CN104849711A - 基于频域的i-ofdm mimo雷达信号的多普勒补偿方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及雷达信号处理技术领域，基于频域的I-OFDM MIMO雷达信号的多普勒补偿方法，包括以下步骤：步骤1、MIMO雷达数学模型的构建，步骤2、对接收端获得的连续波进行采样，步骤3、求上一步骤得到的回波信号的DFT，步骤4、多普勒补偿矩阵的计算，步骤5、多普勒频率值估计，步骤6、利用获得频率估计值计算补偿矩阵的大小，步骤7、将步骤3获得的信号频谱乘以补偿矩阵，并进行IDFT，本发明能对回波信号的多普勒频率值进行估计，避免了传统方法中利用多个支路多次数的FFT和IFFT计算，减轻了计算量。另外，本发明结合接收信号的DFT和IDFT变换的特征，创造性地利用矩阵形式进行推导补偿矩阵，使补偿矩阵的计算简化，提高了多普勒补偿的速度。

Description

基于频域的I-OFDM MIMO雷达信号的多普勒补偿方法

技术领域

本发明涉及一种基于频域的I-OFDM MIMO雷达信号的多普勒补偿方法，属于雷达信号处理技术领域。

背景技术

伴随着通信上MIMO(Multi-Input Multi-Output)技术的成熟，它被引用到雷达上，使得MIMO雷达成为了当下最热门的概念。相干MIMO雷达要求各工作信号之间相互正交，接收端才能对回波信号中来自各个不同天线的接收波相互分离开。I-OFDM(Interleaved-Orthogonal Frequency Division Multiplexing)是一组相互正交的雷达信号，但运动目标使得回波产生多普勒频移，造成脉冲压缩处理性能下降，甚至会提取不出信号的时延信息。因而，对回波信号进行多普勒补偿已经成为研究热点。

现有的补偿方法中，主要集中对线性调频和二相编码雷达信号进行研究。在现有方法中仍然存在以下几个方面的不足：1，采用MTD方法虽然可以补偿回波信号，但是需要做若干个支路的多个补偿过程和多次FFT(快速傅里叶变换)，IFFT(快速傅里叶逆变换)。过程较为繁琐，计算量比较大，在工程上不实用；2，对于OFDM信号的补偿仅局限在通信上应用的信号，由于工作频率的较大差别，这种补偿方法不适用于OFDM雷达信号；3，对于I-OFDM正交MIMO雷达信号的多普勒补偿方法的研究还需进一步探讨。

发明内容

为了克服现有技术中存在的不足，本发明目的是提供一种基于频域的I-OFDMMIMO雷达信号的多普勒补偿方法。该方法对回波信号能快速，有效地进行补偿，首先利用多个相互正交的I-OFDM作为MIMO雷达的发射波，与空中的单一运动目标作用后，被天线接收。然后对每根接收天线所接收到的回波信号的副本进行多普勒估计，获得的估计值可以计算出补偿矩阵的大小。然后在频域内实现对回波的多普勒补偿。该方法能够以比较简洁地算法完成对多普勒频率的估计，并利用了回波信号在DFT(离散时间傅里叶变换)和IDFT(离散时间傅里叶逆变换)的特性，推导了补偿矩阵。使得补偿过程更简便有效，更贴近工程应用。

为了实现上述发明目的，解决现有技术中所存在的问题，本发明采取的技术方案是：基于频域的I-OFDM MIMO雷达信号的多普勒补偿方法，包括以下步骤：

步骤1、MIMO雷达数学模型的构建：这里假设MIMO雷达各有M根发射天线和N根接收天线组成的天线阵列，两个天线阵列是均匀线性排列，并且是相互平行的，相邻发射天线的距离为d_T，相邻接收天线的距离为d_R，且每两个发射天线阵列均匀线性排列,相邻发射天线的距离为d_T，每两个接收天线阵列相互平行，相邻接收天线的距离为d_R，若采用I-OFDM信号作为雷达的发射信号，则第i个发射天线发射的信号为：

