CN104007663B - 一种含参数不确定性的四旋翼姿态自适应容错控制方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及一种含参数不确定性的四旋翼姿态自适应容错控制方法，属于四旋翼直升机姿态控制系统容错控制技术领域。通过运用模型参考自适应控制的思想，引入状态及其误差的反馈，设计了一种直接自适应容错控制方法，该方法既实现了对四旋翼直升机系统的参数不确定性、外部干扰以及执行器部分损失故障的补偿，又保证了四旋翼直升机的姿态角对参考系统状态的有界跟踪。
Description
技术领域
本发明涉及一种含参数不确定性的四旋翼姿态自适应容错控制方法，属于四旋翼直升机姿态控制系统容错控制技术领域。
背景技术
由于四旋翼直升机非线性、多变量以及高度耦合等特性，使其在飞行过程中对自身重力、陀螺效应等多种物理因素的影响敏感，因此很难获得精确的气动性能参数，从而建立精确有效的四旋翼直升机动力学模型。四旋翼直升机姿态控制系统是保证直升机正常运行的重要组成部分，对直升机的飞行性能和安全性起到非常关键的作用。但由于直升机飞行控制系统部件较多，且对大气流等外部环境的干扰敏感，这些干扰不仅会严重影响四旋翼直升机的飞行安全，还会引发执行器、传感器等部件发生故障，因此针对四旋翼直升机系统的参数不确定性，外部干扰以及执行器故障进行容错控制算法研究具有极其重要的研究价值。容错控制算法的设计使得四旋翼直升机在故障发生时，在很短的时间内即可恢复平稳飞行，从而大大提高飞行的安全性。
自适应容错控制技术可以分为两种方法：直接自适应控制方法和间接自适应控制方法；间接自适应控制方法需要先对被控对象的参数以及外部干扰，故障等信息进行辨识，然后进行控制器的设计，即首先对飞行参数直接在线估计，根据估计结果来确定控制器参数。而直接自适应控制方法无需事先知道被控系统以及干扰、故障等参数的确切信息，根据系统误差响应即可直接在线调节控制器的参数，保证了容错控制的快速性，且无需单独的故障诊断与辨识模块，可以在故障发生的第一时间内即对控制系统进行容错控制。
在现有的自适应容错控制方法中，大多仅仅研究了含参数不确定性四旋翼直升机的外部干扰补偿控制问题，很少的文献综合考虑了含系统参数不确定、外部干扰以及执行器故障的四旋翼直升机的容错控制问题。
发明内容
本发明提供了一种含参数不确定性的四旋翼姿态自适应容错控制方法。
本发明为解决其技术问题采用如下技术方案：
一种含参数不确定性的四旋翼姿态自适应容错控制方法，包括如下步骤：
步骤1、考虑外界扰动以及执行器部分失效故障，建立含参数不确定性的四旋翼直升机姿态控制系统模型；
步骤2、使用软件实现干扰与故障注入，通过对输出电压的调整，模拟部分损失故障；
步骤3、通过数据采集卡中采集的状态信息和由此计算出的误差信息，设计直接自适应容错控制律，即四旋翼姿态容错控制器，实时监测俯仰、滚转、偏航方向上的执行器故障和其他干扰，并将容错控制律重新输出至数据采集卡中，经功率放大器放大信号幅值，将此控制信号传输给电机执行。
步骤1中建立的四旋翼直升机姿态控制系统的模型描述如下：
其中x(t)为四旋翼直升机姿态控制系统模型的状态信号，由系统的俯仰、滚转、偏航角大小和速度构成，通过角度、角速度陀螺仪分别测得，并从四旋翼的数据采集卡中解码得到；u(t)为四旋翼直升机姿态控制系统的电机输入信号，即容错控制器输出至功率放大器的信号；ω(t)代表未知的外部干扰信号，由步骤2中通过matlab软件注入得到，在设计容错控制律时为未知量。
式(1)中，其他参数或参数矩阵含义如下：
A，B分别为直升机姿态系统的状态矩阵和控制矩阵，通过四旋翼的系统辨识得到；ΔA为未知量，表示系统的参数不确定性，满足匹配条件ΔA＝BN(t)，N(t)未知但有上界，即存在未知参数l*，使得||N(t)||≤l*；Bω∈Rn×m为未知量，表示干扰信号的参数矩阵，满足匹配条件Bω＝BF，F已知且有上界，即||F||≤λf。
步骤2中干扰与故障注入使用matlab软件，系统模型参数A、B，系统受到的外界扰动ω(t)、故障模式需分别满足以下3个假设条件：
假设1：在任何故障模式下，{A,Bρ}均完全可控，即存在矩阵满足：
且存在满足：
假设2：外部干扰均分段连续且有界，并且存在以及未知正常数满足：
假设3：对于可能发生的任何故障模式，假设剩余的其它控制器仍然有能力保证控制目标得以实现；
干扰通过设置ω(t)、F、N(t)注入，故障注入通过改变电机输入即控制器输出u(t)实现，在执行器发生部分失效故障时，式(3)中的控制器输出uF(t)可表示为：
uF(t)＝ρu(t)，ρ＝diag(ρ1,ρ2,…，ρm) (5)
其中ρj∈[0,1]，j＝1,2,…，m表征执行器的部分失效程度。
步骤3中直接自适应容错控制律具体步骤如下：
首先确定四旋翼姿态控制系统(1)跟踪的参考系统：参考输入信号r(t)由matlab软件发出指令得到，需设计参考系统的状态矩阵Am∈Rn×n和控制矩阵Bm∈Rn×l，使得系统满足响应快、稳定性好的性能指标，并得到参考状态xm(t)，参考系统的表达形式如下：
为满足性能指标，设计Am，使其所有特征根均位于复平面的左半轴，且r(t)∈Rl，满足一致连续且有界；
