CN104536439B - 一种基于嵌套迭代费舍尔判别分析的故障诊断方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于嵌套迭代费舍尔判别分析的故障诊断方法，该方法克服了传统方法存在的类内散布矩阵奇异性问题、判别成分的个数局限问题、判别成分线性相关问题，充分发掘了过程数据所包含的潜在信息，能有效区分不同类别的过程数据。该方法简单易于实施，大大提高了在线故障诊断的性能，增强了实际在线故障诊断的可靠性和可信度，有助于工业工程师对故障进行准确的修复，从而保证实际生产的安全可靠运行和产品的高质量追求。

Description

一种基于嵌套迭代费舍尔判别分析的故障诊断方法

技术领域

本发明属于化工过程统计监测领域，特别是涉及一种基于嵌套迭代费舍尔判别分析的故障诊断方法。

背景技术

作为工业生产中一种重要的生产方式，化工过程与人们的生活息息相关，已被广泛应用于冶金、炼油、造纸、制革等领域。如何保证化工过程生产安全，提高产品质量和经济效益是人们关注的焦点。随着化工过程日益复杂，在线故障检测及诊断也越来越重要。故障诊断是指在检测到故障发生后，进一步判断发生了哪种故障。提早诊断出故障可以保障生产的安全可靠运行以及产品的高质量，从而可以避免重大安全事故，减少人员伤亡以及提高经济效益。随着技术的发展，工业现场可以获得越来越多的数据，基于数据的在线故障诊断策略越来越受到研究人员和现场工程师的青睐。化工过程的统计建模、在线监测、故障诊断及质量预测已成为广泛的研究课题。

前人对此已经作了相应的研究与探讨，基于不同的角度提出了相应的在线故障诊断办法。归纳起来有如下几种：基于重构指标的方法、基于相似度计算的模式匹配方法、基于模型的改进隔离方法以及降维的方法。其中，降维的方法如主元分析、费舍尔判别分析能有效处理高维度、高相关性的数据，它们通过构造潜变量将高维度原始测量数据投影到低维度的监测空间，从而提高了故障诊断精度，被广泛应用于工业过程在线故障诊断。总体来说，上述几种基于降维的故障诊断方法各有各的适用场合与优缺点。相对而言，费舍尔判别分析方法侧重于区分具有不同特性的数据，在故障诊断方面更有优势。但是，基于传统费舍尔判别分析的在线故障诊断方法应用于实际化工过程时存在三方面的问题：首先，化工过程数据往往是高度耦合的，这可能导致类内散布矩阵是奇异的，从而无法进行奇异值分解提取过程数据潜在信息。其次，由于类间散布矩阵奇异，有可能导致判别成分的个数小于类别的个数，从而使得散布矩阵无法提供充足的过程信息。最后，在每个类中，所提取的判别成分是线性相关的，这就导致所提取的过程信息冗余。针对传统费舍尔判别分析方法的不足，研究人员提出了一系列的改进方法。总的来说，这些方法均采用两步法解决高耦合数据带来的散步矩阵奇异性问题，其关键在于如何在进行费舍尔判别分析之前进行数据降维。然而，前人的方法在解决奇异性问题时均存在一定程度的问题，如数据压缩不当而导致无法提取出过程数据的关键潜在信息，或者过程重要信息缺失等等，从而导致故障诊断精度欠缺。

本发明的内容深入考虑了化工过程的复杂性以及数据的高维度高耦合性，提出了一种基于嵌套迭代费舍尔判别分析的故障诊断方法。该方法充分发掘了过程数据所包含的潜在信息，能有效区分不同类别的过程数据，大大提高了在线故障诊断性能。到目前为止，尚未见到与本发明相关的研究报道。

发明内容

本发明的目的在于针对现有针对化工生产过程的在线故障诊断技术的不足，提供一种基于嵌套迭代费舍尔判别分析的故障诊断方法。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于嵌套迭代费舍尔判别分析的故障诊断方法，该方法包括以下步骤：

