CN104238565B - 一种应用于容错飞行控制系统的鲁棒控制分配方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种应用于容错飞行控制系统的鲁棒控制分配方法，属于航天航空容错飞行控制技术领域，包括将飞行器模型进行线性化，生成控制效率矩阵，确定每个舵面对飞行器三轴姿态控制影响的效率系数；建立故障模型，将故障参数估计问题转化为线性回归问题，从而使用最小二乘线性回归方法估计故障参数；使用故障投影的方法计算每个舵面对应的故障参数估计结果的不确定性，并进行加权平滑；考虑舵面对应的故障参数的不确定性的差别，求解使最差条件下的控制分配误差最小的优化问题，进行鲁棒控制分配，将该优化问题等价转化为一个凸优化问题，并使用原始对偶内点法进行求解得到鲁棒控制分配结果。本发明提高了控制分配结果的鲁棒性。

Description

一种应用于容错飞行控制系统的鲁棒控制分配方法

技术领域

本发明属于航天航空容错飞行控制技术领域，特别涉及应用于容错飞行控制系统的鲁棒控制分配方法。

背景技术

近年来，随着对飞行器安全性和控制性能要求的不断提高，容错飞行控制技术越来越受到重视。飞行器依靠飞行控制系统实现稳定飞行，传统的飞行控制系统只在飞行器完好的条件下可以正常工作，当控制飞行器运动的舵面发生故障时则无法工作。容错飞行控制系统在一定程度上可以解决上述问题，使飞行器在舵面发生故障时仍可稳定飞行。较早的容错飞行控制系统使用故障隔离的方式，将发生故障的舵面进行隔离而不再使用，但如果这些故障的舵面还有剩余的控制效率，则这部分控制效率会被浪费。随后发展起来的主动容错飞行控制技术改善了上述问题，通过引入故障诊断模块，对故障参数进行估计，从而有针对性的修改控制器。

与此同时，越来越多的飞行器出于可靠性和控制效能的考虑，都采用了多舵面余度配置，随之发展起来的控制分配技术也得到了广泛应用。对于多舵面飞行器，由于控制输入变量较多，控制器和控制参数调节变得非常复杂。通过引入控制分配器，使飞行控制器只需要针对三轴力矩控制进行设计，大大简化了控制器设计的复杂度。这种分级模块化的设计结构，与主动容错飞行控制设计结构相契合，因此，控制分配开始在主动容错飞行控制中得到应用。当飞行器的舵面发生故障时，可以不改变控制器，而只需调整控制分配器以实现容错飞行控制。

包含控制分配器的主动容错飞行控制系统的一般结构如图1所示。主动容错飞行控制系统一般包括控制器模块、控制分配器模块、故障诊断模块、飞行器运动传感器和舵面。飞行器运动传感器主要用于测量飞行器的运动状态，反馈给其它模块。舵面是飞行器的执行机构，通过改变舵面的偏转角度产生控制力矩调整飞行器的姿态，进而改变飞行器运动状态。控制器根据控制指令计算得到期望的飞行器三轴控制力矩，控制分配器根据该期望力矩计算各个舵面的偏转角度，生成舵面控制指令。舵面偏转产生控制力矩改变飞行器动力学运动学状态，传感器测量出状态改变量后反馈回控制器形成控制闭环。故障诊断模块用于估计故障参数，当诊断出发生故障时，利用故障参数估计结果对控制分配器进行调整，以实现容错飞行控制。

在主动容错飞行控制系统中，传统的控制分配器在每个控制周期的控制分配工作流程如图2所示，控制分配的输入是控制器计算得到的期望的三轴控制力矩，输出为舵面的偏转角度，控制分配过程主要包括3个步骤，1)控制效率矩阵生成，2)故障诊断估计故障参数，3)控制分配解算。其中：

步骤1)控制分配器在进行控制分配前对飞行器模型进行线性化，生成控制效率矩阵；具体包括：飞行器动力学方程如式(1)所示：

其中，χ∈Rⁿ为飞行器的系统状态变量；f和g表示系统函数；u＝[u₁,u₂,...,u_m]^T为控制变量，u_i表示第i个舵面的偏转角度；对飞行器动力学方程进行线性化，如式(2)所示。

