CN103793561B - 用于芯片热分析的混合随机行走方法 - Google Patents

Abstract

一种用于芯片热分析的混合随机行走方法，该方法运用于计算机中，该方法包括：（a）建立针对芯片系统特征的悬浮随机行走转移区域终点位置编号数组，并将所建立的终点位置编号数组保存至计算机的硬盘；（b）读取上述建立的终点位置编号数组至计算机的内存；（c）对于芯片系统中需计算温度的位置点，采用网格随机行走过程与悬浮随机行走过程相结合的混合随机行走方法计算该位置点的温度；（d）若还有所需计算的位置点的温度没有计算，则返回步骤（c），直到有所需计算的位置点的温度全部计算完毕。利用本发明提高了对芯片进行热分析的计算速度。

Description

用于芯片热分析的混合随机行走方法

技术领域

本发明涉及一种用于芯片热分析的混合随机行走方法。

背景技术

随着集成电路的发展，集成电路中包含的器件越来越多，单位面积上的功耗呈现增大的趋势。因此，集成电路的发热问题日益突出，为了不影响电路正常工作及其可靠性，需要配备有效的散热部件，它们共同构成一个热传导系统。

在集成电路设计过程中，为了保证最终生产出的芯片能正常工作、以及应具备的性能，需要对集成电路进行热分析（热仿真），即计算其在各种工作模式（对应各种电路模块的功率分布情况）下的最高温度。这需要算出芯片上的温度分布、或者某些热位置点位置（可能出现最高温度的位置）上的温度。根据这些温度信息可以进一步分析电路性能，并验证其是否满足设计要求。为了进行准确的芯片热分析，有必要考虑热扩散器、散热片等散热部件的影响，因此在热分析中处理的是包括它们与芯片的整体系统。有研究表明，如果不考虑散热部件、或对其几何形状进行近似简化，对芯片进行热分析的结果可能造成超过十摄氏度的误差。

由于散热片等部件的尺寸远大于集成电路芯片尺寸，使得进行芯片系统的整体热分析需要很长的计算时间。在2012年发表于ACM Transactions on Design Automation ofElectronic Systems的文献“Fast Poisson solvers for thermal analysis”中，提出了一种考虑实际的金字塔型芯片系统的FPS-PCG热分析方法。该方法对整个区域进行体积元离散，然后根据任意相邻两个小元之间的热电阻联立形成热电路方程，采用一种预条件的共轭梯度法求解该线性方程组。其中，预条件矩阵为一个近似实际金字塔型结构的长方体结构对应的热电路方程系数矩阵，由于求解长方体结构区域时可以使用快速泊松求解器（FPS），而这种预条件矩阵是原系数矩阵的很好近似，该FPS-PCG方法能很快收敛，比直接求解热电路方程的方法有低得多的计算复杂度。

为了减少计算量，有时只计算少量热位置点位置（可能经验选取的，例如芯片上热源区域的某些位置）的温度。这时采用一种随机行走方法比较有效，该方法将求解整个芯片系统的热方程转化为一个热电阻网络，然后在该热电阻网络上使用基于网格随机行走方法。具体的方法细节可参考2005年发表在国际期刊IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems上的论文“Power grid analysisusing random walks”，或2010年发表在《计算机辅助设计与图形学学报》上的论文“随机行走算法在IC芯片热分析中的应用”。

悬浮随机行走方法是不同于网格随机行走方法的另一种随机行走方法，它的每次随机行走跳转并不局限于相邻网格位置点，而是使用一种可放缩的空间转移区域，从转移区域中心位置点跳到转移区域边界上的某位置点。悬浮随机行走已成功用于三维互连线的电容计算问题，具体细节可参考申请人2013年在国际期刊IEEE Transactions onComputer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems上发表的论文“RWCap:Afloating random walk solver for3-D capacitance extraction of VLSIinterconnects”。但是，由于悬浮随机行走方法不便于处理芯片上的热源区域，目前还没有将悬浮随机行走方法用于芯片热分析的工作。

无论是采用网格随机行走方法还是悬浮随机行走方法，在对芯片进行热分析时计算速度比较缓慢（即计算芯片中某一位置点的温度的时间过长），这导致进行集成电路设计时需要等待过长的时间才能得热分析结果，增大了集成电路的设计周期，对集成电路产品的上市时间、成本、性能造成很不好的影响。

