CN104794299A - 一种复合材料干涉配合接头应力分布计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种复合材料构件干涉配合接头孔边应力分布计算方法，基于Muskhelishvili和Lekhnitskii的弹性力学复势理论，分别建立钉和孔的应力分布模型，通过分析螺栓-孔变形前后接触关系，确定螺栓-孔接触应力，并将其带入孔边应力分布模型，实现复合材料结构干涉配合接头孔边残余应力场的精确计算，为结构连接设计和强度分析奠定基础。

Description

一种复合材料干涉配合接头应力分布计算方法

技术领域

本发明属于复合材料结构加工与装配领域，具体涉及一种复合材料构件干涉配合接头孔边应力分布计算方法，用于精确计算和分析复合材料构件干涉装配连接后的孔边残余应力分布。

背景技术

与传统金属材料相比，复合材料结构具有较高的比强度和比刚度以及抗腐蚀性能好等优异性能，其在汽车、航空、航天等结构重量敏感领域的应用越来越广泛，尤其是碳纤维增强复合材料(CFRP)已成为现代飞机结构的重要材料。复合材料主要承力结构一般采用螺栓和铆钉等机械连接形式，但是复合材料接头是其结构中最薄弱的区域，根据相关资料统计，有60％～80％的结构失效发生在接头部位。随着干涉配合连接技术的发展，其在金属结构的装配中得到广泛应用，并显著提高了结构强度和疲劳寿命。美国麦道公司研究证明复合材料干涉连接结构同样可提高其疲劳寿命，但是由于复合材料层间强度低和脆性原因，其干涉配合连接工艺要求较高，在实际中的应用发展较为缓慢。

复合材料结构制孔和干涉配合连接后，接头周围会产生非常不均匀的残余应力，孔边应力集中较为严重，有可能使复合材料结构萌生损伤，影响结构强度和寿命。孔边残余应力主要与复合材料属性、铺层方向以及干涉量有关，合适的干涉量能够显著提高结构疲劳寿命，但是过大的干涉量会使结构产生挤压损伤和分层损伤。

目前已有很多学者对复合材料连接结构孔边应力分布开展了多种研究，其主要集中在以下两个方面：含孔复合材料结构在多种外载荷作用下的孔边应力分布研究(Ukadgaonker VG and Rao DKN,“A general solution for stresses around holes in symmetric laminates under inplane loading”.Composite Structures,vol.49,No.3,2000,pp. 339-354)；复合材料间隙配合连接结构在拉伸载荷下钉载应力分布研究(Grüber B,Hufenbach W,Kroll L,Lepper M and Zhou B,“Stress concentration analysis of fibre-reinforced multilayered composites with pin-loaded holes”,Composites Science and Technology,vol.67,No.7-8,2007,pp.1439-1450)。对于复合材料结构干涉配合接头孔边残余应力的研究主要采用有限元模拟和数值计算方法(Kim S,He B,Shim C,and Kim D,“An experimental and numerical study on the interference-fit pin installation process for cross-ply glass fiber reinforced plastics(GFRP)”,Composites:Part B,vol.54,pp.153-162)，其计算时间成本非常大，而且计算时间随计算精度的提高成指数级增大。

发明内容

要解决的技术问题

为了使复合材料零部件之间准确可靠连接，以及密封和长寿命需求，飞机承力结构一般采用干涉配合连接，连接孔边残余应力是评价连接质量的关键因素，其直接影响着飞机结构的强度和疲劳寿命。针对纤维增强复合材料结构干涉配合接头孔边残余应力的研究主要采用有限元模拟和数值计算方法，这种方法存在的主要问题有：1)计算时间成本非常大，而且计算时间随计算精度的提高而成指数级增大；2)精确度浮动性比较大，建模水平、边界条件和载荷工况的真实性直接影响计算准确度；3)未深入研究螺栓-孔表面接触关系，以及非均匀应力产生机理；

针对上述问题，本发明描述了一种复合材料结构干涉配合接头孔边残余应力分布的计算和分析方法，基于Muskhelishvili和Lekhnitskii的弹性力学复势理论，分别建立钉和孔的应力分布模型，通过分析螺栓-孔变形前后接触关系，确定螺栓-孔接触应力，并将其带入孔边应力分布模型，实现复合材料结构干涉配合接头孔边残余应力场的精确计算，为结构连接设计和强度分析奠定基础。

