CN103795422A - 一种基于压缩感知的一维信号随机采样方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于压缩感知的一维信号随机采样方法，该方法包括：锯齿波电压信号发生器生成n个编号分别为1，2，3...n的锯齿波电压信号，n为自然数；比较器将该n个锯齿波电压信号与输入信号进行对比，确定锯齿波电压信号与输入信号交点处的时间点k和电压值y，并利用时间点k构造观测矩阵Φ，利用电压值y构造原始信号的测量值Y，进而构造压缩采样方程Y＝ΦX，其中X为原始信号，Y为原始信号的测量值；采用压缩感知理论中的恢复算法对构造的压缩采样方程Y＝ΦX进行重构，由测量值Y和观测矩阵Φ得到原始信号X。本发明能在较低的平均采样率下高概率的重构信号，突破了奈奎斯特频率的限制，降低了硬件要求，降低了硬件实现的成本和难度。

Description

一种基于压缩感知的一维信号随机采样方法

技术领域

本发明涉及信号采集技术领域，特别涉及一种基于压缩感知的一维信号随机采样方法。

背景技术

传统的信号采样通常采用固定频率的周期采样，遵循奈奎斯特(Nyquist)采样定理，采样率的最小值为信号带宽的两倍。这种采样方法虽然能够保证信号较为完美的恢复，但是在一定程度上浪费了硬件资源以及存储空间。

近些年随着压缩感知理论的提出，打破了奈奎斯特定律的限制，开始探索采用低于奈奎斯特频率进行压缩采样的方法。

现有的采用低于奈奎斯特频率进行压缩采样的方法，一般步骤为：

步骤1：利用测量矩阵Ψ对原始信号X进行观测，把n维信号投影到m维，其中m＜n。

步骤2：找到适合于原始信号X的稀疏基θ，得到原始信号X的观测矩阵Φ＝Ψθ。

步骤3：构造压缩采样方程Y＝ΦX，其中Y为原始信号的测量值，利用现有的压缩感知算法对构造的压缩采样方程Y＝ΦX进行重构，通过多次迭代由测量值Y和观测矩阵Φ得到原始信号X。

上述方法中的测量矩阵Ψ是高斯随机矩阵，高斯随机矩阵的构造过程要求高斯随机矩阵中每个一位置的数值为一个符合高斯分布的随机数，目前这在硬件上是实现不了的，进而导致上述方法硬件实现困难，进而此方法只适用于数学仿真，离实际应用还很远。

因此需要设计一种硬件可操作的采样方法。

发明内容

(一)要解决的技术问题

有鉴于此，本发明的主要目的在于提供一种基于压缩感知的一维信号随机采样方法。

(二)技术方案

为达到上述目的，本发明提供了一种基于压缩感知的一维信号随机采样方法，该方法包括：

步骤1：锯齿波电压信号发生器生成n个编号分别为1，2，3…n的锯齿波电压信号，n为自然数；

步骤2：比较器将该n个锯齿波电压信号与输入信号进行对比，确定锯齿波电压信号与输入信号交点处的时间点k和电压值y，并利用时间点k构造观测矩阵Φ，利用电压值y构造原始信号的测量值Y，进而构造压缩采样方程Y＝ΦX，其中X为原始信号，Y为原始信号的测量值；

步骤3：采用压缩感知理论中的恢复算法对构造的压缩采样方程Y＝ΦX进行重构，由测量值Y和观测矩阵Φ得到原始信号X。

上述方案中，步骤1中所述n个锯齿波电压信号，其峰-峰值和周期均相同，峰-峰值为A，各锯齿波电压信号的初始电压分别为0，A，2A，3A...(n-1)A。

上述方案中，步骤2中所述比较器将该n个锯齿波电压信号与输入信号进行对比，确定锯齿波电压信号与输入信号交点处的时间点k和电压值y，包括：比较器将该n个锯齿波电压信号同时与幅值在(n-1)A以内的一个输入信号进行对比，记录锯齿波电压信号与输入信号交点处的时间点k和电压值y。