四旋翼姿态自适应容错控制器设计时所需的输入由状态信号x(t)及状态跟踪误差信号e(t)组成，均从式(1)中获得，其中状态信号x(t)由系统的俯仰、滚转、偏航角大小和速度构成，通过角度、角速度陀螺仪分别测得，并从四旋翼的数据采集卡中解码得到；误差信号e(t)由参考模型中的状态量参考值xm(t)与上述状态信息x(t)相减得到，由此输入，设计直接自适应容错控制律的如下：
u(t)＝K1 Tx(t)+K2 Tr(t)+(K3+K4)e(t) (7)
其中，u(t)为四旋翼直升机姿态控制系统的控制器输出信号，即功率放大器的输入信号；r(t)为参考系统的输入信号；
式(7)中，其他参数或参数矩阵含义如下：
K1 T＝[k11,k12,…,k1m]T，K2 T＝[k21,k21,…,k2m]T分别为系统状态x(t)和参考输入r(t)的反馈矩阵，用来对系统发生的部分失效故障进行容错控制，并保证直升机的姿态角有界跟踪参考状态xm(t)；K3，K4为误差反馈矩阵，分别用来抵消外部干扰和参数不确定性对系统的影响；
由假设2可知则存在正常数l1 *满足以下不等式
定义参数如下：
由假设3可知ρ≠0，则存在正常数μ使下式成立
||eTPBρBTPe||≥μ||eTPB||2 (10)
式(7)中u(t)中控制器参数分别为假设条件中矩阵 的估计值，控制参数k1j，k2j的自适应律分别为：
其中Γ1j∈Rn×n，Γ2j∈Rl×l为任意的常数矩阵，且满足
式(7)中u(t)中控制器参数K3、K4可设计为：
式(12)、(13)中，l1、l2的自适应律分别为
l1、l2分别为和的估计值，γ3和γ4均为一任意正常数，δ(t)∈R+为任意一个一致连续有界函数，并满足
式(12)、(13)中，P∈Rn×n，P＝PT＞0且对任意的常数矩阵Q∈Rn×n，Q＝QT＞0满足
其中，ε为一任意正常数；
所设计出的控制器输出信号u(t)由式(7)得到，其中的自适应参数K1 T、K2 T、K3和K4由式(11)-(13)获得，其中参数满足式(14)-(16)的要求；输出信号u(t)传输至四旋翼的数据采集卡中，并经过功率放大器，传送至四旋翼电机中执行动作，此过程循环反复，直至四旋翼直升机系统的参数不确定性、外部干扰以及执行器部分损失故障完全被补偿、系统状态跟踪参考模型状态为止。
本发明的有益效果如下：
该方法不仅能够对四旋翼直升机系统的参数不确定性，外部干扰以及执行器部分失效故障进行补偿控制，还能够确保直升机的姿态角有界跟踪参考系统的状态输出，另外还具有控制结构简单等特点。
附图说明
图1为本发明的四旋翼姿态自适应容错控制框图。
图2为本发明设计的一种含参数不确定性的四旋翼直升机姿态控制系统直接自适应容错控制算法的数字仿真结果，执行器故障以及外部干扰下的偏航角跟踪误差图。
图3本发明设计的一种含参数不确定性的四旋翼直升机姿态控制系统直接自适应容错控制算法的数字仿真结果，为执行器故障以及外部干扰下的俯仰角跟踪误差图。
图4本发明设计的一种含参数不确定性的四旋翼直升机姿态控制系统直接自适应容错控制算法的数字仿真结果，为执行器故障以及外部干扰下的滚转角跟踪误差图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明创造作进一步详细的说明。
本发明设计了一种含参数不确定性的四旋翼姿态自适应容错控制方法，控制框图如图1所示，具体步骤如下：
步骤1、基于以下假设条件对四旋翼直升机姿态控制系统进行建模：
(1)四旋翼直升机为完全均匀对称的刚性结构；
(2)直流电机的输入电压和输出力矩之间呈线性函数关系；
(3)四旋翼直升机的质心O和机体坐标系的原点O完全重合；
(4)地面坐标系为惯性坐标系，不考虑地球曲率以及重力加速度随高度而变化等因素的影响；
(5)飞行器姿态角度变化很小，假定小于5°。
可得其俯仰轴、横滚轴和航向轴方程为：
式中y、p、r分别表示偏航角、俯仰角和横滚角，分别为偏航角、俯仰角和横滚角的角加速度。Kfc、Kfn分别为顺时针、逆时针电压-力矩系数，Jp为机体绕着俯仰轴的转动惯量，Jr为机体绕着横滚轴的转动惯量，Vf、Vb、Vl、Vr分别为四旋翼直升机前、后、左、右四个电机的驱动电压值，l为坐标原点到电机中心点的距离。
由此建立的四旋翼直升机姿态控制系统的模型可描述如下：
其中x(t)为四旋翼直升机姿态控制系统模型的状态信号，由系统的俯仰、滚转、偏航角大小和速度构成，通过角度、角速度陀螺仪分别测得，并从四旋翼的数据采集卡中解码得到；u(t)为四旋翼直升机姿态控制系统的电机输入信号，即容错控制器输出至功率放大器的信号；ω(t)代表未知的外部干扰信号，由步骤2中得到，通过matlab软件注入，在设计容错控制律时为未知量。
式(2)中，其他参数或参数矩阵含义如下：
A，B分别为直升机姿态系统的状态矩阵和控制矩阵，通过四旋翼的系统辨识得到；ΔA为未知量，表示系统的参数不确定性，满足匹配条件ΔA＝BN(t)，N(t)未知但有上界，即存在未知参数l*，使得||N(t)||≤l*；Bω∈Rn×m为未知量，表示干扰信号的参数矩阵，满足匹配条件Bω＝BF，F已知且有上界，即||F||≤λf。
步骤2、使用matlab软件实现干扰与故障注入。系统模型参数A、B，系统受到的外界扰动ω(t)、故障模式需分别满足以下3个假设条件：
假设1：在任何故障模式下，{A,Bρ}均完全可控，即存在矩阵满足：