本发明的目的在于解决现有技术存在的上述不足和缺陷，提供一种复合材料构件干涉配合接头孔边应力场计算和分析方法，用于精确、快速计算复合材料接头干涉配 合区域的残余应力分布，为研究干涉连接损伤和结构强度奠定基础，对复合材料结构干涉配合连接优化设计提供指导。该方法计算量少、成本低并且具有较高的计算精度，能够满足实际复合材料装配生产过程中的应用需要。

技术方案

本发明方法涉及到的主要部件为螺栓(1)、复合材料板(2、3)，其中螺栓初始半径为r₀、复合材料板螺栓孔初始半径为R₀、复合材料板厚为t、复合材料宽度为W、复合材料板螺栓孔与端头最短距离为E。在进行干涉配合连接时，将螺栓通过冷挤压方式安装到复合材料螺栓孔中。

一种复合材料干涉配合接头应力分布计算方法，其特征在于步骤如下：

步骤1：将复合材料构件通过螺栓进行干涉配合连接，所述的螺栓在干涉配合变形前的横截面S_p为圆形，初始半径为r₀；建立螺栓在边界法向接触应力P和切向接触应力T作用下的复应力函数：

${\mathrm{\φ}}_B\left(z\right)=-\frac{\mathrm{Pz}}{2},{\mathrm{\ψ}}_B\left(z\right)=\frac{2T{r_0}^{2}i}{z},z\∈S_p$

其中：z＝x+iy为螺栓横截面S_p内任一点；

螺栓边界在法向接触应力P和切向接触应力T作用下，变形位移分量u_xp、u_yp的复函数形式满足以下边界条件：

$2\mathrm{\μ}(u_{\mathrm{xp}}+{\mathrm{iu}}_{\mathrm{yp}})=k{\mathrm{\φ}}_B\left(z\right)-z\stackrel{\‾}{{\mathrm{\φ}}_B^{\′}\left(z\right)}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ψ}}_B\left(z\right)}$

求解上述边界条件方程可得笛卡尔坐标系下x、y方向螺栓边界变形位移分量为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{xp}}=\mathrm{Re}\left[\frac{\mathrm{\κ}{\mathrm{\φ}}_B\left(z\right)-z\stackrel{\‾}{{\mathrm{\φ}}_B^{\′}\left(z\right)}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ψ}}_B\left(z\right)}}{2\mathrm{\μ}}\right]\\ u_{\mathrm{yp}}=\mathrm{Im}[\frac{\mathrm{\κ}{\mathrm{\φ}}_B\left(z\right)-z\stackrel{\‾}{{\mathrm{\φ}}_B^{\′}\left(z\right)}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ψ}}_B\left(z\right)}}{2\mathrm{\μ}}{]}^{}\end{array}\right.,z\∈S_p$

其中： $\mathrm{\κ}=\frac{\mathrm{\λ}+3v}{\mathrm{\λ}+v},$ 拉梅常数 $\mathrm{\μ}=\frac{E}{2(1+v)},\mathrm{\λ}=\frac{\mathrm{Ev}}{(1+v)(1-2v)},$ E和ν分别为螺栓材料的杨氏模量和泊松比；

步骤2：建立复合材料构件孔壁在边界法向接触应力P和反向切向接触应力-T作用下的复应力函数：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\φ}}_H\left(z_1\right)=\frac{R_0(T-\mathrm{Pi})+s_2{R}_0(P-\mathrm{Ti})}{2(s_1-s_2){\mathrm{\ζ}}_1}\\ {\mathrm{\ψ}}_H\left(z_2\right)=-\frac{R_0(T-\mathrm{Pi})+s_1{R}_0(P-\mathrm{Ti})}{2(s_1-s_2){\mathrm{\ζ}}_2}\end{array}\right.,{\mathrm{\ζ}}_1,{\mathrm{\ζ}}_2\∈S_h^{\′}$

其中：R₀为复合材料螺栓孔的初始半径，s₁,s₂为复合材料的第一类复参数，且s₁≠s₂；z₁＝x+s₁y和z₂＝x+s₂y为螺栓孔外部区域S_h内任意两点，S_h与满足保角映射关系如下式所示：

${\mathrm{\ζ}}_1=\frac{z_1+\sqrt{z_1^2-R_0^2(1+s_1^2)}}{R_0(1-s_{1}i)},{\mathrm{\ζ}}_2=\frac{z_2+\sqrt{z_2^2-R_0^2(1+s_2^2)}}{R_0(1-s_{2}i)}$

