CN104669248A - 三自由度并联机构的可调运动平台及调节方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种三自由度并联机构的可调运动平台及其调节方法，包括运动平台基板(4)、三个滑块(5)和三个调节板(6)，运动平台基板的上平面设置三个滑槽(7)，所述滑槽以运动平台基板的中心为圆心均匀分布，彼此夹角为120°；三个滑槽的两侧、三个滑块的上端及三个调节板的中线上均开有两个圆角矩形通孔，每个滑块下端设置与滑槽相匹配的滑轨，三个调节板连接球面副的一端分别向上翘起一个角度。本发明通过调节滑槽及调节板得到不同的3-PRS并联机构的运动平台，通过螺栓可快速固定，便于安装，节省调节时间，提高效率，能满足多种3-PRS并联机构的构型的需要。本发明提供的运动平台调节方法，粗调提高效率，精调保证精度。

Description

三自由度并联机构的可调运动平台及调节方法

技术领域

本发明涉及一种三自由度并联机构的可调运动平台及其调节方法，属于机器人应用技术领域。

背景技术

并联机构也称并联机器人，相对于传统的串联机构有诸多优势，如刚度大、承载能力强、精度高等优点，受到了诸多学者的关注并展开了深入的研究。并联机器人在许多特殊的应用场合可以弥补串联机器人的许多不足，与广泛应用的串联机器人在应用上构成互补关系。并联机构可以克服很多串联机构很难克服的难题，同时又兼有低成本、灵活、易于集中等优点。

大部分的并联机器人是以Stewart平台为基础，但在很多场合不需要六自由度，少自由度就能满足要求。三自由度并联机构已在工业实践中得到了应用，如应用于集成电路加工、精密制造、航天器等领域。其中，具有三自由度的3-PRS (P为移动副，R为转动副，S为球面副)并联机构是少自由度并联机构中的典型代表之一，由于它们的自由度较少，比六自由度并联机构结构简单，经济便宜，控制相对容易，因此具有很好的应用前景，已被应用于并联机床、加工中心主轴头等领域。

3-PRS并联机构有很多种构型，不同的构型有不同的运动特性和运动空间，很多构型是对称3-PRS并联机构(如图1)的变形，在对称3-PRS并联机构上进行调节就会变成其他构型。不同构型的操作空间的大小、形状、末端位姿精度、运动速度、承载力等性能都有显著的不同，需要对不同构型分别进行研究，这增加了研究难度和研究成本。

发明内容

本发明针对研究3-PRS并联机构的不同构型时需重新搭建新的机构的问题，提供了一种3-PRS并联机构的运动平台可调机构，在不搭建新的机构的前提下，调节运动平台的调节机构，从而转变成3-PRS并联机构的不同构型，有效地解决了上述问题。

本发明采取的技术方案是：

一种三自由度并联机构的可调运动平台，包括运动平台基板、三个滑块和三个调节板,所述运动平台基板的上平面设置三个滑槽，所述滑槽以运动平台基板的中心为圆心均匀分布，彼此夹角为120°；

所述三个滑槽的两侧均开有圆角矩形通孔，每个圆角矩形通孔的长边方向均与滑槽平行，

所述三个滑块的上端均设置两个互相平行的圆角矩形通孔，每个滑块下端设置与滑槽相匹配的滑轨，

所述三个调节板的中线上均设置两个圆角矩形通孔，两个圆角矩形通孔之间的最短距离小于对应滑块上端两个圆角矩形通孔的相邻两个长边的距离，两个圆角矩形通孔的最长距离大于对应滑块上端两个圆角矩形通孔的最长距离，

所述三个调节板连接球面副的一端分别向上翘起一个角度，范围为0~90°

进一步，在每个滑槽一侧的圆角矩形通孔外侧均设置刻度尺，在每个滑块上两个圆角矩形通孔外侧分别设置刻度尺，在每个调节板侧面设置刻度尺。

进一步，所述三个滑块上分别设置两条与刻度尺上的刻度线垂直的刻线。

再进一步，在运动平台基板上面中心位置设置一光滑平面，在光滑平面上设置一个标准球。

一种三自由度并联机构的可调运动平台的调节方法，包括以下步骤：

S1、设三个滑块上指针指向的刻度尺上的刻度分别为x _1i (i=1,2,3)，三个调节板上刻度尺与三个滑块上两个刻度尺的交点在滑块上的刻度尺的刻度分别为(x _2i 、x _3i )，三个调节板上的刻度尺与三个滑块上的刻度尺的刻线的交点在调节板上的刻度尺的刻度为x _4i ，对于给定的三个球面副的姿态，可通过计算，求得调节时所需要各个刻度尺上的参数x _1i 、x _2i 、x _3i 、x _4i 的值；

