CN103852761B - 具有恒定加速度的合成孔径雷达二维频域成像方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有恒定加速度的合成孔径雷达二维频域成像方法，本发明的方法根据具有恒定加速度的SAR平台运动及回波特点，首先推导出回波的精确二维频谱解析表达式，在此基础上提出了一种二维频域成像方法。本发明方法所推导的回波二维频谱没有忽略空变，因而更加精确；其次提出将二维频域插值应用在具有恒定加速度的SAR聚焦成像算法中，有效地解决了该模式SAR回波精确聚焦成像过程中方位向存在严重空变和大斜视成像等关键问题；最后本发明的方法将目标直接聚焦在地面正交坐标系上，且无明显几何扭曲，成像之后的后续图像处理负担小。

Description

具有恒定加速度的合成孔径雷达二维频域成像方法

技术领域

本发明属于合成孔径雷达(SyntheticApertureRadar,SAR)成像技术领域，具体涉及一种具有恒定加速度的合成孔径雷达二维频域成像方法。

背景技术

合成孔径雷达是一种全天时、全天候的现代高分辨率微波遥感成像雷达，在地形测绘、植被分析、海洋及水文观测、环境及灾害监视、资源勘探以及地壳微变检测等领域，SAR发挥了越来越重要的作用。

常规的SAR雷达都假设平台工作在匀速直线飞行的模式下，但是在一些特殊的应用场合下，平台机动性强，明显偏离匀速直线运动状态，会导致SAR在方位向的采样不均匀，并使回波方位向出现严重空变，从而导致传统的SAR算法不能适用具有恒定加速度的SAR成像的需求。

在文献“基于恒加速度模型的斜视SAR成像CA-ECS算法，电子学报，2006年第9期，1595-1599”中，导出了ExtendedChirpScaling相位补偿因子的数学表达式，提出了一种CA-ECS算法，该算法的相位因子包含多个方向速度和加速度参数，但是该算法仍然忽略了该模式中方位向的空变，只能适用于较小场景的成像；在文献“Anefficientimagingalgorithmformissile-borneside-lookingSAR”(IETInternationalRadarConference，2009:1-4)中，首先在回波信号距离和方位二维时域进行线性距离走动校正，然后结合序列反转的方法，根据驻定相位原理推导经过距离走动校正后的信号的二维频谱，之后在二维频域通过简单的相位相乘进行距离压缩和二次距离压缩(SecondRangeCompressing，SRC)，最后在距离多普勒域完成方位压缩。该方法可以看成是简化的距离多普勒方法，虽然效率较高，但是其忽略了距离弯曲(即距离徒动中的高次项)，而仅仅进行了线性距离走动校正，并且在距离走动校正、距离压缩和二次距离压缩过程中均忽略了信号的空变，导致算法误差大、聚焦深度小；在文献“基于双曲线性修正斜距模型的弹载SAR成像方法，系统工程与电子技术，2013年第6期，1168-1176”中，针对具有下降加速度的弹载SAR，通过构造双曲函数形式的斜距表达式并引入线性修正因子，提出了一种类似距离-多普勒的成像方法，但是该方法仍然忽略了系统沿方位向的空变性，不能够对方位范围较大的场景进行成像。

发明内容

本发明针对现有技术存在的缺陷，提出了一种适合具有恒定加速度的合成孔径雷达的回波成像方法。

本发明的技术方案为：一种具有恒定加速度的合成孔径雷达二维频域成像方法，具体包括如下步骤：

S1.计算回波信号的二维频谱，具体过程如下：

S11.回波信号建模；

设SAR对前斜视区域进行成像，平台的速度为加速度为设SAR发射的为线性调频脉冲，则回波经过解调后得到的基带回波S_echo(τ,η)表示为：

$S_{echo}(\mathrm{\τ},\mathrm{\η})=w_r(\mathrm{\τ}-\frac{2R\left(\mathrm{\η}\right)}{c})w_a\left(\mathrm{\η}\right)\exp \left\{\left({\mathrm{j\πK}}_r{\[\mathrm{\τ}-R\left(\mathrm{\η}\right)\]}^2\right)\right\}\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}}{\mathrm{\λ}}R(\mathrm{\η}\left)\right)---\left(1\right)$

其中，w_r(·)和w_a(·)分别表示距离向和方位向窗函数，τ和η分别表示快时间变量和慢时间变量，K_r表示发射脉冲调频斜率，λ表示载波波长，R(η)为目标距离历史：

