CN104600700B - 基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法从负荷功率等值为阻抗出发，构建新型电力系统等值网络，结合潮流计算新型转置雅可比矩阵，从而推导出可以反映网损对电力网络各个节点功率变量的微增率，有效减少计算误差。本发明无需引入平衡发电机假定来平衡节点功率和电网损耗的变化，比相对参考节点的网损微增率计算方法更严密，而且不可能出现对某个发电机或负荷的网损微增率恒为零现象，并且各节点的网损微增率结果不会出现多值现象，计算结果具有唯一性。本发明作为一种基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法可广泛应用于电力系统分析中。

Description

基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法

技术领域

本发明涉及电力系统分析技术领域，尤其涉及一种基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法。

背景技术

电力系统是由发电机、变压器、输电线路、负荷、无功补偿电容器、换流器等元件构成，是实现能量生产、输送、调控的统一整体。电力系统中变压器、输电线路等变换、输送、分配电能的设备，都可用集中参数的等值电路来描述、构成电力网络数学模型；负荷和发电机都是非线性型元件，可以用对应节点上一个注入电流量表示。实际工程应用中，考虑到电力网以传输电能为目的，所以传统的潮流计算中采用的都是以功率为基础的电量参数，因此传统潮流分布计算中的发电机和负荷都用功率来描述。

网损是电力系统经济运行中一项重要的综合指标，它是指在电能的输变、配送过程中，电网中各种电力设备必然产生的有功功率损耗。目前针对网损的研究，主要是在网损微增率计算方面。网损微增率是指假设当电力系统其它发电机功率不变的情况下，某个发电机功率改变时导致电网损耗的相对变化量。当前通用的算法存在着假设条件多、依赖平衡节点、电力系统平衡节点处计算结果恒为零且计算误差较大的缺陷。

发明内容

为了解决上述技术问题，本发明的目的是提供一种能反映电力系统各个发电节点的损耗微增率，且有效减少计算误差的一种基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法。

本发明所采用的技术方案是：

基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法，包括以下步骤：

A、获取电力系统网络结构参数和初始运行数据；

B、根据电力系统网络结构参数和初始运行数据，将负荷功率等值成接地阻抗并计算；

C、形成新型节点导纳矩阵，并进而计算得到新型节点阻抗矩阵；

D、通过牛顿-拉夫逊法对电力系统进行潮流计算，直到迭代收敛，得出潮流计算结果；

E、计算支路功率对控制变量的偏导数矩阵和新型转置雅可比矩阵；

F、根据M-P广义逆矩阵和奇异值分解法，计算新型转置雅可比矩阵的逆矩阵；

G、根据新型转置雅可比矩阵的逆矩阵，分别计算每条支路线路损耗对节点发电机注入有功功率的微增率和无功功率的微增率；

H、将每条支路线路损耗对节点发电机注入有功功率的微增率和无功功率的微增率分别对应进行累加，得出系统网络损耗对节点发电机注入有功功率的微增率和无功功率的微增率。

作为所述的基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法的进一步改进，所述步骤D包括：

D1、根据初始运行数据，对各个节点电压值的初值进行赋值，并设置循环迭代参数k为0；

D2、根据各个节点电压值，通过牛顿-拉夫逊法对电力系统进行潮流计算，得出节点电压的修正量；

D3、判断得出的节点电压的修正量的最大绝对值误差是否小于等于预设误差阈值，若是，则表示迭代收敛，执行步骤D6；反之，则表示迭代不收敛，执行步骤D4；

D4、根据得出的节点电压的修正量，计算各节点电压值的新值；

D5、将循环迭代参数k自加1，并返回执行步骤D2；

D6、计算各个节点的功率和每条线路的功率，得出潮流计算结果。

作为所述的基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法的进一步改进，所述接地阻抗的计算公式为：

$Z_{\mathrm{Li}}=\frac{{\left|V_i\right|}^2}{P_{\mathrm{Li}}-j{Q}_{\mathrm{Li}}}$

其中，Z_Li表示节点i处负荷等效的接地阻抗，V_i表示节点i处的节点电压，P_Li表示节点i的负荷消耗的有功功率，Q_Li表示节点i的负荷消耗的无功功率。

作为所述的基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法的进一步改进，所述形成新型节点导纳矩阵中，仅改变自导纳的值，则新型节点导纳矩阵中的自导纳为：

$Y_{\mathrm{ii}}=G_{\mathrm{ii}}+j{B}_{\mathrm{ii}}+\frac{(P_{\mathrm{Li}}-j{Q}_{\mathrm{Li}})}{{\left|V_i\right|}^2}$

其中，G_ii和B_ii分别表示为传统节点导纳矩阵中自导纳的实部和虚部，V_i表示节点i处的节点电压，P_Li表示节点i的负荷消耗的有功功率，Q_Li表示节点i的负荷消耗的无功功率。

作为所述的基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法的进一步改进，所述支路功率对控制变量的偏导数矩阵，其具体计算公式为：

设支路l消耗的有功功率、无功功率分别对节点q处电源注入电流实部和虚部进行求偏导，

$\frac{\∂P_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{\∂a_q}=\frac{2r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(R_{\mathrm{iq}}-R_{\mathrm{jq}})+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(X_{\mathrm{iq}}-X_{\mathrm{jq}})]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})};$

$\frac{\∂P_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{\∂b_q}=\frac{2r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(X_{\mathrm{iq}}-X_{\mathrm{jq}})+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(R_{\mathrm{iq}}-R_{\mathrm{jq}})]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})};$

$\frac{\∂Q_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{\∂a_q}=\frac{2x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(R_{\mathrm{iq}}-R_{\mathrm{jq}})+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(X_{\mathrm{iq}}-X_{\mathrm{jq}})]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})};$

$\frac{\∂Q_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{\∂b_q}=\frac{2x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(X_{\mathrm{iq}}-X_{\mathrm{jq}})+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(R_{\mathrm{iq}}-R_{\mathrm{jq}})]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})};$

其中，表示支路l消耗的有功功率，表示支路l消耗的无功功率，a_q和b_q分别表示节点q处电源注入电流的实部和虚部，和分别表示支路l负荷等效的接地阻抗的实部和虚部，和分别表示支路l电压差的实部和虚部，R_iq和X_iq分别表示新型节点阻抗矩阵中i行q列元素的实部和虚部。

作为所述的基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法的进一步改进，系统网络损耗对节点发电机注入有功功率的微增率和无功功率的微增率的计算公式为：

$\frac{\∂\mathrm{\Δ}{P}_L}{\∂P_{\mathrm{Gi}}}=\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\∂P_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{\∂P_{\mathrm{Gi}}},i=\mathrm{1,2},...,N;$

$\frac{\∂\mathrm{\Δ}{P}_L}{\∂Q_{\mathrm{Gi}}}=\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\∂P_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{\∂Q_{\mathrm{Gi}}},i=\mathrm{1,2},...,N;$

其中，表示系统网络损耗对节点发电机注入有功功率的微增率，表示系统网络损耗对节点发电机注入无功功率的微增率，表示支路l线路损耗功率，P_Gi表示节点i的电源注入有功功率，Q_Gi表示节点i的电源注入无功功率。

本发明的有益效果是：

本发明基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法从负荷功率等值为阻抗出发，构建新型电力系统等值网络，结合潮流计算新型转置雅可比矩阵，从而推导出可以反映网损对电力网络各个节点功率变量的微增率，有效减少计算误差。本发明无需引入平衡发电机假定来平衡节点功率和电网损耗的变化，比相对参考节点的网损微增率计算方法更严密，而且不可能出现对某个发电机或负荷的网损微增率恒为零现象，并且各节点的网损微增率结果不会出现多值现象，计算结果具有唯一性。

