CN104198144A - 一种基于长标距光纤应变传感器的中小桥梁快速检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于长标距光纤应变传感器的中小桥梁快速检测方法，步骤如下：在中小桥梁主要受力构件表面布置长标距光纤传感器，然后通过加载冲击力对桥面进行冲击激励，在冲击激励过程中，通过所布置的光纤传感器记录桥梁动应变的时程数据并同时记录冲击力的时程数据；根据获取的桥梁动应变和冲击力的时程数据，识别得出结构的应变柔度中识别得出结构的应变柔度矩阵。本发明方法不同于文献中研究较多的针对加速度数据的处理方法，该发明方法针对所测量的长标距动应变，具体研究了基于长标距应变测量的应变柔度识别，通过冲击振动下长标距动态应变的测量，可识别得出结构的应变柔度进行结构的安全评估，这是国内外首个针对应变柔度识别的方法。

Description

一种基于长标距光纤应变传感器的中小桥梁快速检测方法

技术领域

本发明为土建交通领域内的一种基于长标距光纤应变传感器的中小型桥梁快速检测方法，能够实现对中小桥梁的及时准确的安全评估以避免桥梁坍塌等事故发生。

背景技术

土木工程结构如桥梁等在自然环境与使用荷载下性能逐渐退化，而且又随时可能遭受地震、台风等强大自然灾害的侵袭。因此对土木工程结构进行定期测试与诊断可有效减小结构坍塌可能，避免灾难事故发生。近年来基于振动测试的结构健康监测与诊断技术已逐渐应用到土木工程实践中。

加速度是土木工程现场试验中经常测量的一种结构反应。它能够用来进行相应的模态分析和结构识别。文献中基于加速度测量的方法识别得出的是结构的位移柔度矩阵，它能够用来进行结构在某一个静力作用下的位移反应的预测，但不能用来进行结构的应变反应的预测。位移和应变是结构反应的两个不同的指标。结构的应变能够反映结构的局部受力特征，对结构损伤的及时识别和健康服役至关重要。文献中未有基于动应变识别结构应变柔度的任何报道。

本发明提出了一种利用冲击振动测试和长标距光纤应变传感器的中小桥梁快速检测方法，它采用冲击荷载激励桥梁，采用分布式光纤传感器精确记录冲击荷载下结构的应变反应，特别的是它通过所开发的核心算法从应变测量数据中识别得出结构的应变柔度矩阵进行结构的安全评估，这是它的独特之处。该方法能够确切可靠地评估所测试桥梁的安全状况，具有广泛应用于中小桥梁快速测试和安全评估的良好前景。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对上述的桥梁检测现有技术的不足，而提供了一种通过处理桥梁动应变反应数据识别结构应变柔度矩阵的中小桥梁快速检测的一种基于长标距光纤应变传感器的中小桥梁快速检测方法。

为解决上述技术问题，本发明的技术方案具体如下：

一种基于长标距光纤应变传感器的中小桥梁快速检测方法，其特征在于，步骤如下：

1)、在中小桥梁主要受力构件表面布置长标距光纤传感器，然后通过加载冲击力对桥面进行冲击激励，在冲击激励过程中，通过所布置的光纤传感器记录桥梁动应变的时程数据并同时记录冲击力的时程数据；

2)、根据获取的桥梁动应变和冲击力的时程数据，识别得出结构的应变柔度，具体过程如下：

21)：以在结构q点采集的冲击力时程信号f_q(t)和长标距单元m采集的动应变时程信号ε_m(t)估算应变频响函数：

$H_{\mathrm{mq}}^{\mathrm{\ϵ}}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{X_m\left(\mathrm{\ω}\right)F_q^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)}{F_q\left(\mathrm{\ω}\right)F_q^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)}---\left(1\right)$