$s_i\left(t\right)=\underset{n=0}{\overset{N_c/M-1}{\mathrm{\Σ}}}d[\mathrm{Mn}+(i-1)]\exp [j2\mathrm{\π}(\mathrm{Mn}+(i-1))\·\mathrm{\Δft}]---\left(1\right)$

式(1)中，s_i(t)表示第i个发射天线发射的I-OFDM信号，N_c表示一个码元长度为T的OFDM信号所有子载波个数，Δf表示相邻载频间隔，n表示调制相位序列d[Mn+(i-1)]的序号，则接收端回波信号的数学模型为：

R(t)＝δ·[R_Ang(β)T_Ang(α)^T]·S(t-τ)·exp[j2πf_vt]     (2)

式(2)中，δ表示信号衰减因子，()^*表示共轭转置，S(t-τ)表示接收端具有时延信息的回波信号向量，f_v表示信号的多普勒频率，τ表示信号的时延，R_Ang(β)和T_Ang(α)分别表示接收和发射相位偏移矩阵，它们是由于发射与接收天线阵列中，各个阵元具有一定间隔而引起的，具体表示为：

$\mathrm{\α}=\frac{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\λ}}{d}_T\sin \mathrm{\θ},\mathrm{\β}\frac{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\λ}}{d}_R\sin \mathrm{\φ}---\left(3\right)$

R_Ang(β)＝[1,exp(-jβ),...,exp(-j(N-1)β)]^T    (4)

T_Ang(α)＝[1,exp(-jα),...,exp(-j(M-1)α)]^T    (5)

式(3)、(4)(5)中，θ和φ分别表示发射角和接收角，α和β分别表示发射通道和接收通道相对于参考通道的角频率差；

步骤2、对接收端获得的连续波进行采样：回波信号的采样间隔为t＝n·T/N_s，T表示一个码元长度，N_s表示一个码元内的总采样点，则接收回波信号离散化后表示为：

$R\left(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}\right)=\mathrm{\δ}\·\exp \left[j2\mathrm{\π}{f}_v\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}\right]\·\left[R_{\mathrm{Ang}}\left(\mathrm{\β}\right)T_{\mathrm{Ang}}{\left(\mathrm{\α}\right)}^T\right]S(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}-\mathrm{\τ})---\left(6\right)$

步骤3、求上一步骤得到的回波信号的DFT：回波信号由时域变换到频域，

$\begin{array}{c}\mathrm{DFT}\left\{R\left(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}\right)\right\}=\mathrm{\δ}\·\left[R_{\mathrm{Ang}}\left(\mathrm{\β}\right)T_{\mathrm{Ang}}{\left(\mathrm{\α}\right)}^T\right]\\ \·\underset{n=0}{\overset{N_s-1}{\mathrm{\Σ}}}S(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}-\mathrm{\τ})\·\exp \left[j2\mathrm{\π}{f}_v\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}\right]\·\exp [-j2\mathrm{\π}\frac{\mathrm{kn}}{N_s}]\end{array}---\left(7\right)$

为了方便，将式(7)改写为以矩阵的形式表示：

$\mathrm{DFT}\left\{R\left(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}\right)\right\}=\mathrm{\δ}\·\left\{\right[B\·A\left]\right[R_{\mathrm{Ang}}\left(\mathrm{\β}\right)T_{\mathrm{Ang}}{\left(\mathrm{\α}\right)}^T\left]\right\}\·S(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}-\mathrm{\τ})---\left(8\right)$

式(8)中，

$B\·A=\left[\begin{array}{cccc}1& a& ...& a^{(N_s*1)}\\ 1& \mathrm{ab}& ...& a^{(N_s-1)}{b}^{(N_s-1)}\\ ...& ...& ...& ...\\ 1& {\mathrm{ab}}^{(N_s-1)}& ...& a^{(N_s-1)}{b}^{{(N_s-1)}^2}\end{array}\right]$

