CN103901351B - 一种基于滑动窗滤波的单体锂离子电池soc估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于滑动窗滤波的单体锂离子电池SOC估计方法。新算法中的电池模型由2个RC并联电路、1个串联电阻和1个非线性电压源组成，电池内部动态工作状态由电池端电压、RC并联电路和电池SOC进行模拟。本发明基于电化学‑电路等效的锂离子电池组合模型，该模型较好的描述了电池OCV和SOC的非线性函数关系，并利用SMO算法解决模型的非线性问题。同时，本发明创新性的提出将SMO算法与Kalman滤波算法相结合，解决锂离子电池模型不确定性问题，保证电池模型的精确性和电池控制系统的可靠性。最后，本发明提出电池模型参数在线辨识方法，为锂离子电池SOC在线精确估计提供必要的参数值。

Description

一种基于滑动窗滤波的单体锂离子电池SOC估计方法

技术领域

本发明涉及一种单体锂离子电池SOC估计方法，更具体说，它涉及一种基于滑动窗滤波的单体锂离子电池SOC估计方法。

背景技术

目前国内外致力于研究锂离子电池作为辅助动力源，争取在航天、军工、可再生能源系统储能等大型应用环境取得更大突破。为了保持电池工作在最佳状态并且延长电池使用寿命，必需较为精确的计算出锂离子电池的剩余容量或荷电状态(State of Charge，SOC)。近年来众多研究人员致力改善电池SOC估计精度，安时计量法(ampere hour，简称AH)是最常用的SOC估计方法，其原理是将电池在不同电流下的放电电量等价为某个特定电流下的放电电量，其主要思想是Peukert方程，定义为：

$SOC\left(t\right)=SOC\left(t_0\right)-\underset{t_0}{\overset{t}{\∫}}\frac{\mathrm{\η}I}{3600C_n}d\mathrm{\τ}---\left(1\right)$

式中，SOC(t₀)为初始值，C_n为电池额定容量(以Ah为单位)，I为瞬时工作电流(放电为正，充电为负)，η为充放电效率系数。该方法容易实现，但会导致电池SOC累计误差，估计结果精度较低，而且该方法不能确定电池的初始值。M.Coleman等人提出利用电池电动势(EMF)来估计SOC，电动势主要取决于电池内阻、负载电流和电池端电压。

卡尔曼滤波法(Kalman Filtering,KF)建立在AH积分法基础之上，该方法的主要思想是对动力系统的状态做出最小方差意义上的最优估计。KF方法广泛应用于电池开路电压(OCV)或其它与电池SOC直接相关的参数估计中。神经网络法和模糊算法具有非线性的基本特性，Sing等人利用模糊逻辑模型估计镍氢电池的SOC和可用容量，但是该方法需要已知电化学内阻的阻抗谱。滑动窗滤波算法(sliding-mode observers,SMOs)主要解决数学模型中存在的模型误差和模型不确定性问题，该算法具有较好的可靠性和鲁棒性。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术中的不足，提供一种测量精度高，可靠性好的基于滑动窗滤波的单体锂离子电池SOC估计方法。

这种基于滑动窗滤波的单体锂离子电池SOC估计方法，包括以下几个步骤：

步骤1，电池等效电路端电压V_B在线辨识；

步骤1-1，利用电池参数测试仪在线测量电池工作电流I_B，单体锂离子电池最大电压v_max,i、最小电压v_min,i和最大电流i_max,i、最小电流i_min,i，电池极化内阻与等效电容R_f和C_f，电池浓差内阻与等效电容R_s和C_s，电池电动势内阻R_sd，电池满充状态下的电容值C_b；利用式(1)计算电池等效模型欧姆内阻R₀：

$R_{0,i}=\frac{v_{max,i}-v_{min,i}}{i_{max,i}-i_{\min ,i}}---\left(1\right)$

步骤1-2，建立电池端电压V_B与电池模型参数之间的拉普拉斯方程关系式；利用Spagnol提出的模型在线辨识方法和电池模型参数时间域关系式(4)和(7)，建立如下计算方程：

V_B＝V_OC(SOC)-R₀I_B-G_m(s)I_B

$\stackrel{\·}{V_{SOC}}=-\frac{1}{R_{sd}{C}_b}{V}_{SOC}+\frac{1}{C_b}{I}_B---\left(4\right)$

$\stackrel{\·}{V_B}=\frac{\∂V_{oc}\left(SOC\right)}{\∂V_{SOC}}\stackrel{\·}{V_{SOC}}-\stackrel{\·}{V_f}-\stackrel{\·}{V_S}---\left(7\right)$

其中，V_SOC为电池开路电压，V_f为极化内阻上的动态电压，V_s为浓差内阻上的动态电压，

s为拉普拉斯变换因子，V_OC(SOC)为电池SOC与开路电压的函数关系，非线性函数G_m(s)的表达式为：

$G_m\left(s\right)=\frac{R_s}{1+{\mathrm{sR}}_s{C}_s}+\frac{R_f}{1+{\mathrm{sR}}_f{C}_f}$

