CN104536027A - 一种实时北斗精密相对定位的方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于卫星定位领域，特别涉及一种实时北斗精密相对定位的方法，具体步骤为：步骤一，整周模糊度初参数始化；步骤二，周跳探测；步骤三，伪距单点定位；步骤四，基准站与移动站的观测历元差判断：计算基准站的观测历元与移动站的观测历元之差，如果差值大于15s，则返回步骤一，否则进入步骤五；步骤五，周跳修复，利用未发生周跳的卫星的整周模糊度计算发生周跳的卫星的整周模糊度；步骤六，求解基准站与移动站的相对位置。本发明提高移动站动态定位的实时更新率和降低移动站定位结果的输出延迟；基准站数据以较低频率采样和播发，降低了对数据通信链路实时性和可靠性的要求，还减少了无线通信设备和链路的成本。

Description

一种实时北斗精密相对定位的方法

技术领域

本发明属于卫星定位领域，特别涉及一种实时北斗精密相对定位的方法。

背景技术

实时北斗精密相对定位技术是一种利用北斗高精度载波相位观测值的实时动态差分定位技术，常被称为RTK(Real-Time Kinematic)技术，在车辆导航、飞机盲降和驾校自动监考等领域有广泛的应用前景。在进行RTK工作时，基准站需将自己的载波相位观测值等信息通过数据通讯设备实时播发给周围工作的移动站。移动站利用自己的北斗卫星导航测量数据和接收到的基准站测量数据，进行载波相位差分相对定位，实现移动站实时精密定位，定位精度为厘米量级。目前已有的用于实时卫星精密相对定位方法主要有同步载波相位差分相对定位法(参见[1]Stephen J.Comstock.Development of A Low-Latency,High Data Rate,Differential GPS Relative Positioning System for UAV Formation Flight Control.Dissertation,Air Force Institute of Technology，2006.[2]程伟。基于DSP的GPS动态载波相位差分技术研究，西北工业大学，2006.)，这种典型的方法难以有效解决以下问题：基准站数据链路通信时延；移动站位置输出更新率有限。

发明内容

本发明针对北斗实时精密定位技术中存在的移动站动态定位实时性难 以提高的问题，提出了非同步载波相位差分相对定位方法。该方法利用基准站低更新率播发的历史时刻卫星导航测量数据和移动站当前时刻的卫星导航测量数据，进行时间异步站间载波相位差分相对定位，解决了基准站差分测量数据播发通信时延问题，可实现移动站高更新率实时精密相对定位，并且避免了同步载波相位差分定位技术中的数据同步过程。该方法同样适用于GNSS(Global Navigation Satellite System，全球导航卫星系统)精密动态相对定位。

具体技术方案为：

一种实时北斗精密相对定位的方法，包括以下步骤：

步骤一，整周模糊度参数初始化：利用基准站和移动站的同步北斗观测数据初始化载波相位整周模糊度参数；

步骤二，周跳探测：对站星间的非同步双差载波相位进行周跳探测，对发生周跳的卫星进行标记；

步骤三，伪距单点定位：利用基准站、移动站的北斗伪距观测信息，分别进行基准站和移动站伪距单点定位，获得基准站和移动站的绝对位置，获得基准站测量时的北斗卫星信号发送时刻的卫星坐标及钟差和移动站测量时的北斗卫星信号发送时刻的卫星坐标及钟差；

步骤四，基准站与移动站的观测历元差判断：计算基准站的观测历元与移动站的观测历元之差，如果差值大于15s，则返回步骤一，否则进入步骤五；

步骤五，周跳修复：采用附加模糊度参数方法修复发生周跳的卫星的整周模糊度，即利用未发生周跳的卫星的整周模糊度计算发生周跳的卫星 的整周模糊度；

步骤六，求解基准站与移动站的相对位置：利用基准站和移动站的非差非同步载波相位观测数据和卫星坐标以及钟差，建立非同步载波相位双差相对定位观测方程，计算基准站与移动站的相对位置。

