CN104101444A - 一种基于磁纳米磁化强度的温度测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于磁纳米磁化强度的温度测量方法，其主要创新在于考虑了磁纳米试剂粒径分布对温度测量的影响，实现了在未知磁纳米粒径分布的情况下的温度精确测量。当对磁纳米试剂施加直流磁场时，检测不同磁场强度激励下的磁化强度信号；利用磁纳米粒子磁化强度与温度、浓度以及粒径高阶矩的关系式精确求解出温度。当对磁纳米试剂施加交流磁场时，采集交流磁化强度信号，检测出一、三次谐波幅值；利用交流磁化强度一、三次谐波幅值与温度、浓度以及粒径高阶矩的关系式精确求解出温度。本发明对基于单一粒径的基于磁纳米磁化强度的温度测量方法进行了优化和改进。从实验数据来看，磁纳米温度测量优化方法的温度误差小于0.2K。

Description

一种基于磁纳米磁化强度的温度测量方法

技术领域

本发明涉及纳米测试技术领域，具体涉及一种基于磁纳米磁化强度的温度测量方法。

背景技术

基于磁纳米磁化强度的温度测量方法是一种正在蓬勃发展的温度测量方法，2009年J.B.Weaver利用磁纳米粒子交流磁化强度的三次谐波和五次谐波幅值比实现了磁纳米温度测量技术。2012年刘文中等人基于朗之万磁化模型，在DC磁场激励下利用磁纳米粒子的磁化率倒数实现了磁纳米温度测量。同年，刘文中等人在AC磁场激励下，利用磁纳米粒子交流磁化强度的谐波幅值实现了磁纳米温度测量，提高了温度测量速度。2013年刘文中等人利用三角波磁场激励磁纳米粒子，通过检测不同磁场强度下磁纳米粒子的磁化强度同样实现了磁纳米温度测量技术。

然而，上述温度测量方法都是基于磁纳米试剂为单一粒径这一假设提出来的。当磁纳米试剂具有一定的粒径分布时，上述方法将出现很大的温度测量误差。在磁纳米粒子制备过程中，很难得到单一粒径的磁纳米材料，实验研究所用的磁纳米试剂也是具有一定的粒径分布的。因此，解决粒径分布对磁纳米温度测量的影响，在实现磁纳米温度测量和提高温度测量精度等方面至关重要。

发明内容

针对现有技术的缺陷，本发明的目的在于提供一种基于磁纳米磁化强度的温度测量方法，旨在实现在未知磁纳米试剂粒径分布的情况下准确地测量温度信息。

本发明提供了一种基于磁纳米磁化强度的温度测量方法，包括如下步骤：

(1)当激励磁场为直流或三角波磁场时，检测不同磁场强度H_i下磁纳米粒子的磁化强度M_i；

(2)当激励磁场为交流磁场H＝H_accos(ωt)时，采集磁纳米粒子的交流磁化强度，检测出一次谐波幅值A₁和三次谐波幅值A₃；

(3)当激励磁场为直流或三角波磁场时，将不同磁场强度H_i下磁纳米粒子的磁化强度M_i带入方程组求解温度T；

(4)当激励磁场为交流磁场时，将检测出的一次谐波幅值A₁和三次谐波幅值A₃带入方程组 $\left\{\begin{array}{c}{A}_1=\frac{1}{3}\mathrm{zx}{H}_{\mathrm{ac}}-\frac{1}{60}{\mathrm{yx}}^3{H}_{\mathrm{ac}}^3\\ A_3=\frac{1}{180}{\mathrm{yx}}^3{H}_{\mathrm{ac}}^3\end{array}\right.,$ 求解温度T；

其中： $x=\frac{\mathrm{\π}}{6}\frac{m_s}{\mathrm{kT}},y=\frac{\mathrm{\π}}{6}c\·m_s\·E\left(D^{12}\right),z=\frac{\mathrm{\π}}{6}c\·m_{s}E\left(D^6\right),$ 磁纳米粒子粒径的6阶矩E(D⁶)＝∫D⁶f(D)dD，12阶矩E(D¹²)＝∫D¹²f(D)dD，c为浓度，m_s为饱和磁化强度，D为磁纳米粒子粒径，k为玻尔兹曼常数，f(D)为磁纳米粒径的概率密度。

