CN104660266B

CN104660266B - 基于离散混沌序列的伪随机观测矩阵的mwc欠采样方法

Info

Publication number: CN104660266B
Application number: CN201510114741.7A
Authority: CN
Inventors: 贾敏; 王欣玉; 王雪; 顾学迈; 郭庆; 刘晓锋; 王世龙; 张光宇
Original assignee: Harbin Institute of Technology
Current assignee: Harbin Institute of Technology
Priority date: 2015-03-16
Filing date: 2015-03-16
Publication date: 2017-09-26
Anticipated expiration: 2035-03-16
Also published as: CN104660266A

Abstract

基于离散混沌序列的伪随机观测矩阵的MWC欠采样方法，涉及信息与通信技术领域，是为了克服由随机观测矩阵的不确定性带来的仿真实验结果不够稳定以及硬件难以实现的缺点，同时为了克服确定性观测矩阵重构效果较差且限制较多的问题。其方法：选择一种混沌映射系统，获取相应映射方程进行逐步迭代，产生模拟实值混沌序列；舍弃前1000个值，并且对模拟实值混沌序列做等间隔为d的下采样，并将采样序列转换成离散数字序列，将获得的个离散序列数据依次排入混沌伪随机观测矩阵中，获得混沌测量矩阵；并进行MWC欠采样。本发明适用于MWC欠采样。

Description

基于离散混沌序列的伪随机观测矩阵的MWC欠采样方法

技术领域

本发明涉及信息与通信技术领域。

背景技术

近年来，信号处理技术不断发展，信号处理正由模拟领域逐渐转向数字领域。但是无线信号的频带宽度通常较高，已经远远超过了商用ADC现有的采样率及带宽规格。而且为了满足奈奎斯特采样定理采样宽带信号时需要的大量采样数据，需要大量的系统资源来存储传输这些数据。这些都使得宽带模拟信号采样成为很大的挑战。然而注意到这些人造信号具有某些额外的结构和特征，比如无线传输过程中信号在频域内是稀疏的。针对这种具有稀疏特征的多频带信号，以色列学者Mishali首先提出了调制宽带转换器(MWC)欠采样方法。这种欠采样方法对比于传统基于奈奎斯特采样定理的采样方法来说有以下几个优势：有效降低了所需采样率，从理论上来讲能够利用现有的器件实现，而且能够准确地重构出原始信号。MWC欠采样系统是由下面几个主要部分组成的：随机混频器、低通滤波器、低速AD转换器。其中，随机混频这一步能使所有频带叠加到基带中，这就保证了低通滤波后信号中包括了信号的全部原始信息，从而使得不丢失原始信号信息的欠采样成为可能。

然而目前的MWC中随机混频所使用的伪随机观测矩阵是由±1组成的随机伯努利观测矩阵。这类随机的观测矩阵拥有较好的信号重构效果，然而它存在如下弱点：1)、由于随机观测矩阵的不确定性，在仿真实验中需要进行多次大量实验而后求取平均值的方法降低这种不确定性对结果的影响；2)、在硬件实际实现过程中，这种随机观测矩阵计算复杂程度较高，会占用较大存储空间、传输带宽，难以硬件实现。另一方面确定性的观测矩阵能够弥补这种硬件实现上的不足，然而这种观测矩阵也有如下缺点：1)、信号重构效果不如随机观测矩阵；2)、相关理论不够完善，应用中存在一些限制。例如多项式确定观测矩阵在信号长度上有一定的限制。

发明内容

本发明是为了克服由随机观测矩阵的不确定性带来的仿真实验结果不够稳定以及硬件难以实现的缺点，同时为了克服确定性观测矩阵重构效果较差且限制较多的问题，从而提供一种基于离散混沌序列的伪随机观测矩阵的MWC欠采样方法。

基于离散混沌序列的伪随机观测矩阵的MWC欠采样方法，它由以下步骤实现：

步骤一、选择一种混沌映射系统，获取相应映射方程；

步骤二、利用步骤一中获取的映射方程进行逐步迭代，产生模拟实值混沌序列{x₁,x₂,…,x_n}；

步骤三、舍弃序列前1000个值，并且对序列{x₁,x₂,…,x_n}做等间隔为d的下采样，即：

z_k＝x_1001+kd

获得采样序列{z₀,z₁,…,z_k}；k为正整数；d为正数；

步骤四、将步骤三获得的采样序列{z₀,z₁,…,z_k}转换成离散数字序列，获得序列：{z_0,1,z_0,2,…,z_0,a,z_1,1,z_1,2,…,z_1,a,…,z_k,1,z_k,2,…,z_k,a}；具体为：