式中，F_q(ω)为f_q(t)的傅里叶变换，X_m(ω)为ε_m(t)的傅里叶变换，*为共轭符号；

22)：对应变频响函数矩阵作奇异值分解以识别应变模态振型：

在每个离散频率点ω处对应变频响函数矩阵H^ε(ω)作如下的奇异值分解，得左奇异向量矩阵U^ε(ω)、右奇异向量矩阵V(ω)和奇异值矩阵S(ω)：

H^ε(ω)＝U^ε(ω)S(ω)V(ω)^T        (2)

以离散的频率变量ω为横坐标，奇异值矩阵S(ω)对角线上的各个元素为纵坐标，以对数尺度画奇异值图；拾取该图中最高奇异值曲线的各个峰值点，峰值点处对应的横坐标频率为结构的自振频率；在该横坐标频率处，与最高奇异值曲线对应的左奇异向量即为结构的应变振型向量，记识别出的某一阶应变振型向量用符号表示；

23)：增强应变频响函数计算和基本模态参数识别：

以最高奇异值曲线的第r阶峰值频率处对应的左奇异向量的转置和右奇异向量V_r为加权向量，分别左乘和右乘公式(1)得出的应变频响函数矩阵H^ε(ω)，可得第r阶增强应变频响函数eH^ε(ω)_r如下：

${\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left(\mathrm{\ω}\right)}_r={\left(U_r^{\mathrm{\ϵ}}\right)}^T{H}^{\mathrm{\ϵ}}\left(\mathrm{\ω}\right)V_r=\frac{C_{1r}{Q}_r{C}_{2r}}{\mathrm{j\ω}-{\mathrm{\γ}}_r}---\left(3\right)$

其中， $C_{1r}={\left(U_r^{\mathrm{\ϵ}}\right)}^T{\mathrm{\ψ}}_r^{\mathrm{\ϵ}},C_{2r}={\left({\mathrm{\ψ}}_{r,\mathrm{drv}}^d\right)}^T{V}_r,$ 为识别的第r阶应变振型向量，为识别的第r阶位移振型向量在力冲击点处组成的子向量，Q_r为第r阶模态缩放系数；

通过公式(3)得出eH^ε(ω)_r后，在最高奇异值曲线的第r阶峰值频率附近取k个离散频率点的eH^ε(ω_i)_r(i＝1，2，...，k)，通过公式(4)由最小二乘法计算得出eH^ε(ω)_r的分母多项式系数(a₁，a₀)和分子多项式系数(b₂，b₁，b₀)：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1\\ a_0\\ b_2\\ b_1\\ b_0\end{array}\right\}={\left[\begin{array}{ccccc}\left({\mathrm{j\ω}}_1\right){\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_1\right)}_r& {\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_1\right)}_r& -{\left({\mathrm{j\ω}}_1\right)}^2& -\left({\mathrm{j\ω}}_1\right)& -1\\ \left({\mathrm{j\ω}}_2\right){\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_2\right)}_r& {\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_2\right)}_r& -{\left({\mathrm{j\ω}}_2\right)}^2& -\left({\mathrm{j\ω}}_2\right)& -1\\ \·& \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·& \·\\ \left({\mathrm{j\ω}}_k\right){\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_k\right)}_r& {\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_k\right)}_r& {-\left({\mathrm{j\ω}}_k\right)}^2& -\left({\mathrm{j\ω}}_k\right)& -1\end{array}\right]}^{+}\left\{\begin{array}{c}{-\left({\mathrm{j\ω}}_1\right)}^2{\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_1\right)}_r\\ -{\left({\mathrm{j\ω}}_2\right)}^2{\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_2\right)}_r\\ \·\\ \·\\ \·\\ -{\left({\mathrm{j\ω}}_k\right)}^2{\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_k\right)}_r\end{array}\right\}---\left(4\right)$

式中，+表示对矩阵作伪逆运算；

在通过公式(4)得出分母多项式系数(a₁，a₀)后，通过公式(5)计算得出系统极点γ_r：

$\left[\begin{array}{cc}{a}_1& a_0\\ -1& 0\end{array}\right]\left\{X\right\}=-{\mathrm{\γ}}_r\left\{X\right\}---\left(5\right)$

