CN103985000B - 基于函数型非参数回归的中长期典型日负荷曲线预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于函数型非参数回归的中长期典型日负荷曲线预测方法，根据已有的历史典型日负荷曲线，基于函数型数据分析理论和非参数核密度估计方法，建立函数型非参数回归预测模型；考虑待预测典型日的日负荷率和最小负荷率，建立二次规划模型对函数型非参数回归预测模型的预测曲线进行修正，最终得到满足待预测典型日负荷特性指标要求的预测曲线。以中国某省级电网和美国PJM电力公司的典型日负荷数据为基础的仿真算例验证了所提方法简单实用，预测结果准确。本专利具有良好的推广价值和应用前景。

Description

基于函数型非参数回归的中长期典型日负荷曲线预测方法

技术领域

本发明属于电力系统负荷预测领域，涉及一种基于函数型非参数回归模型的中长期典型日负荷曲线预测方法。

背景技术

中长期典型日负荷曲线预测是指1～10年的月、季、年的典型日负荷时序曲线的预测，它对于电源、电网优化具有重要意义，它是系统分配电量、审核调峰能力以及评估互联系统错峰调节效益的基础。

与短期日负荷曲线预测不同，中长期典型日负荷曲线预测有以下特点：不同年份相同月份的典型日负荷曲线形状相似，变化规律相近；典型日负荷特性指标，如日负荷率和最小负荷率能反映负荷曲线变化的形状和特点；用于预测的历史负荷曲线样本较少。针对中长期典型日负荷曲线预测，国内外学者进行了一些基础研究，大致可分为三类。

(1)人工按比例编制。根据经济增长的比例，在待预测年前一年典型日负荷曲线的基础上，按比例增长得到典型日负荷预测曲线。该方法的预测结果比较粗糙，误差较大。

(2)选取一条已知负荷曲线作为参考曲线，认为待预测曲线与参考曲线形状接近，各时段具有相同的变化趋势，从而建立使待预测曲线满足负荷特性指标要求，并且形状与参考曲线形状最接近的数学规划模型进行预测。选择一条合适的参考曲线是该方法的关键，通常选择待预测年前一年的典型日负荷曲线作为参考曲线。

(3)将历史典型日负荷曲线样本中不同年份、同一时刻的负荷数据构成时间序列，用智能算法方法分别对每个时刻点进行预测，得到预测曲线。由于采用智能算法，需要大量数据对模型进行训练，而历史典型日负荷曲线样本较少，且预测结果受模型参数设置的影响比较大。

函数型数据分析是加拿大统计学家J.O.Ramsay等在20世纪70年代提出的结合泛函分析、拓扑学与统计学的数据统计及处理方法。传统数据分析的观点是将历史数据视为变量在不同时刻点上的观测值按时间顺序排列构成的时间序列。然而，实际处理的很多数据其实是变量在某个观测区间上的重复观测值，例如日负荷数据。基于函数型数据分析的观点，如果将观测区间内的一次观测数据视为整体，这些数据能构成一条曲线，即具有函数特征，就称之为函数型数据。利用函数型数据分析方法可以对无限维空间的曲线数据进行统计分析，更好地刻画数据变化的规律，挖掘出更多的数据信息，对一些建模问题的分析将更加全面，深刻。目前该分析方法已成功应用于气象学，生物力学，经济学等领域。

发明内容

本发明主要是解决现有技术所存在的技术问题；提供了一种以函数型非参数回归预测模型的预测曲线作为参考曲线，参考曲线的选取上考虑了更多的历史负荷曲线样本以及样本之间的变化规律；预测精度高，适用于时间跨度较长的中长期日负荷曲线的预测。

本发明的上述技术问题主要是通过下述技术方案得以解决的：

一种基于函数型非参数回归的中长期典型日负荷曲线预测方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：以各历史典型日负荷曲线中的最大负荷值为基准值，对各历史典型日负荷曲线做归一化处理，基于以下公式进行：

S^*(t_m)＝S(t_m)/S_max m＝1,2,…,P,

其中，S(t_m)表示典型日负荷曲线各时刻的负荷值；S_max表示典型日负荷曲线的最大负荷值；S^*(t_m)表示典型日负荷曲线经归一化处理后各时刻的数值，P表示时刻数；