对B_u∈R^n×m进行分解，得到

B_u＝B_vB (3)

其中，B_v∈R^n×3，B∈R^3×m。B即为控制效率矩阵，B的每一列表示对应的舵面偏转单位角度产生的飞行器滚转、俯仰和偏航三轴控制力矩。引入故障参数Λ，用以衡量舵面缺失故障对控制效率的损失，Λ是一个对角矩阵，表示为Λ＝diag([λ₁,λ₂,...,λ_m])，Λ的主对角元λ_i(i＝1…m)为取值于[0,1]的数，表示剩余的控制效率。当λ_i＝0时，表示第i个舵面已经完全缺失；当λ_i＝1时，表示该舵面完好；当λ_i取值0至1之间的数时，表示该舵面部分缺失，损失了部分控制效率。考虑舵面缺失故障后，可将飞行器动力学方程(1)修改成式(4)。

步骤2)根据故障模型进行故障诊断，估计故障参数Λ：首先将式(4)转化为一个线性回归模型，由于飞行器状态变量χ都可以通过飞行器运动传感器测量，可通过数值微分方法计算如使用一阶数值微分近似，如式(5)所示。

其中，T为控制周期，t表示第t个控制周期。又由于一般模型f(χ)和B_u已知，故可以代入χ计算得到。因此，对故障参数矩阵Λ的估计可以转化为如下的线性回归问题，如式(6)所示。

其中，λ为Λ主对角元组成的列向量，即λ＝[λ₁,...,λ_m]^T；U为由u构成主对角元的对角矩阵，即U＝diag(u)；y表示飞行器运动传感器测量计算的控制力矩。式(6)可以使用经典的带遗忘因子的递推最小二乘线性回归方法进行求解，每个控制周期得到故障参数的估计结果用于控制分配解算。

步骤3)计算控制分配结果：控制分配一般应用于多舵面飞行器，即有多个冗余的舵面可以产生相似的三轴力矩控制效果。主动容错飞行控制系统中控制器生成期望的三轴控制力矩指令v_c，由控制分配器将v_c转换为舵面的偏转角度u，使其满足式(7)：

v_c＝BΛu (7)。

目前已有的控制分配方法包括：伪逆法和基于优化的控制分配方法等，思路基本是求解优化问题使控制分配误差最小，如式(8)所示。

传统的控制分配方法在使用中认为故障信息是完全准确的，但在实际使用中由于测量噪声、测量数据不充足和激励不解耦等原因，不可避免地导致故障参数估计结果不准确。这些控制分配方法的输出准确度严重依赖于故障参数估计结果的准确度，如果故障估计结果存在偏差，即则控制分配器输出与控制器期望输出力矩v_c间可能存在较大偏差，进而影响飞行器控制响应性能。2011年Cui Lei等人在AIAA Journal of GuidanceControl and Dynamics上发表了论文提出了一种鲁棒最小二乘控制分配方法，该方法考虑了控制效率矩阵的不确定性，求解在最差条件的控制分配误差最小的优化问题，优化指标函数如式(9)所示：

其中，ΔΛ表示Λ的估计结果的不确定性；ρ表示不确定性的界。但是，Cui Lei等人提出的方法只能描述故障参数矩阵整体的不确定性，不能区分不同舵面对应的故障参数估计结果的不确定性的差别，这使得在求解鲁棒控制分配结果带有较大的保守性，即可能过大估计了最差条件下的控制分配误差。同时，Cui Lei等在文献中也没有详细说明如何确定故障参数矩阵估计结果的不确定性的界ρ。

发明内容

本发明的目的是为了解决在主动容错飞行控制系统中，故障参数估计不准确对控制分配准确度造成影响的问题，提出一种应用于容错飞行控制系统的鲁棒控制分配方法。本发明在进行控制分配时，考虑了故障参数估计值的不确定性，利用不同舵面对应的故障参数估计结果的不确定性的差别，通过优化的方式减小控制分配输出误差，提高控制分配结果的鲁棒性。