然后，可由式(6)计算得出结构的第r阶自振频率ω_r和阻尼比ξ_r

${\mathrm{\ω}}_r=\sqrt{{\mathrm{\γ}}_r{\mathrm{\γ}}_r^{*}},{\mathrm{\ξ}}_r=\frac{{\mathrm{\γ}}_r+{\mathrm{\γ}}_r^{*}}{-2{\mathrm{\ω}}_r}---\left(6\right)$

24)：模态缩放系数计算：

从式(3)中计算模态缩放系数的倒数M_Ar：

取与计算增强应变频响函数相同的k个离散频率点的eH^ε(ω_i)_r(i＝1，2，...，k)，由最小二乘法可得：

$M_{\mathrm{Ar}}=C_{1r}{C}_{2r}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_1\right)}_r\\ {\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_2\right)}_r\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_k\right)}_r\end{array}\right\}}^{+}\left\{\begin{array}{c}1/({\mathrm{j\ω}}_1-{\mathrm{\γ}}_r)\\ 1/({\mathrm{j\ω}}_2-{\mathrm{\γ}}_r)\\ \·\\ \·\\ \·\\ 1/({\mathrm{j\ω}}_k-{\mathrm{\γ}}_r)\end{array}\right\}---\left(7\right)$

25)：改进的共轭梁法由识别的长标距应变振型计算结构节点位移振型：

取共轭梁的分布荷载为其中为识别的单元m的第r阶长标距应变振型，h_m为单元m的中性轴高度，则节点i的第r阶位移振型为

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ir}}^d=\\ \left\{\begin{array}{c}0(i=1)\\ {\mathrm{\Σ}}_{m=1}^{i=1}{q}_m{L}_m({\mathrm{\Σ}}_{j=m}^{i=1}{L}_j-\frac{1}{2}{L}_m)-\left[\frac{1}{L}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^n{q}_j{L}_j({\mathrm{\Σ}}_{i=j}^n{L}_i-\frac{1}{2}{L}_j)\right]{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{i-1}{L}_j(i=2,...,n+1)\end{array}\right.\end{array}$

式中，L为梁的总长，L_j为梁第j个长标距单元的长度；

26)：结构的应变柔度矩阵计算：

$F^{\mathrm{\ϵ}}={\mathrm{\Σ}}_{r=1}^{N_r}(\frac{{{\mathrm{\ψ}}_r^{\mathrm{\ϵ}}\left({\mathrm{\ψ}}_r^d\right)}^T}{M_{\mathrm{Ar}}(-{\mathrm{\γ}}_r)}+\frac{{\mathrm{\ψ}}_r^{\mathrm{\ϵ}*}{\left({\mathrm{\ψ}}_r^{d*}\right)}^T}{M_{\mathrm{Ar}}^{*}(-{\mathrm{\γ}}_r^{*})})---\left(9\right)$

其中F^ε为计算得出的应变柔度矩阵，和分别为结构的第r阶应变振型向量和位移振型向量，γ_r为结构的第r阶系统极点：

ω_r和ξ_r分别为识别得出的第r阶模态频率和阻尼系数，N_r为所识别的模态数，T为矩阵转置符号，*为共轭符号。

本发明方法以长标距动应变为基础，通过动应变与传统的位移之间的映射关系为突破口，建立了识别得出应变柔度的具体方法步骤，可预测得出结构任意荷载下的结构应变。本发明桥梁快速检测方法是基于动应变数据识别得出的是结构的应变柔度矩阵，不同于现有技术中的基于加速度和位移振型的结构位移柔度识别，非传统方法中的位移柔度识别和位移预测。在经过上述步骤后，可通过中小桥梁测试中采集的冲击力和长标距应变时程信号识别得出结构的应变柔度矩阵，这一数据处理方法构成了本发明的核心内容。根据基础力学知识知道应变比位移对结构的局部信息如损伤状况更敏感，因此它可有效的评估结构的细节特征。

