CN103903072A - 一种基于决策者偏好的高维多目标集合进化优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于决策者偏好的高维多目标集合进化优化方法，以决策者给出的每个目标的偏好区域，将原优化问题的目标函数转化为期望函数；以原优化问题的多个解形成的集合为新的决策变量，以超体积和决策者偏好满足度为新的目标函数，将期望函数优化问题转化为2目标优化问题；利用集合内原优化问题的解的超体积贡献度和满足决策者偏好的程度，设计集合个体内部的自适应的交叉策略；此外，利用PSO算法中微粒的更新，以及全局最优解和局部最优解的思想，设计集合个体变异策略，以得到满足决策者偏好且收敛性和分布性均衡的Pareto优化解集。

Description

一种基于决策者偏好的高维多目标集合进化优化方法

技术领域

本专利属于进化优化领域，具体涉及一种基于决策者偏好的高维多目标集合进化优化方法，可用于解决实际优化问题中的高维多目标优化问题。 

背景技术

现实世界中存在需要同时优化多个目标的多目标优化问题，在大多数情况下，这些被同时优化的多个目标之间是相互冲突的。当目标函数的个数多于3个时，称为高维多目标优化问题。这类问题非常普遍，如地下水管设计、背包，以及电路元件布局等。传统的基于Pareto支配关系的进化优化算法已不再简单适用，这是由于随着目标函数的增多，非被占优解的个数指数增加，使得Pareto最优解的选择压力大大降低。此外，需要更多的优化解逼近问题真实的Pareto前沿，大大增加了Pareto支配比较的计算复杂度。 

在已有的多目标进化优化框架下，采用新的占优关系，比较不同个体的优劣，以提高Pareto优化解的选择压力，是一种最常用的求解高维多目标优化问题的方法。到目前为止，已提出的占优关系包括：基于网格占优、级别高于关系和L-dominance关系等。尽管利用这些方法，能够比较不同个体的优劣，但是，由于它们计算了所有目标函数的值，因此，在提高Pareto优化解选择压力的同时，需要很大的计算量。另外，目标降维是另一种求解高维多目标优化问题的有效方法。通过减少需要优化的目标函数，并采用传统的Pareto占优关系，比较不同个体的性能，常用的目标降维方法有：目标函数加权、部分目标函数优化，以及冗余目标删除等。这些方法要么是删除冗余目标，要么是目标加权，要么是优化部分目标函数，但都用到了原来的目标函数，需要计算全部的目标函数且考虑他们的性能。所以，当目标函数很多时，降维后的计算量也可能很大。 

对于一些多目标优化问题，寻找其完整的Pareto前沿，通常是比较困难的，也是没必要的；相比之下，寻找其部分Pareto前沿，是比较容易的，也是非常需要的。如果利用决策者的偏好信息，引导种群向决策者感兴趣的区域进化，那么，将有助于寻找问题的部分Pareto前沿。考虑决策与进化进程的关系，偏好的嵌入方式一共有3种，先验法、交互式法，以及后验法。 

传统的多目标进化优化中，决策变量是一个个体，当由多个个体组成一个集合，该集合作为优化问题的新的决策变量，此时，进化优化方法求得的Pareto优化解集不再是多个优化 解组成的，而是一个进化个体，即集合个体，称为基于集合的进化优化方法。近年来，基于优化问题的目标函数，形成新的性能指标，将在原高维多目标空间中的解的支配比较转化为传统低维空间中的集合支配比较，将有利于大大提高选择压，避免了传统多目标优化算法用于高维多目标优化问题的不足。但是，由于这些方法没有考虑决策者的偏好，使得寻找的仍然是整个Pareto前沿。如前所述，寻找该前沿通常比较困难，也是没有必要的。另外，如何设计合适的集合进化策略，至关重要，目前相关研究成果还很少。 

