CN104408027A - 一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及信号识别领域，特别涉及盲源/信号分离领域，具体指一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法，本发明方法根据观测混合采样数据的广义协方差矩阵，建立核函数方程集，通过将这些核函数方程集堆叠成三维张量模型，最后采用张量Tucker分解求其因子矩阵，进而辨识欠定混合系统特性或混合矩阵。本技术发明方法对于传统欠定盲源分离中的混合矩阵辨识方法，具有有效的改善性能和较低计算复杂度的技术优势，本发明方法为在阵列信号处理与卫星通信的盲抗干扰技术提供了技术基础。

Description

一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法

技术领域

本发明涉及信号识别领域，特别涉及盲源/信号分离领域。

背景技术

盲源/信号分离应用于无线通信系统中具有重要的技术优势：减少了对导频的使用，可以提高系统的频谱效率；放宽了对先验信息的依赖，可以避免繁琐的基于导频的信道估计，同时可以克服估计误差带来的性能损伤，进而提高源信号恢复的鲁棒性；可以分离时频域相互重叠的混合信号，对于无线通信中的抗同频干扰有着重要的意义。

盲源/信号分离是指仅从观测混合信号出提取或分离未知的源信号和辨识未知的混合系统特性，即混合矩阵。按照不同的源信号数和观测信号数，可以分为正定、欠定和超定盲源分离模型。现今欠定的模型是研究的热点和难点。

在无线通信中，欠定的模型普遍存在，如欠定MIMO天线模型。欠定盲辨识是指辨识欠定盲源分离模型中的混合矩阵，混合矩阵的获取对源信号的进一步恢复是不可或缺的关键技术。

现有的欠定盲辨识方法大致可以分为两类，一类是基于信号稀疏性算法的欠定盲辨识，另一类是基于统计结构代数算法的欠定盲辨识。

第一类算法假设源信号是稀疏的，或借助于一些预处理变换信号为可稀疏化的，这类方法，往往需要借助于聚类方法执行混合矩阵向量空间的搜索，然而此方法的代价较高，尤其是当观测信道是大于两个的情况时。此外，源的稀疏性限制约束了此类算法的适用性。

第二类算法，是基于统计特性代数结构的，即基于二阶协方差和四阶累积量数据结构的的欠定盲辨识，典型的代表算法是四阶欠定盲辨识(FOBIUM)和二阶欠定盲辨识(SOBIUM)。然而FOBIUM算法复杂度较高，对累积量的估计将直接影响该算法的性能，尤其在较短采样数时，高阶统计信息的估计会变差，只能增加采样，以复杂度换取性能。SOBIUM算法利用延时的协方差矩阵，此二阶统计的方法又失去了高阶统计优越性能,如对高斯噪声的不敏感性。

一种基于新的统计工具的方法，即基于广义协方差矩阵的欠定盲辨识方法，该方法可以协调上述两种算法的不足之处。因为广义协方差矩阵不仅包含了二阶统计信息，还暗含有高阶统计信息，同时又维持着简单的二维协方差的结构。

此外上述两种传统方法都是基于张量的标准分解形式，由于为了得到较好的统计信息，需要构建的张量的维数一般较大，所以分解复杂度相对较高。Tucker分解相当于三维的主成分分析方法，可以压缩原张量的维数，所以可以有效降低分解处理的复杂度。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术中所存在的上述不足，提供一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法，利用广义协方差矩阵性质改善性能，利用Tucker张量分解降低计算复杂度。

为了实现上述发明目的，本发明提供了以下技术方案：

一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法，包含如下处理步骤：

(1)根据观测到的混合的采样数据在多个不同处理点的广义协方差建立对应的广义协方差矩阵；

(2)并通过广义协方差的性质，并根据所述步骤(1)中的广义协方差矩阵建立核函数方程集；

(3)将所述核函数方程集堆叠成三维张量模型；

(4)采用张量Tucker分解方法将所述步骤(3)中的原张量压缩为一个核张量；

(5)利用交替最小二乘求所述步骤(4)中的因子矩阵，从而辨识出盲源分离的混合矩阵。而盲辨识的目的是，从观测混合数据中辨识混合矩阵，通过上述步骤方法达到了盲源识别的目的。

为使本发明的实现过程、技术方案和优点更加清楚，以下结合数学公式对本发明作进一步地详细说明。(首先对说明书中使用的数学符号作简略说明：标量使用小写斜体字母比如说(a,b,...)，向量使用小写黑体字母比如说(a,b,...)，矩阵用黑体大写字母比如说(A,B,...)，张量用书法体字母(A,B,...)；A_ij表示第i行第j列的元素，可类推到张量。矩阵A的第i列表示为a_i，即A＝[a₁ a₂ ...]；(·)^T，(·)^H和(·)^*分别表示矩阵的转置，共轭转置和共轭运算，“○”表示向量的外积，表示复数域；rank(·)表示矩阵的秩。"×_n",n＝1,2,3表示张量中的模n乘运算。)

