CN104714925A - 一种基于分数阶傅里叶变换和支持向量机的齿轮传动噪声分析方法 - Google Patents

Abstract

一种基于分数阶傅里叶变换和支持向量机的齿轮传动噪声分析方法，首先以变换阶次为变量，对齿轮传动噪声信号进行分数阶傅里叶变换，在所形成的分数阶傅里叶域内按阈值进行峰值点二维搜索，同时构建窄带带通滤波器进行滤波处理就可实现齿轮传动噪声信号有用分量与背景噪声的分离。其次，对提取的齿轮传动噪声信号有用分量，进行小波包分解和系数重构，将小波包分解最高层的频带内特征信号的归一化能量值作为特征向量。最后，将特征向量作为样本分为两组，两组样本数目相等，分别作为训练样本和测试样本。本发明不需要人为过多参与，保证了分析的准确性；基于支持向量机的智能分析方法，对齿轮传动性能的识别准确度高且快速。

Description

一种基于分数阶傅里叶变换和支持向量机的齿轮传动噪声分析方法

技术领域

本发明涉及一种齿轮传动噪声分析方法，特别是基于分数阶傅里叶变换(FRFT)和支持向量机(SVM)的齿轮传动噪声分析方法。属于齿轮传动噪声测量和故障诊断领域。

背景技术

齿轮传动噪声信号分析，主要用于齿轮故障诊断。分析过程应用到非平稳信号的去噪，有用信号提取，特征分析和智能识别等领域。信号去噪和有用信号提取直接关系到特征分析以及智能识别的正确性。

传统的信号谱分析方法，主要是基于快速傅里叶变换，或者是基于时间序列模型的谱分析，这两种方法的前提条件假定信号是平稳的。但对于齿轮传动过程，信号往往是非平稳的或非线性的，若仍定义数据是平稳或线性进行计算，则分析结果会出现偏差。随着信号处理技术的不断发展，针对非平稳信号的去噪方法如短时Fourier变换、小波分析、Gabor变换、Wigner-Ville等有了很大的发展，但这些方法特别依赖于基函数的选取，增加了分析的难度，另外存在时间分辨率和频率分辨率不能同时达到最佳的缺陷，基函数选取不当还会影响到分析的准确性。

现有齿轮传动噪声信号的分析方法，主要是基于FFT变换以后的频谱图，通过观测谱线中边频带的特点来辨别齿轮的传动性能。但是齿轮传动噪声信号通常为一种非平稳信号，边频带分析也失去了意义。同时，由于通常情况下测得的噪声往往混杂了其他噪音源，例如电机、轴承、联轴器等，而啮合产生的噪声能量远远低于外部噪音，仅通过观测波形或谱线的方法也是不可行的。

分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform，FRFT)是一种广义的傅里叶变换，可理解为一种时频平面的旋转变换，它既继承了傅里叶变换所具有的优点，又提供了傅里叶变换所不具备的某些特点，FRFT将信号分解在分数阶傅里叶域的一组正交的chirp基上，因而适于用来分析或处理某些时变的非平稳信号。在时频平面上，信号时频分布在某一个方向具有最小的宽度，旋转时频平面至相应的角度，可以很好地抑制多分量信号时频分布的交叉项及噪声。由于齿轮传动噪声信号在某一特定的分数阶傅里叶变换域呈现出能量聚集特性，而加性高斯白噪声的能量在分数阶傅里叶变换域均匀分布在整个平面内，不会呈现出能量聚集性因此选择合适的分数阶变换域，能有效分离与故障无关的背景噪声信号，保留与故障有关的有用信号分量。

为此有必要发明一种基于分数阶傅里叶变换变换和支持向量机的齿轮传动噪声分析方法，有效提取故障特征信息，提高齿轮传动噪声测量和故障诊断的效率和精度。

发明内容

技术的齿轮传动噪声信号分析方法，目的是提供一种基于分数阶傅里叶变换和支持向量机结合的齿轮传动噪声测量和故障诊断方法，使之能够在生产现场快速地对齿轮进行信号分析并据此判断齿轮的品质和故障类型。本方法具有精度高、快速和智能高效等特点。