进一步地，所述步骤(2)采用数字相敏检波算法检测磁纳米粒子交流磁化强度一、三次谐波幅值。

进一步地，所述步骤(3)具体为：

对磁纳米粒子施加直流或三角波磁场激励时，磁纳米粒子在不同的磁场强度H_i对应不同的磁化强度M_i，由磁纳米磁化强度近似模型在不同磁场强度H_i下检测磁纳米粒子的磁化强度M_i可得方程组：

在较小的激励磁场下可得式中表示温度为T₀时磁纳米粒子的饱和磁化强度，M₀为磁纳米在温度为T₀、磁场强度为H₀时的磁化强度，将z带入方程组，则三元方程组变为了二元方程组；

当n＝2时，可解得温度式中M₁为磁纳米在温度为T、磁场强度为H₁时的磁化强度，M₂为磁纳米在温度为T、磁场强度为H₂时的磁化强度；

当n≥3时，可以运用最小二乘法求解方程组，在温度T₀下求解出参数z，并将z带入方程组，则三元方程组变为一个二元方程组，利用最小二乘法求解方程组得到x和y，即可获得温度信息

进一步地，所述步骤(4)具体为：

当对磁纳米粒子施加的磁场为交流磁场H＝H_accos(ωt)时，则磁纳米磁化强度近似模型 $M=\frac{1}{3}x\·z\·H-\frac{1}{45}{x}^3\·y\·H^3$ 变为：

$M=\frac{1}{3}x\·z\·H_{\mathrm{ac}}\cos -\left(\mathrm{\ωt}\right)-\frac{1}{45}{x}^3\·y\·{\left(H_{\mathrm{ac}}\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\right)}^3,$ 通过降阶处理可得：

$M=(\frac{1}{3}\mathrm{zx}{H}_{\mathrm{ac}}-\frac{1}{60}{\mathrm{yx}}^3{H}_{\mathrm{ac}}^3)\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)-\frac{1}{180}{\mathrm{yx}}^3{H}_{\mathrm{ac}}^3\cos \left(3\mathrm{\ωt}\right)$

则，磁纳米交流磁化强度的一、三次谐波幅值可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_1=\frac{1}{3}\mathrm{zx}{H}_{\mathrm{ac}}-\frac{1}{60}{\mathrm{yx}}^3{H}_{\mathrm{ac}}^3\\ A_3=\frac{1}{180}{\mathrm{yx}}^3{H}_{\mathrm{ac}}^3\end{array}\right.$

在交流激励磁场幅值较小时，可得式中为在温度为T₀时磁纳米交流磁化强度一次谐波幅值，为在温度为T₀是三次谐波幅值，求解方程组可得温度在实际中也可以使用其他的高次谐波进行温度测量，这时只需取更多项朗之万函数的泰勒展开式项数。

进一步地，所述步骤(3)和步骤(4)中激励磁场H与磁纳米粒子的磁化强度M间的磁纳米磁化强度近似模型具体为：

对于一个具有粒径分布f(D)且磁纳米粒子间没有相互作用的系统，其平均磁化强度可表示为：

$M=\∫c\·m_s\frac{\mathrm{\π}}{6}{D}^3(\coth \left(\frac{m_s\frac{\mathrm{\π}}{6}{D}^{3}H}{\mathrm{kT}}\right)-\frac{\mathrm{kT}}{m_s\frac{\mathrm{\π}}{6}{D}^{3}H})\·f\left(D\right)\mathrm{dD}$

式中c为浓度，m_s为饱和磁化强度，D为磁纳米粒子粒径，H为激励磁场，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度，f(D)为磁纳米粒径的概率密度；其中， $f\left(D\right)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\mathrm{\σD}\sqrt{2\mathrm{\π}}}\exp (-\frac{1}{2}{\left(\frac{\ln \left(D\right)-\mathrm{\μ}}{\mathrm{\σ}}\right)}^2)& D>0\\ 0& D\≤0\end{array}\right.,$ 且参数μ和σ可分别表示为：

$\mathrm{\μ}=\ln \left(E\left(D\right)\right)-\frac{1}{2}\ln (\frac{\mathrm{Var}\left(D\right)}{E^2\left(D\right)}+1)$

$\mathrm{\σ}=\sqrt{\ln (\frac{\mathrm{Var}\left(D\right)}{E^2\left(D\right)}+1)}$

式中E(D)为粒径D的数学期望，Var(D)为粒径D的方差。

当激励磁场较小时，可近似地取朗之万模型泰勒展开的前两项：

$M=\∫c\·m_s\frac{\mathrm{\π}}{6}{D}^3(\frac{1}{3}\frac{m_s\frac{\mathrm{\π}}{6}{D}^{3}H}{\mathrm{kT}}-\frac{1}{45}{\left(\frac{m_s\frac{\mathrm{\π}}{6}{D}^{3}H}{\mathrm{kT}}\right)}^3)\·f\left(D\right)\mathrm{dD}$

