CN104166120B - 一种声矢量圆阵稳健宽带mvdr方位估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于声矢量通信领域，具体涉及一种声矢量圆阵稳健宽带MVDR方位估计方法。本发明包括：将二维矢量圆阵接收的声压数据以及振速数据，进行子频带分解，分别生成声压、振速和振速的宽带频域信号矩阵，得到矢量阵的宽带频域快拍数据矩阵；生成各个子频带上的矢量阵互谱矩阵；设置步长，实施方位角扫描，在子频带上构造矢量阵导向矢量；选取聚焦参考频率点，在相同的方位角上构造矢量阵聚焦导向矢量；采用相干信号子空间CSS聚焦变换方法，得到矢量阵聚焦变换矩阵；得到宽带聚焦协方差矩阵；得到最优权矢量；得在优化后的阵列平均输出功率；通过空间谱的谱峰位置确定声源来波方向。本发明施加稳健性约束优化，可提高空间谱的空间分辨率。

Description

一种声矢量圆阵稳健宽带MVDR方位估计方法

技术领域

本发明属于声矢量通信领域，具体涉及一种声矢量圆阵稳健宽带MVDR方位估计方法。

背景技术

矢量传感器可以空间共点同步拾取声场的声压和质点振速的三个正交分量，利用振速分量可在全空间对声源进行无模糊定向，同时，声压和振速联合信号处理技术具有良好的抗噪能力。基于以上特点，矢量传感器在实际工程中得到了广泛应用，基于矢量传感器阵列(简称为矢量阵)的信号处理方法也成为信号处理领域中一个比较活跃的研究方向。

著名学者Nechorai将矢量传感器纳入经典的水声信号处理框架，将矢量传感器的振速分量作为独立的阵元信息来处理(Arye Nehorai,Eytan Paldi.Acoustic vector-sensor array processing.IEEE Trans.Signal Processing,1994,42(9):2481-2491.)。Nehorai教授的研究对矢量阵列信号处理的影响深远，至今大部分的矢量阵信号处理方法均是以该理论框架为基础建立和发展起来的。

矢量阵处理技术在均匀线阵上已经得到广泛应用，常规波束形成和高分辨率算法都被应用到矢量阵上，如：矢量阵常规波束形成器以及Capon方位估计等(Malcolm Hawkes,Arye Nehorai.Acoustic vector-sensor beamforming and Capon directionestimation.IEEE,New Haven:Department of Electrical Engineering,1995:1673-1676)。但和声矢量线阵方位估计方法丰硕的研究成果相比，有关声矢量圆阵的研究却鲜见报道。圆阵在声呐系统中有着比较广泛的应用，比如现代艇艏声呐系统多采用圆柱形或球形声呐基阵，航空吊放声呐也皆采用圆柱形声呐基阵。声矢量圆阵的方位估计问题成为研究热点，未来具有广阔的应用前景。杨德森等人为了实现矢量传感器在圆阵阵型下的应用，提出了一种适合于声矢量圆阵的目标方位估计算法，但目前仅能解决单频声源的方位估计问题(杨德森，朱中锐，时胜国等.声矢量圆阵相位模态域目标方位估计.声学学报.2014.39(1):19-26.以及杨德森，朱中锐，时胜国.矢量圆阵测向方法.哈尔滨工程大学学报.2012.33(10):1259-1264)。

与单频窄带信号处理方法相比，宽带信号处理方法具有更大的复杂性，总体可分为相干处理和非相干处理，相干宽带MVDR(最小方差无畸变响应，Minimum VarianceDistortionless Response)处理可对相干声源具有较强的适应能力，同时具有较高的分辨率和背景起伏抑制能力(张德明，郭良浩，张仁和.基于聚焦变换的宽带信号方位稳健估计.声学学报.2005.30(4):303-308.以及时洁，杨德森.矢量阵相干宽带MVDR聚焦波束形成.系统仿真学报.2010.22(2):473-477.)。但以上方法的重要缺点是在阵型失配或小快拍数条件下出现明显的性能下降。尽管目前用以改进MVDR波束形成稳健性的方法很多，典型算法包括：线性约束 最小方差波束形成，基于对角加载的波束形成，以及基于特征子空间的波束形成等，但仍未有适用于声矢量圆阵的稳健性方法。