发明内容

本发明的目的是针对上述问题，提出一种基于决策者偏好的高维多目标集合进化优化方法，以得到满足决策者偏好且收敛性和分布性均衡的Pareto优化解集。 

本发明所要解决的技术问题：克服现有方法的不足，提供一种融入决策者偏好的集合进化优化方法，用于解决高维多目标优化问题。 

本发明的技术方案：提出了一种基于决策者偏好的高维多目标集合进化优化方法，其特征在于步骤如下： 

步骤1：采用先验法嵌入决策者偏好，由决策者给出对每一目标的偏好区域。由于偏好区域是很难确定的(尽管往往假设是知道的)，因此，采用多种形式表示决策者偏好。 

步骤2：基于决策者给出的每个目标的偏好区域，将原优化问题的目标函数转化为期望函数，数学描述如下： 

d_i(f_i(x))=exp(-exp(a_i+b_i×f_i(x))),i=1,2,...,m       (1) 

式中，f_i(x),i＝1,2,…,m为原优化问题的第i个目标函数；d_i(f_i(x))为第i个目标函数的期望函数。 

步骤3：以原优化问题的多个解形成的集合为新的决策变量，以超体积和决策者偏好满足度为新的目标函数，将期望函数优化问题转化为2目标优化问题。 

步骤4：设计基于集合的进化遗传算法对步骤(3)所确定的两个目标函数进行全局优化，以得到满足决策者偏好且收敛性和分布性均衡的Pareto最优解集，具体方法如下： 

(4.1)初始化控制参数，初始化集合个体，集合个体组成初始化种群P(0)，令进化代数t＝0。 

(4.2)采用步骤(2)中方法将原优化问题转化为期望函数优化问题，接着采用步骤(3)中方法将期望函数优化问题进一步转化为2目标优化问题。 

(4.3)采用集合个体之间的单点交叉和集合个体内部的自适应交叉策略，以及集合个体PSO变异策略，生成相同规模的临时种群。 

(4.4)实施(u+u)替代策略，生成下一代种群P(t+1)。 

(4.5)判定种群进化终止条件是否满足？若是，停止进化，输出优化结果；否则，令t＝t+1，转步骤4.3。 

上述技术方案具有如下有益效果： 

(1)模型的建立。针对解决高维多目标优化问题存在的困难，采用先验法嵌入决策者偏好，以偏好区域表示决策者偏好，并由此确定期望函数；以集合个体为新的决策变量，采用超体积和决策者期望满足度为新的目标函数，将原优化问题转化为2目标优化问题。该模型属于传统的多目标优化问题，并且嵌入决策者偏好能够缩小搜索空间，降低计算复杂度。 

(2)设计基于集合的进化策略。利用集合内的原优化问题的超体积贡献度和满足决策者偏好的程度，计算待交叉父代的交叉概率和交叉因子，自适应的控制交叉概率和幅度，以增强种群的搜索能力，防止优良基因的破坏，从而提高种群的收敛速率；设计PSO变异策略，利用种群中超体积贡献度最大和偏好特性最优的解，以及集合个体内部的超体积贡献度最大的解，控制变异步长，能够生成优秀子代个体，加速寻优速率，也能实现部分集合个体之间的信息交互。 

(3)适用性强。现有文献中提到的方法多是针对目标维数不超过3个，即多目标优化问题的。本发明从实际出发，针对更为复杂的高维多目标优化问题提出了基于决策者偏好的高维多目标集合进化优化方法。对于现实生活中的高维多目标优化问题，如果没有决策者偏好的参与，也可以只采用超体积，或者其他性能指标，对原优化问题进行转化，之后采用集合优化方法能够有效解决该问题。 

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍。 

图1是本发明的流程图； 

图2是第i个目标函数的单边期望函数； 

图3是集合个体之间的单点交叉操作； 

图4是集合个体变异操作； 

图5是算法参数； 

图6是模型的性能测试； 

图7是新的交叉和变异策略的性能测试。 

具体实施方式

本发明应用于高维多目标优化问题，提出基于决策者偏好的高维多目标集合进化优化方法。该方法融入决策者偏好，以缩小搜索空间，降低计算复杂度；以集合个体为新的决策变量，采用超体积和决策者期望满足度为新的目标函数，将原优化问题转化为2目标优化问题；设计基于集合个体的进化策略，采用多目标集合进化优化方法求解，得到满足决策者偏好且收敛性和分布性均衡的Pareto优化解集。 