(1)获取过程分析数据：设一个化工生产过程具有J个测量变量和操作变量，则每一次采样可得到一个1×J的向量，采样K次后得到的数据表述为一个二维矩阵X(K×J)，所述测量变量为运行过程中可被测量的状态参数，包括流量、温度、速率；所述操作变量包括给料量、阀门开度；分别获取正常数据二维矩阵X_n(K×J)和故障数据二维矩阵X_f,m(K×J)，其中，下标n表示正常数据，下标f表示故障数据，m表示故障的类别；将正常数据和故障数据统一标示为X_i(K×J)，其中下标i表示数据的类别；

(2)选取正常数据样本和一类故障数据样本作为总样本其中，由X_i(i＝1,2)从上到下排列组成；

(3)数据准备：分别计算总样本均值向量每类样本均值向量总类内散布矩阵S_w和类间的散布矩阵S_b，计算公式如下：

其中，S_i是每个类的散布矩阵；

(4)提取初始判别成分，该步骤由以下子步骤来实现：

(4.1)最大化类间离散度：求取使类间离散度最大的权重向量w，即相当于求取类间散布矩阵S_b的最大特征值所对应的特征向量w，所述类间离散度为w^TS_bw，获取w后，按公式(2)求取相应的总样本初始判别成分t；

其中，是减均值中心化后的总样本，那么对于每一类样本，其所对应的类判别成分为可知，t由t_i从上到下依次排列构成；

(4.2)数据压缩：对减均值中心化后的总样本根据下式进行数据压缩：

其中：p表示总样本的负载向量，表示总样本中与t无关的残差；

同理，对于每类样本都可以通过公式(4)得到与t_i无关的残差且由从上到下排列组成：

最后，用上述数据压缩关系wp^T更新每一个类的信息，以保证判别成分的正交性：

E_i＝X_i-X_iwp^T (5)

(4.3)迭代更新过程数据

(4.3.1)用步骤(4.2)中获得的E_i代替步骤(3)中的X_i，按步骤(3)重新计算总样本均值每类样本均值向量总类内散布矩阵S_w和类间的散布矩阵S_b，按步骤(4.1)、(4.2)再次提取初始判别成分；

(4.3.2)重复步骤(4.3.1)直到所提取的初始判别成分的个数等于S_w的阶数N；那么，同时可以得到由权重向量w组成的权重矩阵W(J×N)和相应的负载向量p组成的负载矩阵P(J×N)、总样本初始判别成分t组成的总样本的初始判别成分矩阵其中，T由T_i按从上至下排列构成，T_i是每个类的判别成分矩阵；最后，求取初始判别成分的系数矩阵R＝W(P^TW)^-1，且T和T_i可直接由系数矩阵根据公式(6)求出：

(5)提取最终判别成分，该步骤通过以下子步骤来实现：

(5.1)过程数据预处理：使用X_iR代替每类初始数据集合X_i，按步骤(3)重新计算每类样本均值总样本均值总类内散布矩阵S_w ^*以及类间散布矩阵S_b ^*；

(5.2)确定最终判别成分：最终判别成分通过以下步骤来确定：

(5.2.1)求取最优判别成分方向向量w^*，使得类间散布矩阵与类内散布矩阵的比值J(θ)最大；其中，w^*则可通过公式(7)求取矩阵S_w ^*-1S_b ^*最大特征值所对应的特征向量得到：

S_w ^*-1S_b ^*w^*＝λw^* (7)

(5.2.2)求取每类的最终判别成分向量t_i ^*：

(5.2.3)将t_i ^*从上至下依次排列构成总样本的最终判别成分向量

(5.3)压缩过程数据：为了保证每类样本的判别成分之间是正交的，进行如下处理：

其中，p^*(J×1)是每类的负载向量，E_i ^*是与t_i ^*无关的残差；

(6)迭代更新过程数据，该步骤包括以下子步骤：

(6.1)用步骤(5.3)中E_i ^*代替步骤(3)中的X_i，按步骤(3)重新计算每类样本均值、总样本均值，总类内散布矩阵S_w ^*以及类间散布矩阵S_b ^*，按步骤(4)和步骤(5)再次提取最终判别成分向量t_i ^*；

(6.2)重复步骤(6.1)直至获得足够的最终判别成分t_i ^*并构成最终的判别成分矩阵T_i ^*，T_i ^*所保留的最终判别成分个数为R，所述R通过交叉检验的方法确定；相应的，同时可以获得权重矩阵Θ(J×R)和负载矩阵P_i ^*(J×R)；其中，Θ(J×R)和P_i ^*(J×R)分别由θ(J×1)和p_i ^*(J×1)构成；

