CN104578776A - 基于描述函数法的dc-dc变换器稳定性分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法，包括以下步骤：对PWM型DC-DC变换器进行线性建模以获得线性模型、第一传递函数和第二传递函数；采用描述函数法对PWM型DC-DC变换器中的非线性环节进行非线性建模以获得第一描述函数；将第二传递函数替代为第一描述函数以获得非线性模型；根据第一传递函数、第一描述函数和非线性模型分析PWM型DC-DC变换器的稳定性。该PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法能够准确分析出PWM型DC-DC变换器的临界稳定状态，比传统线性分析方法得到的结果更加精确，从而能够分析出PWM型DC-DC变换器出现的低频振荡现象，分析精度高。

Description

基于描述函数法的DC-DC变换器稳定性分析方法

技术领域

本发明涉及PWM(Pulse Width Modulation，脉宽调制)型DC-DC变换器技术领域，特别涉及一种基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法。

背景技术

在如今的工程实践中，对于PWM型DC-DC变换器的分析建模主要采用传统的线性分析理论，如状态空间平均法等，但是由于PWM型DC-DC变换器中存在的开关变换环节使其具有强非线性的特点，因此，在PWM型DC-DC变换器系统从稳定到不稳定的过渡区中，传统的奈奎斯特稳定性分析方法所得到的结论与实际不相符，导致线性控制策略有时并不能很好地满足系统的性能指标。

例如，目前，对一些简单的开关变换有直接解微分方程的解析法、相平面法、开关信号流法等。其中，解析法是对状态空间平均方程直接进行求解，适用于二阶系统，对高阶系统的求解很复杂；相平面法是一种图解分析方法，将一阶和二阶系统的动态过程转化为表征变量和其变化速率平面上的相轨迹，仅适用于二阶系统；开关信号流图法是一种图形非线性建模方法，将开关过程等效为两条线性支路进行建模，需要借助于专用图形计算机仿真软件进行分析。上述三种方法在分析和建模过程中忽略了开关过程的强非线性，而且不能分析状态变量的纹波，也不能用于谐振类变换器的分析，具有一定的局限性。

发明内容

本发明的目的旨在至少解决上述的技术缺陷之一。

为此，本发明的目的在于提出了基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法，通过描述函数法对非线性的PWM开关环节进行建模进而分析系统的稳定性，分析结果更加精确。

为达到上述目的，本发明实施例提出的一种基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法，包括以下步骤：对PWM型DC-DC变换器进行线性建模以获得线性模型，其中，所述线性模型包括第一传递函数和第二传递函数，所述第一传递函数为所述PWM型DC-DC变换器中所有线性环节的传递函数，所述第二传递函数为所述PWM型DC-DC变换器中非线性环节线性化后的传递函数；采用描述函数法对PWM型DC-DC变换器中的非线性环节进行基于描述函数法的非线性建模以获得第一描述函数；将所述第二传递函数替代为所述第一描述函数以获得所述PWM型DC-DC变换器对应的非线性模型；以及根据第一传递函数、第一描述函数和所述非线性模型分析PWM型DC-DC变换器的稳定性。

根据本发明实施例的基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法，通过对PWM型DC-DC变换器进行线性建模以获得线性模型，其中，线性模型包括第一传递函数和第二传递函数，然后采用描述函数法对PWM型DC-DC变换器中的非线性环节进行基于描述函数法的非线性建模以获得第一描述函数，并将第二传递函数替代为第一描述函数以获得非线性模型，最后根据第一传递函数、第一描述函数和非线性模型分析PWM型DC-DC变换器的稳定性。因此，在对PWM型DC-DC变换器的稳定性分析的过程中，描述函数法仅针对PWM型DC-DC变换器系统中的非线性环节进行建模，可以很好地和系统中线性部分的模型相连，分析过程也比较容易，可用于任意阶次的系统，并且能够准确判断出PWM型DC-DC变换器系统的临界稳定状态，比传统线性分析得到的结果更加精确，从而能够判断出PWM型DC-DC变换器出现的低频振荡现象，判断精度高。

根据本发明的一个实施例，所述第一描述函数根据以下公式表达：

$N\left(A\right)=\frac{{2V}_d}{V_m}+\frac{4V_d}{\mathrm{\πA}}\underset{m=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{m}{J}_{\mathrm{km}-1}\left(\mathrm{m\π}\frac{A}{V_m}\right)\sin \left(\right[(k+1)m-1\left]\frac{\mathrm{\π}}{2}\right)$

其中，V_m为三角载波的电压幅值，V_d为非线性环节输出波形的幅值，A为输入正弦信号的幅值，为第一类贝塞尔函数，km-1为阶数，为自变量，m为正整数，k为比例系数。

根据本发明的一个实施例，根据所述第一传递函数、所述第一描述函数和所述非线性模型分析所述PWM型DC-DC变换器的稳定性，具体包括：根据所述第一传递函数、所述第一描述函数和所述非线性模型获得闭环传递函数；以及根据所述闭环传递函数的极点分析所述PWM型DC-DC变换器的稳定性。