发明内容

鉴于以上内容，有必要提供一种快速的芯片热分析方法，提高对芯片进行热分析的计算速度，缩短集成电路芯片的设计时间。

一种用于芯片热分析的混合随机行走方法，该方法运用于计算机中，该方法包括：（a）建立针对芯片系统特征的悬浮随机行走转移区域终点位置编号数组，并将所建立的终点位置编号数组保存至计算机的硬盘；（b）读取上述建立的终点位置编号数组至计算机的内存；（c）对于芯片系统中需计算温度的位置点，采用网格随机行走过程与悬浮随机行走过程相结合的混合随机行走方法计算该位置点的温度；（d）若还有所需计算的位置点的温度没有计算，则返回步骤（c），直到有所需计算的位置点的温度全部计算完毕。

相较于现有技术，本发明提供的混合随机行走热分析方法，提高了对芯片进行热分析的计算速度。

附图说明

图1是本发明用于芯片热分析的计算机系统的硬件框架图。

图2是本发明芯片系统的俯视图。

图3是本发明芯片系统的侧视图。

图4是本发明用于芯片热分析的混合随机行走方法较佳实施例的流程图。

图5是本发明图4步骤S10中建立针对芯片系统特征的悬浮随机行走转移区域终点位置编号数组的细化流程图。

图6是本发明图4步骤S30中采用网格随机行走过程与悬浮随机行走过程相结合的混合随机行走方法计算该位置点的温度的细化流程图。

图7是本发明芯片系统中划分的网格随机行走区域、悬浮随机行走区域及悬浮随机行走转移区域的示意图。

图8是本发明网格划分的示意图。

图9是本发明一种热电阻网络的示意图。

图10是本发明另一种热电阻网络的示意图。

图11是本发明一次网格随机行走跳转的示意图。

主要元件符号说明

显示器	1
		计算机	2
键盘	3
		鼠标	4
数据库	5
		芯片系统	20
芯片	200
		热扩散器	210
散热片	220

如下具体实施方式将结合上述附图进一步说明本发明。

具体实施方式

参阅图1所示，是本发明用于芯片热分析的计算机系统的硬件框架图。该计算机系统主要包括计算机2及与该计算机2相连的数据库5。所述计算机2还连接有显示器1、键盘3及鼠标4，作为具体操作时的输入、输出设备。

所述数据库5既可以内置于计算机2中，也可以外置于计算机2。该数据库5用于存储计算机2进行芯片热分析时所需的数据（例如，要进行热分析的芯片系统的几何信息、热导率信息、热源分布情况、所需计算温度的位置点坐标、悬浮随机行走转移终点位置编号数组及相关数据）。

所述计算机2用于对芯片系统20进行热分析，所述芯片系统20包括芯片200、热扩散器210及散热片220，所述芯片系统20为金字塔结构，即芯片200在最顶层，热扩散器210在中间层，散热片220在最底层，如图2及图3所示。

如图4所示，是本发明用于芯片热分析的混合随机行走方法较佳实施例的流程图。

步骤S10，建立针对芯片系统20特征的悬浮随机行走转移区域终点位置编号数组，并将所建立的终点位置编号数组保存至计算机2的硬盘。所述建立针对芯片系统20特征的悬浮随机行走转移区域终点位置编号数组的方式将在图5中做详细描述。所述悬浮随机行走转移区域是指采用悬浮随机行走方法执行每步跳转所需的区域，每步跳转都是从悬浮随机行走转移区域的中心位置点跳到悬浮随机行走转移区域边界上某一位置点。所述悬浮随机行走转移区域包括两种类型，一种为所包含的区域中材料的热导率相同的区域，如图7中所示的I型，一种为所包含的区域中材料的热导率不同且不同热导率的材料上下各占一半的区域，如图7中所示的II型。所述终点位置编号数组包括针对I型的悬浮随机行走转移区域所建立的终点位置编号数组（以下简称第一类终点位置编号数组）及针对II型的悬浮随机行走转移区域所建立的终点位置编号数组（以下简称第二类终点位置编号数组）。