笛卡尔坐标系下的螺栓孔边应力分量σ_x、σ_y、τ_xy表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_x=2\mathrm{Re}[s_1^2{\mathrm{\φ}}_H^{\′}\left(z_1\right)+s_2^2{\mathrm{\ψ}}_H^{\′}\left(z_2\right)]\\ {\mathrm{\σ}}_y=2[{\mathrm{\φ}}_H^{\′}\left(z_1\right)+{\mathrm{\ψ}}_H^{\′}\left(z_2\right)]\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}}=-2\mathrm{Re}[s_1{\mathrm{\φ}}_H^{\′}\left(z_1\right)+s_2{\mathrm{\ψ}}_H^{\′}\left(z_2\right)]\end{array}\right.,z_1,z_2\∈S_h$

笛卡尔坐标系下的螺栓孔边变形位移分量u_xh、u_yh表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{xh}}=2\mathrm{Re}[p_1{\mathrm{\φ}}_H\left(z_1\right)+p_2{\mathrm{\ψ}}_H\left(z_2\right)]\\ u_{\mathrm{yh}}=2\mathrm{Re}[q_1{\mathrm{\φ}}_H\left(z_1\right)+q_2{\mathrm{\ψ}}_H\left(z_2\right)]\end{array}\right.,z_1,z_2\∈S_h$

其中： $\begin{array}{cc}{p}_1=a_{11}{s}_1^2+a_{12}-a_{16}{s}_1,& p_2=a_{11}{s}_2^2+a_{12}-a_{16}{s}_2\\ q_1=a_{12}{s}_1+\frac{a_{22}}{s_1}-a_{26},& q_2=a_{12}{s}_2+\frac{a_{22}}{s_2}-a_{26}\end{array},$ a_mn(m,n＝1,2,6)是对称复合材料的柔度矩阵系数；

步骤3：螺栓和复合材料螺栓孔变形之后，螺栓边界与孔边界相互接触，螺栓和螺栓孔边变形位移在x、y方向的分量u_xp,u_yp,u_xh,u_yh满足以下关系：

$\left\{\begin{array}{c}(u_{\mathrm{xh}}-u_{\mathrm{xp}})=(r_0-R_0)\cos \mathrm{\θ}\\ (u_{\mathrm{yh}}-u_{\mathrm{yp}})=(r_0-R_0)\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right.$

其中θ为边界任一点到圆心的连线与x轴正方向的夹角，0°≤θ＜360°；

求解u_xp,u_yp,u_xh,u_yh关系式得到法向接触应力P和切向接触应力T的表达式，然后 将法向接触应力P和切向接触应力T代入螺栓孔边应力分量表达式中求解出复合材料构件螺栓孔边残余应力分布σ_x、σ_y、τ_xy；

将笛卡尔坐标系中的σ_x、σ_y、τ_xy变换到圆柱坐标系下，得到复合材料螺栓孔边的径向应力σ_r、周向应力σ_θ和切向应力τ_rθ为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}+{\mathrm{\σ}}_r={\mathrm{\σ}}_x+{\mathrm{\σ}}_y\\ {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{\σ}}_r+2i{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}=({\mathrm{\σ}}_x-{\mathrm{\σ}}_y+2i{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}})e^{2\mathrm{i\θ}}\end{array}\right.$

有益效果

本发明提出的一种复合材料干涉配合接头应力分布计算方法，具有的优点如下：

(1)复合材料构件干涉配合接头孔边应力分布计算模型基于弹性力学的复变方法建立，通过Matlab编程求解，其计算精度高、成本低、速度快；

(2)该方法不仅能够计算干涉配合接头孔边应力分布，而且可以实现整个复合材料构件和螺栓平面内任何点位的应力分布的计算；

(3)该方法同时可以计算出复合材料构件干涉配合连接后的螺栓孔的变形量和轮廓，为连接损伤分析奠定基础；

(4)该方法精确计算复合材料构件干涉配合接头孔边应力分布可以指导并优化复合材料干涉配合连接结构设计。

附图说明

图1复合材料构件干涉配合连接过程和几何尺寸示意图

图2干涉配合连接后螺栓和孔受力和变形分析：(a)接触变形关系(b)接触受力分析

图3螺栓孔边界挤压变形位移曲线

图4螺栓孔边残余应力分布曲线

具体实施方式

本发明方法涉及到的主要部件为螺栓(1)、复合材料板(2、3)，其中螺栓初始半径 为r₀、复合材料板螺栓孔初始半径为R₀、复合材料板厚为t、复合材料宽度为W、复合材料板螺栓孔与端头最短距离为E。在进行干涉配合连接时，将螺栓通过冷挤压方式安装到复合材料螺栓孔中。