对于采样序列中的z_i，i为整数，且i小于k；

经过变换得到z_i,1,z_i,2,…z_i,a，a≥1；

z_i＝(0.z_i,1z_i,2…z_i,a…)₂,z_i,a∈{0,1}

其中：z_i,a为z_i二进制表示式的小数点后第a位的数字；a为正数；

步骤五、将由z_i获得的a个数据z_i,1,z_i,2,…z_i,a根据公式：

进行处理；获得a(k_max+1)个离散序列数据；

步骤六、将步骤五获得的a(k_max+1)个离散序列数据依次排入混沌伪随机观测矩阵Φ_M×N中，则在a(k_max+1)≥M×N的情况下，则将Φ_M×N作为混沌测量矩阵；

步骤七、根据混沌测量矩阵Φ_M×N进行MWC欠采样，实现基于离散混沌序列的伪随机观测矩阵的MWC欠采样。

步骤一中的混沌映射系统是Logistic混沌映射系统、Tent混沌映射系统以及Cat混沌映射系统；

Logistic混沌映射系统的映射方程为：

x_n+1＝μ·x_n(1-x_n)

其中：n为正整数；参数μ∈(0,4]，每次迭代结果x_n∈(0,1)；当3.5699…<μ≤4时，Logistic混沌系统进入混沌状态；参数μ越接近4，x的取值范围越是接近分布在整个(0,1)的区域。

Tent混沌映射系统的映射方程为：

其中：参数μ∈(0,1)，各迭代结果x_n∈(0,1)；当0<μ<1时，Tent混沌系统进入混沌状态；该系统的迭代点遍布整个有界区域，且均匀分布在(0,1)的范围内；

Cat混沌映射系统的映射方程为：

其中：xmod1表示舍弃x的整数部分，只保留x的小数部分，即各迭代结果x_n∈(0,1)，y_n∈(0,1)；该Cat混沌映射方程通过迭代产生的各点都分布在(0,1)区间内，而且所有点遍布整个有界区域，各个迭代点随机分布。

本发明提出了一种基于离散混沌序列的伪随机观测矩阵构造方法来构造MWC欠采样系统中用于混频的观测矩阵，使这种观测矩阵既拥有目前MWC系统中使用的伯努利随机观测矩阵的优良重构性能，又易于硬件实现，节省系统带宽资源、存储空间资源。另外，本发明提出利用“多比特”的思想完成混沌序列从由混沌映射方程迭代得来的模拟实值序列到离散数字序列的转换，从而进一步减少混沌映射方程迭代次数，降低计算的复杂度。通过仿真，将利用本发明构造方法生成的观测矩阵的MWC系统重构性能与当前MWC系统使用的伯努利随机观测矩阵重构性能进行对比，发现重构效果没有发生变化，本发明所提方法构造的伪随机观测矩阵的重构性能和随机观测矩阵是同样优异的，验证了本方法是有效可行的。与此同时，随机观测矩阵需要传输并存储全部观测矩阵的元素，由于本方法仅需传输并存储很少数量的参数以及混沌映射的初始值，本发明方法能够有效节省系统的带宽、存储空间等系统资源。而且本方法能够避免由于随机观测矩阵中个别元素传输错误导致的MWC系统重构性能下降的问题。

附图说明

图1是MWC系统下原始信号的时域波形示意图；

图2是使用的伯努利随机观测矩的MWC系统重构后信号的时域波形示意图；

图3是本发明基于Logistic混沌映射方程的MWC系统重构后信号的时域波形示意图；

图4是本发明基于Tent混沌映射方程的MWC系统重构后信号的时域波形示意图；

图5是本发明基于Cat混沌映射方程的MWC系统重构后信号的时域波形示意图；

图6是MWC系统下原始信号的频谱图；

图7是使用的伯努利随机观测矩的MWC系统重构后信号的频谱图；

图8是本发明基于Logistic混沌映射方程的MWC系统重构后信号的频谱图；

图9是本发明基于Tent混沌映射方程的MWC系统重构后信号的频谱图；

图10是本发明基于Cat混沌映射方程的MWC系统重构后信号的频谱图；

图11利用四种观测矩阵重构信号的重构效果对比示意图；

图12是稀疏多频带信号频谱示意图；

图13是MWC欠采样系统原理图；

具体实施方式

具体实施方式一、基于离散混沌序列的伪随机观测矩阵的MWC欠采样方法，由以下步骤实现：

步骤一、选择一种混沌映射系统，获取相应映射方程，用于通过迭代生成模拟实值序列，进而向离散数字序列转换。本文仿真验证部分利用了三种经典混沌映射系统进行说明，即Logistic混沌映射系统，Tent混沌映射系统以及Cat混沌映射系统。

