CN103942601A - 高维多目标的定向多种群混合进化方法 - Google Patents

Abstract

本发明的目的在于提供高维多目标的定向多种群混合进化方法，利用正弦函数生成覆盖整个搜索空间的固定方向矩阵，并将高维多目标优化转化成每一个固定方向上的单目标优化；借鉴人工蜂群寻优中引领峰和跟随峰的概念设置多种群机制，为每一个方向设立一个跟随种群，并选取每个方向上的最优解构成引领种群，引导所有方向上跟随种群的进化搜索；提出一种混合进化策略，利用提出的方向角差分算子加强固定方向上的收敛能力，同时利用SBX算子加强局部搜索能力；提出一种基于新型模糊支配的精英保留策略来维护外部归档集的规模。本发明能够有效地改善高维多目标优化最优解集的收敛性和分布性，且求解效果不受目标数量的影响。

Description

高维多目标的定向多种群混合进化方法

技术领域

本发明涉及的是一种优化方法，具体地说是针对高维多目标的优化方法。

背景技术

在多目标优化当中，一个子目标的改善有可能会引起另外一个或几个子目标的性能降低，为了达到总目标的最优化，通常需要对相互冲突的子目标进行综合考虑，即对各子目标进行折衷。因此，不同于单目标优化问题，多目标优化不存在绝对的或者说是唯一的最好解，而是存在一组由众多的Pareto最优解构成的最优解集。当目标的个数增加到4个或以上时（称为高维多目标），这些基于Pareto排序方法的性能将大大降低，这是因为随着目标数的增加，种群中个体间相互不支配的概率增加，使得用来表示Pareto前沿的非支配个体的数量呈指数增长，大大削弱了求解方法的选择压力和搜索能力。

为了有效地求解高维多目标优化问题，近年来学者们提出了多种高维多目标优化，归纳起来主要分为以下四类。第一类为权重系数法，该类方法通过设计一组权重系数将高维多目标优化问题转化成单目标优化问题，所引入的权重系数相当于引入了偏好信息，但该信息不够准确和全面，会导致寻优的结果偏离真正的Pareto前沿；第二类为降维法，该类方法在通过某种策略忽略或排除某些目标的情况下，比较各解之间的支配关系，但目标的减少会造成信息的丢失，所以该类方法是在最小允许误差下的优化，并且应用效果将受到Pareto前沿维数增加的影响；第三类为基于宽松支配法，该类方法的思想是在将个体的目标函数值按照一定的比例缩小或放大之后，再与其他个体进行支配比较，实际上是对Pareto支配的宽松改进，此类方法中的参数难以确定，而且改变了个体的真实目标函数值，会导致求解方法无法收敛到真实的Pareto前沿；第四类为分解方法，通过一组权重矢量将高维多目标优化问题转化成多个单目标优化问题同时求解，在解决高维多目标优化问题上取得了较好的效果，但其转化过程没有考虑各目标的取值范围的影响，且进化操作还不够完善导致收敛性不足并易陷入局部最优。

发明内容

本发明的目的在于提供降低了问题的求解难度，增强了全局搜索能力，克服了目标数量的影响的高维多目标的定向多种群混合进化方法。

本发明的目的是这样实现的：

本发明高维多目标的定向多种群混合进化方法，其特征是：

（1）针对优化问题F，包含的目标数为M，需求得的解个数为N，设置一个空的规模为N×M的弧度矩阵Ψ，确定弧度矩阵Ψ内的元素值：矩阵Ψ第一行的元素将弧度区间评分为M份，取元素元素在元素上累加之后的元素重复同样的操作，即得到矩阵Ψ的第一行；矩阵Ψ第二行到第N行的元素都是对上一行对应列的元素累加步长得到，即重复此操作N-1次得到完整的矩阵Ψ，用弧度对弧度矩阵Ψ内的所有元素进行截断，小于等于的元素保持不变，大于的元素重新赋值为设置另外一个空的规模为N×M的方向矩阵V，令矩阵V中的元素