$R\left(\mathrm{\η}\right)=\sqrt{x^2+{(y-v_y\mathrm{\η}-1/2a_y{\mathrm{\η}}^2)}^2+{(H_0-v_z\mathrm{\η}-1/2a_z{\mathrm{\η}}^2)}^2}---\left(2\right)$

其中，x、y分别为点目标的x轴和y轴坐标，H₀为场景中心点目标被SAR波束中心穿越时刻SAR平台的高度，v_y、a_y、v_z和a_z分别表示SAR平台的y轴速度分量、y轴加速度分量、z轴速度分量相反数和z轴加速度分量相反数；

S12.对回波信号进行距离向傅里叶变换，即，

根据驻定相位原理，对式(1)进行距离向傅里叶变换并略去窗函数可得

$S_{echo}\left(f_{\mathrm{\τ},\mathrm{\η}}\right)=\exp (-j\frac{{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\τ}}^2}{K_r})\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}}{c}(f_{\mathrm{\τ}}+f_0\left)R\right(\mathrm{\η}\left)\right)---\left(3\right)$

其中，f_τ、c和f₀分别表示距离频率、光速和载频；

S13.进行方位向傅里叶变换获得回波信号的二维频谱表达式；

对步骤S12的结果进行方位向傅里叶变换，即，

$\begin{array}{c}{S}_{2df}(f_{\mathrm{\τ}},f_{\mathrm{\η}})=\∫S_{echo}(f_{\mathrm{\τ}},\mathrm{\η})\exp (-j2f_{\mathrm{\η}}\mathrm{\η})d\mathrm{\η}\\ =\∫\exp \left(j\mathrm{\Ψ}\right)d\mathrm{\η}\end{array}---\left(4\right)$

其中， $\mathrm{\Ψ}=-\frac{{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\τ}}^2}{K_r}-\frac{4\mathrm{\π}}{c}(f_{\mathrm{\τ}}+f_0)R\left(\mathrm{\η}\right)-2{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\η}}\mathrm{\η}---\left(5\right)$

将R(η)关于η进行泰勒展开并保持到三阶项得

R(η)≈R₀+a₁η+1/2a₂η²+1/3a₃η³(6)

其中，R₀，a₁，a₂，a₃分别为零阶、一阶、二阶和三阶的展开系数；

将式(6)代入式(5)得：

$\mathrm{\Ψ}\≈-\frac{{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\τ}}^2}{K_r}-\frac{4\mathrm{\π}}{c}(f_{\mathrm{\τ}}+f_0)(R_0+a_1\mathrm{\η}+1/2a_2{\mathrm{\η}}^2+1/3a_3{\mathrm{\η}}^3)-2{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\η}}\mathrm{\η}---\left(7\right)$

对式(7)求关于η的偏导数得：

$\frac{\∂\mathrm{\Ψ}}{\∂\mathrm{\η}}=-2\mathrm{\π}\[\frac{2}{c}(f_{\mathrm{\τ}}+f_0)(a_1+a_2{\mathrm{\ηa}}_3{\mathrm{\η}}^2)+f_{\mathrm{\η}}\]---\left(8\right)$

令式(8)等于零得到：

$-\frac{{\mathrm{cf}}_{\mathrm{\η}}}{2(f_{\mathrm{\τ}}+f_0)}-a_1=a_2\mathrm{\η}+a_3{\mathrm{\η}}^2---\left(9\right)$

对式(9)进行序列反转得到慢时间关于方位频率的表达式，即

$\mathrm{\η}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)=b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2---\left(10\right)$

其中，

$b_1={a_2}^{-1},b_2=-\frac{a_3}{{a_2}^3},f_{ra}=-\frac{{\mathrm{cf}}_{\mathrm{\η}}}{2(f_{\mathrm{\τ}}+f_0)}-a_1---\left(11\right)$

根据驻定相位原理，将式(10)代入式(7)即可得到回波信号的二维频谱，即

$\begin{array}{c}{S}_{echo}(f_{\mathrm{\τ}},f_{\mathrm{\η}})=\exp \left\{j\mathrm{\Ψ}\left(\mathrm{\η}\right(f_{\mathrm{\η}}\left)\right)\right\}\\ =\exp (-j\frac{{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\τ}}^2}{K_r})\exp (-j2{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\η}}(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2\left)\right)\\ \×\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}}{c}(f_{\mathrm{\τ}}+f_0\left)\right(R_0+a_0\left(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2\right)+\frac{1}{2}{a}_2{\left(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2\right)}^2+\frac{1}{3}{a}_3{\left(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2\right)}^3\left)\right)\\ =\exp (-j\frac{{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\τ}}^2}{K_r})\exp (-j2\mathrm{\π}\mathrm{\Θ})\end{array}---\left(12\right)$

