CN103956898B - 电力电子变换器电流参考值自动调节切换控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种电力电子变换器电流参考值自动调节切换控制方法，步骤包括：步骤1，根据变换器的工作状态建立电力电子变换器的切换系统模型；步骤2，定义切换子系统i的Lyapunov函数，并计算相关矩阵，得到子系统i的Lyapunov函数值；步骤3，选择切换控制规律，选择Lyapunov函数最大的子系统作为当前子系统；步骤4，根据输出误差调节电流参考值；当存在参数不确定或输入电压与负载发生变化时，按规律调节电流参考值，即成。本发明的方法，控制过程简单，效果好，能够在保证变换器控制全局稳定性的同时对输入电压、负载等变化具有鲁棒性，加快了输出电压的响应速度。

Description

电力电子变换器电流参考值自动调节切换控制方法

技术领域

本发明属于电能变换控制技术领域，涉及一种电力电子变换器电流参考值自动调节切换控制方法。

背景技术

电力电子变换器是实现电能变换和有效利用的关键装置，电力电子变换器由连续变量系统和离散事件动态系统相互作用而形成统一的动态系统，在每一开关状态下电路可能是线性的，但是按照一定规律对开关状态的切换又使得整个系统变为不连续的非线性系统。

传统的电力电子变换器的分析和设计采用小信号线性化方法得到忽略开关状态的线性模型，这种模型虽然能够方便地利用传统的频域设计方法，但是存在的问题是当变换器工作点发生大范围变化时，系统性能变差，同时在信号大范围变化时有可能会出现不可预期的不稳定现象。电力电子变换器的混杂系统模型能够反映变换器的真实工作状态，依据变换器的混杂系统模型利用Lyapunov方法分析系统的稳定性和设计切换控制器能够保证系统的全局稳定性。但是现有的切换控制器需要测量输入和负载，系统结构复杂、成本高，否则，在这些参数变化时，输出稳态误差增大。

发明内容

本发明的目的是提供了一种电力电子变换器电流参考值自动调节的切换控制方法，解决了现有技术条件下的切换控制器需要测量输入和负载，系统结构复杂、成本高的问题。

本发明所采用的技术方案是，一种电力电子变换器电流参考值自动调节切换控制方法，按照以下步骤实施：

步骤1，根据变换器的工作状态建立电力电子变换器的切换系统模型，设模型为二阶，则二阶变换器的切换系统模型如下：

$\stackrel{\·}{x}=A_{i}x+b_i,i=\mathrm{1,2},...m,---\left(1\right)$

其中的 $x\∈R^{n_x}$ 是系统的状态变量， $A_i\∈R^{n_x\×n_x},b_i\∈R^{n_x\×1}$ 是常数矩阵，对于二阶系统来说n_x=2，m是切换系统子系统的个数，X＝[x₁x₂]^T，x₁为电感电流，x₂为输出电压，上标T表示向量转置，

设系统状态变量的期望值x_d为恒值，则得到误差系统函数是：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{e}=A_{i}e+k_i,k_i=b_i+A_i{x}_d,\\ e=x\left(t\right)-x_d\left(t\right)\end{array}---\left(2\right)$

k_i是一个相应维数矩阵，X(t)是系统的状态变量，x_d是状态变量期望值；

步骤2，定义v_i(e(t))为切换子系统i的Lyapunov函数，表示为：

v_i(e(t))＝e(t)^TP_ie(t)+e(t)^TS_i，（3）

其中P_i为对称阵， $P_i\∈R^{n_x\×n_x},S_i\∈R^{n_x\×1},$ 满足下式：

$\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i>0,\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{S}_i=0,---\left(4\right)$

其中α_i＞0为给定常数，M为相应维数的对称矩阵，S_i ^T、A_i ^T、k_i ^T分别是S_i、A_i、k_i的转置，求解不等式（4）和（5）得到P_i及S_i，进而按照式（3）计算v_i(e(t))；

步骤3，选择切换控制规律，设σ(t)是开关切换信号，σ(t):[0,∞)→{1,...m}是时间的分段常数函数，σ(t)＝i表示当前系统运行在第i个子系统，针对误差系统式（2），设定如下切换控制规律：