附图说明

下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步说明：

图1是本发明基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法的步骤流程图；

图2是本发明基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法步骤D的步骤流程图；

图3是传统电力系统等值网络模型示意图；

图4是节点i处电源及负荷的等值模型示意图；

图5是双绕组变压器等值模型示意图；

图6是本发明新型电力等值网络模型示意图。

具体实施方式

参考图1，本发明基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法，包括以下步骤：

A、获取电力系统网络结构参数和初始运行数据；

B、根据电力系统网络结构参数和初始运行数据，将负荷功率等值成接地阻抗并计算；

C、形成新型节点导纳矩阵，并进而计算得到新型节点阻抗矩阵；

D、通过牛顿-拉夫逊法对电力系统进行潮流计算，直到迭代收敛，得出潮流计算结果；

E、计算支路功率对控制变量的偏导数矩阵和新型转置雅可比矩阵；

F、根据M-P广义逆矩阵和奇异值分解法，计算新型转置雅可比矩阵的逆矩阵；

G、根据新型转置雅可比矩阵的逆矩阵，分别计算每条支路线路损耗对节点发电机注入有功功率的微增率和无功功率的微增率；

H、将每条支路线路损耗对节点发电机注入有功功率的微增率和无功功率的微增率分别对应进行累加，得出系统网络损耗对节点发电机注入有功功率的微增率和无功功率的微增率。

参考图2，作为所述的基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法的进一步改进，所述步骤D包括：

D1、根据初始运行数据，对各个节点电压值的初值进行赋值，并设置循环迭代参数k为0；

D2、根据各个节点电压值，通过牛顿-拉夫逊法对电力系统进行潮流计算，得出节点电压的修正量；

D3、判断得出的节点电压的修正量的最大绝对值误差是否小于等于预设误差阈值，若是，则表示迭代收敛，执行步骤D6；反之，则表示迭代不收敛，执行步骤D4；

D4、根据得出的节点电压的修正量，计算各节点电压值的新值；

D5、将循环迭代参数k自加1，并返回执行步骤D2；

D6、计算各个节点的功率和每条线路的功率，得出潮流计算结果。

作为所述的基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法的进一步改进，所述接地阻抗的计算公式为：

$Z_{\mathrm{Li}}=\frac{{\left|V_i\right|}^2}{P_{\mathrm{Li}}-j{Q}_{\mathrm{Li}}}$

其中，Z_Li表示节点i处负荷等效的接地阻抗，V_i表示节点i处的节点电压，P_Li表示节点i的负荷消耗的有功功率，Q_Li表示节点i的负荷消耗的无功功率。

作为所述的基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法的进一步改进，所述形成新型节点导纳矩阵中，仅改变自导纳的值，则新型节点导纳矩阵中的自导纳为：

$Y_{\mathrm{ii}}=G_{\mathrm{ii}}+{\mathrm{jB}}_{\mathrm{ii}}+\frac{(P_{\mathrm{Li}}-{\mathrm{jQ}}_{\mathrm{Li}})}{{\left|V_i\right|}^2}$

其中，G_ii和B_ii分别表示为传统节点导纳矩阵中自导纳的实部和虚部，V_i表示节点i处的节点电压，P_Li表示节点i的负荷消耗的有功功率，Q_Li表示节点i的负荷消耗的无功功率。

作为所述的基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法的进一步改进，所述支路功率对控制变量的偏导数矩阵，其具体计算公式为：

设支路l消耗的有功功率、无功功率分别对节点q处电源注入电流实部和虚部进行求偏导，

$\frac{\∂P_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{\∂a_q}=\frac{2r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(R_{\mathrm{iq}}-R_{\mathrm{jq}})+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(X_{\mathrm{iq}}-X_{\mathrm{jq}})]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})};$

$\frac{\∂P_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{\∂b_q}=\frac{2r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(X_{\mathrm{jq}}-X_{\mathrm{iq}})+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(R_{\mathrm{iq}}-R_{\mathrm{jq}})]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})};$

$\frac{\∂Q_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{\∂a_q}=\frac{2x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(R_{\mathrm{iq}}-R_{\mathrm{jq}})+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(X_{\mathrm{iq}}-X_{\mathrm{jq}})]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})};$

$\frac{\∂Q_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{\∂b_q}=\frac{2x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(X_{\mathrm{jq}}-X_{\mathrm{iq}})+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(R_{\mathrm{iq}}-R_{\mathrm{jq}})]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})};$

其中，表示支路l消耗的有功功率，表示支路l消耗的无功功率，a_q和b_q分别表示节点q处电源注入电流的实部和虚部，和分别表示支路l负荷等效的接地阻抗的实部和虚部，和分别表示支路l电压差的实部和虚部，R_iq和X_iq分别表示新型节点阻抗矩阵中i行q列元素的实部和虚部。

作为所述的基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法的进一步改进，系统网络损耗对节点发电机注入有功功率的微增率和无功功率的微增率的计算公式为：

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔP}}_L}{{\∂P}_{\mathrm{Gi}}}=\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{Gi}}},i=\mathrm{1,2},...,N;$

$\frac{{\∂\mathrm{\ΔP}}_L}{{\∂P}_{\mathrm{Gi}}}=\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{Gi}}},i=\mathrm{1,2},...,N;$

其中，表示系统网络损耗对节点发电机注入有功功率的微增率，表示系统网络损耗对节点发电机注入无功功率的微增率，表示支路l线路损耗功率，P_Gi表示节点i的电源注入有功功率，Q_Gi表示节点i的电源注入无功功率。

根据电力系统稳态分析理论，对于一个有N个节点，b条支路,g个发电机节点的传统电力系统电路模型。其系统参数均是用功率形式来表达，S_Gi表示节点i处发电机注入的复功率，当节点i处没有发电机电源时，S_Gi为零；S_Li则表示节点i处负荷消耗的复功率，如果节点i处没有负荷时，S_Li则为零；S_i表示节点i处注入网络的复功率，其值为发电机电源注入功率和负荷消耗功率之差，即S_i＝S_Gi-S_Li。传统电力系统的等值网络模型如图3所示。

可以将所有的节点所接发电机电源等值成诺顿模型，即发电机电源为电流源形式，假设电流源并联的内阻抗为无穷大并略去不计；并且将所有的节点负荷功率等值成节点接地阻抗。对电力系统单个节点进行分析，可得单个节点电源和负荷等值模型的四种组合模式如图4所示。

图4中的I_Gi表示节点i处电流源注入的电流；Z_Li则表示节点i处负荷等效的接地阻抗，节点电源及负荷的等值模型具有四种模式。

(1)当节点i处接有发电机电源和负荷时，等值模型如图4(Ⅰ)所示；

(2)当节点i处仅接有发电机电源时，等值模型如图4(Ⅱ)所示，可假设负荷等效接地阻抗为无穷大(断路形式)即Z_Li＝∞，可见该模型可以用(Ⅰ)模型表示；

(3)当节点i处仅接有负荷时，等值模型如图4(Ⅲ)所示，假设发电机电流源电流为零(开路形式)即I_Gi＝0，可见该模型也可以用(Ⅰ)模型表示；

(4)当节点i处既无发电机电源又无负荷时，相当于系统里一个联络节点，等值模型如图4(Ⅳ)所示，这相当于负荷等效接地阻抗Z_Li＝∞、发电机电流源I_Gi＝0开路，可见该模型也可以用(Ⅰ)模型表示。

对于多电压级的电力网络系统，必须将变压器模型进行等值，才能把网络参数和变量归算至相同的电压等级。本文所采用的变压器等值模型如图5所示。

这种变压器等值模型具有体现电压变换的特点，采用标幺值时，多电压等级网络参数及变量可以不必反复归算，方便计算机建模仿真计算、同时也适用于手算。

可以将电力系统网络所有发电机电源等值成节点电流源，即等值成诺顿模型，将节点的负荷功率等值成节点接地阻抗，新型电力系统等值网络模型如图6所示。

节点i处发电机注入的复功率S_Gi的表达式为

$S_{\mathrm{Gi}}=P_{\mathrm{Gi}}+j{Q}_{\mathrm{Gi}}=V_i\·{\hat{I}}_{\mathrm{Gi}}---\left(1\right)$

上式中，P_Gi表示为节点i的电源注入有功功率，Q_Gi表示为节点i的电源注入无功功率。

根据上式(1)，电源节点注入电流可以用节点电源复功率和节点电压的共轭值表示为

$I_{\mathrm{Gi}}=\frac{P_{\mathrm{Gi}}-j{Q}_{\mathrm{Gi}}}{{\hat{V}}_i}---\left(2\right)$

