CN104899423B

CN104899423B - 一种动车组子系统关键部件运用可靠性评估方法

Info

Publication number: CN104899423B
Application number: CN201510225640.7A
Authority: CN
Inventors: 罗敏; 马哲; 陆正刚; 李道军; 李�浩
Original assignee: Tongji University
Current assignee: Tongji University
Priority date: 2015-05-06
Filing date: 2015-05-06
Publication date: 2017-12-15
Anticipated expiration: 2035-05-06
Also published as: CN104899423A

Abstract

本发明涉及轨道车辆安全领域，具体涉及一种动车组子系统关键部件运用可靠性评估方法，主要包括：建立动车组子系统结构树并进行现场数据预处理，获得故障间隔运行里程数据；计算所得样本的均值、方差、二阶矩、三阶矩、四阶矩、偏度C_s、峰度C_e、平均失效率以及对数化样本的偏度C_s’、峰度C_e’；确定部件寿命分布和参数估计算法；计算平均故障间隔时间和可靠度。本发明有效处理动车组实际运行数据并对动车组部件进行运行可靠性估计，解决了动车组上线运用可靠性分析缺乏的问题，同时，本发明的基于现场数据的动车组关键部件运行可靠性评估方法也适用于其他轨道车辆部件的运行可靠性分析。

Description

一种动车组子系统关键部件运用可靠性评估方法

技术领域

本发明涉及轨道车辆安全领域，尤其是涉及一种动车组子系统关键部件运用可靠性评估方法。

背景技术

动车组是极端服役条件下的具有先进功能的复杂技术系统。近年来，一方面我国动车组上线运用数量日益增多，另一方面，国内在动车组运用与维修方面也面临着先期经验匮乏的客观事实，评估动车组子系统关键部件运用可靠性水平，一方面可以为保障车辆的运行安全提供依据，另一方面还可以为列车的修程修制优化提供支撑，从而实现列车运行过程中“安全性”与“经济性”的有机结合。为了切实保证动车组运行安全和经济可用，迫切需要一套基于上线运用现场数据的动车组子系统关键部件运用可靠性评估方法。然而目前还没有有效的可靠性评估方法。

发明内容

本发明的目的就是为了克服上述现有技术存在的空白而提供一种有效的动车组子系统关键部件运用可靠性评估方法。

本发明的目的可以通过以下技术方案来实现：

一种动车组关键部件运行可靠性评估方法，包括以下步骤：

(1)构建标准化动车组子系统结构树，该动车组子系统结构树的最底层为动车组运用现场最小不可拆分部件，每棵树所有层次的部件名称和数量相同；

(2)根据动车组实际上线运用情况，按投入运用时间划分车组批次；

(3)记录同一批次动车组的标准化部件现场发生故障的时间点x_i，i＝1,2,3...,r，r为故障个数；

(4)根据动车组现场动态维修记录的离散时间与运行里程信息的关系，计算对应的动车组运行里程x_i，i＝1,2,3...,r；

(5)计算x_i的均值θ、方差s、二阶矩μ₂、三阶矩μ₃、四阶矩μ₄、偏度C_s、峰度C_e和对数化样本的偏度C_s’、峰度C_e’；

(6)计算部件故障样本的平均失效率，得到失效率表；

(7)选择部件寿命分布模型，确定部件可靠度函数估计方法；

(8)确定单个部件平均故障间隔时间和可靠度函数；

(9)确定车组级部件平均故障间隔时间和可靠度函数；

(10)利用可靠度函数对各个部件进行可靠性评估。

所述的步骤(2)中，从第一批动车投入运行开始，同一批次的所有车组投入运用时间相差不超过一年。

所述的步骤(4)中，采用分段线性插值的方式来获得x_i。

所述的步骤(5)具体包括以下步骤：

(5-1)根据下列公式计算x_i的均值θ、方差s、二阶矩μ₂、三阶矩μ₃、四阶矩μ₄、偏度C_s、峰度C_e：

C_s＝μ₃/σ³

C_e＝μ₄/σ⁴；

(5-2)将x_i作对数变换，重复步骤(5-1)得到对数化样本的偏度C_s’、峰度C_e’。

所述的步骤(6)具体包括以下步骤：

(6-1)将动车组总运行时间分成k个时间区间Δx，计算每个时间区间长度：

Δx＝(L_a-S_m)/k

其中，k＝1+3.3lgr，L_a为x_i的最大值，S_m为x_i的最小值；

(6-2)计算部件故障样本的平均失效率

其中，Δr_i为第i个时间区间Δx_i内的失效率频数，i＝1,2,3...,k，r_s,i-1为进入第i个时间区间时的样本数，r_s,i-1＝r-r_i-1，r_i-1指进入第i个时间区间的累积失效率。