其中，

$\begin{array}{c}\mathrm{\Θ}=\frac{2}{c}(f_{\mathrm{\τ}}+f_0)(R_0+a_1(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2)+\frac{1}{2}{a}_2{\left(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2\right)}^2+\frac{1}{3}{a}_3{\left(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2\right)}^3)\\ +f_{\mathrm{\η}}(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2)\end{array}---\left(13\right)$

将式(12)关于场景中心目标位置坐标(x₀,y₀)，进行二维泰勒展开并忽略高阶项得

$\begin{array}{c}{S}_{echo}(f_{\mathrm{\τ}},f_{\mathrm{\η}})\≈\exp (-j\frac{{{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\τ}}}^2}{K_r})\\ \×\exp \{-j2\mathrm{\π}(C_0+C_x\mathrm{\Δ}x+C_y\mathrm{\Δ}y)\}\end{array}---\left(14\right)$

其中，

$C_0=\mathrm{\Θ}{|}_{x=x_0,y=y_0}$

$C_x=\frac{\∂\mathrm{\Θ}}{\∂x}{|}_{x=x_0,y=y_0}---\left(15\right)$

$C_y=\frac{\∂\mathrm{\Θ}}{\∂y}{|}_{x=x_0,y=y_0}$

S2.去除回波的多普勒质心：

将步骤S11的结果进行相位相乘，即，

S₁(τ,η)＝S_echo(τ,η)·H₁(η)(16)

其中

H₁(η)＝exp(-j2πf_dcη)(17)

f_dc表示回波多普勒质心：

$f_{dc}=\frac{2\sqrt{v_y^2+v_z^2}}{\mathrm{\λ}}\sin \left({\mathrm{\θ}}_s\right)---\left(18\right)$

其中，θ_s是SAR波束斜视角(即波束中心与速度方向的夹角的余角，为系统参数)；

S3.参考函数相乘，具体过程如下：

S31.将步骤S2的结果分别进行距离向和方位向快速傅里叶变换，即，

S₁(f_τ,f_η)＝FFT_az{FFT_rg{S₁(τ,η)}}(19)

其中，FFT_rg{·}和FFT_az{·}分别表示距离向和方位向快速傅里叶变换，f_τ和f_η分别表示τ和η对应的频率变量；

S32.将步骤S31的结果进行相位相乘，即，

S₂(f_τ,f_η)＝S₁(f_τ,f_η)·H₂(f_τ,f_η)(20)

其中，

$H_2(f_{\mathrm{\τ}},f_{\mathrm{\η}})=\exp \left(j\frac{{{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\τ}}}^2}{K_r}\right)\exp \left(j2{\mathrm{\πC}}_0\right)---\left(21\right)$

S4.对步骤S3的结果进行二维频域插值，插值前后频率采样序列的映射关系为

C_x＝k_x,C_y＝k_y(22)

其中，k_x和k_y分别表示插值后新的距离频率和方位频率，二维频域插值的具体过程如下：

S41.对步骤S3的结果距离频率向和方位频率向进行上采样；

S42.分别计算C_x的取值范围[C_xmin,C_xmax]和C_y的取值范围[C_ymin,C_ymax]，其中C_xmin和C_xmax分别表示C_x的最小值和最大值，C_ymin和C_ymax分别表示C_y的最小值和最大值，据此设定k_x和k_y采样序列的区间分别为[k_xmin＝C_xmin,k_xmax＝C_xmax]、[k_ymin＝C_ymin,k_ymax＝C_ymax]，然后在上述区间内均匀设定二维频谱新的采样格点；