根据本发明的一个实施例，根据所述闭环传递函数的极点分析所述PWM型DC-DC变换器的稳定性，具体包括：根据所述第一传递函数绘制第一曲线；根据所述第一描述函数的负倒表达式绘制第二曲线；通过所述第一曲线与所述第二曲线的关系对所述PWM型DC-DC变换器的稳定性进行分析。

根据本发明的一个实施例，通过所述第一曲线与所述第二曲线的关系对所述PWM型DC-DC变换器的稳定性进行分析，具体包括：当所述第一曲线不包围所述第二曲线时，所述PWM型DC-DC变换器处于稳定状态；当所述第一曲线与所述第二曲线相交时，所述PWM型DC-DC变换器处于临界稳定状态；当所述第一曲线包围所述第二曲线时，所述PWM型DC-DC变换器处于不稳定状态。

根据本发明的一个实施例，所述第一曲线为奈奎斯特曲线。

根据本发明的一个实施例，所述第一传递函数根据以下公式表达：

$G\left(s\right)=\left(\frac{V_g}{D^{\′2}}\right)\frac{1-\frac{\mathrm{sL}}{D^{\′2}R}}{1+s\frac{L}{D^{\′2}R}+s^2\frac{\mathrm{LC}}{D^{\′2}}}\frac{K_p(1+T_{i}s)}{T_{i}s}$

其中，V_g为电压源的稳态直流分量，D'为占空比，L为电感值，R为电阻值，C为电容值，K_p为PI调节器的比例系数，T_i为时间常数，s为拉普拉斯变量。

根据本发明的一个实施例，所述闭环传递函数根据以下公式表达：

$\frac{{\hat{v}}_o\left(\mathrm{j\ω}\right)}{{\hat{v}}_{\mathrm{ref}}\left(\mathrm{j\ω}\right)}=\frac{N\left(A\right)G\left(\mathrm{j\ω}\right)}{1+N\left(A\right)G\left(\mathrm{j\ω}\right)}$

其中，为PWM型DC-DC变换器的输入信号，为PWM型DC-DC变换器的输出信号，G(jω)为所述第一传递函数，N(A)为所述第一描述函数。

本发明附加的方面和优点将在下面的描述中部分给出，部分将从下面的描述中变得明显，或通过本发明的实践了解到。

附图说明

本发明上述的和/或附加的方面和优点从下面结合附图对实施例的描述中将变得明显和容易理解，其中：

图1为根据本发明实施例的基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法的流程图；

图2为根据本发明一个实施例的BOOST变换器的闭环电路图；

图3为根据本发明一个实施例的BOOST变换器的系统结构框图；

图4为根据本发明一个实施例的BOOST变换器的线性模型结构图；

图5为输入正弦信号时的一般分段非线性系统的响应图；

图6为根据本发明一个实施例的非线性PWM开关环节的响应图；

图7为根据本发明一个实施例的BOOST变换器的非线性模型结构图；

图8为根据本发明一个实施例的BOOST变换器处于稳定状态的波形图；

图9为根据本发明一个实施例的BOOST变换器处于临界稳定状态的波形图；

图10为根据本发明一个实施例的BOOST变换器处于不稳定状态的波形图；

图11为根据本发明一个实施例的BOOST变换器在第一组PI参数下的曲线图；

图12为根据本发明一个实施例的BOOST变换器在第一组PI参数下输出电压的仿真波形图；

图13为根据本发明一个实施例的BOOST变换器在第一组PI参数下输出电压的实验波形图；

图14为根据本发明一个实施例的BOOST变换器在第二组PI参数下的曲线图；

图15为根据本发明一个实施例的BOOST变换器在第二组PI参数下曲线交点的局部放大图；

图16为根据本发明一个实施例的BOOST变换器在第二组PI参数下输出电压的仿真波形图；

图17为根据本发明一个实施例的BOOST变换器在第二组PI参数下输出电压的实验波形图；

图18为根据本发明一个实施例的BOOST变换器在第三组PI参数下的曲线图；

图19为根据本发明一个实施例的BOOST变换器在第三组PI参数下输出电压的仿真波形图；

图20为根据本发明一个实施例的BOOST变换器在第四组PI参数下的曲线图；

图21为根据本发明一个实施例的BOOST变换器在第四组PI参数下输出电压的仿真波形图；以及

图22为根据本发明一个实施例的BOOST变换器在第四组PI参数下输出电压的实验波形图。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出，其中自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，仅用于解释本发明，而不能解释为对本发明的限制。

下文的公开提供了许多不同的实施例或例子用来实现本发明的不同结构。为了简化本发明的公开，下文中对特定例子的部件和设置进行描述。当然，它们仅仅为示例，并且目的不在于限制本发明。此外，本发明可以在不同例子中重复参考数字和/或字母。这种重复是为了简化和清楚的目的，其本身不指示所讨论各种实施例和/或设置之间的关系。此外，本发明提供了的各种特定的工艺和材料的例子，但是本领域普通技术人员可以意识到其他工艺的可应用于性和/或其他材料的使用。另外，以下描述的第一特征在第二特征之“上”的结构可以包括第一和第二特征形成为直接接触的实施例，也可以包括另外的特征形成在第一和第二特征之间的实施例，这样第一和第二特征可能不是直接接触。

在本发明的描述中，需要说明的是，除非另有规定和限定，术语“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，例如，可以是机械连接或电连接，也可以是两个元件内部的连通，可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语的具体含义。

