CN104143026A - 一种考虑倾斜与热的静压油垫性能计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑倾斜与热的静压油垫各项性能计算方法，该方法考虑了倾斜与热的影响并运用有限差分法计算油垫的压力分布及温度分布。其具体实现流程为。该方法首先简化N-S方程与能量方程并推导二维雷诺方程，再对各方程进行无量纲处理，之后计算油垫的承载力，刚度与阻尼，最后基于有限差分法使用Matlab编写计算程序得到油垫的各项性能参数。本发明的特点在于使用简化的N-S方程推导雷诺方程，能量方程与雷诺方程通过粘温方程与密温方程相互耦合。耦合的方程使用有限差分法求解，油垫的承载力通过承载面积分得到，而刚度与阻尼通过对承载力求导得到，本发明提供的方法可为转台的使用及设计提供指导。

Description

一种考虑倾斜与热的静压油垫性能计算方法

技术领域

本发明属于静压转台分析领域，涉及一种定量供油的转台支承油垫承载力、刚度及阻尼的计算方法，该方法运用有限差分法计算并考虑了摩擦热及倾斜的作用。

背景技术

静压转台(Hydrostatic Rotary Table)用有压力的流体使有相对运动的两个表面分开并借助流体静压来承载。由于运动副之间完全被油膜隔开，所以运动副间的摩擦力大大减小，同时其承载能力、运动精度与寿命却大大提高。正因为液体静压支承的诸多优点，所以它广泛的应用于重型机床并成为其关键部件之一。静压油垫是静压转台支承系统的关键部件，通常在其设计时认为其与导轨面永远保持平行，然而这并不现实，事实上由于加工装配误差、转台的局部变形及偏载的影响油垫与导轨面往往难以保持平行。油液的发热也是影响油垫性能的关键因素，它使油液的粘度降低同时也会使转台产生热变形从而影响转台的精度。所以在转台的设计及使用过程中需要充分预估倾斜及热对油垫承载性能的影响。

发明内容

本发明的目的是提供一种定量供油的转台支承油垫承载力、刚度及阻尼的计算方法，该方法运用有限差分法计算并考虑了摩擦热及倾斜的作用。，该方法首先简化N-S方程与能量方程并推导二维雷诺方程，再对各方程进行无量纲处理，之后计算油垫的承载力，刚度与阻尼，最后基于有限差分法使用Matlab编写计算程序得到油垫的各项性能参数。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案为一种考虑倾斜与热的静压油垫性能计算方法，该方法的实现步骤如下，

1、该方法首先简化N-S方程与能量方程并推导二维雷诺方程确定其边界条件。根据油垫的倾角计算倾斜油垫各处的时油膜厚度。

2、对能量方程、雷诺方程、温粘方程方程进行无量纲处理。

3、计算油垫的承载力、刚度与阻尼性能参数。

4、基于有限差分法使用Matlab编写计算程序得到油垫的各项性能参数。

与现有技术相比，本发明具有如下有益效果。

本发明的特点在于使用简化的N-S方程推导雷诺方程，能量方程与雷诺方程通过粘温方程与密温方程相互耦合。耦合的方程使用有限差分法求解，油垫的承载力通过承载面积分得到，而刚度与阻尼通过对承载力求导得到，本发明提供的方法可为转台的使用及设计提供指导。

附图说明

图1导轨相对与油垫倾斜的模型图。

图2支承油垫结构简图。

图3差分法计算流程图。

图4油垫各项性能随倾角的变化曲线。

图5油垫平均温度随倾角的变化曲线。

具体实施方式

本发明实施一种静压转台偏载时承载力计算分析方法，下面结合附图，对本发明的实施进行具体说明。

图1为导轨相对与油垫倾斜的模型图，油垫为圆形阶梯油垫由定量泵向其供油供油量为Q₀，以油垫的中心点为原点建立极坐标系r,为坐标参数。转台在承受偏载或有局部变形时油膜厚度在油垫上的分布将不再均匀，此时转台的导轨面与油垫面有一个倾角θ(如图1所示)。