(6.3)求取最终系数矩阵R_i ^*(J×R)：

R_i ^*＝Θ(P_i ^*TΘ)^-1 (10)

那么最终判别成分矩阵T_i ^*可由最终系数矩阵按公式(11)直接求出：

至此，步骤(2)中所选取的该类故障的最终判别成分矩阵及相应的最终系数矩阵和负载矩阵P_f,m ^*都被求取出来；

(7)选取正常数据和另一类故障数据作为总样本，重复步骤(4)-(6)，获得该类故障样本的最终判别成分矩阵、最终系数矩阵以及负载矩阵；

(8)重复步骤(7)直到M类故障的判别成分矩阵及相应的最终系数矩阵和负载矩阵P_f,m ^*(m＝1,2,...,M)都被求取出来；

(9)对每类故障求取统计指标，建立控制限；该步骤由以下子步骤完成：

(9.1)求取每类故障基于最终判别成分矩阵的T²指标：

其中，表示不同类型的故障样本的最终判别成分均值；Σ_f,m则表示由每类故障样本的最终判别成分的方差构成的对角矩阵，如果方差过小而趋近于0，那么它们将被置为1；

(9.2)建立每类故障基于T²指标的控制限：由于过程数据服从多变量正态分布，那么可知T²统计量服从带权重的χ²分布，则可依据带权重的χ²分布建立T²统计量的控制限

(10)基于最终判别成分的在线故障诊断，该步骤由以下子步骤完成：

(10.1)按照步骤(1)获取新数据x_new(J×1)，依次采用每类故障训练样本均值对新数据x_new(J×1)进行中心化处理；其中，下标f表示故障样本，m代表故障类别；

(10.2)依次计算新数据x_new(J×1)在每类故障下的新T²指标T_new ²：

其中，表示每类故障样本的最终判别成分均值，表示每类故障样本的最终判别成分的系数矩阵，Σ_f,m则表示由每类故障样本的最终判别成分的方差构成的对角矩阵，为新数据的最终判别成分；

(10.3)在线故障类型判断：依次将新的T²指标与所对应的控制限进行比较，若T²指标没有超出控制限，则说明新数据属于该类故障；若T²指标超出所有类故障的控制限，则说明有新类型的故障发生。

本发明的有益效果是：该方法克服了传统方法存在的类内散布矩阵奇异性问题、判别成分的个数局限问题、判别成分线性相关问题，使得方法可以应用于高维度高耦合数据的复杂化工过程。该方法能有效地区分生产过程中故障类别，提高了在线故障诊断的性能，有助于工程师准确修复故障，确保生产的安全可靠运行以及产品的高质量追求。

附图说明

图1是本发明基于嵌套迭代费舍尔判别分析的故障诊断方法的流程图；

图2是传统方法在线故障诊断结果图；

图3是本发明方法在线故障诊断结果图。

具体实施方式

下面结合附图及具体实例，对本发明作进一步详细说明。

以田纳西-伊斯曼过程为例，田纳西-伊斯曼过程是一个典型的复杂化工生产过程，该过程由五个主要运行机构构成，分别是反应器、产品冷凝器、蒸汽液体分离器、循环压缩机以及产品剥离器。在整个过程中可以采集到两部分过程变量：41个测量变量以及11个操作变量。变量见表1和表2。

表1田纳西-伊斯曼过程测量变量表

序号	变量名称	序号	变量名称	序号	变量名称
						1	A组分进料流量	2	D组分进料流量	3	E组分进料流量
4	A和C组分进料流量	5	循环流量	6	反应器进料流量
						7	反应器压力	8	反应器液位	9	反应器温度
10	放空流量	11	产品分离温度	12	产品分离器液位
						13	产品分离器压力	14	产品分离器下部出料	15	汽提塔液位
16	汽提塔压力	17	汽提塔下部出料	18	汽提塔温度
						19	反应器冷却水出口温度	20	压缩机功率	21	汽提塔蒸汽流量
22	汽提塔冷却水出口温度	23	成分A(反应器进料)	24	成分B(反应器进料)
						25	成分C(反应器进料)	26	成分D(反应器进料)	27	成分E(反应器进料)
28	成分F(反应器进料)	29	成分A(放空气体分析)	30	成分B(放空气体分析)
						31	成分C(放空气体分析)	32	成分D(放空气体分析)	33	成分E(放空气体分析)
34	成分F(放空气体分析)	35	成分G(放空气体分析)	36	成分H(放空气体分析)
						37	成分D(产品分析)	38	成分E(产品分析)	39	成分F(产品分析)
40	成分G(产品分析)	41	成分H(产品分析)