且存在满足：
假设2：外部干扰均分段连续且有界，并且存在以及未知正常数满足：
假设3：对于可能发生的任何故障模式，假设剩余的其它控制器仍然有能力保证控制目标得以实现。
干扰通过设置ω(t)、F、N(t)注入，故障注入通过改变电机输入即控制器输出u(t)实现，在执行器发生部分失效故障时，控制器输出uF(t)可表示为：
uF(t)＝ρu(t)，ρ＝diag(ρ1,ρ2,…,pm) (6)
其中ρj∈[0,1]，j＝1,2,…,m表征执行器的部分失效程度。
步骤3、直接自适应容错控制律具体设计步骤如下：
首先确定四旋翼姿态控制系统(1)跟踪的参考系统。参考输入信号r(t)由matlab软件发出指令得到，需设计参考系统的状态矩阵Am∈Rn×n和控制矩阵Bm∈Rn×l，使得系统满足响应快、稳定性好的性能指标，并得到参考状态xm(t)。参考系统的表达形式如下：
为满足性能指标，设计Am，使其所有特征根均位于复平面的左半轴，且r(t)∈Rl，满足一致连续且有界。
四旋翼姿态自适应容错控制器设计时所需的输入由状态信号x(t)及状态跟踪误差信号e(t)组成，均从式(2)中获得，其中状态信号x(t)由系统的俯仰、滚转、偏航角大小和速度构成，通过角度、角速度陀螺仪分别测得，并从四旋翼的数据采集卡中解码得到；误差信号e(t)由参考模型中的状态量参考值xm(t)与上述状态信息x(t)相减得到。由此输入，设计直接自适应容错控制律的如下：
u(t)＝K1 Tx(t)+K2 Tr(t)+(K3+K4)e(t) (8)
其中，u(t)为四旋翼直升机姿态控制系统的控制器输出信号，即功率放大器的输入信号；r(t)为参考系统的输入信号。
式(8)中，其他参数或参数矩阵含义如下：
K1 T＝[k11,k12,…,k1m]T，K2 T＝[k21,k21,…,k2m]T分别为系统状态x(t)和参考输入r(t)的反馈矩阵，用来对系统发生的部分失效故障进行容错控制，并保证直升机的姿态角有界跟踪参考状态xm(t)；K3，K4为误差反馈矩阵，分别用来抵消外部干扰和参数不确定性对系统的影响。
基于上述假设条件，本发明所提供的一种含参数不确定性的四旋翼姿态自适应容错控制方法，可采用如下证明方法获得：
定义状态跟踪误差信号
e(t)＝x(t)-xm(t) (9)
将设计的直接自适应容错控制律(8)代入被控系统模型(2)可得：
定义参数误差变量将其代入上式，并根据假设条件(3)-(5)，可得
对公式(9)求导，并代入公式(2)及(7)，有
选择Lyapunov函数：
其中对上式求导，并代入式(12)可得：
根据模型参考自适应控制的思想，若参数k1j,k2j，j＝1,2,…，m的自适应律选择为：
其中Γ1j∈Rn×n，Γ2j∈Rl×l为任意的常数矩阵，且满足P∈Rn×n，P＝PT＞0且对任意的常数矩阵Q∈Rn×n，Q＝QT＞0满足
ε为一任意正常数。
将矩阵B按列展开，并代入参数自适应律(15)-(16)，有
由假设3可知ρ≠0，则存在正常数μ使下式成立
||eTPBρBTPe||≥μ||eTPB||2 (19)
由假设2可知则存在正常数l1*满足以下不等式
此处引入参数并定义如下：
则控制器参数K3，K4可设计为：
其中δ(t)∈R+为任意一个一致连续有界函数，并满足
l1，l2分别为和的估计值，且其自适应律为：
由于
成立，故
其中η为任意一个正常数。
由式(20)可得：
将公式(17)和式(28)-(29)代入式(14)，可得：
代入控制律(22)-(23)，并根据式(19)，可得：
将式(25)-(26)代入上式，有：
其中
当不等式(32)的右边不含第二项时，由于δ(t)满足公式(24)，通过引入Barbalat引理，可以证明此时当存在第二项时，由于可以随意取，当其取值很小时，根据李亚普诺夫第二稳定性理论即可证明：本章设计的控制器可以保证系统的状态跟踪误差被限定在一个很小的界内，即实现系统状态的有界跟踪。
所设计出的控制器输出信号u(t)传输至四旋翼的数据采集卡中，并经过功率放大器，传送至四旋翼电机中执行动作。此过程循环反复，直至四旋翼直升机系统的参数不确定性、外部干扰以及执行器部分损失故障完全被补偿、系统状态跟踪参考模型状态为止。
进行仿真时，选定参数及测试过程如下：
步骤1：选定被控系统(2)中参数信息，选定N(t)和F。并设定某一故障和干扰，包括故障和干扰的类型、起始时间、结束时间以及大小，其中故障的形式需满足公式(6)，干扰则需满足公式(5)。
步骤2：根据四旋翼直升机姿态控制系统模型参数及其性能要求，选定参考系统(7)，其中参考系统的参数需满足假设条件中公式(3)-(4)以及公式(17)。
步骤3：搭建被控系统和参考系统模块的模型，并根据控制器结构(8)以及控制器参数及其自适应律(15)-(16)、(22)-(23)以及(25)-(26)，设定参数信息，构建自适应容错控制模块的模型。
步骤4：按照设定的故障及外部干扰类型、大小以及起止时间，给系统注入故障及干扰。
步骤5：自适应容错控制器根据测量出的姿态角跟踪误差e(t)以及状态信息x(t)，计算出四旋翼直升机姿态控制系统的控制量，并将计算得到的控制量输出给执行器；
步骤6：不断重复步骤5，即可得到最终的仿真结果。
本发明设计的一种含参数不确定性的四旋翼姿态自适应容错控制方法，在具体实施过程当中的参数设置如下：