步骤2：用基于函数型主成分分析的半度量计算方法获取经过步骤1归一化处理后历史曲线样本之间的半度量，基于以下公式进行：

其中，表示两个归一化处理后的历史典型日负荷曲线，v₁(t_m),v₂(t_m),…,v_q(t_m)分别是曲线样本估计的协方差矩阵的特征值λ₁≥λ₂≥…≥λ_q对应的单位正交特征向量，P表示时刻数；

然后根据已知的历史典型日归一化负荷曲线，用交叉验证法计算函数型非参数回归模型的最优带宽，基于以下公式进行：

其中，n表示历史典型日负荷曲线样本数，P表示时刻数，表示n个样本曲线中的两个归一化处理后的典型日负荷曲线，CV(·)表示交叉验证指标，h表示带宽，h_opt表示最优带宽；

步骤3：以步骤1处理后的历史样本曲线和步骤2计算所得模型参数建立函数型非参数回归模型预测典型日归一化负荷曲线，基于以下公式进行：

其中式中，表示典型日负荷归一化预测曲线，i＝1,…,n表示n条历史典型日归一化负荷曲线样本，K(·)是高斯核函数，P表示时刻数；

步骤4：以步骤3得到的预测曲线作为参考曲线，进行如下子步骤的操作：

步骤4.1，先将参考曲线序列由大到小进行排序处理，记录下排序后的序列对应原始序列的下标，基于以下公式：

其中，l_r(k)表示排序处理后的序列，h_k表示排序处理后的序列对应原始序列的下标，P表示时刻数；

步骤4.2，然后对经步骤4.1排序处理后的序列进行作差处理，基于以下公式：

y_r(i)＝l_r(i)-l_r(i+1)≥0,i＝1,2,…,P-1

其中，y_r(i)表示作差处理后的序列，l_r(i)表示排序处理后的序列，P表示时刻数；

步骤4.3，以待预测典型日的日负荷率和最小负荷率作为约束条件，建立二次规划模型并求解，得到修正后的作差序列，二次规划模型基于以下公式：

其中，y_f(i),y_r(i)分别表示待修正的作差序列和参考作差序列，γ、β表示待预测典型日的日负荷率和最小负荷率；

步骤4.4，对修正后的作差序列进行逆作差和逆排序处理，得到修正后的典型日负荷归一化预测曲线，逆作差处理基于以下公式：

其中，l_f(i)表示逆作差处理后的序列，β表示待预测典型日的最小负荷率，P表示时刻数；

逆排序处理基于以下公式：

其中，l_f(k)表示逆作差处理后的序列，表示修正后的典型日负荷归一化预测曲线，h_k表示排序处理后的序列对应原始序列的下标，P表示时刻数；

步骤5：用待预测典型日的最大负荷值计算修正后的典型日实际预测曲线，基于以下公式进行：

其中，S_f(t_m)表示修正后的典型日实际预测曲线，表示修正后的典型日归一化预测曲线，S_fmax表示待预测典型日的最大负荷值。

因此，本发明具有如下优点：以函数型非参数回归预测模型的预测曲线作为参考曲线，参考曲线的选取上考虑了更多的历史负荷曲线样本以及样本之间的变化规律，预测精度高，适用于时间跨度较长的中长期日负荷曲线的预测。

附图说明

附图1：是本发明实施例的预测方法流程图。

附图2：是本发明实施例的2009年夏季典型日负荷预测曲线。

附图3：是本发明实施例的2011年冬季典型日负荷预测曲线。

具体实施方式

下面通过实施例，并结合附图，对本发明的技术方案作进一步具体的说明。

实施例：

一、下面结合附图和实施例对本发明的技术方案进一步说明。

本发明包括以下步骤：

步骤一：以各历史典型日负荷曲线中的最大负荷值为基准值，对各历史典型日负荷曲线做归一化处理；基于以下公式进行：

S^*(t_m)＝S(t_m)/S_max m＝1,2,…,P,

其中，S(t_m)表示典型日负荷曲线各时刻的负荷值；S_max表示典型日负荷曲线的最大负荷值；S^*(t_m)表示典型日负荷曲线经归一化处理后各时刻的数值，P表示时刻数；

