CN111208733B - 一种针对多方位湍流风扰动下的飞行器控制系统自适应补偿控制方法 - Google Patents

一种针对多方位湍流风扰动下的飞行器控制系统自适应补偿控制方法 Download PDF

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CN111208733B CN202010056922.XA CN202010056922A CN111208733B CN 111208733 B CN111208733 B CN 111208733B CN 202010056922 A CN202010056922 A CN 202010056922A CN 111208733 B CN111208733 B CN 111208733B
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Abstract

本发明公开了一种针对多方位湍流风扰动下的飞行器控制系统自适应补偿控制方法，包括：1.依据现有的飞行器控制系统的横侧向与纵向运动模型，在确定湍流扰动的主导风向的基础上，考虑飞行器遭遇不同主导风向的湍流扰动时的情况，建立与其对应的扰动模型，用于表征飞行器此时的横侧向与纵向运动模型。2.采用一般的输入‑输出系统模型，表征遭遇不同主导风向的湍流扰动时的飞行器的横侧向与纵向运动模型。3.基于用于建立分段函数的指标函数，建立一个基于时间分段的输入‑输出系统模型。4.假设现有的飞行器控制系统参数和湍流扰动参数均已知并根据已知条件建立标称控制器。5.假设现有的飞行器控制系统参数和湍流扰动参数均未知并根据已知条件建立自适应控制器。本发明可使飞行器控制系统在遭遇多个主导风向的湍流扰动交替影响时，有效保证飞行器控制系统实现期望的闭环稳定和输出跟踪性能，从而实现飞行器的安全飞行。

Description

一种针对多方位湍流风扰动下的飞行器控制系统自适应补偿 控制方法
技术领域
本发明属于飞行器自动控制技术领域，特别是针对最小相位特性的飞行器控制系统，采用模型参考自适应的控制方法，涉及一种针对多方位湍流风扰动下的飞行器控制系统自适应补偿控制方法。
背景技术
随着科学技术的不断革新，新型飞行器不断涌现，使飞行器朝着具有多变量、强耦合、快时变、强非线性等特点的方向发展。由于飞行器系统的复杂性，其对外部环境的影响也就越发敏感，对其抗干扰的研究也就越发重要。在外部环境对飞行器的影响中，天气原因是较为明显直观的那个。大气湍流作为一种随机不规则的大气运动形式，会影响飞行器大多时候的飞行质量，可能造成飞机的疲劳损伤，严重时更可能导致人员伤害。例如2001年，一架型号为A300-600的空中巴士就因尾部遇到湍流扰动而导致了坠毁；另外在稍往前的1993年，一架波音747就在美国的加利福尼亚，同样因遭到湍流的影响而发生了坠毁，机上人员全部死亡。
现有的抑制湍流扰动影响的控制方法，忽略了湍流的随机而不规则的运动形式，将其机械式地理解为单一方向的风扰动。本发明从湍流的风向随机的角度出发，发明一种针对多方位湍流风扰动下的飞行器控制系统自适应补偿控制方法。
发明内容
发明目的为将湍流模型更合理地认作为一个具有方向随机性的数学模型，从而对飞行器的飞行环境做出更合理的设想。即：将湍流扰动在多个主导风向建模，得到不同主导风向上的各个不同的扰动模型，再据此设计一种针对多方位湍流风扰动下的飞行器控制系统自适应补偿控制方法。
为解决上述技术问题，本发明采用如下技术方案。
步骤1、依据现有的飞行器控制系统的横侧向与纵向运动模型，在确定湍流扰动的主导风向的基础上，考虑飞行器遭遇不同主导风向的湍流扰动时的情况，建立与其对应的扰动模型，用于表征飞行器此时的横侧向与纵向运动模型；
步骤2、采用一般的输入-输出系统模型，表征步骤1所述的遭遇不同主导风向的湍流扰动时的飞行器的横侧向与纵向运动模型；
步骤3、基于用于建立分段函数的指标函数，建立一个基于时间分段的输入-输出系统模型，其分段的物理表征是主导风向的改变；并确保：一是闭环系统的稳定性和输出跟踪性能；二是系统中的各个信号函数都有界；
步骤4、由步骤3，设计一种基于用于建立分段函数的指标函数的模型参考自适应控制器，假设现有的飞行器控制系统参数和湍流扰动参数均已知：建立系统的输入-输出模型，根据已知条件建立标称控制器；
步骤5、由步骤3，设计一种基于用于建立分段函数的指标函数的模型参考自适应控制器，假设现有的飞行器控制系统参数和湍流扰动参数均未知：将系统模型与扰动模型参数化，引入误差函数，根据误差函数建立飞行器系统的自适应律，得到自适应控制器的表达式，使其满足步骤3的条件；
进一步地，所述步骤1的具体过程如下：
步骤1-1、湍流扰动的主导风向是指，虽然湍流风的方向是时变而随机的，且可能是多个方向的复合，但在选定的某个时刻，可以将湍流风简化为一个具有单一且固定方向的理想模型，此时的方向即为湍流风的主导风向，通常是湍流风分量中最大分量的方向，以下考虑的主导风向为大地坐标系的x，y，z轴方向。
现有的飞行器纵向运动模型为
Figure BSA0000200729240000021
其中x1＝(ΔVK，ΔαK，Δq，Δθ)T为状态量，VK为飞行器的航迹速度，αK为航迹速度造成的抬升角，q为俯仰角速度，θ为俯仰角；u1＝(Δδf，Δδm)T为输入量，δf为有效油门开度，δm为升降舵偏角，各矩阵为
Figure BSA0000200729240000031
Figure BSA0000200729240000032
其中，m为飞行器质量，G为重力，V为飞行器的对地速度，VA为飞行器的对空速度，Lq为气动力中的升力，D为气动力中的阻力，α为飞行器的攻角，T为飞行器的推进力，σ为推进力与机身之间的夹角，M为气动力俯仰力矩，γ为航迹倾角，Te为推进力引起的俯仰力矩，Iy为对机体坐标系y轴的惯性矩；另外，下标带0的量为飞行器线性化时该变量的初始值。
若不忽略湍流扰动对飞行器的影响，其纵向运动模型为
Figure BSA0000200729240000033
其中
Figure BSA0000200729240000034
扰动量d1＝(uW，wW，wWx)T，uW为湍流风在大地坐标系中沿x轴的分量，wW为湍流风在大地坐标系中沿z轴的分量，wWx为，定义在机体坐标系中的，由于湍流风在沿机体坐标系x轴方向上的作用力的不均匀，而引起的导致飞行器产生俯仰力矩的风梯度，其符号意义为湍流风在沿大地坐标系的z轴的分量wW作用在沿机体坐标系x轴方向上的风梯度，需要注意的是，与wWx作用效果相似的还有uWz，但通常uWz由于远远小于wWx而被忽略；
在飞行器的非线性纵向模型的线性化中，若忽略扰动量d1得到的即为公式(1)，若不忽略扰动量d1得到的即为公式(2)。
现有的飞行器横侧向运动模型为
Figure BSA0000200729240000041
