步骤4中的单目标无功优化模型进行求解，得 到Pareto前沿面上的一个点；

步骤6、按照一定的规律在步骤2中的投影内取点，重复步骤4和步骤5，直到把Pareto前沿面在平面上的投影内所有的点都遍历，这样便能够得到三目标无功优化模型Pareto最优解形成的Pareto前沿面；

步骤7、通过观察Pareto前沿面或者计算，求出满足某些目标函数的最低要求下的步骤1中多目标无功优化模型的最优解。

根据以上步骤，作出求解Pareto最优解集的多目标无功优化方法的算法流程图见图1。

在上述步骤1中，建立系统网损、电压偏差和无功补偿费用为目标函数的多目标无功优化模型的步骤具体为：

1)以系统网损、电压偏差和无功补偿费用为目标函数，其中系统网损的计算公式为

$\mathrm{Ploss}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{V}_i\underset{j=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{V}_j{G}_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}---\left(0.1\right)$

其中，P_Loss是电网的有功损耗，G_ij、B_ij、θ_ij分别为节点i与节点j之间的电导、电纳以及电压相角。V_i、V_j分别是节点i与节点j的电压幅值。

电压偏差的计算公式为

$\mathrm{DV}=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{(V_i-V_{\mathrm{iB}})}^2---\left(0.2\right)$

若节点i是发电机节点时，V_iB＝1.05，当节点i是负荷节点时，V_iB＝1。电压偏差大小反映了电能质量的水平。

无功补偿费用的计算公式为

$Q_{\cos t}=\underset{i=1}{\overset{N_{\mathrm{Gen}}}{\mathrm{\Σ}}}{k}_{\mathrm{Gi}}{Q}_{\mathrm{Gi}}+\underset{j=1}{\overset{\mathrm{Nc}}{\mathrm{\Σ}}}{k}_{\mathrm{Cj}}{Q}_{\mathrm{Cj}}---\left(0.3\right)$

其中，Q_cost代表无功补偿费用，Q_Gi,k_Gi表示发电机i的无功出力以及其单位无功出力的运行费用，Q_Cj,k_Cj表示补偿电容器j的无功出力以及其单位无功出力的运行费用，N_Gen为发电机总个数，N_C为无功补偿器总个数。

2)考虑各种系统运行约束和安全约束，包含各节点功率平衡约束(平衡节点除外)、各控制变量的约束和状态变量的约束，其中控制变量有发电机无功出 力、无功补偿量和各变压器变比，状态变量主要是各节点的电压幅值。

3)建立如下以下多目标无功优化模型如下：

min{Ploss，DV，Q_cost}

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔP}}_i=P_{\mathrm{Gi}}-P_{\mathrm{Li}}-V_i\underset{j\∈i}{\mathrm{\Σ}}{V}_j(G_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})=0,i\∈S\\ {\mathrm{\ΔQ}}_i=Q_{\mathrm{Gi}}-Q_{\mathrm{Li}}+Q_{\mathrm{ci}}-V_i\underset{j\∈i}{\mathrm{\Σ}}{V}_j(G_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}-B_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})=0,i\∈S\\ \underset{\‾}{V_i}\≤V_i\≤{\stackrel{\‾}{V}}_i,i\∈S\\ {\underset{\‾}{Q}}_{\mathrm{Gi}}\≤Q_{\mathrm{Gi}}\≤{\stackrel{\‾}{Q}}_{\mathrm{Gi}},i\∈S_G\\ 0\≤Q_{\mathrm{Ci}}\≤{\stackrel{\‾}{Q}}_{\mathrm{Ci}},i\∈S_C\\ \underset{\‾}{T_l}\≤T_l\≤{\stackrel{\‾}{T}}_l,l\∈S_T\end{array}\right.---\left(0.4\right)$

其中分别为节点i的电压幅值V_i的上限和下限，S为系统中所有节点的集合；分别为发电机i无功出力Q_Gi的上下限，S_G为系统中所有可作无功源的发电机集合；为无功补偿装置i补偿量Q_Ci上界，S_C为所有无功补偿装置的集合；分别为变压器l的分接头位置T_l的上下界，T_l为离散变量，S_T为所有变压器的集合。