上述方案中，所述时间点k是通过计数的方式得到的，连接于比较器的一计数器从锯齿波电压信号发生器生成第1个锯齿波电压信号时开始计数，并记录锯齿波电压信号与输入信号交点处的计数值。所述利用时间点k构造观测矩阵Φ，具体包括：用k_m表示锯齿波电压信号与输入信号交点处的计数值，其中m＝1，2，3...，则

${\mathrm{\Φ}}_{m,n}=\frac{1}{\sqrt{N}}\exp (-j2\mathrm{\Π}\frac{(k_m-1)(n-1)}{N}),n=\mathrm{1,2}...,N.$

上述方案中，所述电压值y是通过锯齿波电压信号的固定斜率a与时间点k的乘积得到的，即y＝ak。所述利用电压值y构造原始信号的测量值Y，具体包括：测量值Y是由M个测量点构成的向量，其中每一个测量点用y_m表示，用k_m表示锯齿波电压信号与输入信号交点处的计数值，其中m＝1，2，3...，则

y_m＝(k_mmod a)b，其中b＝A/a

进而由y_m构成矩阵形式的测量值Y。

上述方案中，步骤3中所述采用压缩感知理论中的恢复算法对构造的压缩采样方程Y＝ΦX进行重构，由测量值Y和观测矩阵Φ得到原始信号X，其中恢复算法采用OMP算法，具体步骤包括：

1)初始余量r₀＝Y，迭代次数n＝1，索引值集合Λ＝Φ，J＝Φ；

2)计算相关系数u，并将u中最大值对应的索引值存入J中；

3)更新支撑集Φ_Λ，其中Λ＝Λ∪J₀；

4)由最小二乘法得到

更新残差 $r_{\mathrm{new}}=y-{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\Λ}}\hat{x};$

5)若||r_new-r||≥2，令r＝r_new，n＝n+1，转步骤2)；否则，停止迭代。

(三)有益效果

从上述技术方案可以看出，本发明具有以下有益效果：

1、本发明提供的基于压缩感知的一维信号随机采样方法，由于采用将输入信号与锯齿波电压信号对比的方法，在满足压缩感知测量矩阵要求的前提下，人为的控制锯齿波信号的频率使实际采样的y_m个数低于乃奎斯特频率下的采样点的个数，应用压缩感知理论进行信号x的重构，所以可以用于硬件实现的低于乃奎斯特频率的采样。

2、本发明提供的基于压缩感知的一维信号随机采样方法，由于系统输出值k_mk通过公式

${\mathrm{\Φ}}_{m,n}=\frac{1}{\sqrt{N}}\exp (-j2\mathrm{\Π}\frac{(k_m-1)(n-1)}{N}),n=\mathrm{1,2}...,N$

y_m＝(k_m mod a)b，其中b＝A/a

对应到Y和Φ，所以提出了完整的压缩感知理论模型Y＝ΦX的构造过程，便于采样的后端恢复过程。

3、本发明提供的基于压缩感知的一维信号随机采样方法，由于利用了输入信号在下一时刻未知这一特点，巧妙地设计了一种随机采样的方法，在降低采样频率的同时，只利用了锯齿波电压信号发生器、比较器以及计数器实现简化的采样电路，降低了数据采集端的采集、存储和传输的压力。

4、本发明提供的基于压缩感知的一维信号随机采样方法，由于通过多路锯齿波与一路输入信号对比的方法，相对于一路锯齿波的方法使每一个采样点y_m的误差减小为1/n，解决了一路锯齿波的误差问题，所以可以应用于精度要求更高的采样领域。