S2、调节三个滑块及三个调节板上的螺栓，使三个滑块在运动平台基板上的滑槽里自由滑动，三个调节板在三个滑块上自由滑动；

S3、调节三个滑块及三个调节板，同时观察刻度尺上面的刻度x _1i 、x _2i 、x _3i 、x _4i ，使三个球面副到预定位置；

S4、拧紧三个滑块及三个调节板上的螺栓，使三个滑块及三个调节板与运动平台基板固定；

S5、测量三个球面副的坐标，计算测得的实际坐标值与预定的坐标之间的差值；

S6、松开三个调节板上的螺栓，微调三个调节板)，使之达到预定的位置，预紧螺栓，使三个滑块和三个调节板固定在一起。

进一步，步骤S1中的x _1i 、x _2i 、x _3i 、x _4i 的计算方法为：

A. 通过定位平面及标准球在运动平台基板上建立坐标系，计算出需要调节的三个球面副中心在运动平台基板上的投影点P _i 到运动平台基板的中心点O的距离R _i 及到滑槽中线a _i 的距离l _i ，每个调节板的中线b _i 与滑槽的中线a _i 的夹角为θ _i ，θ _i 以O为原点、a _i 为轴线逆时针为正方向，

设三个滑块上两个刻线，，之间距离h，三个滑槽的中线a _i 与三个调节板的中线b _i 交于C _i 点，三个调节板的中线b _i 与三个滑块的两条刻线中与原点O距离最近的那条刻线交于D _i ，三个调节板上的刻度尺在运动平台基板上的投影线e _i 到b _i 的距离为?l，运动平台基板上的刻度尺的零点在运动平台基板的中心位置，三个滑槽中线a _i 与刻线交点的刻度设为零点，上半部分为负，下半部分为正，三个滑块上的指针位于所在边的中点位置，三个调节板上的刻度尺的零点位于P _i 到e _i 的投影点；

B. 通过三个调节板的中线b _i 与三个滑槽的中线a _i 的夹角为                                                及三个滑块上两个刻线之间距离h，可得

              

保证此条件情况下，任意确定x _2i 、x _3i 的值，

当θ _i =0时，

 上式中x _2i 、x _3i 为同号，P _i 点与x _2i 、x _3i 在a _i 中线的同一侧，可得x _2i 、x _3i 的值，

由勾股定理得下式

保证此条件情况下，任意确定x _1i 、x _4i 的值；

C. 时，通过勾股定理可得P _i 点到点x _2i 的距离

D. 时，通过几何关系可得O点到C _i 点的距离

  

进而可得x _1i

 。

本发明具有的有益的效果是：

1、本发明通过调节滑槽及调节板得到不同的3-PRS并联机构的运动平台，通过螺栓可快速固定，便于安装，节省调节时间，提高效率。

2、本发明的运动平台可调机构，每个调节板在运动平面上有三个自由度，即两个移动和一个转动，能满足不同结构、不同尺寸的3-PRS并联机构的构型的需要。

3、本发明的机构对于研究不同构型的3-PRS并联机构的工作空间、位置正逆解、运动性能、验证不同机构尺寸下各种参数的性能指标等，有很好的经济效益，通过快速的调节运动平台三个球面副不同姿态，可以使三个球面副充分利用其工作空间。

