CN104777612A - 一种对光束的振幅和相位同时整形的迭代算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种对光束的振幅和相位同时整形的迭代算法，利用一个输入平面和两个输出平面对光束进行整形，所述输入平面的约束条件和值分配的自由区域分别为入射光的振幅和相位；所述两个输出平面分别为α和β，两者完全重合，将目标光束的振幅和相位划分为两部分，分别作为两个输出平面的振幅和相位的约束条件；每一个输出平面都同时进行了振幅约束和相位约束，而且两个输出平面的约束区域是互补的，所以出射光束的振幅和相位就得到了完全的约束。本发明提出的算法的输出平面的受约束区域和自由区域是等面积的，保证了迭代的收敛性。从而实现具有任意形状的振幅和相位的目标光束整形，操作简单，计算速度快，整形效果好。

Description

一种对光束的振幅和相位同时整形的迭代算法

技术领域

本发明涉及一种对光束的振幅和相位同时整形的迭代算法。

背景技术

传统的激光器只能产生具有高斯轮廓的光强的光束，为了满足材料加工、光学捕获和激光匹配等领域对具有各种光强轮廓和相位形状的激光的需求，有必要对激光进行光束整形。可以用空间光调制器或其它的光学衍射元件对激光的波前进行调制来产生理想的目标光束。空间光调制器分纯相位型和纯振幅型两种，纯相位型空间光调制器比纯振幅型空间光调制器具有更高的衍射效率，因而得到了更广泛的应用。空间光调制器需要加载特定的相位图，也就是全息图，才能完成预期的调制功能。一般用光束整形算法来计算需要的全息图。光束整形算法分为迭代型和非迭代型两种。非迭代型光束整形算法一般用来产生高斯光束、贝塞尔光束和拉盖尔光束等少数几种光束，而迭代型光束整形算法则可以产生任意形状的光束。GS算法[1]是最有代表性的迭代型光束整形算法，它可以快速地产生具有任意形状的光强或相位的目标光束。光束整形是光镊系统的核心部分。只有把原始激光整形成具有光强奇点或相位梯度的目标光束才能对微粒进行捕获或旋转[2-3]。[4]证明直线型光束或环状光束中的相位梯度可以推动微粒，其它的文献也报告类似的相位梯度力[5-6]。同时具有光强梯度和相位梯度的激光可以完成更复杂的微粒操控，因此，同时对激光的光强和相位进行整形具有重要意义。然而，GS算法只能单独对目标光束的振幅或相位进行整形，很多光束整形算法也局限于振幅整形[7-8]。为了突破这一局限，很多学者提出了同时对目标光束的振幅和相位进行整形的方法[9-11]。[12]提出了一种改进的GS算法来产生具有相位梯度的光束。他们在输出平面的振幅约束条件中编码了相位信息，从而能够同时对目标光束的振幅和相位进行整形。但是该算法需要对一些参数进行复杂地调节才能达到较好的整形质量。[13]提出了一种产生具有预定光强和相位的三维曲线光束的方法，但是该方法只能产生连续的曲线光束，而不能产生任意形状的光束。一种基于GS算法的在输出平面分开地施加振幅约束和相位约束的迭代算法有效地对光束的复振幅进行整形[14]。但是，为了同时施加振幅约束和相位约束并保证迭代的收敛性，输出平面的将近一半区域被作为自由区域而在整形后充满了噪声，也就是说，只有大约一半的目标光束区域得到了有效整形。

发明内容

本发明提供了一种对光束的振幅和相位同时整形的迭代算法，其目的在于，弥补现有技术中未被整形的目标区域，将目标光束的振幅和相位分割成两个互补的区域，分别作为两个完全重合的输出平面的约束条件，从而完成整个目标区域的振幅和相位的同时整形。

一种对光束的振幅和相位同时整形的迭代算法，利用一个输入平面和两个输出平面对光束进行整形，所述输入平面的约束条件和值分配的自由区域分别为入射光的振幅和相位；所述两个输出平面分别为α和β，两者完全重合，将目标光束的振幅和相位划分为两部分，分别作为两个输出平面的振幅和相位的约束条件；