为达到以上目的，本发明是采取如下技术方案予以实现的：

一种基于分数阶傅里叶变换和支持向量机的齿轮传动噪声分析方法，包括下述步骤：

步骤一：采用传声器采集齿轮传动噪声信号x(t)，选定阶次p变化范围和步长，对采集信号x(t)做分数阶傅里叶变换 $X_p\left(u\right)=F^p\left\{x\left(t\right)\right\}={\∫}_{-\∞}^{+\∞}x\left(t\right)K_{\mathrm{\α}}(t,u)\mathrm{dt},$ 形成信号能量在分数阶傅里叶域u上的二维分布。

其中t为采样时间点，α为旋转角，p为分数阶傅里叶变换的阶次，α＝pπ/2，核函数K_α(t,u)为：

$K_{\mathrm{\α}}(t,u)=\left\{\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{\α}}\exp \left[\mathrm{j\π}(t^2\cot \mathrm{\α}-2\mathrm{tu}\csc \mathrm{\α}+u^2\cot \mathrm{\α})\right]& \mathrm{\α}\≠\mathrm{n\π}\\ \mathrm{\δ}(u-t)& \mathrm{\α}=2\mathrm{n\π}\\ \mathrm{\δ}(u+t)& \mathrm{\α}=(2n\±1)\mathrm{\π}\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中

$A_{\mathrm{\α}}=\sqrt{(1-j\cot \mathrm{\α})}=\frac{\exp \{-j[\mathrm{\πsgn}\left(\sin \mathrm{\α}\right)/4-\mathrm{\α}/2\left]\right\}}{\sqrt{\left|\sin \mathrm{\α}\right|}}---\left(2\right)$

其中A_α为核函数K_α(t,u)计算的中间变量，exp{·}表示以自然对数e为底的指数函数，sgn(·)为符号函数，n为整数，δ(·)为冲激函数，j为虚数单位,。

步骤二：在步骤一形成的平面上进行峰值点二维搜索，将最大峰值对应的FRFT域作为最佳FRFT域，并计算下式：

$(p_{\mathrm{opt}},u_{\mathrm{opt}})=\underset{p,u}{\arg \max }{\left|X_p\left(u\right)\right|}^2---\left(3\right)$

式中arg(·)表示求复数的辐角，该公式是指取使得分数阶傅里叶变换值X_p(u)的模的平方|X_p(u)²|最大的p和u的值分别作为p_opt和u_opt。

采用等式(3)计算最优阶次p_opt和信号最大峰值处的中心频率u_opt，以及信号在最佳变换阶次下的形成的尖峰宽度W＝2π[Tcsc(p_optπ/2)]，其中T为观测时长，T＝L/f_s，L为信号长度，f_s为采样频率。

步骤三：利用步骤二中获得的最佳FRFT域数据，中心频率u_opt和尖峰宽度W构造窄带带通滤波器用滤波器H(u)对最佳FRFT域信号做遮隔处理X_popt(u)H(u)来滤除背景噪声能量，保留有用齿轮传动噪声的能量。

步骤四：对步骤三中得到的FRFT域有用信号，做-p_opt阶FRFT变换，计算下式，得到滤波后的齿轮传动噪声信号S(t)。

$S\left(t\right)=F^{-p_{\mathrm{opt}}}\left\{X_{p_{\mathrm{opt}}}\left(u\right)H\left(u\right)\right\}={\∫}_{-\∞}^{+\∞}{X}_{p_{\mathrm{opt}}}\left(u\right)H\left(u\right)K_{-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{opt}}}(t,u)\mathrm{dt}---\left(4\right)$