本方法的具体步骤如下：

(1)螺栓复应力函数建模

在螺栓干涉配合变形前，螺栓横截面为圆形，其初始半径为r₀，设其为单连通区域S_p，边界圆形为L_p。当法向接触应力P和切向接触应力T作用到螺栓边界L_p时，其复应力函数可表示为：

${\mathrm{\φ}}_B\left(z\right)=-\frac{\mathrm{Pz}}{2},{\mathrm{\ψ}}_B\left(z\right)=\frac{2T{r_0}^{2}i}{z},z\∈S_p---\left(1\right)$

其中：φ_B(z)和ψ_B(z)为任意全纯函数，z＝x+iy为螺栓横截面S_p内任一点。

螺栓边界在法向接触应力P和切向接触应力T作用下，变形位移分量的复函数形式满足以下边界条件：

$2\mathrm{\μ}(u_{\mathrm{xp}}+{\mathrm{iu}}_{\mathrm{yp}})=\mathrm{\κ}{\mathrm{\φ}}_B\left(z\right)-z\stackrel{\‾}{{\mathrm{\φ}}_B^{\′}\left(z\right)}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ψ}}_B\left(z\right)}---\left(2\right)$

求解上述方程(2)，可得笛卡尔坐标系下x、y方向螺栓边界变形位移分量为：

其中： $\mathrm{\κ}=\frac{\mathrm{\λ}+3v}{\mathrm{\λ}+v},$ 拉梅常数μ和λ如下式(4)所示：

$\mathrm{\μ}=\frac{E}{2(1+v)},\mathrm{\λ}=\frac{\mathrm{Ev}}{(1+v)(1-2v)}---\left(4\right)$

其中：E和ν分别为螺栓材料的杨氏模量和泊松比。

(2)复合材料构件螺栓孔边复应力函数建模

对称铺层型各向异性复合材料薄板在干涉配合螺栓挤压作用下处于平面应力状 态，其螺栓孔外部区域为多连通区域S_h，螺栓孔边界在挤压变形前为圆形L_h。复合材料构件孔壁接触应力与螺栓表面接触应力为一对相互作用力，大小相等、方向相反，即P和-T。所以，复合材料构件的复应力函数可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\φ}}_H\left(z_1\right)=\frac{R_0(T-\mathrm{Pi})+s_2{R}_0(P-\mathrm{Ti})}{2(s_1-s_2){\mathrm{\ζ}}_1}\\ {\mathrm{\ψ}}_H\left(z_2\right)=-\frac{R_0(T-\mathrm{Pi})+s_1{R}_0(P-\mathrm{Ti})}{2(s_1-s_2){\mathrm{\ζ}}_2}\end{array}\right.,{\mathrm{\ζ}}_1,{\mathrm{\ζ}}_2\∈S_h^{\′}---\left(5\right)$

其中：R₀为复合材料螺栓孔的初始半径，z₁＝x+s₁y和z₂＝x+s₂y为区域S_h内任意两点。通过保角映射将z-平面的复合材料螺栓孔外部区域S_h映射到ζ-平面的单位圆上，ζ₁,ζ₂为内与z₁,z₂对应的两点，如下式(6)所示。

${\mathrm{\ζ}}_1=\frac{z_1+\sqrt{z_1^2-R_0^2(1+s_1^2)}}{R_0(1-s_{1}i)},{\mathrm{\ζ}}_2=\frac{z_2+\sqrt{z_2^2-R_0^2(1+s_2^2)}}{R_0(1-s_{1}i)}---\left(6\right)$

s₁,s₂为复合材料的第一类复参数，本发明只针对s₁≠s₂的情况(第一类复参数相等的情况可参照Lekhnitskii的各向异性板理论)。

当复应力函数和ψ(z)求得之后，笛卡尔坐标系下的螺栓孔边应力分量可表示为：

同时，笛卡尔坐标系下的螺栓孔边变形位移分量可表示为：

其中： $\begin{array}{cc}{p}_1=a_{11}{s}_1^2+a_{12}-a_{16}{s}_1,& p_2=a_{11}{s}_2^2+a_{12}-a_{16}{s}_2\\ q_1=a_{12}{s}_1+\frac{a_{22}}{s_1}-a_{26},& q_2=a_{12}{s}_2+\frac{a_{22}}{s_2}-a_{26}\end{array}---\left(9\right)$