$\mathrm{\σ}\left(t\right)=\arg \underset{i\∈\{1,...m\}}{\max }\left\{v_i\left(e\left(t\right)\right)\right\},---\left(6\right)$

式（6）表示选择Lyapunov函数最大的子系统作为当前子系统，使得系统切换到这个子系统工作；

步骤4，根据输出误差e₂调节电流参考值x_d1，在理想状态下，电流参考值为x_d1＝I_L0；当存在参数不确定或输入电压与负载发生变化时，调节电流参考值为：x_d1＝(1+β)I_L0＝u_cpI_L0，（7）

其中β＝(k_p·e₂+k_I∫e₂dt)/x_d2，k_p是PI补偿器的比例系数，k_I是PI补偿器的积分系数，e₂＝x₂-x_d2，x_d2为输出电压参考值，即成。

本发明的有益效果是，针对二阶电力电子变换器（包括Buck、Boost和Buck-Boost变换器等）电流参考值，不需测量输入和负载，根据输出误差调节电流参考值，从而提高稳态精度的方法，实现了自动调节切换控制，能够在保证变换器控制全局稳定性的同时对输入电压、负载等变化具有鲁棒性，加快了输出电压的响应速度。

附图说明

图1是本发明控制对象的Boost变换器电路示意图；

图2是本发明方法的控制系统框图；

图3是本发明方法在标称参数时的电感电流曲线；

图4是本发明方法在标称参数时的输出电压曲线；

图5是本发明方法在标称参数时无电流参考值补偿控制的输出电压曲线；

图6是输入电压由7V突变为5V时，不加PI补偿切换控制输出的电压波形；

图7是输入电压由7V突变为5V时，本发明方法（加PI补偿切换控制）输出的电压波形；

图8是负载由400欧姆突变为1000欧姆时，不加PI补偿切换控制输出的电压波形；

图9是负载由400欧姆突变为1000欧姆时，本发明方法（加PI补偿切换控制）输出的电压波形。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

如图1所示，本发明方法的被控对象选用一种Boost变换器电路，该电路包括输入电源E、电感L、二极管D、开关S、电容C和负载R，输入电源E与电感L及开关S构成串联电路，开关S两端并联有二极管D和电容C组成的串联支路，电容C单独并联有一个负载R；另外，电感L与电感等效电阻r_L串联，二极管D与二极管等效电阻r_d串联，开关S与开关等效电阻r_s串联，电容C与电容等效电阻r_c串联。

参照图2，本发明方法，在图1电路中增加切换控制器和PI补偿器的设置，增加PI补偿后的控制连接方式是，将PI补偿器的两个输入端分别与输出电压信号v_C和输出电压参考值x_d2信号连接；PI补偿器输出端的u_cp信号与I_Lo一起进入乘法器，从该乘法器输出的电流参考值x_d1信号与x_d2信号、输出电压信号v_C以及电感电流i_L信号一起进入切换控制器中，切换控制器的输出端信号与开关S连接，控制开关S的切换。

本发明的电力电子变换器电流参考值自动调节切换控制方法，按照以下步骤实施：

步骤1，根据变换器的工作状态建立电力电子变换器的切换控制器的控制模型（以下简称为切换系统模型），设模型为二阶，则二阶变换器的切换系统模型如下： $\stackrel{\·}{x}=A_{i}x+b_i,i=\mathrm{1,2},...m,---\left(1\right)$

其中的 $x\∈R^{n_x}$ 是系统的状态变量， $A_i\∈R^{n_x\×n_x},b_i\∈R^{n_x\×1}$ 是常数矩阵，对于二阶系统来说n_x=2，m是切换系统子系统的个数；一般而言，x＝[x₁x₂]^T，x₁为电感电流，x₂为输出电压，上标T表示向量转置，