其中x2＝(ΔβK，Δp，Δr，Δφ)T为状态量，βK为航迹速度造成的侧滑角，p为飞行器滚转角速度，r为飞行器偏航角速度，φ为飞行器滚转角；u2＝(Δδl，Δδn)T为输入量，δl为副翼偏转角，δn为方向舵偏转角，各矩阵为
Figure BSA0000200729240000042
其中，Y为飞行器侧力的和，Lm为气动力滚转力矩，N为气动力偏航力矩，β为飞行器的侧滑角，Ix与Iz分别为对应的惯性矩，Izx为对应的惯性积。
若不忽略湍流扰动对飞行器的影响，其横侧向运动模型为
Figure BSA0000200729240000043
其中
Figure BSA0000200729240000044
扰动量d2＝(vW，wWy，vWx)T，vW为湍流风在大地坐标系中沿y轴的分量，wWy与vWx为相应的风梯度；
在飞行器的非线性横侧向模型的线性化中，若忽略扰动量d2得到的即为公式(3)，若不忽略扰动量d1得到的即为公式(4)。
步骤1-2、接下来考虑湍流扰动模型，其根据主导风向的不同而不同，飞行器做纵向运动时，若湍流风的主导风向为x轴方向，此时只需考虑d1＝(uW，wW，wWx)T中的分量uW与引起俯仰力矩的风梯度即可，则矩阵R1此时为
Figure BSA0000200729240000051
其中扰动量为d11＝(uW，u′Wx)T，需注意的是，由于原风梯度是定义在机体坐标系中的，若按照原来的定义方式，那么沿机体坐标系x轴方向的湍流风分量uW，其不能产生俯仰力矩；因此将风梯度定义在大地坐标系中，把在大地坐标系中定义的新的风梯度在右上角标一个引号以示区别。此时沿大地坐标系x轴方向的湍流风分量uW，在飞行器初始攻角不为0时，即能产生俯仰力矩；另外，在原模型d1＝(uW，wW，wWx)T中定义的风梯度扰动量wWx，其本质为使飞行器产生俯仰力矩的风梯度，在实际中能产生相同扰动效果的还有风梯度uWz，只是因为量值通常较小被忽略，在这个例子中，由于我们未考虑z轴方向的湍流扰动，因此要把x轴方向的湍流扰动所带来的风梯度影响考虑在内，原横侧向运动模型中定义的扰动量d2＝(vW，wWy，vWx)T同理，与风梯度wWy有同样扰动效果的还有风梯度v′Wz，与风梯度vWx有同样扰动效果的还有风梯度u′Wy。
若湍流风的主导风向为y轴方向，则此时不影响飞行器的纵向运动模型，即R12＝0；
若湍流风的主导风向为z轴方向，则矩阵R1此时为
Figure BSA0000200729240000052
其中扰动量d13＝(wW，w′Wx)T；
飞行器做横侧向运动时，若湍流风的主导风向为x轴方向，则矩阵R2此时为
Figure BSA0000200729240000061
其中扰动量d21＝u′Wy；
若湍流风的主导风向为y轴方向，则矩阵R2此时为
Figure BSA0000200729240000062
其中扰动量d22＝(vW，v′Wz，v′Wx)T；
若湍流风的主导风向为z轴，则矩阵R2此时为
Figure BSA0000200729240000063
其中扰动量d23＝w′Wy；
进一步地，所述步骤2的具体过程如下：
由步骤1，可将飞行器遭遇湍流扰动时的纵向与横侧向运动模型简写，其纵向运动模型可表示为
Figure BSA0000200729240000064
上式表明的是飞行器分别遭遇主导风向为大地坐标系x，y，z轴的湍流扰动时的纵向运动模型，其可以化简成一般形式
Figure BSA0000200729240000065
其中
Figure BSA0000200729240000066
上式即为飞行器遭遇，主导风向分别为大地坐标系x，y，z轴的湍流扰动时，纵向运动模型的一般表达式；
同理，其横侧向运动模型可表示为
Figure BSA0000200729240000067
上式表明的是飞行器分别遭遇主导风向为大地坐标系x，y，z轴的湍流扰动时的横侧向运动模型，其可以化简成一般形式
Figure BSA0000200729240000068
其中
Figure BSA0000200729240000069
上式即为飞行器遭遇，主导风向分别为大地坐标系x，y，z轴方向的湍流扰动时，横侧向运动模型的一般表达式。
进一步地，所述步骤3的具体过程如下：
步骤3-1、针对飞行器的纵向运动模型或者是横侧向运动模型，将其表示为时变的输入-输出模型，为防止歧义，下文默认选择的是纵向运动模型，其可表示为
Figure BSA0000200729240000079
其中A∈Rn×n，B∈Rn×M，C∈RM×n是常值时不变矩阵，以及x(t)∈Rn，u(t)∈RM，y(t)∈RM；
步骤3-2、接下来引入用于建立分段函数的指标函数；由步骤2，Bd(t)∈Rn×p是时变的分段矩阵，其表达的意思是，Bd(t)在指定的不同时刻，即每一个不同的分段上，会有不一样的值，用Bdi来表示Bd(t)的各个分段上的取值，其中i∈￡＝{1，2，...，l}表示Bd(t)的所有可能取值情况，每一个Bdi称为Bd(t)的一个模态。
为方便表示这一种数学关系，引入
Figure BSA0000200729240000071
由此，Bd(t)可以表示为
Figure BSA0000200729240000072
这样，就可以用数学模型来表征湍流风的主导风向的改变了。
进一步地，所述步骤4的具体过程如下：
步骤4-1、首先明确控制目标是，设计一个控制器u(t)，使得系统的输出可以渐进跟踪参考输出，即
Figure BSA0000200729240000073
参考输出ym(t)可以表示为如下形式
Figure BSA0000200729240000074
其中Pm(s)是已知的，相对阶与系统一致的首一多项式，r(t)为系统的参考输入，作用为通过参考模型Wm(s)产生参考输出ym(t)。
步骤4-2、假设现有的飞行器控制系统参数和湍流扰动参数均已知，由此可建立一个标称控制器，其表达式如下
Figure BSA0000200729240000075
其中
Figure BSA0000200729240000076
另外
Figure BSA0000200729240000077
用于抵消湍流扰动项对系统的不利影响。根据步骤3，由于
Figure BSA0000200729240000078
是一个分段形式的矩阵，那么可以容易得出，用于抵消湍流扰动项对系统不利影响的
Figure BSA0000200729240000081
也是一个分段形式的表达式，其可以表示为
Figure BSA0000200729240000082
Figure BSA0000200729240000083
的每一个模态
Figure BSA0000200729240000084
用于抵消对应的一个扰动项模态。
步骤4-3、由此，将标称控制器的表达式(13)代入(9)，其闭环系统可以表示为如下形式
Figure BSA0000200729240000085
若