基于此，本发明提供了一种适用于声矢量圆阵的具有高稳健性的宽带MVDR方位估计方法。第一、针对声矢量圆阵的阵型结构特点，构造不同子频带矢量阵导向矢量以及参考频率矢量阵聚焦导向矢量，利用导向矢量聚焦变换，对相干声源具有较强的适用性；第二、与声压阵处理相比，矢量阵处理可明显压制旁瓣起伏并提高分辨率，并实现全方位角无模糊估计；第三、对矢量阵聚焦导向矢量进行稳健性约束优化，提高宽带MVDR方位估计方法在阵型失配及小快拍数条件下的稳健性，可在保证高分辨性能的同时具有较强的背景起伏抑制能力。可满足基于声矢量圆阵的稳健方位估计应用需求。

发明内容

本发明的目的在于提供一种提高估计效率，简化估计流程的声矢量圆阵稳健宽带MVDR方位估计方法。

本发明的目的是这样实现的：

(1)将二维矢量圆阵接收的声压数据x_p以及振速数据x_vx和x_vy，进行子频带分解，分别生成声压、vx振速和vy振速的宽带频域信号矩阵和得到矢量阵的宽带频域快拍数据矩阵X_j(f_k)，

其中，S_j(f_k)为源信号的频域快拍数据矩阵；和分别为声压、vx振速及vy振速信号的频域快拍数据矩阵；和分别为声压、vx振速及vy振速通道噪声信号的频域快拍数据矩阵；A^p(f_k)、A^vx(f_k)和A^vy(f_k)分别为声压、vx振速及vy振速通道的阵列流型矢量；j＝1,2,...,J，k＝l,l+1,...,h-1,h，f_l为下限频率，f_h为上限频率，下标“_l、_h和_k”代表频率编号，

得到矢量阵第j个频域快拍数据矩阵X_j(f_k)为：

(2)生成各个子频带上的矢量阵互谱矩阵R(f_k)，

(3)设置步长，实施方位角扫描，对任意一个方位角在子频带f_k上构造矢量阵导向矢量

其中，

c为声速，i表示复数，i²＝-1；

(4)选取f₀为聚焦参考频率点，在相同的方位角上构造矢量阵聚焦导向矢量

其中，

(5)采用相干信号子空间CSS聚焦变换方法，得到f_k上的矢量阵聚焦变换矩阵

其中，

0_N表示N×N维零矩阵；

(6)对(2)和(5)进行导向矢量聚焦变换后，得到f_k上的协方差矩阵进一步将总共K个频带的进行累加后得到宽带聚焦协方差矩阵

(7)对实际存在失配误差的矢量阵导向矢量施加稳健性约束优化条件，得到最优权矢量

至分别为矢量中的1至2N号元素；

(8)将代入目标函数中，得在优化后的阵列平均输出功率

(9)重复(3)至(8)的步骤直至完成全部的空间角度扫描，绘制声矢量圆阵稳健宽带空间谱图，通过空间谱的谱峰位置确定声源来波方向。

本发明的有益效果在于：1)该方法适用于矢量圆阵，可有针对性地解决船艏声呐、航空吊放声呐等声呐系统中的方位估计问题；2)通过构造不同子频带矢量阵导向矢量以及参考频率矢量阵聚焦导向矢量，进行导向矢量聚焦变换，对相干声源具有较强的适用性，该方法不需要任何奇异值或特征值分解，也不需要其他复杂的特征域变换，可明显降低运算复杂度，提高计算效率，在工程化应用中具有巨大优势；3)与声压阵处理相比，矢量阵处理可明显抑 制旁瓣起伏并提高空间分辨率，并实现全方位角无模糊估计；4)对矢量阵聚焦导向矢量进行稳健性约束优化，提高宽带MVDR方位估计方法在阵型失配及小快拍数条件下的稳健性，可在保证高分辨性能的同时具有较强的背景起伏抑制能力。