ω为复合材料构件的弯曲变形，u₀,v₀为复合材料构件的刚体位移，a_mn(m,n＝1,2,6)是对称复合材料的柔度矩阵系数。

(3)螺栓-孔变形接触关系

如图2所示，螺栓和复合材料螺栓孔变形之后，螺栓边界L_p与孔边界L_h相互接触，螺栓和螺栓孔边变形位移在x、y方向的分量u_xp,u_yp,u_xh,u_yh满足以下关系：

$\left\{\begin{array}{c}(u_{\mathrm{xh}}-u_{\mathrm{xp}})=(r_0-R_0)\cos \mathrm{\θ}\\ (u_{\mathrm{yh}}-u_{\mathrm{yp}})=(r_0-R_0)\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中θ为边界任一点到圆心的连线与x轴正方向的夹角，0°≤θ＜360°；

通过求解方程组(10)可得接触应力P和T的表达式，然后将触应力P和T代入方程组(5)和(7)即可求解出复合材料构件螺栓孔边残余应力分布。

圆柱坐标系下，复合材料螺栓孔边的径向应力σ_r、周向应力σ_θ和切向应力τ_rθ为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}+{\mathrm{\σ}}_r={\mathrm{\σ}}_x+{\mathrm{\σ}}_y\\ {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{\σ}}_r+2i{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}=({\mathrm{\σ}}_x-{\mathrm{\σ}}_y+2i{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}})e^{2\mathrm{i\θ}}\end{array}\right.---\left(11\right)$

现结合实施例、附图对本发明作进一步描述：

例如：将复合材料构件通过钛合金高锁螺栓进行干涉配合连接，干涉配合接头几何尺寸、螺栓和复合材料及其性能参数分别如表1、表2、表3所示，干涉配合接头孔边应力分布计算的具体实施步骤如下：

(1)螺栓边界变形位移计算

将螺栓边界上任一点z＝x+iy的坐标变换为欧拉形式为z＝r₀e^iθ，结合表1中干涉配合接头几何尺寸和表2中螺栓材料性能参数，钛合金高锁螺栓在边界接触应力P和T作用下其复应力函数可表示为：然后，根据平面弹性问题的复变方法，将复应力函数(1)代入位移边界条件表达式(2)，即可求解得到笛卡尔坐标系下螺栓边界变形位移分量表达式(3)，代入具体参数后可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{xp}}=-1.36\×{10}^{-5}P\cos \mathrm{\θ}-7.15\×{10}^{-5}T\sin \mathrm{\θ}\\ u_{\mathrm{yp}}=-1.36\×{10}^{-5}P\sin \mathrm{\θ}+7.15\×{10}^{-5}T\cos \mathrm{\θ}\end{array}\right.,\mathrm{\θ}\∈\left[\mathrm{0,360}\right)---\left(12\right)$

(2)复合材料螺栓孔边变形位移计算

首先，根据Lekhnitskii的各向异性板理论，Airy应力函数U(x,y)满足应变协调方程：

$a_{22}\frac{{\∂}^{4}U}{{\∂x}^4}-2a_{26}\frac{{\∂}^{4}U}{{\∂x}^3\∂y}+(2a_{12}+a_{66})\frac{{\∂}^{4}U}{{\∂x}^2{\∂y}^2}-2a_{16}\frac{{\∂}^{4}U}{\∂x{\∂y}^3}+a_{11}\frac{{\∂}^{4}U}{{\∂y}^4}=0---\left(13\right)$

其通解由其特征方程的根决定：

a₁₁s⁴-2a₁₆s³+(2a₁₂+a₆₆)s²-2a₂₆s+a₂₂＝0   (14)