表2田纳西-伊斯曼过程操作变量表

序号	变量名称	序号	变量名称	序号	变量名称
						1	A组分进料	2	D组分进料	3	E组分进料
4	A和C组分进料	5	循环阀门	6	放空阀门
						7	分离器液相流量	8	汽提塔液相流量	9	汽提塔蒸汽阀门
10	反应器冷却水流量	11	冷凝器冷却水流量

如图1所示，本发明一种基于嵌套迭代费舍尔判别分析的故障诊断方法，包括以下步骤：

步骤1：获取过程分析数据：设一个化工生产过程具有J个测量变量和操作变量，则每一次测采样可得到一个1×J的向量，采样K次后得到的数据可以表述为一个二维矩阵X(K×J)。分别获取正常数据二维矩阵X_n(K×J)和故障数据二维矩阵X_f,m(K×J)。其中，下标n表示正常数据，下标f表示故障数据，m表示故障的类别。为了方便表示，这里将正常数据和故障数据统一标示为X_i(K×J)，其中下标i表示不同类别的数据。本实例中，采样周期为3分钟，对于正常数据采集了500个样本，每类故障采集了200个样本，过程变量52个。共采集了15种故障，故障描述如表3所示。

表3田纳西-伊斯曼过程故障表

序号	故障变量	发生类型	序号	变量名称	发生类型
						1	APC进料变化	跃变	9	进料2温度变化	随机
2	成分B变化	跃变	10	进料4温度变化	随机
						3	进料2温度变化	跃变	11	反应器冷却水温度变化	随机
4	反应器冷却水速度变化	跃变	12	冷凝器冷却水温度变化	随机
						5	冷凝器冷却水速度变化	跃变	13	反应动力学特性变化	缓慢漂移
6	进料1损失	跃变	14	反应器冷却水阀门	粘滞
						7	成分C进料压力下降	跃变	15	冷凝器冷却水阀门	粘滞
8	进料4中ABC组分变化	随机

步骤2：选取正常数据样本X_n(500×52)和一类故障数据样本X_f,m(200×52)(m＝1,2,…15)作为总样本。在这里为了方便显示，均记为X_i(i＝1,2)。其中X₁表示X_n(500×52)，X₂表示X_f,m(200×52)。

步骤3：分别计算总样本样本均值每类样本X_i的样本均值向量总类内散布矩阵S_w和类间的散布矩阵S_b。

其中，S_i是对于每个类的散布矩阵，K_i表示每类的样本个数。这里K₁＝500，K₂＝200。

步骤4：提取初始判别成分，该步骤由以下子步骤来实现：

(4.1)最大化类间离散度。

求取使最大的权重向量w，即相当于求取类间散布矩阵S_b的最大特征值所对应的特征向量w。所述类间离散度为w^TS_bw。获取w后，求取相应的总初始判别成分t。

其中，是减均值中心化后的总样本。那么对于每一类数据，其所对应的每类判别成分为其中，t由t_i从上到下依次排列构成。

(4.2)数据压缩。对减均值中心化后的总样本进行数据压缩：

其中：p表示总样本的负载向量，表示中与t无关的残差。

同理，对于每类样本数据都可以得到与t_i无关的残差且由从上到下排列组成。

最后，用上述数据压缩关系wp^T更新每一个类的信息，以保证判别成分的正交性：

E_i＝X_i-X_iwp^T (5)

(4.3)迭代更新过程数据。该步骤包括以下子步骤。

(4.3.1)用步骤(4.2)中获得的E_i代替步骤3中的X_i。按步骤3重新计算总样本均值每类样本均值向量总类内散布矩阵S_w和类间的散布矩阵S_b，按步骤(4.1)、(4.2)再次提取初始判别成分。