本发明提出的一种应用于容错飞行控制系统的鲁棒控制分配方法，其特征在于，该方法包括：将飞行器模型进行线性化，生成控制效率矩阵，确定每个舵面对飞行器三轴姿态控制影响的效率系数；针对舵面缺失故障，建立故障模型，将故障参数估计问题转化为线性回归问题，从而使用最小二乘线性回归方法估计故障参数；使用故障投影的方法计算每个舵面对应的故障参数估计结果的不确定性，并进行加权平滑；考虑舵面对应的故障参数的不确定性的差别，求解使最差条件下的控制分配误差最小的优化问题，进行鲁棒控制分配，将该优化问题等价转化为一个凸优化问题，并使用原始对偶内点法进行求解得到鲁棒控制分配结果。

上述方法具体包括以下步骤：

1)控制效率矩阵生成：对飞行器模型进行线性化，得到控制效率矩阵B，并引入以矩阵形式的故障参数Λ，用以衡量舵面缺失故障对控制效率的损失；

2)建立故障模型，进行故障诊断，估计故障参数：针对舵面缺失故障，建立故障模型，将故障参数Λ转化为线性回归的形式，并使用最小二乘线性回归方法，计算得到故障参数估计结果

3)使用故障投影的方法计算每个舵面对应的故障参数估计结果的不确定性ΔΛ，并进行加权平滑：由线性回归模型计算得到力矩偏差该力矩偏差表示根据飞行器运动传感器测量计算的控制力矩y与根据控制效率矩阵计算得到的力矩的差值；将B_uU表示为B_uU＝[b₁,b₂,...,b_m]，其中，b₁,b₂,...,b_m均为列向量；如果Δy≠0且Δy和b_j的向量夹角小于一个阈值，该阈值取值范围5°～20°，则对Δy向b_j按式(10)进行投影：

对式(10)投影得到的结果进行加权平滑，得到故障参数估计结果的不确定性Δλ_j，如式(11)所示：

其中，w为加权系数，取值范围0.8～0.99；t表示第t个控制周期。Δλ_j的初值为0，即Δλ_j(0)＝0。不确定性Δλ_j表示故障参数λ_j的真实值属于一个区间内，即

4)根据舵面对应的故障参数的不确定性，求解使最差条件下的控制分配误差最小的优化问题，将该优化问题等价转化为一个凸优化问题，并使用原始对偶内点法进行求解，进行鲁棒控制分配：通过调整控制变量u使得当故障参数变化时最差的条件下的||BΛu-v_c||最小，求解优化问题如式(12)所示：

其中，u_i,min和u_i,max表示u向量中第i个元素u_i的最小值和最大值；根据步骤3)得到λ_i的取值范围的最小值和最大值分别为：和

将优化问题式(12)等价转化为式(13)所示的凸优化问题：

其中，τ表示当Λ变化时||BΛu-v_c||的上界；ΔΛ＝diag([Δλ₁,Δλ₂,...,Δλ_m])表示故障参数估计结果的不确定性；表示在取值范围内的所有Λ组成的凸包的顶点组成的集合，其定义如式(14)所示：

使用原始对偶内点法求解式(13)所示的优化问题，引入Lagrangian函数L(u,τ,μ)，将式(13)带有约束的优化问题转化为无约束的优化问题，如式(15)所示：

其中，i＝1,2,...,2^m,m_b＝2^m；μ为障碍参数，当μ→0时，Lagrangian函数的最优值与原优化问题最优值相等；定义原始变量x＝[u^T,τ]^T和约束矢量函数c(x)如式(16)所示。

定义对偶变量满足z^Tc(x)＝μ，根据Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件，当优化问题取得最优值时满足式(17)所示条件：

定义对偶残差求解优化问题式(13)，具体包括以下步骤：

41)计算控制变量u的优化迭代初值u₀＝B^T(BB^T)^-1v_c，若向量u₀中元素u_0,i＞u_i,max，则该元素调整取最大值，即u_0,i＝u_i,max；若存在元素u_0,i＜u_i,min，则该元素调整取最小值，即u_0,i＝u_i,min；