步骤二：用基于函数型主成分分析的半度量计算方法计算归一化处理后历史曲线样本之间的半度量，用交叉验证法计算函数型非参数回归模型的最优带宽；基于以下理论：

1、函数型非参数回归预测模型。

1.1、函数型变量和数据。

根据函数型变量和函数型数据的定义：如果随机变量S在无限维空间(或函数空间)E上取值，则称该随机变量为函数型变量，函数型变量的观测值称为函数型数据。电力系统的日负荷变化是一个连续的变化过程，对应连续变化的曲线，其本质具有函数特征，记录日负荷变化的日负荷曲线则为函数型数据。从传统数据分析的角度来看，负荷变化是在实数空间R上取值的随机变量Z，它在时间t＝0到t＝nT上的观测值是连续时间序列{Z(t),t∈[0,nT]}。根据负荷变化的规律，通常选择一天，即T＝24小时作为观测周期，那么{Z(t),t∈[0,nT]}就是在观测区间[0,T)上的重复观测值，它可以按观测周期T划分为n个等长的观测段S_i＝{S_i(t),t∈[0,T)}，有：

S_i(t)＝Z(t+(i-1)T),t∈[0,T),i＝1,…,n (1)

基于函数型数据分析理论，观测段S_i为函数型数据，根据式(1)可以将连续时间序列{Z(t),t∈[0,nT]}转化为离散的函数型时间序列{S₁,S₂,…,S_n}。

通常情况下，电力系统的日负荷数据是在时间间隔相等的离散时刻点t₁,t₂,…,t_P记录的观测值，常取的时间间隔有1小时(P＝24)、15分钟(P＝96)等，所以实际获得的日负荷变化的函数型数据为S_i＝{S_i(t₁),S_i(t₂),…,S_i(t_P)}。

1.2、函数型非参数回归模型。

设{(X_i,Y_i),i＝1,2,…,n}是空间E×R上的数据对，对X_i，Y_i可以建立如下函数型回归模型：

Y_i＝r(X_i)+ε_i,i＝1,2,…,n (2)

式中，解释变量X_i是函数型变量；响应变量Y_i是实数变量；未知函数r称为回归函数(或条件均值函数)；误差项ε_i是实数随机变量，满足

建立回归模型的关键是通过已知数据估计回归函数r。本发明基于非参数核密度估计技术，采用Nadaraya-Watson(N-W)核估计方法对函数型回归函数r进行估计，可得如下回归函数的估计式：

式中，K(·)称为核函数，核函数的选择有多种，比如三角、高斯、均匀核函数等，在核估计中核函数的选择对核估计的影响较小，不是关键因素，为了方便，通常会选择高斯核函数；h称为带宽，表示核函数在样本点附近的作用范围；D(·)称为半度量，是衡量两个函数型样本间的近似程度。

1.3、基于函数型非参数回归的预测模型。

假设已知函数型时间序列{S₁,S₂,…,S_n}，要预测S_n+1。由1.2可知，首先需要根据历史负荷数据{S₁,S₂,…,S_n}构建数据对(X_i,Y_i)估计回归函数r。利用式(1)给出的函数型数据S_i与时间序列{Z(t),t∈[0,nT]}的关系，设a为确定的非负实数，令X_i＝S_i，Y_i＝Z(iT+a),i＝1,2,…,n-1，可得：

当x＝X_n＝S_n时，根据回归函数的估计式可以预测若令a在[0,T)上取值，则{Z(iT+a),a∈[0,T)}＝S_i+1，由式(4)可推得S_n+1的预测模型：

由于实际获得的函数型数据样本是时间间隔相等的离散观测值S_i＝{S_i(t₁),S_i(t₂),…,S_i(t_P)}，所以用于日负荷曲线S_n+1(t_m)的预测模型如式(6)所示：

式中

1.4、函数型非参数回归模型中半度量D和带宽h的计算。

1.4.1、半度量D的计算。

在函数空间中需要引入半度量D来刻画空间中两个函数型数据之间的距离，判断它们的接近程度，本发明采用基于函数型主成分分析的半度量计算方法。

对于函数型变量S的两个观测值S_i(t)和S_j(t)，基于函数型主成分分析的半度量计算表达式如式(7)所示：

式中，v₁,v₂,…,v_q是协方差算子Γ_s(r,t)＝E([S(r)-E(S)][S(t)-E(S)])的特征值λ₁≥λ₂≥…≥λ_q对应的单位正交特征函数。