节点i处负荷所消耗的复功率S_Li的可表达成

$S_{\mathrm{Li}}=P_{\mathrm{Li}}+j{Q}_{\mathrm{Li}}=V_i\·{\hat{I}}_{\mathrm{Li}}---\left(3\right)$

式中P_Li和Q_Li为节点i的负荷消耗的有功功率和无功功率，为节点i的流入负荷电流I_Li的共轭值。I_Li的表达式为

$I_{\mathrm{Li}}=\frac{V_i}{Z_{\mathrm{Li}}}---\left(4\right)$

联立(3)和(4)式子，可得节点i处负荷等效的接地阻抗的表达式为

$Z_{\mathrm{Li}}=r_i+{\mathrm{jx}}_i=\frac{{\left|V_i\right|}^2}{P_{\mathrm{Li}}-j{Q}_{\mathrm{Li}}}---\left(5\right)$

针对新型电力等值网络，运用节点导纳矩阵的节点电压方程可得

$I_G={\tilde{Y}}_B{V}_B---\left(6\right)$

式中，V_B＝[V₁,V₂,…,V_N]^T是节点电压的列向量，I_G＝[I_G1,I_G2,…,I_GN]^T是节点发电机注入电流的列向量；是一个N×N阶的新型节点导纳矩阵；新型节点导纳矩阵中i行j列元素可以用复数表达

${\tilde{Y}}_{\mathrm{ij}}={\tilde{G}}_{\mathrm{ij}}+j{\tilde{B}}_{\mathrm{ij}}---\left(7\right)$

节点i的电压相量V_i用直角坐标系表达为

${\stackrel{\·}{V}}_i=e_i+{\mathrm{jf}}_i---\left(8\right)$

同理，节点i的发电机注入电流相量I_Gi用直角坐标系表达为

I_Gi＝a_i+jb_i i＝1,…,N (9)

根据定义可知，负荷等效为接地阻抗后，节点导纳矩阵仅改变自导纳的值，即传统电力等值网络的节点导纳矩阵的对角元发生改变，而非对角元不发生改变。假设传统电力等值网络的节点导纳矩阵为Y_B，可得Y_B的对角元为：

$Y_{\mathrm{ij}}=G_{\mathrm{ii}}+j{B}_{\mathrm{ii}}\≠{\tilde{G}}_{\mathrm{ii}}+j{\tilde{B}}_{\mathrm{ii}}---\left(10\right)$

而Y_B的非对角元为：

$Y_{\mathrm{ij}}=G_{\mathrm{ij}}+j{B}_{\mathrm{ij}}={\tilde{Y}}_{\mathrm{ij}}={\tilde{G}}_{\mathrm{ij}}+j{\tilde{B}}_{\mathrm{ij}},i\≠j---\left(11\right)$

传统电力等值网络的潮流计算通常采用牛顿-拉夫逊法，根据该算法，构建修正方程式，牛顿-拉夫逊法原始修正方程：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔP}}_i=P_{\mathrm{Gi}}-P_{\mathrm{Li}}-P_i=P_{\mathrm{Gi}}-P_{\mathrm{Li}}-e_i\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{e}_j-B_{\mathrm{ij}}{f}_j)-f_i\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{f}_j+B_{\mathrm{ij}}{e}_j)\\ =P_{\mathrm{Gi}}-P_{\mathrm{Li}}-e_i\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{e}_j-B_{\mathrm{ij}}{f}_j)-f_i\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{f}_j+B_{\mathrm{ij}}{e}_j)-(e_i{G}_{\mathrm{ii}}{e}_i+e_i{B}_{\mathrm{ii}}{f}_i+f_i{G}_{\mathrm{ii}}{f}_i+f_i{B}_{\mathrm{ii}}{e}_i)\end{array}---\left(12\right)$

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔQ}}_i=Q_{\mathrm{Gi}}-Q_{\mathrm{Li}}-Q_i=Q_{\mathrm{Gi}}-Q_{\mathrm{Li}}-f_i\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{e}_j-B_{\mathrm{ij}}{f}_j)+e_i\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{f}_j+B_{\mathrm{ij}}{e}_j)\\ =Q_{\mathrm{Gi}}-Q_{\mathrm{Li}}-f_i\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{e}_j-B_{\mathrm{ij}}{f}_j)+e_i\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{f}_j+B_{\mathrm{ij}}{e}_j)-(f_i{G}_{\mathrm{ii}}{e}_i-f_i{B}_{\mathrm{ii}}{f}_i-e_{\mathrm{ii}}{G}_{\mathrm{ii}}{f}_i-e_i{B}_{\mathrm{ii}}{e}_i)\end{array}---\left(13\right)$

上式中，ΔP_i、ΔQ_i分别表示节点i注入有功功率和无功功率的不平衡量，P_i、Q_i分别表示节点注入有功功率和无功功率，其中(e_iG_iie_i+e_iB_iif_i+f_iG_iif_i+f_iB_iie_i)和(f_iG_iie_i-f_iB_iif_i-e_iiG_iif_i-e_iB_iie_i)为传统节点导纳矩阵中自导纳消耗的有功功率和无功功率。

负荷等效为接地阻抗后，构建新型电力等值网络的牛顿-拉夫逊法原始修正方程，同理可得：

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{\tilde{P}}_i=P_{\mathrm{Gi}}-{\tilde{P}}_i=P_{\mathrm{Gi}}-e_i\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{G}}_{\mathrm{ij}}{e}_j-{\tilde{B}}_{\mathrm{ij}}{f}_j)-f_i\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{G}}_{\mathrm{ij}}{f}_j+{\tilde{B}}_{\mathrm{ij}}{e}_j)\\ =P_{\mathrm{Gi}}-e_i\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{G}}_{\mathrm{ij}}{e}_j-{\tilde{B}}_{\mathrm{ij}}{f}_j)-f_i\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{G}}_{\mathrm{ij}}{f}_j+{\tilde{B}}_{\mathrm{ij}}{e}_j)-(e_i{\tilde{G}}_{\mathrm{ii}}{e}_i+e_i{\tilde{B}}_{\mathrm{ii}}{f}_i+f_i{\tilde{G}}_{\mathrm{ii}}{f}_i+f_i{\tilde{B}}_{\mathrm{ii}}{e}_i)\end{array}---\left(14\right)$

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{\tilde{Q}}_i=Q_{\mathrm{Gi}}-{\tilde{Q}}_i=Q_{\mathrm{Gi}}-f_i\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{G}}_{\mathrm{ij}}{e}_j-{\tilde{B}}_{\mathrm{ij}}{f}_j)+e_i\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{G}}_{\mathrm{ij}}{f}_j+{\tilde{B}}_{\mathrm{ij}}{e}_j)=0\\ =Q_{\mathrm{Gi}}-f_i\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{G}}_{\mathrm{ij}}{e}_j-{\tilde{B}}_{\mathrm{ij}}{f}_j)+e_i\underset{j=1,j\≠i}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}({\tilde{G}}_{\mathrm{ij}}{f}_j+{\tilde{B}}_{\mathrm{ij}}{e}_j)-(f_i{\tilde{G}}_{\mathrm{ii}}{e}_i-f_i{\tilde{B}}_{\mathrm{ii}}{f}_i-e_{\mathrm{ii}}{\tilde{G}}_{\mathrm{ii}}{f}_i-e_i{\tilde{B}}_{\mathrm{ii}}{e}_i)\end{array}---\left(15\right)$

上式中， 分别表示注入有功功率和无功功率的不平衡量， 分别表示节点注入有功功率和无功功率，其中和为新型等值电力网络中自导纳所消耗的有功功率和无功功率。

因为负荷等效为节点接地阻抗后，仅改变自导纳的值，即节点导纳矩阵的非对角元不发生改变。负荷等效为阻抗后的自导纳与原自导纳的关系为：

${\tilde{Y}}_{\mathrm{ii}}=Y_{\mathrm{ii}}+\frac{1}{Z_{\mathrm{Li}}}=Y_{\mathrm{ii}}+\frac{(P_{\mathrm{Li}}-{\mathrm{jQ}}_{\mathrm{Li}})}{{\left|V_i\right|}^2}---\left(16\right)$