进一步地，所述步骤六中建立非同步载波相位双差相对定位观测方程，计算基准站与移动站的相对位置，具体过程为：

(S1)建立载波相位双差观测方程组：利用基准站和移动站的非差载波相位观测值及广播星历信息，建立双差载波相位相对定位观测方程；设基准站A在观测时刻t₀，测得i号卫星的非差载波相位观测值为和j号卫星的非差载波相位观测值为移动站B在观测时刻t₁，测得i号卫星的非差载波相位观测值为和j号卫星的非差载波相位观测值为 i,j为整数。

定义：

$\left\{\begin{array}{c}{(\·)}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(t_0,t_1)=({(\·)}_B^j\left(t_1\right)-{(\·)}_A^j\left(t_0\right))-({(\·)}_B^i\left(t_1\right)-{(\·)}_A^i\left(t_0\right))\\ {(\·)}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(T_0,T_1)=({(\·)}_B^j\left(T_1^j\right)-{(\·)}_A^j\left(T_0^j\right))-({(\·)}_B^i\left(T_1^i\right)-{(\·)}_A^i\left(T_0^i\right))\end{array}\right.$

其中，上标i和j代表卫星号，i号卫星为参考星(最高仰角卫星)，下标A和B代表基准站和移动站；T代表卫星信号发送时刻，如表示在观测时刻t₀时，对应i号卫星的信号发送时刻，单位为秒；

则非同步载波相位双差观测方程为：

${\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(t_0,t_1)={\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(T_0,T_1)+\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(t_0,t_1)-\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(T_0,T_1)+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(t_0,t_1)---\left(1\right)$

其中，为不同时刻的双差载波相位观测值，单位为米； 为不同时刻的双差几何距离，单位为米；为不同时刻的 双差整周模糊度，单位为周；λ为某个频点的对应波长，单位为米；为不同时刻的双差卫星钟差，单位为秒；c为光速，单位为米/秒；为不同时刻的双差噪声，单位为米；

式(1)中，基站与移动站的相对位置参数隐含于双差几何距离量 中，其具体为表达式为：

${\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(T_0,T_1)=\left(\right||r_B\left(t_1\right)-r^j\left(T_1^j\right)||-||r_A\left(t_0\right)-r^j\left(T_0^j\right)|\left|\right)-\left(\right||r_B\left(t_1\right)-r^i\left(T_1^i\right)||-||r_A\left(t_0\right)-r^i\left(T_0^i\right)|\left|\right)---\left(2\right)$

式(2)中，和为j号卫星在信号发送时刻T₁和T₀的三维位置坐标，单位为米；和为i号卫星在信号发送时刻T₁和T₀的三维位置坐标，单位为米；||.||表示卫星到测站之间的几何距离，单位为米；r_A(t₀)为基准站在观测时刻t₀的三维位置坐标；r_B(t₁)为移动站在观测时刻t₁的三维位置坐标，单位为米；

设基准站和移动站共同观测了m颗卫星，则有建立(m-1)个双差载波相位观测方程：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)={\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{AB}}^{i1}(T_0,T_1)+\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)-\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{i1}(T_0,T_1)+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{i2}=(t_0,t_1)={\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{AB}}^{i2}(T_0,T_1)+\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{i2}(t_0,t_1)-\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{i2}(T_0,T_1)+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{AB}}^{i2}(t_0,t_1)\\ \·\·\·\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(t_0,t_1)={\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(T_0,T_1)+\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(t_0,t_1)-\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(T_0,T_1)+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(t_0,t_1)\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中，k表示卫星号，k＝1,2,…,j,…m-1；k≠i；k,m为整数。

