CN104348539A - 卫星通信点波束覆盖区域计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于卫星通信技术领域。本发明是将卫星与地球间的母线和轴线看作两条向量，由于两条向量的夹角已知，轴线向量的长度和波束中心点已知，在覆盖范围的边界上任取一点作为未知量，就可以将球面坐标和数量积公式进行联立算出波束范围的边界曲线。通过采用点波束中心指向的规划算法，可计算除点波束最佳中心点、中心点与波束覆盖角的转换、点波束覆盖角与覆盖范围的关系以及规划船只穿越点波束覆盖区域的时间。本发明不但可使卫星覆盖区域算法更为简单易懂，易于实现，可减少程序员的工作量，使程序有更好的可读性，而且可以加快运算速度，还节省了点波束指向的转变成本，能产生较大经济效益。

Description

卫星通信点波束覆盖区域计算方法

技术领域

本发明涉及涉及卫星通信领域，特别是涉及一种卫星通信点波束覆盖区域计算方法。 

背景技术

卫星点波束通信是军事卫星通信的一种应用方式，其特点是截面为圆形或椭圆形，仅覆盖地球表面的一定区域，这种波束比全球波束小，能实现局部区域信号覆盖，具有更高的安全保密性，而且卫星点波束的可移动天线具有结构简单、精度高等优点。对点波束控制和管理的一个重要问题就是覆盖范围问题。由于点波束的覆盖区域有限，针对与移动目标通信的情况，需要不停的改变卫星点波束的中心指向，以确保通信目标在点波束覆盖范围之内。卫星点波束的中心指向已知时，需要计算点波束对地球覆盖的区域，才能判断覆盖目标是否在点波束的覆盖区域内。 

发明内容

针对上述问题，本发明提供一种求解卫星点波束覆盖区域的更为简单、易于实现的卫星通信点波束覆盖区域计算方法。 

本发明卫星通信点波束覆盖区域计算方法，所述方法包括： 

建立卫星通信点波束覆盖区域的计算模型，所述计算模型以卫星所在位置点为顶点，所述卫星所在位置点和所述卫星点波束中心指向点之间的连线为中心轴，做一圆锥，其中该圆锥与与地球的交集为所述卫星通信点波线束覆盖区域； 

基于所述计算模型，将卫星与地球间的母线和轴线看做两条向量，计算所述的两条向量以及所述的两条向量的夹角，计算轴线向量的长度和波束中心点，在覆盖范围的边界上任取一点作为未知量，将球面坐标和数量积公式进行联立算出波束范围的边界曲线。 

进一步地，所述方法具体包括步骤： 

步骤1：建立数学模型，所述数模模型的建立方法如下： 

以所述卫星点波束中心指向点为E点，E点的经度为φ_E，纬度为，地球同步卫星位于S点，卫星的经度为φ_S，纬度为，对于地球同步卫星高度r₀＝HS＝35 786 000m，地球半径r＝HO＝6 378 155m； 

建立一个以地球圆心为原点空间直角坐标系，球心到本初子午线的方向为x轴的正方向、球心到东经90°经线的方向为y轴的正方向，球心到北极的方向为Z轴的正方向，以地球同步卫星所在点S为顶点，直线SE为轴，作一圆锥，所述圆锥的母线与轴的夹角为卫星天线的波瓣宽度，所述圆锥与地球的交集即为所述的覆盖区域的边界为所述的卫星通信点波束覆盖区域； 

步骤2：基于步骤1所述建立的数学模型求解所述覆盖区域的边界，所述计 算方法具体包括： 

基于球面坐标公式得到点波束中心投影到地球上的坐标点为： 

基于通信卫星为地球同步卫星，卫星位于赤道的上空，得到卫星的坐标为： 

基于地球坐标点和卫星坐标点的公式(1)和公式(2)得出卫星到卫星点波束中心指向点E点的长度为： 

在过E点的平面边界上均匀的选取n个点，再求过这n个点的圆锥母线与地球的交点即得到了点波束在地球表面覆盖区域的边界； 

当某条圆锥母线无交点时，就需要收缩到与地球相切； 

在点波束与地球相交的平面边界P，在边界由P0至P_i若干点组成，在所述边界上任意取一点P₀，作为P₀经度为φ₁，纬度为，则P₀点坐标为： 

由公式(2)、(4)可以得出卫星到P0点的长度为： 

将式(3)、(4)、(5)带入数量积公式 

$\cos <\mathrm{SE},{\mathrm{SP}}_0>=\frac{\stackrel{\&RightArrow;}{\mathrm{SE}}\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{{\mathrm{SP}}_0}}{\left|\mathrm{SE}\right|\left|{\mathrm{SP}}_0\right|}---\left(7\right)$