将式(16)分别代入式(14)-(15)的第2部分后，化简最终可得：

$\mathrm{\Δ}{\tilde{P}}_i=P_{\mathrm{Li}}-P_{\mathrm{Gi}}-e_i\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{e}_j-B_{\mathrm{ij}}{f}_j)-f_i\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{f}_j+B_{\mathrm{ij}}{e}_j)=\mathrm{\Δ}{P}_i---\left(17\right)$

$\mathrm{\Δ}{\tilde{Q}}_i=Q_{\mathrm{Li}}-Q_{\mathrm{Gi}}-f_i\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{e}_j-B_{\mathrm{ij}}{f}_j)+e_i\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(G_{\mathrm{ij}}{f}_j+B_{\mathrm{ij}}{e}_j)=\mathrm{\Δ}{Q}_i---\left(18\right)$

从上式可得，将负荷等效为接地阻抗后直接套用牛顿-拉夫逊法所得修正方程与原始修正方程一致，所以潮流计算所得结果也是一致。新型电力等值网络与传统电力等值网络的潮流计算结果一致性，得证。

将发电机电源等值成内阻无穷大的诺顿模型，即把所有电源等值成节点电流源，将节点的负荷功率等值成节点阻抗，得新型电力等值网络。其结构参数是已知变量，发电机诺顿等值模型情况下，可将节点电流源的节点注入电流I_Gi视为整个网络的控制变量。此时，电网系统中节点电压、节点电源注入复功率、支路消耗的复功率、节点负荷功率就是状态变量。

对于新型电力等值网络，节点电压方程可写成

$V_B={\tilde{Z}}_B{I}_G---\left(19\right)$

上式中，V_B＝[V₁,V₂,…,V_N]^T是节点电压的列向量；是一个N×N阶的新型节点阻抗矩阵，因为电力网络中变压器存在着励磁支路，输电线路存在着对地电容，所以总是存在着，即节点阻抗矩阵是一个满矩阵。根据公式(19)可得新型节点阻抗矩阵中i行j列元素可以用复数表达：

Z_ij＝R_ij+jX_ij (20)

根据式(19)进行展开，节点电压相量V_i可以写成代数形式

$V_i=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{Z}_{\mathrm{ik}}{I}_k,i=\mathrm{1,2},...N---\left(21\right)$

联立式子(9)、(20)、(21)，可得

$V_i=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{a}_k-X_{\mathrm{ik}}{b}_k)+j\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{b}_k+X_{\mathrm{ik}}{a}_k)---\left(22\right)$

对节点电压相量V_i按照实部和虚部形式进行展开，可得

$e_i=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{a}_k-X_{\mathrm{ik}}{b}_k)---\left(23\right)$

$f_i=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{b}_k+X_{\mathrm{ik}}{a}_k)---\left(24\right)$

系统节点i与节点j之间的电压差V_ij的直角坐标系形式可以表示为

V_ij＝V_i-V_j＝(e_i+jf_i)-(e_j+jf_j)＝e_ij+jf_ij (25)

联立式子(23)、(24)、(25)可得

$e_{\mathrm{ij}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}-R_{\mathrm{jk}})a_k-(X_{\mathrm{ik}}-X_{\mathrm{jk}})b_k]---\left(26\right)$

$f_{\mathrm{ij}}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(X_{\mathrm{ik}}-X_{\mathrm{jk}})a_k+(R_{\mathrm{ik}}-R_{\mathrm{jk}})b_k---\left(27\right)$

根据电路基本定理，流经支路的支路电流跟支路两端电压成正比，跟支路自身阻抗成反比，可得

$I_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}=\frac{V_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{Z_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}=\frac{e_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{if}}_{\mathrm{ij}}}{r_j^{\left(l\right)}+{\mathrm{jx}}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}=\frac{(e_{\mathrm{ij}}{r}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}+f_{\mathrm{ij}}{x}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)})+j(f_{\mathrm{ij}}{r}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}-e_{\mathrm{ij}}{x}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)})}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})}---\left(28\right)$

上式l表示为流经编号为l的支路，i、j分别表示支路首尾两端节点编号，表示支路自身阻抗，为l号支路电流，为第l条支路两端电压。

因此l号的支路复功率损耗公式可以写成

$S_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}=P_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}+{\mathrm{jQ}}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}={\left|I_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}\right|}^2{Z}_{\mathrm{Lij}}---\left(29\right)$

联立方程式(28)和(29)，可得l号的支路的有功功率及无功功率的损耗表达式分别为

$P_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}=\frac{r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[{(e_{\mathrm{ij}}{r}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}+f_{\mathrm{ij}}{x}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)})}^2+{(f_{\mathrm{ij}}{r}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}-e_{\mathrm{ij}}{x}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)})}^2]}{{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})}^2}---\left(30\right)$

$Q_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}=\frac{x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[{(e_{\mathrm{ij}}{r}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}+f_{\mathrm{ij}}{x}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)})}^2+{(f_{\mathrm{ij}}{r}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}-e_{\mathrm{ij}}{x}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)})}^2]}{{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})}^2}---\left(31\right)$

电力系统是一个封闭的网络，根据功率守恒定律可知，电力系统的总功率是守恒的，所以电力系统的网络的复功率损耗可以表示为所有节点的注入电源复功率与负荷消耗复功率的不平衡量之和，也可以表示为系统所有支路的复功率总和。

${\mathrm{\ΔS}}_L={\mathrm{\ΔP}}_L+\mathrm{j\Δ}{Q}_L=\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{S}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}---\left(32\right)$

联立(30)、(31)、(32)式子，可以列出系统所有支路的有功、无功功率和的表达式为：

$\mathrm{\Δ}{P}_L=\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}=\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}\frac{r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[{(e_{\mathrm{ij}}{r}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}+f_{\mathrm{ij}}{x}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)})}^2+{(f_{\mathrm{ij}}{r}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}-e_{\mathrm{ij}}{x}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)})}^2]}{{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})}^2}---\left(33\right)$

$\mathrm{\Δ}{Q}_L=\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}=\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}\frac{x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[{(e_{\mathrm{ij}}{r}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}+f_{\mathrm{ij}}{x}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)})}^2+{(f_{\mathrm{ij}}{r}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}-e_{\mathrm{ij}}{x}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)})}^2]}{{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})}^2}---\left(34\right)$

节点i处发电机电流源所发出的复功率为S_Gi，联立方程式(1)、(9)、(23)、(24)可得节点i处电流源所发出有功、无功功率表达式为

$P_{\mathrm{Gi}}=(e_i{a}_i+f_i{b}_i)=a_i\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{a}_k-X_{\mathrm{ik}}{b}_k)+b_i\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{b}_k+X_{\mathrm{ik}}{a}_k)---\left(35\right)$

$Q_{\mathrm{Gi}}=(f_i{a}_i-e_i{b}_i)=a_i\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{b}_k+X_{\mathrm{ik}}{a}_k)+b_i\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(X_{\mathrm{ik}}{b}_k-R_{\mathrm{ik}}{a}_k)---\left(36\right)$

节点i处负荷等效为接地阻抗所消耗的复功率为S_Li，联立方程式(3)、(5)、(23)、(24)可得节点i处负荷等效接地阻抗所消耗的有功、无功功率表达式为

$P_{\mathrm{Li}}=\frac{r_i({e_i}^2+{f_i}^2)}{{r_i}^2+{x_i}^2}---\left(37\right)$

$Q_{\mathrm{Li}}=\frac{x_i({e_i}^2+{f_i}^2)}{{r_i}^2+{x_i}^2}---\left(38\right)$

由构建的新型电力网络模型可知，系统的网络参数如支路阻抗、负荷等效接地阻抗为常量；系统的控制变量是节点发电机电流源注入系统的电流I_G＝[I_G1,…,I_GN]^T。