42)调整向量u₀所有取值为边界值的元素，若u_0,j＝u_j,max，则调整为u_j＝u_j,min+η(u_j,max-u_j,min)；若u_0,j＝u_j,min，则u_0,j＝u_j,min+(1-η)(u_j,max-u_j,min)，η的取值范围为0.8～0.98；使用调整后的u₀计算τ的优化迭代初值如式(18)；

43)计算障碍参数μ＝0.1·z^Tc(x)/m_c，其中m_c＝2^m+2m+1表示优化变量总数，取对偶变量z的初值元素全为1，约束矢量函数c(x)计算如式(16)所示；

44)计算搜索方向如式(19)所示：

其中，中心残差r_c＝-z^Tc(x)+μ1，Hessian矩阵

45)沿步骤44)中方向搜索，初始搜索步长α＝min{-u_i/Δu_i,-τ/Δτ,-z_j/Δz_j,1}(i＝1,…,m,j＝1,…,m_c)。如果不满足式(17)的约束条件，则按照式(20)所示方式收缩搜索步长，直至满足约束：

u⁺＝u+ραΔu,τ⁺＝τ+ραΔτ,z⁺＝z+ραΔz (20)

收缩系数ρ的取值范围为0.9～0.999；

46)使用步骤45)中更新后的控制变量u⁺,τ⁺和z⁺计算更新和如果和满足ε的取值范围为0.1～0.00001，输出u⁺,u⁺即为鲁棒控制分配器的输出结果；否则重复步骤42)—45)进行迭代，直至满足步骤46)中条件或超过最大迭代步数，最大迭代步数取值范围20～200，输出u⁺；

将u⁺作为控制分配的输出值发送给舵面以控制各个舵面的偏转角度。

本发明的特点在于：

本发明考虑了故障参数估计结果的不确定性，并利用不同舵面对应的故障参数估计结果的不确定性的差别，计算最差条件下的控制分配误差最小的优化问题，使得通过鲁棒控制分配将控制量更多的分配给模型精确的舵面，减小实际的控制力矩与期望控制力矩的偏差，提高了控制分配器在故障参数估计结果存在误差的条件下的控制分配精度。

本发明对舵面缺失故障，通过故障投影的方式计算故障参数估计结果的不确定性进行度量，从而提高控制分配结果的鲁棒性。

附图说明

图1为传统的主动容错飞行控制系统结构示意图。

图2为传统的应用于主动容错飞行控制系统的控制分配流程图。

图3为本发明的鲁棒控制分配方法流程图。

图4为采用本发明方法的鲁棒控制分配器的主动容错飞行控制系统结构示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行进一步的说明。

本发明提出的一种应用于容错飞行控制系统的鲁棒控制分配方法的流程如图3所示，鲁棒控制分配的输入是控制器计算得到的期望的三轴控制力矩，控制分配结果(即舵面的偏转角度)作为控制输出。该方法主要包括以下4个步骤：

1)控制效率矩阵生成：对飞行器模型进行线性化，得到控制效率矩阵B，并引入以矩阵形式的故障参数Λ，用以衡量舵面缺失故障对控制效率的损失(使用常规方法)；

2)建立故障模型，进行故障诊断，估计故障参数：针对舵面缺失故障，建立故障模型，将故障参数Λ转化为线性回归的形式，并使用最小二乘线性回归方法，计算得到故障参数估计结果(该步骤使用包括背景技术中介绍的故障参数估计方法在内的常规方法中任一种)；

3)使用故障投影的方法计算每个舵面对应的故障参数估计结果的不确定性ΔΛ，并进行加权平滑：由线性回归模型(由常规方法得到)，计算得到力矩偏差表示根据飞行器运动传感器测量计算的控制力矩y与根据控制效率矩阵计算得到的力矩的差值；将B_uU表示为B_uU＝[b₁,b₂,...,b_m]，其中，b₁,b₂,...,b_m均为列向量；如果Δy≠0且Δy和b_j的向量夹角小于一个阈值(阈值取值范围5°～20°，实施例中该阈值取11.5°)，则对Δy向b_j按式(10)进行投影：