1.被控系统参数、执行器故障以及外部干扰分别为：
ω(t)＝[1,2,3,0.1sin(0.5t)]T，t≥0，ρ＝diag(0,1,1,1)，t≥40s，
2.参考系统参数选取如下：
r＝[1,1]T，Q＝10*I6。
3.控制器参数设置为：Γ1i＝10*I6，Γ2i＝10*I2，γ3i＝20，γ4＝0.05，γ5＝0.05，η＝100。
4.按照上述参数对本发明算法进行仿真，可得执行器故障以及外部干扰下，姿态角跟踪误差仿真曲线分别如说明书附图2、图3、图4所示。由图2、图3、图4可以看出，三个姿态角跟踪在10秒内趋于稳定，响应时间比较短，系统响应超调量较小。从以上分析可以得知，本专利提出的一种含参数不确定性的四旋翼姿态自适应容错控制方法控制效果良好。
Claims (1)
1.一种含参数不确定性的四旋翼姿态自适应容错控制方法，包括如下步骤：
步骤1、考虑外界扰动以及执行器部分失效故障，建立含参数不确定性的四旋翼直升机姿态控制系统模型；模型描述如下：
<mrow>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>A</mi>
<mo>+</mo>
<mi>&Delta;</mi>
<mi>A</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mi>B</mi>
<mi>u</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>B</mi>
<mi>&omega;</mi>
</msub>
<mi>&omega;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中x(t)为四旋翼直升机姿态控制系统模型的状态信号，由系统的俯仰、滚转、偏航角大小和速度构成，通过角度、角速度陀螺仪分别测得，并从四旋翼的数据采集卡中解码得到；u(t)为四旋翼直升机姿态控制系统的电机输入信号，即容错控制器输出至功率放大器的信号；ω(t)代表未知的外部干扰信号，由步骤2中通过matlab软件注入得到，在设计容错控制律时为未知量；
式(1)中，其他参数或参数矩阵含义如下：
A，B分别为直升机姿态系统的状态矩阵和控制矩阵，通过四旋翼的系统辨识得到；ΔA为未知量，表示系统的参数不确定性，满足匹配条件ΔA＝BN(t)，N(t)未知但有上界，即存在未知参数l*，使得||N(t)||≤l*；Bω∈Rn×m为未知量，表示干扰信号的参数矩阵，满足匹配条件Bω＝BF，F已知且有上界，即||F||≤λf；
步骤2、使用软件实现干扰与故障注入，通过对输出电压的调整，模拟执行器部分损失故障；故障模式需分别满足以下3个假设条件：
假设1：在任何故障模式下，{A,Bρ}均完全可控，即存在矩阵满足：
<mrow>
<mi>A</mi>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>B&rho;K</mi>
<mn>1</mn>
<mrow>
<mo>*</mo>
<mi>T</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
</mrow>
且存在满足：
<mrow>
<msubsup>
<mi>B&rho;K</mi>
<mn>2</mn>
<mrow>
<mo>*</mo>
<mi>T</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>B</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
</mrow>
其中ρ表征执行器的部分失效程度；
假设2：外部干扰均分段连续且有界，即存在未知有界正常数满足：
<mrow>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<mo>&le;</mo>
<mover>
<mi>&omega;</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>;</mo>
</mrow>
假设3：在执行器失效故障模式下，执行器剩余执行能力可以保证控制目标得以实现，即并非所有执行器全部失效；
步骤3、通过数据采集卡中采集的状态信息和基于采集信息以及参考信息而计算出的误差信息，利用自适应控制方法和主动容错控制方法设计具有主动容错能力的直接自适应容错控制律，即四旋翼姿态容错控制器，并将容错控制律实时输出至数据采集卡中，经功率放大器放大信号幅值，将此反馈控制信号传输给旋翼驱动电机执行；
其特征在于，步骤3中直接自适应容错控制律具体步骤如下：
首先确定四旋翼姿态控制系统(1)跟踪的参考系统：参考输入信号r(t)由matlab软件发出指令得到，需设计参考系统的状态矩阵Am∈Rn×n和控制矩阵Bm∈Rn×l，使得系统满足响应快、稳定性好的性能指标，并得到参考状态xm(t)，参考系统的表达形式如下：
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mi>m</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<msub>