Figure BSA0000200729240000086
满足
Figure BSA0000200729240000087
则可以得到输出表达式满足
Figure BSA0000200729240000088
进一步地，所述步骤5的具体过程如下：
步骤5-1、在系统参数未知的情况下，首先对
Figure BSA0000200729240000089
进行参数化，(9)中的d(t)是对输入不匹配的扰动向量，即Bdi≠Bα，其可以表示为d(t)＝[d1(t)，…，dp(t)]T∈Rp，其中的每一项dj(t)，又可以表示为
Figure BSA00002007292400000810
其中，参数矩阵
Figure BSA00002007292400000811
和扰动信号fj(t)可以表示为
Figure BSA00002007292400000812
Figure BSA00002007292400000813
因此将d(t)表示为
d(t)＝Φ*Tf(t) (21)
其中
Figure BSA0000200729240000091
Figure BSA0000200729240000092
定义
Figure BSA0000200729240000093
则可以将
Figure BSA0000200729240000094
参数化为如下形式
Figure BSA0000200729240000095
其中
Figure BSA0000200729240000096
如此便完成了
Figure BSA0000200729240000097
的参数化。
步骤5-2、在系统参数未知的情况下，对自适应控制器进行参数化后，可得
Figure BSA0000200729240000098
其中
Figure BSA0000200729240000099
K2(t)∈RM×M是
Figure BSA00002007292400000910
和
Figure BSA00002007292400000911
的自适应估计值，
Figure BSA00002007292400000912
Θ3i(t)＝[θ3i1(t)，θ3i2(t)，…，θ3ip(t)]∈RM×q是
Figure BSA00002007292400000913
的自适应估计值；
步骤5-3、将上述步骤得到的自适应控制器代入(9)，就得到了系统的闭环表达式
Figure BSA00002007292400000914
定义如下参数
Figure BSA00002007292400000915
考虑到
Figure BSA00002007292400000916
是时变量，并结合(12)(16)(27)，可以得到跟踪误差的表达式如下
Figure BSA0000200729240000101
其中
Figure BSA0000200729240000102
并且由于
Figure BSA0000200729240000103
的稳定性，
Figure BSA0000200729240000104
这项迅速收敛到0，因此可忽略不计；
步骤5-4、为了建立自适应更新律，令ρM表示相对阶集合{ρi，i＝1，2，…，M}中的最大项，同时令Ψ*＝Kp以及
Figure BSA0000200729240000105
其中f(s)是具有阶数为ρM的稳定多项式，于是估计误差函数就可以定义为
∈(t)＝ξm(s)h(s)[y-ym](t)+Ψ(t)ξ(t) (29)
其中Ψ1(t)是Ψ*的自适应估计值，以及ζ(t)＝h(s)[ω](t)，ξ(t)＝ΘT(t)ζ(t)-h(s)[u](t)；ξm(s)是一个对角阵，其可以表示为ξm(s)＝diag{d1(s)，…dM(s)}，ξm(s)中的每一项di(s)可以表示为
Figure BSA0000200729240000106
步骤5-4、结合(28)，估计误差可以表示为
Figure BSA0000200729240000107
注意到此处的ξ(t)是具有分段形式的变量，因此可以将其表示为
Figure BSA0000200729240000108
基于上述步骤，将自适应律定义为
Figure BSA0000200729240000109
其中Γ＝ΓT＞0，Sp满足条件
Figure BSA00002007292400001010
与现有技术相比，本发明包括以下优点和有益效果：
1.本发明可解决飞行器控制系统的以下问题：1)其飞行器控制系统是多输入多输出的，飞行器控制系统的参数及扰动模型均是未知的，即：湍流风的主导风向是未知的，一个主导风向上的持续时间也是未知的；2)湍流风分别在多个主导风向上持续不停地作用且交替进行时，飞行器的稳定性问题及输出跟踪问题；3)确立湍流风的主导风向，忽略次要的湍流风分量能有效降低系统的计算复杂度。
2.本发明采用模型参考自适应控制法进行湍流扰动的抑制控制，可以有效补偿多个主导风向下湍流扰动的交替持续作用所引起的影响，同时能保证飞行器控制系统实现期望的闭环稳定和输出跟踪性能。
3.本发明适用于飞行器控制系统中，在飞行器控制系统在飞行途中遭遇大气湍流扰动时，确保飞行器的安全飞行。
附图说明
图1是本发明的一种实施例的自适应补偿控制方法框图。
图2a-2b是参考输入为常值，r(t)＝[1，0.1]T，湍流扰动为常值，d(t)＝[vW，pW]T，pW(t)＝0.5(crad/s)，vW(t)＝20(ft/s)，时间间隔为T＝150s情况下的控制系统响应图。
图3a-3b是参考输入为常值，r(t)＝[1，0.1]T，湍流扰动一项为常值，一项为时变量，d(t)＝[vW，pW]T，时间间隔为T＝150s情况下的控制系统响应图。
图4a-4b是参考输入为时变量，r(t)＝[sin(0.2t)，0.03sin(0.05t)]T，湍流扰动为常值，d(t)＝[vW，pW]T，pW(t)＝0.5(crad/s)，vW(t)＝20(ft/s)，时间间隔为T＝150s情况下的控制系统响应图。
图5a-5b是参考输入为时变量，r(t)＝[sin(0.2t)，0.03sin(0.05t)]T，湍流扰动为时变量，d(t)＝[vW，pW]T，pW(t)＝0.5(crad/s)，vW(t)＝20(ft/s)，时间间隔为T＝150s情况下的控制系统响应图。
具体实施方式