(4.3.2)重复步骤(4.3.1)直到所提取的初始判别成分的个数等于S_w的阶数N。那么，经过若干次迭代最后可以得到权重矩阵W(J×N)和相应的负载矩阵P(J×N)、初始判别成分矩阵其中，T由T_i按从上至下排列构成，T_i是每个类的判别成分矩阵。最后，求取初始判别成分的系数矩阵R＝W(P^TW)^-1，且T和T_i可直接由系数矩阵根据以下步骤求出：

步骤5：提取最终判别成分。该步骤通过以下子步骤来实现：

(5.1)过程数据预处理。使用X_iR代替每类初始数据集合X_i，按步骤3重新计算每类样本均值、总样本均值，总类内散布矩阵S_w ^*以及类间散布矩阵S_b ^*。

(5.2)确定最终判别成分。最终判别成分通过以下步骤来确定：

首先，求取最优判别成分方向向量w^*，使得类间散布矩阵与类内散布矩阵的比值J(θ)最大。其中，w^*则可通过求取矩阵S_w ^*-1S_b ^*最大特征值所对应的特征向量求得。

S_w ^*-1S_b ^*w^*＝λw^* (7)

其次，求取每类的最终判别成分向量t_i ^*。

最后，将t_i ^*从上至下依次排列构成总样本的最终判别成分向量

(5.3)压缩过程数据。为了保证每类的判别成分之间是正交的，我们需进行如下处理：

其中，p^*(J×1)是每类的负载向量，E_i ^*是与t_i ^*无关的残差。

步骤6：迭代更新过程数据。该步骤包括以下子步骤：

(6.1)用步骤(5.3)步骤中E_i ^*代替步骤3中的X_i，按步骤3重新计算每类样本均值、总样本均值，总类内散布矩阵S_w ^*以及类间散布矩阵S_b ^*，按步骤4和步骤5再次提取最终判别成分向量t_i ^*。

(6.2)重复步骤(6.1)直至获得足够的最终判别成分t_i ^*并构成最终的判别成分矩阵T_i ^*。T_i ^*所保留的最终判别成分个数为R，R可以由该方法在实际应用中的区分能力来进行调整。这里，我们用交叉检验的方法选取R＝5。

相应的，同时可以获得权重矩阵Θ(J×R)和负载矩阵P_i ^*(J×R)。其中，Θ(J×R)和P_i ^*(J×R)分别由θ(J×1)和p_i ^*(J×1)构成。

(6.3)求取最终系数矩阵R_i ^*(J×R)：

R_i ^*＝Θ(P_i ^*TΘ)^-1 (10)

其中，最终判别成分矩阵T_i ^*可由最终系数矩阵按公式(11)直接求出：

至此，步骤2中所选取的该类故障的最终判别成分矩阵T_f,m ^*(200×5)及相应的最终系数矩阵和负载矩阵P_f,m ^*(42×5)都被求取出来。

步骤7：选取正常数据和另一类故障数据作为总样本，重复步骤4-6，获得该类故障样本的最终判别成分矩阵T_f,m ^*(200×5)、最终系数矩阵以及负载矩阵P_f,m ^*(42×5)。

步骤8：重复步骤7直到15种故障类别的判别成分矩阵T_f,m ^*(200×5)(m＝1,2,...15)及相应的最终系数矩阵和负载矩阵P_f,m ^*(42×5)(m＝1,2,...,15)都被求取出来。

步骤9：对每类故障求取统计指标，建立控制限。该步骤由以下子步骤完成：

(9.1)求取每类故障基于最终判别成分矩阵的T²指标：

其中，是每类故障样本的最终判别成分均值，Σ_f,m是一个对角矩阵，它的对角元素是不同最终判别成分的方差。如果方差过小而趋近于0，那么它们将被置为1。

(9.2)建立每类故障基于T²指标的控制限。由于过程数据服从多变量正态分布，那么可知T²统计量服从带权重的χ²分布。则可依据带权重的χ²分布建立T²统计量的控制限