步骤1-3，定义电池模型的状态变量为ξ＝[V_SOC V_f V_S V_B]，同时定义电池电流I_B和端电压V_B为滤波系统的输入输出变量，V_SOC为电池开路电压；建立基于SMO算法的滤波系统的状态方程和输出方程：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}=A\mathrm{\ξ}+{\mathrm{BI}}_B+D\mathrm{\Φ}$

V_B＝Cξ (10)

其中，系数矩阵如下：

$A=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{1}{R_{sd}{C}_b}& 0& 0& 0\\ 0& -\frac{1}{R_f{C}_f}& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{\mathrm{\α}}{R_s{C}_s}& 0\\ -\frac{\mathrm{\α}}{R_{sd}{C}_b}+\frac{\mathrm{\α}}{R_s{C}_s}& \frac{1}{R_f{C}_f}-\frac{1}{R_s{C}_s}& 0& -\frac{\mathrm{\α}}{R_s{C}_s}\end{array}\right]$

B＝[b₁ b₂ b₃ b₄]^T C＝D^T＝[0 0 0 1]^T

$b_1=-\frac{1}{C_b},b_2=-\frac{1}{C_f},b_3=-\frac{1}{C_s}$

$b_4=-\frac{R_0}{R_s{C}_s}-\frac{\mathrm{\α}}{C_b}-\frac{1}{C_f}-\frac{1}{C_s}$

其中，α为状态方程线性比例系数，Φ表示为Φ(V_SOC,I_B)，为V_OC(SOC)函数关系式中的非线性部分表达式；电池工作电流I_B的约束条件定义为θ(I_B)，计算得到Φ表达式：

|Φ(V_SOC,I_B)|≤θ(I_B)

步骤1-4，利用状态向量ξ的可观测量ξ₀和不可观测量ξ_u，以及已知的Φ(V_SOC,I_B)表达式计算端电压V_B：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_0& 0\\ 0& A_u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ξ}}_0\\ {\mathrm{\ξ}}_u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{B}_0\\ B_u\end{array}\right]I_B+\stackrel{\‾}{D}\mathrm{\Φ}(V_{SOC},I_B)$

$V_B=\stackrel{\‾}{C}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ξ}}_0\\ {\mathrm{\ξ}}_u\end{array}\right]$

式中，

B₀＝[b₁ b₂ b₄]^T,

$\stackrel{\‾}{D}={\left[\begin{array}{cc}{D}_0^T& 0\end{array}\right]}^T,\stackrel{\‾}{C}=\[\begin{array}{cc}{C}_0& 0\end{array}\]$

$C_0=D_0^T=\[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\]---\left(15\right)$

步骤2，锂离子单体电池SOC值的估计；

步骤2-1，基于SMO的电池开路电压V_SOC计算；利用式(16)的动态SMO滤波器方程计算端电压V_B的动态值和电池开路电压V_SOC的非线性部分值；

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_0& 0\\ 0& A_u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\ξ}}}_0\\ {\widehat{\mathrm{\ξ}}}_u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{B}_0\\ B_u\end{array}\right]I_B\left[\begin{array}{c}{M}_0\\ 0\end{array}\right]e_{V_B}+\mathrm{\μ}\stackrel{\‾}{D}\mathrm{\ρ}\left(e_{V_B}\right)$

$\widehat{V_B}=\stackrel{\‾}{C}\left[\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\ξ}}}_0\\ {\widehat{\mathrm{\ξ}}}_u\end{array}\right]---\left(16\right)$

式中，非可观测子系统矩阵A_u为稳态矩阵，μ为动态观测方程线性系数，滤波器增益表达式为M＝[M_u 0]^T，M₀可由滤波器采样点计算，Q₀为已知单体电池额定容量，对称矩阵值P₀＞0且满足下式：

P₀(A₀-M₀C₀)+(A₀-M₀C₀)^TP₀＝-Q₀ (17)

步骤2-2，计算误差参数引入传统的Lyapunov转化方程V(e)＝e^τPe，矩阵P取值为对称矩阵diag(P₀,1)，并假设F＞0,结合误差参数计算方程式(20)，得到

$\frac{e_{V_B}^2}{\left|e_{V_B}\right|+\mathrm{\γ}\left(t\right)}=\left|e_{V_B}\right|-\mathrm{\γ}\left(t\right)+\frac{{\mathrm{\γ}}^2}{\left|e_{V_B}\right|+\mathrm{\γ}}=\left|e_{V_B}\right|-\mathrm{\δ}\left(t\right)---\left(20\right)$

式中，参数γ(t)为连续时间参数，对于每个时间采样点t均是正数，γ为任意采样点值，且δ(t)的定义式为：

$\mathrm{\δ}\left(t\right)=\mathrm{\γ}\left(t\right)-\frac{{\mathrm{\γ}}^2}{\left|e_{V_B}\right|+\mathrm{\γ}}>0---\left(21\right)$