步骤S20，读取上述建立的终点位置编号数组至计算机2的内存。

步骤S30，对于芯片系统20中需计算温度的位置点，采用网格随机行走过程与悬浮随机行走过程相结合的混合随机行走方法计算该位置点的温度。所述采用网格随机行走过程与悬浮随机行走过程相结合的混合随机行走方法计算该位置点的温度的方式将在图6中做详细描述。所述混合随机行走方法是一种包含网格随机行走和悬浮随机行走过程的新方法。

步骤S40，所有所需计算的位置点的温度是否全部计算完毕。假设需要计算n个位置点的温度，则每个位置点一个一个地算温度，若还有所需计算的位置点的温度没有计算，则返回步骤S30，重复执行步骤S30，以计算该所需计算的位置点的温度，直到所有所需计算的位置点的温度全部计算完毕。

如图5所示，是本发明图4中步骤S10的细化流程图。

步骤S110，获取芯片系统20热源区域以外区域的热导率信息。需要说明的是，芯片系统20中包括三个部分，分别为芯片200、热扩散器210及散热片220，不同部分的热导率不同，例如，芯片200的热传导率与热扩散器210的热传导率不同，进一步地，同一个部分内部的热传导率也可能不同，例如，芯片200内部的不同区域的热传导率也可能不同。在本实施例中，不同热导率区域的交界面都是水平面。所述热源区域是指芯片200在工作时产生热源的区域，如图7所示。

步骤S111，构造热导率均匀的悬浮随机行走转移区域，并通过网格随机行走方法得到该悬浮随机行走转移区域的终点位置编号数组（即第一类终点位置编号数组）。具体而言，构造一个长宽高分别为a×a×1（单位为微米，其中a大于1，例如取10）、且含均匀热导率材料（热导率设为k，具体取值不影响计算结果）的长方体转移区域，对其设置合适的有限差分网格，并得到对应的热电阻网络，从长方体转移区域中心位置点开始执行M次网格随机行走方法，每次网格随机行走方法按照到达长方体转移区域表面（边界）作为结束标志，记录执行这M次网格随机行走方法的终点位置信息，即终点二维网格的编号，形成数组长度为M的第一类终点位置编号数组。所述步骤S111建立了第一类悬浮随机行走转移区域终点位置编号数组，对应于图7中的I型转移区域，所述I型区域指的是任何长宽高比例为a:a:1、且内部热导率均匀的区域。

步骤S112，构造热导率不均匀的悬浮随机行走转移区域，并通过网格随机行走方法得到该悬浮随机行走转移区域的终点位置编号数组（即第二类终点位置编号数组）。所述步骤S112针对第二种类型的悬浮随机行走转移区域，即图7中的II型区域，所述II型区域指的是任何长宽高比例为a:a:1、且内部含上下两半不同热导率子区域的区域。具体而言，对每个不同热导率区域的交界面，构造一个长宽高分别为a×a×1（单位为微米）、且上下两半的热导率分别为k1和k2的长方体转移区域（a>1，例如等于10），对其设置合适的有限差分网格，从长方体转移区域中心位置点开始执行M次网格随机行走方法，每次网格随机行走方法按照到达长方体转移区域表面作为结束标志，记录执行这M次网格随机行走方法的终点位置信息，即终点二维网格的编号，形成数组长度为M的第二类终点位置编号数组。由于芯片系统中不同热导率区域的交界面可能有多个，所述第二类终点位置编号数组有一个或多个。

步骤S113，保存上述得到的终点位置编号数组至计算机硬盘。

如图6所示，是本发明图4中步骤S30的细化流程图。

步骤S210，获取芯片系统20中各个部件的几何信息、热导率信息、芯片200上热源区域的分布情况以及所需计算的位置点的坐标。需要说明的是，所述所需计算的位置点在热源区域。