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& ...& 0\\ 0& a& ...& 0\\ ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& ...& a^{N_s-1}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\\ 1& b& ...& b^{N_s-1}\\ ...& ...& ...& ...\\ 1& b^{N_s-1}& ...& b^{(N_s-1)2}\end{array}\right]$

$a=\exp \left[j2\mathrm{\π}{f}_v\frac{1}{N_s\mathrm{\Δf}}\right],b=\exp [-j2\mathrm{\π}\frac{1}{N_s}]$

a表示多普勒频移项，经采样后的一个样本点，b表示离散时间傅里叶变换的基底，A表示多普勒频率矩阵，B表示离散时间傅里叶变换矩阵；

步骤4、多普勒补偿矩阵的计算：为了在频域内对回波信号进行多普勒补偿，若补偿矩阵为C，则补偿后的信号经过离散时间傅里叶逆变换后为：

$\mathrm{IDFT}\{C\·\mathrm{DFT}\{R\left(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}\right)\left\}\right\}=B^{-1}\{C\·[\mathrm{BA}]\·[R_{\mathrm{Ang}}\left(\mathrm{\β}\right)T_{\mathrm{Ang}}{\left(\mathrm{\α}\right)}^T]\·S(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}-\mathrm{\τ})\}---\left(9\right)$

式(9)中，B^-1表示离散傅里叶变换，若C满足C＝inv(B^-1)·[inv(BA)]，则C可以完全补偿信号的多普勒频移，inv()表示对矩阵的求逆运算，为了更进一步计算补偿矩阵，可令多普勒频率为：

f_v＝kΔf     (10)

式(10)中，k是任意的实数，即多普勒频率为载频间隔的k倍，可将步骤3中的B·A进一步化简成：

$B\·A=\left[\begin{array}{cccc}1& b^{N_s-k}& ...& b^{(N_s-k)\left(N_s\right)}\\ 1& b^{N_s-k+1}& ...& b^{(N_s-k+1)(N_s-1)}\\ ...& ...& ...& ...\\ 1& b^{N_s-k-1}& ...& b^{(N_s-k-1)(N_s-1)}\end{array}\right]$

由此看出，补偿矩阵的计算完全依赖于对多普勒频率的估计，一旦多普勒频率确定，则k值就能计算出来，补偿矩阵的具体大小也就可以获得；

步骤5、多普勒频率值估计：根据匹配滤波的基本原理，当接收回波信号与滤波器的冲击响应函数符合匹配滤波要求时，滤波器具有最大的输出值，因此，可以利用这一原理来估计回波的多普勒频率，具体包括以下若干子步骤：

子步骤(a)、首先，计算出步长频率：若目标的径向速度范围是(0,v_max)，系统对速度分辨率要求为Δv，则多普勒频率的计算公式是：

$f_v=\frac{2v}{c}{f}_0---\left(11\right)$

式(11)中，v表示目标径向速度，f₀表示雷达工作频率，据此，可计算出对应的多普勒频率范围为，若系统的速度分辨率为Δv，则步长频率为

$\mathrm{\Δ}{f}_v=\frac{2\mathrm{\Δv}}{c}{f}_0;---\left(12\right)$

子步骤(b)、将接收回波信号的副本移动一定的频率，第一次移动一个步长频率Δf_v，从第二次开始，每次移动的频率都比上次移动的增加一个步长，则第ε次应该移动的频率是ε·Δf_v，这里ε为正整数，表示移动次数；