设系统状态变量的期望值x_d为恒值，则得到误差系统函数是：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{e}=A_{i}e+k_i,k_i=b_i+A_i{x}_d,\\ e=x\left(t\right)-x_d\left(t\right)\end{array}---\left(2\right)$

k_i是一个相应维数矩阵，X(t)与（一样）是系统的状态变量，x_d(t)实际上就是前面提到的状态变量期望值。

步骤2，定义v_i(e(t))为切换子系统i的Lyapunov函数，表示为：

v_i(e(t))＝e(t)^TP_ie(t)+e(t)^TS_i，（3）

其中P_i为对称阵， $P_i\∈R^{n_x\×n_x},S_i\∈R^{n_x\×1},$ 满足下式：

$\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i>0,\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{S}_i=0,---\left(4\right)$

其中α_i＞0为给定常数，M为相应维数的对称矩阵，S_i ^T、A_i ^T、k_i ^T分别是S_i、A_i、k_i的转置，先求解不等式（4）和（5）得到P_i及S_i，进而按照式（3）计算v_i(e(t))；

步骤3，选择切换控制规律，设σ(t)是开关切换信号，σ(t):[0,∞)→{1,...m}是时间的分段常数函数，σ(t)＝i表示当前系统运行在第i个子系统，针对误差系统式（2），设定如下切换控制规律：

$\mathrm{\σ}\left(t\right)=\arg \underset{i\∈\{1,...m\}}{\max }\left\{v_i\left(e\left(t\right)\right)\right\},---\left(6\right)$

式（6）表示选择Lyapunov函数最大的子系统作为当前子系统，使得系统切换到这个子系统工作；

步骤4，参照图2，根据输出误差e₂调节电流参考值x_d1，在理想状态下，电流参考值为x_d1＝I_L0；当存在参数不确定或输入电压与负载发生变化时，调节电流参考值为：x_d1＝(1+β)I_L0＝u_cpI_L0，（7）

其中β＝(k_p·e₂+k_I∫e₂dt)/x_d2，k_p是PI补偿器的比例系数，k_I是PI补偿器的积分系数，e₂＝x₂-x_d2，x_d2为输出电压参考值，即成。

1）对本发明方法的被控对象Boost变换器电路的分析

参照图1、图2，根据电路基本规律得到Boost变换器的动态方程为：

$\stackrel{\·}{x}=A_{i}x+b_{i}U,---\left(8\right)$

其中x=[x₁x₂]^T=[i_Lv_C]^T，i_L为电感电流值，v_C为输出电压值，A_i、b_i分别为系统矩阵和输入矩阵，当设置子系统个数m=3时，则n_x=2，i=1,2,3，U=E，E为输入直流电源电压值，则有以下三个模式：

模式1：开关S闭合，此时系统矩阵和输入矩阵分别为：

$A_1=\left[\begin{array}{cc}-\frac{r_L+r_S}{L}& 0\\ 0& -\frac{1}{(R+r_C)C}\end{array}\right],b_1=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L}\\ 0\end{array}\right],---\left(9\right)$

模式2：开关S断开，同时电感电流i_L大于0，此时系统矩阵和输入矩阵分别为：

$A_2=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{L}(r_L+r_d+\frac{{\mathrm{Rr}}_c}{R+r_c})& -\frac{R}{L(R+r_c)}\\ \frac{R}{(R+r_C)C}& -\frac{1}{(R+r_C)C}\end{array}\right],b_2=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L}\\ 0\end{array}\right],---\left(10\right)$

模式3：开关S断开，同时电感电流i_L等于0，此时系统矩阵和输入矩阵分别为：

$A_3=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -\frac{1}{(R+r_C)C}\end{array}\right],b_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],---\left(11\right)$

当Boost变换器工作在模式1情况下，电源E给电感L充电，电感电流i_L增大，电感储存能量，电容C对负载R放电，释放能量；

当Boost变换器工作在模式2情况下，电感L和输入直流电源E一起为电容C和负载R提供能量，电感电流i_L逐渐减小；

当Boost变换器工作在模式3情况下，电感电流i_L为零，电容C继续对负载R放电，释放能量，电容C电压逐渐减小。

根据式（2）得到状态变量期望值为x_d时，误差系统表达式中k_i分别是：

$k_1=\left[\begin{array}{c}\frac{V_{\mathrm{in}}-(r_L+r_S)\·x_{d1}}{L}\\ -\frac{1}{(R+r_C)C}\·x_{d2}\end{array}\right],---\left(12\right)$