下面参照附图来描述本发明实施例提出的基于描述函数法的DC-DC变换器稳定性分析方法。

图1为根据本发明实施例的基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法的流程图。如图1所示，该稳定性分析方法包括以下步骤：

S1，对PWM型DC-DC变换器进行线性建模以获得线性模型，其中，线性模型包括第一传递函数和第二传递函数，第一传递函数为PWM型DC-DC变换器中所有线性环节的传递函数，第二传递函数为PWM型DC-DC变换器中非线性环节(开关环节)线性化后的传递函数。

在本发明的实施例中，PWM型DC-DC变换器可以为BOOST变换器，也可以为BUCK变换器、BUCK-BOOST变换器等，这里以BOOST变换器为例对本发明进行详细说明。

根据本发明的一个示例，PWM型DC-DC变换器的线性模型可以采用小信号建模法获得。

根据本发明的一个实施例，第一传递函数以下述公式(1)进行表示：

$G\left(s\right)=\left(\frac{V_g}{D^{\′2}}\right)\frac{1-\frac{\mathrm{sL}}{D^{\′2}R}}{1+s\frac{L}{D^{\′2}R}+s^2\frac{\mathrm{LC}}{D^{\′2}}}\frac{K_p(1+T_{i}s)}{T_{i}s}---\left(1\right)$

其中，V_g为电压源的稳态直流分量，D'为占空比，L为电感值，R为电阻值，C为电容值，K_p为PI(Proportional Integral，比例积分)调节器的比例系数，T_i为时间常数，s为拉普拉斯变量。

具体地，图2为根据本发明一个实施例的BOOST变换器的闭环电路图。如图2所示，BOOST变换器的反馈环节采用电压控制环路设计，输出的实际电压与给定电压经差分后通过PI调节器和PWM控制器对开关器件MOSFET(Metal-Oxide-Semiconductor Field-Effect Transistor，金属氧化物半导体场效晶体管)进行控制。

采用小信号建模法对图2所示的BOOST变换器的闭环电路建立线性模型，以获得如图3所示的BOOST变换器的系统结构框图。其中，为参考电压的小信号分量，为电压偏差的小信号分量，为经PI调节后的电压的小信号分量，为控制变量的小信号分量，为输出电压的小信号分量，G_c(s)为PI调节器的传递函数，G_m(s)为PWM控制器的传递函数，G_vd(s)为输出电压的小信号分量对控制变量的小信号分量的传递函数，H(s)为反馈通路的传递函数。

其中，PI调节器的传递函数G_c(s)以下述公式(2)进行表示：

$G_c\left(s\right)=\frac{K_p(1+T_{i}s)}{T_{i}s}---\left(2\right)$

PWM控制器的传递函数G_m(s)以下述公式(3)进行表示：

$G_m\left(s\right)=\frac{1}{V_m}---\left(3\right)$

其中，V_m为三角载波的电压幅值。

输出电压的小信号分量对控制变量的小信号分量的传递函数G_vd(s)以下述公式(4)进行表示：

$G_{\mathrm{vd}}\left(s\right)=\frac{\hat{v}\left(s\right)}{\hat{d}\left(s\right)}{|}_{{\hat{v}}_g\left(s\right)=0}=\left(\frac{V_g}{D^{\′2}}\right)\frac{1-\frac{\mathrm{sL}}{D^{\′2}R}}{1+s\frac{L}{D^{\′2}R}+s^2\frac{\mathrm{LC}}{D^{\′2}}}---\left(4\right)$

其中，为电压源的小信号分量。

然后对图3所示的BOOST变换器的系统结构框图进行适当简化，其中，BOOST变换器中的非线性环节即开关环节的传递函数用K表示，BOOST变换器中的所有线性环节的传递函数用G(s)表示，并令反馈通路的传递函数H(s)＝1，则得到如图4所示的BOOST变换器的线性模型结构。由于在线性建模中，非线性环节采用的是平均化处理方式，则非线性环节经线性化后的传递函数K即第二传递函数以下述公式(5)进行表示：

$K=G_m\left(s\right)=\frac{1}{V_m}---\left(5\right)$

线性环节的传递函数G(s)以下述公式(6)进行表示：

$G\left(s\right)=G_{\mathrm{vd}}\left(s\right)G_c\left(s\right)=\left(\frac{V_g}{D^{\′2}}\right)\frac{1-\frac{\mathrm{sL}}{D^{\′2}R}}{1+s\frac{L}{D^{\′2}R}+s^2\frac{\mathrm{LC}}{D^{\′2}}}\frac{K_p(1+Ts)}{Ts}---\left(6\right)$

因此，通过上述方法得到如图4所示的BOOST变换器的线性模型以及上述公式(6)表示的第一传递函数和上述公式(5)表示的第二传递函数。

S2，采用描述函数法对PWM型DC-DC变换器中的非线性环节进行基于描述函数法的非线性建模以获得第一描述函数。

根据本发明的一个实施例，第一描述函数以下公式(7)进行表示：

$N\left(A\right)=\frac{{2V}_d}{V_m}+\frac{4V_d}{\mathrm{\πA}}\underset{m=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{m}{J}_{\mathrm{km}-1}\left(\mathrm{m\π}\frac{A}{V_m}\right)\sin \left(\right[(k+1)m-1\left]\frac{\mathrm{\π}}{2}\right)---\left(7\right)$