(S2)相对定位观测方程组线性化：根据泰勒展开原理，对非线性相对定位观测方程组进行线性化；

在式(2)中，卫星的坐标以实时播发的广播星历参数计算；在基准站位置线性泰勒展开至一阶项，式(2)变为

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(T_0,T_1)={\mathrm{\ρ}}_0^j-(u_B^j-u_B^i)r_{\mathrm{AB}}\\ {\mathrm{\ρ}}_0^j=\left(\right||r_A\left(t_0\right)-r^j\left(T_1^j\right)||-||r_A\left(t_0\right)-r^j\left(T_0^j\right)|\left|\right)-\left(\right||r_A\left(t_0\right)-r^i\left(T_1^i\right)||-||r_A\left(t_0\right)-r^i\left(T_0^i\right)|\left|\right)\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，u代表单位矢量，表示移动站B到j号卫星的单位矢量；表示移动站B到i号卫星的单位矢量；表示j号卫星的双差几何距离泰勒展开的零阶项；r_AB为基准站到移动站的基线矢量；

将式(4)代入式(3)，则线性化的观测方程组为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)-{\mathrm{\ρ}}_0^1-\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)+\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{i1}(T_0,T_1)=-+(u_B^1-u_B^i)r_{\mathrm{AB}}+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{i2}=(t_0,t_1)-{\mathrm{\ρ}}_0^2-\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{i2}(t_0,t_1)+\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{i2}(T_0,T_1)=-+(u_B^2-u_B^i)r_{\mathrm{AB}}+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{AB}}^{i2}(t_0,t_1)\\ \·\·\·\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(t_0,t_1)-{\mathrm{\ρ}}_0^k-\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(t_0,t_1)+\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(T_0,T_1)=-(u_B^k-u_B^i)r_{\mathrm{AB}}+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(t_0,t_1)\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中，k表示卫星号，k＝1,2,…,j,…m-1；k≠i；k,m为整数。

式(5)中，卫星钟差双差根据实时广播星历参数计算；

(S3)线性观测方程组求解：根据最小二乘估计，即可求得基准站到移动站的基线矢量；

记：

$Y=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)-{\mathrm{\ρ}}_0^1-\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)+\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{i1}(T_0,T_1)\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{i2}=(t_0,t_1)-{\mathrm{\ρ}}_0^2-\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{i2}(t_0,t_1)+\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{i2}(T_0,T_1)\\ \·\·\·\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(t_0,t_1)-{\mathrm{\ρ}}_0^k-\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(t_0,t_1)++\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(T_0,T_1)\end{array}\right],Q=\left[\begin{array}{c}-(u_B^1-u_B^i)\\ -(u_B^2-u_B^i)\\ \·\·\·\\ -(u_B^k-u_B^i)\end{array}\right]---\left(6\right)$

式中，k表示卫星号，k＝1,2,…,j,…m-1；k≠i；k,m为整数。

根据最小二乘估计原理，求解式(5)，得到：

r_AB＝(Q^TQ)^-1Q^TY    (7) 

r_AB即可确定基准站与移动站之间的相对位置。式(7)为基准站与移动站之间的相对位置矢量解，精度为厘米量级。

与现有技术相比，本发明具有以下优点：

(1)本发明无需考虑基站数据通信链路时延影响和定位时的观测数据同步过程，因此可以大大提高移动站动态定位的实时更新率和降低移动站定位结果的输出延迟；

(2)本发明基准站数据可以以较低频率采样和播发，因此降低了对数据通信链路实时性和可靠性的要求，还减少了无线通信设备和链路的成本；

(3)本发明支持通过手机移动通信网络播发基准站差分测量数据，无需基准站和移动站之间点对点通信，非常方便于城市间移动载体实时精密定位。

附图说明

图1为本发明非同步载波相位差分原理图；

图2为本发明非同步载波相位差分定位算法流程图；

图3为某次试验基准站与移动站观测历元差图；

图4为本发明某次动态试验的运动载体平面轨迹高更新率输出图；

图5为本发明某次动态试验的平面和高程定位误差图；

具体实施方案

下面结合附图，对本发明中非同步载波相位差分相对定位方法作进一步的说明：

本发明“一种实时北斗精密相对定位方法”，其主要思想是利用基准站低更新率播发的历史时刻卫星导航测量数据和移动站当前时刻的卫星导航测量数据，进行时间异步站间载波相位差分相对定位，如图1所示，图中Sv₁和Sv₂表示卫星，t₀表示观测历元，Δt表示移动站采样间隔。其具体步 骤如下：