本发明基于基本盲源分离混合模型，基本盲源分离线性混合模型为：x(t)＝As(t)+n(t)，其中 欠定条件J＜Q，表示复数域。

盲源识别的目的即是从x(t)＝As(t)+n(t)中求解因子矩阵A的过程。

(1)根据观测到的混合的采样数据在多个不同处理点的广义协方差建立对应的广义协方差矩阵；具体过程为：

根据广义协方差定义：设一随机变量函数映射函数映射g₁(x)和g₂(x)关于x在任意处理点的广义协方差矩阵定义为

当g₁(x)＝g₂(x)＝g(x)，由广义协方差定义式可变形为：

${\mathrm{\Ψ}}_x[g\left(x\right);\mathrm{\τ}]\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{\mathrm{\Ψ}}_x[g\left(x\right),g\left(x\right);\mathrm{\τ}]$

Ψ_x[g(x)；τ]是一个对称，半正定矩阵，具有和一般协方差矩阵众多相似的性质。当τ＝0时，广义协方差等同于一般协方差矩阵。

根据上述公式，需要定义广义均值：设一随机变量函数映射关于X在任意处理点τ的广义均值定义为：

广义均值和一般的均值期望运算具有众多的相同性质，例如在基于统计独立的分离中，g(x)是线性性质的，而当τ＝0时，广义均值变为一般的均值。

广义协方差线性变换：如果分别是常数矩阵和常数向量，那么混合的采样数据在多个不同处理点的广义协方差建立对应的广义协方差矩阵为：

根据广义协方差独立性：如果可以被划分为两个统计独立的分组和K₁+K₂＝K，那么对所有存在的 是块对角的(关于相应的划分部分)。

步骤(2)中，利用广义协方差的性质，可以在混合矩阵和观察信号的广义协方差矩阵间建立核函数，通过评估K个任意的处理点τ₁,...,τ_K处的核函数，核函数的处理相当于得到典型的联合对角化的模型，通过转换为张量分解的模型，进而可以借助张量分解求其系统的混合矩阵。下面具体讲述上述方法的实现过程：

考虑广义协方差性质和盲源分离的基本模型x＝As，可以得到核函数

Ψ_x(τ)＝AΨ_s(A^Hτ)A^H

可以得知相互统计独立的源信号S的广义协方差矩阵是一个严格对角化矩阵。因此可以将K个任意的处理点τ₁,...,τ_K的核函数堆叠，得到核函数方程集：

Ψ_x(τ₁)＝AΨ_s(A^Hτ₁)A^H

·

·

·

Ψ_x(τ_K)＝AΨ_s(A^Hτ_K)A^H

步骤(3)：现有方法中，堆叠K个观测信号的广义协方差矩阵为一个张量其中i＝1,...,J，j＝1,...,J，k＝1,...,K。定义矩阵 k＝1,...,K，r＝1,...,R。那么有如下形式的核张量(标准分解)，

$m_{\mathrm{ijk}}=\underset{r=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ir}}{a}_{\mathrm{jr}}^{*}{d}_{\mathrm{kr}}$

进一步可以写为如下形式：

根据上述公式可知,传统的标准分解复杂度较高。

本发明方法中，所述步骤(4)将原张量M采用Tucker分解进行压缩：

Tucker分解的方法相当于对原张量进行三维的主成分分析；根据张量M的模-1，模-2，模-3矩阵为 相应的n-秩为(n＝1,2,3)

rank₁(M)＝rank₂(M)＝rank(M₍₁₎)＝rank(M₍₂₎)＝J

此外设定rank₃(M)＝L，L≤K，则M是一个rank-(J,J,L)张量。

根据上述公式,M的Tucker分解形式可以表示为：

M＝T×₁I×₂I×₃G

此处为核张量，为单位矩阵，为酉矩阵。经过公式变换，可以得到：

T＝M×₁I×₂I×₃G^H

是一个核张量，核张量是一个对称张量，对其进行如图5所述的张量的标准分解，求其因子矩阵。

本发明步骤(5)中，采用交替最小二乘法，实现核张量的标准分解形式，即有，

由于Tucker分解的第一、二因子都是单位矩阵，所以对盲源分离模型中混合矩阵A可以直接得到，无需解压缩，即

$A=I\tilde{A}=\tilde{A}$

这样通过简单的计算过程实现盲源分离模型中因子矩阵A的求解。

进一步的，所述步骤(5)中,也可以使用交替最小二乘方法的其他变体形式来辨识盲源分离的混合矩阵。

对张量进行标准分解的，直接采用的交替最小二乘的计算复杂度为O(3QKJ²+JKQ²+J²Q²)。而对进行Tucker分解压缩为核张量和核张量分解计算的复杂度为O(J⁶)和O(3QLJ²+JLQ²+J²Q²)。