图2为支承油垫结构简图。图中R₁为油垫的内径，R₂为油垫的外径，h_s为油膜厚度。

步骤(1)，相关方程的推导

1.1雷诺方程的建立

认为油膜比较薄，静压油的流态为层流，油液的密度仅有少量改变，在径向油液的散热以对流为主那么对N-S方程进行简化有：

$\frac{\∂p}{\∂r}-\mathrm{\η}\frac{{\∂}^2{u}_r}{{\∂z}^2}=0---\left(2\right)$

$\frac{\∂p}{\∂z}=0---\left(4\right)$

上式中(1)为连续性方程，(2)，(3)，(4)分别为简化后的r向，向及z向动量方程。式中ρ为油液密度η为油液粘度，u_r,v_z分别为油液在r向，向及z向的流速。对(3)式两边对z积分并代入边界条件z＝0,z＝h_s,有：

(2)式对z进行积分并代入边界条件z＝0,u_r＝0；z＝h_s,u_r＝0；有:

$u_r=\frac{z^2-{\mathrm{zh}}_s}{2\mathrm{\η}}\frac{\∂p}{\∂r}---\left(6\right)$

将(5)、(6)式带入(1)式并对z积分可得到雷诺方程：

1.2能量方程

油液由摩擦产热，r向和向的散热主要依靠对流，z向散热以传导为主，则可有简化的能量方程为：

同时温粘方程与温密方程为：

$\mathrm{\η}={\mathrm{\η}}_0{e}^{-\mathrm{\β}(T-T_0)}---\left(9\right)$

ρ＝ρ₀(1-λ(T-T₀))   (10)

1.3油膜厚度的计算

图2为支承油垫结构简图，R₁,R₂为油垫的内外径，h_s是支承油垫的油膜厚度，θ为转台导轨面相对与油垫的倾斜角度，Q₀是油垫的供油量。这样当油垫倾斜时油垫封油边的实际油膜厚度为：

步骤(2)方程的无量纲处理

上式中r,均为极坐标系的坐标参数。雷诺方程及能量方程需要进行无量纲处理，于是令h₀＝h_s, $\stackrel{\‾}{R}=\frac{r}{R_2},\stackrel{\‾}{H}=\frac{h_s}{h_0},\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}=\frac{\mathrm{\ρ}}{{\mathrm{\ρ}}_0},\stackrel{\‾}{\mathrm{\η}}=\frac{\mathrm{\η}}{{\mathrm{\η}}_0},\stackrel{\‾}{p}=\frac{p}{p_0},\stackrel{\‾}{z}=\frac{z}{h_0},\stackrel{\‾}{v_z}=\frac{v_z}{h_0},\stackrel{\‾}{T}=\frac{T}{T_0},$ 式中h₀为初始油膜厚度，ρ₀及η₀是常温时油液的粘度与密度，p₀为油腔压力，v_z为导轨挤压油膜的速度。同时定义平均密度与平均粘度为则无量纲的雷诺方程及油膜计算方程为：

无量纲的周向及径向流速为：式中的u_r与将按照(5)和(6)式计算。

无量纲的能量方程为：

无量纲的温密方程及粘温方程为：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\η}}=e^{-\mathrm{\β}{T}_0(\stackrel{\‾}{T}-1)}---\left(15\right)$

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}=(1-\mathrm{\λ}{T}_0(\stackrel{\‾}{T}-1))---\left(16\right)$

雷诺方程(13)与能量方程(14)将使用有限差分法求解，求解的边界条件为：

$\left\{\begin{array}{c}0\≤\stackrel{\‾}{R}\≤\frac{R_1}{R_2},\stackrel{\‾}{p}=1;\stackrel{\‾}{R}=1,\stackrel{\‾}{p}=0;\\ 0\≤\stackrel{\‾}{R}\≤\frac{R_1}{R_2},\stackrel{\‾}{T}=1;\stackrel{\‾}{R}=1,\frac{\∂\stackrel{\‾}{T}}{\∂\stackrel{\‾}{R}}=0;\end{array}\right.---\left(17\right)$