子步骤(c)、对频率移动后的信号进行匹配滤波：根据匹配滤波工作原理，在第ρ个接收天线的第i滤波器进行滤波后的结果应为：

$\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{\ϵ}}\left(t\right)=\underset{0}{\overset{T}{\∫}}R\left(t\right)\·{s_i}^{*}\left(t\right)\mathrm{dt}=\mathrm{\δ}\·\exp [-j(i-1)\mathrm{\α}]\·\exp [-j(\mathrm{\ρ}-1)\mathrm{\β}]\\ \·\underset{0}{\overset{T}{\∫}}{s}_i(t-\mathrm{\τ}){s_i}^{*}\left(t\right)\·\exp \left[j2\mathrm{\π}(f_v-\mathrm{\ϵ\Δ}{f}_v)t\right]\mathrm{dt}\end{array}---\left(13\right)$

式(13)中，匹配滤波的结果受到多普勒项的影响，当f_v＝ε·Δf_v时，匹配滤波器输出的值最大，对应的频率即是多普勒频率的估计值，此时，步骤4中k的估计值就是ε；

子步骤(d)、将子步骤(c)中输出结果中最大值存储起来；

子步骤(e)、重复子步骤(b)到子步骤(d)的过程，直到移动的频率值等于系统中出现的最大多普勒频率时，即多普勒频率值估计过程结束；

子步骤(f)、根据子步骤(d)存储的值，比较得到其中的最大值，它所对应的频率就是回波信号多普勒频率的估计值f_v'；

步骤6、利用获得频率估计值计算补偿矩阵的大小：将步骤5得到的多普勒频率估计值代入步骤4中的公式，就获得了本次信号的具体的补偿矩阵；

步骤7、将步骤3获得的信号频谱乘以补偿矩阵，并进行IDFT，最后获得的信号就是经过多普勒补偿后的回波信号。

本发明有益效果是：基于频域的I-OFDM MIMO雷达信号的多普勒补偿方法，包括以下步骤：步骤1、MIMO雷达数学模型的构建，步骤2、对接收端获得的连续波进行采样，步骤3、求上一步骤得到的回波信号的DFT，步骤4、多普勒补偿矩阵的计算，步骤5、多普勒频率值估计，步骤6、利用获得频率估计值计算补偿矩阵的大小，步骤7、将步骤3获得的信号频谱乘以补偿矩阵，并进行IDFT，与已有技术相比，本发明基于步骤5对回波信号的多普勒频率值进行估计，避免了传统方法中利用多个支路多次数的FFT和IFFT计算，减轻了计算量。而且相对于有些利用锁相环来测定频率的方法，本发明不需要增加额外的器件，不仅没有增加雷达系统复杂度，而且提高了测量的精度。此外，对多普勒频率的测量部分还可以研究使用更加快捷的搜索方法来提高估计的效率。另一个有益的效果是结合接收信号的DFT和IDFT变换的特征，创造性地利用矩阵形式进行推导补偿矩阵，使补偿矩阵的计算简化，提高了多普勒补偿的速度。从这两方面来看，本发明更加贴近实际应用，为解决雷达领域的多普勒补偿问题提供了一个高效的解决思路。

附图说明

图1是本发明方法原理框图。

图2是本发明方法步骤流程图。

图3是接收信号的时域波形图。

图4是雷达接收信号多普勒频率为5KHz时进行匹配滤波的结果图。

图5是雷达接收信号多普勒频率为10KHz时进行匹配滤波的结果图。

图6是在第一根天线第一个匹配滤波器进行多普勒频率估计的曲线图。

图7是在第一根天线第二个匹配滤波器进行多普勒频率估计的曲线图。

图8是在第一根天线第三个匹配滤波器进行多普勒频率估计的曲线图。

图9是在第一根天线第四个匹配滤波器进行多普勒频率估计的曲线图。

图10是在第一根天线对补偿后的波形进行脉冲压缩的结果图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步说明。