包括以下步骤：

步骤1：初始化光束整形参数；

设定入射光的初始相位p₀和光束输入平面的约束振幅a_t，整形迭代次数为N，光束目标振幅为A_t，光束目标相位为P_t，迭代计数器为n，n＝1；

所述入射光的初始相位随机获得；

步骤2：利用入射光相位和输入平面的约束振幅计算获得输入平面的复振幅a_t·exp(i·p₀)；

步骤3：针对输入平面，采用正向传播函数获得输出平面的复振幅U_c，U_c＝T[a_t·exp(i·p₀)]，并计算输出平面的振幅A_c＝|U_c|和相位P_c＝angle(U_c)；

其中，T[]为正向传播函数；

步骤4：根据约束矩阵得到两个输出平面的修正振幅、修正相位以及修正复振幅；

输出平面α的修正振幅A_α＝A_t·S+A_c·(I-S)，修正相位P_α＝P_t·S+P_c·(I-S)，修正复振幅U_α＝A_α·exp(i·P_α)；

输出平面β的修正振幅A_β＝A_t·(I-S)+A_c·S、修正相位P_β＝P_t·(I-S)+P_c·S和修正复振幅U_β＝A_β·exp(i·P_β)；

由于两个平面的约束区域是互补的，也就是约束矩阵是互补的，一个约束矩阵是另外一个约束矩阵的取反(值0和1互相取反)，为了突出这种互补性，用一个约束矩阵S，它代表平面α的约束矩阵，用(1-S)表示平面β的约束矩阵；

所述I为单位矩阵，S为输出平面α的振幅和相位的约束矩阵，(I-S)为输出平面β的约束矩阵，约束矩阵由数值‘1’和‘0’组成，分别对应于输出平面中的约束像素点和自由像素点，即约束矩阵中值为‘1’的区域表示被约束的区域，值为‘0’的区域表示不被约束的区域，也就是自由区域；

步骤5：利用输出平面的修正复振幅经过逆向传播函数获得输入平面的最终相位p：

p＝angle[exp(i·p_α)+exp(i·p_β)]

其中，p_α＝angle(u_α)，u_α＝T^-1(U_α)，u_α为由输出平面α的修正复振幅U_α经过逆向传播函数得到的输入平面的复振幅；p_β＝angle(u_β)，u_β＝T^-1(U_β)，u_β为由输出平面β的修正复振幅U_β经过逆向传播函数得到的输入平面的复振幅；T^-1[]为逆向传播函数；

由于有两个输出平面，分别逆向传输就得到了输入平面的两个复振幅u_α和u_β，这两个复振幅的空间位置相同；

步骤6：判断迭代是否终止；

如果迭代计数器n大于总迭代次数N，就终止迭代，输出相位p作为纯相位全息图；否则，将计数器n加一，返回步骤2，将步骤5得到的输入平面的最终相位p代替步骤2中的初始相位p₀，继续进行下一次迭代。

所述迭代次数N为45。

所述正向传播函数和和逆向传播函数分别为正向菲涅尔变换和逆向菲涅尔变换或正向傅立叶变换和逆向傅立叶变换。

所述输入平面的约束振幅a_t为平面型或高斯型。

有益效果

本发明提出了一种对光束的振幅和相位同时整形的迭代算法，利用一个输入平面和两个输出平面对光束进行整形，所述输入平面的约束条件和值分配的自由区域分别为入射光的振幅和相位；所述两个输出平面分别为α和β，两者完全重合，将目标光束的振幅和相位划分为两部分，分别作为两个输出平面的振幅和相位的约束条件；每一个输出平面都同时进行了振幅约束和相位约束，而且两个输出平面的约束区域是互补的，所以出射光束的振幅和相位就得到了完全的约束。与Gerchberg-Saxton(GS)算法一样，本发明提出的算法的输出平面的受约束区域和自由区域是等面积的，这很好地保证了迭代的收敛性。本发明所述的算法得到的是一个纯相位全息图，可以方便地用空间光调制器或其它的衍射光学元件来实现。可以实现具有任意形状的振幅和相位的目标光束整形，操作简单，计算速度快，整形效果好。