对式(10)投影得到的结果进行加权平滑，得到故障参数估计结果的不确定性Δλ_j，如式(11)所示：

其中，w为加权系数(取值范围0.8～0.99，在实施例中取值0.95)；t表示第t个控制周期。Δλ_j的初值为0，即Δλ_j(0)＝0。不确定性Δλ_j表示故障参数λ_j的真实值无法确定，但可以确定λ_j的真实值属于一个区间内，即

4)根据舵面对应的故障参数的不确定性，求解使最差条件下的控制分配误差最小的优化问题，将该优化问题等价转化为一个凸优化问题，并使用原始对偶内点法进行求解，进行鲁棒控制分配：通过调整控制变量u使得当故障参数变化时最差的条件下的||BΛu-v_c||最小，求解优化问题式(12)：

其中，u_i,min和u_i,max表示u向量中第i个元素u_i的最小值和最大值；根据步骤3)计算得到的故障参数估计结果的不确定性，得到和分别为λ_i的取值范围的最小值和最大值。

将优化问题式(12)等价转化为式(13)所示的凸优化问题(利用函数||BΛu-v_c||关于变量Λ的凸性，式(12)中内部max优化最优值只在Λ的可取范围的区域的顶点处取得)：

其中，τ表示当Λ变化时||BΛu-v_c||的上界；ΔΛ＝diag([Δλ₁,Δλ₂,...,Δλ_m])；表示在取值范围内的所有Λ组成的凸包的顶点组成的集合，其定义如式(14)所示：

使用原始对偶内点法求解式(13)所示的优化问题，引入Lagrangian函数L(u,τ,μ)，将式(13)带有约束的优化问题转化为无约束的优化问题，如式(15)所示：

其中，i＝1,2,...,2^m,m_b＝2^m；μ为障碍参数(中间变量)，当μ→0时，Lagrangian函数的最优值与原优化问题最优值相等；定义原始变量x＝[u^T,τ]^T和约束矢量函数c(x)如式(16)所示。

定义对偶变量满足z^Tc(x)＝μ，根据Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件，当优化问题取得最优值时满足式(17)所示条件：

定义对偶残差求解优化问题式(13)，具体包括以下步骤：

41)计算控制变量u的优化迭代初值u₀＝B^T(BB^T)^-1v_c，若向量u₀中元素u_0,i＞u_i,max，则该元素调整取最大值，即u_0,i＝u_i,max；若存在元素u_0,i＜u_i,min，则该元素调整取最小值，即u_0,i＝u_i,min；

42)调整向量u₀所有取值为边界值的元素，若u_0,j＝u_j,max，则调整为u_j＝u_j,min+η(u_j,max-u_j,min)；若u_0,j＝u_j,min，则u_0,j＝u_j,min+(1-η)(u_j,max-u_j,min)，(η的取值范围为0.8～0.98，实施例中选取η＝0.95，该步骤调整的目的是将初值u₀调整为满足式(13)中严格的不等式关系，)使用调整后的u₀计算τ的优化迭代初值如式(18)；

43)计算障碍参数μ＝0.1·z^Tc(x)/m_c，其中m_c＝2^m+2m+1表示优化变量总数，取对偶变量z的初值元素全为1，约束矢量函数c(x)计算如式(16)所示；

44)计算搜索方向如式(19)

其中，中心残差r_c＝-z^Tc(x)+μ1，Hessian矩阵

45)沿步骤44)中方向搜索，初始搜索步长α＝min{-u_i/Δu_i,-τ/Δτ,-z_j/Δz_j,1}(i＝1,…,m,j＝1,…,mc)。如果不满足式(17)的约束条件，则按照式(20)所示方式收缩搜索步长，直至满足约束：

u⁺＝u+ραΔu,τ⁺＝τ+ραΔτ,z⁺＝z+ραΔz (20)