等式(4)中，α_opt为最佳阶次p_opt对应的最佳旋转角，负号表示反向，即表示将信号反向旋转α_opt＝p_optπ/2回到时域。

步骤五：将滤波后齿轮传动噪声信号S(t)，进行N层小波包分解和系数重构，信号S(t)的三层小波包分解的树结构如附图1，其中A表示低频，D表示高频，末尾的序号数表示分解的层数。分解具有如下关系：

S＝AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+ADD3+DAD3+ADD3+DDD3  (5)

信号S(t)分解后得到第N层从低频到高频共2^N个频带成分的特征信号S_Nj，j＝1,2,...,2^N。特征信号S_Nj对应的能量为式中x_jk表示分解信号S_j的第k个离散点的系数，k＝1,2,...,n，n表示分解序列S_j的离散点个数。

步骤六：计算特征信号S_Nj的模N_Nj＝(E_Nj)^1/2，其中j＝1,2,...,2^N。

步骤七：构造特征向量。对每一信号经小波包分解，求各频带系数的模，得到一组与信号对应的序列{N_Nj,j＝1,2,...,2^N}，信号总能量为对每个尺度能量值归一化，则可由此确定与此能量序列对应的归一化特征向量p＝[N_N1N_N2...N_N2N]/E_r。

步骤八：步骤七中得到归一化的特征向量作为样本分为两组，两组样本的数目相同，分别作为训练样本和测试样本，利用支持向量机进行分类，分类原理如附图2所示。支持向量机核函数采用高斯径向基函数，采用SVM模式识别与回归的软件包LIBSVM进行分类，采用粒子群优化法(PSO)优化LIBSVM分类模型，得到优化后的SVM校正参数。

进一步地，粒子群优化法优化SVM参数的主要步骤如下：

①初始化粒子群算法的种群大小、最大进化代数T、在搜索空间随机生成m个粒子，随机确定每个粒子的初始位置和初始速度；初始化支持向量机的误差惩罚参数c和高斯核参数g。

②将初始化的支持向量机参数用于SVM算法建立相应的模型，利用该模型对检验样本进行预测分类，并根据适应度函数计算出每个粒子的适应度值。

③将粒子的初始适应度值作为其个体最优解，与全局最优目标函数值进行比较，如果粒子的初始适应值优于最优目标函数值，则将前者作为当前最优目标函数值，继续寻找全局最优解。

④利用粒子的速度和位置更新公式进行更新，得到每个粒子的自身最好位置pbest，比较所有粒子最好位置后，得出所有粒子的最好位置gbest。

⑤检验是否符合结束条件，如果达到规定的误差要求或迭代次数，则停止迭代，否则转到第②步继续。

步骤九：采用步骤八中优化得到的惩罚参数c和高斯核参数g作为支持向量机参数，输入训练样本进行训练。采用“一对多”(one-against-rest)的多分类法进行分类，分类原理如附图3所示，将K类故障齿轮的训练样本的类型标签分别标为i，其中i＝1,2,3...K，最终经过支持向量机训练得到一定的训练参数信息(包括支持向量、拉式系数、网络偏差等)；

步骤十：将测试样本输入支持向量机进行识别，输出测试结果。由输出结果的标签i(i＝1,2,3...K)分别确定对应的齿轮类型

本发明新型的有益效果为：通过采用分数阶傅里叶变换的时频信号分析方法，可以更有效地提取齿轮缺陷特征，并有利于后续支持向量机分类。并且对齿轮传动噪声信号的有用信号提取和特征分析过程，不需要人为过多参与，保证了分析的准确性；基于支持向量机的智能分析方法，对齿轮传动性能的识别准确度高且快速。