附图说明

图1矢量圆阵单声源宽带波束形成算法空间谱图(入射角0°)。

图2矢量圆阵单声源宽带波束形成算法空间谱图(入射角30°)。

图3矢量圆阵双相干声源宽带波束形成算法空间谱图(入射角-12°和12°)。

图4矢量圆阵双相干声源宽带波束形成算法空间谱局部放大图(入射角-12°和12°)。

图5矢量圆阵双相干声源宽带波束形成算法空间谱图(入射角-8°和8°)。

图6矢量圆阵双相干声源宽带波束形成算法空间谱局部放大图(入射角-8°和8°)。

图7本发明总体流程图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

本发明公开了一种声矢量圆阵稳健宽带MVDR方位估计方法。将二维矢量圆阵接收的声压数据x_p以及振速数据x_vx和x_vy，进行子频带分解，分别生成声压、vx振速和vy振速的宽带频域信号矩阵和进一步得到矢量阵的宽带频域快拍数据矩阵X_j(f_k)；生成各个子频带上的矢量阵互谱矩阵R(f_k)；设置合适的步长，在感兴趣的范围实施方位角扫描。对任意一个方位角在子频带f_k上构造矢量阵导向矢量选取f₀为聚焦参考频率点，在相同的方位角上构造矢量阵聚焦导向矢量采用相干信号子空间CSS聚焦变换方法，得到f_k上的矢量阵聚焦变换矩阵对(b)和(e)进行导向矢量聚焦变换后，得到f_k上的协方差矩阵进一步将总共K个频带的进行累加后得到宽带聚焦协方差矩阵对实际存在失配误差的矢量阵导向矢量施加稳健性约束优化条件，进而转化成二阶锥规划问题进行求解，得到最优权矢量将代入目标函数中，得在优化后的阵列平均输出功率重复(c)至(h)的步骤直至完成全部的空间角度扫描，绘制声矢量圆阵稳健宽带空间谱图，通过空间谱的谱峰位置确定声源来波方向。本发明通过对矢量圆阵的导向矢量误差进行稳健性约束优化，可获得高分辨率的空间谱并增强背景起伏抑制能力，有效改进水下相干宽带声源的高分辨方位估计方法 的性能。

该方法通过对矢量圆阵的导向矢量误差进行稳健性约束优化，可获得高分辨率的空间谱并增强背景起伏抑制能力，有效改进水下相干宽带声源的高分辨方位估计方法的性能。

本发明针对声矢量圆阵的阵型结构特点，通过构造特殊的导向矢量聚焦变换形式并进一步施加稳健性约束优化，解决了宽带MVDR方位估计方法在失配条件下的性能下降问题，可提高空间谱的空间分辨率，并获得较强的背景干扰抑制能力，进而有效增强宽带MVDR方位估计方法的稳健性。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括以下步骤：

(a)将二维矢量圆阵接收的声压数据x_p以及振速数据x_vx和x_vy，进行子频带分解，分别生成声压、vx振速和vy振速的宽带频域信号矩阵和进一步得到矢量阵的宽带频域快拍数据矩阵X_j(f_k)。

(b)生成各个子频带上的矢量阵互谱矩阵R(f_k)。

(c)设置合适的步长，在感兴趣的范围实施方位角扫描。对任意一个方位角在子频带f_k上构造矢量阵导向矢量

(d)选取f₀为聚焦参考频率点，在相同的方位角上构造矢量阵聚焦导向矢量

(e)采用相干信号子空间CSS聚焦变换方法，得到f_k上的矢量阵聚焦变换矩阵

(f)对(b)和(e)进行导向矢量聚焦变换后，得到f_k上的协方差矩阵进一步将总共K个频带的进行累加后得到宽带聚焦协方差矩阵

(g)对实际存在失配误差的矢量阵导向矢量施加稳健性约束优化条件，进而转化成二阶锥规划问题进行求解，得到最优权矢量

(h)将代入目标函数中，得在优化后的阵列平均输出功率

(i)重复(c)至(h)的步骤直至完成全部的空间角度扫描，绘制声矢量圆阵稳健宽带空间谱图，通过空间谱的谱峰位置确定声源来波方向。

实施例：

本发明具体包括：

(a)将二维矢量圆阵接收的声压数据x_p以及振速数据x_vx和x_vy，进行子频带分解，分别 生成声压、vx振速和vy振速的宽带频域信号矩阵和进一步得到矢量阵的宽带频域快拍数据矩阵X_j(f_k)。