如图2所示，基于频域的I-OFDM MIMO雷达信号的多普勒补偿方法包括以下步骤：

步骤1、假设MIMO雷达发射和接收天线阵各有4根天线，即M＝N＝4；两个阵列相邻阵元的间隔均为4米，即d_T＝d_R＝4m；假设运动目标与天线阵列的距离为3千米，R＝3km。目标的径向速度为v_T＝62.5m/s，I-OFDM雷达信号的工作频率为f₀＝24GHz。在理论上，对应的多普勒频移大小为f_v＝10KHz＝0.25·(4Δf)，以第一根接收天线为例，其接收到的信号是：

$r_1\left(t\right)=\mathrm{\δ}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\exp \left[j2\mathrm{\π}{f}_{v}t\right]\·\exp [-j(i-1)\mathrm{\α}]\·s_i(t-\mathrm{\τ})$

步骤2、对步骤1获得的连续波进行采样，得到时间离散的信号：信号的采样间隔为t＝n·T/N_s；T是一个码元长度，N_s是总采样点。则接收信号可简化为： $r_1\left(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}\right)=\mathrm{\δ}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\exp \left[j2\mathrm{\π}{f}_v\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}\right]\·\exp [-j(i-1)\mathrm{\α}]\·s_i(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}-\mathrm{\τ}),$ 接收到的回波信号的时域离散波形，如图3所示。

步骤3、求上一步骤得到的回波信号的离散时间傅里叶变换，信号由时域变换到频域：

$\begin{array}{c}\mathrm{DFT}\left\{r_1\left(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δt}}\right)\right\}=\mathrm{\δ}\·\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\·\exp [-j(i-1)\mathrm{\α}]\\ \·\underset{n=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{s}_i(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}-\mathrm{\τ})\·\exp \left[j2\mathrm{\π}{f}_v\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}\right]\·\exp [-j2\mathrm{\π}\frac{\mathrm{kn}}{N_s}]\end{array}$

由于接收回波具有多普勒频率移动，若是对该信号直接进行脉冲压缩处理，则处理后输出幅度值会下降，在多普勒频移严重情况下，甚至无法获得时延信息。当多普勒频移为5KHz时，对应的幅度值下降的大小依次为：-4.0031dB,-4.1851dB,-3.08625dB和-4.1062dB，如图4所示。当多普勒频率为10KHz时，脉冲压缩后已经测量不出信号的时延信息，输出波形也不在是sinc函数的形状，如图5所示。

步骤4、多普勒补偿矩阵的计算：根据之前的理论分析，补偿矩阵C可由下式来计算：

C＝inv(B^-1)·[inv(BA)]

inv()表示对矩阵的求逆运算。为更进一步计算补偿矩阵，可令多普勒频率为：

f_v＝kΔf

即多普勒频率为载频间隔的k倍，k是任意的实数，则可以将步骤3中的B·A进一步化简成：

$B\·A=\left[\begin{array}{cccc}1& b^{N_s-k}& ...& b^{(N_s-k)\left(N_s\right)}\\ 1& b^{N_s-k+1}& ...& b^{(N_s-k+1)(N_s-1)}\\ ...& ...& ...& ...\\ 1& b^{N_s-k-1}& ...& b^{(N_s-k-1)(N_s-1)}\end{array}\right]$

步骤5、多普勒频率值估计：根据匹配滤波的基本原理，当接收信号与滤波器的冲击响应函数符合匹配滤波要求时，其具有最大的输出值。因此，可以利用这一原理来估计回波的多普勒频率。具体包括以下子步骤：

子步骤(a)、首先，计算出步长频率，假设目标的最大运动速度为v_max＝100m/s，理论上，对应最大的频率为，多普勒分辨率为Δf_v＝200Hz，它就等于补偿频率，再经计算得到速度分辨率为Δv＝1.25m/s。