将表3中复合材料材料性能参数代入方程(14)可以求得复合材料的第一类复参数为：

s₁＝5.5573i,s₂＝0.6902i   (15)

s₃＝-5.5573i,s₄＝-0.6902i

然后，将复合材料螺栓孔边上点z₁,z₂的坐标变换为欧拉形式为z₁＝R₀(cosθ+s₁sinθ)和z₂＝R₀(cosθ+s₂sinθ)；并将第一类复参数(15)代入复合材料构件的复应力函数的表达式(5)可得到复合材料螺栓孔边复应力函数为：

最后，结合表1和表3，将表达式(9)和(16)代入方程(8)，根据Lekhnitskii的各向异性板理论，即可求得笛卡尔坐标系下的复合材料螺栓孔边挤压变形位移分量：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{xh}}=6.30\×{10}^{-5}(P\cos \mathrm{\θ}+T\sin \mathrm{\θ})\\ u_{\mathrm{yh}}=4.71\×{10}^{-4}(P\sin \mathrm{\θ}-T\cos )\end{array}\right.,\mathrm{\θ}\∈\left[\mathrm{0,360}\right)---\left(17\right)$

(3)螺栓-孔变形接触应力计算

如图2所示，螺栓和复合材料螺栓孔变形之后，螺栓边界L_p与孔边界L_h相互接触，孔变形位移与螺栓变形位移之差等于螺栓和孔初始半径之差。将孔边位移表达式(17)以及螺栓边界位移表达式(12)代入方程组(10)，求解得到相应孔径的螺栓-孔挤压接触应力：

$\left\{\begin{array}{c}P=-(3473.5{\sin }^2\mathrm{\θ}-4617.0)/(4.0{\sin }^2\mathrm{\θ}+7.1)\\ T=-3473.5\sin 2\mathrm{\θ}/(4.0\cos 2\mathrm{\θ}-18.2)\end{array}\right.,\mathrm{\θ}\∈\left[\mathrm{0,360}\right)---\left(18\right)$

(4)复合材料螺栓孔边变形位移计算

将螺栓-孔挤压接触应力表达式(18)代入螺栓孔边挤压变形位移分量表达式(17)，可以求得螺栓孔边变形位移为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{xh}}=-\frac{(0.22{\sin }^2\mathrm{\θ}-0.29)\cos \mathrm{\θ}}{4{\sin }^2\mathrm{\θ}+7.1}-\frac{0.22\sin 2\mathrm{\θ}\sin \mathrm{\θ}}{4\cos 2\mathrm{\θ}-18.2}\\ u_{\mathrm{yh}}=-\frac{(1.64{\sin }^2\mathrm{\θ}-2.17)\sin \mathrm{\θ}}{4{\sin }^2\mathrm{\θ}+7.1}+\frac{1.64\sin 2\mathrm{\θ}\cos \mathrm{\θ}}{4\cos 2\mathrm{\θ}-18.2}\end{array}\right.,\mathrm{\θ}\∈\left[\mathrm{0,360}\right)---\left(19\right)$

如图3所示，复合材料螺栓孔挤压变形后轮廓为近似椭圆形，并于有限元模拟结果进行对比，计算结果的最大误差在10％以内，可以满足工程需要。

(5)复合材料螺栓孔边应力分布计算

将螺栓-孔挤压接触应力表达式(18)代入笛卡尔坐标系下的螺栓孔边应力分量表达式(7)，并结合坐标系变换公式(11)，可以求得圆柱坐标系下复合材料螺栓孔边应力分量为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_r=\frac{-1659.7\cos 2\mathrm{\θ}+203.96\cos 4\mathrm{\θ}+104.73\cos 6\mathrm{\θ}-11.36\cos 8\mathrm{\θ}-1800}{1.75\cos 2\mathrm{\θ}-1.80\cos 4\mathrm{\θ}+0.28\cos 6\mathrm{\θ}-0.01\cos 8\mathrm{\θ}+4.7}\\ {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}=\frac{2263.3\cos 2\mathrm{\θ}+398.35\cos 4\mathrm{\θ}-180.08\cos 6\mathrm{\θ}+11.36\cos 8\mathrm{\θ}+1877}{1.75\cos 2\mathrm{\θ}-1.80\cos 4\mathrm{\θ}+0.28\cos 6\mathrm{\θ}-0.01\cos 8\mathrm{\θ}+4.7}\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}=\frac{1092.1\sin 2\mathrm{\θ}+245.64\sin 4\mathrm{\θ}-142.4\sin 6\mathrm{\θ}+11.4\sin 8\mathrm{\θ}}{-3.5{\sin }^2\mathrm{\θ}+3.6{\sin }^{2}2\mathrm{\θ}-0.57{\sin }^{2}3\mathrm{\θ}+0.03{\sin }^{2}4\mathrm{\θ}+4.9}\end{array}\right.,\mathrm{\θ}\∈\left[\mathrm{0,360}\right)---\left(26\right)$