5、本发明提供的基于压缩感知的一维信号随机采样方法，由于实施简单，采样电路简化、存储数据少、功耗低，所以更适用于大面积的使用。

附图说明

图1为依照本发明实施例的基于压缩感知的一维信号随机采样方法进行构造压缩感知基本框架的示意图；

图2是依照本发明实施例的基于压缩感知的一维信号随机采样方法的流程图；

图3为依照本发明实施例的基于压缩感知的一维信号随机采样方法的示意图；

图4为依照本发明实施例的基于压缩感知的一维信号随机采样方法进行仿真的误差分析示意图；

图5为依照本发明实施例的基于压缩感知的一维信号随机采样方法的最初构想的示意图；

图6为依照本发明实施例的基于压缩感知的一维信号随机采样方法测量点不断增加的相对误差的变化示意图；

图7为依照本发明实施例的基于压缩感知的一维信号随机采样方法的改进前硬件实现示意图；

图8为依照本发明实施例的基于压缩感知的一维信号随机采样方法的改进后硬件实现示意图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，以下结合具体实施例，并参照附图，对本发明进一步详细说明。

由图1中测量矩阵Ψ可以看出，随机采样的测量矩阵是从一个n维单位矩阵中随机的抽取m行，由抽取的这m行构成的矩阵。该矩阵满足与稀疏基不相关的要求，此处的稀疏基我们选用最经典的傅里叶变换。

如图2所示，图2是依照本发明实施例的基于压缩感知的一维信号随机采样方法的流程图，该方法包括：

步骤1：锯齿波电压信号发生器生成n个编号分别为1，2，3...n的锯齿波电压信号，n为自然数；其中，所述n个锯齿波电压信号，其峰-峰值和周期均相同，峰-峰值为A，各锯齿波电压信号的初始电压分别为0，A，2A，3A...(n-1)A。

步骤2：比较器将该n个锯齿波电压信号与输入信号进行对比，确定锯齿波电压信号与输入信号交点处的时间点k和电压值y，并利用时间点k构造观测矩阵Φ，利用电压值y构造原始信号的测量值Y，进而构造压缩采样方程Y＝ΦX，其中X为原始信号，Y为原始信号的测量值。

所述比较器将该n个锯齿波电压信号与输入信号进行对比，确定锯齿波电压信号与输入信号交点处的时间点k和电压值y，包括：比较器将该n个锯齿波电压信号同时与幅值在(n-1)A以内的一个输入信号进行对比，记录锯齿波电压信号与输入信号交点处的时间点k和电压值y。

所述时间点k是通过计数的方式得到的，连接于比较器的一计数器从锯齿波电压信号发生器生成第1个锯齿波电压信号时开始计数，并记录锯齿波电压信号与输入信号交点处的计数值。所述利用时间点k构造观测矩阵Φ，具体包括：用k_m表示锯齿波电压信号与输入信号交点处的计数值，其中m＝1，2，3...，则

${\mathrm{\Φ}}_{m,n}=\frac{1}{\sqrt{N}}\exp (-j2\mathrm{\Π}\frac{(k_m-1)(n-1)}{N}),n=\mathrm{1,2}...,N,$ 其中N为计数器的最大值，也是原始信号全采样情况下的采样点数，j是复数的标志。

所述电压值y是通过锯齿波电压信号的固定斜率a与时间点k的乘积得到的，即y＝ak。所述利用电压值y构造原始信号的测量值Y，具体包括：测量值Y是由M个测量点构成的向量，其中每一个测量点用y_m表示，用k_m表示锯齿波电压信号与输入信号交点处的计数值，其中m＝1，2，3...，则

y_m＝(k_m moda)b，其中b＝A/a

进而由y_m构成矩阵形式的测量值Y。

步骤3：采用压缩感知理论中的恢复算法对构造的压缩采样方程Y＝ΦX进行重构，由测量值Y和观测矩阵Φ得到原始信号X。

所述采用压缩感知理论中的恢复算法对构造的压缩采样方程Y＝ΦX进行重构，由测量值Y和观测矩阵Φ得到原始信号X，其中恢复算法采用OMP算法，具体步骤包括：

1)设初始余量r₀＝Y，迭代次数n＝1，索引值集合

其中r和J都是假设的参数，r用于表示残差，J用于记录索引值；

2)计算相关系数u，并将u中最大值对应的索引值存入J中；

3)更新支撑集Φ_Λ，其中Λ＝Λ∪J₀，Φ_Λ为Φ中索引值集合Λ所表示的位置的向量组成的集合，Λ为索引值集合，J₀为J集合第0位置的数值；

4)由最小二乘法得到更新残差 $r_{\mathrm{new}}=y-{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\Λ}}\hat{x};$