该部分结合具体附图，对本发明的实施方式做详细说明。所提出方法的流程图如图1所示，具体实施步骤亦根据该图拟定，下面对本发明的技术方案做进一步详细描述。 

步骤1：采用先验法嵌入决策者偏好，由决策者给出对每一目标的偏好区域。 

不失一般性，本发明考虑最小化问题。记第i个目标函数所在的区域为

其中， 

和

分别为该目标函数的最小和最大值；此外，记决策者对第i个目标的偏好区域为[α_i,β_i]，其中，α_i和β_i分别为决策者对该目标偏好区域的下限和上限，且有 

当决策者对第i个目标函数的偏好是一个参考点时，有α_i＝β_i；如果决策者对该目标函数没有明确的偏好区域或偏好于整个目标值范围，即

因此，决策者的偏好区域有多种表示形式。 

步骤2：基于决策者给出的每个目标的偏好区域，将原优化问题的目标函数转化为期望函数。 

采用单边期望函数，对目标函数归一化。对于第i个目标函数，单边期望函数的数学表示为： 

d_i(f_i(x))=exp(-exp(a_i+b_i×f_i(x))),i=1,2,...,m       (1) 

图2是式(1)的单边期望函数曲线。由式(1)可知，为了确定具体的期望函数，需要先给出a_i和b_i的值。为此，记

和

分别为期望函数的最小和最大值，在实际应用中，通常取

和

。此外，偏好区域的上限β_i和下限α_i分别映射到期望函数的两个边界值0.01和0.99，由此，可以得到2组数据，分别为(α_i,0.99)和(β_i,0.01)。将这2组数据代入式(1)，即可得到关于a_i和b_i的方程，即式(2)。利用数学方法，容易得到a_i和b_i的值即可得到第i个目标函数的期望函数d_i(f_i(x))。采用完全相同的方法，能够得到任一目标函数的期望函数。 

$\begin{array}{c}0.99=\exp (-\exp (-(a_i+b_i\×{\mathrm{\α}}_i)))\\ 0.01=\exp (-\exp (-(a_i+b_i\×{\mathrm{\β}}_i)))\end{array}---\left(2\right)$

当偏好区域退化为一个偏好(参考)点时，为了便于确定期望函数，首先，将该偏好(参考)点扩展为偏好区域[α_i-Δ_i,α_i+Δ_i]，其中，Δ_i为一个参数，且Δ_i＜＜α_i；再按照上面的方法，确定期望函数。 

基于决策者偏好区域和式(3)的期望函数，优化问题(1)能够转化为如下优化问题： 

$\begin{array}{c}\min -d\left(f\left(x\right)\right)=-(d_1\left(f_1\left(x\right)\right),d_2\left(f_2\left(x\right)\right),...,d_m\left(f_m\left(x\right)\right))\\ s.t.x\∈S\end{array}---\left(3\right)$

由式(3)可知，(1)期望函数与原优化问题的目标函数是有关联的，关联的纽带是决策者的偏好区域；(2)期望函数与原优化问题的目标函数个数相同，这使得高维多目标优化问题求解存在的局限性，并没有因为问题的目标函数向期望函数转化而消除。 

步骤3：以原优化问题的多个解形成的集合为新的决策变量，以超体积和决策者偏好满足度为新的目标函数，将优化问题转化为2目标优化问题。 

记由原优化问题的若干解形成的集合为X，若以X作为转化后优化问题的决策变量，以超体积和决策者期望满足度为新的优化目标，将期望函数优化问题转化为如下优化问题： 

式中：

为S的幂集；λ(·)为勒贝格测度；x_ref为参考点，对应的目标函数值为(1,1,…,1)。 

由式(4)可知，(1)F₁(X)用于计算原优化问题Pareto优化解集的超体积，该值越大，X包含的优化解的逼近和分布性能越好，对应的目标函数值越逼近原优化问题的真实Pareto前沿；(2)F₂(X)用于计算原优化问题Pareto优化解集满足决策者偏好的程度，该值越大，X包含的优化解越符合决策者偏好。 