附图说明

图1是三层小波包分解树结构。

图2是支持向量机分类原理。

图3是“一对多”多分类算法原理。

图4是齿轮传动噪声实验台。

图5是齿轮传动噪声分析流程图。

图6a是实验所测正常齿轮传动噪声信号的时域和频域图。

图6b是实验所测具有裂纹齿轮传动噪声信号的时域和频域图。

图6c是实验所测偏轴齿轮噪声信号的时域和频域图。

图7是实验信号小波包三层分解。

图8是支持向量机分类流程。

图9是应用多分类支持向量机对三种齿轮类型数据的实际训练和预测的结果。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的详细说明，以令本领域技术人员参照说明书文字能够据以实施。

实验中采用如附图4所示的实验台来进行齿轮传动噪声采集，附图5是齿轮传动噪声分析流程图，正常齿轮、具有裂痕的齿轮和偏心齿轮的传动噪声信号如图6a-6c所示，图示表明通过观测噪声信号波形或者谱线的方式不能够区分三种缺陷齿轮，因此通过下述步骤进行分析：

步骤一：对采用传声器采集到含有背景噪声w(t)和齿轮传动噪声信号x(t)的混合信号s(t)，其中t为采样时间。对采集得到的具有裂纹齿轮的传动噪声混合信号，使用分数阶傅里叶变换消除背景噪声，提取有用信号(正常齿轮和偏心齿轮的传动噪声混合信号处理方法与之相同，如下述)。具体方法是以变换阶次p对混合信号进行分数阶傅里叶变换，其中p从0到2，以0.01为步长进行变换，形成信号能量在参数p-u平面上的二维分布。对信号进行FRFT处理，必须采用离散形式的FRFT。H.M.Ozaktas等人提出并实现的DFRFT数值计算方法，是一种计算量与FFT相当的快速分数阶傅里叶变换算法，其本质是实现信号的离散取样值与连续FRFT的离散取样值之间的映射，计算复杂度较小，使FRFT从理论逐步走向工程实践。具体步骤是：

t²cotα-2tucscα+u²cotα

＝t²(cotα-cscα)+(t-u)²cscα+u²(cotα-cscα)  (6)等式(6)代入公式(1)中，利用(cotα-cscα)＝-tan(α/2)化简得到：

$\begin{array}{c}{X}_p\left(u\right)=A_{\mathrm{\α}}\exp \left[\mathrm{j\π}(\cot \mathrm{\α}-\csc \mathrm{\α})u^2\right]{\∫}_{-\∞}^{+\∞}\exp \left[\mathrm{j\π}\csc \mathrm{\α}{(u-t)}^2\right]\\ \left\{\exp \right[\mathrm{j\π}{t}^2(\cot \mathrm{\α}-\csc \mathrm{\α})\left]x\left(t\right)\right\}\mathrm{dt}\\ =A_{\mathrm{\α}}\exp [-\mathrm{j\π}\tan (\mathrm{\α}/2)u^2{\∫}_{-\∞}^{+\∞}\exp [\mathrm{j\π}\csc {(u-t)}^2\\ \left\{\exp \right[-j{\mathrm{\πt}}^2\tan (\mathrm{\α}/2)]x\left(t\right)\}\mathrm{dt}\end{array}-\left(7\right)$

DFRFT将FRFT分解为三步，即第一步信号先与chirp信号相乘，第二步与chirp信号卷积运算，第三步与chirp信号乘积。然后对时频域进行量纲归一化，时域和频域都被限定在区间[-Δx/2,Δx/2]，宽度为Δx，采样点数为N＝Δx²，采样间隔而且每个步骤必须考虑采样间隔，以符合香农采样定理。考虑到信号与chirp信号乘积卷积运算的wigner分布区域需要将支撑区域限定在区间[-Δx,Δx]。为了恢复原来的采样样本值，以采样间隔1/2Δx获取采样值，得到离散形式如下：