得到母线与轴线SE夹角为α、波束中心E与点P₀的经纬度φ₁、为自变量的函数，母线与轴线夹角α和波束中心E点已知，通过设置步长(Δφ，)，当边界上的点为满足公式(7)的点，则算出该点P_i，得出P_i的经纬度坐标φ_i、 ； 

当地球接收站位于卫星与地球切点时，点波束的运动范围达到最大，β为卫星覆盖范围只与地球有一个交点时的覆盖角，得出 

β＝arccos(r/r₀+r)×180/π       (8) 

卫星点波束运动范围边界为： 

母线与轴线SE夹角α已知，以步长为(Δφ，)对φ₁、在点波束的运动范围内进行改变，将满足公式(7)结果的点在地图上进行测绘，就得到相应的点波束覆盖范围； 

当经纬度坐标范围超出不等式(9)时母线与地球不相交，则将边界显示为卫星对地球的切点。 

进一步地，点波束最佳中心点的选取方法包括： 

P经纬度坐标(φ、)为船只坐标，PE为船只航向，H(φ_H、0)为卫星在地球上的投影，通过球面坐标可以得到P点坐标： 

H点坐标为： 

基于公式(10)和(11)得出： 

$\left|\mathrm{HP}\right|=\sqrt{{(x_H-x_P)}^2+{(y_H-y_P)}^2+{(z_H-z_P)}^2}---\left(12\right)$

设与EH相交于Q点并指向正南，通过船只航向可以得到∠1，并求得 H为卫星S在地球上的投影，∠PHE＝∠α，得出： 

$\begin{array}{c}\&angle;3=180-\&angle;2-\&angle;1-\&angle;\mathrm{\&alpha;}\\ =180-\arccos \left(\frac{Z_p}{\left|\mathrm{HP}\right|}\right)\&times;180/\mathrm{\&pi;}-\&angle;1-\&angle;\mathrm{\&alpha;}\end{array}---\left(13\right)$

由正弦定理得出： 

$\begin{array}{c}\frac{\sin \&angle;\mathrm{\&alpha;}}{\left|\mathrm{PE}\right|}=\frac{\sin \&angle;3}{\left|\mathrm{PH}\right|}\\ \left|\mathrm{PE}\right|=\frac{\sin \&angle;\mathrm{\&alpha;}}{\sin \&angle;3}\&times;\left|\mathrm{PH}\right|\\ \stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{PE}}=2\arcsin \frac{2R}{\left|\mathrm{PE}\right|}\&times;\mathrm{\&pi;r}/180\\ =2\arcsin \frac{2R\&times;\sin \&angle;3}{\left|\mathrm{PH}\right|\&times;\sin \&angle;\mathrm{\&alpha;}}\end{array}---\left(14\right)$

基于船只航向已知，弧长已知，在地图上测量出点波束中心点的最佳指向位置。 

进一步地，波束中心点与波束覆盖角的转换方法具体包括： 

基于点波束指向点E和卫星S坐标，得出： 

$\begin{array}{c}\left|\mathrm{OE}\right|=\sqrt{{x_E}^2+{y_E}^2+{z_E}^2}\\ \left|\mathrm{OS}\right|=\sqrt{{x_S}^2+{y_S}^2+{z_S}^2}\\ \left|\mathrm{ES}\right|=\sqrt{{(x_E-x_S)}^2+{(y_E-y_S)}^2+{(z_E-z_S)}^2}\end{array}---\left(15\right)$

由余弦定理得出： 

$\begin{array}{c}\cos \&angle;d=\frac{{\left|\mathrm{SE}\right|}^2+{\left|\mathrm{SO}\right|}^2-{\left|\mathrm{OE}\right|}^2}{2\left|\mathrm{SE}\right|\left|\mathrm{SO}\right|}\\ \&angle;d=\arccos \frac{{\left|\mathrm{SE}\right|}^2+{\left|\mathrm{SO}\right|}^2-{\left|\mathrm{OE}\right|}^2}{2\left|\mathrm{SE}\right|\left|\mathrm{SO}\right|}*180/\mathrm{\&pi;}\end{array}---\left(16\right)$

