CN105242292A

CN105242292A - 一种长基线的伪距差分定位方法

Info

Publication number: CN105242292A
Application number: CN201510726134.6A
Authority: CN
Inventors: 魏红波; 雷创; 李城梁; 张果; 程林
Original assignee: CETC 20 Research Institute
Current assignee: CETC 20 Research Institute
Priority date: 2015-10-30
Filing date: 2015-10-30
Publication date: 2016-01-13

Abstract

本发明提供了一种长基线的伪距差分定位方法，由若干颗卫星、用户端和基准站组成本发明的卫导伪距差分模型，首先使用基准站、用户端与卫星的伪距观测方程构建相对于同一颗卫星的伪距单差方程，其次利用不同卫星的伪距单差方程构建包含多颗卫星的非线性的伪距双差方程组，最后采用牛顿迭代最小二乘方法求解出用户端位置。本发明的定位方法下，消除了不同长度基线下伪距差分定位模型本身的误差，使其不随着基线长度的增加而增加，可以维持在很小的误差范围内，完全可以满足高精度定位的需求。

Description

一种长基线的伪距差分定位方法

技术领域

本发明涉及一种伪距差分定位方法，属于卫星导航领域。

背景技术

随着全球卫星导航系统(GNSS)的广泛应用，越来越多的电子设备需要通过卫星来确定其精确位置。GNSS单点定位精度已经远远不能满足车辆控制、航空管制、飞机编队等方面的需求，急需开发和研究高精度的定位设备和定位方法。卫星接收机测量信息中包含着各种误差：卫星时钟误差、卫星星历误差、对流层延时误差、电离层延时误差、多路径误差、接收机噪声等。减少卫星接收机测量信息中的测量误差是提高定位精度的有效方法之一，差分GNSS是一种应用广泛、能够有效消除各种测量误差的方法。差分GNSS的基本工作原理主要依据处在同一区域内的不同接收机，它们的测量值中所包含的卫星时钟误差、卫星星历误差、对流层延时误差、电离层延时误差这四种误差近似相等或高度相关。差分GNSS定位根据GNSS基准站发送的不同信息可分为：位置差分、伪距差分、载波相位差分三类。伪距差分是当前应用最广泛的一类差分定位模式。传统的伪距差分GNSS方法假设用户端、基准站处对同一颗卫星的观测向量是相互平行的，当基线小于10Km时，这一假设带来的模型误差很小，但随着基线长度逐渐增大时模型本身引起的定位误差也逐渐增大。

发明内容

为了克服现有技术的不足，本发明提供一种长基线的伪距差分定位方法，可以满足高精度定位的需求。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：由若干颗卫星S⁽ⁱ⁾、用户端u和基准站r组成本发明的卫导伪距差分模型。首先使用基准站、用户端与卫星S⁽ⁱ⁾的伪距观测方程构建相对于同一颗卫星的伪距单差方程，其次利用不同卫星的伪距单差方程构建包含多颗卫星的非线性的伪距双差方程组，最后采用牛顿迭代最小二乘方法求解出用户端位置。具体步骤如下：

第一步，假定t时刻某颗卫星S⁽ⁱ⁾在地心直角坐标系的坐标为(x_i，y_i，z_i)，基准站r处接收机的地心坐标为(x_r，y_r，z_r)，基准站r处接收机与卫星S⁽ⁱ⁾之间的伪距

ρ_{r}^{(i)} = r_{r}^{(i)} + c ({δt}_{r} - {δt}^{(i)}) + I_{r}^{(i)} + T_{r}^{(i)} + ϵ_{r}^{(i)},

其中，是基准站r与卫星S⁽ⁱ⁾的几何距离，

r_{r}^{(i)} = \sqrt{{(x_{r} - x_{i})}^{2} + {(y_{r} - y_{i})}^{2} + {(z_{r} - z_{i})}^{2}},

c代表光速，δt_r代表基准站r处接收机的时钟钟差，δt⁽ⁱ⁾代表卫星S⁽ⁱ⁾的时钟钟差，代表卫星S⁽ⁱ⁾信号到基准站r的电离层延时，代表卫星S⁽ⁱ⁾信号到基准站r的对流层延时，代表基准站r到卫星S⁽ⁱ⁾伪距测量值的随机噪声量；用户端u的接收机与卫星S⁽ⁱ⁾之间的伪距