其中，V_d为非线性环节输出波形的幅值，A为输入正弦信号的幅值，为第一类贝塞尔函数，km-1为阶数，为自变量，m为正整数，k为比例系数。

具体地，描述函数法又称为谐波线性化法，是一种分析非线性系统的近似方法。其基本思想是：在系统满足一定的条件下，系统中的非线性环节在正弦信号的作用下输出的波形可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性特性的近似等效频率特性，即描述函数。

进一步地，设非线性环节的输入为x，输出为y，则y可以表示为一个关于x的函数，即y＝f(x)表示非线性系统的输入输出特性。

图5为输入正弦信号时的一般分段非线性系统的响应图。如图5所示，当输入正弦信号Asinωt时，对非线性环节的稳态输出进行谐波分析，将其展开为傅里叶级数，以下述公式(8)进行表示：

其中，y(t)为非线性环节稳态输出的傅里叶级数，A₀为稳态输出的基波分量，A_n、B_n为傅里叶的系数，并且 ω为频率，t为时间，为相位，n为正整数。

当n＞1时，Y₂～Y_n均很小，且当稳态输出的基波分量A₀＝0，则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波分量，则非线性环节的稳态输出以下述公式(9)进行表示：

其中，A₁、B₁为一次谐波分量的系数，Y₁为一次谐波分量的幅值，并且 为一次谐波分量的相位。

因此，对描述函数的定义为：在正弦输入信号的作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比为该非线性环节的描述函数，以下述公式(10)进行表示：

其中，N(A)为非线性环节的描述函数，|N(A)|为非线性环节的幅值。

进一步地，根据本发明的一个实施例，如图6所示，假设BOOST变换器的非线性环节的输入信号为正弦信号v_in＝Acosq，载波信号为三角波信号V_tri，所产生的PWM波形为幅值为±V_d的方波，将其展开为傅里叶级数，以下述公式(11)进行表示：

$v_p\left(t\right)=\frac{a_0}{2}+\underset{m=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}(a_m\cos \mathrm{mp}+b_m\sin \mathrm{mp})---\left(11\right)$

其中v_p(t)为输出方波的傅里叶级数，为输出方波的基本分量，a_m、b_m为傅里叶的系数，并且p＝w_ct，q＝w₀t，w_c为三角载波V_tri的频率，w₀为输入正弦信号v_in的频率即调制波频率。

上述公式(11)经计算可得下述公式(12)：

$v_p\left(t\right)=\frac{2V_{d}A\cos q}{V_m}+\frac{{4V}_d}{\mathrm{\π}}{\underset{m=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}}_{\sin m\frac{\mathrm{\π}}{2}\cos \mathrm{mp}}^{\frac{1}{m}{J}_0\left(\mathrm{m\π}\frac{A}{V_m}\right)}+\frac{{4V}_d}{\mathrm{\π}}\underset{m=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\underset{n=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}}_{\left[\begin{array}{c}\cos (\mathrm{mp}+\mathrm{nq})\\ +\cos (\mathrm{mp}-\mathrm{nq})\end{array}\right]}^{\frac{1}{m}{J}_n\left(\mathrm{m\π}\frac{A}{V_m}\right)\sin \left(\right[m+n\left]\frac{\mathrm{\π}}{2}\right)}---\left(12\right)$

设p以下述公式(13)进行表示：

$p=\frac{w_{c}q}{w_0}=\mathrm{kq}---\left(13\right)$

由于载波频率远大于调制波频率即w_c＞＞w₀，为了得到基波分量，令cos(mp-nq)＝cos(km-n)q＝cosq，即km-n＝1，并且忽略其它项的高次谐波分量。代入上述公式(12)后，并将其和输入信号Acosp作比较，即可得非线性环节的描述函数，以下述公式(14)进行表示：

$N\left(A\right)=\frac{v_p\left(t\right)}{v_{\mathrm{in}}}=\frac{{2V}_d}{V_m}+\frac{4V_d}{\mathrm{\πA}}\underset{m=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{m}{J}_{\mathrm{km}-1}\left(\mathrm{m\π}\frac{A}{V_m}\right)\sin \left(\right[(k+1)m-1\left]\frac{\mathrm{\π}}{2}\right)---\left(14\right)$

其中，v_in为非线性环节输入的正弦信号。

然后将m的值带入上述公式(14)并求和，便可得到非线性环节的描述函数。

在实际计算中，当m的取值上限足够大时，则上述公式(14)中的乘数的值趋于极限，可以近似为恒定值。例如，设m为1～600，V_d为0.5V，带入上述公式(14)，经计算非线性环节的描述函数以下述公式(15)进行表示：

$N\left(A\right)=\frac{v_p\left(t\right)}{v_{\mathrm{in}}}=\frac{1}{V_m}+\frac{2}{\mathrm{\πA}}\underset{m=1}{\overset{600}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{m}{J}_{\mathrm{km}-1}\left(\mathrm{m\π}\frac{A}{V_m}\right)\sin \left(\right[(k+1)m-1\left]\frac{\mathrm{\π}}{2}\right),A\≥0---\left(15\right)$