5)若||r_new-r||≥2，令r＝r_new，n＝n+1，转步骤(2)；否则，停止迭代。

在上述实施例的步骤1中，本发明最初的构想是如图5所示，生成一个锯齿波电压信号，并将生成的锯齿波电压信号与幅值在(n-1)A以内的输入信号进行对比，横坐标为计数点，记录交点处的计数值k₁、k₂、k₃、k₄、k₅……k_m。

计数器的计数频率为f＝1/T₀，其中为T₀为奈奎斯特频率下采样的时间间隔。图5横轴标注的k₁、k₂……k_m对应了公式(1)中的k₁、k₂……k_m，当t＝NT₀时开始新的一轮计数，同时由公式(3)到了一个Φ_m，n，其中N是输入信号在奈奎斯特频率下的长度。接下来只要能够得到y_m就能得到y＝Φx了。假设锯齿波电压信号的斜率是b，那么就可以得到y_m的表达式

y_m＝(k_mmoda)b    (1)

b＝A/a    (2)

利用公式

${\mathrm{\Φ}}_{m,n}=\frac{1}{\sqrt{N}}\exp (-j2\mathrm{\Π}\frac{(k_m-1)(n-1)}{N}),n=\mathrm{1,2}...,N---\left(3\right)$

得到完整的Y＝Φ_n，mX的表达式，再通过压缩感知理论中的恢复算法恢复出原始信号X。

但是上述过程存在不足之处，最大的问题是误差比较大，而且这个误差是系统本身的固有的矛盾造成的，下面对该误差进行简要分析。

首先由图6可以知道M/N的值一定要大于一定的值才能用压缩感知的理论进行恢复，图中模拟结果给出这个值应该是M/N＞1/5。这就决定了t＝N_T0这段时间内采集到的点至少有N/5个点。这决定了a≤5，这样才能保证算法的有效，当然可以通过改进算法让a值可以大一点但是一定会有个上限。容易理解采到的点误差最大为A/a，由于a≤5，可以知道该系统的最大误差可以达到A/5。这个误差是很大的，而且，系统确定了，A值就是确定的，要减小误差只能从硬件实现方法上进行改进。

于是本发明对硬件电路的实现方法进行了改进，如图7和图8所示，改进前的图7是输入信号与单路锯齿波对比，改进后的图8是输入信号和多路锯齿波对比，改进后还多了一个判断单元，得到了图3的结果。加入一个判断单元来判断交点是输入信号与哪一个锯齿波电压信号产生的，显示在公式上就是公式(4)中的c的确定。

在图8中，锯齿波电压信号发生器用于生成n个编号分别为1，2，3...n的锯齿波电压信号，该锯齿波电压信号的峰-峰值和周期均相同，峰-峰值为A，各锯齿波电压信号的初始电压分别为0，A，2A，3A...(n-1)A。比较器，用于将生成的n路锯齿波电压信号同时与幅值在(n-1)A以内的一个输入信号进行对比，记录锯齿波电压信号与输入信号交点处的时间点k和电压值y，并利用时间点k构造观测矩阵Φ，利用电压值y构造原始信号的测量值Y，进而构造压缩采样方程Y＝ΦX，其中X为原始信号，Y为原始信号的测量值。计数器，从系统开始工作开始均匀计数，在锯齿波电压信号与输入信号相等时向信号传输单元输出当前计数值。判断单元，用于判断输入信号与上述n路锯齿波电压信号中的哪一路相等，以确定该点的y_m值。信号传输单元，用于信号的调整和输入，即把传感器的输出信号调整到合适的幅值范围内(小于nA)再进入下一步的比较。