步骤S211，在芯片系统20中建立网格随机行走区域及悬浮随机行走区域。所述在芯片系统20中建立网格随机行走区域的方式如下：将芯片200上热源区域沿上下两方向扩展一定尺寸（例如，上下扩展1微米），得到网格随机行走区域，然后对该网格随机行走区域进行离散网格划分，并得到等效的热电阻网络。上述步骤S211的网格划分与等效热电阻网络建立如图8所示，在每个均匀材料子区域内进行均匀网格划分，在每个网格的中心设置一个电路节点，相邻网格的中心位置点通过一个热电阻相连，热电阻的计算分两种情况如图9和图10所示。图9显示的是相邻的两个网格在同一个区域内的情况，此时水平热电阻为垂直热电阻为图10显示的是相邻的两个网格在不同区域内的情况（即上下两个区域），此时垂直热电阻的计算公式为：k为相应区域的热导率。需要说明的是，所述网格随机行走区域包含热源区域。所述悬浮随机行走区域是芯片系统20中除网格随机行走区域之外的其它区域。

步骤S212，从计算机2的内存调用终点位置编号数组。具体而言，从计算机2的内存中调用第一类终点位置编号数组及第二类终点位置编号数组。需要说明的是，步骤S211和步骤S212的执行顺序可以调换，具体的说，可以先执行步骤S211，再执行步骤S212，也可以先执行步骤S212，再执行步骤S211。

步骤S213，初始化当前随机行走路径的编号。具体而言，假设npath表示当前随机行走路径的编号，则赋值npath=0，建立一个足够长的浮点数数组T，T将用于存储随机行走路径的温度估计值。

步骤S214，初始化当前随机行走路径的温度估计值（以T[npath]表示）为零，即T[npath]=0，初始化当前点pt的坐标为所需计算点的坐标，即pt=(x₀,y₀,z₀)，其中，(x₀,y₀,z₀)为所需计算点的坐标。

步骤S215，若当前位置点pt处于网格随机行走区域，该当前位置点对应网格编号为j，若pt还在热源区域，更新当前随机行走路径的温度估计值，并根据与该网格位置点连接的热电阻，进行一次网格随机行走跳转，更新当前位置点pt的位置，若当前位置点pt处于悬浮随机行走区域内，构造长和宽都是高的a倍的转移长方体区域，且使该转移长方体区域由均匀材料或者上下各一半的两种材料构成，使用相应的终点位置编号数组实现从当前位置点到转移长方体区域表面的悬浮随机跳转，更新当前位置点pt的位置。

具体而言，若当前位置点pt处于网格随机行走区域且在热源区域内，该当前位置点pt对应网格编号为j，更新当前随机行走路径的温度估计值T[npath]=T[npath]+reward(j)，并根据与该网格位置点连接的热电阻，进行一次网格随机行走跳转，更新当前位置点pt的位置。否则，若当前位置点pt处于悬浮随机行走区域内，以pt为中心、以外部边界（芯片系统20中部件的边界，例如，芯片200的边界等）或网格随机行走区域边界或交界面（即不同热导率材料的交界面）为限制构造长和宽都是高的a倍的转移长方体区域，且使该转移长方体由均匀材料或者上下各一半的两种材料构成，当该转移长方体区域由均匀材料构成，使用第一类终点位置编号数组实现从当前位置点到转移区域表面的悬浮随机行走跳转，更新当前位置点pt的位置，当该转移长方体区域由上下各一半的两种材料构成，使用第二类终点位置编号数组实现从当前位置点到转移区域表面的悬浮随机行走跳转，更新当前位置点pt的位置。

需要说明的是，若转移长方体区域没有对应的终点位置编号数组，则调用图5中的方法建立对应的终点位置编号数组，例如，当所建立的转移长方体区域是II型转移区域，而该转移长方体区域没有对应的第二类终点位置编号数组，则调用图5中的方法建立对应的第二类终点位置编号数组。

上述步骤S215中进行一次网格随机行走跳转的过程如图11所示，假设节点与节点j相邻的网格位置点编号为i₁,i₂,...,i_d(j),共d(j)个，网格节点j到网格节点i之间的热电阻为R_ji，则更新温度的计算公式中用到的reward(j)按如下公式计算：

其中，p_j为网格位置点j对应的三维网格区域包含的总发热功率。

而从节点j跳到其相邻节点的概率为：

$P(j,i_k)=\frac{\frac{1}{R_{j,i_k}}}{{\mathrm{\Σ}}_{l=1}^{d\left(j\right)}\frac{1}{R_{j,i_l}}},k=1,2,...,d\left(j\right).$