所述步骤2中将三目标无功优化模型的Pareto最优解形成的Pareto前沿面投影到其中一个平面的过程如下：

假设，Pareto前沿面的方程如下：

f(x，y，z)＝0    (0.5) 

则f(x,y,z)＝0在XOY平面上的投影为：

$\left\{\begin{array}{c}f(x,y,0)=0\\ z=0\end{array}\right.---\left(0.6\right)$

所述步骤3中的求取步骤2中三条边界线投影(在XOY平面上的投影)的方法如下：

设X轴代表系统网损，Y轴代表电压偏差，Z轴代表无功补偿费用，以无功补偿费用和电压偏差作为目标函数，式(0.4)中的约束条件作为约束，建立一个双目标的无功优化模型，采用切线法进行求解，即构造一个目标函数：

f(x)＝(1-λ)DV+λQ_cost，λ∈[0，1]    (0.7) 

并将原来的双目标无功优化模型转化为单目标无功优化模型，采用原对偶内点法进行求解，并让λ以一定的步长Δλ在区间[0,1]上变化，设λ_i＝λ₀+iΔλ，i＝0,1,2,…,n，其中，λ₀＝0，λ_n＝1。假设，DV_i和Q_costi对应于λ取λ_i时优化后得到的电压偏差和无功补偿费用，Ploss_i为优化后计算得到的网损，则由这n+1个点 (Ploss_i,DV_i)，i＝0,1,2,…,n在XOY平面上构成的曲线即是Pareto前沿面的边界在XOY中投影的第一条边界线。

同理，以无功补偿费用和系统网损作为目标函数，式(0.4)中的约束条件作为约束，建立一个双目标的无功优化模型，采用切线法进行求解，能够得到Pareto前沿面边界在XOY中投影的第二条边界线。

对于第三条边界线的求解，只需直接采用切线法求解以电压偏差和系统网损为目标函数的双目标无功优化模型即可，无需计算无功补偿费用，便能够得到Pareto前沿面的边界在XOY中投影的三条边界线。

Pareto前沿面的三条边界线在XOY平面中的投影参照图2。

所述步骤4中选择投影点的具体步骤如下：

1)取点。对于步骤3中求出的Pareto前沿面边界在XOY平面中的三个投影，围成了条闭合的曲线，如图2所示，以点P(为黑线与红线的交点)作为起点，分别往两个相反的方向等距离取点。

2)连线。将第1)步中两个相反方向的对应的点用线段连接起来。

3)检验。在第2)步中得到的线段上等距离取点，判断所取点是否在闭合曲线围成的平面内，若不在，则应剔除。

所述步骤4中，通过加不等式约束的方法建立单目标无功优化模型具体过程如下：

首先，经过取点，连线，检验三个环节后，得到一个在闭合曲线内的投影点(Ploss₀,DV₀)。

然后，增加两个不等式约束：Ploss≤Ploss₀,DV≤DV₀。

最后，能够得到以无功补偿费用为目标函数的单目标无功优化模型如下：

min Q_cost

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔP}}_i=P_{\mathrm{Gi}}-P_{\mathrm{Li}}-V_i\underset{j\∈i}{\mathrm{\Σ}}{V}_j(G_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})=0,i\∈S\\ {\mathrm{\ΔQ}}_i=Q_{\mathrm{Gi}}-Q_{\mathrm{Li}}+Q_{\mathrm{ci}}-V_i\underset{j\∈i}{\mathrm{\Σ}}{V}_j(G_{\mathrm{ij}}\sin {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}-B_{\mathrm{ij}}\cos {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}})=0,i\∈S\\ \underset{\‾}{V_i}\≤V_i\≤{\stackrel{\‾}{V}}_i,i\∈S\\ {\underset{\‾}{Q}}_{\mathrm{Gi}}\≤Q_{\mathrm{Gi}}\≤{\stackrel{\‾}{Q}}_{\mathrm{Gi}},i\∈S_G\\ 0\≤Q_{\mathrm{Ci}}\≤{\stackrel{\‾}{Q}}_{\mathrm{Ci}},i\∈S_C\\ \underset{\‾}{T_l}\≤T_l\≤{\stackrel{\‾}{T}}_l,l\∈S_T\\ \mathrm{Ploss}\≤{\mathrm{Ploss}}_0\\ \mathrm{DV}\≤{\mathrm{DV}}_0\end{array}\right.---\left(0.8\right)$