步骤4：设计基于集合的进化遗传算法对步骤(3)所确定的2个目标函数进行全局优化，以得到满足决策者偏好且收敛性和分布性均衡的Pareto最优解集，具体方法如下： 

(4.1)初始化控制参数，初始化集合个体，集合个体组成初始化种群P(0)，令进化代数t＝0。 

(4.2)采用步骤(2)中方法将原优化问题转化为期望函数优化问题，并采用步骤(3)中方法进一步将期望函数优化问题转化为2目标优化问题。 

(4.3)采用集合个体之间的单点交叉和集合个体内部的自适应交叉策略，以及集合个体PSO变异策略，生成相同规模的临时种群。 

①集合个体之间的交叉。假设每个集合个体的规模N=6，图3所示为进化集合个体X₁和X₂之间的单点交叉。 

②集合个体内部的交叉。计算待交叉集合个体内候选解的超体积贡献度F_h，为了加速收敛，并防止局部优化和解的分布性的破坏，采用具有自适应性的交叉操作，根据集合内部候选解解的超体积贡献度，按照下式先对其归一化： 

其中，F_h·max和F_h·min为集合个体内候选解中超体积贡献度最大和最小值。 

假设待交叉的集合个体内的两个候选解x_i和x_j，其所在集合的超体积贡献度为

和

记

用来衡量x_i和x_j的整体超体积贡献度值。根据F_ave响应的归一化的Ψ_ave来决定实际交叉概率p_c，取p_c＝1-Ψ_ave。这样，对于来自整体超体积贡献度较大的一对父代解，其实行交叉的概率较小；反之，实行交叉的概率就大。 

设置参数

参数

，将x_i和x_j进行算术交叉，表达式为： 

$\left\{\begin{array}{c}{x}_i^{t+1}={\mathrm{\ρ}}_1\×z_i^t+(1-{\mathrm{\ρ}}_1)\×x_j^t\\ x_j^{t+1}={\mathrm{\ρ}}_2\×x_i^t+(1-{\mathrm{\ρ}}_2)\×x_j^t\end{array}\right.---\left(6\right)$

式中，通过一对解的超体积贡献度和偏好指标值来控制交叉幅度，使子代个体超着性能更佳的父代方向进化。因此，通过自适应的控制交叉概率和交叉幅度，能够减少集合个体内部解的分布性的破坏，并能够加速收敛。 

③图4展示了集合个体变异操作。首先，计算出种群中超体积贡献度和偏好指标值最大的两个解(也可能是同一个解)，作为全局最优解，记为P₁和P₂；然后，计算出待变异集合个体内的超体积贡献度最大的一个解，作为局部最优解，记为Z；最后，为了最终得到的Pareto优化解集能够有效的均衡收敛性，分布性，以及偏好特性，以一定的概率p_m(可以由用户定义)交替使用P₁和P₂来代替公式中的P_g。假设待变异的集合个体为X，以一定的概率选出待变异的候选解，记为x_j。基于以上分析，给出如下变异策略： 

$\begin{array}{c}{I}_j^d=c_2{r}_3\×(Z^d-x_j^d)+c_1{r}_1\×(P_g^d-x_j^d)\\ x_j^{\text{'}d}=x_j^d+I_j^d\end{array}---\left(7\right)$

式中：d＝1,2,…n；为变异步长；

和

分别为x_j变异前后的第d个分量；c_i为变异因子；r_i∈[0,1]为随机数。若变量变异后的范围超出其定义范围，就取边界值作为该变量变异后的值。式(7)充分利用了种群中的最优解和集合个体内的最优解，实现了部分集合个体的信息交互，还可以引导变异体产生优秀后代个体，收敛性和分布性均衡，且最大程度满足决策者偏好。 