考虑由N个二维矢量传感器组成的矢量阵，其阵元均匀分布在直角坐标系下xoy平面的圆周上，空间位置坐标分别为(x_n,y_n,0)(n＝1,2,...,N)。宽带相干声源个数为M，第m号声源的入射方位角为θ_m(m＝1,2,...,M)，其为声源与x轴正向的夹角。

信号频带范围为f_l～f_h，对声压数据x_p以及振速数据x_vx和x_vy分别进行子频带分解，将数据分为J段，并对每段数据进行FFT(傅里叶变换)，在信号频带范围f_l～f_h内共可划分K个互不重叠的子带(即频点数为K)，每个频点上的频域快拍为J个。在f_k上第j个频域快拍数据矩阵为：

其中，S_j(f_k)为源信号的频域快拍数据矩阵；和分别为声压、vx振速及vy振速信号的频域快拍数据矩阵；和分别为声压、vx振速及vy振速通道噪声信号的频域快拍数据矩阵；和分别为声压、vx振速及vy振速通道的阵列流型矢量；j＝1,2,...,J，k＝l,l+1,...,h-1,h，f_l为下限频率，f_h为上限频率，下标“l、h和k”代表频率编号。

得到矢量阵第j个频域快拍数据矩阵X_j(f_k)为：

(b)生成各个子频带上的矢量阵互谱矩阵R(f_k)。

第k个子频带上的矢量互谱矩阵R(f_k)可表示为：

其中，运算符号“H”表示共轭转置。

(c)设置合适的步长，在感兴趣的范围实施方位角扫描。对任意一个方位角在子频 带f_k上构造矢量阵导向矢量

矢量阵导向矢量可表示为：

其中，

c为声速，i表示复数，i²＝-1。“exp”表示取指数运算。

(d)选取f₀为聚焦参考频率点，在相同的方位角上构造矢量阵聚焦导向矢量

矢量阵聚焦导向矢量可表示为：

其中，

(5)采用相干信号子空间CSS(Coherent Signal Subspace)聚焦变换方法，得到f_k上的矢量阵聚焦变换矩阵

矢量阵聚焦变换矩阵可表示为：

其中，

0_N表示N×N维零矩阵；

(f)对(b)和(e)进行导向矢量聚焦变换后，得到f_k上的协方差矩阵进一步将总共K个频带的进行累加后得到宽带聚焦协方差矩阵

导向矢量聚焦变换可表示为：

宽带聚焦协方差矩阵可表示为：

(g)对实际存在失配误差的矢量阵导向矢量施加稳健性约束优化条件，进而转化成二阶锥规划问题进行求解，得到最优权矢量

理想情况下的矢量阵导向矢量为与实际的矢量阵导向矢量之间存在误差量e，则有针对存在的失配误差e进行约束||e||≤ε(ε为约束参数，“||·||”表示取矢量的2范数)，则属于下面的集合：

稳健性约束优化问题可表示为：

其中，“|·|”表示取模，“∈”表示属于，为待优化得到的最优权矢量，“s.t.”为Subject to 的缩写，表示约束条件。式中大括号的第一行表示目标函数，第二行表示约束条件。

通过化简，可得上式的等价形式为：

其中，“Im”表示取虚部。

对进行Cholesky分解得到分解因子引进一个非负标量τ，并构造一个新的约束形式则有：

其实值形式为：

其中， “Re”表示取实部。

最终写成二阶锥规划问题的求解形式：

其中， 0表示元素全为0的矢量，I表示元素全为1的矢量，表示实数域，右上角表示维数。表示第一个2N+1维的二阶锥，表示第二个2N+1维的二阶锥，{0}表示零锥。

在扫描角度上的最优化权矢量表示为：

其中，至分别为矢量中的1至2N号元素，下标“opt”为optimization的缩写，表示优化后得到的权矢量。

(h)将代入目标函数中，得在优化后的阵列平均输出功率

(i)重复(c)至(h)的步骤直至完成全部的空间角度扫描，绘制声矢量圆阵稳健宽带空间谱图，通过空间谱的谱峰位置确定声源来波方向。

上面对发明内容各部分的具体实施方式进行了说明。声矢量圆阵稳健宽带MVDR方位估计方法，具有诸多明显优点，可在存在失配的条件下，保证获得高分辨率空间谱，较高的方位估计精度，并获得优秀的背景干扰抑制能力，有效增强宽带MVDR方位估计方法的稳健性。下面对矢量圆阵单声源及相干双声源的处理实例进行分析。