所述的步骤(7)具体包括以下步骤：

(7-1)判断部件故障数据个数，若大于10，则进入步骤(7-2)；否则返回步骤(7-1)；

(7-2)若|θ-s|＜(θ+s)/5，则部件寿命服从指数分布，否则进入步骤(7-3)；

(7-3)若|C_s|<0.5且|C_e-3|<0.5，则部件寿命服从正态分布，否则进入步骤(7-4)；

(7-4)若|C_s’|<0.5且|C_e’-3|<0.5，则部件寿命服从对数正态分布，否则进入步骤(7-5)；

(7-5)根据步骤(6)中得到的平均失效率表，计算Δλ_i：

若对于i＝1,2,...k均成立，则部件寿命服从指数分布，否则进入步骤(7-6)；

(7-6)对步骤(7-5)中Δλ_i，记Δλ_i＞0的个数为a，Δλ_i＜0个数为b，若a/b≥3/4，则部件寿命服从威布尔分布，否则部件寿命分布无规律，可靠性评估采用非参数方法。

所述的步骤(8)具体为：

(8-1)若部件寿命服从指数分布，则将动车组部件寿命数据作为无替换定时截尾情形，即有n件产品投入使用，到规定的时间x₀进行数据收集，依照时间的先后记录截止到规定时间的失效时间,对应的里程数据为x₁≤x₂≤...≤x_r；

根据定时截尾样本数据，获得该样本的可靠度似然函数L(θ)：

其中，为总运行时间，对L(θ)取对数并求导，求解似然方程，得到θ和λ的极大似然点估计为：

(8-2)若部件寿命服从威布尔分布，则密度函数为：

根据定时截尾样本数据，得到该样本的可靠度似然函数：

使用参数估计迭代数值求解算法求解以下方程组：

得到可靠度函数为：

或

(8-3)若部件寿命服从对数正态分布，则密度函数为：

定时截尾时可靠度似然函数为：

设Z₀＝(lnx₀-μ)/σ，标准正态分布函数Φ(-Z₀)＝1-Φ(Z₀)，并且记Φ(Z₀)为标准正态分布密度函数，则似然方程为：

使用参数估计近似数值求解算法求解上述方程组，即可得到参数μ、σ的极大似然估计，从而得到可靠度函数；

(8-4)若部件寿命服从正态分布，正态分布的求解为：将对数正态分布密度函数f(x)中的lnx替换为x，其余步骤与对数正态分布的求解方法相同；

(8-5)若部件寿命分布无规律，令收集到的部件数据为x₁，x₂，x_i...x_r，当x_i是故障数据时，令δ_i＝1；当x_i是右截尾数据时，令δ_i＝0，将数据记为(x_i,δ_i),i＝1,2,...,r，将这些x_i按从小到大排列，为x₁≤x₂≤...≤x_r。

可靠度函数的乘积限估计为：

平均寿命估计如下：

本发明具有以下优点：

1)针对我国动车组运用现场实际情况，将动车组标准化并建立子系统结构树，有助于建立标准化数据分析模型，解决动车组上线运用可靠性分析缺乏的问题。

2)通过对故障数据分布类型进行判别，根据分布类型计算可靠度函数，提高可靠性估计的准确度。

3)本发明的基于现场数据的动车组关键部件运行可靠性评估方法也适用于其他轨道车辆部件的运行可靠性分析。

附图说明

图1为本发明的流程图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细说明。本实施例以本发明技术方案为前提进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。

如图1所示，本实施例的方法实现具体包括以下步骤：

S01，构建动车组子系统结构树。

动车组子系统结构树的最低层为动车组运用现场最小不可拆分部件，每棵树所有层次的部件名称和数量相同。

S02，划分车组批次。

根据动车组实际上线运用情况，可将车组按投入运用时间分成不同批次。如，不同批次车组投入运用时间间隔一般在2到3年以上，故投入运用时间间隔不超过一年的车组列可认为同一批次。