(1)整周模糊度参数初始化

利用基准站和移动站的同步观测数据初始化整周模糊度参数，如果整周模糊度参数已初始化成功，则无需再初始化，其具体算法流程，如图2所示。整周模糊度参数的获取，是利用基准站和移动站的伪距和载波相位信息求解整周模糊度浮点解及其方差阵，然后套用本领域公知的LAMBDA搜索算法。

(2)周跳探测

采用本领域熟知的TurboEdit方法对站星间的非同步双差载波相位进行周跳探测，对发生周跳的卫星进行标记。

(3)伪距单点定位 

利用基准站、移动站的北斗伪距观测信息分别进行伪距单点定位，获得基准站和移动站的绝对位置，基准站测量时的北斗卫星信号发送时刻的卫星坐标及钟差和移动站测量时的北斗卫星信号发送时刻的卫星坐标及钟差等。

(4)基准站与移动站的观测历元差判断

判断基准站与移动站的观测历元差，如果大于15s，则重新初始化整周模糊度，其具体算法逻辑，如图2所示。

(5)周跳修复

利用未发生周跳的卫星的整周模糊度计算发生周跳的卫星的整周模糊度。

(6)根据基准站和移动站伪距单点定位坐标以及对应的卫星坐标等， 建立线性非同步载波相位差分定位观测方程，求解基准站与移动站的相对位置。

以某次车载动态试验的北斗观测数据为例，进行了3种不同模式的非同步载波相位差分精密相对定位解算。这3种不同模式分别代表了3种基准站与移动站进行差分定位时的观测历元差，如图3所示，图中的“Mode 1”代表为观测历元差为0.5s，“Mode 2”代表为观测历元差为5s，“Mode 3”代表为观测历元差为15s。图3中横轴为时间(图中标为：Time)，单位为秒，纵轴为观测历元差(图中标为：Time Difference)，单位为秒。图3中的3种模式的观测历元差分别以0.5s周期性变化，是由于此次试验的基准站采样率为2Hz。此次试验的移动站采样率为20Hz。

下面选取了某个历元的北斗B1频点(载波频率为1561.098MHz)的非同步载波相位观测方程，进行详细阐述。在这个观测方程中，基准站的观测历元为t₀＝559139.0s(北斗周内秒)，移动站的观测历元为t₁＝559149.0s。基准站和移动站共同观测了8颗卫星，因此有7个双差载波相位观测值。根据步骤(1)、(2)、(3)和(5)的所获得的信息代入式(5)，可得

${\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}=\left[\begin{array}{c}4294709418.367\\ -251061.866\\ -231402.656\\ -237745.547\\ -222090.455\\ 4294353206.531\\ 4294413773.068\end{array}\right],{\mathrm{\ρ}}_0=\left[\begin{array}{c}1094.414\\ 1031.536\\ 893.952\\ 935.723\\ 807.463\\ 4874.850\\ 3949.973\end{array}\right],\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}=\left[\begin{array}{c}-0.104\\ 1.002\\ 0.096\\ -1.763\\ -0.371\\ -0.232\\ -1.390\end{array}\right],N_{\mathrm{AB}}=\left[\begin{array}{c}4294709180.0\\ -252028.0\\ -231801.0\\ -237702.0\\ -223121.0\\ 4294348845.0\\ 4294409671.0\end{array}\right]$