上述步骤S215中进行一次悬浮随机行走跳转的具体步骤是：生成一个0～1之间的均匀分布随机数r，将它乘以M并取整得到0～M之间的随机整数k，然后根据当前转移区域对应的终点位置编号数组DP，得到经过该次跳转后当前位置点所在的表面网格的编号为DP[k]，根据当前转移区域的几何位置及DP[k]算出新的当前位置点pt的位置。

步骤S216，判断当前随机行走路径是否结束。具体而言，若当前点pt处于温度已知为T0的外边界点，则表明当前随机行走路径结束，则更新当前随机行走路径的温度估计值T[npath]=T[npath]+T0、更新当前随机行走路径编号npath=npath+1，之后流程进入步骤S217。否则，若当前随机行走路径没有结束，流程返回步骤S215。

步骤S217，根据浮点数数组T中的T[0],T[1],...,T[npath-1]评估是否满足随机行走过程停止的条件。若满足随机行走过程停止的条件，流程进入步骤S218。否则，若得到的随机行走路径温度估计值不满足随机行走过程停止的条件，流程返回步骤S214。

步骤S218，根据所有随机行走路径的温度估计值得到所需计算的位置点的温度。具体而言，设所需计算的位置点的温度为T_f，则

$T_f=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{l=0}^{\mathrm{npath}-1}T\left[l\right]}{\mathrm{npath}}.$

需要说明的是，步骤S217中判断随机行走过程是否停止的条件是现有技术，具体的方法细节可参见发明人2013年在国际期刊IEEE Transactions on Computer-AidedDesign of Integrated Circuits and Systems上发表的论文“RWCap:A floating randomwalk solver for3-D capacitance extraction of VLSI interconnects”。

以下通过一个实验来验证本发明的技术效果，具体而言，在一台含2.70GHz的英特尔双核奔腾CPU的计算机上对一个含芯片、热扩散器、散热片的三层结构的芯片系统进行热分析，该芯片系统数据取自2012年发表于ACM Transactions on Design Automation ofElectronic Systems的文献“Fast Poisson solvers for thermal analysis”中的算例“testcase no.2”。本发明划分了6.55×10⁷个网格，在同等准确度前提下，若采用传统的网格随机行走方法，计算一个位置点的时间平均为949秒，若采用本发明提出的结合网格随机行走及悬浮随机行走的混合随机行走方法进行计算，一个位置点的平均计算时间为41.3秒，说明本发明的计算方法与现有技术有接近23倍的加速比，显著缩短了芯片热分析的时间。

最后所应说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照以上较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围。

Claims (7)

1.一种用于芯片热分析的混合随机行走方法，该方法运用于计算机中，其特征在于，该方法包括：

(a)建立针对芯片系统特征的悬浮随机行走转移区域终点位置编号数组，并将所建立的终点位置编号数组保存至计算机的硬盘；

(b)读取上述建立的终点位置编号数组至计算机的内存；

(c)对于芯片系统中需计算温度的位置点，根据上述建立的终点位置编号数组，采用网格随机行走过程与悬浮随机行走过程相结合的混合随机行走方法计算该位置点的温度；

(d)若还有所需计算的位置点的温度没有计算，则返回步骤(c)，直到有所需计算的位置点的温度全部计算完毕。

2.如权利要求1所述的用于芯片热分析的混合随机行走方法，其特征在于，所述建立针对芯片系统特征的悬浮随机行走转移区域终点位置编号数组的具体步骤如下：

获取芯片系统热源区域以外区域的热导率信息；

构造热导率均匀的悬浮随机行走转移区域，并通过网格随机行走方法得到该悬浮随机行走转移区域的第一类终点位置编号数组；及

构造热导率不均匀的悬浮随机行走转移区域，并通过网格随机行走方法得到该悬浮随机行走转移区域的第二类终点位置编号数组。

3.如权利要求2所述的用于芯片热分析的混合随机行走方法，其特征在于，所述构造热导率均匀的悬浮随机行走转移区域，并通过网格随机行走方法得到该悬浮随机行走转移区域的第一类终点位置编号数组的具体步骤如下：