附图说明

图1为本发明所述算法中约束区域和自由区域分布示意图；

图2为本发明所述算法的流程图；

图3为目标光束的振幅和相位示意图，其中，(a)为均匀的目标振幅；(b)为具有梯度的目标相位。

图4为近场衍射光束整形结果图，其中，(a)为重建振幅，(b)为重建相位，(c)为加窗后的重建相位，(d)为得到的纯相位全息图；

图5为远场衍射光束整形结果图，其中，(a)为重建振幅，(b)为重建相位，(c)为加窗后的重建相位，(d)为得到的纯相位全息图。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明做进一步的说明。

如图2所示，为本发明所述算法的流程图，一种对光束的振幅和相位同时整形的迭代算法，利用一个输入平面和两个输出平面对光束进行整形，所述输入平面的约束条件和值分配的自由区域分别为入射光的振幅和相位；所述两个输出平面分别为α和β，两者完全重合，将目标光束的振幅和相位划分为两部分，分别作为两个输出平面的振幅和相位的约束条件；

本发明所述的输入平面和输出平面的约束区域和自由区域分布示意图如图1所示；图1中，a’和‘p’分别代表输入平面的振幅和相位，‘A_α’和‘P_α’分别代表输出平面α的振幅和相位，‘A_β’和‘P_β’分别代表输出平面β的振幅和相位。输出平面α和输出平面β完全重合。白色区域代表约束区域，而斜线区域代表自由区域。

每个平面都包括振幅和相位两个区域。这六个区域‘a’、‘p’、‘A_α’、‘P_α’、‘A_β’和‘P_β’是等大小的。从图中可以看出，整个‘a’区域是约束区域，对应于入射光的光强，整个‘p’区域是自由区域，对应于纯相位全息图。‘A_α’和‘P_α’区域的左半部份是约束区域，分别对应于出射光的振幅和相位的左半部分，‘A_β’和‘P_β’区域的右半部份是约束区域，分别对应于出射光的振幅和相位的右半部分。‘A_α’和‘P_α’区域的约束区域是一致的，‘A_β’和‘P_β’区域的约束区域也是一致的。‘A_α’和‘A_β’区域的约束区域是互补的，‘P_α’和‘P_β’区域的约束区域也是互补的，所以整个出射平面的振幅和相位得到了完全的约束。事实上，只要两个输出平面的约束区域满足互补关系，图中的约束区域可以是任意形状的。另外，由于两个输出平面的自由区域也是互补的，所以自由区域也覆盖了整个输出平面，这很好地保证了迭代的收敛性。

包括以下步骤：

步骤1：初始化光束整形参数；

设定入射光的初始相位p₀和光束输入平面的约束振幅a_t，整形迭代次数为N，光束目标振幅为A_t，光束目标相位为P_t，迭代计数器为n，n＝1；

所述入射光的初始相位随机获得；

步骤2：利用入射光相位和输入平面的约束振幅计算获得输入平面的复振幅a_t·exp(i·p₀)；

步骤3：针对输入平面，采用正向传播函数获得输出平面的复振幅U_c，U_c＝T[a_t·exp(i·p₀)]，并计算输出平面的振幅A_c＝|U_c|和相位P_c＝angle(U_c)；

其中，T[]为正向传播函数；

步骤4：根据约束矩阵得到两个输出平面的修正振幅、修正相位以及修正复振幅；

输出平面α的修正振幅A_α＝A_t·S+A_c·(I-S)，修正相位P_α＝P_t·S+P_c·(I-S)，修正复振幅U_α＝A_α·exp(i·P_α)；

输出平面β的修正振幅A_β＝A_t·(I-S)+A_c·S、修正相位P_β＝P_t·(I-S)+P_c·S和修正复振幅U_β＝A_β·exp(i·P_β)；

由于两个平面的约束区域是互补的，也就是约束矩阵是互补的，一个约束矩阵是另外一个约束矩阵的取反(值0和1互相取反)，为了突出这种互补性，用一个约束矩阵S，它代表平面α的约束矩阵，用(1-S)表示平面β的约束矩阵；

所述I为单位矩阵，S为输出平面α的振幅和相位的约束矩阵，(I-S)为输出平面β的约束矩阵，约束矩阵由数值‘1’和‘0’组成，分别对应于输出平面中的约束像素点和自由像素点，即约束矩阵中值为‘1’的区域表示被约束的区域，值为‘0’的区域表示不被约束的区域，也就是自由区域；