式(1)、(2)和(3)分别是这三种映射的迭代方程。

x_n+1＝μ·x_n(1-x_n)n＝1,2,3… (1)

其中：参数μ∈(0,4]，每次迭代结果x_n∈(0,1)。当3.5699…<μ≤4时，此Logistic混沌系统进入混沌状态。参数μ越接近4，x的取值范围越是接近分布在整个(0,1)的区域。

其中：参数μ∈(0,1)，各迭代结果x_n∈(0,1)。当0<μ<1时，这个Tent混沌系统进入混沌状态。该系统的迭代点几乎遍布整个有界区域，且均匀分布在(0,1)的范围内。

其中：xmod1表示舍弃x的整数部分，只保留x的小数部分，即各迭代结果x_n∈(0,1)，y_n∈(0,1)。该Cat混沌映射方程通过迭代产生的各点都分布在(0,1)区间内，而且所有点几乎遍布整个有界区域。各个迭代点分布得杂乱无章，这一点正说明了混沌系统伪随机的特性。

步骤二、利用步骤一中获取的映射方程进行逐步迭代，产生模拟实值混沌序列{x₁,x₂,…,x_n}。

步骤三、为了增强{x₁,x₂,…,x_n}的随机性，舍弃序列前1000个值，并且对序列{x₁,x₂,…,x_n}做等间隔为d的下采样，即

z_k＝x_1001+kd,k＝0,1,2,… (4)

步骤四、将迭代生成的模拟实值序列转换成离散数字序列转换。这一步骤中为了减少获得混沌序列过程中所需迭代的点数，降低计算复杂度，从而进一步减少所需系统资源，利用“多比特”的思想，对下釆样得到的序列{z₀,z₁,…,z_k}作如式(5)所示变换，获得序列{z_0,1,z_0,2,…,z_0,a,z_1,1,z_1,2,…,z_1,a,…,z_k,1,z_k,2,…,z_k,a}。其中z_i经过变换得到z_i,1,z_i,2,…z_i,a，a≥1。

其中z_i,a为z_i二进制表示式的小数点后第a位的数字。这样一来，迭代次数就降低为没有使用“多比特”思想时次数的1/a了。

步骤五、为了使本方法构造出来的伪随机混沌观测矩阵与随机贝努利矩阵具有类似的分布(由±1构成)，将由z_i获得的a个数据z_i,1,z_i,2,…z_i,a进行如下式(6)的操作。这样做使得本方法可以获得与现在MWC系统使用的伯努利随机观测矩阵一致的重构性能。

步骤六、步骤五结束后能够获得a(k_max+1)个离散序列数据，将这些数据依次排入混沌伪随机观测矩阵Φ_M×N中，只要a(k_max+1)≥M×N，就能够成功构造出矩阵Φ_M×N。定义混沌测量矩阵Φ_M×N为以下形式：

具体来说，假设步骤五获得的离散混沌伪随机序列用：{z_0,1,z_0,2,…,z_0,a,z_1,1,z_1,2,…,z_1,a,…,z_k,1,z_k,2,…,z_k,a}表示，将其中第一个元素z_0,1写到Φ_M×N的第一行第一列，即z₀处。将第二个元素z_0,2写到Φ_M×N的第一行第二列，即z₁处。如此依次写入矩阵Φ_M×N中。一行写满可便写下一行，直至矩阵所需M×N个元素全部写满。

需要说明的是利用上述方法可以方便地获得由Logistic混沌映射和Tent混沌映射产生的伪随机混沌观测矩阵。然而Cat混沌映射是一个二维离散混沌系统，所以经过式(3)所示的映射方程迭代产生的混沌序列为二维的，即为了进一步增强混沌系统产生的伪随机序列的随机性，我们只对第一维混沌序列做下采样处理，随后的步骤与上述六个步骤相同。