根据公式(23)、(24)可知系统的节点i处电压实部和虚部是关于节点电源注入电流实部和虚部的函数。节点i处电压实部和虚部分别对节点q处电源注入电流实部和虚部的偏导数为

$\frac{\∂e_i}{\∂a_q}=\frac{\∂\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{a}_k-X_{\mathrm{ik}}{b}_k)}{\∂a_q}=R_{\mathrm{iq}}---\left(39\right)$

$\frac{\∂e_i}{\∂b_q}=\frac{\∂\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{a}_k-X_{\mathrm{ik}}{b}_k)}{\∂b_q}={-X}_{\mathrm{iq}}---\left(40\right)$

$\frac{\∂f_i}{\∂a_q}=\frac{\∂\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{b}_k+X_{\mathrm{ik}}{a}_k)}{\∂a_q}=X_{\mathrm{iq}}---\left(41\right)$

$\frac{\∂f_i}{\∂b_q}=\frac{\∂\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{b}_k+X_{\mathrm{ik}}{a}_k)}{\∂b_q}=R_{\mathrm{iq}}---\left(42\right)$

由公式(35)、(36)可知系统的节点电源发出的有功、无功功率是关于节点电源注入电流实部和虚部的函数。节点i处电源发出的有功、无功功率分别对节点q处电源注入电流实部和虚部的偏导数的表达式为：

当q＝i时

$\frac{\∂P_{\mathrm{Gi}}}{\∂a_i}=e_i+R_{\mathrm{ii}}{a}_i+X_{\mathrm{ii}}{b}_i=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{a}_k-X_{\mathrm{ik}}{b}_k)+R_{\mathrm{ii}}{a}_i+X_{\mathrm{ii}}{b}_i---\left(43\right)$

$\frac{\∂P_{\mathrm{Gi}}}{\∂b_i}=f_i+R_{\mathrm{ii}}{b}_i-X_{\mathrm{ii}}{a}_i=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{b}_k+X_{\mathrm{ik}}{a}_k)+R_{\mathrm{ii}}{b}_i-X_{\mathrm{ii}}{a}_i---\left(44\right)$

$\frac{\∂Q_{\mathrm{Gi}}}{\∂a_i}=f_i+X_{\mathrm{ii}}{a}_i-R_{\mathrm{ii}}{b}_i=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{b}_k+X_{\mathrm{ik}}{a}_k)+X_{\mathrm{ii}}{a}_i-R_{\mathrm{ii}}{b}_i---\left(45\right)$

$\frac{\∂Q_{\mathrm{Gi}}}{\∂b_i}=-e_i+R_{\mathrm{ii}}{a}_i+X_{\mathrm{ii}}{b}_i=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(X_{\mathrm{ik}}{b}_k-R_{\mathrm{ik}}{a}_k)+R_{\mathrm{ii}}{a}_i+X_{\mathrm{ii}}{b}_i---\left(46\right)$

当q≠i时

$\frac{\∂P_{\mathrm{Gi}}}{\∂a_q}=R_{\mathrm{iq}}{a}_i+X_{\mathrm{iq}}{b}_i---\left(47\right)$

$\frac{\∂P_{\mathrm{Gi}}}{\∂b_q}=R_{\mathrm{iq}}{b}_i-X_{\mathrm{iq}}{a}_i---\left(48\right)$

$\frac{\∂Q_{\mathrm{Gi}}}{\∂a_q}=X_{\mathrm{iq}}{a}_i-R_{\mathrm{iq}}{b}_i---\left(49\right)$

$\frac{\∂Q_{\mathrm{Gi}}}{\∂b_q}=R_{\mathrm{iq}}{a}_i+X_{\mathrm{iq}}{b}_i---\left(50\right)$

对于一个N节点b条支路的电力系统网络，系统中的控制变量是发电机发出的电流，可用列向量I_G＝a+jb＝[a₁,…,a_N]^T+j[b₁,…,b_N]^T表示，可得节点i处电源发出的有功、无功功率分别对所有接有电源的节点注入电流实部、虚部的偏导数列向量表达式为

$\frac{\∂P_{\mathrm{Gi}}}{\∂I_G}={[\frac{\∂P_{\mathrm{Gi}}}{\∂a_1},\frac{\∂P_{\mathrm{Gi}}}{\∂b_1},\·\·\·,\·\·\·,\frac{\∂P_{\mathrm{Gi}}}{\∂a_N},\frac{\∂P_{\mathrm{Gi}}}{\∂b_N}]}^T---\left(51\right)$

$\frac{\∂Q_{\mathrm{Gi}}}{\∂I_G}={[\frac{\∂Q_{\mathrm{Gi}}}{\∂a_1},\frac{\∂Q_{\mathrm{Gi}}}{\∂b_1},\·\·\·,\·\·\·,\frac{\∂Q_{\mathrm{Gi}}}{\∂a_N},\frac{\∂Q_{\mathrm{Gi}}}{\∂b_N}]}^T---\left(52\right)$

其中和均是2N×1维列向量。

由公式(23)、(24)、(37)、(38)可知系统的节点负荷等效阻抗消耗的有功、无功功率是关于节点电源注入电流实部和虚部的复合函数，节点电压实部和虚部可视为中间变量。节点i处负荷等效阻抗消耗的有功、无功功率分别对节点q处电源注入电流实部和虚部的偏导数表达式为：

$\frac{\∂P_{\mathrm{Li}}}{\∂a_q}=\frac{2r_i(e_i\frac{\∂e_i}{\∂a_q}+f_i\frac{\∂f_i}{\∂a_q})}{{r_i}^2+{x_i}^2}---\left(53\right)$

$\frac{\∂P_{\mathrm{Li}}}{\∂b_q}=\frac{2r_i(e_i\frac{\∂e_i}{\∂b_i}+f_i\frac{\∂f_i}{\∂b_i})}{{r_i}^2+{x_i}^2}---\left(54\right)$

$\frac{\∂Q_{\mathrm{Li}}}{\∂a_q}=\frac{2x_i(e_i\frac{\∂e_i}{\∂a_i}+f_j\frac{\∂f_i}{\∂a_i})}{{r_i}^2+{x_i}^2}---\left(55\right)$

$\frac{\∂Q_{\mathrm{Li}}}{\∂b_q}=\frac{2x_i(e_i\frac{\∂e_i}{\∂b_q}+f_i\frac{\∂f_i}{\∂b_q})}{{r_i}^2+{x_i}^2}---\left(56\right)$

分别将式子(23)、(24)、(39)、(40)、(41)、(42)代入上面四个式子，可得：

$\frac{\∂P_{\mathrm{Li}}}{\∂a_q}=\frac{2r_i}{{r_i}^2+{x_i}^2}[R_{\mathrm{iq}}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{a}_k-X_{\mathrm{ik}}{b}_k)+X_{\mathrm{iq}}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{b}_k+X_{\mathrm{ik}}{a}_k)]---\left(57\right)$

$\frac{\∂Q_{\mathrm{Li}}}{\∂a_q}=\frac{2x_i}{{r_i}^2+{x_i}^2}[R_{\mathrm{iq}}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{a}_k-X_{\mathrm{ik}}{b}_k)+X_{\mathrm{iq}}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{b}_k+X_{\mathrm{ik}}{a}_k)]---\left(58\right)$

$\frac{\∂P_{\mathrm{Li}}}{\∂b_q}=\frac{2r_i}{{r_i}^2+{x_i}^2}[R_{\mathrm{iq}}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{b}_k+X_{\mathrm{ik}}{a}_k)-X_{\mathrm{iq}}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{a}_k-X_{\mathrm{ik}}{b}_k)]---\left(59\right)$

$\frac{\∂Q_{\mathrm{Li}}}{\∂b_q}=\frac{2x_i}{{r_i}^2+{x_i}^2}[R_{\mathrm{iq}}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{b}_k+X_{\mathrm{ik}}{a}_k)-X_{\mathrm{iq}}\underset{k=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(R_{\mathrm{ik}}{a}_k-X_{\mathrm{ik}}{b}_k)]---\left(60\right)$