实例一：矢量圆阵单声源处理效果分析

实例参数设置如下：均匀矢量圆阵共由11个矢量传感器组成，均匀分布在xoy平面半径1m的圆周上，圆中心与坐标系原点重合。单个宽带声源入射方位角分别为0°和30°。系统采样率为10kHz，声源发射频带为下限频率f_l＝0.5kHz，上限频率f_h＝3.5kHz，宽带处理所用数据总点数为16384，数据总时间长度约为1.64s，对数据进行分段，每段数据长度为512，相邻两段数据重叠75％，则共有125个频域快拍，FFT长度为512，可利用频率点数为52个，信噪比15dB。水中声速取为1500m/s。方位角扫描范围为-180°到180°，扫描步长1°。仿真中设置存在5％的阵元位置误差，对比分析声压阵宽带常规波束形成(简称：声压常规)、声压阵宽带MVDR波束形成(简称：声压MVDR)、稳健声压阵宽带MVDR波束形成(简称：稳健声压MVDR)、矢量阵宽带常规波束形成(简称：矢量常规)、矢量阵宽带MVDR波束形成(简称：矢量MVDR)以及专利中稳健矢量阵宽带MVDR波束形成(简称：稳健矢量MVDR)，其中稳健性约束参数取ε＝0.8。

图1给出矢量圆阵单声源宽带波束形成算法空间谱图(入射角0°)。

图2给出矢量圆阵单声源宽带波束形成算法空间谱图(入射角30°)。

实例二：矢量圆阵相干双声源处理效果分析

实例参数设置如下：阵列及信号处理参数如实例一不变，双相干声源入射方位角分别为-12°和12°以及-8°和8°。方位角扫描范围为-90°到90°，扫描步长1°。仿真中仍设置存在5％的阵元位置误差，对比分析三种方法的处理性能，其中稳健优化约束参数取ε＝0.8。

图3给出矢量圆阵双相干声源宽带波束形成算法空间谱图(入射角-12°和12°)。

图4给出矢量圆阵双相干声源宽带波束形成算法空间谱局部放大图(入射角-12°和12°)。

图5给出矢量圆阵双相干声源宽带波束形成算法空间谱图(入射角-8°和8°)。

图6给出矢量圆阵双相干声源宽带波束形成算法空间谱局部放大图(入射角-8°和8°)。

综合两个实例可以看出，当不可避免存在失配误差的条件下，声压阵和矢量阵的宽带波束形成结果均会出现一定程度的性能下降，但矢量阵的总体性能要明显高于声压阵，其对旁瓣起伏的抑制能力较强，且具有较为尖锐的谱峰和较高的分辨率。专利中的稳健矢量宽带MVDR波束形成方法由于施加了稳健型约束优化条件，可修正由导向矢量误差引起的方位估计偏差，同时适用于相干宽带信号，可明显提高宽带MVDR波束形成的稳健性，在有效提高空间分辨率的同时，获得明显的背景起伏抑制能力，最大抑制能力可高于30dB。

Claims (1)

1.一种声矢量圆阵稳健宽带MVDR方位估计方法，其特征在于：

(1)将二维矢量圆阵接收的声压数据x_p以及振速数据x_vx和x_vy，进行子频带分解，分别生成声压、v_x振速和v_y振速的宽带频域信号矩阵和得到矢量阵的宽带频域快拍数据矩阵X_j(f_k)，

$\left\{\begin{array}{c}{X}_j^p\left(f_k\right)=A^p\left(f_k\right)S_j\left(f_k\right)+N_j^p\left(f_k\right)\\ X_j^{vx}\left(f_k\right)=A^{vx}\left(f_k\right)S_j\left(f_k\right)+N_j^{vx}\left(f_k\right)\\ X_j^{vy}\left(f_k\right)=A^{vy}\left(f_k\right)S_j\left(f_k\right)+N_j^{vy}\left(f_k\right)\end{array}\right.$