步骤5：利用输出平面的修正复振幅经过逆向传播函数获得输入平面的最终相位p：

p＝angle[exp(i·p_α)+exp(i·p_β)]

其中，p_α＝angle(u_α)，u_α＝T^-1(U_α)，u_α为由输出平面α的修正复振幅U_α经过逆向传播函数得到的输入平面的复振幅；p_β＝angle(u_β)，u_β＝T^-1(U_β)，u_β为由输出平面β的修正复振幅U_β经过逆向传播函数得到的输入平面的复振幅；T^-1[]为逆向传播函数；

由于有两个输出平面，分别逆向传输就得到了输入平面的两个复振幅u_α和u_β，这两个复振幅的空间位置相同；

步骤6：判断迭代是否终止；

如果迭代计数器n大于总迭代次数N，就终止迭代，输出相位p作为纯相位全息图；否则，将计数器n加一，返回步骤2，将步骤5得到的输入平面的最终相位p代替步骤2中的初始相位p₀，继续进行下一次迭代。

使用相对误差来评估光束整形的效果。振幅整形的相对误差ε_A表示为：

${\mathrm{\ϵ}}_A=\frac{\underset{\mathrm{kx}=1,\mathrm{ky}=1}{\overset{\mathrm{Nx},\mathrm{Ny}}{\mathrm{\Σ}}}{|A_t(\mathrm{kx},\mathrm{ky})-A_c(\mathrm{kx},\mathrm{ky})|}^2}{\underset{\mathrm{kx}=1,\mathrm{ky}=1}{\overset{\mathrm{Nx},\mathrm{Ny}}{\mathrm{\Σ}}}{\left|A_t(\mathrm{kx},\mathrm{ky})\right|}^2}$

相位整形的相对误差ε_P表示为：

${\mathrm{\ϵ}}_P=\frac{\underset{\mathrm{kx}=1,\mathrm{ky}=1}{\overset{\mathrm{Nx},\mathrm{Ny}}{\mathrm{\Σ}}}{|W(\mathrm{kx},\mathrm{ky})\·[P_t(\mathrm{kx},\mathrm{ky})-P_c(\mathrm{kx},\mathrm{ky})\left]\right|}^2}{\underset{\mathrm{kx}=1,\mathrm{ky}=1}{\overset{\mathrm{Nx},\mathrm{Ny}}{\mathrm{\Σ}}}{\left|{W(\mathrm{kx},\mathrm{ky})\·P}_t(\mathrm{kx},\mathrm{ky})\right|}^2}$

其中Nx和Ny分别表示目标光束在x和y方向的总像素点数目；W(kx,ky)是一个窗函数，表示目标振幅不为零的区域，若某个像素点的目标振幅为零，则窗函数在这点的值为‘0’，否则为‘1’。A_t(kx,ky)和A_c(kx,ky)分别表示在点(kx,ky)处的目标振幅和重建振幅，P_t(kx,ky)和P_c(kx,ky)分别表示在点(kx,ky)处的目标相位和重建相位。

在仿真实验中，输入平面和输出平面的采样网格为512×512像素点，像素点大小为15μm×15μm，所用光波波长为532nm，迭代次数为45。如图3，设计了一个具有均匀振幅和梯度相位的光束作为整形的目标光束。这个具有梯度相位的目标光束可以捕获微粒并驱动微粒，在光镊系统中有很广泛的应用。

先用角谱方法[15]来模拟近场衍射。近场衍射的光束整形结果如图4所示。图4(a)为重建光束的振幅，和目标振幅图3(a)非常接近，相对误差ε_A小于2％。图4(b)为重建的相位，目标振幅为零的区域噪声比较大。在实际中，目标振幅为零的区域的相位是没有值的，是没有意义的，所以对重建相位进行加窗处理后得到目标振幅非零区域的相位图，即图4(c)。加窗后的重建相位图4(c)和目标相位图3(b)吻合得很好，相对误差ε_P小于0.5％。图4(d)为得到的纯相位全息图，可以看出，它同时编码了目标振幅和目标相位信息。