由于为了聚集充分的统计信息，需要选取的处理点数K一般很大，而压缩后的L值较小；故而Tucker分解降低了计算复杂度。

与现有技术相比，本发明的有益效果：

本发明方法包含的步骤包括，(1)根据观测到的混合的采样数据在多个不同处理点的广义协方差矩阵；

(2)并通过广义协方差的性质建立核函数方程集；

(3)通过将所述核函数方程集堆叠成三维张量模型；

(4)最后采用张量Tucker分解压缩原张量为一个核张量；

(5)再利用交替最小二乘求其因子矩阵，从而辨识出盲源分离的混合矩阵。

本发明方法通过广义协方差矩阵的性质，建立的核函数方程集，并将所述核函数方程集堆叠成三维张量模型，并通过张量Tucker分解方法将原张量压缩成核张量，最后通过交替最小二乘法辨识出盲源分离的混合矩阵，降低了计算的复杂度，有效避免了维数灾难；在盲源分离和信号识别领域具有重要的应用价值。

本发明方法与现有技术中的两种经典算法相比，从统计特性原理上来说，基于四阶累积量FOBIUM需要长采样才能有效估计得到统计信息，且对四阶累积量的估计具有较高的复杂度，而它的优势在于对高斯噪声的不敏感性；而基于二阶协方差的SOBIUM，虽然可以从较短的采样数据中准确估计协方差，但是与四阶累积量相比，却无对高斯噪声的抑制性；本发明中，基于广义协方差的欠定盲辨识方法，由于广义协方差的二维结构，估计简单，同时又包含了高阶统计信息，有效协调了现有技术中两种算法的不足之处，所以可以得出更有优势的估计性能。此外现有技术中的两种算法的采用标准分解的复杂度较高，而本发明方法由于借助Tucker分解的压缩处理，使其原分解问题的计算变得方便。

总之本发明协调了现有技术中的基于四阶累积量FOBIUM计算方法和基于二阶协方差的SOBIUM计算方法的优缺点，可以得到更有优势的估计性能，同时采用了建立核函数方程集和核张量以及采用Tucker分解的计算方法，较为简单的求解出盲源分离的因子矩阵，降低了计算的复杂度。本发明方法为在阵列信号处理与卫星通信的盲抗干扰技术提供了技术基础。

附图说明：

图1为：本方式实现过程示意图。

图2为：盲源分离的基本模型示意图。

图3为：张量标准分解形式示意图。

图4为：张量Tucker分解形式示意图。

图5为：核张量标准分解形式示意图。

具体实施方式

下面结合试验例及具体实施方式对本发明作进一步的详细描述。但不应将此理解为本发明上述主题的范围仅限于以下的实施例，凡基于本发明内容所实现的技术均属于本发明的范围。

一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法，包含如下处理步骤，实现流程如图1所示：

(1)根据观测到的混合的采样数据在多个不同处理点的广义协方差建立对应的广义协方差矩阵；

(2)根据所述步骤(1)中的广义协方差矩阵，并通过广义协方差的性质，建立核函数方程集；

(3)将所述核函数方程集堆叠成三维张量模型；

(4)采用张量Tucker分解方法将所述步骤(3)中的原张量压缩为一个核张量；

(5)利用交替最小二乘求所述步骤(4)中的因子矩阵，从而辨识出盲源分离的混合矩阵。而盲辨识的目的是，从观测混合数据中辨识混合矩阵，通过上述步骤方法，达到了盲源识别的目的。

为使本发明的实现过程、技术方案和优点更加清楚，以下结合数学公式对本发明作进一步地详细说明。

本发明基于基本盲源分离混合模型，基本盲源分离线性混合模型为：x(t)＝As(t)+n(t)，如图2所示盲源分离的基本模型，其中欠定条件J＜Q，表示复数域；具体的，观测信号是通过信源信号乘以混合因子矩阵的结果，加上噪声信号而得出；而盲源分离的过程就是求解因子矩阵A，进而获得分离出的信源的过程。