（2）确定所求问题F的变量x的个数D及每一个变量的上下限为方向矩阵V的每一行设立一个空的跟随种群X^k,k=1,2,…,N，所有跟随种群X^k的大小设为以随机方式 $x_{\mathrm{ij}}^k=x_j^L+\mathrm{rand}\·(x_j^U-x_j^L),i=\mathrm{1,2},...,\frac{N}{10},j=\mathrm{1,2},...D$ 的方式初始化所有的跟随种群X^k，设置一个规模为N×D的引领种群Q，计算种群X^k中所有个体的目标函数值F=(f₁(x),f₂(x),…,f_M(x))，确定每一个种群X^k各目标函数的最大值z_maxi和最小值z_mini，并依据公式计算种群X^k中个体的适应度值，从种群X^k中选取适应度g值最小的个体放入引领种群Q的第k行，另外设置一个规模为N×D的外部归档集Set，将引领种群Q中的个体拷贝到外部归档集Set中；

（3）针对每一个方向矢量v_k，选取引领种群中的个体q^k及其相邻的个体q^k+1或q^k-1，以随机方式q^k+rand·(q^k-q^k+1)的方式生成中间量以为引领的优秀个体对X^k中的每一个个体执行差分变异操作产生新的个体，计算新个体的适应度值g并与原个体的适应度值相比较，保留适应度值小的个体，对归档集Set中的个体执行二元锦标赛配对操作，对每一对个体执行SBX算子操作，产生新个体集合P；

（4）将引领种群Q、集合P、归档集Set三者合并成一个新的集合T，并置空归档集Set，首先对合并后的集合T执行交互式模糊支配分层，并截取不小于设定规模的最少层来构成过渡种群；其次，将过度种群中第一层的非支配个体和极值点直接复制到归档集Set；然后，计算过渡种群中个体的拥挤度，选取除第一层外拥挤度的数值大小位于前N的个体填充归档集Set，最终输出归档集Set。

本发明的优势在于：本发明中利用正弦函数生成方向矩阵的方法简单，且生成的方向矩阵覆盖更广，分布更均匀。本发明设计的多种群混合进化机制具有记忆个体最优解和种群内信息共享的特点，即通过种群内个体间的合作与竞争来实现优化问题的求解，具有更强的全局搜索能力，多样性好，可有效防止陷入局部最优，且对目标函数的形式没有特殊要求，使用范围广，鲁棒性强。精英保留策略中的模糊支配，合理地将高维多目标优化问题中个体间M个目标的比较转化成模糊隶属度和能量参数两个值的分别比较，排除了目标数量的影响，使得即使在目标数量很多的时候，也能容易的评价个体的优劣，并在此过程中没有加入任何的偏好信息，没有改变目标函数的数值，更没有对目标进行删减，充分利用了个体目标函数的完整信息，而且可以通过改变阈值来控制支配的松紧度，满足不同情况的需求。

附图说明

图1为本发明的结构框图。

具体实施方式

下面结合附图举例对本发明做更详细地描述：

结合图1，高维多目标定向多种群混合进化方法的特征在于将高维复杂的多目标优化问题转化成多个固定方向上的简单单目标优化问题，利用改进的方向角差分算子增强每个固定方向上的寻优能力，同时利用SBX算子加强各方向间的信息交互，增强局部搜索能力，进而大幅度提升整个方法的全局搜索能力。而在最后的改进精英保留策略能够尽最大可能的权衡解集的收敛性和分布性，其中的模糊支配将个体间多个目标的比较转化成隶属度与能量函数两个数值的比较，使得个体间的支配关系不再受到目标数量的影响，从而使该方法更适合求解目标数较多的复杂优化问题。该方法包括如下步骤：

步骤1：针对优化问题F，包含的目标数设为M，需求得的解个数设为N，设置一个空的规模为N×M的弧度矩阵Ψ，确定弧度矩阵Ψ内的元素值：矩阵Ψ第一行的元素将弧度区间评分为M份，取元素元素在元素上累加之后的元素重复同样的操作，即可得到矩阵Ψ的第一行；矩阵Ψ第二行到第N行的元素都是对上一行对应列的元素累加步长得到，即重复此操作N-1次得到完整的矩阵Ψ。用弧度对弧度矩阵Ψ内的所有元素进行截断，小于等于的元素保持不变，大于的元素重新赋值为设置另外一个空的规模为N×M的方向矩阵V，令矩阵V中的元素