ρ_{u}^{(i)} = r_{u}^{(i)} + c ({δt}_{u} - {δt}^{(i)}) + I_{u}^{(i)} + T_{u}^{(i)} + ϵ_{u}^{(i)},

其中，是用户端u与卫星S⁽ⁱ⁾的几何距离，

r_{u}^{(i)} = \sqrt{{(x_{u} - x_{i})}^{2} + {(y_{u} - y_{i})}^{2} + {(z_{u} - z_{i})}^{2}},

δt_u代表用户端u处接收机的时钟钟差，代表卫星S⁽ⁱ⁾信号到用户端u的电离层延时，代表卫星S⁽ⁱ⁾信号到用户端u的对流层延时，代用户端u到卫星S⁽ⁱ⁾伪距测量值的随机噪声量；

第二步，计算基准站、用户端与卫星S⁽ⁱ⁾的单差伪距，即用户端相对于卫星S⁽ⁱ⁾的伪距与基准站相对于卫星S⁽ⁱ⁾的伪距之差

ρ_{u, r}^{(i)} = ρ_{u}^{(i)} - ρ_{r}^{(i)} = r_{u r}^{(i)} + {cδt}_{u r} + I_{u r}^{(i)} + T_{u r}^{(i)} + ϵ_{u r}^{(i)},

其中

r_{u r}^{(i)} = r_{u}^{(i)} - r_{r}^{(i)},

δt_ur＝δt_u-δt_r，

I_{u r}^{(i)} = I_{u}^{(i)} - I_{r}^{(i)}, T_{u r}^{(i)} = T_{u}^{(i)} - T_{r}^{(i)}, ϵ_{u r}^{(i)} = ϵ_{u}^{(i)} - ϵ_{r}^{(i)};

同理，可得基准站、用户端与卫星S^(j)的伪距单差方程式如下：

ρ_{u, r}^{(j)} = ρ_{u}^{(j)} - ρ_{r}^{(j)} = r_{u r}^{(j)} + {cδt}_{u r} + I_{u r}^{(j)} + T_{u r}^{(j)} + ϵ_{u r}^{(j)} - - - (5)

第三步，将用户端与基准站都能收到信号的卫星称为共视卫星，在同一时刻共视卫星S⁽ⁱ⁾和共视卫星S^(j)的双差伪距

ρ_{u r}^{(i j)} = ρ_{u r}^{(i)} - ρ_{u r}^{(j)} = r_{u r}^{(i j)} + ϵ_{u r}^{(i j)} + I_{u r}^{(i j)} + T_{u r}^{(i j)},

其中

r_{u r}^{(i j)} = r_{u r}^{(i)} - r_{u r}^{(j)}, ϵ_{u r}^{(i j)} = ϵ_{u r}^{(i)} - ϵ_{u r}^{(j)}, I_{u r}^{(i j)} = I_{u r}^{(i)} - I_{u r}^{(j)}, T_{u r}^{(i j)} = T_{u r}^{(i)} - T_{u r}^{(j)};

第四步，将用户端、基准站的n颗共视卫星中仰角最大的卫星作为主星S^(k)，得到双差伪距观测方程组

\{\begin{matrix} r_{u}^{(1)} (x, y, z) - r_{u}^{(k)} (x, y, z) = ρ_{u r}^{(1 k)} - ϵ_{u r}^{(1 k)} - I_{u r}^{(1 k)} - T_{u r}^{(1 k)} + (r_{r}^{(1)} - r_{r}^{(k)}) \\ r_{u}^{(2)} (x, y, z) - r_{u}^{(k)} (x, y, z) = ρ_{u r}^{(2 k)} - ϵ_{u r}^{(2 k)} - I_{u r}^{(2 k)} - T_{u r}^{(2 k)} + (r_{r}^{(2)} - r_{r}^{(k)}) \\ ... \\ r_{u}^{(n - 1)} (x, y, z) - r_{u}^{(k)} (x, y, z) = ρ_{u r}^{(n - 1) k} - ϵ_{u r}^{(n - 1) k} - I_{u r}^{(n - 1) k} - T_{u r}^{(n - 1) k} + (r_{r}^{(n - 1)} - r_{r}^{(k)}) \end{matrix};