4、本发明提供的运动平台调节方法，刻度计算公式统一规范，容易理解，方便使用。

5、本发明提供的运动平台调节方法，采用粗调与精调相结合，粗调提高效率，精调保证精度。

上述仅是本发明技术方案的概述，为了能够更清楚了解本发明的技术手段,以下结合附图与具体实施方式对本发明作进一步的详细说明。

附图说明

图1是本发明所涉及的一种3-PRS并联机构的机构简图；

图2是本发明的机构轴侧视图；

图3是本发明的运动平台基板轴侧视图；

图4是本发明的滑块轴侧视图；

图5是本发明的调节板轴侧视图；

图6是本发明的调节方法示意图；

图7是本发明可调节成的一种机构构型简图；

图8是本发明可调节成与图7对应的一种机构构型俯视图；

图9是本发明可调节成的一种机构构型简图；

图10是本发明可调节成与图9对应的一种机构构型俯视图；

图11是本发明可调节成的一种机构构型简图；

图12是本发明可调节成与图11对应的一种机构构型俯视图。

附图标识注释：

1为运动平台，2为转动副，3为移动副，4为运动平台基板，5为滑块，6为调节板， 7为第一滑槽，8为圆角矩形通孔，9为球面副，10为刻度尺，11为刻线，12为基准平面，13为标准球，14为基准线，15为滑槽组。

具体实施方式

以下结合附图及较佳实施例，对依据本发明提供的具体实施方式、结构、特征及其功效，详细说明如后。

如图1所示，为3-PRS并联机构中的一种构型简图，即三个立柱对称分布。本发明的结构是将3-PRS并联机构中的运动平台1设计成可调机构，能够调节出多种3-PRS并联机构的构型，图1的附图标记中，2为转动副，3为移动副。

如图2所示，本发明包括运动平台基板4、滑块5和调节板6。其中：

运动平台基板4上平面设置三个滑槽7，三个滑槽7的中线的延长线相交于运动平台基板4的中心，彼此夹角为120°。第一滑槽7两侧开两个圆角矩形通孔8，圆角矩形通孔8的长边方向与第一滑槽7中线方向平行；第二滑槽7两侧开两个圆角矩形通孔8，圆角矩形通孔8的长边方向与第二滑槽7中线方向平行；第三滑槽7两侧开两个圆角矩形通孔8，圆角矩形通孔8的长边方向与第三滑槽7中线方向平行。在运动平台基板4中间位置加工一基准平面12，在基准平面12上安装一标准球13。第一滑块5的上端设置两个圆角矩形通孔8，两个圆角矩形通孔8互相平行，第一滑块5的下端与第一滑槽7相匹配；第二滑块5的上端设置两个圆角矩形通孔8，两个圆角矩形通孔8互相平行，第二滑块5的下端与第二滑槽7相匹配；第三滑块5的上端设置两个圆角矩形通孔8，两个圆角矩形通孔8互相平行，第三滑块5的下端与第三滑槽7相匹配。在第一调节板6的中线上设置两个圆角矩形通孔8，两个圆角矩形通孔8之间的最短距离小于第一滑块5上端两个圆角矩形通孔8的相邻两个长边的距离，两个圆角矩形通孔8的最大距离大于第一滑块5上端两个圆角矩形通孔8的最大距离，第一调节板6一端向上翘起一个角度，范围为0~90°，增加运动范围，防止运动时候发生机构干涉；在第二调节板6的中线上设置两个圆角矩形通孔8，两个圆角矩形通孔8之间的最短距离小于第二滑块5上端两个圆角矩形通孔8的相邻两个长边的距离，两个圆角矩形通孔8的最大距离大于第二滑块5上端两个圆角矩形通孔8的最大距离，第二调节板6一端向上翘起一个角度，范围为0~90°，增加运动范围，防止运动时候发生机构干涉；在第三调节板6的中线上设置两个圆角矩形通孔8，两个圆角矩形通孔8之间的最短距离小于第三滑块5上端两个圆角矩形通孔8的相邻两个长边的距离，两个圆角矩形通孔8的最大距离大于第三滑块5上端两个圆角矩形通孔8的最大距离，第三调节板6一端向上翘起一个角度，范围为0~90°，增加运动范围，防止运动时候发生机构干涉。在第一滑槽7一侧圆角矩形通孔8外侧设置刻度尺10，在第一滑块5上两个圆角矩形通孔8外侧均设置两个刻度尺10，在第一调节板6侧面设置刻度尺10；在第二滑槽7一侧圆角矩形通孔8外侧设置刻度尺10，在第二滑块5上两个圆角矩形通孔8外侧均设置刻度尺10，在第二调节板6侧面设置刻度尺10；在第三滑槽7一侧圆角矩形通孔8外侧设置刻度尺10，在第三滑块5上两个圆角矩形通孔8外侧均设置刻度尺10，在第三调节板6侧面设置刻度尺10，三个滑块5上的刻度尺10上分别设置两条与刻度尺的刻线垂直的刻线11。