(4.4)实施(u+u)替代策略，生成下一代种群P(t+1)。 

采用(μ+μ)替代策略，将父代种群和经过基于集合的遗传操作产生的临时种群合并，利 用集合个体比较方法和集合个体与决策者偏好区域的距离，得到合并后种群集合个体的全序关系，从中选取μ个优势集合个体，构成下一代种群。 

①集合个体比较 

定义1对于问题(9)的2个候选集合个体

，且X₁≠X₂，如果对于

有F_k(X₁)≥F_k(X₂)，且

，使得F_k'(X₁)＞F_k'(X₂)，那么，称X₁集合占优X₂，记为 

如果

，使得F_k'(X₁)≥F_k'(X₂)，且

，使得F_k"(X₁)≤F_k"(X₂)，那么，称X₁和X₂互不集合占优，记为X₁||_sparX₂。 

利用定义1，可将进化种群的集合个体进行非被占优排序，从而得到相应的Pareto序值.容易知道，在进化种群中,有可能存在多个集合个体具有相同Pareto序值的情况，因此，仅通过集合Pareto占优关系，难以实现集合个体的全排序。为了使这些个体具有全序关系，并得到决策者偏好区域内或接近偏好区域的集合个体，为此，这里计算集合个体与决策者偏好区域的距离，进一步区分具有相同序值的集合个体。 

考虑集合个体X,不失一般性,假设X包含原优化问题的l个解,记为X＝(x₁,x₂,…,x_l),d_i和d分别为集合个体内的解x_i和集合个体X与决策者偏好区域的距离,定义如下： 

定义2集合个体与决策者偏好区域的距离 

记a_ij为反映集合个体内的解x_i是否在第j个目标偏好区域内的标志变量,其表达式为： 

当第j个目标的偏好区域为一个点时，对点进行扩展处理，扩展为偏好区域[α_i-Δ_i,α_i+Δ_i]，其中，Δ_i为一个参数，且Δ_i＜＜α_i，那么： 

$d_i=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{a_{\mathrm{ij}}\min \left(\right|f_j\left(x_i\right)-{\mathrm{\α}}_j|,|f_i\left(x_i\right)-{\mathrm{\β}}_j\left|\right)}{f_j^{\max }-f_j^{\min }}\right)}^2}---\left(9\right)$

这样一来,集合个体X与偏好区域的距离为： 

$d=\underset{i=1}{\overset{I}{\mathrm{\Σ}}}{d}_i---\left(10\right)$

由式(10)可知，如果d＝0，那么，该集合个体在决策者的偏好区域内；且d值越小，该集合 个体越接近决策者的偏好区域。因此，通过距离d，能够对具有相同序值的集合个体进一步比较。 

根据上述2个定义，对于任一集合个体,能够得到该集合个体的序值。比较集合个体的性能时，首先，利用定义1比较集合个体的Pareto序值，序值较小的集合个体较优；然后，对于相同序值的集合个体，利用定义2比较它们的距离，距离较小的集合个体较优。 

(4.5)判定种群进化终止条件是否满足？若是，停止进化，输出优化结果；否则，令t＝t+1，转步骤4.3。 

步骤5：实例分析 

本发明方法和方法1，2，3，以及4的种群规模，以及进化个体包含原优化问题的个数均取10；对于方法5，种群规模取100；最大进化代数T_max可以由决策者任意确定，这里为了说明问题并考虑到运行时间，设置T_max=100；采用常用参数值，所有方法的交叉和变异概率分别为0.9和0.1，交叉和变异操作的分布系数均为20；所有方法均采用Deb等提出的MonteCarlo法近似计算超体积，采样次数取10,000。所有方法均在Pentium(R)Dual-Core电脑上用Matlab7.9.0编程实现，通过求解5个基准数值函数优化问题，验证所提方法的性能。每种方法均独立运行20次，记录实验结果，并求取这些实验结果的平均值。 