进一步地，点波束覆盖角与覆盖范围的关系为： 

以E为分界点将轴分为两个半轴，设靠近卫星的半轴为短半轴，远离卫星的半轴为长半轴，可以得出： 

进一步地，点波束覆盖角的指向区间为：[0，arcsin[r/(r+r₀)]×180/π-∠α]。 

进一步地，船只穿越点波束覆盖区域的时间规划具体包括： 

有益效果： 

本发明卫星通信点波束覆盖区域计算方法，可使卫星覆盖区域算法更为简单易懂，相比传统的计算方法，本发明提出的方法更为简单、更易于实现，不但可以加快运算速度，可减少程序员的工作量，使程序有更好的可读性，而且通过采用点波束中心指向的规划算法，节省了点波束指向的转变成本，能产生较大经济和军事价值。 

附图说明

图1本发明卫星通信点波束覆盖区域计算方法点波束覆盖示意图； 

图2本发明卫星通信点波束覆盖区域计算方法点波束中心最佳指向图； 

图3本发明点波束覆盖区域宽度示意图； 

图4本发明点波束指向范围示意图。 

具体实施方式

下面结合说明书附图对本发明做进一步的描述。 

本发明提供了一种卫星通信点波束覆盖区域计算方法，适用于求解卫星点波束覆盖区域的场合。 

本发明本发明卫星通信点波束覆盖区域计算方法，所述方法包括： 

建立卫星通信点波束覆盖区域的计算模型，所述计算模型以卫星所在位置点为顶点，所述卫星所在位置点和所述卫星点波束中心指向点之间的连线为中心轴，做一圆锥，其中该圆锥与与地球的交集为所述卫星通信点波线束覆盖区域； 

基于所述计算模型，将卫星与地球间的母线和轴线看做两条向量，计算所述的两条向量以及所述的两条向量的夹角，计算轴线向量的长度和波束中心点，在覆盖范围的边界上任取一点作为未知量，将球面坐标和数量积公式进行联立算出波束范围的边界曲线。 

1建立数学模型 

如图1所示，设卫星点波束中心指向点为E点，E点的经度为φ_E，纬度为，地球同步卫星位于S点，卫星的经度为φ_S，纬度为。对于地球同步卫星高度r₀＝HS＝35 786 000m，地球半径r＝HO＝6 378 155m。 

要得到卫星波束在地球上的覆盖区域，以S为顶点，直线SE为轴，作一圆锥，其母线与轴的夹角为卫星天线的波瓣宽度。该圆锥与地球的交集即为覆盖区域。在实际应用中只需要求出覆盖区域的边界。 

首先建立一个以地球圆心为原点空间直角坐标系，球心到本初子午线的方向为x轴的正方向、球心到东经90°经线的方向为y轴的正方向，球心到北极的方向为Z轴的正方向，然后以S为顶点，直线SE为轴，母线与SE夹角为α(即卫星天线的波瓣宽度的一半)作一圆锥，该圆锥与地球的交集即为所求的覆盖范围。 

2求覆盖范围的算法 

通过球面坐标公式可以得到点波束中心投影到地球上的坐标点为： 

因为通信卫星为地球同步卫星，卫星位于赤道的上空，所以Z轴坐标为0，卫星的坐标为： 

由上式可以得出卫星到E点的长度为： 

要算出点波束覆盖区域的边界首先要在过E点的平面边界上均匀的选取n个点，再求过这n个点的圆锥母线与地球的交点即得到了点波束在地球表面覆盖区域的边界。当某条圆锥母线无交点时，就需要收缩到与地球相切。 

在点波束与地球相交的平面边界上任意取一点P作为P₀经度为φ₁，纬度为 ，则P₀点坐标为： 

由公式(2)、(4)可以得出卫星到P点的长度为： 

将式(3)、(4)、(5)带入数量积公式 

$\cos <\mathrm{SE},{\mathrm{SP}}_0>=\frac{\stackrel{\&RightArrow;}{\mathrm{SE}}\&CenterDot;\stackrel{\&RightArrow;}{{\mathrm{SP}}_0}}{\left|\mathrm{SE}\right|\left|{\mathrm{SP}}_0\right|}---\left(7\right)$