运动平台基板4上第一滑槽7与第一滑块5连接，第一滑块5在第一滑槽7里滑动，在第一滑块5上设置四个螺栓孔，螺栓穿过第一滑块5和第一滑槽7两侧的圆角矩形通孔8，将第一滑块5和第一滑槽7相连接。第一滑块5下端和第一滑槽7连接，第一滑块5上端与第一调节板6通过螺栓连接，两个螺栓分别穿过第一调节板6上的两个圆角矩形通孔8及第一滑块5上两个圆角矩形通孔8，第一调节板6一端连接第一滑块5，一端连接第一球面副9；第二滑槽7与第二滑块5连接，第二滑块5在第二滑槽7里滑动，在第二滑块5上设置四个螺栓孔，螺栓穿过第二滑块5和第二滑槽7两侧的圆角矩形通孔8，将第二滑块5和第二滑槽7相连接。第二滑块5下端和第二滑槽7连接，第二滑块5上端与第二调节板6通过螺栓连接，两个螺栓分别穿过第二调节板6上的两个圆角矩形通孔8及第二滑块5上两个圆角矩形通孔8，第二调节板6一端连接第二滑块5，一端连接第二球面副9；第三滑槽7与第三滑块5连接，第三滑块5在第三滑槽7里滑动，在第三滑块5上设置四个螺栓孔，螺栓穿过第三滑块5和第三滑槽7两侧的圆角矩形通孔8，将第三滑块5和第三滑槽7相连接。第三滑块5下端和第三滑槽7连接，第三滑块5上端与第三调节板6通过螺栓连接，两个螺栓分别穿过第三调节板6上的两个圆角矩形通孔8及第三滑块5上两个圆角矩形通孔8，第三调节板6一端连接第三滑块5，一端连接第三球面副9。

三自由度并联机构的可调运动平台的调节方法，参照图6：

S1、设三个滑块5上基准线14指向的刻度尺10上的刻度分别为x _1i (i=1,2,3)，三个调节板6上刻度尺10与三个滑块5上两个刻度尺10的交点在滑块5上刻度尺10上的刻度分别为(x _2i 、x _3i )，三个调节板6上的刻度尺10与三个滑块5上的刻度尺10的刻线11的交点在调节板6上的刻度尺10的刻度为x _4i ，对于给定的三个球面副9的姿态，可通过计算，求得调节时所需要各个刻度尺上的参数x _1i 、x _2i 、x _3i 、x _4i 的值。

S2、调节三个滑块5及三个调节板6上的螺栓，使三个滑块5在运动平台基板4上的滑槽7里自由滑动，三个调节板6在三个滑块5上自由滑动；

S3、调节三个滑块5及三个调节板6，同时观察刻度尺上面的刻度x _1i 、x _2i 、x _3i 、x _4i ，使三个球面副到预定位置；

S4、拧紧三个滑块5及三个调节板6上的螺栓，使三个滑块5及三个调节板6与运动平台基板4固定；

S5、通过测量装置测量三个球面副9的坐标，计算测得的实际坐标值与预定的坐标之间的差值；

S6、松开三个调节板6上的螺栓，微调三个调节板6，使之达到预定的位置，预紧螺栓，使三个滑块5和三个调节板6固定在一起。

进一步，步骤S1中的x _1i 、x _2i 、x _3i 、x _4i 的计算方法为：

A.通过基准平面12及标准球13在运动平台基板4上快速建立坐标系，计算出需要调节的三个球面副9中心在运动平台基板4上的投影点P _i 到运动平台基板4的中心点O的距离R _i 及到滑槽7中线a _i 的距离l _i ，每个调节板6的中线b _i 与滑槽7的中线a _i 的夹角为θ _i ，θ _i 以O为原点、a _i 为轴线逆时针为正方向；

设三个滑块5上两个刻线11之间距离h，三个滑槽的中线a _i 与三个调节板6的中线b _i 交于C _i 点，三个调节板6的中线b _i 与三个滑块5的中线的两条刻线11中与原点O距离最近的那条刻线交于D _i ，三个调节板6上的刻度尺10在运动平台基板4上的投影线e _i 到b _i 的距离为?l，运动平台基板4上的刻度尺10的零点在运动平台基板4的中心位置，三个滑槽7中线a _i 与刻线11交点的刻度设为零点，θ _i <0时刻度为正，θ _i >0时刻度为负，三个滑块5上的基准线14位于所在边的中点位置，三个调节板6上的刻度尺10的零点位于P _i 到e _i 的投影点。