子步骤(b)、将接收信号的副本移动一定的频率，第一次移动一个步长频率200Hz。从第二次开始，每次移动的频率都比上次移动的增加一个步长。

子步骤(c)、对频率移动后的信号进行匹配滤波，根据匹配滤波工作原理，可以得到滤波后的结果应为：

$\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{\ϵ}}\left(t\right)=\underset{0}{\overset{T}{\∫}}R\left(t\right)\·{s_i}^{*}\left(t\right)\mathrm{dt}=\mathrm{\δ}\·\exp [-j(i-1)\mathrm{\α}]\·\exp [-j(\mathrm{\ρ}-1)\mathrm{\β}]\\ \·\underset{0}{\overset{T}{\∫}}{s}_i(t-\mathrm{\τ}){s_i}^{*}\left(t\right)\·\exp \left[j2\mathrm{\π}(f_v-\mathrm{\ϵ\Δ}{f}_v)t\right]\mathrm{dt}\end{array}$

上式中，匹配滤波的结果受到多普勒项的影响，当f_v＝εΔf_v时，匹配滤波器输出的值最大，对应的频率即是多普勒频率的估计值。

子步骤(d)、将步骤(c)中输出结果中最大值存储起来。

子步骤(e)、重复步骤(b)到步骤(d)过程。

子步骤(f)、根据子步骤(d)存储的值，比较得到其中的最大值，它所对应的频率就是回波信号多普勒频率的估计值f_v'。

图6至图9四幅图对应的是对第一根接收天线的回波信号，分别进行步骤5获得的最大值构成的曲线。可以看到利用四个匹配滤波器进行多普勒估计，它们均在频率值约为10KHz处具有最大值，因此，它可视为多普勒频率的估计值，则通过计算得到k＝0.25。

步骤6、将步骤5得到的k值代入步骤4中的公式，就获得了本次信号的具体的补偿矩阵。

步骤7、将步骤3获得的信号频谱乘以步骤6的补偿矩阵公式，并将结果信号进行IDFT，最后获得的信号就是经过补偿后的信号。

为验证对回波信号的补偿效果，对步骤7补偿后的信号进行脉冲压缩处理，可以看出，补偿后信号进行脉冲压缩，可以更好地提取目标的时延信息，并且旁瓣比较低，如图10所示。

Claims (1)

1.基于频域的I-OFDM MIMO雷达信号的多普勒补偿方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1、MIMO雷达数学模型的构建：这里假设MIMO雷达各有M根发射天线和N根接收天线组成的天线阵列，两个天线阵列是均匀线性排列，并且是相互平行的，相邻发射天线的距离为d_T，相邻接收天线的距离为d_R，若采用I-OFDM信号作为雷达的发射信号，则第i个发射天线发射的信号为：

$s_i\left(t\right)=\underset{n=0}{\overset{N_c/M-1}{\mathrm{\Σ}}}d[\mathrm{Mn}+(i-1)]\exp [j2\mathrm{\π}(\mathrm{Mn}+(i-1))\·\mathrm{\Δft}]---\left(1\right)$

式(1)中，s_i(t)表示第i个发射天线发射的I-OFDM信号，N_c表示一个码元长度为T的OFDM信号所有子载波个数，Δf表示相邻载频间隔，n表示调制相位序列d[Mn+(i-1)]的序号，则接收端回波信号的数学模型为：

R(t)＝δ·[R_Ang(β)T_Ang(α)^T]·S(t-τ)·exp[j2πf_vt]   (2)

式(2)中，δ表示信号衰减因子，()^*表示共轭转置，S(t-τ)表示接收端具有时延信息的回波信号向量，f_v表示信号的多普勒频率，τ表示信号的时延，R_Ang(β)和T_Ang(α)分别表示接收和发射相位偏移矩阵，它们是由于发射与接收天线阵列中，各个阵元具有一定间隔而引起的，具体表示为：

$\mathrm{\α}=\frac{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\λ}}{d}_T\sin \mathrm{\θ},\mathrm{\β}=\frac{2\mathrm{\π}}{\mathrm{\λ}}{d}_R\sin \mathrm{\φ}---\left(3\right)$

R_Ang(β)＝[1,exp(-jβ),...,exp(-j(N-1)β)]^T   (4)