$Q=\left[\begin{array}{ccc}2.80696229& 1.18058382& 3.00179719\\ -2.70292781& -0.78008386& 3.08286448\\ 0.39558342& -0.63979322& 2.95487826\\ 3.65161426& 2.98684466& 2.99305383\\ -4.59654934& 0.15053099& 2.98897815\\ 0.70166806& 0.14973527& 1.79039332\\ -0.48714256& 0.25202027& -0.54155155\end{array}\right]$

式中，Φ_AB、ρ₀、δt_AB和N_AB以周为单位。

将Φ_AB、ρ₀、cδt_AB和N_AB代入式(6)，计算线性方程自由项Y。

$Y={\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}-{\mathrm{\ρ}}_0-N_{\mathrm{AB}}+\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}=\left[\begin{array}{c}-856.1510\\ -64.4000\\ -495.5120\\ -981.0330\\ 222.7110\\ -513.5510\\ 150.7050\end{array}\right]$

将Y和Q代入，式(7)，即可求得基准站到移动站的相对位置。

$r_{\mathrm{AB}}={\left(Q^{T}Q\right)}^{-1}{Q}^{T}Y=\left[\begin{array}{c}-145.1921\\ -1.9566\\ -148.6770\end{array}\right]$

此算例的定位结果与真值r_True＝[-145.2014，-1.9421，-148.6746]^T最大误差不超过2cm，基线矢量真值通过同步载波相位差分方法获得。

如图4所示，横轴表示东向坐标(East)，单位为米，纵轴表示北向坐标(North)，单位为米，“Synchronous”表示同步载波相位差分定位手段，“Mode1”表示观测历元差为0.5s的非同步载波相位差分定位手段，“Start Point”表示载体的运动起始点。图4中的非同步载波相位差分定位手段清晰地显示了运动载体高更新率位置轨迹，而同步载波相位差分定位手段较少。由于非同步载波相位差分定位手段不要求基准站测量数据与移动站测 量数据同步，因此移动站每个历元的测量数据都可以被利用，输出更新率可以达到20Hz；而同步载波相位差分手段只能使用基准站与移动站的同步测量数据，因此输出更新率只能达到2Hz(基准站2Hz采样，移动站20Hz采样)。

如图5所示，横轴表示时间(Time)，单位为秒，纵轴表示定位误差(北向误差North Error，东向误差East Error，地向误差Down Error)，单位为米。“Mode 1”表示基准站与移动站观测历元差为0.5s，“Mode 2”表示基准站与移动站观测历元差为5s，“Mode 3”表示基准站与移动站观测历元差为15s。图5描述了三种非同步载波相位定位模式的定位误差，可知，观测历元差越小，精度越高，观测历元差越大，精度越低。在观测历元差为15s内，定位精度仍可达cm量级。这表明基准站测量数据到达移动站的时延为15s时，移动站定位精度仍为cm量级。

表1  不同观测历元差条件下的非同步载波相位差分定位方法的精度统计

表1中分别统计了3种不同观测历元差条件下的非同步载波相位差分定位精度。在观测历元差为15s条件下，平面和高程的定位为cm量级，平面最大误差优于5cm。非同步载波相位差分定位手段充分使用了移动站每个历元的测量数据，这3种模式的定位更新率为20Hz。因此本发明的非同步载波相位差分定位方法是可行的，既能提高移动站位置实时更新率，又 能保证定位精度在cm量级。

以上仅是实施例仅用于说明本发明的效果，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，应视为本发明的保护范围。

Claims (2)

1.一种实时北斗精密相对定位的方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一，整周模糊度参数初始化：利用基准站和移动站的同步北斗观测数据初始化载波相位整周模糊度参数；

步骤二，周跳探测：对站星间的非同步双差载波相位进行周跳探测，对发生周跳的卫星进行标记；

步骤三，伪距单点定位：利用基准站、移动站的北斗伪距观测信息，分别进行基准站和移动站伪距单点定位，获得基准站和移动站的绝对位置，获得基准站测量时的北斗卫星信号发送时刻的卫星坐标及钟差和移动站测量时的北斗卫星信号发送时刻的卫星坐标及钟差；