因此，通过上述步骤获得了如上述公式(15)所示的BOOST变换器的非线性环节的第一描述函数。

S3，将第二传递函数替代为第一描述函数以获得PWM型DC-DC变换器对应的非线性模型。

具体地，创建BOOST变换器的非线性模型与创建BOOST变换器的线性模型的过程类似。

首先采用小信号建模法对图2所示的BOOST变换器的闭环电路建立线性模型，以获得如图3所示的BOOST变换器的系统结构框图，其中，PI调节器的传递函数G_c(s)如上述公式(2)所示，PWM控制器的传递函数G_m(s)如上述公式(3)所示，输出电压的小信号分量对控制变量的小信号分量的传递函数G_vd(s)如上述公式(4)所示。

然后对图3所示的BOOST变换器的系统结构框图进行适当简化，其中，BOOST变换器中的非线性环节即开关环节的传递函数用K表示，BOOST变换器中的所有线性环节的传递函数用G(s)表示，并令反馈通路的传递函数H(s)＝1，则得到如图4所示的BOOST变换器的线性模型结构。其中，非线性环节的传递函数K如上述公式(5)所示，线性环节的传递函数G(s)如上述公式(6)所示。

最后将图4中的非线性环节的传递函数K用第一描述函数N(A)替换，并令s＝jω以得到图7所示的BOOST变换器的非线性模型结构图。如图7所示，BOOST变换器的线性模型与非线性模型基本是相同的，区别在于BOOST变换器的线性模型中的非线性环节通过线性法建模，如图4所示的K环节，而BOOST变换器的非线性模型中的非线性环节是通过描述函数法获得，如图7所示的N(A)环节。

因此，在本发明的实施例中，可以通过将第二传递函数替代为第一描述函数来获得如图7所示的BOOST变换器对应的非线性模型。

S4，根据第一传递函数、第一描述函数和非线性模型分析DC-DC变换器的稳定性。

根据本发明的一个实施例，根据第一传递函数、第一描述函数和非线性模型分析PWM型DC-DC变换器的稳定性，具体包括：根据第一传递函数、第一描述函数和非线性模型获得闭环传递函数；以及根据闭环传递函数的极点分析PWM型DC-DC变换器的稳定性。

其中，根据本发明的一个实施例，闭环传递函数以下公式(16)进行表示：

$\frac{{\hat{v}}_o\left(\mathrm{j\ω}\right)}{{\hat{v}}_{\mathrm{ref}}\left(\mathrm{j\ω}\right)}=\frac{N\left(A\right)G\left(\mathrm{j\ω}\right)}{1+N\left(A\right)G\left(\mathrm{j\ω}\right)}---\left(16\right)$

其中，为PWM型DC-DC变换器的输入信号，为PWM型DC-DC变换器的输出信号，G(jω)为第一传递函数，N(A)为第一描述函数。

具体地，由图7可知，BOOST变换器的非线性模型的闭环传递函数如上述公式(16)所示，并且上述公式(16)所示的闭环传递函数的特征方程以下述公式(17)进行表示：

1+N(A)G(jω)＝0   (17)

则闭环传递函数的极点以下述公式(18)进行表示：

$G\left(\mathrm{j\ω}\right)=-\frac{1}{N\left(A\right)}---\left(18\right)$

其中，即为第一描述函数的负倒表达式。

根据本发明的一个实施例，根据闭环传递函数的极点分析PWM型DC-DC变换器的稳定性，具体包括：根据第一传递函数绘制第一曲线；根据第一描述函数的负倒表达式绘制第二曲线；通过第一曲线与第二曲线的关系对PWM型DC-DC变换器的稳定性进行分析。

并且，通过第一曲线与第二曲线的关系对PWM型DC-DC变换器的稳定性进行分析，具体包括：当第一曲线不包围第二曲线时，PWM型DC-DC变换器处于稳定状态；当第一曲线与第二曲线相交时，PWM型DC-DC变换器处于临界稳定状态；当第一曲线包围第二曲线时，PWM型DC-DC变换器处于不稳定状态。

其中，第一曲线为奈奎斯特曲线，并且第一曲线与第二曲线均在复平面上进行绘制。

具体地，令s＝jω，带入上述公式(6)所示的BOOST变换器的第一传递函数，以下述公式(19)进行表示：

$G\left(\mathrm{j\ω}\right)=\left(\frac{V_g}{D^{\′2}}\right)\frac{1-\frac{\mathrm{j\ωL}}{D^{\′2}R}}{1+\mathrm{j\ω}\frac{L}{D^{\′2}R}+{\left(\mathrm{j\ω}\right)}^2\frac{\mathrm{LC}}{D^{\′2}}}\frac{K_p(1+{\mathrm{j\ωT}}_i)}{\mathrm{j\ω}{T}_i}---\left(19\right)$

如图8、图9、图10所示，在复平面上绘制第一曲线1，即上述公式(19)所示的第一传递函数G(jω)的奈奎斯特曲线，并绘制第二曲线2，即曲线。然后通过判断第一曲线1和第二曲线2的位置关系来判定BOOST变换器的稳定性。