本发明的有益效果是：

a)基于冲击振动测试、长标距光纤应变传感器、和应变柔度识别方法的中小桥梁快速检测方法可以快速可靠的进行中小桥梁检测和安全评价。

b)在结构质量未知的情况下，获取的桥梁动应变和冲击力的时程数据，识别得出结构的应变柔度，保证了上述的中小桥梁快速检测方法的有效性和和实用性。

c)本发明方法不同于文献中研究较多的针对加速度数据的处理方法，该发明方法针对所测量的长标距动应变，具体研究了基于长标距应变测量的应变柔度识别，通过冲击振动下长标距动态应变的测量，可识别得出结构的应变柔度进行结构的安全评估，这是国内外首个针对应变柔度识别的方法。

附图说明

图1是实施例1悬臂梁振动测试示意图；

图2是实施例1中观测到的冲击力；

图3为实施例1中观测到的动应变；

图4是实施例1中估算的应变频响函数的幅值图；

图5是实施例1中估算的应变频响函数的相位图；

图6是实施例1中应变频响函数的奇异值曲线图；

图7是实施例1中识别的应变振型图；

图8是实施例1中识别的位移振型图；

图9是实施例1中应变预测结果示意图；

图10是实施例2中多跨简支梁桥测试示意图；

图11是实施例2中多跨简支梁桥应变预测结果示意图；

其中：冲击力锤1，长标距光纤传感器2，数据分析系统3。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明的实施方式作详细说明。

首先选取结构的关键构件如桥梁的主梁，随后在结构关键构件上布置长标距光纤传感器，然后利用力锤冲击桥梁进行冲击振动测试。在冲击过程中，同时记录冲击力和结构的应变响应。在完成结构振动测试后，对所测数据进行分析处理，具体包括基于长标距应变测量的宏应变频响函数估计、应变模态振型识别、增强频响函数和系统极点计算，模态缩放系数计算，节点位移振型计算，直至根据公式(9)识别得出结构的应变柔度。最后，可利用所识别的结构应变柔度矩阵预测结构在任意静载下的应变，从而进行中小桥梁的快速安全评估。

实施例1

以图1所示的悬臂梁结构为例，对本发明的具体实施方式作详细说明。

1、划分结构单元，在单元上布置长标距光纤传感器，选取合适的节点加载冲击力并同时记录冲击力和动应变时程数据，由记录的时程数据计算应变频响函数。

根据需布置长标距光纤传感器的受力构件长度将结构划分为若干个单元，在本实施例中，悬臂梁在悬臂段部分的长度为1.6m，长标距光纤传感器用于测量部分的标距长度为0.2m，所以本实施例的结构划分为8个单元，从固定端到悬臂端将单元依次编号为单元1到单元8，节点依次编号为节点1到节点9。将8个长标距光纤传感器依次布置在这8个单元上，并连接到光纤解调仪上，同时将力锤连接到数据采集仪上。选取结构对振动响应比较敏感的节点(本实施例中选取节点3、节点6、节点9)作为力锤冲击点，分别对这些节点进行冲击并同时记录冲击力和动应变时程，为减少环境噪声对测量频响函数的影响，可对同一节点进行多次冲击振动测试以求取平均自功率谱和互功率谱，然后再代入式(1)中计算频响函数。图2为在节点3的某次冲击振动测试中记录的冲击力时程数据，图3为在图2所示的冲击力对应的单元8记录的动应变时程数据，图4为图2所示的冲击力和图3所示的动应变由式(1)计算的应变频响函数幅值图，图5为图4对应的相位图。