第五步，利用牛顿迭代最小二乘法求解双差伪距观测方程组，包括以下步骤：

a)设置迭代初始值m＝0，用户端位置初始值X₀＝(x_r，y_r，z_r)；

b)得到线性化的双差伪距观测方程式A·ΔX＝B，其中

Δ X = (\begin{matrix} Δ x \\ Δ y \\ Δ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} x - x_{m} \\ y - y_{m} \\ z - z_{m} \end{matrix}),

A = (\begin{matrix} - {(L^{(1)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}) - L^{(k)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}))}^{T} \\ - {(L^{(2)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}) - L^{(k)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}))}^{T} \\ ... \\ - {(L^{(n - 1)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}) - L^{(k)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}))}^{T} \end{matrix}),

B = (\begin{matrix} ρ_{u r}^{(1 k)} - ϵ_{u r}^{(1 k)} - I_{u r}^{(1 k)} - T_{u r}^{(1 k)} + (r_{r}^{(1)} - r_{r}^{(k)}) - (r_{u}^{(1)} (X_{m}) - r_{u}^{(k)} (X_{m})) \\ ρ_{u r}^{(2 k)} - ϵ_{u r}^{(2 k)} - I_{u r}^{(2 k)} - T_{u r}^{(2 k)} + (r_{r}^{(2)} - r_{r}^{(k)}) - (r_{u}^{(2)} (X_{m}) - r_{u}^{(k)} (X_{m})) \\ ... \\ ρ_{u r}^{(n - 1) k} - ϵ_{u r}^{(n - 1) k} - I_{u r}^{(n - 1) k} - T_{u r}^{(n - 1) k} + (r_{r}^{(n - 1)} - r_{r}^{(k)}) - (r_{u}^{(n - 1)} (X_{m}) - r_{u}^{(k)} (X_{m})) \end{matrix}),

L^{(i)} (x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{{(x - x_{i})}^{2} + {(y - y_{i})}^{2} + {(z - z_{i})}^{2}}} [\begin{matrix} x_{i} - z \\ y_{i} - y \\ z_{i} - z \end{matrix}];

c)利用最小二乘法求解线性化的双差伪距观测方程式，得到ΔX＝(A^TA)-¹A^TB，其中A^T代表A的转置，(A^TA)^-1代表A^TA的逆矩阵；

d)更新第m+1次的迭代值X_m+1＝X_m+ΔX；

e)如果第m+1次与第m次迭代值的误差小于预先设定的门限值，则将X_m+1作为用户端的定位位置结果，步骤结束；否则m值增加1，返回步骤b)。

本发明的有益效果是：改进传统的伪距差分定位模型假设，即在用户端、基准站处对同一颗卫星的观测向量是相互平行的，有效地解决了传统平行假设在基线长度逐渐增大时模型本身引起的定位误差也逐渐增大的问题；在本发明的定位方法下，消除了不同长度基线下伪距差分定位模型本身的误差，使其不随着基线长度的增加而增加，可以维持在很小的误差范围内，完全可以满足高精度定位的需求。

此外本发明也可以应用于飞机编队的相对定位。例如一个飞机编队有一架长机和多架架僚机，可以把长机看成用户端，把每一架僚机看成是移动的基准站，那么每一架僚机利用自己的位置、僚机机载接收机的伪距测量值和长机机载接收机的伪距测量值，可以获得僚机相对于长机的位置，从而完成飞机编队的相对定位。

附图说明

图1是本发明的卫导伪距差分模型示意图；

图2是本发明方法的流程框架示意图；

图3是传统伪距差分模型示意图；

图4是传统方法定位误差示意图；

图5是本发明定位误差示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明，本发明包括但不仅限于下述实施例。

图1是本发明的卫导伪距差分模型示意图，它由若干颗卫星S⁽ⁱ⁾，用户端u，基准站r组成。已知基准站位置、基准站与若干颗卫星S⁽ⁱ⁾的伪距、用户端与若干颗卫星S⁽ⁱ⁾的伪距，并利用这些位置和伪距测量信息求解用户端位置。图2是本发明方法的流程框架图。

第一步：建立伪距观测方程式

假定t时刻某颗卫星S⁽ⁱ⁾在地心直角坐标系的坐标为(x_i，y_i，z_i)，基准站r处接收机的地心坐标为(x_r，y_r，z_r)，基准站r处接收机与卫星S⁽ⁱ⁾之间的伪距测量值为则基准站相对于卫星的伪距观测方程式可表示为：