步骤2：首先确定所求问题F的变量x的个数D，及每一个变量的上下限 然后为方向矩阵V的每一行设立一个空的跟随种群X^k,k=1,2,…,N，所有跟随种群X^k的大小设为以随机方式 $x_{\mathrm{ij}}^k=x_j^L+\mathrm{rand}\·(x_j^U-x_j^L),i=\mathrm{1,2},...,\frac{N}{10},j=\mathrm{1,2},...D$ 的方式初始化所有的跟随种群X^k。设置一个规模为N×D的引领种群Q，计算种群X^k中所有个体的目标函数值F=(f₁(x),f₂(x),…,f_M(x))，确定每一个种群X^k各目标函数的最大值z_maxi和最小值z_mini，并依据公式计算种群X^k中个体的适应度值，从种群X^k中选取适应度g值最小的个体放入引领种群Q的第k行。另外设置一个规模为N×D的外部归档集Set，将引领种群Q中的个体拷贝到外部归档集Set中。

步骤3：针对每一个方向矢量v_k，选取引领种群中的个体q^k及其相邻的个体q^k+1或q^k-1，以随机方式q^k+rand·(q^k-q^k+1)的方式生成中间量以为引领的优秀个体对X^k中的每一个个体执行差分变异操作产生新的个体，计算新个体的适应度值g并替换掉适应度不好的原个体。对归档集Set中的个体执行二元锦标赛配对操作，对每一对个体执行SBX算子操作，产生新个体集合P。

步骤4：将引领种群Q、集合P、归档集Set三者合并成一个新的集合T，并置空归档集Set，首先对合并后的集合T执行交互式模糊支配分层，并截取不小于设定规模的最少层来构成过渡种群；其次，将过度种群中第一层的非支配个体和极值点直接复制到归档集Set；最后，计算过渡种群中个体的拥挤度，选取除第一层外拥挤度大的个体填充归档集Set至满足规模要求。

本发明提供了一种高维多目标优化的定性多种群混合进化方法，高维多目标优化Pareto最优解集中的每一个解都可以看作是在各目标上的不同折中，这些不同的折中情况可以看作是不同的进化方向，如果事先设定足够代表整个搜索空间的方向集合，使之能够代表所有Pareto最优解的折中情况，那么可将高维多目标优化分解成多个固定方向上的单目标优化，由这些固定方向上求得的最优解构成的解集将会是高维多目标优化问题的Pareto最优解集。

本发明具体步骤为：

确定优化问题的变量和目标函数，最大化问题通过公式转化成最小化问题，f_max、f_min为该目标函数能取到的最大值和最小值。不失一般性，一个具有D维决策变量、M维目标函数的多目标优化问题，以最小化为例，可表述为公式(1)的形式。

min y=F(x)=(f₁(x),f₂(x),…,f_M(x))

$x=(x_1,x_2,...,x_D)\∈X\⋐R^D$

$y=(y_1,y_2,...,y_M)\∈Y\⋐R^M---\left(1\right)$

式中，x称为决策变量，X是D维的决策空间；y称为目标向量，Y是M维的目标空间；目标函数F定义了映射函数和同时需要优化的M个目标，当M>4时，称式(1)为高维多目标优化问题。对于决策空间内的任意两点x,x^*∈X，当x^*的目标函数都不大于并且至少存在一个小于x的目标函数时，称x^*Pareto支配x，记为若x^*不受种群中其它个体支配，则称x^*为Pareto非支配解，种群中所有非支配解构成的集合称为Pareto最优解，对应的目标函数构成的解集称为Pareto前沿。