由于变量S的协方差矩阵Γ和特征函数v_k未知，而且电力系统的日负荷数据是时间间隔相等的离散观测值，所以用n个函数型数据样本估计协方差矩阵Γ，令w＝T/P，样本估计的协方差矩阵为：

将式(7)中积分形式用近似表示，可得用于计算日负荷曲线之间近似程度的半度量表达式：

式中，v₁(t_m),v₂(t_m),…,v_q(t_m)分别是样本估计的协方差矩阵的特征值λ₁≥λ₂≥…≥λ_q对应的单位正交特征向量。

1.4.2、带宽h的计算。

带宽h在回归函数中起平滑作用，对回归函数的影响很大。h越小，回归函数对于响应变量Y_i的微小变动就越敏感；相反，h越大，回归函数对响应变量Y_i的微小变动就越不敏感。为了使预测模型具有更好的效果，根据式(5)函数型非参数回归模型，采用交叉验证法计算预测模型中的最优带宽h_opt。计算步骤如下：

(1)在n个函数型数据样本中去除第j个样本，用剩下的n-1个样本对回归函数进行估计，可得：

(2)计算交叉验证指标CV(h):

(3)求解使CV(h)最小的带宽即为最优带宽h_opt：

步骤三：以步骤一处理后的历史样本曲线和步骤二计算的模型参数建立函数型非参数回归模型预测典型日负荷曲线；基于以下公式进行：

其中式中，表示典型日负荷归一化预测曲线，i＝1,…,n表示n条历史典型日归一化负荷曲线样本，K(·)是高斯核函数，P表示时刻数；

步骤四：以步骤三得到的预测曲线作为参考曲线，待预测典型日的日负荷率和最小负荷率为约束条件，建立二次规划模型并求解，得到修正后的归一化预测曲线；基于以下理论：

1、二次规划修正模型。

日负荷率γ和最小负荷率β是反映典型日负荷曲线变化的形状和特点的负荷特性指标，它们可以通过中长期负荷特性的预测得到。在已知待预测曲线的日负荷率γ和最小负荷率β的情况下，为了使预测曲线满足典型日负荷特性指标的要求，以1.2节函数型非参数回归预测方法得到的预测曲线作为参考曲线S_r，可以建立了使修正曲线S_f与参考曲线误差平方和最小为目标函数，日负荷率γ和最小负荷率β为约束条件的二次规划模型对预测曲线进行修正。

为了使曲线的修正更准确，本发明引入灰色理论的基本思想，首先对参考曲线数据进行如下的数据预处理，弱化原始数据的随机性：

(1)排序。将由大到小排列成序列l_r(k)，修正后的曲线S_f也相应排成序列l_f(k)，记两序列对应的原始下标为h_k，有：

(2)作差。分别将l_r(k),l_f(k)序列相邻两项求差值，得到序列y_r(i),y_f(i)，有：

y_r(i)＝l_r(i)-l_r(i+1)≥0,i＝1,2,…,P-1 (14)

y_f(i)＝l_f(i)-l_f(i+1)≥0,i＝1,2,…,P-1

根据式(14)，典型日负荷特性指标与y_f(i)有如下关系：

经过数据处理后，二次规划模型可以转化为求使排序后的一阶差分序列误差最小的修正模型，如式(16)所示：

通过求解上述模型，得到最优解即y_f(i)。根据式(14)以及l_f(1)＝1,l_f(P)＝β可求出经过排序后的序列l_f(k)。利用所记录的原始下标h_k和式(13)还原得到修正后的曲线S_f。

待预测典型日的日负荷率γ，最小负荷率β以及最大负荷值S_fmax可以通过中长期负荷参数预测得到。

步骤五：用待预测典型日的最大负荷值计算修正后的典型日实际预测曲线。基于以下公式进行：

其中，S_f(t_m)表示修正后的典型日实际预测曲线，表示修正后的典型日归一化预测曲线，S_fmax表示待预测典型日的最大负荷值。

二、下面是采用上述方法的具体算例及仿真。

本发明采用中国某省级电网2000-2009年夏季典型日和美国PJM电力公司2002-2011年冬季典型日24点(P＝24)负荷数据对所提预测方法进行研究分析。预测步骤如图1所示。其中，式(17)可用于负荷曲线的归一化处理和计算实际典型日负荷预测曲线。