可以得到母线与轴线SE夹角为α、波束中心E与点P的经纬度φ₁、为自变量的函数。因为夹角α和波束中心E点已知，通过设置步长(Δφ，)，当满足方程(7)的点，就可以算出覆盖范围余下的点P_i，得出P_i的经纬度坐标φ_i、 。 

3母线与地球不相交时的算法 

当地球接收站位于卫星与地球切点时，点波束的运动范围达到最大。如图1所示，β为卫星覆盖范围只与地球有一个交点时的覆盖角。 

可以得出： 

β＝arccos(r/r₀+r)×180/π   (8) 

所以卫星点波束运动范围边界为： 

因为母线与轴线SE夹角α已知，以步长为(Δφ，)对φ₁、在点波束的运动范围内进行改变，将满足方程(7)结果的点在地图上进行测绘，就可以 得到相应的点波束覆盖范围。当经纬度坐标范围超出不等式(9)时母线与地球不相交，则将边界显示为卫星对地球的切点。 

4对点波束优化的计算 

以下针对点波束规划的算法是将地球假想为一个理想的球体的情况下进行的，实际中地球为一个不规则的椭球体，所以计算结果会产生一定的误差。 

(1)点波束最佳中心点的选取算法 

如图2所示，设P经纬度坐标(φ、)为船只坐标，PE为船只航向，H(φ_H、0)为卫星在地球上的投影，通过球面坐标可以得到P点坐标： 

H点坐标为： 

可以得出： 

$\left|\mathrm{HP}\right|=\sqrt{{(x_H-x_P)}^2+{(y_H-y_P)}^2+{(z_H-z_P)}^2}---\left(12\right)$

设与EH相交于Q点并指向正南，通过船只航向可以得到∠1，并求得 因为H为卫星S在地球上的投影，因此∠PHE＝∠α，可以得出： 

$\begin{array}{c}\&angle;3=180-\&angle;2-\&angle;1-\&angle;\mathrm{\&alpha;}\\ =180-\arccos \left(\frac{Z_p}{\left|\mathrm{HP}\right|}\right)\&times;180/\mathrm{\&pi;}-\&angle;1-\&angle;\mathrm{\&alpha;}\end{array}---\left(13\right)$

由正弦定理可以得出： 

$\begin{array}{c}\frac{\sin \&angle;\mathrm{\&alpha;}}{\left|\mathrm{PE}\right|}=\frac{\sin \&angle;3}{\left|\mathrm{PH}\right|}\\ \left|\mathrm{PE}\right|=\frac{\sin \&angle;\mathrm{\&alpha;}}{\sin \&angle;3}\&times;\left|\mathrm{PH}\right|\\ \stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{PE}}=2\arcsin \frac{2R}{\left|\mathrm{PE}\right|}\&times;\mathrm{\&pi;r}/180\\ =2\arcsin \frac{2R\&times;\sin \&angle;3}{\left|\mathrm{PH}\right|\&times;\sin \&angle;\mathrm{\&alpha;}}\&times;\mathrm{\&pi;r}/180\end{array}---\left(14\right)$

当船只航向已知，弧长已知，就可以在地图上测量出点波束中心点的最佳指向位置。 

(2)波束中心点与波束覆盖角的转换 

由图2可以得到点波束指向点E和卫星S坐标已知，可以得出： 

$\begin{array}{c}\left|\mathrm{OE}\right|=\sqrt{{x_E}^2+{y_E}^2+{z_E}^2}\\ \left|\mathrm{OS}\right|=\sqrt{{x_S}^2+{y_S}^2+{z_S}^2}\\ \left|\mathrm{ES}\right|=\sqrt{{(x_E-x_S)}^2+{(y_E-y_S)}^2+{(z_E-z_S)}^2}\end{array}---\left(15\right)$

由余弦定理可以得出： 

$\cos \&angle;d=\frac{{\left|\mathrm{SE}\right|}^2+{\left|\mathrm{SO}\right|}^2-{\left|\mathrm{OE}\right|}^2}{2\left|\mathrm{SE}\right|\left|\mathrm{SO}\right|}$

$\&angle;d=\arccos \frac{{\left|\mathrm{SE}\right|}^2+{\left|\mathrm{SO}\right|}^2-{\left|\mathrm{OE}\right|}^2}{2\left|\mathrm{SE}\right|\left|\mathrm{SO}\right|}*180/\mathrm{\&pi;}---\left(16\right)$