$X_p\left(\frac{m}{2\mathrm{\Δx}}\right)=A_{\mathrm{\α}}{e}^{j\frac{1}{2}{\left(\frac{m}{2\mathrm{\Δx}}\right)}^2(\cot \mathrm{\α}-\csc \mathrm{\α})}\underset{n=-N}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\left[x\left(\frac{n}{2\mathrm{\Δx}}\right)e^{j\frac{1}{2}{\left(\frac{m}{2\mathrm{\Δx}}\right)}^2(\cot \mathrm{\α}-\csc \mathrm{\α})}\right]e^{j\frac{1}{2}{\left(\frac{m-n}{2\mathrm{\Δx}}\right)}^2\csc \mathrm{\α}}---\left(8\right)$

上式中，α为旋转角度，α＝pπ/2，p为变换阶次p∈[0,2]，Δx为信号带宽，N为样本长度，N＝(Δx)²。

步骤二：在步骤一形成的平面(p,u)上进行峰值点二维搜索，通过计算计算使X_p(u)的模的平方|X_p(u)|²最大的p和u的值分别作为p_opt和u_opt，确定了最优阶次p_opt＝1.125和尖峰中心频率u_opt＝25.233，样本长度为8192，采样频率f_s为22050Hz，观测时长T＝0.3715s，尖峰宽度W＝2π/[Tcsc(p_optπ/2)]＝0.2603。

步骤三：构造窄带滤波器器用滤波器H(u)与信号最佳FRFT域信号相乘X_popt(u)H(u)，就可实现齿轮传动噪声信号与背景噪声的分离。

步骤四：滤波后信号做-p₀阶的分数阶傅里叶变换，将信号旋转回时域得到抑制了背景噪声的有用齿轮传动信号分量S(t)，实现了齿轮传动噪声信号与背景噪声的分离：

$S\left(t\right)=F^{-p_{\mathrm{opt}}}\left\{X_{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{opt}}}\left(u\right)H\left(u\right)\right\}={\∫}_{-\∞}^{+\∞}X\left(u\right)H\left(u\right)K_{-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{opt}}}(t,u)\mathrm{dt}---\left(9\right)$

公式(9)的具体离散算法如步骤一。

步骤五：利用分数阶傅里叶变换对信号进行滤波之后得到的S(t)，进行小波包分解和系数重构，小波函数选择‘db5’小波，分解层数为3层，分解图如附图7，图中节点(i,j)表示第i层第j个节点(i＝0,1,2,3；j＝0,1,2,...,7)，每个节点代表一定的信号特征。其中节点(0,0)代表原始信号S(t)，节点(1,0)代表小波包分解的第1层低频系数，节点(1,1)代表小波包分解的第1层高频系数，其余节点依此类推。经3层小波包分解得到8个正交频带上的特征信号S_Nj，j＝1,2,...,2^N。计算这8个频带特征信号S_Nj对应的能量为式中x_jk表示分解信号S_j的第k个离散点的系数，k＝1,2,...,n，n表示分解序列S_j的离散点个数。

二进制小波包分解的快速算法为：

$\left\{\begin{array}{c}{p}_0^1\left(t\right)=S\left(t\right)\\ p_j^{2i-1}\left(t\right)={\mathrm{\Σ}}_{k}H(k-2t)p_{j-1}^i,t=1,2...2^{J-j};i=\mathrm{1,2}...2^j;J={\log }_2---\left(10\right)\\ p_j^{2i}\left(t\right)={\mathrm{\Σ}}_{k}G(k-2t)p_{j-1}^i\left(t\right)\end{array}\right.-$

其中表示第j层上的第i个小波包，G、H为小波分解滤波器，H为低通滤波器，与尺度函数有关，G为高通滤波器，与小波函数有关，N为采样点数。

S(t)在第j层上的共有2^j个小波包，是第j层上的第i个节点。二进制小波包的重构算法为：

$p_j^i\left(t\right)=2[\underset{k}{\mathrm{\Σ}}h(t-2k)p_{j+1}^{2i-1}\left(t\right)+\underset{k}{\mathrm{\Σ}}g(t-2k)p_{j+1}^{2i}\left(t\right)]---\left(11\right)$