S03，故障时间点记录。

记录同一批次动车组的标准化部件现场发生故障的时间点r_i，i＝1，2，3...r，r为故障个数。

S04，故障运行时间计算。

根据动车组现场动态维修记录的离散时间-运行里程信息，采用分段线性插值的方式计算各个时间点x_i上对应的动车组运行里程x_i，i＝1，2，3...r。

S05，统计数据参数计算。

将动车组总运行时间分成k个时间区间Δx，计算x_i的均值θ、方差s、二阶矩μ₂、三阶矩μ₂、四阶矩μ₄、偏度C_s、峰度C_e和对数化样本的偏度C_s’、峰度C_e’，具体包括以下步骤：

S0501，将动车组总运行时间分成k个时间区间Δx，计算每个时间区间长度

Δx＝(L_a-S_m)/k

其中，k＝1+3.3lgr，L_a为x_i最大值，S_m为x_i最小值。

S0502，根据下列公式计算x_i的均值θ、方差s、二阶矩μ₂、三阶矩μ₃、四阶矩μ₄、偏度C_s、峰度C_e：

C_s＝μ₃/σ³

C_e＝μ₄/σ⁴。

S0503，将x_i作对数变换，重复步骤(5-2)得到对数化样本的偏度C_s’、峰度C_e’。

S06，计算失效率表。

计算部件故障样本的平均失效率得到失效率表：

其中，Δr_i为第i个时间区间Δr_i内的失效率频数，i＝1，2，3...k，r_s,i-1为进入第i个时间区间时的样本数，r_s,i-1＝r-r_i-1，r_i-1指进入第i个时间区间的累积失效率。

S07，寿命分布模型选择。

选择部件寿命分布模型，确定部件可靠度函数估计方法，具体包括以下步骤：

S0701，判断部件故障数据个数，若大于10，则进入步骤S0702。

S0702，若|θ-s|＜(θ+s)/5，则部件寿命服从指数分布，否则进入步骤S0703。

S0703，若|C_s|<0.5且|C_e-3|<0.5，则部件寿命服从正态分布，否则进入步骤S0704。

S0704，若|C_s’|<0.5且|C_e’-3|<0.5，则部件寿命服从对数正态分布，否则进入步骤S0705。

S0705，根据步骤(6)中得到的平均失效率表，计算Δλ_i：

若对于i＝1,2,...k均成立，则部件寿命服从指数分布，否则进入步骤S0706。

S0706，对步骤S0705中Δλ_i，记Δλ_i＞0的个数为a，Δλ_i＜0个数为b，若a/b≥3/4，则部件寿命服从威布尔分布，否则部件寿命分布无规律，可靠性评估采用非参数方法。

S08，可靠度函数计算。具体包括以下步骤：

S0801，若部件寿命服从指数分布，则将动车组部件寿命数据作为无替换定时截尾情形，即有n件产品投入使用，到规定的里程x₀进行数据收集，依照里程的先后记录截止到规定里程的失效里程得x₁≤x₂≤...≤x_i。

