CN104090526B - 一种基于黄金分割及累积回归的机床热误差建模方法和测试系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种机床热误差测试点优化及建模方法，包括下列步骤：(1)对主轴进行热敏特性分析，结合主轴实际尺寸初步量化分析；(2)在热敏区域内按照黄金分割法布置测试点，并进行热误差同步测试，以温度热位移信息之间相关度作为迭代搜索条件，确定最佳热敏区域；(3)在热敏区域内均匀布点测试，对样本数据按一定的叠加规律进行相应的叠加进行累积求和，构建回归方程，并估计回归模型参数。本发明可以快速便捷寻求最佳布点区域，解决了传统经验布点存在数据冗余、可信度不强等问题；采用累积回归算法建模，可不直接处理误差项，具有简单、直观、便于计算机实现等优点，且效率和精度都高于最小二乘法。

Description

一种基于黄金分割及累积回归的机床热误差建模方法和测试 系统

技术领域

本发明属于数控机床误差测量、建模的应用领域，具体涉及一种基于黄金分割方法的机床热误差测试点分布优化及基于累积回归算法的热误差建模方法。

背景技术

在现代制造技术高速发展的今天，机床的热变形问题已变得日趋严重。大量资料表明，影响机床加工精度的误差不再是传统的各导轨直线度、垂直度等几何精度误差，而是高速主轴区和导轨区发热导致的热变形误差，约占总制造误差的40％-70％，因此对数控机床热误差进行建模补偿是提高加工精度的关键因素。

近年来，国内外学者对于如何减小数控机床热误差进行了大量的研究，其主要包括热变形理论分析、热误差补偿中的测量、关键点优化、热误差建模和热误差补偿实施五大部分。其中在温度测试点优化方面，大多都基于前期的工程经验布点，再经统计相关分析选出优测试点，这使得前期布置的传感器并不用在最终的热误差建模中而造成时间和传感器的浪费，同时还可能发生由于传感器布置不当遗漏最佳测温点的现象，使得测量位置的模型不具有代表性，且存在数据冗余、稳定性降低等问题。而在热误差建模方面，目前已有像最小二乘法、神经网络、灰色理论、最小二乘支持向量机、专家系统、贝叶斯理论、模糊理论等运用到热误差建模中，但由于热误差通常具有时变、多因素、工况不确定性等特点，使得近年来发展的建模方法存在一定的局限性。例如最小二乘线性回归算法虽建模简单，但模型鲁棒性差，难以实现数控机床热误差高精度补偿；神经网络、灰色系统以及改进型的最小二乘支持向量机等虽可以将补偿精度提高数倍，但需大量的样本进行训练、建模复杂，且神经网络还易产生过学习或欠学习等问题；专家系统、贝叶斯理论、模糊理论等则对建模误差数据光滑性有严格要求，模型适应性不好。

发明内容

为了克服上述现有方法的不足，本发明提出一种基于黄金分割及累积回归的机床热误差建模方法，该方法应用简便、布点快速、建模容易、稳定性高，解决了传统经验布点存在数据冗余、可信度不强等问题。

本发明的技术方案是：一种基于黄金分割及累积回归的机床热误差建模方法，包括下列步骤：

1)针对主轴热敏特性进行仿真分析，结合其实际尺寸初步量化热敏区域为[a,b]；

2)在上述热敏区域内根据黄金分割算法确定测试点，即第一个测试点x₁安排在热敏区域内的0.618处，再在x₁的对称点x₂处安排第二个测试点，其中，x₁、x₂由下式求得：

x₁＝a+(b-a)×0.618

x₂＝b-(b-a)×0.618

在上述测试点处进行温度、热位移信息同步测试，测试完毕后按照下式对数据进行相关系数分析，即：

$R=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x}_i{y}_i-n\stackrel{\‾}{x}\stackrel{\‾}{y}}{\sqrt{(\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x_i}^2-n{\left(\stackrel{\‾}{x}\right)}^2)(\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{y_i}^2-n{\left(\stackrel{\‾}{y}\right)}^2)}}$