B.通过三个调节板6的中线b _i 与三个滑槽7的中线a _i 的夹角为及三个滑块5上两个刻线11之间距离h，可得

                   

保证此条件情况下，任意确定x _2i 、x _3i 的值。

当θ _i =0时，

上式中x _2i 、x _3i 为同号，P _i 点与x _2i 、x _3i 在a _i 中线的同一侧，可得x _2i 、x _3i 的值

由勾股定理得下式

保证此条件情况下，任意确定x _1i 、x _4i 的值。

C.时，通过勾股定理可得P _i 点到点x _2i 的距离

D.时，通过几何关系可得O点到C _i 点的距离

  

进而可得x _1i

 。

本发明提供的运动平台可调节成很多构型，图8、10、12给出了本发明调节成的3种典型构型。

如图7所示，为3-PRS并联机构的一种机构示意图，运动平台基板4上面三个球面副9的中心呈正三角形分布，3-PRS并联机构的三个连杆在俯视图上的投影线相交于运动平台基板4的中心，彼此相交120°。如图8所示，为本发明的可调运动平台调节成图7所示的对称3-PRS并联机构的一种构型俯视图，通过调节运动平台基板4上的三个滑块5，可以实现此对称并联机构三个球面副9到运动平台基板4的距离的无级调节，方便的进行试验研究。

如图9所示，为3-PRS并联机构的一种机构示意图，运动平台基板4上面三个球面副9的中心呈正三角形分布，3-PRS并联机构的三个连杆在俯视图上的投影，一个投影线通过运动平台基板4中心，另外两个投影线通过此两个球面副9的中心。如图10所示，为本发明的可调运动平台调节成图9所示的一种构型俯视图，第一调节板和第二调节板的中线重合，第一球面副9的中心到运动平台基板4中心的距离和第二球面副9的中心到运动平台基板4中心的距离相等，第三调节板6的中线经过运动平台基板4的中心。

如图11所示，为3-PRS并联机构的一种机构示意图，运动平台基板4上面三个球面副9的中心呈正三角形分布，3-PRS并联机构的三个连杆俯视图上的投影线分别依次穿过相邻的球面副9的球心。如图12所示，为本发明的可调运动平台调节成图11所示的一种构型俯视图，三个调节板6的中线依次穿过相邻的球面副9在运动平台基板4上的投影的中心，三个球面副9在运动平台基板上的投影围绕运动平台基板4中心均匀分布。

以上所述,仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明作任何形式上的限制，如图2中可改变三个圆角矩形通孔8为间隔的圆角矩形通孔或者其他形式，可以提高运动平台基板的强度，本领域技术人员利用上述提示的技术内容做出的简单修改、等同变化或修饰，均落在本发明的保护范围内。

Claims (6)

1.一种三自由度并联机构的可调运动平台，其特征在于：包括运动平台基板(4)、三个滑块(5)和三个调节板(6)，所述运动平台基板(4)的上平面设置三个滑槽(7)，所述滑槽以运动平台基板(4)的中心为圆心均匀分布，彼此夹角为120°，

所述三个滑槽(7)的两侧均开有圆角矩形通孔(8)，每个圆角矩形通孔的长边方向均与滑槽平行，

所述三个滑块(5)的上端均设置两个互相平行的圆角矩形通孔(8)，每个滑块下端设置与滑槽相匹配的滑轨，

所述三个调节板(6)的中线上均设置两个圆角矩形通孔(8)，两个圆角矩形通孔之间的最短距离小于对应滑块上端两个圆角矩形通孔的相邻两个长边的距离，两个圆角矩形通孔的最长距离大于对应滑块上端两个圆角矩形通孔的最长距离，

所述三个调节板(6)连接球面副(9)的一端分别向上翘起一个角度，范围为0~90°。

2.根据权利要求1所述的三自由度并联机构的可调运动平台，其特征在于：在每个滑槽一侧的圆角矩形通孔外侧均设置刻度尺(10)，在每个滑块上两个圆角矩形通孔外侧分别设置刻度尺(10)，在每个调节板侧面设置刻度尺(10)。