构造一个长宽高分别为a×a×1、且含均匀热导率材料的长方体转移区域；

对其设置预设的有限差分网格，并得到对应的热电阻网络；及

从长方体转移区域中心位置点开始执行M次网格随机行走方法，每次网格随机行走方法按照到达长方体转移区域表面作为结束标志，记录执行这M次网格随机行走方法的终点位置信息，即终点二维网格的编号，形成数组长度为M的第一类终点位置编号数组。

4.如权利要求2所述的用于芯片热分析的混合随机行走方法，其特征在于，所述构造热导率不均匀的悬浮随机行走转移区域，并通过网格随机行走方法得到该悬浮随机行走转移区域的第二类终点位置编号数组的具体步骤如下：

对每个不同热导率区域的交界面，构造一个长宽高分别为a×a×1、且上下两半的热导率分别为k₁和k₂的长方体转移区域；

对其设置预设的有限差分网格，并得到对应的热电阻网络；及

从长方体转移区域中心位置点开始执行M次网格随机行走方法，每次网格随机行走按照到达长方体转移区域表面作为结束标志，记录执行这M次网格随机行走方法的终点位置信息，即终点二维网格的编号，形成数组长度为M的第二类终点位置编号数组。

5.如权利要求1所述的用于芯片热分析的混合随机行走方法，其特征在于，所述步骤(c)中采用网格随机行走过程与悬浮随机行走过程相结合的混合随机行走方法计算该位置点的温度的具体步骤如下：

(5.1)获取芯片系统中各个部件的几何信息、热导率信息、芯片上热源区域的分布情况以及所需计算的位置点的坐标；

(5.2)在芯片系统中建立网格随机行走区域及悬浮随机行走区域；

(5.3)从计算机的内存调用终点位置编号数组；

(5.4)初始化当前随机行走路径的编号npath为零，建立一个浮点数数组T，T将用于存储随机行走路径的温度估计值；

(5.5)初始化当前随机行走路径的温度估计值T[npath]为零，及初始化当前点pt的坐标为所需计算点的坐标；

(5.6)若当前位置点pt处于网格随机行走区域，该当前位置点对应网格编号为j，若pt还在热源区域，更新当前随机行走路径的温度估计值T[npath]＝T[npath]+reward(j)，其中所述reward(j)表示根据网格位置点j对应的三维网格区域包含的总发热功率及网格节点j到网格节点i之间的热电阻得到的温度值，并根据与该网格位置点连接的热电阻，进行一次网格随机行走跳转，更新当前位置点pt的位置，若当前位置点pt处于悬浮随机行走区域内，构造长和宽都是高的a倍的转移长方体区域，且使该转移长方体区域由均匀材料或者上下各一半的两种材料构成，使用相应的终点位置编号数组实现从当前位置点到转移长方体区域表面的悬浮随机跳转，更新当前位置点pt的位置；

(5.7)若当前点pt处于温度已知为T0的外边界点，则表明当前随机行走路径结束，则更新当前随机行走路径的温度估计值T[npath]＝T[npath]+T0、更新当前随机行走路径编号npath＝npath+1，之后流程进入步骤(5.8)，否则，若当前随机行走路径没有结束，流程返回步骤(5.6)；

(5.8)根据浮点数数组T中的T[0],T[1],...,T[npath-1]评估是否满足随机行走过程停止的条件，若满足随机行走过程停止的条件，流程进入步骤(5.9)，否则，若得到的随机行走路径温度估计值不满足随机行走过程停止的条件，流程返回步骤(5.5)；及

(5.9)根据所有随机行走路径的温度估计值得到所需计算的位置点的温度。

6.如权利要求5所述的用于芯片热分析的混合随机行走方法，其特征在于，所述在芯片系统上建立网格随机行走区域的具体步骤如下：

将芯片的热源区域沿上下两方向扩展一定尺寸，得到网格随机行走区域，然后对该网格随机行走区域进行离散网格划分，并得到等效的热电阻网络。

7.如权利要求5所述的用于芯片热分析的混合随机行走方法，其特征在于，所述悬浮随机行走跳转的具体步骤如下：

生成一个0～1之间的均匀分布随机数r，将随机数r乘以M并取整得到0～M之间的随机整数k，然后根据当前转移区域对应的终点位置编号数组DP，得到经过该次跳转后当前位置点所在的表面网格的编号为DP[k]，根据当前转移区域的几何位置及DP[k]算出新的当前位置点pt的位置。