S43.设置一个k_x和k_y平面上的新的数据矩阵S₃(k_x,k_y)，并初始化为零；

S44.根据式(22)将步骤S41的结果逐一累加到S₃(k_x,k_y)中对应的最近采样格点之上即完成了二维频域插值；

S5.对步骤S44的结果进行距离向(即k_x方向)快速傅里叶逆变换，并进行方位向(即k_y方向)快速傅立叶逆变换，即完成全部的成像处理。

本发明的有益效果：本发明的方法根据具有恒定加速度的SAR平台运动及回波特点，首先推导出回波的精确二维频谱解析表达式，在此基础上提出了一种二维频域成像方法。与现有技术相比，本发明的方法所推导的回波二维频谱没有忽略空变，因而更加精确；其次提出将二维频域插值应用在具有恒定加速度的SAR聚焦成像算法中，有效地解决了该模式SAR回波精确聚焦成像过程中方位向存在严重空变和大斜视成像等关键问题；最后本发明的方法将目标直接聚焦在地面正交坐标系上，且无明显几何扭曲，成像之后的后续图像处理负担小。

附图说明

图1为具有恒定加速度的SAR成像几何示意图；

图2为具体实施例中的仿真参数表；

图3为本发明所述具有恒定加速度的SAR成像算法流程示意图；

图4为具体实施例中仿真点目标分布示意图，其中地距表示目标到SAR航迹的地面投影的距离；

图5为距离实施例中仿真结果的参数表；

图6为具体实施例仿真结果。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的实施例做进一步的说明。

本发明的方法克服现有频域成像方算法只能用于匀速直线模式的问题，其特点是采用二维频域插值完成系统回波的二维空变校正，从而实现具有恒定加速度的合成孔径雷达回波的精确聚焦。

在推导具有恒定加速度的SAR精确二维频谱的基础上，本发明采用参考函数相乘完成一致压缩(即对场景中心点目标进行精确压缩，偏离场景中心的目标还有残余相位调制)，然后采用二维频域插值完成补余压缩(即去除非场景中心目标的残余相位调制)，完成整个成像过程。

图1为本实施方式中SAR几何配置示意图，基本参数如图2所示。

本实施方式中假定场景中有九个点目标，其分布如图3所示，其中目标O处于场景中心。成像流程见图3，包括五个部分，依次为：A.计算回波信号的二维频谱(包括正交解调得到回波信号、对回波信号进行距离向傅里叶变换以及进行方位向傅里叶变换获得回波信号的二维频谱表达式)；B.去多普勒质心；C.参考函数相乘；D.二维频域插值；E.二维傅立叶逆变换，具体过程如下：

A.计算回波信号的二维频谱，具体的正交解调得到回波信号过程如下：

将原始回波进行双通道正交解调，用数学表达式表示即为

S_echo(τ,η)＝S_raw(τ,η)exp(-j2πf₀τ)(23)

其中，S_raw(τ,η)和S_echo(τ,η)分别表示雷达接收的原始回波和解调后的基带回波信号，τ为距离时间(即快时间)，其范围为[-0.5N_rg/F_sr+2R₀/c,0.5N_rg/F_sr+2R₀/c]即[5.482E-4，5.909E-4]s，其离散点数为N_rg＝2048，η为方位时间(即慢时间变量)，其范围为[-N_azPRI/2,N_azPRI/2]，即[-1.706，1.706]s，其中PRI＝1/PRF表示脉冲重复间隔，η的离散点数为N_az＝2048，f₀＝10GHz表示载波频率；

B.去多普勒质心：

将步骤A的结果进行相位相乘，即，

S₁(τ,η)＝S_echo(τ,η)·H₁(η)

(24)

＝S_echo(τ,η)exp(-j2πf_dcη)

其中，f_dc表示回波多普勒质心：

$\begin{array}{c}{f}_{dc}=\frac{2\sqrt{v_y^2+v_z^2}}{\mathrm{\λ}}\sin \left({\mathrm{\θ}}_s\right)\\ =65.763kHz\end{array}---\left(25\right)$

C.参考函数相乘，具体过程如下：

①.将步骤B的结果分别进行距离向和方位向快速傅里叶变换，即，

S₁(f_τ,f_η)＝FFT_az{FFT_rg{S₁(τ,η)}}(26)

其中FFT_rg{·}和FFT_az{·}分别表示距离向和方位向快速傅里叶变换，其中f_τ表示τ对应的频率变量，其区间范围为[-F_sr/2,F_sr/2]，即[-2.4E+7，2.4E+7]Hz，其离散点数为N_rg＝2048，f_η表示η对应的频率变量，其区间范围为[-PRF/2+f_dc,PRF/2+f_dc]，即[6.546E+04，6.606E+04]Hz，其离散点数为N_az＝2048；