根据数据分析结果保留相关系数较大的测试点，以此类推，在剩余的区间内继续分割，迭代缩小至传感器较适宜的布点区域，确定最佳布点区域；

3)在确定的最佳布点区域内进行布点测试，得容量为m的热误差样本并记为x_j,j＝1,2,...,m，样本的k阶累计和为：

$\begin{array}{c}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{x}_j=\frac{1}{(k-1)!}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}(m-j+1)...\[m-j+(k-j)\]x_j\\ =\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}\left(\begin{array}{c}m-j+k-1\\ k-1\end{array}\right)x_j\end{array}$

其中，k≥1，是k阶累加算子的计算通式；

4)热误差样本的回归模型为：

Y_j＝β₀+β₁X_j1+β₂X_j2+...+β_nX_jn+ε

其中β₀，β₁，β₂…β_n是需要估计的模型参数，ε是随机误差，对热误差样本实施累加算子求和，得热误差累积方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{Y}_j={\mathrm{\β}}_0{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}+{\mathrm{\β}}_1{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_{j1}+...+{\mathrm{\β}}_n{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_{jn}+{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{\mathrm{\ϵ}}_j\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{Y}_j={\mathrm{\β}}_0{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}+{\mathrm{\β}}_1{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_{j1}+...+{\mathrm{\β}}_n{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_{jn}+{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{\mathrm{\ϵ}}_j\\ ......\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{Y}_j={\mathrm{\β}}_0{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}+{\mathrm{\β}}_1{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{x}_{j1}+...+{\mathrm{\β}}_n{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{x}_{jn}+{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(n\right)}{\mathrm{\ϵ}}_j\end{array}\right.$

在该方程中记

$\begin{array}{cc}{X}^{\left(k\right)}=\left[\begin{array}{cccc}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_{j1}& ...& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_{jn}\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_{j1}& ...& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_{jn}\\ \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{x}_{j1}& ...& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{x}_{jn}\end{array}\right]& Y^{\left(k\right)}=\left[\begin{array}{c}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{Y}_j\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{Y}_j\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{Y}_j\end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\β}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_0\\ {\mathrm{\β}}_1\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{\β}}_n\end{array}\right]& {\mathrm{\ϵ}}^{\left(k\right)}=\left[\begin{array}{c}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{\mathrm{\ϵ}}_j\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{\mathrm{\ϵ}}_j\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{\mathrm{\ϵ}}_j\end{array}\right]\end{array}$

则热误差累积方程可简化为：

Y^(k)＝X^(k)β+ε^(k)

当k＝n+1，且X^(k)是非奇异矩阵时，热误差累积方程的正规方程为Y^(k)＝X^(k)β，

因此，得出累积法估计中的分量为：

${\widehat{\mathrm{\β}}}_c={\left(X^{\left(k\right)}\right)}^{-1}{Y}^{\left(k\right)}$

其中，为未知参数β的热误差累积法估计，

则热误差累积回归模型为：

${\hat{Y}}_j={\widehat{\mathrm{\β}}}_0+{\widehat{\mathrm{\β}}}_1{X}_{j1}+{\widehat{\mathrm{\β}}}_2{X}_{j2}+...+{\widehat{\mathrm{\β}}}_n{X}_{jn}.$

进一步的，在步骤1进行仿真分析之前还包括根据主轴尺寸进行三维建模，并依据发热参数确定热边界参数。

进一步的，所述的热边界参数至少包括热传导系数和换热系数。

本发明还包括一种机床热误差测试系统，包括粘贴在主轴测试点表面上的温度传感器、设置于主轴端面轴中心延长线上的激光位移传感器，温度信号发射器、温度信号接收器和上位机，所述温度传感器将采集的数字信号经信号调理电路处理后被温度信号发射器传输给温度信号接收器，温度信号接收器再将信号通过RS232-USB转接口传输给上位机，激光位移传感器采集的热位移信息通过控制器传输给上位机，所述上位机对获取的温度测试点数据和热位移信息建立热误差累积回归模型。