把一路锯齿波电压信号的赋值减小为原来的1/l，若l＝4，则分为四路锯齿波电压信号，赋值不变的情况下改变各路的初始电压，使初始电压分别为0、A/l、2A/l和3A/l。输入信号P与四路锯齿波电压信号同时进行比较。记录下交点的计数值，其中Φ_m，n的值依然用公式(3)到，而y_m的表达式则变为

y_m＝cA/+(k_m mod a)b其中c∈{0.1，2，3...}    (4)

其中，c是输入信号具体与哪一路锯齿波相等，当输入信号与第一路锯齿波相交时c＝0，第二路时c＝1，以此类推。y_m＝cA+(k_mmod a)b其中c∈{0，1,2,3...}

b＝A/a    (5)

改进后图8所示的电路的主要优点在于降低了误差，有l路锯齿波那么误差就是改进前的误差的1/l，解决了原系统固有的误差的问题，使其离实际应用更近了一步，同时并没有给硬件电路带来太多负担，因此此设计硬件要求很低，很适用于传感器网络节点的应用。

在上述实施例的步骤3中，用压缩感知理论中的恢复算法对构造的压缩采样方程Y＝ΦX进行重构，由测量值Y和观测矩阵Φ得到原始信号X。此处的恢复算法我们采用正交匹配追踪算法(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)，这里对此算法进行简要介绍。

正交匹配追踪算法(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)是最早的贪婪迭代算法之一。该算法沿用了匹配追踪算法中的原子选择准则，只是通过递归对已选择原子集合进行正交化以保证迭代的最优性，从而减少迭代次数。OMP算法则有效克服了匹配追踪算法为获得较好的收敛效果往往需要经过较多的迭代次数的问题。

OMP算法将所选原子利用Gram-Schmidt正交化方法进行正交处理，再将信号在这些正交原子构成的空间上投影，得到信号在各个已选原子上的分量和余量，然后用相同方法分解余量。在每一步分解中，所选原子均满足一定条件，因此余量随着分解过程迅速减小。通过递归地对已选择原子集合进行正交化保证了迭代的最优性，从而减少了迭代次数。

OMP的重建算法是在给定迭代次数的条件下重建，这种强制迭代过程停止的方法使得OMP需要非常多的线性测量来保证精确重建。总之，它以贪婪迭代的方法选择Φ的列，使得在每次迭代中所选择的列与当前的冗余向量最大程度地相关，从测量向量中减去相关部分并反复迭代，直到迭代次数达到稀疏度K，强制迭代停止。

OMP算法的具体步骤如下：

1)初始余量r₀＝Y，迭代次数n＝1，索引值集合Λ＝Φ，J＝Φ；

2)计算相关系数u，并将u中最大值对应的索引值存入J中；

3)更新支撑集Φ_Λ，其中Λ＝Λ∪J₀；

4)由最小二乘法得到

更新残差 $r_{\mathrm{new}}=y-{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\Λ}}\hat{x};$

5)若||r_new-r||≥2，令r＝r_new，n＝n+1，转步骤2)；否则，停止迭代。

应用场景：室内气体实时监测及显示

针对气体：如氨气、二氧化碳等

以氨气浓度的实时观测为例，传感器采用氨气浓度的传感器，输出信号为电压值，采样电路为本发明的采样方法设计的电路，氨气浓度传感器的输出电压信号即采样电路的输入信号。

第一步：输入信号同采样点路自生成的锯齿波电压信号进行比较，由于锯齿波电压信号与输入信号有交点时产生一个触发信号，同时该电路的计数器部分也在计数。

第二步：触发信号到达计数器部分记录下当时的计数。

第三步：根据记录下的计数，通过公式(4)计算出交点处的输入信号值，及通过接收到的计数和公式(3)得到观测矩阵，得到的计数为k_m，公式(3)中只有k_m一个未知量，代入即可得到Φ。