最终解集中的每一个个体都代表着一个方向，那么方向向量矩阵的规模应等于种群的规模N，目标数为M时的方向向量矩阵可表示为[v_ij]_N×M，各目标的折中程度即为百分比，可用[0,1]上的数表式，即有0≤v_ij≤1，可利用正弦函数生成，为避免不同目标折中重复，只需正弦函数一个完整周期的1/4即可，即取值区间为并依此周期重复。则第一个方向矢量v₁为区间均分M份对应的正弦值，下一个方向矢量为上一个方向矢量向右平移则整个方向矩阵为基本正弦头1/4周期上间隔为的M个点，以步长向右平移并且超过的点做周期重复所产生的对应值。为求得正弦值，先设定相应的弧度值，设置一个空的规模为N×M的弧度矩阵Ψ，弧度矩阵Ψ的元素生成方式如公式(2)所示。用弧度对弧度矩阵Ψ内的所有元素进行截断，小于等于的元素保持不变，大于的元素重新赋值为设置另外一个空的规模为N×M的方向矩阵V，令矩阵V中的元素v_i,j为弧度矩阵Ψ对应元素的正弦值，则方向矩阵生成方式如公式(3)所示。

获得固定方向矩阵之后，需要对多种群进行初始化获得初始解，首先，为每一个方向v_k设置一个规模为N/10的跟随种群X^k，其中个体采用随机的方式生成，如公式（4）所示。

$x_{\mathrm{ij}}^k=x_j^L+\mathrm{rand}\·(x_j^U-x_j^L)---\left(4\right)$

式中表式第k个方向上的跟随种群的第i个个体的第j维变量，为求解问题的第j维变量的上、下限。

在单一的某个固定方向v_k上，高维多目标优化问题需转化成带有方向向量的单目标优化问题，计算所有跟随种群中个体的目标函数值F=(f₁(x),f₂(x),…,f_M(x))，并依据此公式（5）计算个体适应度值g，选取每个跟随种群中适应度最优的个体构成所有方向的引领种群Q。在进化开始时，外部归档集为空，此时只需将引领种群中的个体拷贝到外部归档集Set即可。

$\begin{array}{cc}\min & g\left(x\right|v,z)=\underset{1\≤i\≤M}{\max }\left\{v_k\right|\frac{f_i\left(x\right)-z_{\min i}}{z_{\max i}-z_{\min i}}\left|\right\}\end{array}---\left(5\right)$

式中zmini、zmaxi分别为种群中的个体在第i个目标上求得的最小值和最大值。

确定各种群个体之后，应使用进化算子不断进化各种群，使它们不断的逼近真实的Pareto前沿。在高维多目标优化中，大多数进化算子寻优效果不理想的原因是种群中不存在一般意义上的唯一最优解，使得最好个体的选择十分困难，当条件严格时会导致寻优过于贪婪而陷入局部最优，当条件宽松时会削弱收敛能力。但是在本发明固定方向寻优中并不存在这种情况，在任意一个单一的方向上都存在唯一的最优解，且无需担心选择的条件过于贪婪，可充分发挥进化算子的寻优能力。为充分利用定向多种群机制，本发明提出混合进化算子，首先针对每一个方向矢量v_k，选取引领种群Q中的个体q^k及其相邻的个体q^k+1或q^k-1作为该跟随种群X^k的搜索引领者和对X^k中的每一个个体执行公式(6)、(7)所示的方向角差分变异操作产生新的个体，计算新个体的适应度值g并替换掉适应度不好的原个体，更新引领种群Q。

$x_d^k=x_{\mathrm{best}1}^k+F_{\mathrm{rand}}\·(x_{\mathrm{best}2}^k-x_{\mathrm{best}1}^k)---\left(6\right)$

$v_i^k=x_i^k+F_2\·(x_d^k-x_i^k)+\mathrm{rand}\left(\right)\·F_1\·(x_{r1}^k-x_{r2}^k)---\left(7\right)$

式中为跟随种群X^k中的个体i，为方向角内随机生成的点，Frand为(0,1)上的随机数，和为跟随种群X^k中随机选择的不同个体。以两个最优个体的综合信息为指引，加强了搜索方向的正确性，而且相比于单独的最优个体增大了搜索空间，有利于增强种群的多样性，可有效防止搜索陷入局部最优。而对用来保存最终解的外部归档集则进行二元锦标赛配对，对配对的个体执行SBX算子操作产生新种群P，加强最优解间的信息交互，增强局部搜索能力，如公式(8)、(9)所示。