$k_2=\left[\begin{array}{c}\frac{V_{\mathrm{in}}(r_L+r_d)\·x_{d1}}{L}-\frac{R}{L}\·\frac{r_c\·x_{d1}-x_{d2}}{R+r_c}\\ \frac{R\·x_{d1}-x_{d2}}{(R+r_C)C}\end{array}\right],---\left(13\right)$

$k_3=\left[\begin{array}{c}0\\ -\frac{x_{d2}}{(R+r_c)C}\end{array}\right],---\left(14\right)$

2）对本发明各子系统对应三个模式的Lyapunov函数分析

本发明实施例的电路参数值如表1所示。

表1、Boost变换器的电路参数表

参数	E/V	xd2/V	R/Ω	C/mF	L/mH	rc/Ω	rd/Ω	rs/Ω	rL/Ω
										数值	7	15	400	2	50	0.33	3	0.023	1.4

将式（9）-式（14）中本实施例的变量具体值代入式（4）及式（5），求解矩阵不等式，得到对应的矩阵P_i∈R^2×2，S_i∈R^2×1，i=1,2,3，根据上述参数表1得到对于每个子系统的Lyapunov函数系数如下：

$P_1=\left[\begin{array}{cc}0.8765& 0.0469\\ 0.0469& -0.0047\end{array}\right],S_1=\left[\begin{array}{c}-0.3361\\ -0.0469\end{array}\right],---\left(15\right)$

$P_2=\left[\begin{array}{cc}0.2234& 0.0197\\ 0.0197& 0.0061\end{array}\right],S_2=\left[\begin{array}{c}0.3356\\ 0.0494\end{array}\right],---\left(16\right)$

$P_3=\left[\begin{array}{cc}-0.1001& -0.0054\\ -0.0054& -0.0004\end{array}\right],S_3={\text{10}}^{-3}\×\left[\begin{array}{c}0.1728\\ 0.0219\end{array}\right],---\left(17\right)$

采用这些系数矩阵，以及系统的状态x=[x₁x₂]^T，能够得到三个子系统的Lyapunov函数v_i(e(t))。

3）本发明设定的切换控制规律选择原则

根据式（15）-式（17）得到相应的v_i(e(t))，按照式（6）确定的系统的切换控制规律，切换控制始终保证切换到Lyapunov函数最大的子系统。

4）本发明方法最终根据输出误差调节电流参考值实施例分析

在理想状态下，电流参考值为x_d1＝I_L0，其中当存在参数不确定或输入电压与负载发生变化时，调节电流参考值按照式（7）进行调节。

对于图1所示的Boost电路，参数如表1给出，采用图2所示的本发明控制方法，得到的实验结果见图3、图4，图3为电感电流波形，图4为输出电压波形。在相同变换器参数的情况下，如果只采用（步骤3）切换控制器而不加（步骤4）PI补偿器，则输出电压曲线如图5所示，可见在系统参数已知的情况下，加PI补偿器的补偿调节电流参考值，响应速度略有提高。

当输入电压E由7V变为5V时，同时表1中其它参数保持不变，不加PI补偿器的切换控制方法和本发明方法（加PI补偿器的切换控制方法）输出的电压波形，分别见图6和图7所示。可见，由于输入发生变化，所以不加PI补偿器的切换控制方法存在稳态误差，而加了PI补偿器的方法没有稳态误差。

当负载由400欧姆突变为1000欧姆时，同时表1中其它参数保持不变，不加PI补偿器的切换控制方法和本发明方法（加PI补偿器的切换控制）的输出电压波形分别如图8和图9所示。可见，负载发生变化使得电流参考值发生变化，所以不加PI补偿器的切换控制方法存在稳态误差，而加了PI补偿器的方法没有稳态误差。

综上所述，本发明提出的加PI补偿器的切换控制电流参考值补偿方法，能够在系统参数发生变化的情况下自动调节电流参考值，实现稳态误差。

Claims (3)