T_Ang(α)＝[1,exp(-jα),...,exp(-j(M-1)α)]^T   (5)

式(3)、(4)(5)中，θ和φ分别表示发射角和接收角，α和β分别表示发射通道和接收通道相对于参考通道的角频率差；

步骤2、对接收端获得的连续波进行采样：回波信号的采样间隔为t＝n·T/N_s，T表示一个码元长度，N_s表示一个码元内的总采样点，则接收回波信号离散化后表示为：

$R\left(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}\right)=\mathrm{\δ}\·\exp \left[j2\mathrm{\π}{f}_v\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}\right]\·\left[R_{\mathrm{Ang}}\left(\mathrm{\β}\right)T_{\mathrm{Ang}}{\left(\mathrm{\α}\right)}^T\right]S(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}-\mathrm{\τ})---\left(6\right)$

步骤3、求上一步骤得到的回波信号的DFT：回波信号由时域变换到频域，

$\begin{array}{c}\mathrm{DFT}\left\{R\left(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}\right)\right\}=\mathrm{\δ}\·\left[R_{\mathrm{Ang}}\left(\mathrm{\β}\right)T_{\mathrm{Ang}}{\left(\mathrm{\α}\right)}^T\right]\\ \·\underset{n=0}{\overset{N_s-1}{\mathrm{\Σ}}}S(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}-\mathrm{\τ})\·\exp \left[j2\mathrm{\π}{f}_v\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}\right]\·\exp [-j2\mathrm{\π}\frac{\mathrm{kn}}{N_s}]\end{array}---\left(7\right)$

为了方便，将式(7)改写为以矩阵的形式表示：

$\mathrm{DFT}\left\{R\left(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}\right)\right\}=\mathrm{\δ}\·\left\{\right[B\·A\left]\right[R_{\mathrm{Ang}}\left(\mathrm{\β}\right)T_{\mathrm{Ang}}{\left(\mathrm{\α}\right)}^T\left]\right\}\·S(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}-\mathrm{\τ})---\left(8\right)$

式(8)中，

$B\·A=\left[\begin{array}{cccc}1& a& ...& a^{(N_s-1)}\\ 1& \mathrm{ab}& ...& a^{(N_s-1)}{b}^{(N_s-1)}\\ ...& ...& ...& ...\\ 1& {\mathrm{ab}}^{(N_s-1)}& ...& a^{(N_s-1)}{b}^{{(N_s-1)}^2}\end{array}\right]$

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& ...& 0\\ 0& a& ...& 0\\ ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& ...& a^{N_s-1}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\\ 1& b& ...& b^{N_s-1}\\ ...& ...& ...& ...\\ 1& b^{N_s-1}& ...& b^{(N_s-1)2}\end{array}\right]$

$a=\exp \left[j2\mathrm{\π}{f}_v\frac{1}{N_s\mathrm{\Δf}}\right],b=\exp [-j2\mathrm{\π}\frac{1}{N_s}]$

a表示多普勒频移项，经采样后的一个样本点，b表示离散时间傅里叶变换的基底，A表示多普勒频率矩阵，B表示离散时间傅里叶变换矩阵；

步骤4、多普勒补偿矩阵的计算：为了在频域内对回波信号进行多普勒补偿，若补偿矩阵为C，则补偿后的信号经过离散时间傅里叶逆变换后为：

$\mathrm{IDFT}\{C\·\mathrm{DFT}\{R\left(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}\right)\left\}\right\}=B^{-1}\{C\·[\mathrm{BA}]\·[R_{\mathrm{Ang}}\left(\mathrm{\β}\right)T_{\mathrm{Ang}}{\left(\mathrm{\α}\right)}^T]\·S(\frac{n}{N_s\mathrm{\Δf}}-\mathrm{\τ})\}---\left(9\right)$