步骤2-3，根据步骤2-1和步骤2-2，当满足不等式(22)表明电池SOC估计值收敛于真实值，可以计算出V_SOC的非线性部分值；

$\stackrel{\·}{V\left(e\right)}\≤-{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(Q_0\right)\left|\right|e_0|{|}^2-\frac{2}{R_s{C}_s}|e_u{|}^2+2F\mathrm{\μ}\mathrm{\δ}\left(t\right)+2F(e_{V_B}\mathrm{\Φ}-\mathrm{\μ}|e_{V_B}\left|\right)---\left(22\right)$

式中，e₀为误差初始值，λ_min(Q₀)为电池额定容量误差最小值，常数c为正整数，参数δ(t)渐近趋向于0，若μ取值为μ＞θ(I_B)＞|Φ(V_SOC,I_B)|，则动态误差绝对值

步骤3，单体电池SOC值计算；

根据放电实验法，得到电池SOC与开路电压V_OC(SOC)的关系函数为：

V_OC(SOC)＝36.1425-198.472SOC+263.2273SOC² (23)

利用步骤2估计得到的V_OC(SOC)值，结合公式(23)，计算得到实时SOC值。

本发明的有益效果是：本发明提出基于SMO算法的锂离子电池SOC估计方法，新算法中的电池模型由2个RC并联电路、1个串联电阻和1个非线性电压源组成，电池内部动态工作状态由电池端电压、RC并联电路和电池SOC进行模拟。本发明基于电化学-电路等效的锂离子电池组合模型，该模型较好的描述了电池OCV和SOC的非线性函数关系，并利用SMO算法解决模型的非线性问题。同时，本发明创新性的提出将SMO算法与Kalman滤波算法相结合，解决锂离子电池模型不确定性问题，保证电池模型的精确性和电池控制系统的可靠性。最后，本发明提出电池模型参数在线辨识方法，为锂离子电池SOC在线精确估计提供必要的参数值。本发明的创新点如下：

1)提出电池模型参数非线性度和非确定度的直接估计方法，以此建立基于电化学-电路等效的锂离子电池组合模型；

2)提出基于SMO算法与Kalman滤波算法的电池等效模型参数在线辨识方法；

3)提出基于SMO算法和电池参数值的在线SOC估计方法，该方法解决电池模型参数的非线性和非观测性问题，以获得较精确的电池实时SOC估计值。

附图说明

图1为锂离子电池联合等效模型；

图2为电池单体充电电压/电流/容量关系曲线；

图3为放电实验中估算电压和测量电压比较图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步描述。虽然本发明将结合较佳实施例进行描述，但应知道，并不表示本发明限制在所述实施例中。相反，本发明将涵盖可包含在有附后权利要求书限定的本发明的范围内的替换物、改进型和等同物。

5.1锂离子电池组合模型定义与分析

步骤1，建立锂离子电池的电化学-电路等效组合模型，模型组成如图1所示。

图中，电流控制电压源V_OC(SOC)表示开路电压与SOC之间的非线性关系，串联电阻R₀反映电池端电压的变化量，工作时端电压为V_B，其电压变化由电池负载电流I_B决定。由于电池内部存在瞬态响应和稳态响应，动态过程需要用RC并联电路进行描述，R_f、C_f和R_s、C_s分别表示极化内阻和浓差内阻。C₀表示电池额定容量，R_sd表示电池自放电现象引起的内阻值(可忽略)。

步骤1-1，电路动态参数计算公式。由上述变量定义值和等效电路理论，动态电压V_f和V_s可以表示为：

${\stackrel{\·}{V}}_f=-\frac{1}{R_f{C}_f}{V}_f+\frac{1}{C_f}{I}_B---\left(2\right)$

${\stackrel{\·}{V}}_S=-\frac{1}{R_S{C}_S}{V}_S+\frac{1}{C_S}{I}_B---\left(3\right)$

其中，I_B为电池工作电流，V_SOC为电池荷电状态，其动态方程表示为：

$\stackrel{\·}{V_{SOC}}=-\frac{1}{R_{sd}{C}_b}{V}_{SOC}+\frac{1}{C_b}{I}_B---\left(4\right)$

步骤1-2，工作端电压与开路电压关系公式。根据等效电路原理，结合表达式(2)和(3)，得到电池端电压和电池开路电压关系表达式为：

V_B＝V_oc(SOC)-R₀I_B-V_f-V_S (5)

步骤2，端电压V_B与V_oc(SOC)关系公式。锂离子电池等效模型表达式分析，由实验结果可得函数V_oc(SOC)在10％到100％之间存在近似线性的关系曲线，而在小于10％的情况下急剧下降。

步骤2-1，基于非线性系统的开路电压与SOC关系式。电池开路电压OCV与SOC之间的关系函数分解表示为：

V_oc(SOC)＝αV_SOC+g(V_SOC) (6)

式中，V_SOC表示OCV的线性部分，g(V_SOC)表示OCV的非线性部分。

步骤2-2，基于非线性系统的V_B与V_oc(SOC)关系式。锂离子电池在实际工作状态下，均为恒电流放电，电流变化量较小，求出端电压V_B的导数表达式为：

$\stackrel{\·}{V_B}=\frac{\∂V_{oc}\left(SOC\right)}{\∂V_{SOC}}\stackrel{\·}{V_{SOC}}-{\stackrel{\·}{V}}_f-{\stackrel{\·}{V}}_S---\left(7\right)$