步骤四，基准站与移动站的观测历元差判断：计算基准站的观测历元与移动站的观测历元之差，如果差值大于15s，则返回步骤一，否则进入步骤五；

步骤五，周跳修复：采用附加模糊度参数方法修复发生周跳的卫星的整周模糊度，即利用未发生周跳的卫星的整周模糊度计算发生周跳的卫星的整周模糊度；

步骤六，求解基准站与移动站的相对位置：利用基准站和移动站的非差非同步载波相位观测数据和卫星坐标以及钟差，建立非同步载波相位双差相对定位观测方程，计算基准站与移动站的相对位置。

2.如权利要求1所述的一种实时北斗精密相对定位的方法，其特征在于，所述步骤六中建立非同步载波相位双差相对定位观测方程，计算基准站与移动站的相对位置，具体过程为：

(S1)建立载波相位双差观测方程组：利用基准站和移动站的非差载波相位观测值及广播星历信息，建立双差载波相位相对定位观测方程；设基准站A在观测时刻t₀，测得i号卫星的非差载波相位观测值为和j号卫星的非差载波相位观测值为移动站B在观测时刻t₁，测得i号卫星的非差载波相位观测值为和j号卫星的非差载波相位观测值为i,j为整数；

定义：

$\left\{\begin{array}{c}{(\·)}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(t_0,t_1)=({(\·)}_B^j\left(t_1\right)-{(\·)}_A^j\left(t_0\right))-({(\·)}_B^i\left(t_1\right)-{(\·)}_A^i\left(t_0\right))\\ {(\·)}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(T_0,T_1)=({(\·)}_B^j\left(T_1^j\right)-{(\·)}_A^j\left(T_0^j\right))-({(\·)}_B^i\left(T_1^i\right)-{(\·)}_A^i\left(T_0^i\right))\end{array}\right.$

其中，上标i和j代表卫星号，i号卫星为参考星，下标A和B代表基准站和移动站；T代表卫星信号发送时刻，如表示在观测时刻t₀时，对应i号卫星的信号发送时刻，单位为秒；

则非同步载波相位双差观测方程为：

${\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(t_0,t_1)={\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(T_0,T_1)+\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(t_0,t_1)-\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(T_0,T_1)+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(t_0,t_1)---\left(1\right)$

其中，为不同时刻的双差载波相位观测值，单位为米；为不同时刻的双差几何距离，单位为米；为不同时刻的双差整周模糊度，单位为周；λ为某个频点的对应波长，单位为米；为不同时刻的双差卫星钟差，单位为秒；c为光速，单位为米/秒；为不同时刻的双差噪声，单位为米；

式(1)中，基站与移动站的相对位置参数隐含于双差几何距离量中，其具体为表达式为：

${\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(T_0,T_1)=\left(\right||r_B\left(t_1\right)-r^j\left(T_1^j\right)||-\left|\right|r_A\left(t_0\right)-r^j\left(T_0^j\right)\left|\right|)-\left(\right||r_B\left(t_1\right)-r^i\left(T_1^i\right)||-||r_A\left(t_0\right)-r^i\left(T_0^i\right)|\left|\right)---\left(2\right)$

式(2)中，和为j号卫星在信号发送时刻T₁和T₀的三维位置坐标，单位为米；和为i号卫星在信号发送时刻T₁和T₀的三维位置坐标，单位为米；||.||表示卫星到测站之间的几何距离，单位为米；r_A(t₀)为基准站在观测时刻t₀的三维位置坐标；r_B(t₁)为移动站在观测时刻t₁的三维位置坐标，单位为米；

设基准站和移动站共同观测了m颗卫星，则有建立(m-1)个双差载波相位观测方程：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)={\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{AB}}^{i1}(T_0,T_1)+\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)-\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{i1}(T_0,T_1)+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{i2}(t_0,t_1)={\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{AB}}^{i2}(T_0,T_1)+\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{i2}(t_0,t_1)-\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{i2}(T_0,T_1)+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{AB}}^{i2}(t_0,t_1)\\ \·\·\·\\ \underset{}{{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}}(t_0,t_1)={\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(T_0,T_1)+\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(t_0,t_1)-\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(T_0,T_1)+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(t_0,t_1)\end{array}\right.---\left(3\right)$