ρ_{r}^{(i)} = r_{r}^{(i)} + c ({δt}_{r} - {δt}^{(i)}) + I_{r}^{(i)} + T_{r}^{(i)} + ϵ_{r}^{(i)} - - - (1)

其中，是基准站r与卫星S⁽ⁱ⁾的几何距离，即

r_{r}^{(i)} = \sqrt{{(x_{r} - x_{i})}^{2} + {(y_{r} - y_{i})}^{2} + {(z_{r} - z_{i})}^{2}} - - - (2)

方程式(1)中圆括号内的上标(如i)代表卫星编号，而下标(如r和u分别代表基准站接收机和用户端接收机)，其中δt_r代表接收机时钟钟差，δt⁽ⁱ⁾代表卫星S⁽ⁱ⁾时钟钟差，代表卫星S⁽ⁱ⁾信号到基准站的电离层延时，代表卫星S⁽ⁱ⁾信号到基准站的对流层延时，代表基准站到卫星S⁽ⁱ⁾伪距测量的随机噪声量，c代表光速。方程式(1)表示伪距测量值包含基准站r与卫星S⁽ⁱ⁾的几何距离、接收机和卫星时钟钟差误差、电离层延时和对流层延时误差、伪距测量随机噪声量。

同理，可得用户端u的接收机与卫星S⁽ⁱ⁾之间的伪距观测方程式如下：

ρ_{u}^{(i)} = r_{u}^{(i)} + c ({δt}_{u} - {δt}^{(i)}) + I_{u}^{(i)} + T_{u}^{(i)} + ϵ_{u}^{(i)} - - - (3)

第二步：建立伪距单差观测方程式。

由公式(1)与公式(3)可得基准站、用户端与卫星S⁽ⁱ⁾的伪距单差方程式如下：

ρ_{u, r}^{(i)} = ρ_{u}^{(i)} - ρ_{r}^{(i)} = r_{u r}^{(i)} + {cδt}_{u r} + I_{u r}^{(i)} + T_{u r}^{(i)} + ϵ_{u r}^{(i)} - - - (4)

其中

r_{u r}^{(i)} = r_{u}^{(i)} - r_{r}^{(i)},

δt_ur＝δt_u-δt_r，

I_{u r}^{(i)} = I_{u}^{(i)} - I_{r}^{(i)}, T_{u r}^{(i)} = T_{u}^{(i)} - T_{r}^{(i)}, T_{u r}^{(i)} = T_{u}^{(i)} - T_{r}^{(i)},

为用户端相对于卫星S⁽ⁱ⁾的伪距与基准站相对于卫星S⁽ⁱ⁾的伪距之差，称为单差伪距。由于基准站、用户端与同一颗卫星S⁽ⁱ⁾的钟差δt⁽ⁱ⁾是相同的，因此在构造伪距单差方程式时卫星钟差δt⁽ⁱ⁾被彻底消除。

ρ_{u, r}^{(j)} = ρ_{u}^{(j)} - ρ_{r}^{(j)} = r_{u r}^{(j)} + {cδt}_{u r} + I_{u r}^{(j)} + T_{u r}^{(j)} + ϵ_{u r}^{(j)} - - - (5)

第三步：建立伪距双差观测方程式

如果用户端与基准站的接收机都能收到某颗卫星的信号，称这个卫星为共视卫星。在同一时刻对于共视卫星S⁽ⁱ⁾和共视卫星S^(j)，那么由公式(4)和公式(5)相减可得伪距双差观测方程如下：

ρ_{u r}^{(i j)} = ρ_{u r}^{(i)} - ρ_{u r}^{(j)} = r_{u r}^{(i j)} + ϵ_{u r}^{(i j)} + I_{u r}^{(i j)} + T_{u r}^{(i j)} - - - (6)

其中

r_{u r}^{(i j)} = r_{u r}^{(i)} - r_{u r}^{(j)}, ϵ_{u r}^{(i j)} = ϵ_{u r}^{(i)} - ϵ_{u r}^{(j)}, I_{u r}^{(i j)} = I_{u r}^{(i)} - I_{u r}^{(j)}, T_{u r}^{(i j)} = T_{u r}^{(i)} - T_{u r}^{(j)},