令 $x=\frac{\mathrm{\π}}{6}\frac{m_s}{\mathrm{kT}},\mathrm{\γ}=\frac{\mathrm{\π}}{6}c\·m_s$ 可得：

$M=\∫\mathrm{\γ}(\frac{1}{3}{\mathrm{xHD}}^6-\frac{1}{45}{x}^3{H}^3{D}^{12})\·f\left(D\right)\mathrm{dD}$

将粒径D的6阶矩E(D⁶)＝∫D⁶f(D)dD，12阶矩E(D¹²)＝∫D¹²f(D)dD带入方程可得：

$M=\frac{1}{3}\mathrm{xH}\·\mathrm{\γ}\·E\left(D^6\right)-\frac{1}{45}{x}^3{H}^3\·\mathrm{\γ}\·E\left(D^{12}\right)$

令z＝γ·E(D⁶)，y＝γ·E(D¹²)并带入方程可得磁纳米磁化强度近似模型：

$M=\frac{1}{3}x\·z\·H-\frac{1}{45}{x}^3\·y\·H^3.$

本发明的技术效果体现在：

本发明的主要创新在于考虑了磁纳米粒子粒径分布对温度测量的影响，将磁纳米粒子粒径分布纳入温度测量模型，提出了一种磁纳米温度测量优化方法。通过对朗之万函数的泰勒展开，发现磁纳米粒子磁化强度实际上是关于温度、浓度以及磁纳米粒子高阶矩的函数。

当对磁纳米试剂施加直流或三角波磁场时，检测磁纳米试剂在不同磁场强度激励下的磁化强度信号；利用磁纳米粒子磁化强度与温度、浓度以及磁纳米粒子粒径高阶矩的关系式精确求解温度。

当对磁纳米试剂施加交流磁场时，采集磁纳米粒子的交流磁化强度信号，检测出一、三次谐波幅值；利用磁纳米交流磁化强度的一、三次谐波幅值与温度、浓度以及磁纳米粒子粒径高阶矩的关系式精确求解温度。

总而言之，本发明的创新之处在于基于磁纳米磁化强度的温度测量方法不仅适用于单一粒径磁纳米的温度测量，还可以用于未知粒径分布的磁纳米粒子温度测量。

附图说明：

图1为本发明方法流程图；

图2为磁纳米粒径期望E(D)＝8nm，标准差时的粒径分布示意图；

图3为磁纳米粒径期望E(D)＝8nm，标准差时的粒径分布示意图；

图4为原温度测量方法在直流或三角波磁场激励时，粒径期望E(D)＝8nm,不同标准差的温度测量误差示意图；

图5为基于磁纳米磁化强度的温度测量方法在直流或三角波磁场激励时，粒径期望E(D)＝8nm,不同标准差的温度测量误差示意图；

图6为原温度测量方法在交流磁场激励时，粒径期望E(D)＝20nm,不同标准差的温度测量误差示意图；

图7为基于磁纳米磁化强度的温度测量方法在交流磁场激励时，粒径期望E(D)＝20nm,不同标准差的温度测量误差示意图；

图8为在三角波磁场激励下，实测数据的温度测量结果示意图；

图9为在交流磁场激励下，实测数据的温度测量结果示意图；

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

如图1所示，本发明提供了一种基于磁纳米磁化强度的温度测量方法，包括如下步骤：

由于本专利涉及直流或三角波磁场和交流磁场两种不同的激励方式，因此首先详细说明以直流或三角波磁场激励磁纳米粒子进行温度测量方法的步骤。

(1)将磁纳米试剂置放于待测对象处。

(2)向磁纳米试剂所在区域施加直流或三角波磁场，若为直流磁场，可随着时间的变化改变激励磁场强度；若为三角波磁场，可选择频率为0.5Hz-100Hz。

由于后面步骤在求解温度时，只用到了朗之万函数的有限项泰勒级数展开式，因此考虑到模型的截断误差，磁场幅值不宜过大。但是若施加的磁场过于微弱，信号信噪比会降低，影响温度测量精度。因此，合理地选择交磁场的强度至关重要，优选为5Gs至50Gs。