②.将步骤①的结果进行相位相乘，即，

$\begin{array}{c}{S}_2(f_{\mathrm{\τ}},f_{\mathrm{\η}})=S_1(f_{\mathrm{\τ}},f_{\mathrm{\η}})\·H_2(f_{\mathrm{\τ}},f_{\mathrm{\η}})\\ =S_1(f_{\mathrm{\τ}},f_{\mathrm{\η}})\exp \left(j\frac{{{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\τ}}}^2}{K_r}\right)\exp \left(j2{\mathrm{\πC}}_0\right)\end{array}---\left(27\right)$

其中

$K_r=\frac{B_r}{T_r}=8.0E+12Hz/s---\left(28\right)$

C₀＝Θ|_{x＝40km,y＝69.282km}(29)

其中，Θ见(13)式所示；

D.二维频域插值，具体过程如下：

对步骤C的结果进行二维频域插值，插值前后频率采样序列的映射关系为

C_x＝k_x,C_y＝k_y(30)

其中k_x和k_y分别表示插值后新的距离频率和方位频率，

$\begin{array}{c}{C}_x=\frac{\∂\mathrm{\Θ}}{\∂x}{|}_{x=40km,y=69.282km}\\ C_y=\frac{\∂\mathrm{\Θ}}{\∂y}{|}_{x=40km,y=69.282km}\end{array}---\left(31\right)$

二维频域插值的具体过程如下：

①.对步骤C的结果在距离频率向进行n_x＝2倍的上采样，在方位频率向进行n_y＝2倍的上采样；

②.计算C_x的取值区间[C_xmin,C_xmax]得[30.472，31.931]和C_y的取值区间[C_ymin,C_ymax]得[53.842，54.277]，然后据此设定k_x的取值区间为[30.472，31.931]，离散点数为N_rg＝2048，k_y的取值区间为[53.842，54.277]，离散点数为N_az＝2048；

③.设置一个k_x和k_y平面上的新的数据矩阵S₃(k_x,k_y)并将其所有元素初始化为零；

根据式(30)将①的结果逐一元素累加到数据矩阵S₃(k_x,k_y)中对应的最近元素位置之上，即完成了二维频域插值；

E.对D的结果进行距离向(即k_x方向)和方位向(即k_y方向)的快速傅里叶逆变换，即完成了全部成像处理。

仿真结果如图5和图6所示。图6中，(a)为聚焦图像；(b)为点目标O8x8放大切片；(c)为点目标A8x8放大切片；(d)为点目标C8x8放大切片；(e)为点目标F8x8放大切片；(f)为点目标H8x8放大切片；(g)为点目标O距离向剖面图；(h)为点目标O方位向剖面图。

从图5和图6可以看出，仿真结果表明点目标响应各项指标与理论值吻合得较好，实现了具有恒定加速度的SAR回波的精确成像的仿真验证。本发明通过理论分析与推导具有恒定加速度的SAR回波的精确二维频谱解析表达式，在此基础上采用二维频域算法对回波进行聚焦成像，克服了具有恒定加速度的SAR回波精确成像的困难，具有成像目标响应质量高、算法简单高效和成像结果几何扭曲小等突出优点。

Claims (1)

1.一种具有恒定加速度的合成孔径雷达二维频域成像方法，具体包括如下步骤：

S1.计算回波信号的二维频谱，具体过程如下：

S11.回波信号建模；

设SAR对前斜视区域进行成像，平台的速度为加速度为设SAR发射的为线性调频脉冲，则回波经过解调后得到的基带回波S_echo(τ,η)表示为：

$S_{echo}(\mathrm{\τ},\mathrm{\η})=w_r(\mathrm{\τ}-\frac{2R\left(\mathrm{\η}\right)}{c})w_a\left(\mathrm{\η}\right)\exp \left\{{\mathrm{j\πK}}_r{\[\mathrm{\τ}-R\left(\mathrm{\η}\right)\]}^2\right\}\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}}{\mathrm{\λ}}R(\mathrm{\η}\left)\right)---\left(1\right)$

其中，w_r(·)和w_a(·)分别表示距离向和方位向窗函数，τ和η分别表示快时间变量和慢时间变量，K_r表示发射脉冲调频斜率，λ表示载波波长，R(η)为目标距离历史：