根据定时截尾样本数据，写出该样本的可靠度似然函数L(θ)：

S0802，若部件寿命服从威布尔分布，则密度函数为：

威布尔分布可以利用概率值很容易地推断出它的分布参数，η为比例参数，m为形状参数。代入里程数据x_i，根据定时截尾样本数据，得到该样本的可靠度似然函数：

其中，L是似然函数，δ_i是似然函数参数，使用用参数估计迭代数值求解算法求解以下方程组：

得到可靠度函数为：

或

其中，参数估计迭代数值求解算法具体步骤为：

S0802a，记：

S0802b，选择初值m₀＝1。

S0802c，令

S0802d，重复步骤S0802c，直到|m_k+1-m_k|＜0.0001，得到m＝m_k+1。

S0802e，根据下式计算η：

S0803，若部件寿命服从对数正态分布，则密度函数为：

定时截尾时可靠度似然函数为：

使用参数估计近似数值求解算法求解上述方程组，即可得到参数μ、σ的极大似然估计，从而得到可靠度函数。

其中，参数估计近似数值求解算法具体包括以下步骤：

S0803a，选择初值μ₀，σ₀。

S0803b，计算

其中U(z_s)＝[V(z_s)-z_s]。

S0803c，重复步骤(8-3b)，直到|μ_k+1-μ_k|＜0.0001且得到最终的μ，σ极大似然估计。

S0804，若部件寿命服从正态分布，正态分布的求解为：将对数正态分布密度函数f(t)中的lnx替换为x，其余步骤与对数正态分布的求解方法相同。

S0805，若部件寿命分布无规律，令收集到的部件数据为x₁，x₂，x_i...x_r，当x_i是故障数据时，令δ_i＝1；当x_i是右截尾数据时，令δ_i＝0，这样数据可记为(x_i,δ_i),i＝1,2,...,r，将这些x_i按从小到大排列，对应的里程数据为x₁≤x₂≤...≤x_r。

可靠度函数的乘积限估计为：

平均寿命估计如下：

在获得上述单个部件平均故障间隔时间和可靠度函数后，可根据动车组编组情况，计算车组级部件平均故障间隔时间和可靠度。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。

Claims

1.一种动车组关键部件运行可靠性评估方法，其特征在于，包括以下步骤：

(2)根据动车组实际上线运用情况，按投入运用时间划分车组批次，得到有n件产品投入使用；

(3)记录同一批次动车组的标准化部件现场发生故障的时间点t_i，i＝1,2,3...,r，r为故障个数；

(4)根据动车组现场动态维修记录的离散时间与运行里程信息的关系，计算各个时间点t_i上对应的动车组运行里程x_i，i＝1,2,3...,r；

(6)计算部件故障样本的平均失效率，得到失效率表，具体为：

(6-1)将动车组总运行里程分成k个里程区间Δx，计算每个里程区间长度：

Δx＝(L_a-S_m)/k

其中，k＝1+3.3lgn，L_a为x_i的最大值，S_m为x_i的最小值；

(6-2)计算部件故障样本的平均失效率

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其中，Δr_i为第i个里程区间Δx_i内的失效率频数，i＝1,2,3...,k，r_s,i-1为进入第i个时间区间时的样本数，r_s,i-1＝r-r_i-1，r_i-1指进入第i个时间区间的累积失效率；

(7)选择部件寿命分布模型，确定部件可靠度函数估计方法，具体为：

(7-5)根据步骤(6)中得到的平均失效率表，计算Δλ_i：

<mrow> <msub> <mi>&Delta;&lambda;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>=</mo> <mover> <mi>&lambda;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mover> <mi>&lambda;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&Delta;x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

(7-6)对步骤(7-5)中Δλ_i，记Δλ_i＞0的个数为a，Δλ_i＜0个数为b，若a/b≥3/4，则部件寿命服从威布尔分布，否则部件寿命分布无规律，可靠性评估采用非参数方法；

(8)确定单个部件平均故障间隔时间和可靠度函数；

(9)确定车组级部件平均故障间隔时间和可靠度函数；

(10)利用可靠度函数对各个部件进行可靠性评估。

2.根据权利要求1所述的一种动车组关键部件运行可靠性评估方法，其特征在于，所述的步骤(2)中，从第一批动车投入运行开始，同一批次的所有车组投入运用时间相差不超过一年。

3.根据权利要求1所述的一种动车组关键部件运行可靠性评估方法，其特征在于，所述的步骤(4)中，采用分段线性插值的方式来获得t_i。

4.根据权利要求1所述的一种动车组关键部件运行可靠性评估方法，其特征在于，所述的步骤(5)具体包括以下步骤：

<mrow> <mi>&theta;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>r</mi> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow>

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C_s＝μ₃/σ³

C_e＝μ₄/σ⁴；

5.根据权利要求1所述的一种动车组关键部件运行可靠性评估方法，其特征在于，所述的步骤(8)具体为：

(8-1)若部件寿命服从指数分布，则将动车组部件寿命数据作为无替换定时截尾情形，即有n件产品投入使用，到规定的时间x₀进行数据收集，依照时间的先后记录截止到规定时间的失效时间获得对应的走行里程数据，其中：

x₁≤x₂≤...≤x_r≤x₀，r＜n

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其中，为总运行里程，对L(θ)取对数并求导，求解似然方程，得到θ和λ的极大似然点估计为：

<mrow> <mi>&theta;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>,</mo> <mi>&lambda;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>r</mi> <msub> <mi>X</mi> <mn>0</mn> </msub> </mfrac> <mo>;</mo> </mrow>