式(9)中，B^-1表示离散傅里叶变换，若C满足C＝inv(B^-1)·[inv(BA)]，则C可以完全补偿信号的多普勒频移，inv()表示对矩阵的求逆运算，为了更进一步计算补偿矩阵，可令多普勒频率为：

f_v＝kΔf   (10)

式(10)中，k是任意的实数，即多普勒频率为载频间隔的k倍，可将步骤3中的B·A进一步化简成：

$B\·A=\left[\begin{array}{cccc}1& b^{N_s-k}& ...& b^{(N_s-k)\left(N_s\right)}\\ 1& b^{N_s-k+1}& ...& b^{(N_s-k+1)(N_s-1)}\\ ...& ...& ...& ...\\ 1& b^{N_s-k-1}& ...& b^{(N_s-k-1)(N_s-1)}\end{array}\right]$

由此看出，补偿矩阵的计算完全依赖于对多普勒频率的估计，一旦多普勒频率确定，则k值就能计算出来，补偿矩阵的具体大小也就可以获得；

步骤5、多普勒频率值估计：根据匹配滤波的基本原理，当接收回波信号与滤波器的冲击响应函数符合匹配滤波要求时，滤波器具有最大的输出值，因此，可以利用这一原理来估计回波的多普勒频率，具体包括以下若干子步骤：

子步骤(a)、首先，计算出步长频率：若目标的径向速度范围是(0,v_max)，系统对速度分辨率要求为Δv，则多普勒频率的计算公式是：

$f_v=\frac{2v}{c}{f}_0---\left(11\right)$

式(11)中，v表示目标径向速度，f₀表示雷达工作频率，据此，可计算出对应的多普勒频率范围为若系统的速度分辨率为Δv，则步长频率为

$\mathrm{\Δ}{f}_v=\frac{2\mathrm{\Δv}}{c}{f}_0;---\left(12\right)$

子步骤(b)、将接收回波信号的副本移动一定的频率，第一次移动一个步长频率Δf_v，从第二次开始，每次移动的频率都比上次移动的增加一个步长，则第ε次应该移动的频率是ε·Δf_v，这里ε为正整数，表示移动次数；

子步骤(c)、对频率移动后的信号进行匹配滤波：根据匹配滤波工作原理，在第ρ个接收天线的第i滤波器进行滤波后的结果应为：

$\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{\ϵ}}\left(t\right)=\underset{0}{\overset{T}{\∫}}R\left(t\right)\·{s_i}^{*}\left(t\right)\mathrm{dt}=\mathrm{\δ}\·\exp [-j(i-1)\mathrm{\α}]\·\exp [-j(\mathrm{\ρ}-1)\mathrm{\β}]\\ \·\underset{0}{\overset{T}{\∫}}{s}_i(t-\mathrm{\τ}){s_i}^{*}\left(t\right)\·\exp \left[j2\mathrm{\π}(f_v-\mathrm{\ϵ\Δ}{f}_v)t\right]\mathrm{dt}\end{array}---\left(13\right)$

式(13)中，匹配滤波的结果受到多普勒项的影响，当f_v＝ε·Δf_v时，匹配滤波器输出的值最大，对应的频率即是多普勒频率的估计值，此时，步骤4中k的估计值就是ε；

子步骤(d)、将子步骤(c)中输出结果中最大值存储起来；

子步骤(e)、重复子步骤(b)到子步骤(d)的过程，直到移动的频率值等于系统中出现的最大多普勒频率时，即多普勒频率值估计过程结束；

子步骤(f)、根据子步骤(d)存储的值，比较得到其中的最大值，它所对应的频率就是回波信号多普勒频率的估计值f_v'；

步骤6、利用获得频率估计值计算补偿矩阵的大小：将步骤5得到的多普勒频率估计值代入步骤4中的公式，就获得了本次信号的具体的补偿矩阵；

步骤7、将步骤3获得的信号频谱乘以补偿矩阵，并进行IDFT，最后获得的信号就是经过多普勒补偿后的回波信号。