$x=\left\{\begin{array}{ccc}0.5[(1+{\mathrm{\β}}_k)x_1+(1-{\mathrm{\β}}_k)x_2]& \mathrm{if}& \mathrm{rand}\left(\right)>0.5\\ 0.5[(1-{\mathrm{\β}}_k)x_1+(1+{\mathrm{\β}}_k)x_2]& & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.---\left(8\right)$

${\mathrm{\β}}_k=\left\{\begin{array}{ccc}2{\mathrm{\μ}}^{1/({\mathrm{\η}}_c+1)}& \mathrm{if}& \mathrm{\μ}\≤0.5\\ 2{(1-\mathrm{\μ})}^{-1/({\mathrm{\η}}_c+1)}& & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.---\left(9\right)$

式中x₁、x₂为归档集中随机配对的个体，μ为[0,1]上的随机数。

将进化得到的新种群Q、P及外部归档集合并到种群T，对种群T执行精英保留策略选择最优的个体保留下来，在此过程中不仅要考虑种群的收敛性，还要考虑其分布性。首先对合并的种群T进行支配分层，对于种群中的任意两点X₁,X₂∈R^D，设Bt(X1,X2)表示X1比X2表现好的目标个数，Eq(X1,X2)表示X1比X2表现相同的目标个数，Ws(X1,X2)表示X1比X2表现差的目标个数，当公式(10)成立时，X1模糊支配X2，记为

式中Pw为能量参数，作为整体衡量该个体目标函数值大小的标准，可有效防止个体间陷入循环支配，z(i)为参考点。P_r∈(0.5,1]为阈值，设当代种群中的非支配个体的数量为Nnow，而所期望的非支配个体数量的范围为[Nmin,Nmax]，阈值Pr的交互式调整策略如公式(11)所示。

$P_r=\left\{\begin{array}{cccccc}{P}_r+l& N_{\mathrm{now}}<N_{\min }& \mathrm{if}& P_r>1& \mathrm{then}& P_r=1\\ P_r-l& N_{\mathrm{now}}>N_{\max }& \mathrm{if}& P_r\&le;0.5& \mathrm{then}& P_r=P_r+l\end{array}\right.---\left(11\right)$

式中l为调整步长，最小的有效值为l=1/M。该模糊支配合理地将高维多目标优化问题中个体间M个目标的比较转化成模糊隶属度和能量参数两个值的分别比较，使得即使在目标数量很多的时候，也能容易的评价个体的优劣，并在此过程中没有加入任何的偏好信息，没有改变目标函数的数值，更没有对目标进行删减，充分利用了个体目标函数的完整信息。而且可以通过P_w值来控制支配的松紧度，满足不同情况的需求。因此，该支配关系将会非常适合求解高维多目标优化问题。对种群T中所有个体进行两两支配关系判别，所有不被其它个体支配的个体构成第一层，去除第一层，剩下的不被其它个体支配的个体构成第二层，以此类推，将种群T中所有个体分层。

对合并种群执行阶段分层之后需进行截断，截取不小于设定规模的最少层来构成过渡种群，按公式(12)计算过渡种群中个体的拥挤度，将过渡种群中第一层的非支配个体直接复制到归档集，选取除第一层外拥挤度大的个体填充归档集Set至满足规模要求N。

$D_i=\frac{\mathrm{kn}}{\underset{k=1}{\overset{\mathrm{kn}}{\mathrm{\&Sigma;}}}[1-{\left(\frac{d_{i,k}}{d_{i,\mathrm{kn}}}\right)}^2]}---\left(12\right)$