收缩系数ρ的取值范围为0.9～0.999，在实施例中，取ρ＝0.995；

46)使用步骤45)中更新后的控制变量u⁺,τ⁺和z⁺计算更新和如果和满足(ε的取值范围为0.1～0.00001，实施例中ε取0.001)，输出u⁺,u⁺即为鲁棒控制分配器的输出结果；否则重复步骤42)—45)进行迭代，直至满足步骤46)中条件或超过最大迭代步数(最大迭代步数取值范围20～200，实施例中最大迭代步数取200)，输出u⁺。

将u⁺作为控制分配的输出值发送给舵面以控制各个舵面的偏转角度。

本发明的工作原理：

本发明的鲁棒控制分配器在主动容错飞行控制系统中与其它模块的关系如图4所示，与图1中所示的传统的系统结构不同，鲁棒控制分配器不仅使用故障诊断模块计算得到的故障参数估计结果，还使用故障诊断模块计算得到的故障参数估计结果的不确定性进行控制分配。由于增加了故障参数估计结果的不确定性信息，并且考虑了不同舵面对应原故障参数估计的不确定性的差别，可以通过求解优化问题(13)，将期望的控制力矩更多地分配给故障参数估计结果的不确定性较小的舵面。由于这些舵面对应的故障参数估计结果更精确，因此可以减小控制分配的误差。

由于鲁棒控制分配需要获得故障参数估计结果的不确定性，本发明使用一种故障投影的近似的方法计算故障参数估计结果的不确定性。本发明提出的方法中，如果一个舵面发生缺失故障，根据飞行器运动传感器测量计算的控制力矩y与根据控制效率矩阵及故障参数估计结果计算得到的控制力矩将存在偏差该偏差Δy的向量方向应当与B_uU中对应着发生故障的那一列向量方向平行。所以当Δy≠0且Δy与B_uU中某一列向量方向(如b_j)接近平行时，可认为该列对应的故障参数可能存在估计误差。将Δy依照式(10)向b_j投影，再经过平滑处理得到度量故障参数估计结果的不确定性大小的量Δλ_j，不确定性表示故障参数的真实值属于一个区间，即但具体的值无法确定，需要通过更多的测量结果再进行估计。

Claims (1)

1.一种应用于容错飞行控制系统的鲁棒控制分配方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)控制效率矩阵生成：对飞行器模型进行线性化，得到控制效率矩阵B，并引入以矩阵形式的故障参数Λ，用以衡量舵面缺失故障对控制效率的损失；

2)建立故障模型，进行故障诊断，估计故障参数：针对舵面缺失故障，建立故障模型，将故障参数Λ转化为线性回归的形式，并使用最小二乘线性回归方法，计算得到故障参数估计结果

3)使用故障投影的方法计算每个舵面对应的故障参数估计结果的不确定性ΔΛ，并进行加权平滑：由线性回归模型计算得到力矩偏差该力矩偏差表示根据飞行器运动传感器测量计算的控制力矩y与根据控制效率矩阵计算得到的力矩的差值，为故障参数的估计结果的向量形式；将B_uU表示为B_uU＝[b₁,b₂,...,b_m]，其中，b₁,b₂,...,b_m均为列向量；如果Δy≠0且Δy和b_j的向量夹角小于一个阈值，该阈值取值范围5°～20°，则对Δy向b_j按式(10)进行投影：

$\mathrm{\Δ}{\widetilde{\mathrm{\λ}}}_j=(\mathrm{\Δ}y\·b_j)/\left|\right|b_j\left|\right|---\left(10\right)$

对式(10)投影得到的结果进行加权平滑，得到故障参数估计结果的不确定性Δλ_j，如式(11)所示：

${\mathrm{\Δ\λ}}_j(t+1)={\mathrm{w\Δ\λ}}_j\left(t\right)+(1-w)\mathrm{\Δ}{\widetilde{\mathrm{\λ}}}_j\left(t\right)---\left(11\right)$