(3)点波束覆盖角与覆盖范围的关系 

由于船只进行移动时，要对船只进行覆盖需要调整卫星点波束的波束指向角和波束覆盖角来调整点波束覆盖的范围，其中波束指向角影响着波束范围的指向，波束覆盖角则影响着波束的范围区域。 

如图3所示，假设图中的圆为从北极俯视的赤道平面图，波束覆盖角为∠d，卫星波束半角为∠a-∠d，卫星据地心的距离OS＝r₀+r，位于赤道的上方，点波束的波束指向角为180°，计算波束覆盖角∠c： 

$\frac{\sin a}{{\mathrm{OP}}_2}=\frac{\sin b}{\mathrm{OS}}=\frac{\sin c}{{\mathrm{SP}}_2}---\left(17\right)$

$\&angle;b=\arcsin (\frac{\sin a}{{\mathrm{OP}}_2}\&times;\mathrm{OS})=[\mathrm{\&pi;}-\arcsin (\frac{\sin a}{r}\&times;\mathrm{OS})]\&times;180/\mathrm{\&pi;}---\left(18\right)$

$\begin{array}{c}\&angle;c=\{\mathrm{\&pi;}-[\mathrm{\&pi;}-\arcsin (\frac{\sin a}{r}\&times;\mathrm{OS})\left]\right\}\&times;180/\mathrm{\&pi;}-\&angle;a\\ =\arcsin (\frac{\sin a}{r}\&times;\mathrm{OS})\&times;180/\mathrm{\&pi;}-\&angle;a\end{array}---\left(19\right)$

将圆心角∠c代入弧长公式可以得到： 

同理可以求得： 

从而可以算出覆盖曲面中随波束覆盖角改变的带宽为： 

以E为分界点将轴分为两个半轴，设靠近卫星的半轴为短半轴，远离卫星的半轴为长半轴，可以得出： 

(4)点波束覆盖角的指向范围 

当点波束中有一条母线与地球相切时，则波束覆盖角的范围达到了最大值，如图4所示，母线OP_i的与地球相切时，点波束覆盖角∠d达到最大值，当波束覆盖角继续增大时，点波束会偏出地球，其覆盖范围会不断变小直至消失。设P_i为切点，则OP_i⊥SP_i，可以得出： 

sina＝SP_i/(SO)＝r/(r+R₀) 

∠d＝∠a-∠α＝arcsin[r/(r+r₀)]×180/π-∠α   (26) 

得出点波束覆盖角的指向区间为： 

[0，arcsin[r/(r+r₀)]×180/π-∠α]   (27) 

(5)船只穿越点波束覆盖区域的时间规划 

船只穿越覆盖区域时所消耗的最长时间即航行路线经过优化后转发器指向能够保持不变的最长时间，为地面操作人员提供操作参数，使操作人员至少在该时间内完成下一次点波束指向转换。假定船只正在航行中，通过点波束覆盖范围所用到的时间为t小时，速度为V节(海里/小时)，可以得到： 

船只穿越覆盖区域时所消耗的最长时间即为t小时，及地面操作人员必须在t小时以内完成下一个波束指向转换。 

对本发明应当理解的是，以上所述的实施例，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细的说明，以上仅为本发明的实施例而已，并不用于限定本发明，凡是在本发明的精神原则之内，所作出的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内，本发明的保护范围应该以权利要求所界定的保护范围为准。 

Claims (7)

1.一种卫星通信点波束覆盖区域计算方法，其特征在于：所述方法包括： 

建立卫星通信点波束覆盖区域的计算模型，所述计算模型以卫星所在位置点为顶点，所述卫星所在位置点和所述卫星点波束中心指向点之间的连线为中心轴，做一圆锥，其中该圆锥与与地球的交集为所述卫星通信点波线束覆盖区域； 

基于所述计算模型，将卫星与地球间的母线和轴线看做两条向量，计算所述的两条向量以及所述的两条向量的夹角，计算轴线向量的长度和波束中心点，在覆盖范围的边界上任取一点作为未知量，将球面坐标和数量积公式进行联立算出波束范围的边界曲线。 