$\frac{\∂V_{oc}\left(SOC\right)}{\∂V_{SOC}}=\mathrm{\α}+g\left(\stackrel{\·}{V_{SOC}}\right)---\left(8\right)$

步骤3，电池端电压V_B的计算公式。

步骤3-1，电池端电压V_B推导公式。结合式(4)，(5)和(7)，得到电池端电压V_B的动态计算公式为：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{V_B}=(-\frac{\mathrm{\α}}{R_{sd}{C}_b}+\frac{\mathrm{\α}}{R_s{C}_s})V_{SOC}+(-\frac{\mathrm{\α}}{R_f{C}_f}-\frac{\mathrm{\α}}{R_s{C}_s})V_f\\ -\frac{\mathrm{\α}}{R_s{C}_s}{V}_B-(\frac{R_0}{R_s{C}_s}+\frac{\mathrm{\α}}{C_b}+\frac{1}{C_f}+\frac{1}{C_s})I_B\\ +\mathrm{\Φ}(V_{SOC},I_B)\end{array}---\left(9\right)$

式中，Φ(V_SOC,I_B)表示端电压动态变化中的非线性部分，同时电池模型的不确定性因素也能够包含于此方程中。

步骤3-2，电池端电压V_B的计算公式。假设电池模型的状态变量表示为ξ＝[V_SOC V_fV_S V_B]，同时定义电池电流和端电压为滤波系统的输入输出变量，则根据图1的电池模型可建立滤波系统的状态方程和输出方程：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}=A\mathrm{\ξ}+{\mathrm{BI}}_B+D\mathrm{\Φ}$

V_B＝Cξ (10)

其中，系数矩阵如下：

$A=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{1}{R_{sd}{C}_b}& 0& 0& 0\\ 0& -\frac{1}{R_f{C}_f}& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{\mathrm{\α}}{R_s{C}_s}& 0\\ -\frac{\mathrm{\α}}{R_{sd}{C}_b}+\frac{\mathrm{\α}}{R_s{C}_s}& \frac{1}{R_f{C}_f}-\frac{1}{R_s{C}_s}& 0& -\frac{\mathrm{\α}}{R_s{C}_s}\end{array}\right]$

B＝[b₁ b₂ b₃ b₄]^T C＝D^T＝[0 0 0 1]^T

$b_1=-\frac{1}{C_b},b_2=-\frac{1}{C_f},b_3=-\frac{1}{C_s}$

$b_4=-\frac{R_0}{R_s{C}_s}-\frac{\mathrm{\α}}{C_b}-\frac{1}{C_f}-\frac{1}{C_s}$

步骤3-2，电池端电压V_B计算条件公式。针对电池模型的不可观测性，本发明提出的新型算法将问题转化为状态向量ξ的观测系统设计问题。变量Φ(V_SOC,I_B)受电池工作电流I_B的约束，存在以下关系：

|Φ(V_SOC,I_B)|≤θ(I_B) (11)

5.2锂离子电池SOC估计方法

步骤1，基于滑动窗滤波器(SMO)的电池状态估计系统状态方程建立。利用滑动窗滤波器和电池模型的非线性部分，直接估计状态向量非线性部分参数Φ(V_SOC,I_B)。本发明设计实现的滑动窗滤波器方程表达式为：

$\begin{array}{cc}\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}=A\widehat{\mathrm{\ξ}}+{\mathrm{BI}}_B+{\mathrm{Me}}_{V_B}+\mathrm{\μ}D\mathrm{\ρ}\left(e_{V_B}\right)& {\hat{V}}_B=C\widehat{\mathrm{\ξ}}\end{array}---\left(12\right)$

式中，参数满足则滤波器方程改写为：

$\mathrm{\ρ}\left(e_{V_B}\right)=\frac{e_{V_B}\left(t\right)}{\left|e_{V_B}\left(t\right)\right|+\mathrm{\γ}\left(t\right)}---\left(13\right)$

参数γ(t)为连续时间参数，并且满足γ(t):R⁺→R⁺和常数C为正整数，滤波器增益M由滤波窗口采样值计算得到。

步骤1-1，状态方程与电池端电压V_B的关系公式。通过可观测性与非可观测性相关的改进型滤波器，得到矩阵A和B的表达式，该滤波器表达式为：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_0& 0\\ 0& A_u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ξ}}_0\\ {\mathrm{\ξ}}_u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{B}_0\\ B_u\end{array}\right]I_B+\stackrel{\‾}{D}\mathrm{\Φ}(V_{SOC},I_B)$

$V_B=\stackrel{\‾}{C}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ξ}}_0\\ {\mathrm{\ξ}}_u\end{array}\right]---\left(14\right)$