(3)采集待测区域磁纳米试剂在不同磁场强度H_i下的磁化强度M_i。

利用螺线管或者小线圈作为传感器，探测待测区域内不同磁场强度H_i下磁纳米粒子的磁化强度M_i，经过放大等调理电路后被数据采集卡采集并存储于计算机以便后续的数据处理。

(4)根据磁纳米粒子磁化强度与温度、浓度以及粒径的高阶矩的关系式求解温度。

将采集的磁化强度数据M_i和对应的磁场强度数据H_i代入方程组在较小的激励磁场H₀(通常小于20Gs，例如H₀为5Gs)和已知温度T₀下，可得式中表示温度为T₀时磁纳米粒子的饱和磁化强度，M₀为磁纳米在温度为T₀、磁场强度为H₀时的磁化强度。将z带入方程组，则三元方程组变为了二元方程组。

当n＝2时，可解得温度式中M₁为磁纳米在温度为T、磁场强度为H₁时的磁化强度，M₂为磁纳米在温度为T、磁场强度为H₂时的磁化强度。

当n≥3时，可以运用最小二乘法求解方程组。在温度T₀下求解出参数z，并将z带入方程组，则三元方程组变为一个二元方程组，利用最小二乘法求解方程组得到x和y，即可获得温度信息

其次，详细说明以交流磁场激励磁纳米粒子进行温度测量方法的步骤。

(1)将磁纳米试剂置放于待测对象处。

(2)向磁纳米试剂所在区域施加交流磁场。

由于后面步骤在求解温度时，只用到了朗之万函数的有限项泰勒级数展开式，因此考虑到模型的截断误差，磁场幅值不宜过大。但是若施加的磁场太小，信号信噪比降低，温度测量精度也会降低。因此，合理地选择交流磁场的强度至关重要，优选为10Gs至50Gs。为了避免1/f噪声和高频噪声，交流磁场频率可优选为160Hz-2KHz。

(3)采集待测区域磁纳米试剂的交流磁化强度信号。

利用螺线管或者小线圈作为传感器，探测待测区域内的磁纳米粒子的交流磁化强度，经过放大等调理电路后被数据采集卡采集并存储于计算机以便后续的数据处理。

(4)检测交流磁化强度信号的一、三次谐波幅值。

利用数字相敏检波方法或最小二乘系统参数辨识方法检测由数据采集卡采集的数据，得到交流磁化强度信号的一、三次谐波幅值。

(5)根据交流磁化强度信号的一、三次谐波幅值与温度的关系式，计算温度。

将测量得到的一、三次谐波幅值和交流磁场幅值带入方程组 $\left\{\begin{array}{c}{A}_1=\frac{1}{3}\mathrm{zx}{H}_{\mathrm{ac}}-\frac{1}{60}{\mathrm{yx}}^3{H}_{\mathrm{ac}}^3\\ A_3=\frac{1}{180}{\mathrm{yx}}^3{H}_{\mathrm{ac}}^3\end{array}\right.,$ 在交流激励磁场幅值较小(一般小于20Gs)时，由已知的温度T₀可得式中为在温度为T₀时磁纳米交流磁化强度一次谐波幅值，为在温度为T₀是三次谐波幅值。将检测到的一次谐波幅值和三次谐波幅值带入方程组求解，即可得温度在实际中也可以使用其他的高次谐波进行温度测量，这时只需取更多项朗之万函数的泰勒展开式项数。

仿真实例1：(直流)

1.仿真模型与测试说明：

为了研究在直流或三角波磁场激励下磁纳米温度测量优化方法的优越性，在磁场强度5Gs、10Gs、15Gs、20Gs、25Gs，温度300K至380K，噪声80dB，粒径分布期望E(D)＝8nm，标准差和2nm(图2，图3)时，对原磁纳米温度测量方法和本发明磁纳米温度测量优化方法进行了仿真实验对比，仿真结果如图4和图5。

2.仿真试验结果：

图4反映了当激励磁场为直流或三角波磁场时原温度测量方法在磁纳米粒子具有粒径分布时的温度测量误差。可见，当磁纳米粒子粒径标准差时，该方法的温度测量误差相当的大，已失去温度测量的作用。

图5反映了当激励磁场为直流或三角波磁场时磁纳米温度测量优化方法在磁纳米粒子具有粒径分布时的温度测量误差。可见，优化后的磁纳米温度测量方法具有很好的温度测量精度，温度测量误差小于0.1K。

仿真实例2：(交流)