2.根据权利要求1所述的卫星通信点波束覆盖区域计算方法，其特征在于：所述方法具体包括步骤： 

步骤1：建立数学模型，所述数模模型的建立方法如下： 

以所述卫星点波束中心指向点为E点，E点的经度为φ_E，纬度为地球同步卫星位于S点，卫星的经度为φ_S，纬度为对于地球同步卫星高度r₀＝HS＝35 786 000m，地球半径r＝HO＝6 378 155m； 

建立一个以地球圆心为原点空间直角坐标系，球心到本初子午线的方向为x轴的正方向、球心到东经90°经线的方向为y轴的正方向，球心到北极的方向为Z轴的正方向，以地球同步卫星所在点S为顶点，直线SE为轴，作一圆锥，所述圆锥的母线与轴的夹角为卫星天线的波瓣宽度，所述圆锥与地球的交集即为 所述的覆盖区域的边界为所述的卫星通信点波束覆盖区域； 

步骤2：基于步骤1所述建立的数学模型求解所述覆盖区域的边界，所述计算方法具体包括： 

基于球面坐标公式得到点波束中心投影到地球上的坐标点为： 

基于通信卫星为地球同步卫星，卫星位于赤道的上空，得到卫星的坐标为： 

基于地球坐标点和卫星坐标点的公式(1)和公式(2)得出卫星到卫星点波束中心指向点E点的长度为： 

在过E点的平面边界上均匀的选取n个点，再求过这n个点的圆锥母线与地球的交点即得到了点波束在地球表面覆盖区域的边界； 

当某条圆锥母线无交点时，就需要收缩到与地球相切； 

在点波束与地球相交的平面边界P，在边界由P₀至P_i若干点组成，在所述边界上任意取一点P₀，作为P₀经度为φ₁，纬度为则P₀点坐标为： 

由公式(2)、(4)可以得出卫星到P₀点的长度为： 

将式(3)、(4)、(5)带入数量积公式 

得到母线与轴线SE夹角为α、波束中心E与点P₀的经纬度φ₁、为自变量的函数，母线与轴线夹角α和波束中心E点已知，通过设置步长(Δφ，)，当边界上的点为满足公式(7)的点，则算出该点P_i，得出P_i的经纬度坐标φ_i、 

当地球接收站位于卫星与地球切点时，点波束的运动范围达到最大，β为卫星覆盖范围只与地球有一个交点时的覆盖角，得出 

β＝arccos(r/r₀+r)×180/π            (8) 

卫星点波束运动范围边界为： 

母线与轴线SE夹角α已知，以步长为(Δφ，)对φ₁、在点波束的运动范围内进行改变，将满足公式(7)结果的点在地图上进行测绘，就得到相应的点波束覆盖范围； 

当经纬度坐标范围超出不等式(9)时母线与地球不相交，则将边界显示为卫星对地球的切点。 

3.根据权利要求1所述的卫星通信点波束覆盖区域计算方法，其特征在于：点波束最佳中心点的选取方法包括： 

P经纬度坐标(φ、)为船只坐标，PE为船只航向，H(φ_H、0)为卫星在地球上的投影，通过球面坐标可以得到P点坐标： 

H点坐标为： 

基于公式(10)和(11)得出： 

设与EH相交于Q点并指向正南，通过船只航向可以得到∠1，并求得 H为卫星S在地球上的投影，∠PHE＝∠α，得出： 

由正弦定理得出： 

基于船只航向已知，弧长已知，在地图上测量出点波束中心点的最佳指向位置。 

4.根据权利要求1所述的卫星通信点波束覆盖区域计算方法，其特征在于：波束中心点与波束覆盖角的转换方法具体包括： 

基于点波束指向点E和卫星S坐标，得出： 

由余弦定理得出： 

5.根据权利要求1所述的卫星通信点波束覆盖区域计算方法，其特征在于：点波束覆盖角与覆盖范围的关系为： 

以E为分界点将轴分为两个半轴，设靠近卫星的半轴为短半轴，远离卫星的半轴为长半轴，可以得出： 

6.根据权利要求1所述的卫星通信点波束覆盖区域计算方法，其特征在于：点波束覆盖角的指向区间为：[0，arcsin[r/(r+r₀)]×180/π-∠α]。 

7.根据权利要求1所述的卫星通信点波束覆盖区域计算方法，其特征在于：船只穿越点波束覆盖区域的时间规划具体包括：