同理，可知节点i处负荷等效阻抗消耗的有功、无功功率分别对所有接有电源的节点注入电流实部、虚部的偏导数列向量表达式为：

$\frac{\∂P_{\mathrm{Li}}}{\∂I_G}{=[\frac{\∂P_{\mathrm{Li}}}{\∂a_1},\frac{\∂P_{\mathrm{Li}}}{\∂b_1},\·\·\·,\·\·\·,\frac{\∂P_{\mathrm{Li}}}{\∂a_N},\frac{\∂P_{\mathrm{Li}}}{\∂b_N}]}^T---\left(61\right)$

$\frac{\∂Q_{\mathrm{Li}}}{\∂I_G}{=[\frac{\∂Q_{\mathrm{Li}}}{\∂a_1},\frac{\∂Q_{\mathrm{Li}}}{\∂b_1},\·\·\·,\·\·\·,\frac{\∂Q_{\mathrm{Li}}}{\∂a_N},\frac{\∂Q_{\mathrm{Li}}}{\∂b_N}]}^T---\left(62\right)$

其中和均是2N×1维列向量。

由公式(26)、(27)、(30)、(31)可知系统的支路l的有功、无功功率是关于节点电源注入电流实部和虚部的复合函数，支路l的端电压的实部和虚部视为中间变量。

中间变量支路l节点两端电压的实部和虚部分别对节点q处电源注入电流实部和虚部的偏导数表达式为：

$\frac{\∂e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{\∂a_q}=\frac{\∂\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}[(R_{\mathrm{ik}}-R_{\mathrm{jk}})a_k-(X_{\mathrm{ik}}-X_{\mathrm{jk}})b_k]}{\∂a_q}=R_{\mathrm{iq}}-R_{\mathrm{jq}}---\left(63\right)$

$\frac{\∂f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{\∂a_q}=\frac{\∂\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}[(X_{\mathrm{ik}}-X_{\mathrm{jk}})a_k+(R_{\mathrm{ik}}-R_{\mathrm{jk}})b_k]}{\∂a_q}=X_{\mathrm{iq}}-X_{\mathrm{jq}}---\left(64\right)$

$\frac{\∂e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{\∂b_q}=\frac{\∂\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}[(R_{\mathrm{ik}}-R_{\mathrm{jk}})a_k-(X_{\mathrm{ik}}-X_{\mathrm{jk}})b_k]}{\∂b_q}={-X}_{\mathrm{iq}}+X_{\mathrm{jq}}---\left(65\right)$

$\frac{\∂f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{\∂b_q}=\frac{\∂\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}[(X_{\mathrm{ik}}-X_{\mathrm{jk}})a_k+(R_{\mathrm{ik}}-R_{\mathrm{jk}})b_k]}{\∂b_q}=R_{\mathrm{iq}}-R_{\mathrm{jq}}---\left(66\right)$

支路l消耗的有功、无功功率分别对节点q处电源注入电流实部和虚部进行求偏导，其表达式通过化简可得：

$\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_q}=\frac{{2r}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}\frac{{\∂e}_{\mathrm{ij}}}{{\∂a}_q}+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}\frac{{\∂f}_{\mathrm{ij}}}{{\∂a}_q}]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})}=\frac{{2r}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(R_{\mathrm{iq}}-R_{\mathrm{jq}})+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(X_{\mathrm{iq}}-X_{\mathrm{jq}})]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})}---\left(67\right)$

$\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_q}=\frac{{2r}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}\frac{{\∂e}_{\mathrm{ij}}}{{\∂b}_q}+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}\frac{{\∂f}_{\mathrm{ij}}}{{\∂b}_q}]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})}=\frac{{2r}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(X_{\mathrm{jq}}-X_{\mathrm{iq}})+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(R_{\mathrm{iq}}-R_{\mathrm{jq}})]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})}---\left(68\right)$

$\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_q}=\frac{{2x}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}\frac{{\∂e}_{\mathrm{ij}}}{{\∂a}_q}+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}\frac{{\∂f}_{\mathrm{ij}}}{{\∂a}_q}]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})}=\frac{{2x}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(R_{\mathrm{iq}}-R_{\mathrm{jq}})+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(X_{\mathrm{iq}}-X_{\mathrm{jq}})]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})}---\left(69\right)$

$\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_q}=\frac{{2x}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}\frac{{\∂e}_{\mathrm{ij}}}{{\∂b}_q}+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}\frac{{\∂f}_{\mathrm{ij}}}{{\∂b}_q}]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})}=\frac{{2x}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}[e_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(X_{\mathrm{jq}}-X_{\mathrm{iq}})+f_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}(R_{\mathrm{iq}}-R_{\mathrm{jq}})]}{(r_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2}+x_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)2})}---\left(70\right)$

同理，支路l消耗的有功、无功功率分别对所有接有电源的节点注入电流实部、虚部的偏导数列向量表达式为

$\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂I}_G}={[\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_1},\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_1},...,...,\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_N},\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_N}]}^T---\left(71\right)$

$\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂I}_G}={[\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_1},\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_1},...,...,\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_N},\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_N}]}^T---\left(72\right)$

其中和均是2N×1维列向量。

由公式(67)-(70)可知，支路l消耗的有功、无功功率分别对于节点q处的注入电流实部、虚部偏导数也可表达为

$\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_q}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂P}_{\mathrm{Gk}}}{{\∂a}_q}+\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}{{\∂a}_q})---\left(73\right)$

$\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_q}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂P}_{\mathrm{Gk}}}{{\∂b}_q}+\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}{{\∂b}_q})---\left(74\right)$

$\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_q}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂P}_{\mathrm{Gk}}}{{\∂a}_q}+\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}{{\∂a}_q})---\left(75\right)$

$\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_q}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂P}_{\mathrm{Gk}}}{{\∂b}_q}+\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}{{\∂b}_q})---\left(76\right)$

支路l消耗的有功功率(支路网损)对所有接有电源的节点注入电流实部、虚部偏导数可表达成：

$\left[\begin{array}{c}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_1}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_1}\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_N}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_N}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccccc}\frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂a}_1}& \frac{{\∂Q}_{G1}}{{\∂a}_1}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_1}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_1}\\ \frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂b}_1}& \frac{{\∂Q}_{G1}}{{\∂b}_1}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_1}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_1}\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ \frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂a}_N}& \frac{{\∂Q}_{G1}}{{\∂a}_N}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_N}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_N}\\ \frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂b}_N}& \frac{\∂Q_{G1}}{{\∂b}_N}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_N}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_N}\end{array}\right]}^{}\left[\begin{array}{c}\frac{\∂P_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{G1}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ \frac{\∂P_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}\end{array}\right]=\left[{J_G}^T\right]\left[\begin{array}{c}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{G1}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{G1}}\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ \frac{\∂P_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}\end{array}\right]---\left(77\right)$

上式中J_G ^T表示系统状态变量P_G和Q_G对控制变量a和b的新型转置雅可比矩阵，其为2N×2N维矩阵。

上式两边各左乘一个新型转置雅可比矩阵的逆转[J_G ^T]^-1，可知支路l消耗的有功功率对各个电源节点有功、无功功率的微增率列向量为：

$\left[\begin{array}{c}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{G1}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{G1}}\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccccc}\frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂a}_1}& \frac{{\∂Q}_{G1}}{{\∂a}_1}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_1}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_1}\\ \frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂b}_1}& \frac{{\∂Q}_{G1}}{{\∂b}_1}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_1}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_1}\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ \frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂a}_N}& \frac{{\∂Q}_{G1}}{{\∂a}_N}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_N}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_N}\\ \frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂b}_N}& \frac{\∂Q_{G1}}{{\∂b}_N}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_N}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_N}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}\frac{\∂P_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_1}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_1}\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ \frac{\∂P_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_N}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_N}\end{array}\right]={\left[{J_G}^T\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_1}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_1}\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ \frac{\∂P_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_N}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_N}\end{array}\right]---\left(78\right)$