2、应变频响函数的奇异值分解，应变振型的识别。

将步骤1中计算的各个应变频响函数在每个离散频率点处按如下规则组成矩阵：在同一点的冲击力激起的各个长标距单元输出响应计算的频响函数依次排列在该矩阵中的同一列。采用式(2)对该矩阵作奇异值分解，得到左、右奇异向量矩阵和奇异值矩阵，以离散频率变量为横坐标，分别取奇异值矩阵对角线上的各个元素为纵坐标，采用对数尺度画出奇异值图，拾取该图中最高奇异值曲线的各个峰值点，而峰值点处对应的横坐标频率近似为结构的自振频率；在该峰值点处，与最高奇异值曲线对应的左奇异向量即为结构的应变振型向量。图6为本实施例中拾取了峰值的奇异值曲线图(图中拾取了4阶峰值)，图7为识别的前两阶应变振型。

3、增强频响函数计算，自振频率、阻尼比和模态缩放系数识别。

将步骤2中的每阶峰值处对应的左、右奇异向量代入式(3)中计算增强频响函数，然后取峰值频率附近的k个离散频率(本实施例中取k＝10)，代入式(4)中计算多项式系数，再由式(5)的特征值运算计算系统极点，然后由式(6)计算结构的自振频率和阻尼比。由于本实施例在奇异值曲线处拾取了4阶峰值，所以识别的4阶自振频率分别为1.93、11.86、32.70、63.02赫兹，相应的阻尼比分别为5.05％、5.00％、5.00％、5.00％。增强频响函数计算出后，用式(7)计算的前4阶模态缩放系数的倒数分别为17015+1083600i、4882.4+184780i、1553.1+63523i、1375.3+41636i，式中，i为虚数单位。

4、位移振型识别。

该悬臂梁为等截面，截面高度为6mm，截面中性轴位于高度中间处，所以取截面中性轴高度为3mm，另外单元标距长度为20cm，将截面参数和步骤2中识别的长标距应变振型代入式(8)中计算节点位移振型，前两阶位移振型识别结果见图8所示。

5、应变柔度矩阵识别。

将步骤2中识别的应变振型，步骤3中识别的模态缩放系数的倒数，步骤4中识别的位移振型代入式(9)中计算得出结构的应变柔度矩阵。

6、任意静力荷载作用下的单元应变预测。

用步骤5识别的应变柔度矩阵可以进行结构在任意静力荷载下的应变预测，只需要将任意荷载组成的向量右乘以该应变柔度矩阵，即可得到对应的每个单元的静力应变。本实施例在某一静力荷载作用下各个单元预测的应变值和实测值的比较见图9，由此图可以发现所预测值与相对应的真实测量值非常接近，从而验证了所识别的应变柔度方法的有效性和精确性。

实施例2

图10所示为一个三跨简支钢筋混凝土梁桥的实例。各跨两侧的主梁为结构关键构件，因此在它们的底层分别布置长标距光纤传感器。然后，在桥面的不同位置分别施加冲击力进行振动测试，并记录冲击力和动应变时程数据。首先通过振动测试中观测得到的冲击力和宏应变来估计每跨梁桥的应变频响函数，然后计算的模态参数特别是各个振型的缩放系数，然后通过公示(9)计算出整体结构的应变柔度。最后通过应变柔度来预测桥梁各个单元在任意静载下的应变。图11显示为该三跨简支钢筋混凝土梁桥的第一跨两侧主梁各单元在一定静力下的应变值，可以发现所预测值和静载试验中的实测值非常接近。静载试验不易操作、费时费力。而本发明的快速评估系统方便快捷，并且可以得出和静载试验一致的应变反应。因此，它可以进行快速的中小桥梁安全评定。

Claims (1)

1.一种基于长标距光纤应变传感器的中小桥梁快速检测方法，其特征在于，步骤如下：

1)、在中小桥梁主要受力构件表面布置长标距光纤传感器，然后通过加载冲击力对桥面进行冲击激励，在冲击激励过程中，通过所布置的光纤传感器记录桥梁动应变的时程数据并同时记录冲击力的时程数据；