步骤10：基于最终判别成分的在线故障诊断。在检测到故障后，我们需要知道故障的类型以修复故障，保证生产安全。该步骤由以下子步骤完成：

(10.1)根据步骤(1)获取新的过程数据x_new(J×1)，依次采用每类故障训练样本均值对新数据进行中心化处理。其中，下标f表示故障样本，m代表故障类别。

(10.2)依次计算新数据x_new(J×1)在每类故障下的新T²指标T_new ²。

其中，表示每类故障样本的最终判别成分均值，表示每类故障样本的最终判别成分的系数矩阵，Σ_f,m则表示由每类故障样本的最终判别成分的方差构成的对角矩阵，为新数据的最终判别成分。

(10.3)在线故障类型判断。依次将新的T²指标与所对应的控制限进行比较，若T²指标没有超出控制限，则说明新数据属于该类故障。若T²指标超出所有类故障的控制限，则说明有新类型的故障发生。

根据历史正常数据和故障数据建立的最终判别成分矩阵，工程师可以实时获得新过程采样数据的在线故障诊断结果，判断故障的类别从而进行相应的修复措施。当基于历史故障数据建立的统计控制限能很好容纳新故障样本所求得的T²指标，即调用该类故障的判别成分矩阵所得的新样本T²指标产生的报警信号显著少于调用其他类故障判别成分矩阵所产生的报警信号，则说明新样本属于该类故障，那么当前故障被正确诊断出来。为了描述故障诊断的性能，我们定义了一个指标—正确诊断指标，若故障被正确诊断，则该指标为1；否则，该指标值为0。表4总结了本发明所提出的方法与传统方法针对15种故障类型的正确诊断指标的比较结果，并且计算均值(Mean)以及标准差(STD)用于综合评估故障诊断的性能。

表4本方法与传统方法故障诊断性能对比(衡量指标：正确诊断指标)

从表中可以看出，基于本发明方法的故障诊断方法提高了实际在线故障诊断的可靠性和可信度，其性能优于传统方法。此外，图2和图3展示了传统方法与本发明所提出方法针对于故障4的在线故障诊断结果。虚线表示每类故障基于T2指标的控制限，可以看出，传统的方法会将故障4误判为故障14，而本发明则能正确诊断出故障4，说明了本发明方法的有效性。总体来说，本发明的方法有优越的在线故障诊断性能，有助于工业工程师对故障进行准确修复，保证实际生产过程的安全可靠运行。

应该理解，本发明并不局限于上述具体实施例的田纳西-伊斯曼过程，凡是熟悉本领域的技术人员在不违背本发明精神的前提下还可做出等同变形或替换，这些等同的变型或替换均包含在本申请权利要求所限定的范围内。

Claims (1)

1.一种基于嵌套迭代费舍尔判别分析的故障诊断方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

(1)获取过程分析数据：设一个化工生产过程具有J个测量变量和操作变量，则每一次采样可得到一个1×J的向量，采样K次后得到的数据表述为一个二维矩阵X(K×J)，所述测量变量为运行过程中可被测量的状态参数，包括流量、温度、速率；所述操作变量包括给料量、阀门开度；分别获取正常数据二维矩阵X_n(K×J)和故障数据二维矩阵X_f,m(K×J)，其中，下标n表示正常数据，下标f表示故障数据，m表示故障的类别；将正常数据和故障数据统一标示为X_i(K×J)，其中下标i表示数据的类别；

(2)选取正常数据样本和一类故障数据样本作为总样本其中，由X_i从上到下排列组成，X_i中i＝1,2；

(3)数据准备：分别计算总样本均值向量每类样本均值向量总类内散布矩阵S_w和类间的散布矩阵S_b，计算公式如下：

$S_i=\underset{x_i\∈X_i}{\Σ}(x_i-\stackrel{\‾}{x}){(x_i-{\stackrel{\‾}{x}}_i)}^T$

$S_w=\underset{i=1}{\overset{2}{\Σ}}{S}_i---\left(1\right)$

$S_b=\underset{x_i\∈X_i}{\Σ}{K}_i({\stackrel{\‾}{x}}_i-\stackrel{\‾}{x}){({\stackrel{\‾}{x}}_i-\stackrel{\‾}{x})}^T$