根据上式可列出所有支路消耗的有功功率对各个节点发电机发出的有功、无功功率的微增率矩阵为：

$\left[\begin{array}{ccc}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂P}_{G1}}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂P}_{G1}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂Q}_{G1}}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂Q}_{G1}}\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}\end{array}\right]\text{=}{\left[\begin{array}{ccccc}\frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂a}_1}& \frac{{\∂Q}_{G1}}{{\∂a}_1}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_1}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_1}\\ \frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂b}_1}& \frac{{\∂Q}_{G1}}{{\∂b}_1}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_1}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_1}\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ \frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂a}_N}& \frac{{\∂Q}_{G1}}{{\∂a}_N}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_N}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_N}\\ \frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂b}_N}& \frac{{\∂Q}_{G1}}{{\∂b}_N}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_N}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_N}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{ccc}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂a}_1}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂a}_1}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂b}_1}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂b}_1}\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂a}_N}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂a}_N}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂b}_N}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂b}_N}\end{array}\right]---\left(79\right)$

上式矩阵运算结果为(2N×2b)＝(2N×2N)×2b维矩阵。

由式子(33)可知系统的网络损耗为系统所有支路的有功功率总和，则网损对各个节点发电机发出的有功、无功功率微增率表达式为：

$\frac{\∂\mathrm{\Δ}{P}_L}{{\∂P}_{\mathrm{Gi}}}=\frac{\∂\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{Gi}}}=\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{Gi}}},i=\mathrm{1,2},...,N---\left(80\right)$

$\frac{\∂\mathrm{\Δ}{P}_L}{{\∂Q}_{\mathrm{Gi}}}=\frac{\∂\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gi}}}=\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gi}}},i=\mathrm{1,2},...,N---\left(81\right)$

同理推导可知，所有支路消耗的有功功率对各个节点负荷消耗的有功、无功功率的微增率矩阵为：

$\left[\begin{array}{ccc}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂P}_{L1}}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂P}_{L1}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂Q}_{L1}}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂Q}_{L1}}\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{LN}}}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{LN}}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{LN}}}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{LN}}}\end{array}\right]\text{=}{\left[\begin{array}{ccccc}\frac{{\∂P}_{L1}}{{\∂a}_1}& \frac{{\∂Q}_{L1}}{{\∂a}_1}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{LN}}}{{\∂a}_1}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{LN}}}{{\∂a}_1}\\ \frac{{\∂P}_{L1}}{{\∂b}_1}& \frac{{\∂Q}_{L1}}{{\∂b}_1}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{LN}}}{{\∂b}_1}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{LN}}}{{\∂b}_1}\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ .& .& & .& .\\ \frac{{\∂P}_{L1}}{{\∂a}_N}& \frac{{\∂Q}_{L1}}{{\∂a}_N}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{LN}}}{{\∂a}_N}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{LN}}}{{\∂a}_N}\\ \frac{{\∂P}_{L1}}{{\∂b}_N}& \frac{{\∂Q}_{L1}}{{\∂b}_N}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{LN}}}{{\∂b}_N}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{LN}}}{{\∂b}_N}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{ccc}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂a}_1}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂a}_1}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂b}_1}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂b}_1}\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ .& & .\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂a}_N}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂a}_N}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂b}_N}& ......& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂b}_N}\end{array}\right]---\left(82\right)$

因此可知，电网损耗对各个节点负荷消耗的有功、无功功率微增率表达式为：

$\frac{\∂\mathrm{\Δ}{P}_L}{{\∂P}_{\mathrm{Li}}}=\frac{\∂\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{Li}}}=\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{Li}}},i=\mathrm{1,2},...,N---\left(83\right)$

$\frac{\∂\mathrm{\Δ}{P}_L}{{\∂Q}_{\mathrm{Li}}}=\frac{\∂\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}{P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Li}}}=\underset{l=1}{\overset{b}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Li}}},i=\mathrm{1,2},...,N---\left(84\right)$

节点的注入功率的表达式为：

S_i＝P_i+jQ_i＝S_Gi-S_Li＝(P_Gi-P_Li)+j(Q_Gi-Q_Li) (85)

可将支路l消耗的有功、无功功率分别对于节点q处的注入电流实部、虚部偏导数表达为：

$\begin{array}{c}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_q}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_k}\frac{{\∂P}_k}{{\∂a}_q}+\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_k}{{\∂a}_q})\\ =\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_k}\frac{{\∂P}_{\mathrm{Gk}}}{{\∂a}_q}+\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_k}{{\∂a}_q})-\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_k}\frac{{\∂P}_{\mathrm{Lk}}}{{\∂a}_q}+\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_{\mathrm{Lk}}}{{\∂a}_q})\end{array}---\left(86\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_q}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_k}\frac{{\∂P}_k}{{\∂b}_q}+\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_k}{{\∂b}_q})\\ =\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_k}\frac{{\∂P}_{\mathrm{Gk}}}{{\∂b}_q}+\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_k}{{\∂b}_q})-\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_k}\frac{{\∂P}_{\mathrm{Lk}}}{{\∂b}_q}+\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_{\mathrm{Lk}}}{{\∂b}_q})\end{array}---\left(87\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂a}_q}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_k}\frac{{\∂P}_k}{{\∂a}_q}+\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_k}{{\∂a}_q})\\ =\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_k}\frac{{\∂P}_{\mathrm{Gk}}}{{\∂a}_q}+\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_k}{{\∂a}_q})-\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_k}\frac{{\∂P}_{\mathrm{Lk}}}{{\∂a}_q}+\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_{\mathrm{Lk}}}{{\∂a}_q})\end{array}---\left(88\right)$

$\begin{array}{c}\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂b}_q}=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_k}\frac{{\∂P}_k}{{\∂b}_q}+\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_k}{{\∂b}_q})\\ =\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_k}\frac{{\∂P}_{\mathrm{Gk}}}{{\∂b}_q}+\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_k}{{\∂b}_q})-\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂P}_k}\frac{{\∂P}_{\mathrm{Lk}}}{{\∂b}_q}+\frac{{\∂Q}_{\mathrm{ij}}^{\left(l\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{Gk}}}\frac{{\∂Q}_{\mathrm{Lk}}}{{\∂b}_q})\end{array}---\left(89\right)$

根据公式(86)-(89)可求得网损对各个节点发电机注入有功功率和无功功率的微增率、网损对各个节点负荷吸收的有功/无功功率的微增率。考虑到节点负荷吸收的功率可视为负的发电机注入功率，同一个节点处式(80)与(83)、(81)与(84)分别大小相等符号相反。因此，不论是发电机还是负荷，如果以功率注入节点为参考正方向，则网损对发电机和负荷功率的微增率可统一用式(80)和(81)来描述。

根据公式(75)可知，所有支路消耗的有功功率对各个电源节点有功、无功功率的微增率可以用线性方程组AX＝b表达。其中A系数矩阵是一个转置雅可比矩阵J_G ^T，它是状态变量对自变量一阶偏导数按照一定方式排列成的矩阵，是将非线性功率方程线性化，是对功率方程的最佳线性逼近。但是该转置雅可比矩阵J_G ^T是个奇异矩阵，对于该线性方程组求解可用广义逆矩阵理论进行求解，则线性方程组的求解表达式为X＝A⁺b，即公式(77)的求解表达式为：

$\left[\begin{array}{ccc}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂P}_{G1}}& \·\·\·\·\·\·& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂P}_{G1}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂Q}_{G1}}& \·\·\·\·\·\·& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂Q}_{G1}}\\ \·& & \·\\ \·& & \·\\ \·& & \·\\ \·& & \·\\ \·& & \·\\ \·& & \·\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}& \·\·\·\·\·\·& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}& \·\·\·\·\·\·& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccccc}\frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂a}_1}& \frac{{\∂Q}_{G1}}{{\∂a}_1}& \·\·\·\·\·\·& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_1}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_1}\\ \frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂b}_1}& \frac{{\∂Q}_{G1}}{{\∂b}_1}& \·\·\·\·\·\·& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_1}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_1}\\ \·& \·& & \·& \·\\ \·& \·& & \·& \·\\ \·& \·& & \·& \·\\ \·& \·& & \·& \·\\ \·& \·& & \·& \·\\ \·& \·& & \·& \·\\ \frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂a}_N}& \frac{{\∂Q}_{G1}}{{\∂a}_N}& \·\·\·\·\·\·& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_N}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂a}_N}\\ \frac{{\∂P}_{G1}}{{\∂b}_N}& \frac{{\∂Q}_{G1}}{{\∂b}_N}& \·\·\·\·\·\·& \frac{{\∂P}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_N}& \frac{{\∂Q}_{\mathrm{GN}}}{{\∂b}_N}\end{array}\right]}^{+}\left[\begin{array}{ccc}\frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂a}_1}& \·\·\·\·\·\·& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂a}_1}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂b}_1}& \·\·\·\·\·\·& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂b}_1}\\ \·& & \·\\ \·& & \·\\ \·& & \·\\ \·& & \·\\ \·& & \·\\ \·& & \·\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂a}_N}& \·\·\·\·\·\·& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂a}_N}\\ \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(1\right)}}{{\∂b}_N}& \·\·\·\·\·\·& \frac{{\∂P}_{\mathrm{ij}}^{\left(b\right)}}{{\∂b}_N}\end{array}\right]---\left(90\right)$