本发明的一种针对多方位湍流风扰动下的飞行器控制系统自适应补偿控制方法，适用于解决以下问题1)其飞行器控制系统是多输入多输出的，飞行器控制系统的参数及扰动模型均是未知的，即：湍流风的主导风向是未知的，一个主导风向上的持续时间也是未知的；2)湍流风分别在多个主导风向上持续不停地作用且交替进行时，飞行器的稳定性问题及输出跟踪问题。本发明采用模型参考自适应控制法进行湍流扰动的抑制控制，可以有效补偿多个主导风向下湍流扰动的交替持续作用所引起的影响，同时能保证飞行器控制系统实现期望的闭环稳定和输出跟踪性能。且适用于飞行器控制系统中，在飞行器控制系统在飞行途中遭遇大气湍流扰动时，确保飞行器的安全飞行。包括以下几个步骤：(1)依据现有的飞行器控制系统的横侧向与纵向运动模型，在确定湍流扰动的主导风向的基础上，考虑飞行器遭遇不同主导风向的湍流扰动时的情况，建立与其对应的扰动模型，用于表征飞行器此时的横侧向与纵向运动模型；(2)采用一般的输入-输出系统模型，表征步骤1所述的遭遇不同主导风向的湍流扰动时的飞行器的横侧向与纵向运动模型；(3)基于用于建立分段函数的指标函数，建立一个基于时间分段的输入-输出系统模型，其分段的物理表征是主导风向的改变；并确保：一是闭环系统的稳定性和输出跟踪性能；二是系统中的各个信号函数都有界；(4)由步骤3，设计一种基于用于建立分段函数的指标函数的模型参考自适应控制器，假设现有的飞行器控制系统参数和湍流扰动参数均已知：建立系统的输入-输出模型，根据已知条件建立标称控制器；(5)由步骤3，设计一种基于用于建立分段函数的指标函数的模型参考自适应控制器，假设现有的飞行器控制系统参数和湍流扰动参数均未知：将系统模型与扰动模型参数化，引入误差函数，根据误差函数建立飞行器系统的自适应律，得到自适应控制器的表达式，使其满足步骤3的条件；本发明方法可有效保障飞行器控制系统在正常飞行时遭遇多个方向上不同主导风向的湍流扰动交替作用时的安全飞行。
下面结合附图对本发明作进一步详细说明。
图1是本发明的一种实施例的自适应补偿控制方法框图。该实施例方法，包括步骤如下：
步骤1、依据现有的飞行器控制系统的横侧向与纵向运动模型，在确定湍流扰动的主导风向的基础上，考虑飞行器遭遇不同主导风向的湍流扰动时的情况，建立与其对应的扰动模型，用于表征飞行器此时的横侧向与纵向运动模型；
所述步骤1的具体过程如下：
步骤1-1、湍流扰动的主导风向是指，虽然湍流风的方向是时变而随机的，且可能是多个方向的复合，但在选定的某个时刻，可以将湍流风简化为一个具有单一且固定方向的理想模型，此时的方向即为湍流风的主导风向，通常是湍流风分量中最大分量的方向，以下考虑的主导风向为大地坐标系的x，y，z轴方向。
现有的飞行器纵向运动模型为
Figure BSA0000200729240000121
其中x1＝(ΔVK，ΔαK，Δq，Δθ)T为状态量，VK为飞行器的航迹速度，αK为航迹速度造成的抬升角，q为俯仰角速度，θ为俯仰角；u1＝(Δδf，Δδm)T为输入量，δf为有效油门开度，δm为升降舵偏角，各矩阵为
Figure BSA0000200729240000131
Figure BSA0000200729240000132
其中，m为飞行器质量，G为重力，V为飞行器的对地速度，VA为飞行器的对空速度，Lq为气动力中的升力，D为气动力中的阻力，α为飞行器的攻角，T为飞行器的推进力，σ为推进力与机身之间的夹角，M为气动力俯仰力矩，γ为航迹倾角，Te为推进力引起的俯仰力矩，Iy为对机体坐标系y轴的惯性矩；另外，下标带0的量为飞行器线性化时该变量的初始值。
若不忽略湍流扰动对飞行器的影响，其纵向运动模型为
Figure BSA0000200729240000133
其中
Figure BSA0000200729240000134
扰动量d1＝(uW，wW，wWx)T，uW为湍流风在大地坐标系中沿x轴的分量，wW为湍流风在大地坐标系中沿z轴的分量，wWx为，定义在机体坐标系中的，由于湍流风在沿机体坐标系x轴方向上的作用力的不均匀，而引起的导致飞行器产生俯仰力矩的风梯度，其符号意义为湍流风在沿大地坐标系的z轴的分量wW作用在沿机体坐标系x轴方向上的风梯度，需要注意的是，与wWx作用效果相似的还有uWz，但通常uWz由于远远小于wWx而被忽略；
在飞行器的非线性纵向模型的线性化中，若忽略扰动量d1得到的即为公式(33)，若不忽略扰动量d1得到的即为公式(34)。
现有的飞行器横侧向运动模型为
Figure BSA0000200729240000141
其中x2＝(ΔβK，Δp，Δr，Δφ)T为状态量，βK为航迹速度造成的侧滑角，p为飞行器滚转角速度，r为飞行器偏航角速度，φ为飞行器滚转角；u2＝(Δδl，Δδn)T为输入量，δl为副翼偏转角，δn为方向舵偏转角，各矩阵为
Figure BSA0000200729240000142
其中，Y为飞行器侧力的和，Lm为气动力滚转力矩，N为气动力偏航力矩，β为飞行器的侧滑角，Ix与Iz分别为对应的惯性矩，Izx为对应的惯性积。
若不忽略湍流扰动对飞行器的影响，其横侧向运动模型为
Figure BSA0000200729240000143
其中
Figure BSA0000200729240000144
扰动量d2＝(vW，wWy，vWx)T，vW为湍流风在大地坐标系中沿y轴的分量，wWy与vWx为相应的风梯度；
在飞行器的非线性横侧向模型的线性化中，若忽略扰动量d2得到的即为公式(35)，若不忽略扰动量d1得到的即为公式(36)。
步骤1-2、接下来考虑湍流扰动模型，其根据主导风向的不同而不同，飞行器做纵向运动时，若湍流风的主导风向为x轴方向，此时只需考虑d1＝(uW，wW，wWx)T中的分量uW与引起俯仰力矩的风梯度即可，则矩阵R1此时为
Figure BSA0000200729240000151
其中扰动量为d11＝(uW，u′Wx)T，需注意的是，由于原风梯度是定义在机体坐标系中的，若按照原来的定义方式，那么沿机体坐标系x轴方向的湍流风分量uW，其不能产生俯仰力矩；因此将风梯度定义在大地坐标系中，把在大地坐标系中定义的新的风梯度在右上角标一个引号以示区别。此时沿大地坐标系x轴方向的湍流风分量uW，在飞行器初始攻角不为0时，即能产生俯仰力矩；另外，在原模型d1＝(uW，wW，wWx)T中定义的风梯度扰动量wWx，其本质为使飞行器产生俯仰力矩的风梯度，在实际中能产生相同扰动效果的还有风梯度uWz，只是因为量值通常较小被忽略，在这个例子中，由于我们未考虑z轴方向的湍流扰动，因此要把x轴方向的湍流扰动所带来的风梯度影响考虑在内，原横侧向运动模型中定义的扰动量d2＝(vW，wWy，vWx)T同理，与风梯度wWy有同样扰动效果的还有风梯度v′Wz，与风梯度vWx有同样扰动效果的还有风梯度u′Wy。
若湍流风的主导风向为y轴方向，则此时不影响飞行器的纵向运动模型，即R12＝0；
若湍流风的主导风向为z轴方向，则矩阵R1此时为
Figure BSA0000200729240000152
其中扰动量d13＝(wW，w′Wx)T；
飞行器做横侧向运动时，若湍流风的主导风向为x轴方向，则矩阵R2此时为
Figure BSA0000200729240000161
其中扰动量d21＝u′Wy；
若湍流风的主导风向为y轴方向，则矩阵R2此时为
Figure BSA0000200729240000162
其中扰动量d22＝(vW，v′Wz，v′Wx)T；
若湍流风的主导风向为z轴，则矩阵R2此时为
Figure BSA0000200729240000163