式中，k表示卫星号，k＝1,2,…，j,…m-1；k≠i；k,m为整数；

(S2)相对定位观测方程组线性化：根据泰勒展开原理，对非线性相对定位观测方程组进行线性化；

在式(2)中，卫星的坐标以实时播发的广播星历参数计算；在基准站位置线性泰勒展开至一阶项，式(2)变为

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ij}}(T_0,T_1)={\mathrm{\ρ}}_0^j-(u_B^j-u_B^i)r_{\mathrm{AB}}\\ {\mathrm{\ρ}}_0^j=\left(\right||r_A\left(t_0\right)-r^j\left(T_1^j\right)||-||r_A\left(t_0\right)-r^j\left(T_0^j\right)|\left|\right)-\left(\right||r_A\left(t_0\right)-r^i\left(T_1^i\right)||-||r_A\left(t_0\right)-r^i\left(T_0^i\right)|\left|\right)\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，u代表单位矢量，表示移动站B到j号卫星的单位矢量；表示移动站B到i号卫星的单位矢量；表示j号卫星的双差几何距离泰勒展开的零阶项；r_AB为基准站到移动站的基线矢量；

将式(4)代入式(3)，则线性化的观测方程组为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)-{\mathrm{\ρ}}_0^1-\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)+c{\mathrm{\δt}}_{\mathrm{AB}}^{i1}(T_0,T_1)=-(u_B^1-u_B^i)r_{\mathrm{AB}}+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{i2}(t_0,t_1)-{\mathrm{\ρ}}_0^2-\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{i2}(t_0,t_1)+c{\mathrm{\δt}}_{\mathrm{AB}}^{i2}(T_0,T_1)=-(u_B^2-u_B^i)r_{\mathrm{AB}}+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{AB}}^{i2}(t_0,t_1)\\ \·\·\·\\ \underset{}{{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}}(t_0,t_1)-{\mathrm{\ρ}}_0^k-\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(t_0,t_1)+\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(T_0,T_1)=-(u_B^k-u_B^i)r_{\mathrm{AB}}+{\mathrm{\ϵ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(t_0,t_1)\end{array}\right.---\left(5\right)$

式中，k表示卫星号，k＝1,2,…,j,…m-1；k≠i；k,m为整数；

式(5)中，卫星钟差双差根据实时广播星历参数计算；

(S3)线性观测方程组求解：根据最小二乘估计，即可求得基准站到移动站的基线矢量；

记：

$Y=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)-{\mathrm{\ρ}}_0^1-\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{i1}(t_0,t_1)+\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{i1}(T_0,T_1)\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{i2}(t_0,t_1)-{\mathrm{\ρ}}_0^2-\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{i2}(t_0,t_1)+\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{i2}(T_0,T_1)\\ \·\·\·\\ {\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(t_0,t_1)-{\mathrm{\ρ}}_0^k-\mathrm{\λ}{N}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(t_0,t_1)+\mathrm{c\δ}{t}_{\mathrm{AB}}^{\mathrm{ik}}(T_0,T_1)\end{array}\right],Q=\begin{array}{}\end{array}\left[\begin{array}{c}-(u_B^1-u_B^i)\\ -(u_B^2-u_B^i)\\ \·\·\·\\ -(u_B^k-u_B^i)\end{array}\right]---\left(6\right)$

式中，k表示卫星号，k＝1,2,…,j,…m-1；k≠i；k,m为整数；

根据最小二乘估计原理，求解式(5)，得到：

r_AB＝(Q^TQ)^-1Q^TY          (7)

r_AB即可确定基准站与移动站之间的相对位置。