作为优选，还包括视频设备，所述视频设备对现场工况进行实时采集，并会自动生成远程链接网址，以供管理者或客户端通过Internet网进行远程实时监控。

本发明的优点是：

1、本发明的热误差建模方法在主轴热特性分析的基础上采用黄金分割法对轴向热敏区域进行迭代缩小，可以在减少前期筛选工作的基础上，快速确定主轴最佳布点区域，实现布点的高效化、便捷化、可靠化；此外，针对主轴热误差建模采用累积法对热误差样本数据按一定的叠加规律进行相应的叠加，以构建有规律可循的累计和来估计模型中参数，该方法最大的特点就是不直接处理误差项，大大简化了计算量，且不存在最小二乘法中“单个异常残差的平方将会拉动估计式的整体偏移”问题，具有简单、直观、可靠等优点，依据该预测模型，数控机床实时补偿将变得更为有效；

2、采用累积回归进行热误差建模，可以保证平均剩余误差为零，并同时确保绝对误差最小，而且算法简单、直观，不直接处理模型的误差项。此外，运用累积法估计线性模型中的参数，其估计量具有无偏、线性、有效、唯一等特点，且不必计算交叉乘积项及平方项的和，在大大减少计算量的基础上，可对数控机床的热误差预测取得良好的效果。

3、本发明的机床热误差测试系统，避免了传统有线布点监测存在布线难、维护成本高、传输距离受限等问题，采用无线传输，监测简便，而且监测系统的视频设备对现场工况进行实时采集，并会自动生成远程链接网址，以供管理者或客户端通过Internet网进行远程实时监控。

附图说明

下面结合附图及实施例对本发明作进一步描述：

图1是一种基于黄金分割及累积回归的机床热误差建模方法的黄金分割布点及累积建模工作流程图；

图2是一种机床热误差测试系统的结构框图；

图3是本发明累积法建模与最小二乘法建模对比曲线图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明了，下面结合具体实施方式并参照附图，对本发明进一步详细说明。应该理解，这些描述只是示例性的，而并非要限制本发明的范围。此外，在以下说明中，省略了对公知结构和技术的描述，以避免不必要地混淆本发明的概念。

实施例：

结合附图和具体实施方式对本专利作进一步说明：

一种基于黄金分割及累积回归的机床热误差建模方法，首先针对主轴进行三维建模并简化，然后确定主轴发热源及换热形式，以此计算其热传导系数、换热系数等热边界参数，并导入有限元仿真软件中进行温度场分析，将分析结果作为热位移约束条件进行热位移信息仿真分析，在此基础上，用ANYSYS WORKBENCH中的Probe指针功能根据云图值对主轴进行热敏区域划定，然后结合主轴三维模型实际尺寸，用尺寸标注初步确定热敏区域为[a,b]。在此区域内采用黄金分割法进行黄金分割布点，即第一个测试点x1安排在热敏区域内的0.618处(距左端点a)，再在x₁的对称点x₂处安排第二个测试点，具体为：

x₁＝a+(b-a)×0.618

x₂＝b-(b-a)×0.618

在上述测试点处进行温度、热位移信息同步测试，测试完毕后按照下式对数据进行相关系数分析，即：

$R=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x}_i{y}_i-n\stackrel{\‾}{x}\stackrel{\‾}{y}}{\sqrt{(\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x_i}^2-n{\left(\stackrel{\‾}{x}\right)}^2)(\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{y_i}^2-n{\left(\stackrel{\‾}{y}\right)}^2)}}$

根据分析结果保留相关系数较大的测试点，在剩余的区间内继续黄金分割，直到缩小至较适宜的布点范围。

在上述热敏布点区域内按照图2方式将温度传感器粘贴在主轴测试点表面上，激光位移传感器置于主轴端面轴中心延长线上。其中，温度传感器将采集的数字信号经信号调理电路处理后被无线发送器传输给接收器，接收器再将信号通过RS232-USB转接口传输给上位机，从而避免了传统有线布点监测存在布线难、维护成本高、传输距离受限等问题；而激光位移传感器采集的热位移信息通过专用的控制器传输给上位机；上位机再对获取的温度测试点数据和热位移信息进行累积相关分析。同时，监测系统的视频设备对现场工况进行实时采集，并会自动生成远程链接网址，以供管理者或客户端通过Internet网进行远程实时监控。