为单差伪距与单差伪距之差，称为双差伪距。由于基准站、用户端时钟钟差δt_ur对不同的卫星是相同的，因此在构造双差伪距方程式时基准站、用户端接收机钟差δt_ur被彻底消除。

第四步：建立多颗共视卫星的伪距双差观测方程组

在实际应用中，用户端、基准站接收机的共视卫星数量都会多余4颗。设用户端、基准站接收机的共视卫星数量为n(≥4)颗，并将这n颗共视卫星中仰角最大的卫星作为主星(将主星记为S^(k))。利用(n-1)个相互独立的双差伪距观测方程可得如下的双差伪距观测方程组：

\{\begin{matrix} r_{u}^{(1)} (x, y, z) - r_{u}^{(k)} (x, y, z) = ρ_{u r}^{(1 k)} - ϵ_{u r}^{(1 k)} - I_{u r}^{(1 k)} - T_{u r}^{(1 k)} + (r_{r}^{(1)} - r_{r}^{(k)}) \\ r_{u}^{(2)} (x, y, z) - r_{u}^{(k)} (x, y, z) = ρ_{u r}^{(2 k)} - ϵ_{u r}^{(2 k)} - I_{u r}^{(2 k)} - T_{u r}^{(2 k)} + (r_{r}^{(2)} - r_{r}^{(k)}) \\ ... \\ r_{u}^{(n - 1)} (x, y, z) - r_{u}^{(k)} (x, y, z) = ρ_{u r}^{(n - 1) k} - ϵ_{u r}^{(n - 1) k} - I_{u r}^{(n - 1) k} - T_{u r}^{(n - 1) k} + (r_{r}^{(n - 1)} - r_{r}^{(k)}) \end{matrix} - - - (7)

第五步：利用牛顿迭代最小二乘法求解伪距双差观测方程组

伪距双差观测方程组是包含用户端的位置(x，y，z)三个分量的非线性方程组，可利用牛顿迭代最小二乘法求解，其计算过程可以分为以下几个步骤：

a)设置初始值

迭代初始值X₀＝(x_r，y_r，z_r)。

b)伪距双差观测方程组线性化

X_m＝(x_m，y_m，z_m)为第m次迭代计算出的用户端位置。公式(7)中第一个等式的非线性项在X_m处的一阶泰勒展开为

\begin{matrix} r_{u}^{(1)} (x, y, z) \approx r_{u}^{(1)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}) \\ + \frac{\partial r_{u}^{(1)} (x_{m}, y_{m}, z_{m})}{\partial x} (x - x_{m}) + \frac{\partial r_{u}^{(1)} (x_{m}, y_{m}, z_{m})}{\partial y} (y - y_{m}) + \frac{\partial r_{u}^{(1)} (x_{m}, y_{m}, z_{m})}{\partial z} (z - z_{m}) \end{matrix} - - - (8)

将公式(8)代入公式(7)中第一个等式可得：

\begin{matrix} - {(L^{(1)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}) - L^{(k)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}))}^{T} \cdot (\begin{matrix} x - x_{m} \\ y - y_{m} \\ z - z_{m} \end{matrix}) \\ = ρ_{u r}^{(1 k)} - ϵ_{u r}^{(1 k)} - I_{u r}^{(1 k)} - T_{u r}^{(1 k)} + (r_{r}^{(1)} - r_{r}^{(k)}) - (r_{u}^{(1)} (X_{m}) \\ - r_{u}^{(k)} (X_{m})) \end{matrix} - - - (9)

其中

L^{(i)} (x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{{(x - x_{i})}^{2} + {(y - y_{i})}^{2} + {(z - z_{i})}^{2}}} [\begin{matrix} x_{i} - x \\ y_{i} - y \\ z_{i} - z \end{matrix}] .

利用公式(7)和(9)，可得线性化的双差伪距观测方程式：

A·ΔX＝B(10)

其中

Δ X = (\begin{matrix} Δ x \\ Δ y \\ Δ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} x - x_{m} \\ y - y_{m} \\ z - z_{m} \end{matrix}),

上标T表示向量转置，A和B的定义如下：

A = (\begin{matrix} - {(L^{(1)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}) - L^{(k)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}))}^{T} \\ - {(L^{(2)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}) - L^{(k)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}))}^{T} \\ ... \\ - {(L^{(n - 1)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}) - L^{(k)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}))}^{T} \end{matrix}),