其中，w为加权系数，取值范围0.8～0.99；t表示第t个控制周期；Δλ_j的初值为0，即Δλ_j(0)＝0；不确定性Δλ_j表示故障参数λ_j的真实值属于一个区间内，即其中为向量中第j个元素；

4)根据舵面对应的故障参数的不确定性，求解使最差条件下的控制分配误差最小的优化问题，将该优化问题等价转化为一个凸优化问题，并使用原始对偶内点法进行求解，进行鲁棒控制分配：通过调整控制变量u使得当故障参数变化时最差的条件下的||BΛu-v_c||最小，v_c为控制器生成期望的三轴控制力矩指令，求解优化问题如式(12)所示：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{u}{min}\underset{\mathrm{\Λ}}{max}\left|\right|B\mathrm{\Λ}u-v_c\left|\right|\\ \begin{array}{cc}s.t.& u_{i,min}\≤u_i\≤u_{i,max}\\ & {\widehat{\mathrm{\λ}}}_i-{\mathrm{\Δ\λ}}_i\≤{\mathrm{\λ}}_i\≤{\widehat{\mathrm{\λ}}}_i+{\mathrm{\Δ\λ}}_i\\ & i=1,2,...,m\end{array}\end{array}\right.---\left(12\right)$

其中，u_i,min和u_i,max表示u向量中第i个元素u_i的最小值和最大值；为向量中第i个元素，Δλ_i为故障参数估计结果的不确定性；根据步骤3)得到λ_i的取值范围的最小值和最大值分别为：和

将优化问题式(12)等价转化为式(13)所示的凸优化问题：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{u,\mathrm{\τ}}{\min }\mathrm{\τ}\\ \begin{array}{ccc}s.t.& \left|\right|{\mathrm{B\Λ}}_{i}u-v_c\left|\right|\≤\mathrm{\τ},& {\mathrm{\Λ}}_i\∈B\left(\widehat{\mathrm{\Λ}},\mathrm{\Δ}\mathrm{\Λ}\right),i=1,2,\mathrm{...},2^m\\ & u_{j,\min }\≤u_j\≤u_{j,\max },& j=1,2,\mathrm{...},m\end{array}\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中，τ表示当Λ变化时||BΛu-v_c||的上界；u_j,min和u_j,max分别为u向量中第j个元素u_j的最小值和最大值；ΔΛ＝diag([Δλ₁,Δλ₂,...,Δλ_m])表示故障参数估计结果的不确定性；表示在取值范围内的所有Λ组成的凸包的顶点组成的集合，其定义如式(14)所示：

$B(\widehat{\mathrm{\Λ}},\mathrm{\Δ}\mathrm{\Λ})=\{\mathrm{\Λ}=diag({\mathrm{\λ}}_1,...,{\mathrm{\λ}}_m)|{\mathrm{\λ}}_i\∈\{{\widehat{\mathrm{\λ}}}_i-{\mathrm{\Δ\λ}}_i,{\widehat{\mathrm{\λ}}}_i+{\mathrm{\Δ\λ}}_i\},{\mathrm{\Δ\λ}}_i\≥0,i=1,...,m\}---\left(14\right)$

使用原始对偶内点法求解式(13)所示的优化问题，引入Lagrangian函数L(u,τ,μ)，将式(13)带有约束的优化问题转化为无约束的优化问题，如式(15)所示：

$\begin{array}{c}L\left(u,\mathrm{\τ},\mathrm{\μ}\right)=\mathrm{\τ}-\mathrm{\μ}\underset{i=1}{\overset{m_b}{\mathrm{\Σ}}}\ln \left({\mathrm{\τ}}^2-\left|\right|{\mathrm{B\Λ}}_{i}u-v_c|{|}^2\right)\\ -\mathrm{\μ}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\ln \left(u_j-u_{j,\min }\right)-\mathrm{\μ}\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\ln \left(u_{k,\max }-u_k\right)-\mathrm{\μ}\ln \mathrm{\τ}\end{array}---\left(15\right)$

其中，m_b＝2^m；μ为障碍参数，当μ→0时，Lagrangian函数的最优值与原优化问题最优值相等；定义原始变量x＝[u^T,τ]^T和约束矢量函数c(x)如式(16)所示；