表1 干涉配合接头几何尺寸(mm)

注：E为螺栓孔中心到复合材料构件一端的最短距离，W为复合材料构件宽度，t为复合材料构件厚度，r₀为螺栓半径，R₀为复合材料构件螺栓孔半径，如图1所示。

表2 螺栓材料及其性能参数

表3 复合材料性能参数

注：E₁,E₂,E₃为复合材料的弹性模量，ν₁₂,ν₁₃,ν₂₃为复合材料的泊松比，G₁₂,G₁₃,G₂₃ 为复合材料的剪切模量。

复合材料构件干涉配合连接后，接头周围会产生不均匀的应力分析，适当的孔周应力可以显著提高结构的疲劳寿命和强度，但是，过大的孔周应力会使复合材料结构产生基体裂纹、纤维屈曲、纤基脱粘以及分层等损伤，从而影响结构的服役强度和寿命。因此，根据本发明计算复合材料构件干涉配合接头的孔周应力分布，然后结合复合材料的强度性能和Hashin等失效准则，即可判断复合材料干涉连接结构是否萌生损伤，从而指导并优化复合材料结构的干涉配合连接。

Claims (1)

1.一种复合材料干涉配合接头应力分布计算方法，其特征在于步骤如下：

步骤1：将复合材料构件通过螺栓进行干涉配合连接，所述的螺栓在干涉配合变形前的横截面S_p为圆形，初始半径为r₀；建立螺栓在边界法向接触应力P和切向接触应力T作用下的复应力函数：

${\mathrm{\φ}}_B\left(z\right)=-\frac{\mathrm{Pz}}{2},{\mathrm{\ψ}}_B\left(z\right)=\frac{2T{r}_0^{2}i}{z},z\∈S_p$

其中：z＝x+iy为螺栓横截面S_p内任一点；

螺栓边界在法向接触应力P和切向接触应力T作用下，变形位移分量u_xp、u_yp的复函数形式满足以下边界条件：

$2\mathrm{\μ}(u_{\mathrm{xp}}+{\mathrm{iu}}_{\mathrm{yp}})=\mathrm{\κ}{\mathrm{\φ}}_B\left(z\right)-z\stackrel{\‾}{{\mathrm{\φ}}_B^{\′}\left(z\right)}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ψ}}_B\left(z\right)}$

求解上述边界条件方程可得笛卡尔坐标系下x、y方向螺栓边界变形位移分量为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{xp}}=\mathrm{Re}\left[\frac{\mathrm{\κ}{\mathrm{\φ}}_B\left(z\right)-z\stackrel{\‾}{{\mathrm{\φ}}_B^{\′}\left(z\right)}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ψ}}_B\left(z\right)}}{2\mathrm{\μ}}\right]\\ u_{\mathrm{yp}}=\mathrm{Im}\left[\frac{\mathrm{\κ}{\mathrm{\φ}}_B\left(z\right)-z\stackrel{\‾}{{\mathrm{\φ}}_B^{\′}\left(z\right)}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ψ}}_B\left(z\right)}}{2\mathrm{\μ}}\right]\end{array}\right.,z\∈S_p$

其中： $\mathrm{\κ}=\frac{\mathrm{\λ}+3\mathrm{\ν}}{\mathrm{\λ}+\mathrm{\ν}},$ 拉梅常数 $\mathrm{\μ}=\frac{E}{2(1+\mathrm{\ν})},\mathrm{\λ}=\frac{\mathrm{E\ν}}{(1+\mathrm{\ν})(1-2\mathrm{\ν})},$ E和ν分别为螺栓材料的杨氏模量和泊松比；

步骤2：建立复合材料构件孔壁在边界法向接触应力P和反向切向接触应力-T作用下的复应力函数：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\φ}}_H\left(z_1\right)=\frac{R_0(T-\mathrm{Pi})+s_2{R}_0(P-\mathrm{Ti})}{2(s_1-s_2){\mathrm{\ζ}}_1}\\ {\mathrm{\ψ}}_H\left(z_2\right)=-\frac{R_0(T-\mathrm{Pi})+s_1{R}_0(P-\mathrm{Ti})}{2(s_1-s_2){\mathrm{\ζ}}_2}\end{array}\right.,{\mathrm{\ζ}}_1,{\mathrm{\ζ}}_2\∈S_h^{\′}$