其中扰动量d23＝w′Wy；
所述步骤2的具体过程如下：
由步骤1，可将飞行器遭遇湍流扰动时的纵向与横侧向运动模型简写，其纵向运动模型可表示为
Figure BSA0000200729240000164
上式表明的是飞行器分别遭遇主导风向为大地坐标系x，y，z轴的湍流扰动时的纵向运动模型，其可以化简成一般形式
Figure BSA0000200729240000165
其中
Figure BSA0000200729240000166
上式即为飞行器遭遇，主导风向分别为大地坐标系x，y，z轴的湍流扰动时，纵向运动模型的一般表达式；
同理，其横侧向运动模型可表示为
Figure BSA0000200729240000167
上式表明的是飞行器分别遭遇主导风向为大地坐标系x，y，z轴的湍流扰动时的横侧向运动模型，其可以化简成一般形式
Figure BSA0000200729240000168
其中
Figure BSA0000200729240000169
上式即为飞行器遭遇，主导风向分别为大地坐标系x，y，z轴方向的湍流扰动时，横侧向运动模型的一般表达式。
步骤3、基于用于建立分段函数的指标函数，建立一个基于时间分段的输入-输出系统模型，其分段的物理表征是主导风向的改变；并确保：一是闭环系统的稳定性和输出跟踪性能；二是系统中的各个信号函数都有界；
所述步骤3的具体过程如下：
步骤3-1、针对飞行器的纵向运动模型或者是横侧向运动模型，将其表示为时变的输入-输出模型，为防止歧义，下文默认选择的是纵向运动模型，其可表示为
Figure BSA0000200729240000171
其中A∈Rn×n，B∈Rn×M，C∈RM×n是常值时不变矩阵，以及x(t)∈Rn，u(t)∈RM，y(t)∈RM；
步骤3-2、接下来引入用于建立分段函数的指标函数；由步骤2，Bd(t)∈Rn×p是时变的分段矩阵，其表达的意思是，Bd(t)在指定的不同时刻，即每一个不同的分段上，会有不一样的值，用Bdi来表示Bd(t)的各个分段上的取值，其中i∈￡＝{1，2，...，l}表示Bd(t)的所有可能取值情况，每一个Bdi称为Bd(t)的一个模态。
为方便表示这一种数学关系，引入
Figure BSA0000200729240000172
由此，Bd(t)可以表示为
Figure BSA0000200729240000173
这样，就可以用数学模型来表征湍流风的主导风向的改变了。
步骤4、由步骤3，设计一种基于用于建立分段函数的指标函数的模型参考自适应控制器，假设现有的飞行器控制系统参数和湍流扰动参数均已知：建立系统的输入-输出模型，根据已知条件建立标称控制器；
所述步骤4的具体过程如下：
步骤4-1、首先明确控制目标是，设计一个控制器u(t)，使得系统的输出可以渐进跟踪参考输出，即
Figure BSA0000200729240000174
参考输出ym(t)可以表示为如下形式
Figure BSA0000200729240000175
其中Pm(s)是已知的，相对阶与系统一致的首一多项式，r(t)为系统的参考输入，作用为通过参考模型Wm(s)产生参考输出ym(t)。
步骤4-2、假设现有的飞行器控制系统参数和湍流扰动参数均已知，由此可建立一个标称控制器，其表达式如下
Figure BSA0000200729240000181
其中
Figure BSA0000200729240000182
另外
Figure BSA0000200729240000183
用于抵消湍流扰动项对系统的不利影响。
根据步骤3，由于
Figure BSA0000200729240000184
是一个分段形式的矩阵，那么可以容易得出，用于抵消湍流扰动项对系统不利影响的
Figure BSA0000200729240000185
也是一个分段形式的表达式，其可以表示为
Figure BSA0000200729240000186
Figure BSA0000200729240000187
的每一个模态
Figure BSA0000200729240000188
用于抵消对应的一个扰动项模态。
步骤4-3、由此，将标称控制器的表达式(13)代入(9)，其闭环系统可以表示为如下形式
Figure BSA0000200729240000189
若
Figure BSA00002007292400001810
满足
Figure BSA00002007292400001811
则可以得到输出表达式满足
Figure BSA00002007292400001812
步骤5、由步骤3，设计一种基于用于建立分段函数的指标函数的模型参考自适应控制器，假设现有的飞行器控制系统参数和湍流扰动参数均未知：将系统模型与扰动模型参数化，引入误差函数，根据误差函数建立飞行器系统的自适应律，得到自适应控制器的表达式，使其满足步骤3的条件；
所述步骤5的具体过程如下：
步骤5-1、在系统参数未知的情况下，首先对
Figure BSA00002007292400001813
进行参数化，(9)中的d(t)是对输入不匹配的扰动向量，即Bdi≠Bα，其可以表示为d(t)＝[d1(t)，…，dp(t)]T∈Rp，其中的每一项dj(t)，又可以表示为
Figure BSA0000200729240000191
其中，参数矩阵
Figure BSA0000200729240000192
和扰动信号fj(t)可以表示为
Figure BSA0000200729240000193
Figure BSA0000200729240000194
因此将d(t)表示为
d(t)＝Φ*Tf(t) (53)
其中
Figure BSA0000200729240000195
Figure BSA0000200729240000196
定义
Figure BSA0000200729240000197
则可以将
Figure BSA0000200729240000198
参数化为如下形式
Figure BSA0000200729240000199
其中
Figure BSA00002007292400001910
如此便完成了
Figure BSA00002007292400001911
的参数化。
步骤5-2、在系统参数未知的情况下，对自适应控制器进行参数化后，可得
Figure BSA00002007292400001912
其中
Figure BSA00002007292400001913
K2(t)∈RM×M是
Figure BSA00002007292400001914
和
Figure BSA00002007292400001915
的自适应估计值，
Figure BSA0000200729240000201
Θ3i(t)＝[θ3i1(t)，θ3i2(t)，…，θ3ip(t)]∈RM×q是
Figure BSA0000200729240000202