1.仿真模型与测试说明：

为了研究在交流磁场激励下磁纳米温度测量优化方法的优越性，在磁场强度20Gs，频率160Hz，温度300K至380K，噪声80dB，粒径分布期望E(D)＝20nm，标准差时，对原磁纳米温度测量方法和磁纳米温度测量优化方法进行了仿真实验对比，仿真结果如图6和图7。

2.仿真试验结果：

图6反映了当激励磁场为交流磁场时原温度测量方法在磁纳米粒子具有粒径分布时的温度测量误差。可见，当磁纳米粒子粒径标准差时，该方法的温度测量误差相当的大，已失去温度测量的作用。

图7反映了当激励磁场为交流磁场时磁纳米温度测量优化方法在磁纳米粒子具有粒径分布时的温度测量误差。可见，优化后的磁纳米温度测量方法具有很好的温度测量精度。

实际实验数据分析：

1.利用螺线管产生三角波磁场激励磁纳米粒子，三角波磁场幅值从5Gs逐渐增大到125Gs，检测并记录磁场强度为5Gs、10Gs、15Gs……125Gs时磁纳米粒子的磁化强度。将磁场强度数据和磁纳米粒子磁化强度数据代入方程组求解得温度测量结果，如图8。

图8反映在实际实验中磁纳米温度测量优化方法的温度测量温差小于0.12K。

2.利用亥姆霍兹线圈产生交流磁场激励磁纳米粒子，交流磁场频率为160Hz，幅值为12.5Gs。检测磁纳米粒子交流磁化强度信号的一、三次谐波幅值，将数据代入方程组求解得温度测量结果，如图9。

图9反映在实际实验中磁纳米温度测量优化方法的温度测量温差小于0.2K。

因此，这种磁纳米温度测量优化方法的精度、稳定性以及重复性是有保证的。为在未知磁纳米粒径分布和浓度等复杂环境下完成精密快速的温度测量提供了可靠的方法。

Claims (5)

1.一种基于磁纳米磁化强度的温度测量方法，其特征在于，包括如下步骤：

(1)当激励磁场为直流或三角波磁场时，检测不同磁场强度H_i下磁纳米粒子的磁化强度M_i；

(2)当激励磁场为交流磁场H＝H_accos(ωt)时，采集磁纳米粒子的交流磁化强度，检测出一次谐波幅值A₁和三次谐波幅值A₃；

(3)当激励磁场为直流或三角波磁场时，将不同磁场强度H_i下磁纳米粒子的磁化强度M_i带入方程组求解温度T；

(4)当激励磁场为交流磁场时，将检测出的一次谐波幅值A₁和三次谐波幅值A₃带入方程组 $\left\{\begin{array}{c}{A}_1=\frac{1}{3}\mathrm{zx}{H}_{\mathrm{ac}}-\frac{1}{60}{\mathrm{yx}}^3{H}_{\mathrm{ac}}^3\\ A_3=\frac{1}{180}{\mathrm{yx}}^3{H}_{\mathrm{ac}}^3\end{array}\right.,$ 求解温度T；

其中： $x=\frac{\mathrm{\π}}{6}\frac{m_s}{\mathrm{kT}},y=\frac{\mathrm{\π}}{6}c\·m_s\·E\left(D^{12}\right),z=\frac{\mathrm{\π}}{6}c\·m_{s}E\left(D^6\right),$ 磁纳米粒子粒径的6阶矩E(D⁶)＝∫D⁶f(D)dD，12阶矩E(D¹²)＝∫D¹²f(D)dD，c为浓度，m_s为饱和磁化强度，D为磁纳米粒子粒径，k为玻尔兹曼常数，f(D)为磁纳米粒径的概率密度。

2.根据权利要求1所述的基于磁纳米磁化强度的温度测量方法，其特征在于，所述步骤(2)采用数字相敏检波算法检测磁纳米粒子交流磁化强度一、三次谐波幅值。

3.根据权利要求1或2所述的基于磁纳米磁化强度的温度测量方法，其特征在于，所述步骤(3)具体为：

对磁纳米粒子施加直流或三角波磁场激励时，磁纳米粒子在不同的磁场强度H_i对应不同的磁化强度M_i，由磁纳米磁化强度近似模型在不同磁场强度H_i下检测磁纳米粒子的磁化强度M_i可得方程组：

在较小的激励磁场下可得式中表示温度为T₀时磁纳米粒子的饱和磁化强度，M₀为磁纳米在温度为T₀、磁场强度为H₀时的磁化强度，将z带入方程组，则三元方程组变为了二元方程组；