其中：R₀为复合材料螺栓孔的初始半径，s₁,s₂为复合材料的第一类复参数，且s₁≠s₂；z₁＝x+s₁y和z₂＝x+s₂y为螺栓孔外部区域S_h内任意两点，S_h与S′_h满足保角映射关系如下式所示：

${\mathrm{\ζ}}_1=\frac{z_1+\sqrt{z_1^2-R_0^2(1+s_1^2)}}{R_0(1-s_{1}i)},{\mathrm{\ζ}}_2=\frac{z_2+\sqrt{z_2^2-R_0^2(1+s_2^2)}}{R_0(1-s_{2}i)}$

笛卡尔坐标系下的螺栓孔边应力分量σ_x、σ_y、τ_xy表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_x=2\mathrm{Re}[s_1^2{\mathrm{\φ}}_H^{\′}\left(z_1\right)+s_2^2{\mathrm{\ψ}}_H^{\′}\left(z_2\right)]\\ {\mathrm{\σ}}_y=2[{\mathrm{\φ}}_H^{\′}\left(z_1\right)+{\mathrm{\ψ}}_H^{\′}\left(z_2\right)]\\ {\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}}=-2\mathrm{Re}[s_1{\mathrm{\φ}}_H^{\′}\left(z_1\right)+s_2{\mathrm{\ψ}}_H^{\′}\left(z_2\right)]\end{array}\right.,z_1,z_2\∈S_h$

笛卡尔坐标系下的螺栓孔边变形位移分量u_xh、u_yh表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_{\mathrm{xh}}=2\mathrm{Re}[p_1{\mathrm{\φ}}_H\left(z_1\right)+p_2{\mathrm{\ψ}}_H\left(z_2\right)]\\ u_{\mathrm{yh}}=2\mathrm{Re}[q_1{\mathrm{\φ}}_H\left(z_1\right)+q_2{\mathrm{\ψ}}_H\left(z_2\right)]\end{array}\right.,z_1,z_2\∈S_h$

其中： $\begin{array}{cc}{p}_1=a_{11}{s}_1^2+a_{12}-a_{16}{s}_1,& p_2=a_{11}{s}_2^2+a_{12}-a_{16}{s}_2\\ q_1=a_{12}{s}_1+\frac{a_{22}}{s_1}-a_{26},& q_2=a_{12}{s}_2+\frac{a_{22}}{s_2}-a_{26}\end{array},$ a_mn(m,n＝1,2,6)是对称复合材料的柔度矩阵系数；

步骤3：螺栓和复合材料螺栓孔变形之后，螺栓边界与孔边界相互接触，螺栓和螺栓孔边变形位移在x、y方向的分量u_xp,u_yp,u_xh,u_yh满足以下关系：

$\left\{\begin{array}{c}(u_{\mathrm{xh}}-u_{\mathrm{xp}})=(r_0-R_0)\cos \mathrm{\θ}\\ (u_{\mathrm{yh}}-u_{\mathrm{yp}})=(r_0-R_0)\sin \mathrm{\θ}\end{array}\right.$

其中θ为边界任一点到圆心的连线与x轴正方向的夹角，0°≤θ＜360°；

求解u_xp,u_yp,u_xh,u_yh关系式得到法向接触应力P和切向接触应力T的表达式，然后将法向接触应力P和切向接触应力T代入螺栓孔边应力分量表达式中求解出复合材料构件螺栓孔边残余应力分布σ_x、σ_y、τ_xy；

将笛卡尔坐标系中的σ_x、σ_y、τ_xy变换到圆柱坐标系下，得到复合材料螺栓孔边的径向应力σ_r、周向应力σ_θ和切向应力τ_rθ为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}+{\mathrm{\σ}}_r={\mathrm{\σ}}_x+{\mathrm{\σ}}_y\\ {\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}-{\mathrm{\σ}}_r+2i{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{r\θ}}=({\mathrm{\σ}}_x-{\mathrm{\σ}}_y+2i{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{xy}})e^{2\mathrm{i\θ}}\end{array}\right..$