$R\left(\mathrm{\η}\right)=\sqrt{x^2+{(y-v_y\mathrm{\η}-1/2a_y{\mathrm{\η}}^2)}^2+{(H_0-v_z\mathrm{\η}-1/2a_z{\mathrm{\η}}^2)}^2}---\left(2\right)$

其中，x、y分别为点目标的x轴和y轴坐标，H₀为场景中心点目标被SAR波束中心穿越时刻SAR平台的高度，v_y、a_y、v_z和a_z分别表示SAR平台的y轴速度分量、y轴加速度分量、z轴速度分量相反数和z轴加速度分量相反数；

S12.对回波信号进行距离向傅里叶变换，即，

根据驻定相位原理，对式(1)进行距离向傅里叶变换并略去窗函数可得

$S_{echo}(f_{\mathrm{\τ}},\mathrm{\η})=\exp (-j\frac{{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\τ}}^2}{K_r})\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}}{c}(f_{\mathrm{\τ}}+f_0\left)R\right(\mathrm{\η}\left)\right)---\left(3\right)$

其中，f_τ、c和f₀分别表示距离频率、光速和载频；

S13.进行方位向傅里叶变换获得回波信号的二维频谱表达式；

对步骤S12的结果进行方位向傅里叶变换，即，

$\begin{array}{c}{S}_{2df}(f_{\mathrm{\τ}},f_{\mathrm{\η}})=\∫S_{echo}(f_{\mathrm{\τ}},\mathrm{\η})\exp (-j2{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\η}}\mathrm{\η})d\mathrm{\η}\\ =\∫\exp \left(j\mathrm{\Ψ}\right)d\mathrm{\η}\end{array}---\left(4\right)$

其中， $\mathrm{\Ψ}=-\frac{{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\τ}}^2}{K_r}-\frac{4\mathrm{\π}}{c}(f_{\mathrm{\τ}}+f_0)R\left(\mathrm{\η}\right)-2{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\η}}\mathrm{\η}---\left(5\right)$

将R(η)关于η进行泰勒展开并保持到三阶项得到：

R(η)≈R₀+a₁η+1/2a₂η²+1/3a₃η³(6)

其中，R₀，a₁，a₂，a₃分别为零阶、一阶、二阶和三阶的展开系数；

将式(6)代入式(5)得：

$\mathrm{\Ψ}\≈-\frac{{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\τ}}^2}{K_r}-\frac{4\mathrm{\π}}{c}(f_{\mathrm{\τ}}+f_0)(R_0+a_1\mathrm{\η}+1/2a_2{\mathrm{\η}}^2+1/3a_3{\mathrm{\η}}^3)-2{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\η}}\mathrm{\η}---\left(7\right)$

对式(7)求关于η的偏导数得：

$\frac{\∂\mathrm{\Ψ}}{\∂\mathrm{\η}}=-2\mathrm{\π}\[\frac{2}{c}(f_{\mathrm{\τ}}+f_0)(a_1+a_2\mathrm{\η}+a_3{\mathrm{\η}}^2)+f_{\mathrm{\η}}\]---\left(8\right)$

令式(8)等于零得到：

$-\frac{{\mathrm{cf}}_{\mathrm{\η}}}{2(f_{\mathrm{\τ}}+f_0)}-a_1=a_2\mathrm{\η}+a_3{\mathrm{\η}}^2---\left(9\right)$

对式(9)进行序列反转得到慢时间关于方位频率的表达式，即

$\mathrm{\η}\left(f_{\mathrm{\η}}\right)=b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2---\left(10\right)$

其中，

$b_1={a_2}^{-1},b_2=-\frac{a_3}{{a_2}^3},f_{ra}=-\frac{{\mathrm{cf}}_{\mathrm{\η}}}{2(f_{\mathrm{\τ}}+f_0)}-a_1---\left(11\right)$

根据驻定相位原理，将式(10)代入式(7)即可得到回波信号的二维频谱，即，

$\begin{array}{c}{S}_{echo}(f_{\mathrm{\τ}},f_{\mathrm{\η}})=\exp \left\{j\mathrm{\Ψ}\left(\mathrm{\η}\right(f_{\mathrm{\η}})\right)\}\\ =\exp (-j\frac{{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\τ}}^2}{K_r})\exp (-j2{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\η}}(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2))\\ \×\exp (-j\frac{4\mathrm{\π}}{c}(f_{\mathrm{\τ}}+f_0)(R_0+a_1(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2)+\frac{1}{2}{a}_2{(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2)}^2+\frac{1}{3}{a}_3{(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2)}^3\left)\right)\\ =\exp (-j\frac{{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\τ}}^2}{K_r})\exp (-j2\mathrm{\π}\mathrm{\Θ})\end{array}---\left(12\right)$