1.一种电力电子变换器电流参考值自动调节切换控制方法，其特征在于，按照以下步骤实施：

步骤1，根据变换器的工作状态建立电力电子变换器的切换系统模型，设模型为二阶，则二阶变换器的切换系统模型如下：

$\stackrel{.}{x}=A_{i}x+b_i,i=\mathrm{1,2},...m,---\left(1\right)$

其中的是系统的状态变量，是常数矩阵，对于二阶系统来说n_x＝2，m是切换系统子系统的个数，X＝[x₁x₂]^T，x₁为电感电流，x₂为输出电压，上标T表示向量转置，

设系统状态变量的期望值x_d为恒值，则得到误差系统函数是：

$\stackrel{.}{e}=A_{i}e+k_i,k_i=b_i+A_i{x}_d,$

(2)

e＝x(t)-x_d(t)

k_i是一个相应维数矩阵，X(t)是系统的状态变量，x_d是状态变量期望值；

步骤2，定义v_i(e(t))为切换子系统i的Lyapunov函数，表示为：

v_i(e(t))＝e(t)^TP_ie(t)+e(t)^TS_i，(3)

其中P_i为对称阵，满足下式：

$\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{P}_i>0,\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{S}_i=0,---\left(4\right)$

$\left[\begin{array}{cc}{P}_i{A}_i+A_i^T{P}_i& M\\ k_i^T{P}_i+S_i^T{A}_i& 2S_i^T{k}_i\end{array}\right]+{\mathrm{\&alpha;}}_i\left[\begin{array}{cc}{P}_i& S_i\\ S_i^T& 0\end{array}\right]<0,---\left(5\right)$

其中α_i＞0为给定常数，M为相应维数的对称矩阵，S_i ^T、A_i ^T、k_i ^T分别是S_i、A_i、k_i的转置，先求解不等式(4)和(5)得到P_i及S_i，进而按照式(3)计算v_i(e(t))；

步骤3，选择切换控制规律，设σ(t)是开关切换信号，σ(t)：[0，∞)→{1，...m}是时间的分段常数函数，σ(t)＝i表示当前系统运行在第i个子系统，针对误差系统式(2)，设定如下切换控制规律：

$\mathrm{\&sigma;}\left(t\right)=\arg \underset{i\&Element;\{1,...m\}}{\max }\left\{v_i\left(e\left(t\right)\right)\right\},---\left(6\right)$

式(6)表示选择Lyapunov函数最大的子系统作为当前子系统，使得系统切换到这个子系统工作；

步骤4，根据输出误差e₂调节电流参考值x_d1，在理想状态下，电流参考值为x_d1＝I_L0，其中为标称参数下电流参考值，x_d2为输出电压参考值，R为负载，E为输入电源电压；

当存在参数不确定或输入电压与负载发生变化时，调节电流参考值为：

x_d1＝(1+β)I_L0＝u_cpI_L0，(7)

其中β＝(k_p·e₂+k_I∫e₂dt)/x_d2，k_p是PI补偿器的比例系数，k_I是PI补偿器的积分系数，e₂＝x₂-x_d2，即成。

2.根据权利要求1所述的电力电子变换器电流参考值自动调节切换控制方法，其特征在于，该方法所控制的一种Boost变换器电路，该电路包括输入电源E，输入电源E与电感L及开关S构成串联电路，开关S两端并联有二极管D和电容C组成的串联支路，电容C单独并联有一个负载R；另外，电感L与电感等效电阻r_L串联，二极管D与二极管等效电阻r_d串联，开关S与开关等效电阻r_s串联，电容C与电容等效电阻r_c串联，

增加PI补偿后的控制连接方式是，将PI补偿器的两个输入端分别与输出电压信号v_C和输出电压参考值x_d2信号连接；PI补偿器输出端的u_cp信号与I_Lo一起进入乘法器，从该乘法器输出的电流参考值x_d1信号与x_d2信号、输出电压信号v_C以及电感电流i_L信号一起进入切换控制器中，切换控制器的输出端信号与开关S连接。