本发明相对于现有技术具有如下的优点及效果：

(1)本发明在无功优化过程中综合考虑了多个目标的最优，在实际操作上还能够添加其他目标函数作为多目标无功优化模型的目标函数。

(2)本发明采用求取多目标无功优化模型Pareto最优解集的方法，有效地避免了其他算法通过构造单目标无功优化模型时产生的主观性，从客观的角度来衡量多目标无功优化模型的解的最优性。

(3)本发明采用采用原对偶内点法求解多目标无功优化模型，计算速度快，具有多项式时间特性。

(4)本发明能够直观地从Pareto前沿面中看出各个目标函数分布的情况，用户只需要提供对各个目标函数的最低要求，能够通过查表的方式来获取满足其需要的最优解，方便决策者做出满足系统运行需要、合理、可靠的决策。

附图说明

图1是本发明的求解Pareto最优解集的多目标无功优化方法的算法流程图；

图2是本发明的Pareto前沿面的三条边界线在XOY平面中的投影示意图；

图3是本发明的IEEE14节点系统的接线图；

图4是本发明的IEEE14节点算例中Pareto前沿面的三条边界在XOY平面中的投影示意图；

图5为本发明的算例中求解多目标无功优化模型最终得到的Pareto前沿面示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细描述。

以IEEE14节点系统作为算例，该系统有14个节点，17条传输线路，3台变压器，5台发电机组，1号节点作为平衡节点，3个装有容性无功补偿的负荷节点，补偿的节点为9，13，14号节点。PV节点和平衡节点的电压设置为0.90-1.10，PQ节点的电压设置为0.95-1.05，可调变压器变比范围为0.90-1.10。并假定所有单位无功补偿费用为1(采用标幺值)。IEEE14节点系统的接线图见图3。下面具体说明用原对偶内点法Pareto最优解集的多目标无功优化的算法步骤：

第一步，设置算法程序的系统参数。系统节点的个数为14，线路的条数为17，变压器的台数为3，发电机的台数为5，无功补偿节点的个数为3，迭代收敛精度1e-6，中心参数(内点法中使用)为0.2，以及最大迭代次数为50。

第二步，输入数据。输入的数据包括线路参数，变压器参数，接地支路参数，PV节点参数，PQ节点参数，平衡节点参数。具体情况见表1，其中参数后面加“(待求)”代表需求解的变量，这些参数要求给出初值。

表1输入数据

第三步，采用快速分解进行潮流计算。潮流计算中，PQ节点电压的初值设置为1，平衡节点以外的节点电压相角初值为0。进行潮流计算的目的是给出一个满足无功优化模型等式约束(潮流方程)的初始值，用于启动原对偶内点，提高算法的收敛性能和收敛速度。

第四步，设置原对偶内点法中对偶变量迭代的初始值，需要注意的是它们的初值应保证满足KKT一阶最优性条件：等式对应的约束对应的对偶变量应取非零值，不等式约束对应的对偶变量应取大于0的值。