第四部：通过OMP算法重构原始信号，完成信号采集。

以上所述的具体实施例，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (8)

1.一种基于压缩感知的一维信号随机采样方法，其特征在于，该方法包括：

步骤1：锯齿波电压信号发生器生成n个编号分别为1，2，3...n的锯齿波电压信号，n为自然数；

步骤2：比较器将该n个锯齿波电压信号与输入信号进行对比，确定锯齿波电压信号与输入信号交点处的时间点k和电压值y，并利用时间点k构造观测矩阵Φ，利用电压值y构造原始信号的测量值Y，进而构造压缩采样方程Y＝ΦX，其中X为原始信号，Y为原始信号的测量值；

步骤3：采用压缩感知理论中的恢复算法对构造的压缩采样方程Y＝ΦX进行重构，由测量值Y和观测矩阵Φ得到原始信号X。

2.根据权利要求1所述的基于压缩感知的一维信号随机采样方法，其特征在于，步骤1中所述n个锯齿波电压信号，其峰-峰值和周期均相同，峰-峰值为A，各锯齿波电压信号的初始电压分别为0，A，2A，3A...(n-1)A。

3.根据权利要求1所述的基于压缩感知的一维信号随机采样方法，其特征在于，步骤2中所述比较器将该n个锯齿波电压信号与输入信号进行对比，确定锯齿波电压信号与输入信号交点处的时间点k和电压值y，包括：

比较器将该n个锯齿波电压信号同时与幅值在(n-1)A以内的一个输入信号进行对比，记录锯齿波电压信号与输入信号交点处的时间点k和电压值y。

4.根据权利要求3所述的基于压缩感知的一维信号随机采样方法，其特征在于，所述时间点k是通过计数的方式得到的，连接于比较器的一计数器从锯齿波电压信号发生器生成第1个锯齿波电压信号时开始计数，并记录锯齿波电压信号与输入信号交点处的计数值。

5.根据权利要求4所述的基于压缩感知的一维信号随机采样方法，其特征在于，所述利用时间点k构造观测矩阵Φ，具体包括：

用k_m表示锯齿波电压信号与输入信号交点处的计数值，其中m＝1，2,3...，则

${\mathrm{\Φ}}_{m,n}=\frac{1}{\sqrt{N}}\exp (-j2\mathrm{\Π}\frac{(k_m-1)(n-1)}{N}),n=\mathrm{1,2}...,N.$

6.根据权利要求1所述的基于压缩感知的一维信号随机采样方法，其特征在于，所述电压值y是通过锯齿波电压信号的固定斜率a与时间点k的乘积得到的，即y＝ak。

7.根据权利要求6所述的基于压缩感知的一维信号随机采样方法，其特征在于，所述利用电压值y构造原始信号的测量值Y，具体包括：

测量值Y是由M个测量点构成的向量，其中每一个测量点用y_m表示，用k_m表示锯齿波电压信号与输入信号交点处的计数值，其中m＝1，2，3...，则

y_m＝(k_mmoda)b，其中b＝A/a

进而由y_m构成矩阵形式的测量值Y。

8.根据权利要求1所述的基于压缩感知的一维信号随机采样方法，其特征在于，步骤3中所述采用压缩感知理论中的恢复算法对构造的压缩采样方程Y＝ΦX进行重构，由测量值Y和观测矩阵Φ得到原始信号X，其中恢复算法采用OMP算法，具体步骤包括：

1)初始余量r₀＝Y，迭代次数n＝1，索引值集合Λ＝Φ，J＝Φ；

2)计算相关系数u，并将u中最大值对应的索引值存入J中；

3)更新支撑集Φ_Λ，其中Λ＝Λ∪J₀；

4)由最小二乘法得到

更新残差 $r_{\mathrm{new}}=y-{\mathrm{\Φ}}_{\mathrm{\Λ}}\hat{x};$

5)若||r_new-r||≥2，令r＝r_new，n＝n+1，转步骤2)；否则，停止迭代。

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