的自适应估计值；
步骤5-3、将上述步骤得到的自适应控制器代入(41)，就得到了系统的闭环表达式
Figure BSA0000200729240000203
定义如下参数
Figure BSA0000200729240000204
考虑到
Figure BSA0000200729240000205
是时变量，并结合(44)(48)(59)，可以得到跟踪误差的表达式如下
Figure BSA0000200729240000206
其中
Figure BSA0000200729240000207
并且由于
Figure BSA0000200729240000208
的稳定性，
Figure BSA0000200729240000209
这项迅速收敛到0，因此可忽略不计；
步骤5-4、为了建立自适应更新律，令ρM表示相对阶集合{ρi，i＝1，2，…，M}中的最大项，同时令Ψ*＝Kp以及
Figure BSA00002007292400002010
其中f(s)是具有阶数为ρM的稳定多项式，于是估计误差函数就可以定义为
∈(t)＝ξm(s)h(s)[y-ym](t)+Ψ(t)ξ(t) (61)
其中Ψ1(t)是Ψ*的自适应估计值，以及ζ(t)＝h(s)[ω](t)，ξ(t)＝ΘT(t)ζ(t)-h(s)[u](t)；ξm(s)是一个对角阵，其可以表示为ξm(s)＝diag{d1(s)，…dM(s)}，ξm(s)中的每一项di(s)可以表示为
Figure BSA00002007292400002011
步骤5-4、结合(60)，估计误差可以表示为
Figure BSA00002007292400002012
注意到此处的ξ(t)是具有分段形式的变量，因此可以将其表示为
Figure BSA00002007292400002013
基于上述步骤，将自适应律定义为
Figure BSA0000200729240000211
其中Γ＝ΓT＞0，Sp满足条件
Figure BSA0000200729240000212
下面对本发明的一个实施例方法进行仿真验证：
步骤F1：考虑飞行器横侧向运动模型建立为如下状态空间方程：
Figure BSA0000200729240000213
其中，x＝[v，p，r，φ，ψ]T为系统状态，y为系统输出，u＝[δr，δa]T为控制输入信号，相应的系统动态参数为
Figure BSA0000200729240000214
B＝[b1，b2]，b1＝[0.15935，0.01264，-0.12879，0，0]T，b2＝[0.00211，0.21326，0.00171，0，0]T
表1
v 飞行器的横向飞行速度
p 飞行器的滚转角速度
r 飞行器的偏航角速度
φ 飞行器的滚转角度
ψ 飞行器的偏航高度
步骤F2：考虑扰动模型，选取湍流扰动分量vW与pW，其分别为湍流扰动在机体坐标系中的Y轴分量与Z轴分量，分别影响了飞行器的横向运动以及滚转运动，因影响相较上述的两个分量要小得多故而忽略湍流扰动在机体坐标系中的X轴分量。因此选择扰动项以及扰动矩阵为
Figure BSA0000200729240000215
定义第一个模态，即i＝1时，湍流风的主导风向为大地坐标系的X轴；定义第二个模态，即i＝2时，湍流风的主导风向为大地坐标系的Y轴；定义第三个模态，即i＝3时，湍流风的主导风向为大地坐标系的Z轴；由此可得
bv1＝[0，0，0，0，0]T，bp1＝[0，0，0，0，0]T
bv2＝[0，0，0，0，0]T，bp2＝[-14.326，2.1692，0.16444，-1，0]T
bv3＝[0.13858，0.02073，-0.00289，0，0]T，bp3＝[-14.326，2.1692，0.16444，-1，0]T
在接下来的仿真中，设定模态之间的切换时间为150s。
步骤F3：设置扰动项d(t)＝[vW，pW]T的两种模式分别做仿真研究：
(1)第一种模式中，扰动项皆为常值量，表示为
pW(t)＝0.5(crad/s)，vW(t)＝20(ft/s)
(2)第二种模式中，扰动项一项为常值量，一项为时变量，表示为
pW(t)＝0.5(crad/s)，vW(t)＝20+2sin(0.2πt)+sin(0.4t)(ft/s)
同时，设置参考输入r(t)的两种模式分别做仿真研究：
(1)第一种模式中，参考输入为常值量，表示为
r(t)＝[1，0.1]T
(2)第二种模式中，参考输入为时变量，表示为
r(t)＝[sin(0.2t)，0.03sin(0.05t)]T
由此可两两结合做四组仿真，第一、二组选取参考输入为常值量，扰动项分别为一、二种模式；第三、四组选取参考输入为常值量，扰动项分别为一、二种模式；
步骤F4：验证了选取的系统G(s)＝C(sI-A)-1B是最小相位系统，其零点分别为s1＝-713.1864，s2＝-2.2776，由此设置设计自适应控制器所需要的一些参数：
关联矩阵设置为
Figure BSA0000200729240000221
高频增益矩阵计算得
Figure BSA0000200729240000222
其是非奇异矩阵；另外，参考模型根据关联矩阵设置为
Figure BSA0000200729240000223
步骤F4：采用Matlab/Simulink仿真，在Matlab/Simulink中搭建飞行器控制系统模型及相应的扰动模型，基于此设计相应的自适应控制器，进而进行仿真验证。
步骤F5：按照上述设计的参数对本发明方法进行仿真验证，可得飞行器控制系统响应图，分别如说明书附图2a-2b、图3a-3b、图4a-4b、图5a-5b所示。其中，附图2a、3a、4a、5a所示为控制输入信号曲线，附图2b、3b、4b、5b所示为控制系统输出信号曲线。
总之，本发明方法可以有效地实现最小相位飞行器控制系统的自适应扰动补偿，同时可以保证期望的稳定和输出跟踪性能，能够有效地解决最小相位飞行器控制系统的湍流扰动补偿问题，这对于飞行器控制系统的安全控制具有重要的意义。

Claims (1)

1.一种针对多方位湍流风扰动下的飞行器控制系统自适应补偿控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1、依据现有的飞行器控制系统的横侧向与纵向动力学模型，在确定湍流扰动的主导风向的基础上，考虑飞行器遭遇不同主导风向的湍流扰动时的情况，建立相应的飞行器控制系统模型，用于表征飞行器此时的横侧向与纵向动态模型；
步骤1-1、湍流扰动的主导风向是指，虽然湍流风的方向是时变而随机的，且可能是多个方向的复合，但在选定的某个时刻，可以将湍流风简化为一个具有单一且固定方向的理想模型，此时的方向即为湍流风的主导风向，通常是湍流风分量中最大分量的方向，以下考虑的主导风向为大地坐标系的x，y，z轴方向；
现有的飞行器纵向运动模型为
Figure FDA0003415907020000011