当n＝2时，可解得温度式中M₁为磁纳米在温度为T、磁场强度为H₁时的磁化强度，M₂为磁纳米在温度为T、磁场强度为H₂时的磁化强度；

当n≥3时，可以运用最小二乘法求解方程组，在温度T₀下求解出参数z，并将z带入方程组，则三元方程组变为一个二元方程组，利用最小二乘法求解方程组得到x和y，即可获得温度

4.根据权利要求1或2所述的基于磁纳米磁化强度的温度测量方法，其特征在于，所述步骤(4)具体为：

当对磁纳米粒子施加的磁场为交流磁场H＝H_accos(ωt)时，则磁纳米磁化强度近似模型 $M=\frac{1}{3}x\·z\·H-\frac{1}{45}{x}^3\·y\·H^3$ 变为：

$M=\frac{1}{3}x\·z\·H_{\mathrm{ac}}\cos -\left(\mathrm{\ωt}\right)-\frac{1}{45}{x}^3\·y\·{\left(H_{\mathrm{ac}}\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)\right)}^3,$ 通过降阶处理可得：

$M=(\frac{1}{3}\mathrm{zx}{H}_{\mathrm{ac}}-\frac{1}{60}{\mathrm{yx}}^3{H}_{\mathrm{ac}}^3)\cos \left(\mathrm{\ωt}\right)-\frac{1}{180}{\mathrm{yx}}^3{H}_{\mathrm{ac}}^3\cos \left(3\mathrm{\ωt}\right)$

则，磁纳米交流磁化强度的一、三次谐波幅值可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_1=\frac{1}{3}\mathrm{zx}{H}_{\mathrm{ac}}-\frac{1}{60}{\mathrm{yx}}^3{H}_{\mathrm{ac}}^3\\ A_3=\frac{1}{180}{\mathrm{yx}}^3{H}_{\mathrm{ac}}^3\end{array}\right.$

在交流激励磁场幅值较小时，可得式中为在温度为T₀时磁纳米交流磁化强度一次谐波幅值，为在温度为T₀是三次谐波幅值，求解方程组可得温度

5.根据权利要求1或2所述的基于磁纳米磁化强度的温度测量方法，其特征在于，所述步骤(3)和步骤(4)中激励磁场H与磁纳米粒子的磁化强度M间的磁纳米磁化强度近似模型具体为：

对于一个具有粒径分布f(D)且磁纳米粒子间没有相互作用的系统，其平均磁化强度可表示为：

$M=\∫c\·m_s\frac{\mathrm{\π}}{6}{D}^3(\coth \left(\frac{m_s\frac{\mathrm{\π}}{6}{D}^{3}H}{\mathrm{kT}}\right)-\frac{\mathrm{kT}}{m_s\frac{\mathrm{\π}}{6}{D}^{3}H})\·f\left(D\right)\mathrm{dD}$

式中c为浓度，m_s为饱和磁化强度，D为磁纳米粒子粒径，H为激励磁场，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度，f(D)为磁纳米粒径的概率密度；

当激励磁场较小时，可近似地取朗之万模型泰勒展开的前两项：

$M=\∫c\·m_s\frac{\mathrm{\π}}{6}{D}^3(\frac{1}{3}\frac{m_s\frac{\mathrm{\π}}{6}{D}^{3}H}{\mathrm{kT}}-\frac{1}{45}{\left(\frac{m_s\frac{\mathrm{\π}}{6}{D}^{3}H}{\mathrm{kT}}\right)}^3)\·f\left(D\right)\mathrm{dD}$

令 $x=\frac{\mathrm{\π}}{6}\frac{m_s}{\mathrm{kT}},\mathrm{\γ}=\frac{\mathrm{\π}}{6}c\·m_s$ 可得：

$M=\∫\mathrm{\γ}(\frac{1}{3}{\mathrm{xHD}}^6-\frac{1}{45}{x}^3{H}^3{D}^{12})\·f\left(D\right)\mathrm{dD}$

将粒径D的6阶矩E(D⁶)＝∫D⁶f(D)dD，12阶矩E(D¹²)＝∫D¹²f(D)dD带入方程可得：

$M=\frac{1}{3}\mathrm{xH}\·\mathrm{\γ}\·E\left(D^6\right)-\frac{1}{45}{x}^3{H}^3\·\mathrm{\γ}\·E\left(D^{12}\right)$

令z＝γ·E(D⁶)，y＝γ·E(D¹²)并带入方程可得磁纳米磁化强度近似模型：

$M=\frac{1}{3}x\·z\·H-\frac{1}{45}{x}^3\·y\·H^3.$