设x(t)表示一个连续时间信号，其频率范围为[-f_NYQ/2,f_NYQ/2]。当x(t)在该频率范围内只有N个不相交的频带，而且这些子频带的带宽都不超过BHz，信号的各个子频带都能够任意分布在该区间内时，x(t)就是一个稀疏多频带信号。图12表示的就是一个频带数N＝4的稀疏多频带信号的频谱。

近年来，信号处理技术不断发展，信号处理正由模拟领域逐渐转向数字领域。但是无线信号的频带宽度通常较高，已经远远超过了商用ADC现有的采样率及带宽规格。而且为了满足奈奎斯特采样定理采样宽带信号时需要的大量采样数据，需要大量的系统资源来存储传输这些数据。这些都使得宽带模拟信号采样成为很大的挑战。然而注意到这些人造信号具有某些额外的结构和特征。比如无线传输过程中信号在频域内是稀疏的。针对这种具有稀疏特征的多频带信号，以色列学者Mishali首先提出了调制宽带转换器(MWC)欠采样方法。这种欠采样方法对比于传统基于奈奎斯特采样定理的采样方法来说有以下几个优势：有效降低了所需采样率，从理论上来讲能够利用现有的器件实现，而且能够准确地重构出原始信号。MWC欠采样系统是由下面几个主要部分组成的：随机混频器、低通滤波器、低速AD转换器。其中，随机混频这一步能使所有频带叠加到基带中，这就保证了低通滤波后信号中包括了信号的全部原始信息，从而使得不丢失原始信号信息的欠采样成为可能。

MWC欠采样系统利用多路随机调制的方法达到利用低于奈奎斯特采样频率采样的目的。其采样原理如图13所示。原始信号x(t)同时进入m个并行通道。在每个通道中(以第i个通道为例)，首先用周期为T_p的序列p_i(t)(对应着观测矩阵的第i行)对该通道输入信号进行混频处理。然后，利用截止频率为1/2T的理想低通滤波器H(f)对混频结果进行滤波。最后利用ADC对滤波结果进行采样，设该ADC采样率为1/T，全部通道一共能够获得m组低速采样序列y_i(n)。

上文也提到了，用于混频的序列p_i(t)是具有周期性的，将其展开成傅里叶级数形式：

其中傅里叶级数系数c_in可用式(10)求得：

对MWC欠采样系统中的第i个通道进行频域分析，能够获得如下关系：

其中，Y_i(e^j2πfT)表示第i个通道输出序列y_i(n)的傅里叶变换，X(f)表示x(t)的傅里叶变换，f∈[-1/2T,1/2T]，

将Y_i(e^j2πfT)作为y(f)的第i个分量，X(f-nf_p)作为z(f)的第n个分量，式(11)可以用如下参数化欠定方程表示：

y(f)＝C·z(f)f∈[-1/2T,1/2T] (12)

其中，C_ij＝c_ij，C是一个m×L矩阵，m<L。

再对式(12)两端同时做DTFT逆运算，就能够获得未知序列Z(n)与测量值矩阵Y(n)之间的关系：

Y(n)＝C·Z(n) (13)

其中Y(n)＝[y₁(n),y₂(n),…,y_m(n)]^T，Z(n)＝[z₁(n),z₂(n),…,z_L(n)]^T。由于m<L，这个线性方程组是欠定的，我们不能求得唯一解。但是利用多带信号的稀疏特性，就能够获得唯一的一个最优化解(最稀疏解)。而且如果该多带信号的各频带位置是已知的，联合支撑集Ω就是能够确定的了。可以通过下式(14)重构：