简言之，盲源识别的目的即是从x(t)＝As(t)+n(t)中求解因子矩阵A的过程。

本发明步骤(1)根据观测到的混合的采样数据在多个不同处理点的广义协方差建立对应的广义协方差矩阵；具体过程为：

根据广义协方差定义：设一随机变量函数映射函数映射g₁(x)和g₂(x)关于x在任意处理点的广义协方差矩阵定义为

当g₁(x)＝g₂(x)＝g(x)，由广义协方差定义式可变形为：

${\mathrm{\Ψ}}_x[g\left(x\right);\mathrm{\τ}]\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{\mathrm{\Ψ}}_x[g\left(x\right),g\left(x\right);\mathrm{\τ}]$

Ψ_x[g(x)；τ]是一个对称，半正定矩阵，具有和一般协方差矩阵众多相似的性质。当τ＝0时，广义协方差等同于一般协方差矩阵。

根据上述公式，需要定义广义均值：设一随机变量函数映射关于X在任意处理点τ的广义均值定义为：

广义均值和一般的均值期望运算具有众多的相同性质，例如在基于统计独立的分离中，g(x)是线性性质的，而当τ＝0时，广义均值变为一般的均值。

广义协方差线性变换：如果分别是常数矩阵和常数向量，那么混合的采样数据在多个不同处理点的广义协方差建立对应的广义协方差矩阵为：

根据广义协方差独立性：如果可以被划分为两个统计独立的分组和K₁+K₂＝K，那么对所有存在的 是块对角的(关于相应的划分部分)。

步骤(2)中，利用广义协方差的性质，可以在混合矩阵和观察信号的广义协方差矩阵间建立核函数，通过评估K个任意的处理点τ₁,...,τ_K处的核函数，相当于得到典型的联合对角化的模型，通过简单的处理可以转换为张量分解的模型，进而可以借助张量分解求其系统的混合矩阵。下面具体讲述上述方法的实现过程：

考虑广义协方差性质和盲源分离的基本模型x＝As，可以得到核函数

Ψ_x(τ)＝AΨ_s(A^Hτ)A^H

可以得知相互统计独立的源信号S的广义协方差矩阵是一个严格对角化矩阵。因此可以将K个任意的处理点τ₁,...,τ_K的核函数堆叠，得到核函数方程集：

Ψ_x(τ₁)＝AΨ_s(A^Hτ₁)A^H

·

·

·

Ψ_x(τ_K)＝AΨ_s(A^Hτ_K)A^H

步骤(3)：现有方法中，堆叠K个观测信号的广义协方差矩阵为一个张量其中i＝1,...,J，j＝1,...,J，k＝1,...,K。定义矩阵 k＝1,...,K，r＝1,...,R。那么有如下形式的核张量(标准分解)，

$m_{\mathrm{ijk}}=\underset{r=1}{\overset{R}{\mathrm{\Σ}}}{a}_{\mathrm{ir}}{a}_{\mathrm{jr}}^{*}{d}_{\mathrm{kr}}$

进一步可以写为如下形式，如图3所示其张量分解形式，

根据上述公式可知,传统的标准分解复杂度较高。

本发明方法中，所述步骤(4)将原张量M采用Tucker分解进行压缩：

Tucker分解的方法如图4所示，相当于对原张量进行三维的主成分分析；根据张量M的模-1，模-2，模-3矩阵为 相应的n-秩为(n＝1,2,3)

rank₁(M)＝rank₂(M)＝rank(M₍₁₎)＝rank(M₍₂₎)＝J

此外设定rank₃(M)＝L，L≤K，则M是一个rank-(J,J,L)张量。

根据上述公式,M的Tucker分解形式可以表示为，如图4所示Tucker分解形式：

M＝T×₁I×₂I×₃G

此处为核张量，为单位矩阵，为酉矩阵。经过公式变换，可以得到：

T＝M×₁I×₂I×₃G^H

是一个核张量，核张量是一个对称张量，对其进行如图5所述的张量的标准分解，求其因子矩阵。

本发明步骤(5)中，采用交替最小二乘法，实现如图5核张量的标准分解形式，即有，

由于Tucker分解的第一、二因子都是单位矩阵，所以对盲源分离模型中混合矩阵A就可以直接得到，无需解压缩，即

$A=I\tilde{A}=\tilde{A}$

这样通过简单的计算过程实现盲源分离模型中因子矩阵A的求解。

进一步的，所述步骤(5)中,也可以使用交替最小二乘方法的其他变体形式来辨识盲源分离的混合矩阵。

对张量进行标准分解的，直接采用的交替最小二乘的计算复杂度为O(3QKJ²+JKQ²+J²Q²)。对进行Tucker分解压缩为核张量和核张量分解计算的复杂度为O(J⁶)和O(3QLJ²+JLQ²+J²Q²)。