3.根据权利要求2所述的三自由度并联机构的可调运动平台，其特征在于：所述三个滑块(5)上分别设置两条与刻度尺(10)上的刻度线垂直的刻线(11)。

4.根据权利要求1-3之一所述的三自由度并联机构的可调运动平台，其特征在于：在运动平台基板(4)上面中心位置设置一基准平面(12)，在光滑平面上设置一个标准球(13)。

5.一种三自由度并联机构的可调运动平台的调节方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、设三个滑块(5)上基准线(14)指向的刻度尺(10)上的刻度分别为x _1i (i=1,2,3)，三个调节板(6)上刻度尺(10)与三个滑块(5)上两个刻度尺(10)的交点在滑块上的刻度尺(10)的刻度分别为(x _2i 、x _3i )，三个调节板(6)上的刻度尺(10)与三个滑块(5)上的刻度尺(10)的刻线(11)的交点在调节板上的刻度尺(10)的刻度为x _4i ，对于给定的三个球面副(9)的姿态，可通过计算，求得调节时所需要各个刻度尺上的参数x _1i 、x _2i 、x _3i 、x _4i 的值；

S2、调节三个滑块(5)及三个调节板(6)上的螺栓，使三个滑块(5)在运动平台基板(4)上的滑槽(7)里自由滑动，三个调节板(6)在三个滑块(5)上自由滑动；

S3、调节三个滑块(5)及三个调节板(6)，同时观察刻度尺上面的刻度x _1i 、x _2i 、x _3i 、x _4i ，使三个球面副到预定位置；

S4、拧紧三个滑块(5)及三个调节板(6)上的螺栓，使三个滑块(5)及三个调节板(6)与运动平台基板(4)固定；

S5、测量三个球面副(9)的坐标，计算测得的实际坐标值与预定的坐标之间的差值；

S6、松开三个调节板(6)上的螺栓，微调三个调节板，使之达到预定的位置，预紧螺栓，使三个滑块(5)和三个调节板(6)固定在一起。

6.根据权利要求5所述的三自由度并联机构的可调运动平台的调节方法，其特征在于：步骤S1中的x _1i 、x _2i 、x _3i 、x _4i 的计算方法为：

A. 通过基准平面(12)及标准球(13)在运动平台基板(4)上建立坐标系，计算出需要调节的三个球面副(9)中心在运动平台基板(4)上的投影点P _i 到运动平台基板(4)的中心点O的距离R _i 及到滑槽(7)中线a _i 的距离l _i ，每个调节板(6)的中线b _i 与滑槽(7)的中线a _i 的夹角为θ _i ，θ _i 以O为原点、a _i 为轴线逆时针为正方向，

设三个滑块(5)上两个刻线(11)之间距离h，三个滑槽的中线a _i 与三个调节板(6)的中线b _i 交于C _i 点，三个调节板(6)的中线b _i 与三个滑块(5)的两条刻线(11)中与原点O距离最近的那条刻线交于D _i ，三个调节板(6)上的刻度尺(10)在运动平台基板(4)上的投影线e _i 到b _i 的距离为?l，运动平台基板(4)上的刻度尺(10)的零点在运动平台基板(4)的中心位置，三个滑槽(7)中线a _i 与刻线(11)交点的刻度设为零点，上半部分为负，下半部分为正，三个滑块(5)上的基准线(15)位于所在边的中点位置，三个调节板上的刻度尺(10)的零点位于P _i 到e _i 的投影点；

B. 通过三个调节板(6)的中线b _i 与三个滑槽(7)的中线a _i 的夹角为                                                及三个滑块(5)上两个刻线(11)之间距离h，可得

              

保证此条件情况下，任意确定x _2i 、x _3i 的值，

当θ _i =0时，

上式中x _2i 、x _3i 为同号，P _i 点与x _2i 、x _3i 在a _i 中线的同一侧，可得x _2i 、x _3i 的值，

由勾股定理得下式

保证此条件情况下，任意确定x _1i 、x _4i 的值；

C. 时，通过勾股定理可得P _i 点到点x _2i 的距离

进而可得到为

D. 时，通过几何关系可得O点到C _i 点的距离

  

进而可得x _1i

 。