(8-2)若部件寿命服从威布尔分布，则密度函数为：

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η为比例参数，m为形状参数，故障样本走行里程为x_i，其中截尾时间x₀，引入似然函数参数δ_i，根据定时截尾样本数据，得到该样本的可靠度似然函数：

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>L</mi> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&Pi;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <mfrac> <mi>m</mi> <msup> <mi>&eta;</mi> <mi>m</mi> </msup> </mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>&eta;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> </msup> <mo>&rsqb;</mo> <mo>}</mo> </mrow> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </msup> <mo>&CenterDot;</mo> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <mi>exp</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>&eta;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> </msup> <mo>&rsqb;</mo> <mo>}</mo> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&Pi;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>n</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <mfrac> <msup> <mi>m</mi> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </msup> <msup> <mi>&eta;</mi> <mrow> <msub> <mi>m&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msup> </mfrac> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>&eta;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> </msup> <mo>&rsqb;</mo> <mo>}</mo> </mrow> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </msup> <mo>&CenterDot;</mo> <mo>{</mo> <mi>exp</mi> <mo>&lsqb;</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>&eta;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>m</mi> </msup> <mo>&rsqb;</mo> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

使用参数估计迭代数值求解算法求解以下方程组：

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>{</mo> <mfrac> <mrow> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>r</mi> </munderover> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>m</mi> </msup> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> </mrow> <mrow> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>r</mi> </munderover> <msubsup> <mi>x</mi> <mi>i</mi> <mi>m</mi> </msubsup> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>m</mi> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>r</mi> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&eta;</mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>r</mi> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>r</mi> </munderover> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mi>m</mi> </msup> <mo>&rsqb;</mo> <mo>}</mo> </mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mi>m</mi> </mfrac> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

得到可靠度函数为：

或

(8-3)若部件寿命服从对数正态分布，则密度函数为：

<mrow> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msqrt> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&pi;</mi> </mrow> </msqrt> <mi>&sigma;</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mi>&mu;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>&sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>></mo> <mn>0</mn> <mo>;</mo> </mrow>

定时截尾时可靠度似然函数为：

<mrow> <mi>L</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&mu;</mi> <mo>,</mo> <mi>&sigma;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msqrt> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&pi;</mi> </mrow> </msqrt> <mi>&sigma;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mi>r</mi> </msup> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>r</mi> </munderover> <mfrac> <mn>1</mn> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> </mfrac> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>&mu;</mi> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <msup> <mi>&sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </msup> <mo>&CenterDot;</mo> <msup> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&mu;</mi> </mrow> <mi>&sigma;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>r</mi> </mrow> </msup> </mrow>

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>&mu;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>&sigma;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mstyle> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>r</mi> </munderover> </mstyle> <mo>(</mo> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>&mu;</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>r</mi> </mrow> <mi>&sigma;</mi> </mfrac> <mfrac> <mrow> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <mi>L</mi> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>&sigma;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mi>r</mi> <mi>&sigma;</mi> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mi>&sigma;</mi> <mn>3</mn> </msup> </mfrac> <mstyle> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>r</mi> </munderover> </mstyle> <mo>(</mo> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mi>&mu;</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mo>)</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>&Phi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>ln</mi> <mi> </mi> <msub> <mi>x</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <mi>&mu;</mi> </mrow> <mi>&sigma;</mi> </mfrac> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> 3

(8-4)若部件寿命服从正态分布，正态分布的求解为：将对数正态分布密度函数f(t)中的lnx替换为x，其余步骤与对数正态分布的求解方法相同；

(8-5)若部件寿命分布无规律，令收集到的部件数据为x₁，x₂，x_i...x_r，当x_i是故障数据时，令δ_i＝1；当x_i是右截尾数据时，令δ_i＝0，将数据记为(x_i,δ_i),i＝1,2,...,r，将这些x_i按从小到大排列，得x₁≤x₂≤...≤x_r；

可靠度函数的乘积限估计为：

<mrow> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>&Element;</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mo>&Pi;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>j</mi> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>r</mi> <mo>-</mo> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>i</mi> </msub> </msup> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>&Element;</mo> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>j</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>j</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>&Element;</mo> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>r</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&infin;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>

平均寿命估计如下：

<mrow> <mi>E</mi> <mi>T</mi> <mo>&ap;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>r</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow> 4