2)、根据获取的桥梁动应变和冲击力的时程数据，识别得出结构的应变柔度，具体过程如下：

21)：以在结构q点采集的冲击力时程信号f_q(t)和长标距单元m采集的动应变时程信号ε_m(t)估算应变频响函数：

$H_{\mathrm{mq}}^{\mathrm{\ϵ}}\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{X_m\left(\mathrm{\ω}\right)F_q^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)}{F_q\left(\mathrm{\ω}\right)F_q^{*}\left(\mathrm{\ω}\right)}---\left(1\right)$

式中，F_q(ω)为f_q(t)的傅里叶变换，X_m(ω)为ε_m(t)的傅里叶变换，*为共轭符号；

22)：对应变频响函数矩阵作奇异值分解以识别应变模态振型：

在每个离散频率点ω处对应变频响函数矩阵H^ε(ω)作如下的奇异值分解，得左奇异向量矩阵U^ε(ω)、右奇异向量矩阵V(ω)和奇异值矩阵S(ω)：

H^ε(ω)＝U^ε(ω)S(ω)V(ω)^T           (2)

以离散的频率变量ω为横坐标，奇异值矩阵S(ω)对角线上的各个元素为纵坐标，以对数尺度画奇异值图；拾取该图中最高奇异值曲线的各个峰值点，峰值点处对应的横坐标频率为结构的自振频率；在该横坐标频率处，与最高奇异值曲线对应的左奇异向量即为结构的应变振型向量，记识别出的某一阶应变振型向量用符号表示；

23)：增强应变频响函数计算和基本模态参数识别：

以最高奇异值曲线的第r阶峰值频率处对应的左奇异向量的转置和右奇异向量V_r为加权向量，分别左乘和右乘公式(1)得出的应变频响函数矩阵H^ε(ω)，可得第r阶增强应变频响函数eH^ε(ω)_r如下：

${\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left(\mathrm{\ω}\right)}_r={\left(U_r^{\mathrm{\ϵ}}\right)}^T{H}^{\mathrm{\ϵ}}\left(\mathrm{\ω}\right)V_r=\frac{C_{1r}{Q}_r{C}_{2r}}{\mathrm{j\ω}-{\mathrm{\γ}}_r}---\left(3\right)$

其中， $C_{1r}={\left(U_r^{\mathrm{\ϵ}}\right)}^T{\mathrm{\ψ}}_r^{\mathrm{\ϵ}},C_{2r}={\left({\mathrm{\ψ}}_{r,\mathrm{drv}}^d\right)}^T{V}_r,$ 为识别的第r阶应变振型向量，为识别的第r阶位移振型向量在力冲击点处组成的子向量，Q_r为第r阶模态缩放系数；

通过公式(3)得出eH^ε(ω)_r后，在最高奇异值曲线的第r阶峰值频率附近取k个离散频率点的eH^ε(ω_i)_r(i＝1，2，...，k)，通过公式(4)由最小二乘法计算得出eH^ε(ω)_r的分母多项式系数(a₁，a₀)和分子多项式系数(b₂，b₁，b₀)：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1\\ a_0\\ b_2\\ b_1\\ b_0\end{array}\right\}={\left[\begin{array}{ccccc}\left({\mathrm{j\ω}}_1\right){\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_1\right)}_r& {\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_1\right)}_r& -{\left({\mathrm{j\ω}}_1\right)}^2& -\left({\mathrm{j\ω}}_1\right)& -1\\ \left({\mathrm{j\ω}}_2\right){\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_2\right)}_r& {\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_2\right)}_r& -{\left({\mathrm{j\ω}}_2\right)}^2& -\left({\mathrm{j\ω}}_2\right)& -1\\ \·& \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·& \·\\ \left({\mathrm{j\ω}}_k\right){\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_k\right)}_r& {\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_k\right)}_r& {-\left({\mathrm{j\ω}}_k\right)}^2& -\left({\mathrm{j\ω}}_k\right)& -1\end{array}\right]}^{+}\left\{\begin{array}{c}{-\left({\mathrm{j\ω}}_1\right)}^2{\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_1\right)}_r\\ -{\left({\mathrm{j\ω}}_2\right)}^2{\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_2\right)}_r\\ \·\\ \·\\ \·\\ -{\left({\mathrm{j\ω}}_k\right)}^2{\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_k\right)}_r\end{array}\right\}---\left(4\right)$