其中，S_i是每个类的散布矩阵；

(4)提取初始判别成分，该步骤由以下子步骤来实现：

(4.1)最大化类间离散度：求取使类间离散度最大的权重向量w，即相当于求取类间散布矩阵S_b的最大特征值所对应的特征向量w，所述类间离散度为w^TS_bw，获取w后，按公式(2)求取相应的总样本初始判别成分t；

$t=\stackrel{\‾}{X}w---\left(2\right)$

其中，是减均值中心化后的总样本，那么对于每一类样本，其所对应的类判别成分为可知，t由t_i从上到下依次排列构成；

(4.2)数据压缩：对减均值中心化后的总样本根据下式进行数据压缩：

$\begin{array}{c}{p}^T={\left(t^{T}t\right)}^{-1}{t}^T\stackrel{\‾}{X}\\ \stackrel{\‾}{E}=\stackrel{\‾}{X}-{\mathrm{tp}}^T\end{array}---\left(3\right)$

其中：p表示总样本的负载向量，表示总样本中与t无关的残差；

同理，对于每类样本都可以通过公式(4)得到与t_i无关的残差且由从上到下排列组成：

${\stackrel{\‾}{E}}_i={\stackrel{\‾}{X}}_i-t_i{p}^T={\stackrel{\‾}{X}}_i-{\stackrel{\‾}{X}}_i{\mathrm{wp}}^T---\left(4\right)$

最后，用上述数据压缩关系wp^T更新每一个类的信息，以保证判别成分的正交性：

E_i＝X_i-X_iwp^T (5)

(4.3)迭代更新过程数据

(4.3.1)用步骤(4.2)中获得的E_i代替步骤(3)中的X_i，按步骤(3)重新计算总样本均值每类样本均值向量总类内散布矩阵S_w和类间的散布矩阵S_b，按步骤(4.1)、(4.2)再次提取初始判别成分；

(4.3.2)重复步骤(4.3.1)直到所提取的初始判别成分的个数等于S_w的阶数N；那么，同时可以得到由权重向量w组成的权重矩阵W(J×N)和相应的负载向量p组成的负载矩阵P(J×N)、总样本初始判别成分t组成的总样本的初始判别成分矩阵其中，T由T_i按从上至下排列构成，T_i是每个类的判别成分矩阵；最后，求取初始判别成分的系数矩阵R＝W(P^TW)^-1，且T和T_i可直接由系数矩阵根据公式(6)求出：

$\begin{array}{c}T=\stackrel{\‾}{X}R=\stackrel{\‾}{X}W{\left(P^{T}W\right)}^{-1}\\ T_i={\stackrel{\‾}{X}}_{i}R={\stackrel{\‾}{X}}_{i}W{\left(P^{T}W\right)}^{-1}\end{array}---\left(6\right)$

(5)提取最终判别成分，该步骤通过以下子步骤来实现：

(5.1)过程数据预处理：使用X_iR代替每类初始数据集合X_i，按步骤(3)重新计算每类样本均值总样本均值总类内散布矩阵S_w ^*以及类间散布矩阵S_b ^*；

(5.2)确定最终判别成分：最终判别成分通过以下步骤来确定：

(5.2.1)求取最优判别成分方向向量w^*，使得类间散布矩阵与类内散布矩阵的比值J(θ)最大；其中，w^*则可通过公式(7)求取矩阵S_w ^*-1S_b ^*最大特征值所对应的特征向量得到：

S_w ^*-1S_b ^*w^*＝λw^* (7)

(5.2.2)求取每类的最终判别成分向量t_i ^*：

t_i ^*＝X_iRw^*＝X_iθ (8)

θ＝Rw^*

(5.2.3)将t_i ^*从上至下依次排列构成总样本的最终判别成分向量

(5.3)压缩过程数据：为了保证每类样本的判别成分之间是正交的，进行如下处理：

$\begin{array}{c}{p_i}^{*T}{\left({t_i}^{*T}{t_i}^{*}\right)}^{-1}{t_i}^{*T}{X}_i\\ {E_i}^{*}=X_i-{t_i}^{*}{p_i}^{*T}\end{array}---\left(9\right)$