同步测试完毕后得一组热误差样本数据x_j,j＝1,2,...,m，针对该组数据按照一定规则进行叠加得累计和，如下所示：

$\begin{array}{c}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_j=x_1+x_2+x_3+...+x_m=\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{x}_j\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_j=x_1+(x_1+x_2)+(x_1+x_2+x_3\mathrm{)+}...\mathrm{+(}{x}_1+x_2+...+x_m)=\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{\underset{i=1}{\overset{j}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_i\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(3\right)}{x}_j=x_1+\[x_1+(x_1+x_2)\]+\[x_1+(x_1+x_2)+(x_1+x_2+x_3\mathrm{)\]+}...+\\ \[x_1+(x_1+x_2)+(x_1+x_2+x_3\mathrm{)+}...\mathrm{+(}{x}_1+x_2+...+x_m)=\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}{\underset{i=1}{\overset{j}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_i\\ ............\end{array}$

对k≥1，热误差样本的k阶累积和为：

$\begin{array}{c}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{x}_j=\frac{1}{(k-1)!}\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}(m-j+1)...\[m-j+(k-j)\]x_j\\ =\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}\left(\begin{array}{c}m-j+k-1\\ k-1\end{array}\right)x_j\end{array}$

其中，是k阶累加算子的计算通式；

是热误差样本的k阶累积广义均值。

这种方法不处理热误差随机误差项，而是直接去估计热误差线性模型中的未知参数β，因此设热误差样本的回归模型为：

Y_j＝β₀+β₁X_j1+β₂X_j2+...+β_nX_jn

根据累积样本数据对该模型进行累加，且当k＝n+1，且X^(k)是非奇异矩阵时，热误差累积方程的正规方程为Y^(k)＝X^(k)β，即

$\left\{\begin{array}{c}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{Y}_j={\mathrm{\β}}_0{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}+{\mathrm{\β}}_1{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_{j1}+...+{\mathrm{\β}}_n{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_{jn}\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{Y}_j={\mathrm{\β}}_0{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}+{\mathrm{\β}}_1{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_{j1}+...+{\mathrm{\β}}_n{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_{jn}\\ ......\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{Y}_j={\mathrm{\β}}_0{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}+{\mathrm{\β}}_1{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{x}_{j1}+...+{\mathrm{\β}}_n{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{x}_{jn}\end{array}\right.$

根据上述方程可得出热误差累积法估计中的分量具体解法为：

由样本的k阶累积和及累积广义均值将正规方程转换为矩阵形式：

$\left[\begin{array}{cccc}1& {\stackrel{\‾}{T}}_1\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& ...& {\stackrel{\‾}{T}}_n\left({\stackrel{\‾}{x}}_n\right)\\ 1& {\stackrel{\‾}{T}}_2\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& ...& {\stackrel{\‾}{T}}_n\left({\stackrel{\‾}{x}}_n\right)\\ \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·\\ 1& {\stackrel{\‾}{T}}_1\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& ...& {\stackrel{\‾}{T}}_n\left({\stackrel{\‾}{x}}_n\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_0\\ {\mathrm{\β}}_1\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{\β}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{T}}_1\left(Y\right)\\ {\stackrel{\‾}{T}}_2\left(Y\right)\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\stackrel{\‾}{T}}_n\left(Y\right)\end{array}\right]$

若系数矩阵记为

$\left|T^{\left(3\right)}\right|=\left[\begin{array}{cccc}1& {\stackrel{\‾}{T}}_1\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& ...& {\stackrel{\‾}{T}}_n\left({\stackrel{\‾}{x}}_n\right)\\ 1& {\stackrel{\‾}{T}}_2\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& ...& {\stackrel{\‾}{T}}_n\left({\stackrel{\‾}{x}}_n\right)\\ \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·\\ 1& {\stackrel{\‾}{T}}_1\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& ...& {\stackrel{\‾}{T}}_n\left({\stackrel{\‾}{x}}_n\right)\end{array}\right]$

而由于

$\left|X^{\left(k\right)}\right|=\left[\begin{array}{cccc}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_{j1}& ...& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_{jn}\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_{j1}& ...& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_{jn}\\ \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{x}_{j1}& ...& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{x}_{jn}\end{array}\right]={\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}...{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}\left|T^{\left(k\right)}\right|$