式中：j＝J-1,J-2...1,0；i＝2^j,2^j-1...2,1；J＝log₂N；h、g为重构滤波器，h与尺度函数有关，g与小波函数ψ_j(t)有关。

步骤六：计算特征信号S_Nj的模N_Nj＝(E_Nj)^1/2，其中j＝1,2,...,2^N。

步骤七：构造特征向量。对每一信号经小波包分解，求各频带系数的模，得到一组与信号对应的序列{N_Nj,j＝1,2,...,2^N}，信号总能量为对每个尺度能量值归一化，则可由此确定与此能量序列对应的归一化特征向量p＝[N_N1N_N2...N_N2N]/E_r。

步骤八：对多组齿轮传动噪声数据的特征向量使用支持向量机进行分类，分类流程如附图8所示。齿轮样本总共由90组，其中包括30组正常齿轮、30组具有裂纹齿轮和30组偏心齿轮，计算它们的特征向量。表1列出了六组不同缺陷齿轮(包括两组正常齿轮、两组裂纹齿轮和两组偏心齿轮)传动噪声信号的特征向量。将齿轮样本平均分成两组：训练样本和测试样本，各包含15组正常齿轮、15组裂纹齿轮和15组偏心齿轮。支持向量机核函数采用高斯径向基核(RBF)K(x_i,x_j)＝exp(-g||x_i-x_j||²)；其中g为常数。惩罚因子c表征支持向量机对误差样本的惩罚力度。核函数参数g和惩罚参数c的选择对支持向量机的分类精度都有很大的影响。采用一款开源的SVM模式识别与回归的软件包LIBSVM，采用粒子群优化法来优化LIBSVM分类模型，对惩罚因子c和核函数参数g进行参数寻优，得到优化后的SVM校正参数。

表1 六组不同缺陷齿轮传动噪声信号的特征向量

粒子群寻优算法的数学描述为：定义在一个D维寻优空间中，有m个粒子组成的群体，其中第i个粒子的速度可以表示为v_i＝(v_i1,v_i2,...,v_iD)，其位置为x_i＝(x_i1,x_i2,...,x_iD)，则第i粒子当前搜寻到的最优位p_i＝(p_i1,p_i2,...,p_iD)，整个种群的搜寻到的最优位置为，粒子更新公式如下：

v_id(t+1)＝ωv_id(t)+c₁r₁(p_id(t)-x_id(t))+c₂r₂(p_gd(t)-x_id(t))  (12)

x_id(t+1)＝x_id(t)+v_id(t+1)  (13)

如果v_id＞V_max时，取v_id＝V_max；如果v_id＜-V_max时，取v_id＝-V_max，其中i＝1,2,...,m，d＝1,2,...,D。t是当前迭代次数，c₁,c₂是加速常数，r₁,r₂是介于[0,1]的随机数，ω是惯性权重。

粒子群寻优法(PSO)优化SVM参数的主要步骤如下：

①初始化粒子群算法的种群大小m＝20、最大迭代代数T＝200、在搜索空间随机生成20个粒子，随机确定每个粒子的初始位置和初始速度；局部搜索强度c₁＝1.5，全局搜索强度c₂＝1.7，粒子寻优速率k＝0.6，种群速度弹性系数为ω＝1，支持向量机的误差惩罚参数c寻优范围[0.1～100]和高斯核参数g寻优范围[0.1～1000]。

②将初始化的支持向量机参数用于SVM算法建立相应的模型，利用该模型对检验样本进行预测分类，并根据适应度函数计算出每个粒子的适应度值。

③将粒子的初始适应度值作为其个体最优解，与全局最优目标函数值进行比较，如果粒子的初始适应值优于最优目标函数值，则将前者作为当前最优目标函数值，继续寻找全局最优解。