第五步，采用切线法求取Pareto前沿面三条边界线的在XOY平面上的投影。以无功补偿费用和电压偏差作为目标函数为例，先构造一个目标函数：f(x)＝(1-λ)DV+λQ_cost，λ∈[0,1]，让λ以一定的步长Δλ(这里取0.1)在区间[0,1]上变化，设λ_i＝λ₀+iΔλ，i＝0,1,2,…,n，其中，λ₀＝0，λ_n＝1，一共有11个点。采用原对偶内点法对这11点的单目标无功优化模型进行求解，得到11个点对应的最优解，再计算这11个最优解对应的系统网损，便能够得到由系统网损和电 压偏差构成的11个点(Ploss_i,DV_i)，由这11个点(Ploss_i,DV_i)，i＝0,1,2,…,n在XOY平面上构成的曲线即是Pareto前沿面的边界在XOY中投影的第一条边界线，其曲线的图形见图4中红线。同理，以无功补偿费用和系统网损作为目标函数，采用切线法进行求解，能够得到Pareto前沿面边界在XOY中投影的第二条边界线，其曲线的图形见图4中蓝线。对于第三条边界线的求解，只需直接采用切线法求解以电压偏差和系统网损为目标函数的双目标无功优化模型即可，无需计算无功补偿费用，便能够得到Pareto前沿面的边界在XOY中投影的三条边界线，其曲线的图形见图4中黑线。

第六步，按照算法步骤4进行取点，建立新的单目标的无功优化模型。

第七步，采用原对偶内点法对第六步中的单目标无功优化模型进行求解，得到Pareto前沿面上的一个点。

第八步，重复第六步与第七步，直到完成所有点的计算。

第九步，作图，形成一个Pareto前沿面，见图5。

第十步，根据Pareto前沿面求出满足用户要求的多目标无功优化模型的最优解。这里提出一个要求，无功补偿费用不大于0.860，电压偏差不大于0.02，观察表2中Pareto前沿点(只列举了第30到第50个前沿点)，能够得到系统网损最小值点出现在第41个Pareto前沿点，系统网损值为0.036537，并从缓存中找到第41个Pareto前沿点对应的解，即为这种情况下多目标无功优化模型的最优解。

表2第30到第50个Pareto前沿点

每次采用不同目标函数进行优化时，系统参数和输入数据都需保持一致。

图2中黑线代表以系统网损和电压偏差为目标函数的多目标无功优化模型的Pareto最优解曲线在XOY平面上的投影，红线代表以系统网损和无功补偿费用为目标函数的多目标无功优化模型的Pareto解曲线在XOY平面上的投影，绿线代表以电压偏差和无功补偿费用为目标函数的多目标无功优化模型的Pareto解曲线在XOY平面上的投影，中间蓝色的线段为算法步骤4中的连接。

图4中，黑线代表以系统网损和电压偏差为目标函数的多目标无功优化模型的Pareto最优解曲线在XOY平面上的投影，红线代表以系统网损和无功补偿费用为目标函数的多目标无功优化模型的Pareto解曲线在XOY平面上的投影，蓝线代表以电压偏差和无功补偿费用为目标函数的多目标无功优化模型的Pareto解曲线在XOY平面上的投影。

以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明公开的范围内，能够轻易想到的变化或替换，都应涵盖在本发明权利要求的保护范围内。

Claims (6)

1.求解Pareto最优解集的多目标无功优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、以系统网损、电压偏差和无功补偿费用作为目标函数，以功率平衡方程、发电机无功出力约束、变压器分接头位置约束、无功补偿出力约束和各节点电压幅值的约束作为模型的约束条件，建立多目标无功优化模型；

步骤2、将三目标无功优化模型的Pareto最优解形成的Pareto前沿面投影到其中一个平面，可得到Pareto前沿面在投影平面上的三条边界线的投影；

步骤3、采用切线法求取步骤2中三条边界线的投影；

步骤4、通过取点、连线、检验三个环节选择一个投影点，投影点的系统网损和电压偏差给定，再通过加不等式约束的方法建立对应于该投影点的以无功补偿费用为目标函数的单目标无功优化模型；

步骤5、采用原对偶内点法对步骤4中的单目标无功优化模型进行求解，得到Pareto前沿面上的一个点；

步骤6、按照一定的规律在步骤2中的投影内取点，重复步骤4和步骤5，直到把Pareto前沿面在平面上的投影内所有的点都遍历，这样便能够得到三目标无功优化模型Pareto最优解形成的Pareto前沿面；