类似地，有

$|X^{\left(k\right)}{|}_i={\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}...{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}|T^{\left(k\right)}{|}_i$

因此，得出热误差累积法估计中的分量为：

${\widehat{\mathrm{\β}}}_{i-1}=\frac{|X^{\left(k\right)}{|}_i}{\left|X^{\left(k\right)}\right|}=\frac{|T^{\left(k\right)}{|}_i}{\left|T^{\left(k\right)}\right|},i=1,2,...,n+1$

其中，|T^(k)|_i(i＝1,2,...,n+1)是将行列式|T^(k)|中的第i(≥2)列元素(i＝1时，为1,1,…,1)对应地换成且其它列均不变后所得到的行列式。

最终得出机床热误差累积回归模型为：

${\hat{Y}}_j={\widehat{\mathrm{\β}}}_0+{\widehat{\mathrm{\β}}}_1{X}_{j1}+{\widehat{\mathrm{\β}}}_2{X}_{j2}+...+{\widehat{\mathrm{\β}}}_n{X}_{jn}$

以下结合具体实例进行说明：

对一台VMC1060数控加工中心主轴进行测试点优化布置及累积建模分析，该主轴轴长为515mm，直径为首先对主轴热特性仿真分析并结合实际尺寸初步确定热敏区域范围为[35mm,165mm]。在此区域内，沿主轴轴向采用黄金分割法缩小热敏区域，并以测试点的相关系数作为优选依据，考虑到主轴实际尺寸及现场传感器的布置需求，确定轴线区域缩小至30mm为宜。算法运行结果如表1所示：

表1最佳热敏测试点求解结果

从上表可以看出，当插入第5个测试点时，搜索区间的范围已经小于30mm，迭代结束，因此确定测试点分布的最佳热敏区域为[54mm,84mm]。

在此区域内均匀布置两个温度传感器并贴合于主轴表面上，将激光位移传感器布置在主轴底端中心延长线上。测量时首先控制主轴保持转速6000r/min，每隔3min采集一次，共采集43组数据，在此过程中，操作者通过上位机发送命令区向温度传感器和激光位移传感器同时发送采集命令，两者通过各自的接收器接收到命令后开始同步采集。采集完毕后，对43组数据进行累积求和，并分别计算 等参数，则构建的正规方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{Y}_j={\mathrm{\β}}_0{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}+{\mathrm{\β}}_1{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_{j1}+...+{\mathrm{\β}}_2{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_{j2}\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{Y}_j={\mathrm{\β}}_0{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}+{\mathrm{\β}}_1{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_{j1}+...+{\mathrm{\β}}_2{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_{j2}\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(3\right)}{Y}_j={\mathrm{\β}}_0{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(3\right)}+{\mathrm{\β}}_1{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(3\right)}{x}_{j1}+...+{\mathrm{\β}}_2{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(3\right)}{x}_{j2}\end{array}\right.$

由样本累积和及累积广义均值将正规方程转换为矩阵形式：

$\left[\begin{array}{ccc}1& {\stackrel{\‾}{T}}_1\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_1\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)\\ 1& {\stackrel{\‾}{T}}_2\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_2\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)\\ 1& {\stackrel{\‾}{T}}_3\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_3\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_0\\ {\mathrm{\β}}_1\\ {\mathrm{\β}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\‾}{T}}_1\left(Y\right)\\ {\stackrel{\‾}{T}}_2\left(Y\right)\\ {\stackrel{\‾}{T}}_3\left(Y\right)\end{array}\right]$

则系数矩阵行列式为：

$\left|T^{\left(3\right)}\right|=\left[\begin{array}{ccc}1& {\stackrel{\‾}{T}}_1\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_1\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)\\ 1& {\stackrel{\‾}{T}}_2\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_2\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)\\ 1& {\stackrel{\‾}{T}}_3\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_3\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)\end{array}\right]$