<mi>x</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>B</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mi>r</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>6</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
为满足性能指标，设计Am，使其所有特征根均位于复平面的左半轴，且r(t)∈Rl，满足一致连续且有界；
四旋翼姿态自适应容错控制器设计时所需的输入由状态信号x(t)及状态跟踪误差信号e(t)组成，均从式(1)中获得，其中状态信号x(t)由系统的俯仰、滚转、偏航角大小和速度构成，通过角度、角速度陀螺仪分别测得，并从四旋翼的数据采集卡中解码得到；误差信号e(t)由参考模型中的状态量参考值xm(t)与上述状态信息x(t)相减得到，由此输入，设计直接自适应容错控制律的如下：
u(t)＝K1 Tx(t)+K2 Tr(t)+(K3+K4)e(t) (7)
其中，u(t)为四旋翼直升机姿态控制系统的控制器输出信号，即功率放大器的输入信号；r(t)为参考系统的输入信号；
式(7)中，其他参数或参数矩阵含义如下：
K1 T＝[k11,k12,...,k1m]T，K2 T＝[k21,k21,...,k2m]T分别为系统状态x(t)和参考输入r(t)的反馈矩阵，用来对系统发生的部分失效故障进行容错控制，并保证直升机的姿态角有界跟踪参考状态xm(t)；K3，K4为误差反馈矩阵，分别用来抵消外部干扰和参数不确定性对系统的影响；
由假设2可知则存在正常数l1 *满足以下不等式
<mrow>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<mi>F</mi>
<mi>&omega;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<mo>&le;</mo>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<mi>F</mi>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<mi>&omega;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<mo>&le;</mo>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<mi>F</mi>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<mover>
<mi>&omega;</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo>&le;</mo>
<msubsup>
<mi>&mu;l</mi>
<mn>1</mn>
<mo>*</mo>
</msubsup>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>8</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
定义参数如下：
<mrow>
<msubsup>
<mi>l</mi>
<mn>2</mn>
<mo>*</mo>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msup>
<mi>l</mi>
<mrow>
<mo>*</mo>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
<mi>&mu;</mi>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>9</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
由假设3可知ρ≠0，则存在正常数μ使下式成立
||eTPBρBTPe||≥μ||eTPB||2 (10)
式(7)中u(t)中控制器参数K1 T，K2 T分别为假设条件中矩阵 的估计值，控制参数k1j，k2j的自适应律分别为：
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>k</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mover>
<mover>
<mi>k</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&Gamma;</mi>
<mrow>
<mn>1</mn>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<mi>x</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msup>