然后用傅立叶变换来模拟远场衍射。图5为远场衍射的光束整形结果。图5(a)为重建振幅，虽然其噪声比近场衍射重建振幅图4(a)大，但是整个轮廓和目标振幅图3(a)是一致的，其相对误差ε_A小于8％。图5(b)为重建相位，和图4(b)一样，目标振幅为零的区域同样有很大的噪声。图5(c)为加窗后的重建相位，和目标相位图3(b)也吻合得很好，相对误差ε_P小于0.8％。图5(d)为得到的纯相位全息图。

从图4和图5可以看出，无论是近场衍射还是远场衍射，整形后的光束和目标光束是非常接近的，这说明本发明提出的整形算法是非常有效的。

参考文献：

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[4]Y.Roichman,B.Sun,Y.Roichman,J.Amato-Grill,D.G.Grier，相位梯度产生的光学力，《物理评论快报》，卷100，013602页，2008年。[Y.Roichman,B.Sun,Y.Roichman,J.Amato-Grill,D.G.Grier,“Optical forces arising from phase gradients,”Phys.Rev.Lett.100(1),013602(2008).]

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[6]K.Volke-Sepulveda,V.Garcés-Chávez,S.Chávez-Cerda,J.Arlt,K.Dholakia，高阶贝塞尔光束的轨道角动量，《光学期刊B：量子和半经典光学》，卷4，S82页，2002年。[K.Volke-Sepulveda,V.Garcés-Chávez,S.Chávez-Cerda,J.Arlt,K.Dholakia,“Orbital angularmomentum of a high-order bessel light beam,”J.Opt.B:Quantum and Semiclassical Opt.4(2),S82(2002).]

[7]G.Whyte,J.Courtial，使用Gerchberg–Saxton算法进行全息三维光束整形的实验证明，《新物理期刊》，卷7，117页，2005年。[G.Whyte,J.Courtial,“Experimental demonstration ofholographic three-dimensional light shaping using a Gerchberg–Saxton algorithm,”New Journal ofPhysics 7(1),117(2005).]

[8]R.El-Agmy,H.Bulte,A.H.Greenaway,D.Raid，使用模拟退火法的自适应光束轮廓控制，《光学快报》，卷13，6085-6091页，2005年。[R.El-Agmy,H.Bulte,A.H.Greenaway,D.Raid,“Adaptive beam profile control using a simulated annealing algorithm,”Opt.Express 13(16),6085-6091(2005).]

[9]A.Jesacher,C.Maurer,A.Schwaighofer,S.Bernet,M.Ritsch-Marte，全息光镊的相位和振幅的高效率控制，《光学快报》，卷16，4479-4486页，2008年。[A.Jesacher,C.Maurer,A.Schwaighofer,S.Bernet,M.Ritsch-Marte,“Full phase and amplitude control of holographic opticaltweezers with high efficiency,”Opt.Express 16(7),4479–4486(2008).]

[10]S.-H.Lee,Y.Roichman,D.G.Grier，螺线管型光束，《光学快报》，卷18，6988-6993页，2010年。[S.-H.Lee,Y.Roichman,D.G.Grier,“Optical solenoid beams,”Opt.Express 18(7),6988–6993(2010).]

[11]L.Z.Liu,K.O’Keeffe,D.T.Lloyd,S.M.Hooker，使用空间光调制器的远场相位和振幅控制的一般解析解，《光学特快》，卷39，2137-2140页，2014年。[L.Z.Liu,K.O’Keeffe,D.T.Lloyd,S.M.Hooker,“General analytic solution for far-field phase and amplitude control,with aphase-only spatial light modulator,”Opt.Lett.39(7),2137–2140(2014).]

[12]Z.Z.Yuan,S.H.Tao，迭代算法产生具有相位梯度的光束，《光学期刊》，卷16，105701页，2014年。[Z.Z.Yuan,S.H.Tao,“Generation of phase-gradient optical beams with an iterativealgorithm,”J.Opt.16(10),105701(2014).]