$c\left(x\right)=-\left[\begin{array}{c}\left|\right|{\mathrm{B\Λ}}_{1}u-v_c|{|}^2-{\mathrm{\τ}}^2\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ \left|\right|{\mathrm{B\Λ}}_{m_b}u-v_c|{|}^2-{\mathrm{\τ}}^2\\ u_{1,\min }-u_1\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ u_{m,\min }-u_m\\ u_1-u_{1,\max }\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ u_m-u_{m,\max }\\ -\mathrm{\τ}\end{array}\right]---\left(16\right)$

定义对偶变量满足z^Tc(x)＝μ，其中R表示实数集；根据Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件，当优化问题取得最优值时满足式(17)所示条件：

$\left\{\begin{array}{c}c\left(x\right)\≥0\\ z\≥0\\ z^{T}c\left(x\right)=0\\ \▿L(u,\mathrm{\τ}){|}_{\mathrm{\μ}}=0\end{array}\right.---\left(17\right)$

定义对偶残差求解优化问题式(13)，具体包括以下步骤：

41)计算控制变量u的优化迭代初值u₀＝B^T(BB^T)^-1v_c，若向量u₀中元素u_0,i＞u_i,max，则该元素调整取最大值，即u_0,i＝u_i,max；若存在元素u_0,i＜u_i,min，则该元素调整取最小值，即u_0,i＝u_i,min；

42)调整向量u₀所有取值为边界值的元素，若u_0,j＝u_j,max，则调整为u_j＝u_j,min+η(u_j,max-u_j,min)，其中u_j为u中第j个元素，也即第j个舵面的偏转角度；若u_0,j＝u_j,min，则u_0,j＝u_j,min+(1-η)(u_j,max-u_j,min)；η的取值范围为0.8～0.98；使用调整后的u₀计算τ的优化迭代初值如式(18)；

${\mathrm{\τ}}_0={\max }_{\mathrm{\Λ}\∈B(\widehat{\mathrm{\Λ}},\mathrm{\Δ}\mathrm{\Λ})}\left|\right|{\mathrm{B\Λu}}_0-v_c\left|\right|+1---\left(18\right)$

43)计算障碍参数μ＝0.1·z^Tc(x)/m_c，其中m_c＝2^m+2m+1表示优化变量总数，取对偶变量z的初值元素全为1，约束矢量函数c(x)计算如式(16)所示；

44)计算搜索方向如式(19)所示：

$\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}x=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}u\\ \mathrm{\Δ}\mathrm{\τ}\end{array}\right]=-H^{-1}{r}_{dual}\\ \mathrm{\Δ}z=diag{\left(c\left(x\right)\right)}^{-1}\left(r_c-diag\left(z\right)\▿c\left(x\right)\mathrm{\Δ}x\right)\end{array}---\left(19\right)$

其中，中心残差r_c＝-z^Tc(x)+μ1，1表示元素全为1的向量，根据r_c的维度，可以确定μ1为m_b+2m+1维向量且其每个元素均为μ；Hessian矩阵

45)沿步骤44)中方向搜索，初始搜索步长α＝min{-u_i/Δu_i,-τ/Δτ,-z_j/Δz_j,1}(i＝1,…,m,j＝1,…,m_c)；如果不满足式(17)的约束条件，则按照式(20)所示方式收缩搜索步长，直至满足约束：

u⁺＝u+ραΔu,τ⁺＝τ+ραΔτ,z⁺＝z+ραΔz (20)

收缩系数ρ的取值范围为0.9～0.999；

46)使用步骤45)中更新后的控制变量u⁺,τ⁺和z⁺计算更新和如果和满足ε的取值范围为0.1～0.00001，输出u⁺,u⁺即为鲁棒控制分配器的输出结果；否则重复步骤42)—45)进行迭代，直至满足步骤46)中条件或超过最大迭代步数，最大迭代步数取值范围20～200，输出u⁺；

将u⁺作为控制分配的输出值发送给舵面以控制各个舵面的偏转角度。