把上面的计算结果分别代入相应的公式中，得出β₀、β₁和β₂的普通累积法估计值：

$\begin{array}{ccc}{\widehat{\mathrm{\β}}}_0=\frac{1}{\left|T^{\left(3\right)}\right|}\left|\begin{array}{ccc}{\stackrel{\‾}{T}}_1\left(Y\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_1\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_1\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)\\ {\stackrel{\‾}{T}}_2\left(Y\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_2\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_2\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)\\ {\stackrel{\‾}{T}}_3\left(Y\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_3\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_3\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)\end{array}\right|& {\widehat{\mathrm{\β}}}_1=\frac{1}{\left|T^{\left(3\right)}\right|}\left|\begin{array}{ccc}1& {\stackrel{\‾}{T}}_1\left(Y\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_1\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)\\ 1& {\stackrel{\‾}{T}}_2\left(Y\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_2\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)\\ 1& {\stackrel{\‾}{T}}_3\left(Y\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_3\left({\stackrel{\‾}{x}}_2\right)\end{array}\right|& {\widehat{\mathrm{\β}}}_2=\frac{1}{\left|T^{\left(3\right)}\right|}\left|\begin{array}{ccc}1& {\stackrel{\‾}{T}}_1\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_1\left(Y\right)\\ 1& {\stackrel{\‾}{T}}_2\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_2\left(Y\right)\\ 1& {\stackrel{\‾}{T}}_3\left({\stackrel{\‾}{x}}_1\right)& {\stackrel{\‾}{T}}_3\left(Y\right)\end{array}\right|\end{array}$

根据上述结果最终求出热误差累积回归模型为：

Y＝0.00259X₁-0.00036X₂-0.00001

对上述观测数据同时采用最小二乘法进行建模分析，并与累积法进行比较，具体如表2所示：

表2最小二乘法与累积法对比结果

从表2中可以看出，两种方法的线性经验回归值(计算误差忽略不计)相同，说明所运用的普通累积法估计与最小二乘估计具有较好的一致性，且总残差率及误差方差的估计值越小，构建的回归模型与热误差样本数据拟合的效果愈好，因此，由表知普通累积法所构建的回归模型要好于普通最小二乘法。

应当理解的是，本发明的上述具体实施方式仅仅用于示例性说明或解释本发明的原理，而不构成对本发明的限制。因此，在不偏离本发明的精神和范围的情况下所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。此外，本发明所附权利要求旨在涵盖落入所附权利要求范围和边界、或者这种范围和边界的等同形式内的全部变化和修改例。

Claims (5)

1.一种基于黄金分割及累积回归的机床热误差建模方法，其特征在于，包括下列步骤：

1)针对主轴热敏特性进行仿真分析，结合其实际尺寸初步量化热敏区域为[a,b],

其中a、b为小于主轴轴长的定值；

2)在上述热敏区域内根据黄金分割算法确定测试点，即第一个测试点x₁安排在热敏区域内的0.618处，再在x₁的对称点x₂处安排第二个测试点，其中，x₁、x₂由下式求得：

x₁＝a+(b-a)×0.618

x₂＝b-(b-a)×0.618

在上述测试点处进行温度、热位移信息热位移信息同步测试，测试完毕后按照下式对数据进行相关系数分析，即：

$R=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x}_i{y}_i-n\stackrel{\‾}{x}\stackrel{\‾}{y}}{\sqrt{(\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{x_i}^2-n{\left(\stackrel{\‾}{x}\right)}^2)(\underset{i=1}{\overset{n}{\Σ}}{y_i}^2-n{\left(\stackrel{\‾}{y}\right)}^2)}}$

其中n为测试点个数，根据数据分析结果保留相关系数较大的测试点，以此类推，在剩余的区间内继续分割，迭代缩小至传感器较适宜的布点区域，确定最佳布点区域；

3)在确定的最佳布点区域内进行布点测试，得容量为m的热误差样本并记为x_j,j＝1,2,...,m，样本的k阶累计和为：

$\begin{array}{c}{\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}}^{\left(k\right)}{x}_j=\frac{1}{(k-1)!}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}(m-j+1)...\[m-j+(k-j)\]x_j\\ =\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\left(\begin{array}{c}m-j+k+1\\ k-1\end{array}\right)x_j\end{array}$