由于为了聚集充分的统计信息，需要选取的处理点数K一般很大，而压缩后的L值较小。故而Tucker分解降低了计算复杂度。

综上所述，本发明方法通过广义协方差矩阵的性质，建立的核函数方程集，并将所述核函数方程集堆叠成三维张量模型，并通过张量Tucker分解方法将原张量压缩成核张量，最后通过交替最小二乘法辨识出盲源分离的混合矩阵，降低了计算的复杂度，有效避免了维数灾难；在盲源分离和信号识别领域具有重要的应用价值。

本发明方法与现有技术中的两种经典算法相比，从统计特性原理上来说，基于四阶累积量FOBIUM需要长采样才能有效估计得到统计信息，且对四阶累积量的估计具有较高的复杂度，而它的优势在于对高斯噪声的不敏感性；而基于二阶协方差的SOBIUM，虽然可以从较短的采样数据中准确估计协方差，但是与四阶累积量相比，却无对高斯噪声的抑制性；本发明中，基于广义协方差的欠定盲辨识方法，由于广义协方差的二维结构，估计简单，同时又包含了高阶统计信息，有效协调了现有技术中两种算法的不足之处，所以可以得出更有优势的估计性能。此外现有技术中的两种算法的采用标准分解的复杂度较高，而本发明方法由于借助Tucker分解的压缩处理，使其原分解问题的计算变得方便。

总之本发明发明协调了现有技术中的基于四阶累积量FOBIUM计算方法和基于二阶协方差的SOBIUM计算方法的优缺点，可以得到更有优势的估计性能，同时采用了建立核函数方程集和核张量以及采用Tucker分解的计算方法，较为简单的求解出盲源分离的因子矩阵，降低了计算的复杂度。本发明方法为在阵列信号处理与卫星通信的盲抗干扰技术提供了技术基础。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些改动和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。

Claims (10)

1.一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法，其特征是，包含如下处理步骤：

(1)根据观测到的混合的采样数据，建立广义协方差矩阵；

(2)通过广义协方差矩阵的性质建立对应的核函数方程集；

(3)将步骤(2)所述的核函数方程集堆叠成三维张量模型；

(4)采用张量Tucker分解，将所述步骤(3)中的张量压缩为核张量；

(5)利用交替最小二乘法求所述步骤(4)中核张量的因子矩阵，从而辨识出盲源分离的混合矩阵。

2.如权利要求1所述的一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法，其特征是，所述步骤(1)中，广义协方差矩阵为：

3.如权利要求2所述的一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法，其特征是，所述步骤(2)中，不同处理点的核函数方程根据广义协方差矩阵的线性变换性和独立性而建立。

4.如权利要求3所述的一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法，其特征是，所述步骤(2)中,所述核函数方程为：

Ψ_x(τ)＝AΨ_s(A^Hτ)A^H。

5.如权利要求4所述的一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法，其特征是，所述步骤(3)中，选取所述步骤(2)中K个不同处理点的广义协方差矩阵的核函数方程，得到对应的核函数方程集。

6.如权利要求5所述的一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法，其特征是，所述核函数方程集为 $\begin{array}{c}{\mathrm{\Ψ}}_x\left({\mathrm{\τ}}_1\right)=A{\mathrm{\Ψ}}_s\left(A^H{\mathrm{\τ}}_1\right)A^H\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\Ψ}}_x\left({\mathrm{\τ}}_K\right)=A{\mathrm{\Ψ}}_s\left(A^H{\mathrm{\τ}}_K\right)A^H\end{array},$ 对应的张量为 ${\left(M\right)}_{\mathrm{ijk}}\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{\left({\mathrm{\Ψ}}_x\left({\mathrm{\τ}}_k\right)\right)}_{\mathrm{ij}}.$

7.如权利要求6所述的一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法，其特征是，所述核函数方程集，具有联合对角化的结构形式，可以结合对应联合对角化方法求因子矩阵。

8.如权利要求5所述的一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法，其特征是，所述步骤(4)中,张量的Tucker分解形式为：M＝T×₁I×₂I×₃G，而相应的核张量为：T＝M×₁I×₂I×₃G^H。

9.如权利要求8所述的一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法，其特征是，所述步骤(5)中，利用交替最小二乘法，实现核张量的标准分解形式为：

10.如权利要求1至9所述的一种基于广义协方差和张量分解的欠定盲辨识方法，其特征是，所述步骤(5)中,可以使用交替最小二乘方法其他的变体形式来辨识盲源分离的混合矩阵。