如图8所示，第一曲线1不包围第二曲线2，则BOOST变换器处于稳定状态；如图9所示，第一曲线1与第二曲线2相交，则BOOST变换器处于临界稳定状态；如图10所示，第一曲线1包围第二曲线2，则BOOST变换器处于不稳定状态。

对于传统的奈奎斯特稳定性分析方法，由图4可知，BOOST变换器的线性模型的闭环传递函数以下述公式(20)进行表示：

$\frac{{\hat{v}}_o\left(\mathrm{j\ω}\right)}{{\hat{v}}_{\mathrm{ref}}\left(\mathrm{j\ω}\right)}=\frac{\mathrm{KG}\left(\mathrm{j\ω}\right)}{1+\mathrm{KG}\left(\mathrm{j\ω}\right)}---\left(20\right)$

其特征方程以下述公式(21)进行表示：

1+KG(jω)＝0   (21)

则BOOST变换器的线性模型的闭环传递函数的极点以下述公式(22)进行表示：

$G\left(\mathrm{j\ω}\right)=-\frac{1}{K}+j0---\left(22\right)$

因此，传统的奈奎斯特稳定性分析方法通过绘制G(jω)的奈奎斯特曲线，并判断其与点的位置关系来分析PWM型DC-DC变换器的稳定性。

由上述公式(22)可知，在传统的奈奎斯特稳定性分析方法中，仅通过一个分界点来分析PWM型DC-DC变换器的临界稳定状态，而在基于描述函数法的稳定性分析方法中，临界稳定状态为一个区间。

下面通过仿真实验对传统的奈奎斯特稳定性分析方法和基于描述函数法的稳定性分析方法的分析结果进行验证。首先用MATLAB来绘制第一传递函数G(jω)的奈奎斯特曲线，并通过PSIM(Power Simulation，电力仿真)软件来仿真BOOST变换器，最后用实验进行验证。仿真参数如下表1所示：

表1

输入电压(V)	输出电压(V)	开关频率(Hz)	电容(uF)
				10	20	100k	330
电感(mH)	负载电阻(Ω)	PWM波幅(V)	采样比例
				0.5	6	1	1

在该仿真参数下，通过判断第一传递函数G(jω)的奈奎斯特曲线与(-1，j0)点和曲线的关系来分析BOOST变换器的稳定性。

为了对比传统的奈奎斯特稳定性分析方法和基于描述函数法的稳定性分析方法的分析结果，在连续修改PI调节器的PI参数时，观察第一传递函数G(jω)的奈奎斯特曲线的变化，使第一传递函数G(jω)的奈奎斯特曲线和实轴的交点沿着负方向逐渐移动，使得BOOST变换器由稳定状态到不稳定状态变化，最终得到如下表2所示的分析结果。

表2

其中，第一组PI参数为：K_p＝0.001，T_i＝0.0004，在此参数下绘制第一传递函数G(jω)的奈奎斯特曲线和曲线，如图11所示，曲线位于实轴上，大约在-0.967至-1.338之间，第一传递函数G(jω)的奈奎斯特曲线没有包围(-1，j0)点和曲线，则根据传统的奈奎斯特稳定性分析方法和基于描述函数法的稳定性分析方法可知，BOOST变换器处于稳定状态，并且分析结果由图12所示的BOOST变换器在第一组PI参数下输出电压的仿真波形和图13所示的BOOST变换器在第一组PI参数下输出电压的实验波形图得以证实。

第二组PI参数为：K_p＝0.00425，T_i＝0.0004，此参数下绘制第一传递函数G(jω)的奈奎斯特曲线和曲线，如图14、图15所示，第一传递函数G(jω)的奈奎斯特曲线没有包围(-1，j0)点，但是和曲线相交，根据传统的奈奎斯特稳定性分析方法可知，BOOST变换器处于稳定状态，而根据基于描述函数法的稳定性分析方法可知，BOOST变换器处于临界稳定状态。通过对BOOST变换器进行仿真，如图16所示，图中右下角为稳定后的输出电压的放大波形，此时输出电压有低频振荡现象，电压波形稳定，此现象由图17所示的BOOST变换器在第二组PI参数下的输出电压的实验波形得以证实。

第三组PI参数为：K_p＝0.005，T_i＝0.0004，在此参数下绘制第一传递函数G(jω)的奈奎斯特曲线和曲线，如图18所示，此时第一传递函数G(jω)的奈奎斯特曲线包围了(-1，j0)点，但是和曲线相交，根据传统的奈奎斯特稳定性分析方法可知，BOOST变换器处于稳定状态，而根据基于描述函数法的稳定性分析方法可知，BOOST变换器处于临界稳定状态。通过对BOOST变换器进行仿真，如图19所示，此时输出电压仍然表现为低频振荡现象，电压波形也仍然稳定。

第四组PI参数为：K_p＝0.0055，T_i＝0.0004，在此参数下绘制第一传递函数G(jω)的奈奎斯特曲线和曲线，如图20所示，第一传递函数G(jω)的奈奎斯特曲线同时包围了(-1，j0)点和曲线，根据传统的奈奎斯特稳定性分析方法和基于描述函数法的稳定性分析方法可知，BOOST变换器处于不稳定状态。并且，分析结果由图21所示的BOOST变换器在第四组PI参数下的输出电压的仿真波形和图22所示的BOOST变换器在第四组PI参数下的输出电压的实验波形得以证实。