其中，表示C_Ω的伪逆矩阵。如果支撑集Ω不是已知的，那就需要利用求解MMV问题的方法解得出Ω。然后再用式(14)求解。

目前的MWC中随机混频所使用的伪随机观测矩阵是由±1组成的随机伯努利观测矩阵。这类随机的观测矩阵拥有较好的信号重构效果，然而它存在如下弱点：1)由于随机观测矩阵的不确定性，在仿真实验中需要进行多次大量实验而后求取平均值的方法降低这种不确定性对结果的影响；2)在硬件实际实现过程中，这种随机观测矩阵计算复杂程度较高，会占用较大存储空间、传输带宽，难以硬件实现；3)由于这类观测矩阵需要传输矩阵中的每个元素，数据量较大，传输中难免存在个别元素传输错误，会导致MWC系统重构性能下降。另一方面确定性的观测矩阵能够弥补这种硬件实现上的不足，然而这种观测矩阵也有如下缺点：1)信号重构效果不如随机观测矩阵；2)相关理论不够完善，应用中存在一些限制。例如多项式确定观测矩阵在信号长度上有一定的限制。因此，我们考虑结合这两类矩阵的优点，避免其缺点，为MWC欠采样系统设计一个同时拥有很好的信号重构效果，又节省系统资源易于硬件实现的观测矩阵。混沌理论是确定性与随机性的统一。混沌是一种存在于确定性非线性系统中的貌似无规律的运动。一般来说，混沌有以下特征：1)混沌系统具有随机性。混沌是系统的一种固有属性，系统的复杂性是由系统内在因素造成的，这体现了系统的内在随机性；2)混沌系统具有确定性。产生混沌的系统是一个确定的物理系统。其表现出来的是伪随机特性。混沌系统当前的状态能够由其前一时刻的状态唯一确定，而在足够长时间之后，系统状态便不可预测了。跟随机系统不同的是，混沌系统的每一个状态都是能够重现的。所以我们将混沌理论引入观测矩阵的设计中。由混沌系统生成的序列有良好的伪随机性，非常便于重现。

z_k＝x_1001+kd,k＝0,1,2,… (15)

利用上述方法可以方便地获得由Logistic混沌映射和Tent混沌映射产生的伪随机混沌观测矩阵。然而Cat混沌映射是一个二维离散混沌系统，其映射方程迭代产生的混沌序列为二维的。为了增强混沌伪随机序列的随机性，我们只对第一维的混沌序列做下采样，随后的步骤与上述六个步骤相同。

这样一来，由于设计时所选参数使得系统处于混沌状态，迭代产生的序列均匀分布在(0,1)区域内。那么迭代点值介于(0,1)中等间距划分的2^a个区间中的概率是相等的，也就是(16)之后整个生成的序列中0和1出现的概率是一样的。这就保证了本方法获得序列的随机性，进而保证了重构效果的优异性。另外，由于使用混沌序列，系统具有一定的确定性。这样，我们的方法便做到了优良重构效果与简便硬件实现的二合一。

以下将利用本发明方法生成的3种观测矩阵(分别由Logistic混沌映射方程、Tent混沌映射方程以及Cat混沌映射方程生成，a＝4)的MWC系统重构性能与当前MWC系统使用的伯努利随机观测矩阵重构性能进行对比，以此验证本方法的有效性以及可行性。图1、图2和图3都是在SNR＝20dB条件下进行仿真的。在Logistic混沌映射方程中，选取参数μ＝4，迭代初始值x₀＝0.1，d＝9。在Tent混沌映射方程中，选取参数μ＝1/3，迭代初始值x₀＝0.09，d＝9。在Cat混沌映射方程中，选取迭代初始值x₀＝0.09，y₀＝1，d＝9。实验中的原始多带信号由下式生成：

其中sinc(x)＝sin(πx)/πx。假设x(t)有N＝4个频带(2对对称频带)，每个频带内信号能量E_n＝[1,2]，频带带宽最大值B＝50MHz，每个频带对应的时延为τ_n＝[0.79 1.38]μs，奈奎斯特采样频率f_NYQ＝10GHz，每个频带的载频在0到fNYQ/2中随机选择。图3中通道数由10增加到50，步长为5，每次实验重复进行1000次从而计算出重构成功率。

图1至图5涉及如下四个观测矩阵：利用本发明方法生成的3种观测矩阵(分别由Logistic混沌映射方程、Tent混沌映射方程以及Cat混沌映射方程生成)的MWC系统重构性能以及当前MWC系统使用的伯努利随机观测矩阵。仿真出了MWC系统分别利用这四个观测矩阵时重构信号的时域波形；

图6至图10涉及如下四个观测矩阵：利用本发明方法生成的3种观测矩阵(分别由Logistic混沌映射方程、Tent混沌映射方程以及Cat混沌映射方程生成)的MWC系统重构性能以及当前MWC系统使用的伯努利随机观测矩阵。仿真出了MWC系统分别利用这四个观测矩阵时重构信号的频谱图；

图11涉及如下四个观测矩阵：利用本发明方法生成的3种观测矩阵(分别由Logistic混沌映射方程、Tent混沌映射方程以及Cat混沌映射方程生成)的MWC系统重构性能以及当前MWC系统使用的伯努利随机观测矩阵。仿真出了MWC系统分别利用这四个观测矩阵时重构信号的重构性能对比图，即重构成功率与通道数的关系对比图。