其中，p^*(J×1)是每类的负载向量，E_i ^*是与t_i ^*无关的残差；

(6)迭代更新过程数据，该步骤包括以下子步骤：

(6.1)用步骤(5.3)中E_i ^*代替步骤(3)中的X_i，按步骤(3)重新计算每类样本均值、总样本均值，总类内散布矩阵S_w ^*以及类间散布矩阵S_b ^*，按步骤(4)和步骤(5)再次提取最终判别成分向量t_i ^*；

(6.2)重复步骤(6.1)直至获得足够的最终判别成分t_i ^*并构成最终的判别成分矩阵T_i ^*，T_i ^*所保留的最终判别成分个数为R，所述R通过交叉检验的方法确定；相应的，同时可以获得权重矩阵Θ(J×R)和负载矩阵P_i ^*(J×R)；其中，Θ(J×R)和P_i ^*(J×R)分别由θ(J×1)和p_i ^*(J×1)构成；

(6.3)求取最终系数矩阵R_i ^*(J×R)：

${R_i}^{*}=\mathrm{\Θ}{\left({P_i}^{*T}\mathrm{\Θ}\right)}^{-1}---\left(10\right)$

那么最终判别成分矩阵T_i ^*可由最终系数矩阵按公式(11)直接求出：

${T_i}^{*}=X_i\mathrm{\Θ}{\left({P_i}^{*T}\mathrm{\Θ}\right)}^{-1}=X_i{R_i}^{*}---\left(11\right)$

至此，步骤(2)中所选取的该类故障的最终判别成分矩阵及相应的最终系数矩阵和负载矩阵P_f,m ^*都被求取出来；

(7)选取正常数据和另一类故障数据作为总样本，重复步骤(4)-(6)，获得该类故障样本的最终判别成分矩阵、最终系数矩阵以及负载矩阵；

(8)重复步骤(7)直到M类故障的判别成分矩阵及相应的最终系数矩阵和负载矩阵P_f,m ^*都被求取出来；中m＝1,2,...,M，中m＝1,2,...,M，P_f,m ^*中m＝1,2,...,M；

(9)对每类故障求取统计指标，建立控制限；该步骤由以下子步骤完成：

(9.1)求取每类故障基于最终判别成分矩阵的T²指标：

${T_{f,m}}^2={(t_{f,m}^{*}-{\stackrel{\‾}{t}}_{f,m}^{*})}^T{{\mathrm{\Σ}}_{f,m}}^{-1}(t_{f,m}^{*}-{\stackrel{\‾}{t}}_{f,m}^{*})---\left(12\right)$

其中，表示不同类型的故障样本的最终判别成分均值；Σ_f,m则表示由每类故障样本的最终判别成分的方差构成的对角矩阵，如果方差过小而趋近于0，那么它们将被置为1；

(9.2)建立每类故障基于T²指标的控制限：由于过程数据服从多变量正态分布，那么可知T²统计量服从带权重的χ²分布，则可依据带权重的χ²分布建立T²统计量的控制限

(10)基于最终判别成分的在线故障诊断，该步骤由以下子步骤完成：

(10.1)按照步骤(1)获取新数据x_new(J×1)，依次采用每类故障训练样本均值对新数据x_new(J×1)进行中心化处理；其中，下标f表示故障样本，m代表故障类别；

(10.2)依次计算新数据x_new(J×1)在每类故障下的新T²指标T_new ²：

${\left(t_{new}^{*}\right)}^T=x_{new}^T{R}_{f,m}^{*}$

${T_{new}}^2={(t_{new}^{*}-{\stackrel{\‾}{t}}_{f,m}^{*})}^T{{\mathrm{\Σ}}_{f,m}}^{-1}(t_{new}^{*}-{\stackrel{\‾}{t}}_{f,m}^{*})---\left(13\right)$

其中，表示每类故障样本的最终判别成分均值，表示每类故障样本的最终判别成分的系数矩阵，Σ_f,m则表示由每类故障样本的最终判别成分的方差构成的对角矩阵，为新数据的最终判别成分；

(10.3)在线故障类型判断：依次将新的T²指标与所对应的控制限进行比较，若T²指标没有超出控制限，则说明新数据属于该类故障；若T²指标超出所有类故障的控制限，则说明有新类型的故障发生。