其中，S_j(f_k)为源信号的频域快拍数据矩阵；和分别为声压、v_x振速及v_y振速信号的频域快拍数据矩阵；和分别为声压、v_x振速及v_y振速通道噪声信号的频域快拍数据矩阵；A^p(f_k)、A^vx(f_k)和A^vy(fk)分别为声压、v_x振速及v_y振速通道的阵列流型矢量；j＝1,2,…,J，k＝l,l+1,…,h-1,h，f_l为下限频率，f_h为上限频率，下标“_l、_h和_k”代表频率编号，

得到矢量阵第j个频域快拍数据矩阵X_j(f_k)为：

$X_j\left(f_k\right)=\left[\begin{array}{c}{X}_j^p\left(f_k\right)\\ X_j^{vx}\left(f_k\right)\\ X_j^{vy}\left(f_k\right)\end{array}\right];$

(2)生成各个子频带上的矢量阵互谱矩阵R(f_k)，

$R\left(f_k\right)=\frac{1}{J}\underset{j=1}{\overset{J}{\Σ}}{X}_j\left(f_k\right)X_j^H\left(f_k\right);$

(3)设置步长，实施方位角扫描，对任意一个方位角在子频带f_k上构造矢量阵导向矢量

$\hat{a}\left(f_k\right|\widehat{\mathrm{\θ}})=\left[\begin{array}{c}{\hat{a}}_p\left(f_k\right|\widehat{\mathrm{\θ}})\\ {\hat{a}}_{vx}\left(f_k\right|\widehat{\mathrm{\θ}})\\ {\hat{a}}_{vy}\left(f_k\right|\widehat{\mathrm{\θ}})\end{array}\right]$

其中，

${\hat{a}}_p\left(f_k\right|\widehat{\mathrm{\θ}})=\left[\begin{array}{c}{\hat{a}}_1\left(f_k\right|\widehat{\mathrm{\θ}})\\ {\hat{a}}_2\left(f_k\right|\widehat{\mathrm{\θ}})\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ {\hat{a}}_N\left(f_k\right|\widehat{\mathrm{\θ}})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\exp \left(-i2{\mathrm{\πf}}_k\left(x_1\cos \widehat{\mathrm{\θ}}+y_1\sin \widehat{\mathrm{\θ}}\right)/c\right)\\ \exp \left(-i2{\mathrm{\πf}}_k\left(x_2\cos \widehat{\mathrm{\θ}}+y_2\sin \widehat{\mathrm{\θ}}\right)/c\right)\\ \begin{array}{c}.\\ .\\ .\end{array}\\ \exp \left(-i2{\mathrm{\πf}}_k\left(x_N\cos \widehat{\mathrm{\θ}}+y_N\sin \widehat{\mathrm{\θ}}\right)/c\right)\end{array}\right];$

c为声速，i表示复数，i²＝-1；

(4)选取f₀为聚焦参考频率点，在相同的方位角上构造矢量阵聚焦导向矢量

$\hat{a}\left(f_0\right|\widehat{\mathrm{\θ}})=\left[\begin{array}{c}{\hat{a}}_p\left(f_0\right|\widehat{\mathrm{\θ}})\\ {\hat{a}}_{vx}\left(f_0\right|\widehat{\mathrm{\θ}})\\ {\hat{a}}_{vy}\left(f_0\right|\widehat{\mathrm{\θ}})\end{array}\right],$

其中，

${\hat{a}}_{vx}\left(f_0\right|\widehat{\mathrm{\θ}})=cos\widehat{\mathrm{\θ}}\·{\hat{a}}_p\left(f_0\right|\widehat{\mathrm{\θ}});{\hat{a}}_{vy}\left(f_0\right|\widehat{\mathrm{\θ}})=\sin \widehat{\mathrm{\θ}}\·{\hat{a}}_p\left(f_0\right|\widehat{\mathrm{\θ}});$

(5)采用相干信号子空间CSS聚焦变换方法，得到f_k上的矢量阵聚焦变换矩阵

$T\left(f_k|\widehat{\mathrm{\θ}}\right)=\left[\begin{array}{ccc}{T}_p\left(f_k|\widehat{\mathrm{\θ}}\right)& 0_N& 0_N\\ 0_N& T_{vx}\left(f_k|\widehat{\mathrm{\θ}}\right)& 0_N\\ 0_N& 0_N& T_{vy}\left(f_k|\widehat{\mathrm{\θ}}\right)\end{array}\right],$