通过仿真，证明了本发明方法构造的伪随机观测矩阵的重构性能和随机观测矩阵是同样优异的，验证了本方法是有效可行的。与此同时，随机观测矩阵需要传输并存储全部观测矩阵的元素，由于本方法仅需传输并存储很少数量的参数以及混沌映射的初始值，本发明方法能够有效节省系统的带宽、存储空间等系统资源。而且本方法能够避免由于随机观测矩阵中个别元素传输错误导致的MWC系统重构性能下降的问题。

本发明具有以下特点和显著进步：

1、本发明方法构造出来的观测矩阵具有伪随机特性。既能保证矩阵中的各个元素(±1)出现的概率相同(随机性)，而且只要知道初始迭代值以及混沌映射方程涉及到的个别参量选值大小，即可获得后面的全部元素(确定性)。

2、本发明方法构造出来的观测矩阵由于具有类似于MWC欠采样系统当前使用的伯努利随机观测矩阵的分布(由±1组成，且出现的概率相同)，其重构性能和伯努利随机观测矩阵一样优异。与此同时，由于伯努利随机观测矩阵需要传输观测矩阵中的每个元素，数据量较大，传输中难免存在个别元素传输错误，会导致MWC系统重构性能下降。这时利用本发明方法构造观测矩阵就能在不牺牲重构性能的基础上避免这类问题。

3、本发明方法构造出来的观测矩阵由于具有确定性，仅需传输并存储很少数量的参数以及混沌映射的初始值，使用这类观测矩阵能够在不牺牲信号重构效果的前提下，有效节省MWC欠采样系统的带宽、存储空间等系统资源，使之易于硬件实现。

Claims

1.基于离散混沌序列的伪随机观测矩阵的MWC欠采样方法，其特征是：它由以下步骤实现：

步骤一、选择一种混沌映射系统，获取相应映射方程；

步骤二、将步骤一中获取的映射方程进行逐步迭代，产生模拟实值混沌序列{x₁,x₂,…,x_n}；

步骤三、舍弃步骤二获得的模拟实值混沌序列的前1000个值，并且对模拟实值混沌序列{x₁,x₂,…,x_n}做等间隔为d的下采样，即：

z_k＝x_1001+kd,k＝0,1,2,…,k_max

获得采样序列k为采样序列中元素的下标；k_max为k的最大值；d为正数；

步骤四、将步骤三获得的采样序列{z₀,z₁,…,z_k}转换成离散数字序列，获得序列{z_0,1,z_0,2,…,z_0,a,z_1,1,z_1,2,…,z_1,a,…,z_k,1,z_k,2,…,z_k,a}；具体为：

对于采样序列中的z_i，i为整数，且i小于k；

经过变换得到z_i,1,z_i,2,…z_i,a，a≥1；

z_i＝(0.z_i,1z_i,2…z_i,a…)₂,z_i,a∈{0,1}

步骤五、将由z_i获得的a个数据z_i,1,z_i,2,…z_i,a根据公式：

进行处理；获得a(k_max+1)个离散序列数据；

步骤六、将步骤五获得的a(k_max+1)个离散序列数据依次排入混沌伪随机观测矩阵Φ_M×N中，则在a(k_max+1)≥M×N的情况下，则将Φ_M×N作为混沌测量矩阵；M、N分别为所构造的测量矩阵的行数和列数；

2.根据权利要求1所述的基于离散混沌序列的伪随机观测矩阵的MWC欠采样方法，其特征在于步骤一中的混沌映射系统是Logistic混沌映射系统、Tent混沌映射系统以及Cat混沌映射系统；

Logistic混沌映射系统的映射方程为：

x_n+1＝μ·x_n(1-x_n)

其中：n为正整数；参数μ∈(0,4]，每次迭代结果xn∈(0,1)；当3.5699…<μ≤4时，Logistic混沌系统进入混沌状态；参数μ越接近4，x的取值范围越是接近分布在整个(0,1)的区域；

Tent混沌映射系统的映射方程为：

Cat混沌映射系统的映射方程为：

3.根据权利要求1所述的基于离散混沌序列的伪随机观测矩阵的MWC欠采样方法，其特征在于当步骤一选择的混沌映射系统是二维离散混沌系统时，则只对第一维的混沌序列执行步骤二至六。