其中x1＝(ΔVK，ΔαK，Δq，Δθ)T为状态量，VK为飞行器的航迹速度，αK为航迹速度造成的抬升角，q为俯仰角速度，θ为俯仰角；u1＝(Δδf，Δδm)T为输入量，δf为有效油门开度，δm为升降舵偏角，各矩阵为
Figure FDA0003415907020000012
Figure FDA0003415907020000021
其中，m为飞行器质量，G为重力，V为飞行器的对地速度，VA为飞行器的对空速度，Lq为气动力中的升力，D为气动力中的阻力，α为飞行器的攻角，T为飞行器的推进力，σ为推进力与机身之间的夹角，M为气动力俯仰力矩，γ为航迹倾角，Te为推进力引起的俯仰力矩，Iy为对机体坐标系y轴的惯性矩；另外，下标带0的量为飞行器线性化时变量的初始值；
若不忽略湍流扰动对飞行器的影响，其纵向运动模型为
Figure FDA0003415907020000022
其中
Figure FDA0003415907020000023
扰动量d1＝(uW，wW，wWx)T，uW为湍流风在大地坐标系中沿x轴的分量，wW为湍流风在大地坐标系中沿z轴的分量，wWx为，定义在机体坐标系中的，由于湍流风在沿机体坐标系x轴方向上的作用力的不均匀，而引起的导致飞行器产生俯仰力矩的风梯度，其符号意义为湍流风在沿大地坐标系的z轴的分量wW作用在沿机体坐标系x轴方向上的风梯度，需要注意的是，与wWx作用效果相似的还有uWz，但通常uWz由于远远小于wWx而被忽略；
在飞行器的非线性纵向模型的线性化中，若忽略扰动量d1得到的即为公式(1)，若不忽略扰动量d1得到的即为公式(2)；
现有的飞行器横侧向运动模型为
Figure FDA0003415907020000031
其中x2＝(ΔβK，Δp，Δr，Δφ)T为状态量，βK为航迹速度造成的侧滑角，p为飞行器滚转角速度，r为飞行器偏航角速度，φ为飞行器滚转角；u2＝(Δδl，Δδn)T为输入量，δl为副翼偏转角，δn为方向舵偏转角，各矩阵为
Figure FDA0003415907020000032
其中，Y为飞行器侧力的和，Lm为气动力滚转力矩，N为气动力偏航力矩，β为飞行器的侧滑角，Ix与Iz分别为对应的惯性矩，Izx为对应的惯性积；
若不忽略湍流扰动对飞行器的影响，其横侧向运动模型为
Figure FDA0003415907020000033
其中
Figure FDA0003415907020000041
扰动量d2＝(vW，wWy，vWx)T，vW为湍流风在大地坐标系中沿y轴的分量，wWy与vWx为相应的风梯度；
在飞行器的非线性横侧向模型的线性化中，若忽略扰动量d2得到的即为公式(3)，若不忽略扰动量d1得到的即为公式(4)；
步骤1-2、接下来考虑湍流扰动模型，其根据主导风向的不同而不同，飞行器做纵向运动时，若湍流风的主导风向为x轴方向，此时只需考虑d1＝(uW，wW，wWx)T中的分量uW与引起俯仰力矩的风梯度即可，则矩阵R1此时为
Figure FDA0003415907020000042
其中扰动量为d11＝(uW，u′Wx)T，需注意的是，由于原风梯度是定义在机体坐标系中的，若按照原来的定义方式，那么沿机体坐标系x轴方向的湍流风分量uW，其不能产生俯仰力矩；因此将风梯度定义在大地坐标系中，把在大地坐标系中定义的新的风梯度在右上角标一个引号以示区别，此时沿大地坐标系x轴方向的湍流风分量uW，在飞行器初始攻角不为0时，即能产生俯仰力矩；另外，在原模型d1＝(uW，wW，wWx)T中定义的风梯度扰动量wWx，其本质为使飞行器产生俯仰力矩的风梯度，在实际中能产生相同扰动效果的还有风梯度uWz，只是因为量值通常较小被忽略，在这个例子中，由于未考虑z轴方向的湍流扰动，因此要把x轴方向的湍流扰动所带来的风梯度影响考虑在内，原横侧向运动模型中定义的扰动量d2＝(vW，wWy，vWx)T同理，与风梯度wWy有同样扰动效果的还有风梯度v′Wz，与风梯度vWx有同样扰动效果的还有风梯度u′Wy；
若湍流风的主导风向为y轴方向，则此时不影响飞行器的纵向运动模型，即R12＝0；
若湍流风的主导风向为z轴方向，则矩阵R1此时为
Figure FDA0003415907020000051
其中扰动量d13＝(wW，w′Wx)T；
飞行器做横侧向运动时，若湍流风的主导风向为x轴方向，则矩阵R2此时为
Figure FDA0003415907020000052
其中扰动量d21＝u′Wy；
若湍流风的主导风向为y轴方向，则矩阵R2此时为
Figure FDA0003415907020000061
其中扰动量d22＝(vW，v′Wz，v′Wx)T；
若湍流风的主导风向为z轴，则矩阵R2此时为
Figure FDA0003415907020000062
其中扰动量d23＝w′Wy；
步骤2、采用一般的状态空间系统模型，表征步骤1所述的遭遇不同主导风向的湍流扰动时飞行器的横侧向与纵向动态模型；
所述步骤2的具体过程为由步骤1，可将飞行器遭遇湍流扰动时的纵向与横侧向运动模型简写，其纵向运动模型可表示为
Figure FDA0003415907020000063
上式表明的是飞行器分别遭遇主导风向为大地坐标系x，y，z轴的湍流扰动时的纵向运动模型，其可以化简成一般形式
Figure FDA0003415907020000064
其中A1＝T1 -1P1,B1＝T1 -1Q1,Bd1i＝T1 -1R1i,i＝1,2,3，上式即为飞行器遭遇，主导风向分别为大地坐标系x，y，z轴的湍流扰动时，纵向运动模型的一般表达式；
同理，其横侧向运动模型可表示为
Figure FDA0003415907020000065
上式表明的是飞行器分别遭遇主导风向为大地坐标系x，y，z轴的湍流扰动时的横侧向运动模型，其可以化简成一般形式
Figure FDA0003415907020000071
其中
Figure FDA0003415907020000072
上式即为飞行器遭遇，主导风向分别为大地坐标系x，y，z轴方向的湍流扰动时，横侧向运动模型的一般表达式；
步骤3、引入指示函数用于表征湍流风扰动主导风向的改变，从而建立一个基于指示函数的分段光滑状态空间模型；并设计基于指示函数的分段光滑的控制器，确保：一是闭环系统的稳定性和输出跟踪性能；二是系统中的各个信号函数都有界；
步骤3-1、针对飞行器的纵向运动模型或者是横侧向运动模型，将其表示为时变的输入-输出模型，为防止歧义，下文默认选择的是纵向运动模型，其可表示为
Figure FDA0003415907020000073
其中A∈Rn×n，B∈Rn×M，C∈RM×n是常值时不变矩阵，以及x(t)∈Rn，u(t)∈RM，y(t)∈RM；
步骤3-2、接下来引入用于建立分段函数的指示函数；由步骤2，Bd(t)∈Rn×p是时变的分段矩阵，Bd(t)在指定的不同时刻，即每一个不同的分段上，会有不一样的值，用Bdi来表示Bd(t)的各个分段上的取值，其中i∈￡＝{1，2，...，l}表示Bd(t)的所有可能取值情况，每一个Bdi称为Bd(t)的一个模态；