其中，

$\begin{array}{c}\mathrm{\Θ}=\frac{2}{c}(f_{\mathrm{\τ}}+f_0)(R_0+a_1(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2)+\frac{1}{2}{a}_2{(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2)}^2+\frac{1}{3}{a}_3{(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2)}^3)\\ +f_{\mathrm{\η}}(b_1{f}_{ra}+b_2{f}_{ra}^2)\end{array}---\left(13\right)$

将式(12)关于场景中心目标位置坐标(x₀,y₀)，进行二维泰勒展开并忽略高阶项得

$\begin{array}{c}{S}_{echo}(f_{\mathrm{\τ}},f_{\mathrm{\η}})\≈\exp (-j\frac{{{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\τ}}}^2}{K_r})\\ \×\exp \{-j2\mathrm{\π}(C_0+C_x\mathrm{\Δ}x+C_y\mathrm{\Δ}y)\}\end{array}---\left(14\right)$

其中，

$C_0=\mathrm{\Θ}{|}_{x=x_0,y=y_0}$

$C_x=\frac{\∂\mathrm{\Θ}}{\∂x}{|}_{x=x_0,y=y_0}---\left(15\right)$

$C_y=\frac{\∂\mathrm{\Θ}}{\∂y}{|}_{x=x_0,y=y_0}$

S2.去除回波的多普勒质心：

将步骤S11的结果进行相位相乘，即，

S₁(τ,η)＝S_echo(τ,η)·H₁(η)(16)

其中

H₁(η)＝exp(-j2πf_dcη)(17)

f_dc表示回波多普勒质心：

$f_{dc}=\frac{2\sqrt{v_y^2+v_z^2}}{\mathrm{\λ}}sin\left({\mathrm{\θ}}_s\right)---\left(18\right)$

其中，θ_s是SAR波束斜视角，即波束中心与速度方向的夹角的余角，为系统参数；

S3.参考函数相乘，具体过程如下：

S31.将步骤S2的结果分别进行距离向和方位向快速傅里叶变换，即，

S₁(f_τ,f_η)＝FFT_az{FFT_rg{S₁(τ,η)}}(19)

其中，FFT_rg{·}和FFT_az{·}分别表示距离向和方位向快速傅里叶变换，f_τ和f_η分别表示τ和η对应的频率变量；

S32.将步骤S31的结果进行相位相乘，即，

S₂(f_τ,f_η)＝S₁(f_τ,f_η)·H₂(f_τ,f_η)(20)

其中，

$H_2(f_{\mathrm{\τ}},f_{\mathrm{\η}})=\exp \left(j\frac{{{\mathrm{\πf}}_{\mathrm{\τ}}}^2}{K_r}\right)\exp \left(j2{\mathrm{\πC}}_0\right)---\left(21\right)$

S4.对步骤S3的结果进行二维频域插值，插值前后频率采样序列的映射关系为

C_x＝k_x,C_y＝k_y(22)

其中，k_x和k_y分别表示插值后新的距离频率和方位频率，二维频域插值的具体过程如下：

S41.对步骤S3的结果距离频率向和方位频率向进行上采样；

S42.分别计算C_x的取值范围[C_xmin,C_xmax]和C_y的取值范围[C_ymin,C_ymax]，其中C_xmin和C_xmax分别表示C_x的最小值和最大值，C_ymin和C_ymax分别表示C_y的最小值和最大值，据此设定k_x和k_y采样序列的区间分别为[k_xmin＝C_xmin,k_xmax＝C_xmax]、[k_ymin＝C_ymin,k_ymax＝C_ymax]，然后在上述区间内均匀设定二维频谱新的采样格点；

S43.设置一个k_x和k_y平面上的新的数据矩阵S₃(k_x,k_y)，并初始化为零；

S44.根据式(22)将步骤S41的结果逐一累加到S₃(k_x,k_y)中对应的最近采样格点之上即完成了二维频域插值；

S5.对步骤S44的结果进行距离向k_x方向快速傅里叶逆变换，并进行方位向k_y方向快速傅里叶逆变换，即完成全部的成像处理。