S^*(t_m)＝S(t_m)/S_max m＝1,2,…,P (17)

式中，S(t_m)表示典型日负荷曲线各时刻的负荷值；S_max表示典型日负荷曲线的最大负荷值；S^*(t_m)表示典型日负荷曲线经归一化处理后各时刻的数值，有S^*(t_m)∈[0,1]。

将本发明所提预测方法与经典的中长期典型日负荷曲线预测方法，二次规划预测方法和“双向夹逼”线性规划预测方法进行对比。使用下述指标分析和对比不同预测方法的准确性：

(1)平均绝对百分比误差(mean absolute percent error,MAPE)：

(2)均方根差(root mean square error,RMSE)：

式中，S_t(t_m)和S_f(t_m)分别表示实际负荷曲线和负荷预测曲线。

3.1 2009年夏季典型日负荷曲线预测

以中国某省级电网2000-2008年夏季典型日负荷曲线作为历史样本，对2009年夏季典型日负荷曲线进行预测。通过对历史样本曲线进行交叉验证计算，可得函数型非参数回归模型中的最优带宽h_opt＝0.197。选择某省级电网2008年夏季典型日负荷曲线作为二次规划法和双向夹逼法的参考曲线。所得预测曲线和各点预测结果相对误差对比分别如图2和下表所示。

三种预测方法的预测效果比较如下表所示。由下表可知，本发明的方法对某省级电网2009年夏季典型日负荷曲线的预测结果在各指标上均优于经典预测方法，预测误差较小，预测精度相比经典方法有一定程度上的提高。

3.2 2011年冬季典型日负荷曲线预测。

以美国PJM电力公司2002-2010年冬季典型日负荷曲线作为历史样本对2011年冬季典型日负荷曲线进行预测。通过对历史样本曲线进行交叉验证计算，可得函数型非参数回归模型中的最优带宽h_opt＝0.0165。选择PJM电力公司2010年冬季典型日负荷曲线作为二次规划方法和双向夹逼方法的参考曲线。所得预测曲线和各点预测结果的相对误差对比分别如图3和下表所示。

三种预测方法的预测效果比较如下表所示。由下表可知，本发明的方法对美国PJM电力公司2011年冬季典型日负荷曲线的预测结果在各指标上均优于经典预测方法，预测误差较小。

本文中所描述的具体实施例仅仅是对本发明精神作举例说明。本发明所属技术领域的技术人员可以对所描述的具体实施例做各种各样的修改或补充或采用类似的方式替代，但并不会偏离本发明的精神或者超越所附权利要求书所定义的范围。

Claims (1)

1.一种基于函数型非参数回归的中长期典型日负荷曲线预测方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：以各历史典型日负荷曲线中的最大负荷值为基准值，对各历史典型日负荷曲线做归一化处理，基于以下公式进行：

S*(t_m)＝S(t_m)/S_max m＝1,2,...,P,

其中，S(t_m)表示典型日负荷曲线各时刻的负荷值；S_max表示典型日负荷曲线的最大负荷值；S^*(t_m)表示典型日负荷曲线经归一化处理后各时刻的数值，P表示时刻数；

步骤2：用基于函数型主成分分析的半度量计算方法获取经过步骤1归一化处理后历史曲线样本之间的半度量，基于以下公式进行：

$D(S_i^{*},S_j^{*})=\sqrt{\underset{k=1}{\overset{q}{\Σ}}{\left(\underset{m=1}{\overset{P}{\Σ}}\right(S_i^{*}\left(t_m\right)-S_j^{*}\left(t_m\right)\left)v_k\right(t_m\left)\right)}^2},$

其中，表示两个归一化处理后的历史典型日负荷曲线，v₁(t_m),v₂(t_m),…,v_q(t_m)分别是曲线样本估计的协方差矩阵的特征值λ₁≥λ₂≥…≥λ_q对应的单位正交特征向量，P表示时刻数；