其中，ξ₀和ξ_u分别表示改进型滤波器的可观测部分和非可观测部分

步骤1-2，状态矩阵计算公式。结合表达式(10)中的矩阵形式，将矩阵A，B和C进一步推导得出：

$A_0=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{R_{sd}{C}_b}& 0& 0\\ 0& -\frac{1}{R_f{C}_f}& 0\\ -\frac{\mathrm{\α}}{R_{sd}{C}_b}+\frac{\mathrm{\α}}{R_s{C}_s}& \frac{1}{R_f{C}_f}-\frac{1}{R_s{C}_s}& -\frac{1}{R_s{C}_s}\end{array}\right]$

B₀＝[b₁ b₂ b₄]^T,

$\stackrel{\‾}{D}={\left[\begin{array}{cc}{D}_0^T& 0\end{array}\right]}^T,\stackrel{\‾}{C}=\[\begin{array}{cc}{C}_0& 0\end{array}\]$

$C_0=D_0^T=\[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\]---\left(15\right)$

步骤1-3，基于SMO的状态向量计算公式。表达式(15)中非可观测子系统矩阵A_u为稳态矩阵，因此该子系统为可测量系统。滤波器增益表达式为M＝[M_u 0]^T，则SMO滤波器动态方程表示为：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_0& 0\\ 0& A_u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\ξ}}}_0\\ {\widehat{\mathrm{\ξ}}}_u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{B}_0\\ B_u\end{array}\right]I_B\left[\begin{array}{c}{M}_0\\ 0\end{array}\right]e_{V_B}+\mathrm{\μ}\stackrel{\‾}{D}\mathrm{\ρ}\left(e_{V_B}\right)$

${\hat{V}}_B=\stackrel{\‾}{C}\left[\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\ξ}}}_0\\ {\widehat{\mathrm{\ξ}}}_u\end{array}\right]---\left(16\right)$

式中，M₀可由滤波器采样点计算，若已知Q₀＞0，则存在对称值P₀＞0满足下式：

P₀(A₀-M₀C₀)+(A₀-M₀C₀)^TP₀＝-Q₀ (17)

步骤2，状态向量V_SOC和V_B的计算。估计误差定义域计算，以获得滤波算法迭代终止信息。综合式(16)和式(14)，得出状态估计算法中的误差系统表达式为：

$\stackrel{\·}{e}=\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{e_0}\\ \stackrel{\·}{e_u}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_0-M_0{C}_0& 0\\ 0& A_u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_0\\ e_u\end{array}\right]+\stackrel{\‾}{D}\mathrm{\Φ}(V_{SOC},I_B)-\mathrm{\μ}\stackrel{\‾}{D}\mathrm{\ρ}\left(e_{V_B}\right)$

$e_{V_B}=\stackrel{\‾}{C}e=\stackrel{\‾}{C}\left[\begin{array}{c}{e}_0\\ e_u\end{array}\right]---\left(18\right)$

步骤2-1，引入传统的Lyapunov转化方程V(e)＝e^τPe，矩阵P取值为对称矩阵diag(P₀,1)，并假设F＞0,结合误差方程式(18)，表达式推导为：

$\begin{array}{c}\stackrel{.}{V\left(e\right)}=\stackrel{\·}{e}Pe+e^{T}Pe={\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{e_0}\\ \stackrel{\·}{e_u}\end{array}\right]}^{T}P{\left[\begin{array}{c}{e}_0\\ e_u\end{array}\right]}^{T}P\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{e_0}\\ \stackrel{\·}{e_u}\end{array}\right]\\ \begin{array}{cc}=-e_0^T{Q}_0{e}_0+2e_u^T{\mathrm{Ae}}_u+2{\stackrel{\‾}{D}}^{T}Pe\left(\mathrm{\Φ}-\mathrm{\μ}\mathrm{\ρ}\left(e_{V_B}\right)\right)& -e_0^T{Q}_0{e}_0-\frac{2}{R_s{C}_s}|e_u{|}^2+2{\mathrm{Fe}}_{V_B}(\mathrm{\Φ}-\mathrm{\μ}\frac{e_{V_B}}{\left|e_{V_B}\right|+\mathrm{\γ}\left(t\right)})\end{array}\end{array}---\left(19\right)$

步骤2-2，根据表达式(13)，得到另一种误差表达式为：

$\frac{e_{V_B}^2}{\left|e_{V_B}\right|+\mathrm{\γ}\left(t\right)}=\left|e_{V_B}\right|-\mathrm{\γ}\left(t\right)+\frac{{\mathrm{\γ}}^2}{\left|e_{V_B}\right|+\mathrm{\γ}}=\left|e_{V_B}\right|-\mathrm{\δ}\left(t\right)---\left(20\right)$

式中，参数γ(t)对于每个时间采样点t均是正数，且满足下面表达式：

$\mathrm{\δ}\left(t\right)=\mathrm{\γ}\left(t\right)-\frac{{\mathrm{\γ}}^2}{\left|e_{V_B}\right|+\mathrm{\γ}}>0---\left(21\right)$