[13]J.A.Rodrigo,T.Alieva,E.Abramochkin,I.Castro，沿着三维曲线的光束整形，《光学快报》，卷21，20544-20555页，2013年。[J.A.Rodrigo,T.Alieva,E.Abramochkin,I.Castro,“Shaping of light beams along curves in three dimensions,”Opt.Express 21(18),20544–20555(2013).]

[14]S.H.Tao,W.X.Yu，在输出平面使用分开的约束条件进行光束的复振幅整形，《光学快报》，卷23，1052-1062页，2015年。[S.H.Tao,W.X.Yu,“Beam shaping of complex amplitudewith separate constraints on the output beam,”Opt.Express 23(2),1052-1062(2015).]

[15]J.W.Goodman，傅立叶光学简介，(麦格劳-希尔，1996年)。[J.W.Goodman,Introduction to Fourier Optics(McGraw-Hill,1996).]

Claims (4)

1.一种对光束的振幅和相位同时整形的迭代算法，其特征在于，利用一个输入平面和两个输出平面对光束进行整形，所述输入平面的约束条件和值分配的自由区域分别为入射光的振幅和相位；所述两个输出平面分别为α和β，两者完全重合，将目标光束的振幅和相位划分为两部分，分别作为两个输出平面的振幅和相位的约束条件；

包括以下步骤：

步骤1：初始化光束整形参数；

设定入射光的初始相位p₀和光束输入平面的约束振幅a_t，整形迭代次数为N，光束目标振幅为A_t，光束目标相位为P_t，迭代计数器为n，n＝1；

所述入射光的初始相位随机获得；

步骤2：利用入射光相位和输入平面的约束振幅计算获得输入平面的复振幅a_t·exp(i·p₀)；

步骤3：针对输入平面，采用正向传播函数获得输出平面的复振幅U_c，U_c＝T[a_t·exp(i·p₀)]，并计算输出平面的振幅A_c＝|U_c|和相位P_c＝angle(U_c)；

其中，T[]为正向传播函数；

步骤4：根据约束矩阵得到两个输出平面的修正振幅、修正相位以及修正复振幅；

输出平面α的修正振幅A_α＝A_t·S+A_c·(I-S)，修正相位P_α＝P_t·S+P_c·(I-S)，修正复振幅U_α＝A_α·exp(i·P_α)；

输出平面β的修正振幅A_β＝A_t·(I-S)+A_c·S、修正相位P_β＝P_t·(I-S)+P_c·S和修正复振幅U_β＝A_β·exp(i·P_β)；

所述I为单位矩阵，S为输出平面α的振幅和相位的约束矩阵，(I-S)为输出平面β的约束矩阵，约束矩阵由数值‘1’和‘0’组成，分别对应于输出平面中的约束像素点和自由像素点，即约束矩阵中值为‘1’的区域表示被约束的区域，值为‘0’的区域表示不被约束的区域；

步骤5：利用输出平面的修正复振幅经过逆向传播函数获得输入平面的最终相位p：

p＝angle[exp(i·p_α)+exp(i·p_β)]

其中，p_α＝angle(u_α)，u_α＝T^-1(U_α)，u_α为由输出平面α的修正复振幅U_α经过逆向传播函数得到的输入平面的复振幅；p_β＝angle(u_β)，u_β＝T^-1(U_β)，u_β为由输出平面β的修正复振幅U_β经过逆向传播函数得到的输入平面的复振幅；T^-1[]为逆向传播函数；

步骤6：判断迭代是否终止；

如果迭代计数器n大于总迭代次数N，就终止迭代，输出相位p作为纯相位全息图；否则，将计数器n加一，返回步骤2，将步骤5得到的输入平面的最终相位p代替步骤2中的初始相位p₀，继续进行下一次迭代。

2.根据权利要求书1中所述的一种对光束的振幅和相位同时整形的迭代算法，其特征在于，所述迭代次数N为45。

3.根据权利要求书1中所述的一种对光束的振幅和相位同时整形的迭代算法，其特征在于，所述正向传播函数和和逆向传播函数分别为正向菲涅尔变换和逆向菲涅尔变换或正向傅立叶变换和逆向傅立叶变换。

4.根据权利要求书1中所述的一种对光束的振幅和相位同时整形的迭代算法，其特征在于，所述输入平面的约束振幅a_t为平面型或高斯型。