步骤7、通过观察Pareto前沿面或者计算，求出满足某些目标函数的最低要求下的步骤1中多目标无功优化模型的最优解。

2.根据权利要求1所述的求解Pareto最优解集的多目标无功优化方法，其特征在于：

所述步骤1中的建立系统网损、电压偏差和无功补偿费用为目标函数的多目标无功优化模型的步骤具体为：

1)以系统网损、电压偏差和无功补偿费用为目标函数；

2)考虑各种系统运行约束和安全约束，包含各节点功率平衡约束、各控制变量的约束和状态变量的约束，其中控制变量有发电机无功出力、无功补偿量和各变压器变比，状态变量主要是各节点的电压幅值；

3)以1)中的三个目标函数作为目标函数，以第2)步中的约束条件作为约束，建立以最小化系统网损、电压偏差和无功补偿费用为目标的多目标无功优化模型。

3.根据权利要求1所述的求解Pareto最优解集的多目标无功优化方法，其特征在于：

所述步骤2中将三目标无功优化模型的Pareto最优解形成的Pareto前沿面投影到其中一个平面的过程如下：

假设Pareto前沿面的方程如下：

f(x,y,z)＝0

则f(x,y,z)＝0在XOY平面上的投影为：

。

4.根据权利要求1所述的求解Pareto最优解集的多目标无功优化方法，其特征在于：

所述步骤3中的求取步骤2中三条边界线投影的方法如下：

设X轴代表系统网损，Y轴代表电压偏差，Z轴代表无功补偿费用，以无功补偿费用和电压偏差作为目标函数，建立一个双目标的无功优化模型，采用切线法进行求解，即构造一个目标函数：

f(x)＝(1-λ)DV+λQ_cost，λ∈[0,1]

并将原来的双目标无功优化模型转化为单目标无功优化模型，采用原对偶内点法进行求解，并让λ以一定的步长Δλ在区间[0,1]上变化，设λ_i＝λ₀+iΔλ，i＝0,1,2,…,n，其中，λ₀＝0，λ_n＝1，假设，DV_i和Q_costi对应于λ取λ_i时优化后得到的电压偏差和无功补偿费用，Ploss_i为优化后计算得到的网损，则由这n+1个点(Ploss_i,DV_i)，i＝0,1,2,…,n在XOY平面上构成的曲线即是Pareto前沿面的边界在XOY中投影的第一条边界线，

同理，以无功补偿费用和系统网损作为目标函数，建立一个双目标的无功优化模型，采用切线法进行求解，能够得到Pareto前沿面边界在XOY中投影的第二条边界线；

对于第三条边界线的求解，只需直接采用切线法求解以电压偏差和系统网损为目标函数的双目标无功优化模型即可，无需计算无功补偿费用，便能够得到Pareto前沿面的边界在XOY中投影的三条边界线。

5.根据权利要求1所述的求解Pareto最优解集的多目标无功优化方法，其特征在于：

所述步骤4中选择投影点的具体步骤如下：

1)取点，对于步骤3中求出的Pareto前沿面边界在XOY平面中的三个 投影，围成了条闭合的曲线，以点P作为起点，分别往两个相反的方向等距离取点；

2)连线，将第1)步中两个相反方向的对应的点用线段连接起来，

3)检验，在第2)步中得到的线段上等距离取点，判断所取点是否在闭合曲线围成的平面内，若不在，则应剔除。

6.根据权利要求1所述的求解Pareto最优解集的多目标无功优化方法，其特征在于：

所述步骤4中，通过加不等式约束的方法建立单目标无功优化模型具体过程如下：

首先，经过取点，连线，检验三个环节后，得到一个在闭合曲线内的投影点(Ploss₀,DV₀)，

然后，增加两个不等式约束：Ploss≤Ploss₀,DV≤DV₀，将以上两个不等式约束加入到以无功补偿费用为目标函数的单目标无功优化模型中，即可构造出求解Pareto前沿点的单目标无功优化模型。