为方便表示这一种数学关系，引入指示函数
Figure FDA0003415907020000074
由此，Bd(t)可以表示为
Figure FDA0003415907020000081
这样，就可以用指数函数值来表征湍流风主导风向的改变了；
步骤4、由步骤3，设计一种基于指示函数的分段光滑模型参考自适应控制器，假设现有的飞行器控制系统参数和湍流扰动参数均已知：建立系统的输入-输出模型，根据已知条件建立标称控制器；
步骤4-1、首先明确控制目标是，设计一个控制器u(t)，使得系统的输出可以渐近跟踪参考输出，即
Figure FDA0003415907020000082
参考输出ym(t)可以表示为如下形式
Figure FDA0003415907020000083
其中Pm(s)是已知的，相对阶与系统一致的首一多项式，r(t)为系统的参考输入，作用为通过参考模型Wm(s)产生参考输出ym(t)；
步骤4-2、假设现有的飞行器控制系统参数和湍流扰动参数均已知，由此可建立一个标称控制器，其表达式如下
Figure FDA0003415907020000084
其中
Figure FDA0003415907020000085
另外
Figure FDA0003415907020000086
用于抵消湍流扰动项对系统的不利影响；
根据步骤3，由于
Figure FDA0003415907020000087
是一个分段形式的矩阵，那么可以容易得出，用于抵消湍流扰动项对系统不利影响的
Figure FDA0003415907020000088
也是一个分段形式的表达式，其可以表示为
Figure FDA0003415907020000091
Figure FDA0003415907020000092
的每一个模态
Figure FDA0003415907020000093
用于抵消对应的一个扰动项模态；
步骤4-3、由此，将标称控制器的表达式(13)代入(9)，其闭环系统可以表示为如下形式
Figure FDA0003415907020000094
若
Figure FDA0003415907020000095
满足
Figure FDA0003415907020000096
则可以得到输出表达式满足
Figure FDA0003415907020000097
步骤5、由步骤3，设计一种基于指示函数的分段光滑模型参考自适应控制器，假设现有的飞行器控制系统参数和湍流扰动参数均未知：将系统模型与扰动模型参数化，引入误差函数，根据误差函数建立飞行器系统的自适应律，得到自适应控制器的表达式，使其满足步骤3的条件；
步骤5-1、在系统参数未知的情况下，首先对
Figure FDA0003415907020000098
进行参数化，(9)中的d(t)是对输入不匹配的扰动向量，即Bdi≠Bα，其可以表示为d(t)＝[d1(t)，…，dp(t)]T∈Rp，其中的每一项dj(t)，又可以表示为
Figure FDA0003415907020000101
其中，参数矩阵
Figure FDA0003415907020000102
和扰动信号fj(t)可以表示为
Figure FDA0003415907020000103
Figure FDA0003415907020000104
因此将d(t)表示为
d(t)＝φ*Tf(t) (21)
其中
Figure FDA0003415907020000105
Figure FDA0003415907020000106
定义
Figure FDA0003415907020000107
则可以将
Figure FDA0003415907020000108
参数化为如下形式
Figure FDA0003415907020000109
其中
Figure FDA00034159070200001010
Figure FDA00034159070200001011
如此便完成了
Figure FDA0003415907020000111
的参数化；
步骤5-2、在系统参数未知的情况下，对自适应控制器进行参数化后，可得
Figure FDA0003415907020000112
其中
Figure FDA0003415907020000113
K2(t)∈RM×M是
Figure FDA0003415907020000114
和
Figure FDA0003415907020000115
的自适应估计值，
Figure FDA0003415907020000116
是
Figure FDA0003415907020000117
的自适应估计值；
步骤5-3、将上述步骤得到的自适应控制器代入(9)，就得到了系统的闭环表达式
Figure FDA0003415907020000118
y(t)＝Cx(t)
定义如下参数
Figure FDA0003415907020000119
考虑到
Figure FDA00034159070200001110
是时变量，并结合(12)(16)(27)，可以得到跟踪误差的表达式如下
Figure FDA00034159070200001111
其中
Figure FDA00034159070200001112
并且由于
Figure FDA00034159070200001113
的稳定性，
Figure FDA00034159070200001114
这项迅速收敛到0，因此可忽略不计；
步骤5-4、为了建立自适应更新律，令ρM表示相对阶集合{ρi，i＝1，2，…，M}中的最大项，同时令Ψ*＝Kp以及
Figure FDA0003415907020000121
其中f(s)是具有阶数为ρM的稳定多项式，于是估计误差函数就可以定义为
ε(t)＝ξm(s)h(s)[y-ym](t)+ψ(t)ξ(t) (29)
其中Ψ1(t)是Ψ*的自适应估计值，以及ζ(t)＝h(s)[ω](t)，ξ(t)＝ΘT(t)ζ(t)-h(s)[u](t)；ξm(s)是一个对角阵，其可以表示为ξm(s)＝diag{d1(s)，…dM(s)}，ξm(s)中的每一项di(s)可以表示为
Figure FDA0003415907020000122
步骤5-5、结合(28)，估计误差可以表示为
Figure FDA0003415907020000123
注意到此处的ξ(t)是具有分段形式的变量，因此可以将其表示为
Figure FDA0003415907020000124
基于上述步骤，将自适应律定义为
Figure FDA0003415907020000125
其中Γ＝ΓT＞0，Sp满足条件
Figure FDA0003415907020000126
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