通过上述分析可知：第一、四组PI参数下，用传统的奈奎斯特稳定性分析方法和基于描述函数法的稳定性分析方法得到了相同的结果，仿真结果也验证了分析结果的正确性。在第二、三组PI参数下，由传统的奈奎斯特稳定性分析方法分析得到BOOST变换器分别处于稳定和不稳定状态，而通过基于描述函数法的稳定性分析方法得到BOOST变换器均处于临界稳定状态，从仿真和实验波形中可以看到，此时BOOST变换器的输出电压出现了低频振荡现象，但是并没有发散，证实了基于描述函数法的稳定性分析方法的分析结果是正确的。第二、三组参数设置在BOOST变换器由稳定到不稳定的过渡区间内，基于描述函数法的稳定性分析方法可以确定这段过渡区，而传统的奈奎斯特稳定性分析方法无法确定该过渡区间。

通过进一步研究BOOST变换器的临界稳定状态特性，确定了两种分析方法与第一传递函数G(s)的奈奎斯特曲线在实轴上交点的区间范围，并和仿真电路确定的临界稳定状态区间作比较，如下所示：

1，由仿真电路波形判断电路工作于临界稳定状态，G(s)在实轴上交点的区间范围为[-1.255,-0.953]。

2，传统的奈奎斯特稳定性分析方法判断电路工作于临界稳定状态，G(s)在实轴上交点的区间范围为[-1]。

3，基于描述函数法的稳定性分析方法判断电路工作于临界稳定状态，G(s)在实轴上交点的区间范围为[-1.338,-0.967]。

可以看出传统的奈奎斯特稳定性分析方法分析仅能通过一个分界点来分析BOOST变换器的临界稳定状态，而基于描述函数法的稳定性分析方法分析的临界稳定状态区间和仿真结果比较接近，相当于将传统的奈奎斯特稳定性分析方法中的稳定性的分界点扩展为一条线段，从而可以确定BOOST变换器由稳定状态到不稳定状态的过渡区，因此可以说基于描述函数法的稳定性分析方法可以得到比传统的线性分析更为精确的分析结果。

综上所述，根据本发明实施例的基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法，通过对PWM型DC-DC变换器进行线性建模以获得线性模型，其中，线性模型包括第一传递函数和第二传递函数，然后采用描述函数法对PWM型DC-DC变换器中的非线性环节进行非线性建模以获得第一描述函数，并将第二传递函数替代为第一描述函数以获得非线性模型，最后根据第一传递函数、第一描述函数和非线性模型分析PWM型DC-DC变换器的稳定性。因此，在对PWM型DC-DC变换器的稳定性分析的过程中，描述函数法仅针对PWM型DC-DC变换器系统中的非线性环节进行建模，可以很好地和系统中线性部分的模型相连，分析过程也比较容易，可用于任意阶次的系统，并且能够准确判断出PWM型DC-DC变换器系统的临界稳定状态，比传统线性分析得到的结果更加精确，从而能够判断出PWM型DC-DC变换器出现的低频振荡现象，判断精度高。

流程图中或在此以其他方式描述的任何过程或方法描述可以被理解为，表示包括一个或更多个用于实现特定逻辑功能或过程的步骤的可执行指令的代码的模块、片段或部分，并且本发明的优选实施方式的范围包括另外的实现，其中可以不按所示出或讨论的顺序，包括根据所涉及的功能按基本同时的方式或按相反的顺序，来执行功能，这应被本发明的实施例所属技术领域的技术人员所理解。

在流程图中表示或在此以其他方式描述的逻辑和/或步骤，例如，可以被认为是用于实现逻辑功能的可执行指令的定序列表，可以具体实现在任何计算机可读介质中，以供指令执行系统、装置或设备(如基于计算机的系统、包括处理器的系统或其他可以从指令执行系统、装置或设备取指令并执行指令的系统)使用，或结合这些指令执行系统、装置或设备而使用。就本说明书而言，"计算机可读介质"可以是任何可以包含、存储、通信、传播或传输程序以供指令执行系统、装置或设备或结合这些指令执行系统、装置或设备而使用的装置。计算机可读介质的更具体的示例(非穷尽性列表)包括以下：具有一个或多个布线的电连接部(电子装置)，便携式计算机盘盒(磁装置)，随机存取存储器(RAM)，只读存储器(ROM)，可擦除可编辑只读存储器(EPROM或闪速存储器)，光纤装置，以及便携式光盘只读存储器(CDROM)。另外，计算机可读介质甚至可以是可在其上打印所述程序的纸或其他合适的介质，因为可以例如通过对纸或其他介质进行光学扫描，接着进行编辑、解译或必要时以其他合适方式进行处理来以电子方式获得所述程序，然后将其存储在计算机存储器中。

应当理解，本发明的各部分可以用硬件、软件、固件或它们的组合来实现。在上述实施方式中，多个步骤或方法可以用存储在存储器中且由合适的指令执行系统执行的软件或固件来实现。例如，如果用硬件来实现，和在另一实施方式中一样，可用本领域公知的下列技术中的任一项或他们的组合来实现：具有用于对数据信号实现逻辑功能的逻辑门电路的离散逻辑电路，具有合适的组合逻辑门电路的专用集成电路，可编程门阵列(PGA)，现场可编程门阵列(FPGA)等。