步骤2-3，根据表达式(19)、(20)和(21)，得到误差计算不等式为：

$\stackrel{\·}{V\left(e\right)}\≤-{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(Q_0\right)\left|\right|e_0|{|}^2-\frac{2}{R_s{C}_s}|e_u{|}^2+2F\mathrm{\μ}\mathrm{\δ}\left(t\right)+2F(e_{V_B}\mathrm{\Φ}-\mathrm{\μ}|e_{V_B}\left|\right)---\left(22\right)$

由于参数δ(t)渐近趋向于0，因此若μ取值为μ＞θ(I_B)＞|Φ(V_SOC,I_B)|，则动态误差绝对值

步骤2-4，根据步骤2的推导分析结果，当满足上述不等式表明电池SOC估计值收敛于真实值。

步骤3，单体电池SOC值计算。根据放电实验法，得到电池SOC与开路电压V_SOC的关系函数为：

V_SOC＝36.1425-198.472SOC+263.2273SOC² (23)

利用步骤2得到的估计V_SOC值，结合公式(23)，计算得到实时SOC值。

6.1电池模型参数在线辨识

步骤1，利用Spagnol提出的模型在线辨识方法和式(4)、式(7)，可得锂离子电池端电压V_B的拉普拉斯变换方程式为：

V_B＝V_oc(SOC)-R₀I_B-G_m(s)I_B (23)

其中，非线性函数G_m(s)的表达式为：

$G_m\left(s\right)=\frac{R_s}{1+{\mathrm{sR}}_s{C}_s}+\frac{R_f}{1+{\mathrm{sR}}_f{C}_f}---\left(24\right)$

步骤2，本发明利用锂离子电池放电实验数据和方程(23)的离散形式，结合图1所示等效电路模型的参数估计，具体参数及估计步骤如下：

步骤2-1，C_b定义为电池满充状态下的电容值，不考虑环境温度和寿命状况，根据电路原理C_b满足C_b＝3600×电池额定容量，本发明选取额定容量为1500mAh的18650型锂离子电池，计算得到C_b＝5400F；

步骤2-2，R_sd定义为电池电动势内阻，将R_sd值代入式(6)计算电池实时SOC值，该内阻可用内阻测试仪进行测量得R_sd＝100Ω；

步骤2-3，R₀定义为电池等效电路模型的欧姆内阻，利用电压变化量/电流变化量，即可求得R₀，具体公式如下：

$R_{0,i}=\frac{v_{max,i}-v_{\min ,i}}{i_{max,i}-i_{\min ,i}}---\left(24\right)$

式中，电压最大最小值v_max,i、v_min,i和电流最大最小值i_max,i、i_min,i均可以由放电实验曲线得到。本发明取平均值以得到较精确的欧姆内阻值

步骤2-4，RC并联电路定义为电池内部极化电阻，将式(23)重新整理得：

V_oc(SOC)-V_B-R₀I_B＝G_mI_B-V_eq (25)

假设每个采样周期中，导数值dI_B/dt≈0，则式(25)可离散化为：

$\begin{array}{c}{V}_{eq}\[k\]=(\frac{R_f(1-e^{-T_s/T_{pf}})z^{-1}}{1-e^{-T_s/T_{pf}}{z}^{-1}}+\frac{R_s(1-e^{-T_s/T_{pf}})z^{-1}}{1-e^{-T_s/T_{pf}}{z}^{-1}})I_B\[k\]\\ =(\frac{z^{-1}(b_1+b_2{z}^{-1})}{(1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2})}{I}_B\[k\]\end{array}---\left(26\right)$

式中，T_s为迭代计算的采样周期，T_ps和T_pf分别为RC并联电路的时间常数。

算法效果：表1给出锂离子电池内部参数估计结果，说明欧姆内阻和电化学极化RC等效并联电路影响较大，利用参数辨识结果设计充放电实验。实验一为恒流充电实验，锂离子电池充电电压、电流和容量曲线如图2所示。实验二为阶梯性放电实验(放电700s，静置100s)，估计输出电压和测量电压比较图和误差曲线图如图3所示，由图可知最大误差小于30mV。两个实验结果显示本文提出的参数在线辨识方法就有较高的估计精度。

表1锂离子电池等效模型参数

6.2基于滑动窗滤波的SOC估计

步骤1，根据已知的锂离子电池模型参数值，设计滑动窗滤波器参数，滤波器子系统的闭环点集取值为[-0.000116,-0.3,-3]，滤波器增益计算得到[0.00121,3.783,-3.66]，其他参数取值为μ＝0.5，γ(t)＝0.005e^-0.001t，Q₀＝diag([0.001 0.1 0.1])。

步骤2，设置充放电实验的电流值I_B＝3000mA(放电倍率为2C)。

步骤2-1，根据等效电路原理和表达式(1)和(2)，得到极化电阻上的电压V_f＝R_fC_f，V_s＝R_sC_s，从而推出单体电池端电压表达式为：

V_B＝V_OC(SOC)-R₀I_B-V_f-V_S (27)