H和D分别表示超体积和偏好指标；GD表示世代距离指标；图6-(b)中，f₁(x)的的偏好区域为[0.6,0.9]，f₂(x)的的偏好区域为[0.2,0.5]；图6-(c)中，竖坐标是非被占优解所占的比例；图7中，p表示本发明方法得到的Pareto优化解，p1、p2和p3分别表示方法1、方法2和方法3得到的Pareto优化解；若CS(p,p1)=1，表示集合p中的所有解都支配或等于集合p1中的所有解，反之，CS(p,p1)=0；黑体表示某方法优于其他方法的结果。 

从图6可以看出，本发明方法可以得到满足或部分满足决策者偏好的Pareto优化解集；通过优化转化后的2目标优化问题，能够大大增加Pareto优化解的选择压力。从图7可以看出，与传统的模拟二进制交叉和多项式变异策略相比，本发明具有方向性和目的性的自适应交叉和PSO变异策略，更有利于提高优化解的逼近性能和偏好特性，能够搜索到更加逼近Pareto前沿的优化解，能够提高寻优效率，即更快的收敛到偏好区域的优化解，且使解的性能有很大提高。 

本发明设计面向高维多目标优化问题的集合进化优化方法，有效解决了Pareto优化解选择压力降低的问题，并能够得到满足决策者偏好且收敛性和分布性均衡的Pareto优化解集。 

Claims (1)

1.一种基于决策者偏好的高维多目标集合进化优化方法，其特征在于，该方法包括： 

(1)采用基于集合的进化策略，设计集合个体内部的自适应交叉策略：依据集合个体内部待交叉父代的超体积贡献度和满足决策者偏好的特性，控制交叉概率和交叉幅度，以加强种群的搜索能力和加快寻优速率，使优良基因尽量多的被保留下来，子代个体超着更优的父代方向进化； 

计算待交叉集合个体内候选解的超体积贡献度F_h，为了加速收敛，并防止局部优化和解的分布性的破坏，采用具有自适应性的交叉操作，根据集合内部候选解解的超体积贡献度，按照下式先对其归一化： 

式中，F_h·max和F_h·min为集合个体内候选解中超体积贡献度最大和最小值； 

假设待交叉的集合个体内的两个候选解x_i和x_j，其所在集合的超体积贡献度为

和

记

用来衡量x_i和x_j的整体超体积贡献度值，根据F_ave响应的归一化的Ψ_ave来决定实际交叉概率p_c，取p_c＝1-Ψ_ave；这样，对于来自整体超体积贡献度较大的一对父代解，其实行交叉的概率较小；反之，实行交叉的概率就大； 

设置参数

参数

将x_i和x_j进行算术交叉，表达式为： 

式中，通过一对解的超体积贡献度和偏好指标值来控制交叉幅度，使子代个体超着性能更佳的父代方向进化； 

(2)采用基于集合的进化策略，设计集合个体的PSO变异策略：利用种群中超体积贡献度最大和偏好特性最优的解，以及集合个体内部的超体积贡献度最大的解，控制变异步长，能够生成优秀子代个体，加快寻优速率，也能实现部分集合个体之间的信息交互； 

首先，计算出种群中超体积贡献度和偏好值最大的两个解(也可能是同一个解)，作为全局最优解，记为P₁和P₂；然后，计算出待变异集合个体内的超体积贡献度最大的一个解，作为局部最优解，记为Z；最后，为了最终得到的Pareto优化解集能够有效的均衡收敛性，分 布性，以及偏好特性，以一定的概率p_m(可以由用户定义)交替使用P₁和P₂来代替公式中的P_g；假设待变异的集合个体为X，以一定的概率选出待变异的候选解，记为x_j；基于以上分析，给出如下变异策略： 

式中：d＝1,2,…n；

为变异步长；

和

分别为x_j变异前后的第d个分量；c_i为变异因子；r_i∈[0,1]为随机数；若变量变异后的范围超出其定义范围，就取边界值作为该变量变异后的值。 

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