B = (\begin{matrix} ρ_{u r}^{(1 k)} - ϵ_{u r}^{(1 k)} - I_{u r}^{(1 k)} - T_{u r}^{(1 k)} + (r_{r}^{(1)} - r_{r}^{(k)}) - (r_{u}^{(1)} (X_{m}) - r_{u}^{(k)} (X_{m})) \\ ρ_{u r}^{(2 k)} - ϵ_{u r}^{(2 k)} - I_{u r}^{(2 k)} - T_{u r}^{(2 k)} + (r_{r}^{(2)} - r_{r}^{(k)}) - (r_{u}^{(2)} (X_{m}) - r_{u}^{(k)} (X_{m})) \\ ... \\ ρ_{u r}^{(n - 1) k} - ϵ_{u r}^{(n - 1) k} - I_{u r}^{(n - 1) k} - T_{u r}^{(n - 1) k} + (r_{r}^{(n - 1)} - r_{r}^{(k)}) - (r_{u}^{(n - 1)} (X_{m}) - r_{u}^{(k)} (X_{m})) \end{matrix})

c)求解线性化的方程组

利用最小二乘法求解线性方程组可得:

ΔX＝(A^TA)^-1A^TB

其中A^T代表A的转置，（A^TA）^-1代表A^TA的逆矩阵。

d)更新第m+1次的迭代值

X_m+1＝X_m+ΔX(11)

e)如果第m+1次与第m次迭代值的误差小于预先设定的门限值10^-3，则将X_m+1作为用户端的定位位置结果，e)步骤结束，第五步结束；否则m值增加1，回到第五步中的b)步骤。

下面通过模拟仿真进一步说明本发明的效果。

模拟仿真内容：本发明通过仿真不同基线长度下用户端的定位结果，将本发明提出的方法与传统方法进行比较。图3是传统伪距差分模型示意图，它假设用户处、基准站处对同一颗卫星的观测向量是相互平行的。在仿真中通过GNSS接收机获得5颗卫星的伪距，调整基线长度变化范围从1Km到100Km。

图4是传统方法的定位误差，图5是本发明方法的定位误差。由图3可知，在短基线下(小于10Km)，两种方法的定位误差都小于1.2m。但在长基线下(大于10Km)，随着基线长度的增加，传统方法的定位误差呈指数级的增加。而由图4可知，本发明提出的新方法经过2～３次的牛顿迭代求解，其定位误差并不受基线长度变化的影响，并且定位误差始终保持在10^-8m以下。由此可见，本发明的方法消除了伪距差分模型本身引起的定位误差，能够满足高精度定位的要求。

Claims

1.一种长基线的伪距差分定位方法，其特征在于包括下述步骤：

ρ_{r}^{(i)} = r_{r}^{(i)} + c ({δt}_{r} - {δt}^{(i)}) + I_{r}^{(i)} + T_{r}^{(i)} + ϵ_{r}^{(i)},

其中，是基准站r与卫星S⁽ⁱ⁾的几何距离，

r_{r}^{(i)} = \sqrt{{(x_{r} - x_{i})}^{2} + {(y_{r} - y_{i})}^{2} + {(z_{r} - z_{i})}^{2}},

ρ_{u}^{(i)} = r_{u}^{(i)} + c ({δt}_{u} - {δt}^{(i)}) + I_{u}^{(i)} + T_{u}^{(i)} + ϵ_{u}^{(i)},

其中，是用户端u与卫星S⁽ⁱ⁾的几何距离，

r_{u}^{(i)} = \sqrt{{(x_{u} - x_{i})}^{2} + {(y_{u} - y_{i})}^{2} + {(z_{u} - z_{j})}^{2}},

ρ_{u, r}^{(i)} = ρ_{u}^{(i)} - ρ_{r}^{(i)} = r_{u r}^{(i)} + {cδt}_{u r} + I_{u r}^{(i)} + T_{u r}^{(i)} + ϵ_{u r}^{(i)},

其中

r_{u r}^{(i)} = r_{u}^{(i)} - r_{r}^{(i)},

δt_ur＝δt_u-δt_r，

I_{u r}^{(i)} = I_{u}^{(i)} - I_{r}^{(i)},

T_{u r}^{(i)} = T_{u}^{(i)} - T_{r}^{(i)},

ϵ_{u r}^{(i)} = ϵ_{u}^{(i)} - ϵ_{r}^{(i)};