步骤2-2，根据电池测试仪测得的实时电池电压、电流和温度值，结合步骤1计算内部参数值、表达式(6)和(7)，得到SOC估计值如表2：

表2 2C放电试验欧姆内阻/电压/SOC关系数据

本发明利用锂离子电池二阶等效模型，在传统等效模型中引入电化学特征和自放电因素，建立基于电化学动态特征的改进型电池二阶模型如图1所示，电流控制电压源V_OC(SOC)表示开路电压与SOC之间的非线性关系，串联电阻R₀反映电池端电压的变化量，端电压的变化由电池负载电流I_B决定。由于电池内部存在瞬态响应和稳态响应，动态过程需要用RC并联电路进行描述，R_f、C_f和R_s、C_s分别表示极化内阻和浓差内阻。C₀表示电池额定容量，R_sd表示电池自放电现象引起的内阻值(可忽略)。

图2说明，电池单体充电电压/电流/容量关系曲线：

(1)关系曲线横坐标为充电时间，单位为小时(hours)，纵坐标1(左)为电池端电压，纵坐标2(右)为电池充电容量。

(2)三条曲线分别表示电池端电压，充电电流和充电容量。

(3)电压值在0.2h到2h接近平台电压(3.3V-3.4V)，充电结束时的电压最大值为3.7V；电流值恒定为700mA，充电结束时电流迅速减小；充电容量接近恒斜率增加，充电结束缓慢达到1400mAh(实际小于额定容量)。

图3说明，利用本发明提出的滑动窗滤波算法得出的电池端电压实时估计值V_B，利用电池测试仪测量电池端电压，两者进行比较验证本发明算法的有效性。

左图为1.5C放电倍率放电试验，右图为3C放电倍率放电试验，试验设置放电5min，静置10min。如图所示：大电流或电流变化工作状态下，本发明提出的滤波估计算法估计误差越小，说明新算法适用于高容量、高功率锂离子电池工作环境。

Claims (1)

1.一种基于滑动窗滤波的单体锂离子电池SOC估计方法，其特征在于：包括以下几个步骤：

步骤1，电池等效电路端电压V_B在线辨识；

步骤1-1，利用电池参数测试仪在线测量电池工作电流I_B，单体锂离子电池最大电压v_max,i、最小电压v_min,i和最大电流i_max,i、最小电流i_min,i，电池极化内阻与等效电容R_f和C_f，电池浓差内阻与等效电容R_s和C_s，电池电动势内阻R_sd，电池满充状态下的电容值C_b；利用式(1)计算电池等效模型欧姆内阻R₀：

$R_{0,i}=\frac{v_{max,i}-v_{\min ,i}}{i_{max,i}-i_{\min ,i}}---\left(1\right)$

步骤1-2，建立电池端电压V_B与电池模型参数之间的拉普拉斯方程关系式；利用Spagnol提出的模型在线辨识方法和电池模型参数时间域关系式(4)和(7)，建立如下计算方程：

V_B＝V_OC(SOC)-R₀I_B-G_m(s)I_B

$\stackrel{\·}{V_{SOC}}=-\frac{1}{R_{sd}{C}_b}{V}_{SOC}+\frac{1}{C_b}{I}_B---\left(4\right)$

$\stackrel{\·}{V_B}=\frac{\∂V_{oc}\left(SOC\right)}{\∂V_{SOC}}\stackrel{\·}{V_{SOC}}-\stackrel{\·}{V_f}-\stackrel{\·}{V_S}---\left(7\right)$

其中，V_SOC为电池开路电压，V_f为极化内阻上的动态电压，V_s为浓差内阻上的动态电压，s为拉普拉斯变换因子，V_OC(SOC)为电池SOC与开路电压的函数关系，非线性函数G_m(s)的表达式为：

$G_m\left(s\right)=\frac{R_s}{1+{\mathrm{sR}}_s{C}_s}+\frac{R_f}{1+{\mathrm{sR}}_f{C}_f}$

步骤1-3，定义电池模型的状态变量为ξ＝[V_SOC V_f V_S V_B]，同时定义电池电流I_B和端电压V_B为滤波系统的输入输出变量，V_SOC为电池开路电压；建立基于SMO算法的滤波系统的状态方程和输出方程：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}=A\mathrm{\ξ}+{\mathrm{BI}}_B+D\mathrm{\Φ}$

V_B＝Cξ (10)

其中，系数矩阵如下：

$A=\left[\begin{array}{cccc}-\frac{1}{R_{sd}{C}_b}& 0& 0& 0\\ 0& -\frac{1}{R_f{C}_f}& 0& 0\\ 0& 0& -\frac{\mathrm{\α}}{R_s{C}_S}& 0\\ -\frac{\mathrm{\α}}{R_{sd}{C}_b}+\frac{\mathrm{\α}}{R_s{C}_s}& \frac{1}{R_f{C}_f}-\frac{1}{R_s{C}_s}& 0& -\frac{\mathrm{\α}}{R_s{C}_s}\end{array}\right]$