步骤(3)各项性能的计算

对油液径向流速进行积分得到支承油垫的流量为：

所以支承油垫的油腔压力为：

对油膜压力分布进行积分就得到油垫的承载力为：

承载力对油膜厚度求微分就得到油垫的刚度为：

$K_z=\frac{\∂\mathrm{wf}}{h_0\∂\stackrel{\‾}{H}}---\left(20\right)$

承载力对油垫的挤压速度v_z求导就得到油垫的阻尼为：

$C=\frac{\∂\mathrm{wf}}{h_0\∂\stackrel{\‾}{v_z}}---\left(21\right)$

步骤(4)计算流程

能量方程与雷诺方程将使用有限差分法求解，收敛的条件为相对误差应当小于ζ＜10^-6。而相对误差的计算式为具体求解的流程如图3所示，(1)初始化参数包括设置输入参数h₀,ρ₀,η₀,R₁,R₂,T₀及网格的大小nr,nz。(2)计算油垫各处的油膜厚度。(3)计算油膜的压力分布(4)计算油液的径向速度和周向速度(5)根据方程(14)计算油膜各处的温度分布(6)根据(15)、(16)式计算新的油液密度与粘度 并更新平均油液密度与粘度(7)计算相对误差ζ。(8)重复第二步到第七步直到相对误差ζ＜10^-6。(9)迭代计算结束，计算油腔压力与承载力参数。

上述计算过程将使用matlab编程实现。

为更具体的说明本方法的有效性，本发明提供了一个计算实例。

油垫的参数及油液的参数为：R₂＝175mm，h₀＝0.1mm，Q₀＝1×10^-4m³/s，ρ₀＝872kg/m³，η₀＝0.091pa·s，T₀＝22℃，c＝1845.0J/kgK，β＝0.0372/K，λ＝0.00064737/K，k＝0.145W/(mK)；网格大小设定为根据这些参数按照步骤(4)所述的计算流程计算油膜的压力场与温度场进而计算油垫的承载力、刚度与阻尼。计算结果如图4图5所示，图4为油垫的油腔压力、承载力、刚度及阻尼随倾角的变化规律，可见各项性能参数均随倾角的增加而减少其中阻尼减少的幅度最大甚至出现负值，图5为油垫平均温度随倾角的变化曲线可见油垫的平均温度也随倾角的增加而降低。这表明倾斜与温度对于油垫的性能均有明显的影响在设计与使用过程中均要予以考虑。

Claims (2)

1.一种考虑倾斜与热的静压油垫性能计算方法，其特征在于：该方法的实现步骤如下，

1、该方法首先简化N-S方程与能量方程并推导二维雷诺方程确定其边界条件；根据油垫的倾角计算倾斜油垫各处的时油膜厚度；

2、对能量方程、雷诺方程、温粘方程方程进行无量纲处理；

3、计算油垫的承载力、刚度与阻尼性能参数；

4、基于有限差分法使用Matlab编写计算程序得到油垫的性能参数。

2.根据权利要求1所述的一种考虑倾斜与热的静压油垫性能计算方法，其特征在于：

步骤(1)，相关方程的推导

1.1雷诺方程的建立

油膜比较薄，静压油的流态为层流，油液的密度仅有少量改变，在径向油液的散热以对流为主那么对N-S方程进行简化有：

$\frac{\∂p}{\∂r}-\mathrm{\η}\frac{{\∂}^2{u}_r}{{\∂z}^2}=0---\left(2\right)$

$\frac{\∂p}{\∂z}=0---\left(4\right)$

上式中(1)为连续性方程，(2)，(3)，(4)分别为简化后的r向，向及z向动量方程；式中ρ为油液密度η为油液粘度，u_r,v_z分别为油液在r向，向及z向的流速；对(3)式两边对z积分并代入边界条件z＝0,z＝h_s,有：

(2)式对z进行积分并代入边界条件z＝0,u_r＝0；z＝h_s,u_r＝0；有:

$u_r=\frac{z^2-{\mathrm{zh}}_s}{2\mathrm{\η}}\frac{\∂p}{\∂r}---\left(6\right)$

将(5)、(6)式带入(1)式并对z积分可得到雷诺方程：

1.2能量方程

油液由摩擦产热，r向和向的散热主要依靠对流，z向散热以传导为主，则可有简化的能量方程为：

同时温粘方程与温密方程为：

$\mathrm{\η}={\mathrm{\η}}_0{e}^{-\mathrm{\β}(T-T_0)}---\left(9\right)$

ρ＝ρ₀(1-λ(T-T₀))   (10)

1.3油膜厚度的计算

支承油垫结构简中，R₁,R₂为油垫的内外径，h_s是支承油垫的油膜厚度，θ为转台导轨面相对与油垫的倾斜角度，Q₀是油垫的供油量；这样当油垫倾斜时油垫封油边的实际油膜厚度为：