其中，k≥1，是k阶累加算子的计算通式；

4)热误差样本的回归模型为：

Y_j＝β₀+β₁X_j1+β₂X_j2+...+β_nX_jn+ε

其中β₀，β₁，β₂…β_n是需要估计的模型参数，ε是随机误差，对热误差样本实施累加算子求和，得热误差累积方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{Y}_j={\mathrm{\β}}_0{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}+{\mathrm{\β}}_1{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_{j1}+...+{\mathrm{\β}}_n{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_{jn}+{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{\mathrm{\ϵ}}_j\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{Y}_j={\mathrm{\β}}_0{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}+{\mathrm{\β}}_1{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_{j1}+...+{\mathrm{\β}}_n{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_{jn}+{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{\mathrm{\ϵ}}_j\\ ......\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{Y}_j={\mathrm{\β}}_0{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}+{\mathrm{\β}}_1{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{x}_{j1}+...+{\mathrm{\β}}_n{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{x}_{jn}+{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{\mathrm{\ϵ}}_j\end{array}\right.$

在该方程中记

$\begin{array}{cc}{X}^{\left(k\right)}=\left[\begin{array}{cccc}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_{j1}& ...& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{x}_{jn}\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_{j1}& ...& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{x}_{jn}\\ \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·\\ \·& \·& & \·\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{x}_{j1}& ...& {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{x}_{jn}\end{array}\right]& Y^{\left(k\right)}=\left[\begin{array}{c}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{Y}_j\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{Y}_j\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{Y}_j\end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\β}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_0\\ {\mathrm{\β}}_1\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\mathrm{\β}}_n\end{array}\right]& {\mathrm{\ϵ}}^{\left(k\right)}=\left[\begin{array}{c}{\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(1\right)}{\mathrm{\ϵ}}_j\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(2\right)}{\mathrm{\ϵ}}_j\\ \·\\ \·\\ \·\\ {\underset{j=1}{\overset{m}{\Σ}}}^{\left(k\right)}{\mathrm{\ϵ}}_j\end{array}\right]\end{array}$

则热误差累积方程可简化为：

Y^(k)＝X^(k)β+ε^(k)

当k＝n+1，且X^(k)是非奇异矩阵时，热误差累计方程的正规方程为Y^(k)＝X^(k)β，

因此，得出热误差累积法估计中的分量为：

${\widehat{\mathrm{\β}}}_c={\left(X^{\left(k\right)}\right)}^{-1}{Y}^{\left(k\right)}$

其中，为未知参数β的热误差累积法估计，

则热误差累积回归模型为：

${\hat{Y}}_j={\widehat{\mathrm{\β}}}_0+{\widehat{\mathrm{\β}}}_1{X}_{j1}+{\widehat{\mathrm{\β}}}_2{X}_{j2}+...+{\widehat{\mathrm{\β}}}_n{X}_{jn}.$

2.根据权利要求1所述的基于黄金分割及累积回归的机床热误差建模方法，其特征在于，在步骤1进行仿真分析之前还包括根据主轴尺寸进行三维建模，并依据发热参数确定热边界参数。

3.根据权利要求2所述的基于黄金分割及累积回归的机床热误差建模方法，其特征在于，所述的热边界参数至少包括热传导系数和换热系数。

4.一种机床热误差测试系统，其特征在于，包括粘贴在主轴测试点表面上的温度传感器、设置于主轴端面轴中心延长线上的激光位移传感器，温度信号发射器、温度信号接收器和上位机，所述温度传感器将采集的数字信号经信号调理电路处理后被温度信号发射器传输给温度信号接收器，温度信号接收器再将信号通过RS232-USB转接口传输给上位机，激光位移传感器采集的热位移信息通过控制器传输给上位机，所述上位机对获取的温度测试点数据和热位移信息建立热误差累积回归模型，所述热误差累积回归模型采用权利要求1-3任一种建模方法进行建模。

5.根据权利要求4所述的机床热误差测试系统，其特征在于，还包括视频设备，所述视频设备对现场工况进行实时采集，并会自动生成远程链接网址，以供管理者或客户端通过Internet网进行远程实时监控。