B＝[b₁ b₂ b₃ b₄]^T C＝D^T＝[0 0 0 1]^T

$b_1=\frac{1}{C_b},b_2=\frac{1}{C_f},b_3=\frac{1}{C_s}$

$b_4=\frac{R_0}{R_s{C}_s}-\frac{\mathrm{\α}}{C_b}-\frac{1}{C_f}-\frac{1}{C_s}$

其中，α为状态方程线性比例系数，Φ表示为Φ(V_SOC,I_B)，为V_OC(SOC)函数关系式中的非线性部分表达式；电池工作电流I_B的约束条件定义为计算得到Φ表达式：

$\left|\mathrm{\Φ}(V_{\mathrm{SOC}},I_B)\right|\≤\mathrm{\θ}\left(I_B\right)$

步骤1-4，利用状态向量ξ的可观测量ξ₀和不可观测量ξ_u，以及已知的Φ(V_SOC,I_B)表达式计算端电压V_B：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_0& 0\\ 0& A_u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ξ}}_0\\ {\mathrm{\ξ}}_u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{B}_0\\ B_u\end{array}\right]I_B+\stackrel{\‾}{D}\mathrm{\Φ}(V_{SOC},I_B)$

$V_B=\stackrel{\‾}{C}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ξ}}_0\\ {\mathrm{\ξ}}_u\end{array}\right]$

式中，

B₀＝[b₁ b₂ b₄]^T,

$\stackrel{\‾}{D}={\left[\begin{array}{cc}{D}_0^T& 0\end{array}\right]}^T,\stackrel{\‾}{C}=\[\begin{array}{cc}{C}_0& 0\end{array}\]$

$C_0=D_0^T=\[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\]---\left(15\right)$

步骤2，锂离子单体电池SOC值的估计；

步骤2-1，基于SMO的电池开路电压V_SOC计算；利用式(16)的动态SMO滤波器方程计算端电压V_B的动态值和电池开路电压V_SOC的非线性部分值；

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_0& 0\\ 0& A_u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\widehat{{\mathrm{\ξ}}_0}\\ \widehat{{\mathrm{\ξ}}_u}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{B}_0\\ B_u\end{array}\right]I_B\left[\begin{array}{c}{M}_0\\ 0\end{array}\right]e_{V_B}+\mathrm{\μ}\stackrel{\‾}{D}\mathrm{\ρ}\left(e_{V_B}\right)$

$\widehat{V_B}=\stackrel{\‾}{C}\left[\begin{array}{c}\widehat{{\mathrm{\ξ}}_0}\\ \widehat{{\mathrm{\ξ}}_u}\end{array}\right]---\left(16\right)$

式中，非可观测子系统矩阵A_u为稳态矩阵，μ为动态观测方程线性系数，滤波器增益表达式为M＝[M_u 0]^T，M₀可由滤波器采样点计算，Q₀为已知单体电池额定容量，对称矩阵值P₀＞0且满足下式：

P₀(A₀-M₀C₀)+(A₀-M₀C₀)^TP₀＝-Q₀ (17)

步骤2-2，计算误差参数引入传统的Lyapunov转化方程V(e)＝e^τPe，矩阵P取值为对称矩阵diag(P₀,1)，并假设结合误差参数计算方程式(20)，得到

$\frac{e_{V_B}^2}{\left|e_{V_B}\right|+\mathrm{\γ}\left(t\right)}=\left|e_{V_B}\right|-\mathrm{\γ}\left(t\right)+\frac{{\mathrm{\γ}}^2}{\left|e_{V_B}\right|+\mathrm{\γ}}=\left|e_{V_B}\right|-\mathrm{\δ}\left(t\right)---\left(20\right)$

式中，参数γ(t)为连续时间参数，对于每个时间采样点t均是正数，γ为任意采样点值，且δ(t)的定义式为：

$\mathrm{\δ}\left(t\right)=\mathrm{\γ}\left(t\right)-\frac{{\mathrm{\γ}}^2}{\left|e_{V_B}\right|+\mathrm{\γ}}>0---\left(21\right)$

步骤2-3，根据步骤2-1和步骤2-2，当满足不等式(22)表明电池SOC估计值收敛于真实值，可以计算出V_SOC的非线性部分值；

$\stackrel{\·}{V\left(e\right)}\≤-{\mathrm{\λ}}_{\min }\left(Q_0\right)\left|\right|e_0|{|}^2-\frac{2}{R_s{C}_s}{\left|e_u\right|}^2+2F\mathrm{\μ}\mathrm{\δ}\left(t\right)+2F(e_{V_B}\mathrm{\Φ}-\mathrm{\μ}|e_{V_B}\left|\right)---\left(22\right)$

式中，e₀为误差初始值，λ_min(Q₀)为电池额定容量误差最小值，常数c为正整数，参数δ(t)渐近趋向于0，若μ取值为则动态误差绝对值

步骤3，单体电池SOC值计算；

根据放电实验法，得到电池SOC与开路电压V_OC(SOC)的关系函数为：

V_OC(SOC)＝36.1425-198.472SOC+263.2273SOC² (23)

利用步骤2估计得到的V_OC(SOC)值，结合公式(23)，计算得到实时SOC值。