本技术领域的普通技术人员可以理解实现上述实施例方法携带的全部或部分步骤是可以通过程序来指令相关的硬件完成，所述的程序可以存储于一种计算机可读存储介质中，该程序在执行时，包括方法实施例的步骤之一或其组合。

此外，在本发明各个实施例中的各功能单元可以集成在一个处理模块中，也可以是各个单元单独物理存在，也可以两个或两个以上单元集成在一个模块中。上述集成的模块既可以采用硬件的形式实现，也可以采用软件功能模块的形式实现。所述集成的模块如果以软件功能模块的形式实现并作为独立的产品销售或使用时，也可以存储在一个计算机可读取存储介质中。

上述提到的存储介质可以是只读存储器，磁盘或光盘等。

在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不一定指的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任何的一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。

尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同限定。

Claims (8)

1.一种基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

对PWM型DC-DC变换器进行线性建模以获得线性模型，其中，所述线性模型包括第一传递函数和第二传递函数，所述第一传递函数为所述PWM型DC-DC变换器中所有线性环节的传递函数，所述第二传递函数为所述PWM型DC-DC变换器中非线性环节线性化后的传递函数；

采用描述函数法对所述PWM型DC-DC变换器中的非线性环节进行基于描述函数法的非线性建模以获得第一描述函数；

将所述第二传递函数替代为所述第一描述函数以获得所述PWM型DC-DC变换器对应的非线性模型；以及

根据所述第一传递函数、所述第一描述函数和所述非线性模型分析所述PWM型DC-DC变换器的稳定性。

2.如权利要求1所述的基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法，其特征在于，所述第一描述函数根据以下公式表达：

$N\left(A\right)=\frac{{2V}_d}{V_m}+\frac{{4V}_d}{\mathrm{\πA}}\underset{m=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{m}{J}_{\mathrm{km}-1}\left(\mathrm{m\π}\frac{A}{V_m}\right)\sin \left(\right[(k+1)m-1\left]\frac{\mathrm{\π}}{2}\right)$

其中，V_m为三角载波的电压幅值，V_d为非线性环节输出波形的幅值，A为输入正弦信号的幅值，为第一类贝塞尔函数，km-1为阶数，为自变量，m为正整数，k为比例系数。

3.如权利要求1所述的基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法，其特征在于，根据所述第一传递函数、所述第一描述函数和所述非线性模型分析所述PWM型DC-DC变换器的稳定性，具体包括：

根据所述第一传递函数、所述第一描述函数和所述非线性模型获得闭环传递函数；以及

根据所述闭环传递函数的极点分析所述PWM型DC-DC变换器的稳定性。

4.如权利要求3所述的基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法，其特征在于，根据所述闭环传递函数的极点分析所述PWM型DC-DC变换器的稳定性，具体包括：

根据所述第一传递函数绘制第一曲线；

根据所述第一描述函数的负倒表达式绘制第二曲线；

通过所述第一曲线与所述第二曲线的关系对所述PWM型DC-DC变换器的稳定性进行分析。

5.如权利要求4所述的基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法，其特征在于，通过所述第一曲线与所述第二曲线的关系对所述PWM型DC-DC变换器的稳定性进行分析，具体包括：

当所述第一曲线不包围所述第二曲线时，所述PWM型DC-DC变换器处于稳定状态；

当所述第一曲线与所述第二曲线相交时，所述PWM型DC-DC变换器处于临界稳定状态；

当所述第一曲线包围所述第二曲线时，所述PWM型DC-DC变换器处于不稳定状态。

6.如权利要求4或5所述的基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法，其特征在于，所述第一曲线为奈奎斯特曲线。

7.如权利要求1所述的基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法，其特征在于，所述第一传递函数根据以下公式表达：

$G\left(s\right)=\left(\frac{V_g}{D^{\′2}}\right)\frac{1-\frac{\mathrm{sL}}{D^{\′2}R}}{1+s\frac{L}{D^{\′2}R}+s^2\frac{\mathrm{LC}}{D^{\′2}}}\frac{K_p(1+T_{i}s)}{T_{i}s}$

其中，V_g为电压源的稳态直流分量，D'为占空比，L为电感值，R为电阻值，C为电容值，K_p为PI调节器的比例系数，T_i为时间常数，s为拉普拉斯变量。

8.如权利要求3所述的基于描述函数法的PWM型DC-DC变换器稳定性分析方法，其特征在于，所述闭环传递函数根据以下公式表达：

$\frac{{\hat{v}}_0\left(\mathrm{j\ω}\right)}{{\hat{v}}_{\mathrm{ref}}\left(\mathrm{j\ω}\right)}=\frac{N\left(A\right)G\left(\mathrm{j\ω}\right)}{1+N\left(A\right)G\left(\mathrm{j\ω}\right)}$

其中，为PWM型DC-DC变换器的输入信号，为PWM型DC-DC变换器的输出信号，G(jω)为所述第一传递函数，N(A)为所述第一描述函数。