根据上式，对奇异型的新型转置雅可比矩阵J_G ^T进行M-P广义逆求解。求得J_G ^T的M-P广义逆后代入模型(80)和(81)，即可实现利用基于发电机诺顿等值的网损微增率新计算模型的求解，获取新型网损微增率。

从上述内容可知，本发明基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法从负荷功率等值为阻抗出发，构建新型电力系统等值网络，结合潮流计算新型转置雅可比矩阵，从而推导出可以反映网损对电力网络各个节点功率变量的微增率，有效减少计算误差。本发明无需引入平衡发电机假定来平衡节点功率和电网损耗的变化，比相对参考节点的网损微增率计算方法更严密，而且不可能出现对某个发电机或负荷的网损微增率恒为零现象，并且各节点的网损微增率结果不会出现多值现象，计算结果具有唯一性。

以上是对本发明的较佳实施进行了具体说明，但本发明创造并不限于所述实施例，熟悉本领域的技术人员在不违背本发明精神的前提下还可做作出种种的等同变形或替换，这些等同的变形或替换均包含在本申请权利要求所限定的范围内。

Claims (5)

1.基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

A、获取电力系统网络结构参数和初始运行数据；

B、根据电力系统网络结构参数和初始运行数据，将负荷功率等值成接地阻抗并计算；

C、形成新型节点导纳矩阵，并进而计算得到新型节点阻抗矩阵；

D、通过牛顿-拉夫逊法对电力系统进行潮流计算，直到迭代收敛，得出潮流计算结果；

E、计算支路功率对控制变量的偏导数矩阵和新型转置雅可比矩阵；

F、根据M-P广义逆矩阵和奇异值分解法，计算新型转置雅可比矩阵的逆矩阵；

G、根据新型转置雅可比矩阵的逆矩阵，分别计算每条支路线路损耗对节点发电机注入有功功率的微增率和无功功率的微增率；

H、将每条支路线路损耗对节点发电机注入有功功率的微增率和无功功率的微增率分别对应进行累加，得出系统网络损耗对节点发电机注入有功功率的微增率和无功功率的微增率；

所述步骤D包括：

D1、根据初始运行数据，对各个节点电压值的初值进行赋值，并设置循环迭代参数k为0；

D2、根据各个节点电压值，通过牛顿-拉夫逊法对电力系统进行潮流计算，得出节点电压的修正量；

D3、判断得出的节点电压的修正量的最大绝对值误差是否小于等于预设误差阈值，若是，则表示迭代收敛，执行步骤D6；反之，则表示迭代不收敛，执行步骤D4；

D4、根据得出的节点电压的修正量，计算各节点电压值的新值；

D5、将循环迭代参数k自加1，并返回执行步骤D2；

D6、计算各个节点的功率和每条线路的功率，得出潮流计算结果。

2.根据权利要求1所述的基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法，其特征在于，所述接地阻抗的计算公式为：

$Z_{Li}=\frac{|V_i{|}^2}{P_{Li}-{\mathrm{jQ}}_{Li}}$

其中，Z_Li表示节点i处负荷等效的接地阻抗，V_i表示节点i处的节点电压，P_Li表示节点i的负荷消耗的有功功率，Q_Li表示节点i的负荷消耗的无功功率。

3.根据权利要求1所述的基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法，其特征在于，所述形成新型节点导纳矩阵中，仅改变自导纳的值，则新型节点导纳矩阵中的自导纳为：

$Y_{ii}=G_{ii}+{\mathrm{jB}}_{ii}+\frac{(P_{Li}-{\mathrm{jQ}}_{Li})}{|V_i{|}^2}$

其中，G_ii和B_ii分别表示为传统节点导纳矩阵中自导纳的实部和虚部，V_i表示节点i处的节点电压，P_Li表示节点i的负荷消耗的有功功率，Q_Li表示节点i的负荷消耗的无功功率。

4.根据权利要求1所述的基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法，其特征在于，所述支路功率对控制变量的偏导数矩阵，其具体计算公式为：

设支路l消耗的有功功率、无功功率分别对节点q处电源注入电流实部和虚部进行求偏导，

$\frac{\∂P_{ij}^{\left(l\right)}}{\∂a_q}=\frac{2r_{ij}^{\left(l\right)}\[e_{ij}^{\left(l\right)}(R_{iq}-R_{jq})+f_{ij}^{\left(l\right)}(X_{iq}-X_{jq})\]}{(r_{ij}^{\left(l\right)2}+x_{ij}^{\left(l\right)2})};$

$\frac{\∂P_{ij}^{\left(l\right)}}{\∂b_q}=\frac{2r_{ij}^{\left(l\right)}\[e_{ij}^{\left(l\right)}(X_{jq}-X_{iq})+f_{ij}^{\left(l\right)}(R_{iq}-R_{jq})\]}{(r_{ij}^{\left(l\right)2}+x_{ij}^{\left(l\right)2})};$

$\frac{\∂Q_{ij}^{\left(l\right)}}{\∂a_q}=\frac{2x_{ij}^{\left(l\right)}\[e_{ij}^{\left(l\right)}(R_{iq}-R_{jq})+f_{ij}^{\left(l\right)}(X_{iq}-X_{jq})\]}{(r_{ij}^{\left(l\right)2}+x_{ij}^{\left(l\right)2})};$

$\frac{\∂Q_{ij}^{\left(l\right)}}{\∂b_q}=\frac{2x_{ij}^{\left(l\right)}\[e_{ij}^{\left(l\right)}(X_{jq}-X_{iq})+f_{ij}^{\left(l\right)}(R_{iq}-R_{jq})\]}{(r_{ij}^{\left(l\right)2}+x_{ij}^{\left(l\right)2})};$

其中，表示支路l消耗的有功功率，表示支路l消耗的无功功率，a_q和b_q分别表示节点q处电源注入电流的实部和虚部，和分别表示支路l负荷等效的接地阻抗的实部和虚部，和分别表示支路l电压差的实部和虚部，R_iq和X_iq分别表示新型节点阻抗矩阵中i行q列元素的实部和虚部。

5.根据权利要求1所述的基于发电机诺顿等值和广义逆的网损微增率计算方法，其特征在于，系统网络损耗对节点发电机注入有功功率的微增率和无功功率的微增率的计算公式为：

$\frac{\∂{\mathrm{\ΔP}}_L}{\∂P_{Gi}}=\underset{l=1}{\overset{b}{\Σ}}\frac{\∂P_{ij}^{\left(l\right)}}{\∂P_{Gi}},i=1,2,...,N;$

$\frac{\∂{\mathrm{\ΔP}}_L}{\∂Q_{Gi}}=\underset{l=1}{\overset{b}{\Σ}}\frac{\∂P_{ij}^{\left(l\right)}}{\∂Q_{Gi}},i=1,2,...,N;$

其中，表示系统网络损耗对节点发电机注入有功功率的微增率，表示系统网络损耗对节点发电机注入无功功率的微增率，表示支路l线路损耗功率，P_Gi表示节点i的电源注入有功功率，Q_Gi表示节点i的电源注入无功功率。