同理，可得基准站、用户端与卫星S⁽ⁱ⁾的伪距单差方程式如下：

ρ_{u, r}^{(j)} = ρ_{u}^{(j)} - ρ_{r}^{(j)} = r_{u r}^{(j)} + {cδt}_{u r} + I_{u r}^{(j)} + T_{u r}^{(j)} + ϵ_{u r}^{(j)} - - - (5)

第三步，将用户端与基准站都能收到信号的卫星称为共视卫星，在同一时刻共视卫星S⁽ⁱ⁾和共视卫星S⁽ⁱ⁾的双差伪距其中

r_{u r}^{(i j)} = r_{u r}^{(i)} - r_{u r}^{(j)},

ϵ_{u r}^{(i j)} = ϵ_{u r}^{(i)} - ϵ_{u r}^{(j)},

I_{u r}^{(i j)} = I_{u r}^{(i)} - I_{u r}^{(j)},

T_{u r}^{(i j)} = T_{u r}^{(i)} - T_{u r}^{(j)};

\{\begin{matrix} r_{u}^{(1)} (x, y, z) - r_{u}^{(k)} (x, y, z) = ρ_{u r}^{(1 k)} - ϵ_{u r}^{(1 k)} - I_{u r}^{(1 k)} - T_{u r}^{(1 k)} + (r_{r}^{(1)} - r_{r}^{(k)}) \\ r_{u}^{(2)} (x, y, z) - r_{u}^{(k)} (x, y, z) = ρ_{u r}^{(2 k)} - ϵ_{u r}^{(2 k)} - I_{u r}^{(2 k)} - T_{u r}^{(2 k)} + (r_{r}^{(2)} - r_{r}^{(k)}) \\ ... \\ r_{u}^{(n - 1)} (x, y, z) - r_{u}^{(k)} (x, y, z) = ρ_{u r}^{(n - 1) k} - ϵ_{u r}^{(n - 1) k} - I_{u r}^{(n - 1) k} - T_{u r}^{(n - 1) k} + (r_{r}^{(n - 1)} - r_{r}^{(k)}) \end{matrix};

b)得到线性化的双差伪距观测方程式A·△X＝B，其中

ΔX = (\begin{matrix} Δx \\ Δy \\ Δz \end{matrix}) = (\begin{matrix} x - x_{m} \\ y - y_{m} \\ z - z_{m} \end{matrix}),

A = (\begin{matrix} - {(L^{(1)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}) - L^{(k)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}))}^{T} \\ - {(L^{(2)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}) - L^{(k)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}))}^{T} \\ ... \\ - {(L^{(n - 1)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}) - L^{(k)} (x_{m}, y_{m}, z_{m}))}^{T} \end{matrix}),

B = (\begin{matrix} ρ_{u r}^{(1 k)} - ϵ_{u r}^{(1 k)} - I_{u r}^{(1 k)} - T_{u r}^{(1 k)} + (r_{r}^{(1)} - r_{r}^{(k)}) - (r_{u}^{(1)} (X_{m}) - r_{u}^{(k)} (X_{m})) \\ ρ_{u r}^{(2 k)} - ϵ_{u r}^{(2 k)} - I_{u r}^{(2 k)} - T_{u r}^{(2 k)} + (r_{r}^{(2)} - r_{r}^{(k)}) - (r_{u}^{(2)} (X_{m}) - r_{u}^{(k)} (X_{m})) \\ ... \\ ρ_{u r}^{(n - 1) k} - ϵ_{u r}^{(n - 1) k} - I_{u r}^{(n - 1) k} - T_{u r}^{(n - 1) k} + (r_{r}^{(n - 1)} - r_{r}^{(k)}) - (r_{u}^{(n - 1)} (X_{m}) - r_{u}^{(k)} (X_{m})) \end{matrix}),

L^{(i)} (x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{{(x - x_{i})}^{2} + {(y - y_{i})}^{2} + {(z - z_{i})}^{2}}} [\begin{matrix} x_{i} - x \\ y_{i} - y \\ z_{i} - z \end{matrix}];

c)利用最小二乘法求解线性化的双差伪距观测方程式，得到△X＝(A^TA)^-1A^TB，其中A^T代表A的转置，(A^TA)^-1代表A^TA的逆矩阵；

d)更新第m+1次的迭代值X_m+1＝X_m+△X；