④利用粒子的速度和位置更新公式进行更新，得到每个粒子的自身最好位置pbest，比较所有粒子最好位置后，得出所有粒子的最好位置gbest。

⑤检验是否符合结束条件，如果达到规定的误差要求或迭代次数，则停止迭代，否则转到第②步继续。

步骤九：根据步骤八中粒子群优化法进行寻优，得到惩罚参数c＝2.1021,高斯核参数g＝111.4336。将其作为支持向量机参数，把其中正常齿轮、裂纹齿轮和偏心齿轮的训练样本标签分别设为“1”、“2”、“3”，将训练样本输入支持向量机利用“one against rest”分类法进行训练，最终得到一定的训练参数信息(包括支持向量、拉式系数、网络偏差等)。

步骤十：将测试样本45组齿轮传动噪声信号的特征向量(其中1-15号为正常齿轮传动噪声信号的特征向量，16-30号为具有裂纹齿轮传动噪声信号的特征向量，31-45号为偏心齿轮传动噪声信号的特征向量)输入支持向量机进行识别，结果如附图9所示。如附图9中纵坐标“1”、“2”、“3”分别代表正常齿轮、具有裂纹的齿轮和偏心齿轮这三种齿轮类型。圆圈代表对输入数据的实际测试集分类，星号代表对输入数据的预测测试集分类。通过附图9可以很直观地看到应用多分类支持向量机对三种齿轮类型数据的实际训练和预测的结果，其分类准确率达到了95.5％，分类效果非常明显。

Claims (2)

1.一种基于分数阶傅里叶变换和支持向量机的齿轮传动噪声分析方法，其特征在于：包括如下步骤，

步骤一：采用传声器采集齿轮传动噪声信号x(t)，选定阶次p变化范围和步长，对采集信号做分数阶傅里叶变换形成信号能量在分数阶傅里叶域u上的二维分布；

其中t为采样时间点，α为旋转角，α＝pπ/2，核函数K_α(t,u)为：

$K_{\mathrm{\α}}(t,u)=\left\{\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{\α}}\exp [\mathrm{j\π}(t^2\cot \mathrm{\α}-2\mathrm{tu}\csc \mathrm{\α}+u^2\cot \mathrm{\α})& \mathrm{\α}\≠\mathrm{n\π}\\ \mathrm{\δ}(u-t)& \mathrm{\α}=2\mathrm{n\π}\\ \mathrm{\δ}(u+t)& \mathrm{\α}=(2n\±1)\mathrm{\π}\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中

$A_{\mathrm{\α}}=\sqrt{(1-j\cot \mathrm{\α})}=\frac{\exp \{-j[\mathrm{\πsgn}\left(\sin \mathrm{\α}\right)/4-\mathrm{\α}/2\left]\right\}}{\sqrt{\left|\sin \mathrm{\α}\right|}}---\left(2\right)$

其中A_α为核函数K_α(t,u)计算的中间变量，exp[·]表示以自然对数e为底的指数函数，sgn[·]为符号函数，n为整数，δ(·)为冲激函数，j为虚数单位；

步骤二：在步骤一形成的平面上进行峰值点二维搜索，将最大峰值对应的FRFT域作为最佳FRFT域，并由确定最优阶次p_opt和信号最大峰值处的中心频率u_opt，以及信号在最佳变换阶次下的形成的尖峰宽度W＝2π/[Tcsc(p_optπ/2)]，其中T为观测时长，T＝L/f_s，L为信号长度，f_s为采样频率；

步骤三：利用步骤二中获得的最佳FRFT域数据u_opt和W构造窄带带通滤波器用滤波器H(u)对最佳FRFT域信号做遮隔处理X_popt(u)H(u)来滤除背景噪声能量，保留有用齿轮传动噪声的能量；