3.根据权利要求2所述的电力电子变换器电流参考值自动调节切换控制方法，其特征在于，所述的步骤3中，具体实施步骤是：

根据电路基本规律得到Boost变换器的动态方程为：

$\stackrel{.}{x}=A_{i}x+b_{i}U,---\left(8\right)$

其中x＝[x₁x₂]^T＝[i_Lv_C]^T，i_L为电感电流值，v_C为输出电压值，A_i、b_i分别为系统矩阵和输入矩阵，子系统个数m＝3，n_x＝2，i＝1、2、3，U＝E，E为输入直流电源电压值，

模式1：开关S闭合，此时系统矩阵和输入矩阵分别为：

$A_1=\left[\begin{array}{cc}-\frac{r_L+r_S}{L}& 0\\ 0& -\frac{1}{(R+r_C)C}\end{array}\right]b_1=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L}\\ 0\end{array}\right],---\left(9\right)$

模式2：开关S断开，同时电感电流i_L大于0，此时系统矩阵和输入矩阵分别为： $A_2=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{L}(r_L+r_d+\frac{R{r}_c}{R+r_c})& -\frac{R}{L(R+r_c)}\\ \frac{R}{(R+r_C)C}& -\frac{1}{(R+r_C)C}\end{array}\right]b_2=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{L}\\ 0\end{array}\right],---\left(10\right)$

模式3：开关S断开，同时电感电流i_L等于0，此时系统矩阵和输入矩阵分别为： $A_3=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -\frac{1}{(R+r_C)C}\end{array}\right]b_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],---\left(11\right)$

当Boost变换器工作在模式1情况下，电源E给电感L充电，电感电流i_L增大，电感储存能量，电容C对负载R放电，释放能量；

当Boost变换器工作在模式2情况下，电感L和输入直流电源E一起为电容C和负载R提供能量，电感电流i_L逐渐减小；

当Boost变换器工作在模式3情况下，电感电流i_L为零，电容C继续对负载R放电，释放能量，电容C电压逐渐减小；

根据式(2)得到状态变量期望值为x_d时，误差系统表达式中k_i分别是：

$k_1=\left[\begin{array}{c}\frac{V_{\mathrm{in}}-(r_L+r_S)\&CenterDot;x_{d1}}{L}\\ -\frac{1}{(R+r_C)C}\&CenterDot;x_{d2}\end{array}\right],---\left(12\right)$

$k_2=\left[\begin{array}{c}\frac{V_{\mathrm{in}}-(r_L+r_d)\&CenterDot;x_{d1}}{L}-\frac{R}{L}\&CenterDot;\frac{r_c\&CenterDot;x_{d1}-x_{d2}}{R+r_c}\\ -\frac{R\&CenterDot;x_{d1}-x_{d2}}{(R+r_C)C}\end{array}\right],---\left(13\right)$

$k_3=\left[\begin{array}{c}0\\ -\frac{x_{d2}}{(R+r_c)C}\end{array}\right],---\left(14\right)$

电路参数值如表1所示，

表1、Boost变换器的电路参数表

将式(9)-式(14)中的对应变量代入式(4)及式(5)，求解矩阵不等式，得到对应的矩阵P_i∈R^2×2，S_i∈R^2×1，i＝1，2，3，

根据上述参数表1得到对于每个子系统的Lyapunov函数系数如下：

$P_1=\left[\begin{array}{cc}0.8465& 0.0469\\ 0.0469& -0.0047\end{array}\right],S_1=\left[\begin{array}{c}-0.3361\\ -0.0468\end{array}\right],---\left(15\right)$

$P_2=\left[\begin{array}{cc}0.2234& 0.0197\\ 0.0197& 0.0061\end{array}\right],S_2=\left[\begin{array}{c}0.3356\\ 0.0494\end{array}\right],---\left(16\right)$

$P_3=\left[\begin{array}{cc}-0.1001& -0.0054\\ -0.0054& -0.0004\end{array}\right],S_3={10}^{-3}\&times;\left[\begin{array}{c}0.1728\\ 0.0219\end{array}\right],---\left(17\right)$

采用这些系数矩阵以及系统的状态x＝[x₁x₂]^T，能够得到三个子系统的Lyapunov函数v_i(e(t))。