式中，+表示对矩阵作伪逆运算；

在通过公式(4)得出分母多项式系数(a₁，a₀)后，通过公式(5)计算得出系统极点γ_r：

$\left[\begin{array}{cc}{a}_1& a_0\\ -1& 0\end{array}\right]\left\{X\right\}=-{\mathrm{\γ}}_r\left\{X\right\}---\left(5\right)$

然后，可由式(6)计算得出结构的第r阶自振频率ω_r和阻尼比ξ_r

${\mathrm{\ω}}_r=\sqrt{{\mathrm{\γ}}_r{\mathrm{\γ}}_r^{*}},{\mathrm{\ξ}}_r=\frac{{\mathrm{\γ}}_r+{\mathrm{\γ}}_r^{*}}{-2{\mathrm{\ω}}_r}---\left(6\right)$

24)：模态缩放系数计算：

从式(3)中计算模态缩放系数的倒数M_Ar：

取与计算增强应变频响函数相同的k个离散频率点的eH^ε(ω_i)_r(i＝1，2，...，k)，由最小二乘法可得：

$M_{\mathrm{Ar}}=C_{1r}{C}_{2r}{\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_1\right)}_r\\ {\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_2\right)}_r\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{eH}}^{\mathrm{\ϵ}}{\left({\mathrm{\ω}}_k\right)}_r\end{array}\right\}}^{+}\left\{\begin{array}{c}1/({\mathrm{j\ω}}_1-{\mathrm{\γ}}_r)\\ 1/({\mathrm{j\ω}}_2-{\mathrm{\γ}}_r)\\ \·\\ \·\\ \·\\ 1/({\mathrm{j\ω}}_k-{\mathrm{\γ}}_r)\end{array}\right\}---\left(7\right)$

25)：改进的共轭梁法由识别的长标距应变振型计算结构节点位移振型：

取共轭梁的分布荷载为其中为识别的单元m的第r阶长标距应变振型，h_m为单元m的中性轴高度，则节点i的第r阶位移振型为

${\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{ir}}^d=$

$\left\{\begin{array}{c}0(i=1)\\ {\mathrm{\Σ}}_{m=1}^{i=1}{q}_m{L}_m({\mathrm{\Σ}}_{j=m}^{i=1}{L}_j-\frac{1}{2}{L}_m)-\left[\frac{1}{L}{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^n{q}_j{L}_j({\mathrm{\Σ}}_{i=j}^n{L}_i-\frac{1}{2}{L}_j)\right]{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^{i-1}{L}_j(i=2,...,n+1)\end{array}\right.---\left(8\right)$

式中，L为梁的总长，L_j为梁第j个长标距单元的长度；

26)：结构的应变柔度矩阵计算：

$F^{\mathrm{\ϵ}}={\mathrm{\Σ}}_{r=1}^{N_r}(\frac{{{\mathrm{\ψ}}_r^{\mathrm{\ϵ}}\left({\mathrm{\ψ}}_r^d\right)}^T}{M_{\mathrm{Ar}}(-{\mathrm{\γ}}_r)}+\frac{{\mathrm{\ψ}}_r^{\mathrm{\ϵ}*}{\left({\mathrm{\ψ}}_r^{d*}\right)}^T}{M_{\mathrm{Ar}}^{*}(-{\mathrm{\γ}}_r^{*})})---\left(9\right)$

其中F^ε为计算得出的应变柔度矩阵，和分别为结构的第r阶应变振型向量和位移振型向量，γ_r为结构的第r阶系统极点：

ω_r和ξ_r分别为识别得出的第r阶模态频率和阻尼系数，N_r为所识别的模态数，T为矩阵转置符号，*为共轭符号。