步骤四：对步骤三中得到的FRFT域有用信号，做-p_opt阶FRFT变换， $S\left(t\right)=F^{-p_{\mathrm{oto}}}\left\{X_{p_{\mathrm{opt}}}\left(u\right)H\left(u\right)\right\}={\∫}_{-\∞}^{+\∞}{X}_{p_{\mathrm{opt}}}\left(u\right)H\left(u\right)K_{-{\mathrm{\α}}_{\mathrm{opt}}}(t,u)\mathrm{dt},$ α_opt为最佳旋转角，负号表示反向，即表示将信号反向旋转α_opt＝p_optπ/2回到时域，得到滤波后的齿轮传动噪声信号S(t)；

步骤五：步骤四中得到的滤波后齿轮噪声信号S(t)，进行N层小波包分解和系数重构，其中小波函数选择db5小波；信号S(t)分解后得到第N层从低频到高频共2^N个频带成分的特征信号S_Nj，j＝1,2,...,2^N；特征信号S_Nj对应的能量为式中x_jk表示分解信号S_j的第k个离散点的系数，k＝1,2,...,n，n表示分解序列S_j的离散点个数；

步骤六：计算特征信号S_Nj的模N_Nj＝(E_Nj)^1/2，其中j＝1,2,...,2^N；

步骤七：构造特征向量；对每一信号经小波包分解，求各频带系数的模，得到一组与信号对应的序列{N_Nj,j＝1,2,...,2^N}，信号总能量为对每个尺度能量值归一化，则可由此确定与此能量序列对应的归一化特征向量 $p=\left[\begin{array}{cccc}{N}_{N1}& N_{N2}& ...& N_{{N2}^N}\end{array}\right]/E_r;$

步骤八：步骤七中得到归一化的特征向量作为样本分为两组，两组样本数目相等，分别作为训练样本和测试样本，利用支持向量机进行分类；支持向量机核函数采用高斯径向基函数，g为核函数参数；采用一款开源的SVM模式识别与回归的软件包LIBSVM进行分类，利用粒子群优化法来优化LIBSVM分类模型，得到合适的SVM校正参数；粒子群优化法优化SVM参数的主要步骤如下：

①初始化粒子群算法的种群大小、最大进化代数T、在搜索空间随机生成m个粒子，随机确定每个粒子的初始位置和初始速度；初始化支持向量机的误差惩罚参数c和高斯核参数g；

②将初始化的支持向量机参数用于SVM算法建立相应的模型，利用该模型对检验样本进行预测分类，并根据适应度函数计算出每个粒子的适应度值；

③将粒子的初始适应度值作为其个体最优解，与全局最优目标函数值进行比较，如果粒子的初始适应值优于最优目标函数值，则将前者作为当前最优目标函数值，继续寻找全局最优解；

④利用粒子的速度和位置更新公式进行更新，得到每个粒子的自身最好位置pbest，比较所有粒子最好位置后，得出所有粒子的最好位置gbest；

⑤检验是否符合结束条件，如果达到规定的误差要求或迭代次数，则停止迭代，否则转到第②步继续；

步骤九：采用步骤八中优化得到的惩罚参数c和高斯核参数g作为支持向量机参数，输入训练样本进行训练；采用步骤八中优化得到的惩罚参数c和高斯核参数g作为支持向量机参数，输入训练样本进行训练；采用“一对多”(one-against-rest)的多分类法进行分类，将K类故障齿轮的训练样本的类型标签分别标为i，其中i＝1,2,3...K，最终经过支持向量机训练得到一定的训练参数信息；

步骤十：将测试样本输入支持向量机进行识别，输出测试结果；由输出结果的标签i(i＝1,2,3...K)来分别确定对应的齿轮类型。

2.根据权利要求1所述的一种基于分数阶傅里叶变换和支持向量机的齿轮传动噪声分析方法，其特征在于：所述步骤九中的训练参数信息包括支持向量、拉式系数、网络偏差。