本发明的高维多目标定向多种群混合进化方法用了多种策略来提升求解性能，首先，将高维多目标优化分解成多个方向上简单的单目标优化，降低了问题的求解难度，且多个固定方向搜索在一定程度上保证了搜索的全局性；其次，多种群混合进化机制具有很好的收敛能力和全局搜索能力，差分算子具有很好的单目标求解能力，增强了单方向上对真实Pareto前沿面的逼近能力，增强了进化种群的纵向开发能力，方向角的选取有利于增加种群的多样性，有效地防止搜索陷入局部最优，SBX算子父代的交叉遗传增强了不同方向间的信息交互，增强了横向搜索能力，二者相互结合进行横纵向搜索，加强了该方法的全局寻优能力；最后，新的精英保留策略中的模糊支配将个体间M个目标的比较转换成两个值的比较，使个体优劣的评价不再受到目标数量的影响，降低了求解难度，通过减小参数Pr的值可放宽支配的条件，减少非支配个体的数量，提高种群的先进性，这会进一步提升整体的收敛性，并且可以通过控制Pr值的大小来控制归档集中非支配个体的数量，而公式(12)的拥挤度估计因子使种群中的个体会因为具有共同的相邻个体而联系在一起，所以能够在一定程度上反映出该个体在种群中的整体分布，同时，采取在该局部区域内距离不同的个体对其拥挤度的影响不同的放大策略，保证了个体具有较好的邻域分布，能够进一步促进种群分布的均匀性，二者结合使得归档集在具有良好收敛性的同时，获得较好的分布性。

Claims (1)

1.高维多目标的定向多种群混合进化方法，其特征是：

（1）针对优化问题F，包含的目标数为M，需求得的解个数为N，设置一个空的规模为N×M的弧度矩阵Ψ，确定弧度矩阵Ψ内的元素值：矩阵Ψ第一行的元素将弧度区间评分为M份，取元素元素在元素上累加之后的元素重复同样的操作，即得到矩阵Ψ的第一行；矩阵Ψ第二行到第N行的元素都是对上一行对应列的元素累加步长得到，即重复此操作N-1次得到完整的矩阵Ψ，用弧度对弧度矩阵Ψ内的所有元素进行截断，小于等于的元素保持不变，大于的元素重新赋值为设置另外一个空的规模为N×M的方向矩阵V，令矩阵V中的元素

（2）确定所求问题F的变量x的个数D及每一个变量的上下限为方向矩阵V的每一行设立一个空的跟随种群X^k,k=1,2,…,N，所有跟随种群X^k的大小设为以随机方式 $x_{\mathrm{ij}}^k=x_j^L+\mathrm{rand}\&CenterDot;(x_j^U-x_j^L),i=\mathrm{1,2},...,\frac{N}{10},j=\mathrm{1,2},...D$ 的方式初始化所有的跟随种群X^k，设置一个规模为N×D的引领种群Q，计算种群X^k中所有个体的目标函数值F=(f₁(x),f₂(x),…,f_M(x))，确定每一个种群X^k各目标函数的最大值z_maxi和最小值z_mini，并依据公式计算种群X^k中个体的适应度值，从种群X^k中选取适应度g值最小的个体放入引领种群Q的第k行，另外设置一个规模为N×D的外部归档集Set，将引领种群Q中的个体拷贝到外部归档集Set中；

（3）针对每一个方向矢量v_k，选取引领种群中的个体q^k及其相邻的个体q^k+1或q^k-1，以随机方式q^k+rand·(q^k-q^k+1)的方式生成中间量以为引领的优秀个体对X^k中的每一个个体执行差分变异操作产生新的个体，计算新个体的适应度值g并与原个体的适应度值相比较，保留适应度值小的个体，对归档集Set中的个体执行二元锦标赛配对操作，对每一对个体执行SBX算子操作，产生新个体集合P；

（4）将引领种群Q、集合P、归档集Set三者合并成一个新的集合T，并置空归档集Set，首先对合并后的集合T执行交互式模糊支配分层，并截取不小于设定规模的最少层来构成过渡种群；其次，将过度种群中第一层的非支配个体和极值点直接复制到归档集Set；然后，计算过渡种群中个体的拥挤度，选取除第一层外拥挤度的数值大小位于前N的个体填充归档集Set，最终输出归档集Set。