其中，

0_N表示N×N维零矩阵；

(6)对(2)和(5)进行导向矢量聚焦变换后，得到f_k上的协方差矩阵进一步将总共K个频带的进行累加后得到宽带聚焦协方差矩阵

$\hat{R}\left(f_k|\widehat{\mathrm{\θ}}\right)=T\left(f_k|\widehat{\mathrm{\θ}}\right)R\left(f_k\right)T^H\left(f_k|\widehat{\mathrm{\θ}}\right),$

$\hat{R}\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)=\frac{1}{K}\underset{k=l}{\overset{h}{\Σ}}\hat{R}\left(f_k\right|\widehat{\mathrm{\θ}});$

(7)对实际存在失配误差的矢量阵导向矢量施加稳健性约束优化条件，得到最优权矢量

至分别为矢量中的1至2N号元素；

理想情况下的矢量阵导向矢量为与实际的矢量阵导向矢量之间存在误差量e，则有针对存在的失配误差e进行约束||e||≤ε，ε为约束参数，“||·||”表示取矢量的2范数，则属于下面的集合：

$a\left(\mathrm{\ϵ}\right)=\left\{a\left(f_0\right|\widehat{\mathrm{\θ}})\right|a\left(f_0\right|\widehat{\mathrm{\θ}})=\hat{a}\left(f_0\right|\widehat{\mathrm{\θ}})+e,\left|\right|e\left|\right|\≤\mathrm{\ϵ}\}$

稳健性约束优化问题可表示为

$\left\{\begin{array}{cc}\underset{w\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)}{\min }& w^H\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)\hat{R}\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)w\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)\\ s.t.& \left|w^H\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)a\left(f_0\right|\widehat{\mathrm{\θ}})\right|\≥1foralla\left(f_0|\widehat{\mathrm{\θ}}\right)\∈a\left(\mathrm{\ϵ}\right)\end{array}\right.$

其中，“|·|”表示取模，“∈”表示属于，为待优化得到的最优权矢量，“s.t.”为Subjectto的缩写，表示约束条件，式中大括号的第一行表示目标函数，第二行表示约束条件；

通过化简，可得上式的等价形式为：

$\left\{\begin{array}{cc}\underset{w\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)}{\min }& w^H\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)\hat{R}\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)w\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)\\ s.t.& w^H\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)\hat{a}\left(f_0\right|\widehat{\mathrm{\θ}})\≥\mathrm{\ϵ}\left|\right|w\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)\left|\right|+1,\mathrm{Im}\left\{w^H\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)\hat{a}\left(f_0|\widehat{\mathrm{\θ}}\right)\right\}=0\end{array}\right.$

其中，“Im”表示取虚部；

对进行Cholesky分解得到分解因子引进一个非负标量并构造一个新的约束形式则有：

$\left\{\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\τ},w\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)}{\min }& \mathrm{\τ}\\ s.t.& \mathrm{\ϵ}\left|\right|w\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)\left|\right|\≤w^H\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)\hat{a}\left(f_0|\widehat{\mathrm{\θ}}\right)-1,\mathrm{Im}\left\{w^H\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)\hat{a}\left(f_0|\widehat{\mathrm{\θ}}\right)\right\}=0,\left|\right|Uw\left(\widehat{\mathrm{\θ}}\right)\left|\right|\≤\mathrm{\τ}\end{array}\right.$

其实值形式为：

其中，

“Re”表示取实部，

最终写成二阶锥规划问题的求解形式：

其中，

0表示元素全为0的矢量，I表示元素全为1的矢量，R表示实数域，R右上角表示维数，SOC₁ ^2N+1表示第一个2N+1维的二阶锥，SOC₂ ^2N+1表示第二个2N+1维的二阶锥，{0}表示零锥；

在扫描角度上的最优化权矢量表示为：

(8)将代入目标函数中，得在优化后的阵列平均输出功率

(9)重复(3)至(8)的步骤直至完成全部的空间角度扫描，绘制声矢量圆阵稳健宽带空间谱图，通过空间谱的谱峰位置确定声源来波方向。