然后根据已知的历史典型日归一化负荷曲线，用交叉验证法计算函数型非参数回归模型的最优带宽，基于以下公式进行：

$h_{opt}=\underset{h}{\arg \min }\left\{CV\left(h\right)\right\}$

$CV\left(h\right)=\frac{1}{(n-1)P}\underset{m=1}{\overset{P}{\Σ}}\underset{j=2}{\overset{m}{\Σ}}{\[S_j^{*}\left(t_m\right)-\frac{\underset{i=1.i\≠j}{\overset{n-1}{\Σ}}{S}_{i+1}^{*}\left(t_m\right)\·K(h^{-1}\·D(S_{j-1}^{*},S_i^{*}\left)\right)}{\underset{i=1.i\≠j}{\overset{n-1}{\Σ}}K(h^{-1}\·D(S_{j-1}^{*},S_i^{*}\left)\right)}\]}^2$

其中，n表示历史典型日负荷曲线样本数，P表示时刻数，表示n个样本曲线中的两个归一化处理后的典型日负荷曲线，CV(·)表示交叉验证指标，h表示带宽，h_opt表示最优带宽；

步骤3：以步骤1处理后的历史样本曲线和步骤2计算所得模型参数建立函数型非参数回归模型预测典型日归一化负荷曲线，基于以下公式进行：

${\hat{S}}_{n+1}^{*}\left(t_m\right)=\underset{i=1}{\overset{n-1}{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_i\·S_{i+1}^{*}\left(t_m\right),m=1,2,\mathrm{...},P,$

其中式中，表示典型日负荷归一化预测曲线，i＝1,…,n表示n条历史典型日归一化负荷曲线样本，K(·)是高斯核函数，P表示时刻数；

步骤4：以步骤3得到的预测曲线作为参考曲线，进行如下子步骤的操作：

步骤4.1，先将参考曲线序列由大到小进行排序处理，记录下排序后的序列对应原始序列的下标，基于以下公式：

l_r(1)≥l_r(2)≥…≥l_r(P)＞0

$l_r\left(k\right)={\hat{S}}_{n+1}\left(t_{hk}\right),k=1,2,\mathrm{...},P$

其中，l_r(k)表示排序处理后的序列，P表示时刻数；

步骤4.2，然后对经步骤4.1排序处理后的序列进行作差处理，基于以下公式：

y_r(i)＝l_r(i)-l_r(i+1)≥0,i＝1,2,…,P-1

其中，y_r(i)表示作差处理后的序列，l_r(i)表示排序处理后的序列，P表示时刻数；

步骤4.3，以待预测典型日的日负荷率和最小负荷率作为约束条件，建立二次规划模型并求解，得到修正后的作差序列，二次规划模型基于以下公式：

$\min f=\underset{i=1}{\overset{P-1}{\Σ}}{\[y_f\left(i\right)-y_r\left(i\right)\]}^2$

$\begin{array}{cc}s.t.& \underset{i=1}{\overset{P-1}{\Σ}}(P-i)y_f\left(i\right)=P(1-\mathrm{\γ})\end{array}$

$\underset{i=1}{\overset{P-1}{\Σ}}{y}_f\left(i\right)=1-\mathrm{\β}$

其中，y_f(i),y_r(i)分别表示待修正的作差序列和参考作差序列，γ、β表示待预测典型日的日负荷率和最小负荷率；

步骤4.4，对修正后的作差序列进行逆作差和逆排序处理，得到修正后的典型日负荷归一化预测曲线，逆作差处理基于以下公式：

l_f(1)＝1,l_f(P)＝β

$l_f\left(j\right)=1-\underset{i=1}{\overset{j-1}{\Σ}}{y}_f\left(i\right),j=2,\mathrm{...},P-1$

其中，l_f(·)表示逆作差处理后的序列，β表示待预测典型日的最小负荷率，P表示时刻数；

逆排序处理基于以下公式：

$S_f^{*}\left(t_{h_k}\right)=l_f\left(k\right),k=1,\mathrm{...},P$

其中，l_f(k)表示逆作差处理后的序列，表示修正后的典型日负荷归一化预测曲线，h_k表示排序处理后的序列对应原始序列的下标，P表示时刻数；

步骤5：用待预测典型日的最大负荷值计算修正后的典型日实际预测曲线，基于以下公式进行：

$S_f\left(t_m\right)=S_f^{*}\left(t_m\right)\·S_{fmax},m=1,2,\mathrm{...},P,$

其中，S_f(t_m)表示修正后的典型日实际预测曲线，表示修正后的典型日归一化预测曲线，S_fmax表示待预测典型日的最大负荷值。