步骤(2)方程的无量纲处理

上式中r,均为极坐标系的坐标参数；雷诺方程及能量方程需要进行无量纲处理，于是令h₀＝h_s, $\stackrel{\‾}{R}=\frac{r}{R_2},\stackrel{\‾}{H}=\frac{h_s}{h_0},\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}=\frac{\mathrm{\ρ}}{{\mathrm{\ρ}}_0},\stackrel{\‾}{\mathrm{\η}}=\frac{\mathrm{\η}}{{\mathrm{\η}}_0},\stackrel{\‾}{p}=\frac{p}{p_0},\stackrel{\‾}{z}=\frac{z}{h_0},\stackrel{\‾}{v_z}=\frac{v_z}{h_0},\stackrel{\‾}{T}=\frac{T}{T_0},$ 式中h₀为初始油膜厚度，ρ₀及η₀是常温时油液的粘度与密度，p₀为油腔压力，v_z为导轨挤压油膜的速度；同时定义平均密度与平均粘度为则无量纲的雷诺方程及油膜计算方程为：

无量纲的周向及径向流速为：式中的u_r与将按照(5)和(6)式计算；

无量纲的能量方程为：

无量纲的温密方程及粘温方程为：

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\η}}=e^{-\mathrm{\β}{T}_0(\stackrel{\‾}{T}-1)}---\left(15\right)$

$\stackrel{\‾}{\mathrm{\ρ}}=(1-\mathrm{\λ}{T}_0(\stackrel{\‾}{T}-1))---\left(16\right)$

雷诺方程(13)与能量方程(14)将使用有限差分法求解，求解的边界条件为：

$\left\{\begin{array}{c}0\≤\stackrel{\‾}{R}\≤\frac{R_1}{R_2},\stackrel{\‾}{p}=1;\stackrel{\‾}{R}=1,\stackrel{\‾}{p}=0;\\ 0\≤\stackrel{\‾}{R}\≤\frac{R_1}{R_2},\stackrel{\‾}{T}=1;\stackrel{\‾}{R}=1,\frac{\∂\stackrel{\‾}{T}}{\∂\stackrel{\‾}{R}}=0;\end{array}\right.---\left(17\right)$

步骤(3)各项性能的计算

对油液径向流速进行积分得到支承油垫的流量为：

所以支承油垫的油腔压力为：

对油膜压力分布进行积分就得到油垫的承载力为：

承载力对油膜厚度求微分就得到油垫的刚度为：

$K_z=\frac{\∂\mathrm{wf}}{h_0\∂\stackrel{\‾}{H}}---\left(20\right)$

承载力对油垫的挤压速度v_z求导就得到油垫的阻尼为：

$C=\frac{\∂\mathrm{wf}}{h_0\∂\stackrel{\‾}{v_z}}---\left(21\right)$

步骤(4)计算流程

能量方程与雷诺方程将使用有限差分法求解，收敛的条件为相对误差应当小于ζ＜10^-6；而相对误差的计算式为(1)初始化参数包括设置输入参数h₀,ρ₀,η₀,R₁,R₂,T₀及网格的大小nr,nz；(2)计算油垫各处的油膜厚度；(3)计算油膜的压力分布(4)计算油液的径向速度和周向速度(5)根据方程(14)计算油膜各处的温度分布(6)根据(15)，(16)式计算新的油液密度与粘度并更新平均油液密度与粘度(7)计算相对误差ζ；(8)重复第二步到第七步直到相对误差ζ＜10^-6；(9)迭代计算结束，计算油腔压力与承载力参数；

上述计算过程将使用matlab编程实现；

为更具体的说明本方法的有效性，本发明提供了一个计算实例；

油垫的参数及油液的参数为：R₂＝175mm，h₀＝0.1mm，Q₀＝1×10^-4m³/s，ρ₀＝872kg/m³，η₀＝0.091pa·s，T₀＝22℃，c＝1845.0J/kgK，β＝0.0372/K，λ＝0.00064737/K，k＝0.145W/(mK)；网格大小设定为根据这些参数按照步骤(4)所述的计算流程计算油膜的压力场与温度场进而计算油垫的承载力、刚度与阻尼。