<mi>e</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>Pb</mi>
<mi>j</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<msub>
<mover>
<mi>k</mi>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mover>
<mover>
<mi>k</mi>
<mo>~</mo>
</mover>
<mo>&CenterDot;</mo>
</mover>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&Gamma;</mi>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<mi>r</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msup>
<mi>e</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>Pb</mi>
<mi>j</mi>
</msub>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>11</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中Γ1j∈Rn×n，Γ2j∈Rl×l为任意的常数矩阵，且满足
式(7)中u(t)中控制器参数K3、K4可设计为：
<mrow>
<msub>
<mi>K</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msubsup>
<mi>l</mi>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<msup>
<mi>B</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>P</mi>
</mrow>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<msup>
<mi>e</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>P</mi>
<mi>B</mi>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<msub>
<mi>l</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mi>&delta;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mfrac>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>12</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mrow>
<msub>
<mi>K</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<msub>
<mi>&eta;l</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msup>
<mi>B</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>P</mi>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>13</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式(12)、(13)中，l1、l2的自适应律分别为
<mrow>
<mfenced open = "{" close = "">
<mtable>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<msub>
<mi>dl</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&gamma;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mi>&delta;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>l</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<msub>
<mi>&gamma;</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<msup>
<mi>e</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>P</mi>
<mi>B</mi>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mfrac>
<mrow>
<msub>
<mi>dl</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<msub>
<mi>&gamma;</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mi>&delta;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msub>
<mi>l</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>&gamma;</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mi>&eta;</mi>
<mo>|</mo>
<mo>|</mo>
<msup>
<mi>e</mi>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>P</mi>
<mi>B</mi>
<mo>|</mo>
<msup>
<mo>|</mo>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mfenced>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>14</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
2
l1、l2分别为l1 *和l2 *的估计值，γ3和γ4均为一任意正常数，δ(t)∈R+为任意一个一致连续有界函数，并满足
<mrow>
<munder>
<mi>lim</mi>
<mrow>
<mi>t</mi>
<mo>&RightArrow;</mo>
<mi>&infin;</mi>
</mrow>
</munder>
<msubsup>
<mo>&Integral;</mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mn>0</mn>
</msub>
<mi>t</mi>
</msubsup>
<mi>&delta;</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>&tau;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>d</mi>
<mi>&tau;</mi>
<mo>&le;</mo>
<mover>
<mi>&delta;</mi>
<mo>&OverBar;</mo>
</mover>
<mo><</mo>
<mi>&infin;</mi>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>15</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式(12)、(13)中，P∈Rn×n，P＝PT＞0且对任意的常数矩阵Q∈Rn×n，Q＝QT＞0满足
<mrow>
<msup>
<msub>
<mi>A</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mi>T</mi>
</msup>
<mi>P</mi>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>PA</mi>
<mi>m</mi>
</msub>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mi>&eta;</mi>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mi>&epsiv;</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mo>-</mo>
<mi>Q</mi>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>16</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
其中，ε为一任意正常数；
所设计出的控制器输出信号u(t)由式(7)得到，其中的自适应参数K1 T、K2 T、K3和K4由式(11)-(13)获得，其中参数满足式(14)-(16)的要求；输出信号u(t)传输至四旋翼的数据采集卡中，并经过功率放大器，传送至四旋翼电机中执行动作，此过程循环反复，直至四旋翼直升机系统的参数不确定性、外部干扰以及执行器部分损失故障完全被补偿、系统状态跟踪参考模型状态为止。
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